وبالتالي، يتم حساب طول المتجه على أنه الجذر التربيعي لمجموع مربعات إحداثياته
. يتم حساب طول المتجه n الأبعاد بالمثل
. إذا تذكرنا أن كل إحداثي للمتجه هو الفرق بين إحداثيات النهاية والبداية، فإننا نحصل على صيغة طول القطعة، أي. المسافة الإقليدية بين النقاط.

المنتج العدديمتجهان على المستوى هو حاصل ضرب أطوال هذه المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما:
. يمكن إثبات أن المنتج العددي لمتجهين = (× 1، × 2) و = (y 1 , y 2) يساوي مجموع منتجات الإحداثيات المقابلة لهذه المتجهات:
= س 1 * ص 1 + س 2 * ص 2 .

في الفضاء ذو ​​الأبعاد n، يتم تعريف المنتج العددي للمتجهات X= (x 1، x 2،...،x n) و Y= (y 1، y 2،...،y n) على أنه مجموع المنتجات لإحداثياتها المقابلة: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

عملية ضرب المتجهات في بعضها البعض تشبه ضرب مصفوفة صف في مصفوفة عمود. ونؤكد على أن النتيجة ستكون رقمًا وليس متجهًا.

المنتج العددي للمتجهات له الخصائص (البديهيات) التالية:

1) الخاصية التبادلية: X*Y=Y*X.

2) خاصية التوزيع فيما يتعلق بالجمع: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) لأي عدد حقيقي 
.

4)
، ifX ليس متجهًا صفريًا؛
ifX هو متجه صفر.

يسمى الفضاء المتجه الخطي الذي يُعطى فيه المنتج القياسي للمتجهات الذي يلبي البديهيات الأربعة المقابلة المتجه الخطي الإقليديفضاء.

من السهل أن نرى أنه عندما نضرب أي متجه في نفسه، نحصل على مربع طوله. لذا فالأمر مختلف طوليمكن تعريف المتجه بأنه الجذر التربيعي لمربعه العددي:.

طول المتجه له الخصائص التالية:

1) |س| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|، حيث عدد حقيقي؛

3) |X*Y||X|*|Y| ( عدم المساواة بين كوشي وبونياكوفسكي);

4) |X+Y||X|+|Y| ( عدم المساواة المثلث).

يتم تحديد الزاوية  بين المتجهات في الفضاء ذي الأبعاد n بناءً على مفهوم المنتج القياسي. في الواقع، إذا
، الذي - التي
. هذا الكسر ليس أكبر من واحد (حسب متباينة كوشي-بونياكوفسكي)، ومن هنا يمكننا إيجاد .

يتم استدعاء المتجهين متعامدأو عمودي، إذا كان منتجهم العددي يساوي الصفر. ويترتب على تعريف المنتج العددي أن المتجه الصفري متعامد مع أي متجه. إذا كان كلا المتجهين المتعامدين غير صفر، فإن cos= 0، أي =/2 = 90 o.

دعونا ننظر مرة أخرى إلى الشكل 7.4. يمكن أن نرى من الشكل أنه يمكن حساب جيب تمام الزاوية  لميل المتجه إلى المحور الأفقي على النحو التالي
، وجيب تمام الزاويةميل المتجه إلى المحور الرأسي هو كما يلي
. عادة ما يتم استدعاء هذه الأرقام جيب التمام الاتجاه. من السهل التحقق من أن مجموع مربعات جيب تمام الاتجاه يساوي دائمًا واحدًا: cos 2 +cos 2 = 1. وبالمثل، يمكن تقديم مفاهيم جيب تمام الاتجاه للمساحات ذات الأبعاد الأعلى.

أساس الفضاء المتجه

بالنسبة للمتجهات، يمكننا تحديد المفاهيم تركيبة خطية,الاعتماد الخطيو استقلالمشابه لكيفية تقديم هذه المفاهيم لصفوف المصفوفة. وصحيح أيضًا أنه إذا كانت المتجهات تعتمد خطيًا، فيمكن التعبير عن واحد منها على الأقل خطيًا بدلالة المتجهات الأخرى (أي أنها مجموعة خطية منها). والعكس صحيح أيضًا: إذا كان أحد المتجهات عبارة عن مجموعة خطية من المتجهات الأخرى، فإن جميع هذه المتجهات معًا تعتمد خطيًا.

لاحظ أنه إذا كان من بين المتجهات a l , a 2 ,...a m هناك متجه صفر، فإن هذه المجموعة من المتجهات تكون بالضرورة تابعة خطيًا. في الواقع، نحصل على l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0 إذا، على سبيل المثال، قمنا بمساواة المعامل j عند المتجه الصفري بواحد، وجميع المعاملات الأخرى بالصفر. في هذه الحالة، لن تكون جميع المعاملات مساوية للصفر ( j ≠ 0).

بالإضافة إلى ذلك، إذا كان جزء من المتجهات من مجموعة من المتجهات يعتمد خطيًا، فإن كل هذه المتجهات تعتمد خطيًا. في الواقع، إذا كانت بعض المتجهات تعطي متجهًا صفرًا في مجموعتها الخطية مع معاملات ليست صفرًا، فيمكن إضافة المتجهات المتبقية مضروبة في المعاملات الصفرية إلى مجموع حاصل الضرب هذا، وسيظل متجهًا صفرًا.

كيفية تحديد ما إذا كانت المتجهات تعتمد خطيا؟

على سبيل المثال، لنأخذ ثلاثة متجهات: 1 = (1، 0، 1، 5)، 2 = (2، 1، 3، -2) و 3 = (3، 1، 4، 3). لنقم بإنشاء مصفوفة منها، حيث ستكون أعمدة:

ثم سيتم اختزال مسألة الاعتماد الخطي في تحديد رتبة هذه المصفوفة. إذا تبين أنها تساوي ثلاثة، فإن جميع الأعمدة الثلاثة مستقلة خطيًا، وإذا تبين أنها أقل، فسيشير ذلك إلى الاعتماد الخطي للمتجهات.

وبما أن الرتبة هي 2، فإن المتجهات تعتمد خطيا.

لاحظ أن حل المشكلة يمكن أن يبدأ أيضًا بالاستدلال المبني على تعريف الاستقلال الخطي. وهي إنشاء معادلة متجهة  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0، والتي ستأخذ الشكل l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, -) 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). ثم نحصل على نظام المعادلات:

سيتم تقليل حل هذا النظام باستخدام طريقة Gaussian إلى الحصول على نفس مصفوفة الخطوات، فقط سيكون لها عمود آخر - شروط مجانية. ستكون جميعها صفرًا، نظرًا لأن التحويلات الخطية للأصفار لا يمكن أن تؤدي إلى نتيجة مختلفة. سوف يأخذ نظام المعادلات المحول الشكل:

سيكون حل هذا النظام هو (-с;-с; с)، حيث с رقم عشوائي؛ على سبيل المثال، (-1;-1;1). هذا يعني أنه إذا أخذنا  l = -1; 2 =-1 و 3 = 1، إذن l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0، أي. المتجهات في الواقع تعتمد خطيا.

يتضح من المثال الذي تم حله أنه إذا أخذنا عدد المتجهات الأكبر من البعد المكاني، فستكون بالضرورة تابعة خطيًا. في الواقع، إذا أخذنا خمسة متجهات في هذا المثال، فسنحصل على مصفوفة 4 × 5، لا يمكن أن تكون رتبتها أكبر من أربعة. أولئك. الحد الأقصى لعدد الأعمدة المستقلة خطيًا لن يزيد عن أربعة. يمكن أن يكون متجهان أو ثلاثة أو أربعة نواقل رباعية الأبعاد مستقلين خطيًا، ولكن لا يمكن لخمسة أو أكثر أن تكون مستقلة. وبالتالي، لا يمكن أن يكون هناك أكثر من متجهين مستقلين خطيًا على المستوى. أي ثلاثة نواقل في الفضاء ثنائي الأبعاد تعتمد خطيا. في الفضاء ثلاثي الأبعاد، أي أربعة (أو أكثر) من المتجهات تكون دائمًا تابعة خطيًا. وما إلى ذلك وهلم جرا.

لهذا البعديمكن تعريف الفضاء على أنه الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطيًا التي يمكن أن تكون فيه.

تسمى مجموعة من المتجهات n المستقلة خطيًا للفضاء n ذو الأبعاد R أساسهذه المساحة.

نظرية. يمكن تمثيل كل متجه للفضاء الخطي كمجموعة خطية من المتجهات الأساسية، وبطريقة فريدة.

دليل. دع المتجهات e l , e 2 ,...e n تشكل مساحة ذات أبعاد أساسية R. دعونا نثبت أن أي متجه X هو مزيج خطي من هذه المتجهات. نظرًا لأنه مع المتجه X، سيصبح عدد المتجهات (n +1)، فإن هذه المتجهات (n +1) ستكون تابعة خطيًا، أي. هناك أرقام l , 2 ,..., n ,، لا تساوي الصفر في نفس الوقت، بحيث

 ل ه ل + 2 ه 2 +...+ ن ه ن +Х = 0

في هذه الحالة، 0، لأن وإلا فسنحصل على l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0، حيث ليست كل المعاملات l , 2 ,..., n تساوي الصفر. وهذا يعني أن المتجهات الأساسية ستكون تابعة خطيًا. لذلك يمكننا قسمة طرفي المعادلة الأولى على:

( ل /)ه ل + ( 2 /)ه 2 +...+ ( ن /)ه ن + X = 0

Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,

حيث x j = -( j /),
.

الآن نثبت أن مثل هذا التمثيل في شكل مجموعة خطية فريد من نوعه. لنفترض العكس، أي. أن هناك تمثيل آخر:

Х = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

دعونا نطرح منه مصطلحًا بعد مصطلح التعبير الذي تم الحصول عليه مسبقًا:

0 = (ص ل – س 1)ه ل + (ص 2 – س 2)ه 2 +...+ (ص ن – س ن)ه ن

وبما أن المتجهات الأساسية مستقلة خطياً، فإننا نحصل على أن (y j - x j) = 0،
, أي y j ​​= x j . لذلك تبين أن التعبير هو نفسه. لقد تم إثبات النظرية.

يسمى التعبير X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n تقسيمالمتجه X يعتمد على e l, e 2,...e n والأرقام x l, x 2,...x n - الإحداثياتالمتجه x نسبة إلى هذا الأساس، أو على هذا الأساس.

يمكن إثبات أنه إذا كانت المتجهات غير الصفرية للفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n متعامدة بشكل زوجي، فإنها تشكل أساسًا. في الواقع، دعونا نضرب طرفي المساواة l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 بأي متجه e i. نحصل على  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (e n *е i) = 0   i (e i *е i) = 0   i = 0 لـ  أنا.

المتجهات e l , e 2 ,...e n للشكل الفضائي الإقليدي ذو الأبعاد n أساس متعامد، إذا كانت هذه المتجهات متعامدة بشكل زوجي وقاعدة كل منها تساوي واحدًا، أي. إذا e i *e j = 0 لـ i≠j и |е i | = 1 لـ ط.

نظرية (بدون دليل). في كل فضاء إقليدي ذو أبعاد نية يوجد أساس متعامد.

مثال على الأساس المتعامد هو نظام من متجهات الوحدة n e i، حيث يكون المكون i يساوي واحدًا والمكونات المتبقية تساوي الصفر. يسمى كل ناقل من هذا القبيل أورت. على سبيل المثال، تشكل المتجهات (1، 0، 0)، (0، 1، 0) و (0، 0، 1) أساس الفضاء ثلاثي الأبعاد.

محاضرة: إحداثيات المتجهات المنتج العددي للمتجهات؛ الزاوية بين المتجهات

إحداثيات المتجهات

إذن، كما ذكرنا سابقًا، المتجه هو قطعة موجهة لها بدايتها ونهايتها الخاصة. إذا تم تمثيل البداية والنهاية بنقاط معينة، فإن لهما إحداثياتهما الخاصة على المستوى أو في الفضاء.

إذا كانت كل نقطة لها إحداثياتها الخاصة، فيمكننا الحصول على إحداثيات المتجه بأكمله.

لنفترض أن لدينا متجهًا له بدايته ونهايته التسميات والإحداثيات التالية: A(A x ; Ay) وB(B x ; By)

للحصول على إحداثيات متجه معين، من الضروري طرح إحداثيات البداية المقابلة من إحداثيات نهاية المتجه:

لتحديد إحداثيات المتجه في الفضاء، استخدم الصيغة التالية:

المنتج النقطي للمتجهات

هناك طريقتان لتحديد مفهوم المنتج العددي:

• الطريقة الهندسية. ووفقا له، فإن المنتج العددي يساوي منتج قيم هذه الوحدات وجيب تمام الزاوية بينهما.

• معنى جبري. من وجهة نظر الجبر، فإن المنتج العددي لمتجهين هو كمية معينة يتم الحصول عليها نتيجة لمجموع منتجات المتجهات المقابلة.

إذا كانت المتجهات معطاة في الفضاء، فيجب عليك استخدام صيغة مماثلة:

ملكيات:

• إذا قمت بضرب متجهين متطابقين بشكل عددي، فلن يكون حاصل ضربهما العددي سالبًا:

• إذا تبين أن المنتج القياسي لمتجهين متماثلين يساوي الصفر، فإن هذه المتجهات تعتبر صفرًا:

• إذا تم ضرب متجه معين في نفسه، فإن المنتج القياسي سيكون مساويًا لمربع معامله:

• المنتج العددي له خاصية تواصلية، أي أن المنتج العددي لن يتغير إذا تم إعادة ترتيب المتجهات:

• يمكن أن يساوي المنتج القياسي للمتجهات غير الصفرية الصفر فقط إذا كانت المتجهات متعامدة مع بعضها البعض:

• بالنسبة للمنتج القياسي للمتجهات، يكون قانون التبادل صالحًا في حالة ضرب أحد المتجهات بعدد:

• مع المنتج العددي، يمكنك أيضًا استخدام خاصية التوزيع للضرب:

الزاوية بين المتجهات

في حالة مسألة المستوى، يمكن إيجاد المنتج القياسي للمتجهين a = (a x; a y) وb = (b x; b y) باستخدام الصيغة التالية:

أ ب = أ س ب س + أ ذ ب ص

صيغة المنتج العددي للمتجهات للمشاكل المكانية

في حالة وجود مشكلة مكانية، يمكن إيجاد المنتج القياسي للمتجهات a = (a x; a y; a z) وb = (b x; b y; b z) باستخدام الصيغة التالية:

أ ب = أ س ب س + أ ص ب ص + أ ض ب ض

صيغة المنتج العددي للمتجهات ذات الأبعاد n

في حالة الفضاء ذو ​​الأبعاد n، يمكن إيجاد المنتج العددي للمتجهات a = (a 1; a 2; ...; a n) وb = (b 1; b 2; ...; b n) باستخدام الصيغة التالية:

أ ب = أ 1 ب 1 + أ 2 ب 2 + ... + أ ن ب ن

خصائص المنتج العددي للمتجهات

1. يكون المنتج القياسي للمتجه مع نفسه دائمًا أكبر من أو يساوي الصفر:

2. المنتج القياسي للمتجه مع نفسه يساوي الصفر إذا وفقط إذا كان المتجه يساوي المتجه الصفري:

أ · أ = 0<=>أ = 0

3. المنتج القياسي للمتجه مع نفسه يساوي مربع معامله:

4. عملية الضرب العددي هي عملية تواصلية:

5. إذا كان المنتج القياسي لمتجهين غير الصفر يساوي الصفر، فإن هذه المتجهات متعامدة:

أ ≠ 0، ب ≠ 0، أ ب = 0<=>أ ┴ ب

6. (αأ) ب = α(أ ب)

7. عملية الضرب العددي هي التوزيعية:

(أ + ب) ج = أ ج + ب ج

أمثلة على مسائل حساب المنتج القياسي للمتجهات

أمثلة لحساب المنتج العددي للمتجهات لمشاكل المستوى

أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهين a = (1؛ 2) وb = (4؛ 8).

حل:أ · ب = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهين a وb إذا كان طولهما |a| = 3، |ب| = 6، والزاوية بين المتجهات هي 60˚.

حل:أ · ب = |أ| · |ب| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

أوجد حاصل الضرب القياسي للمتجهين p = a + 3b و q = 5a - 3 b إذا كانت أطوالهما |a| = 3، |ب| = 2، والزاوية بين المتجهين a وb هي 60˚.

حل:

ع ف = (أ + 3ب) (5أ - 3ب) = 5 أ أ - 3 أ ب + 15 ب أ - 9 ب ب =

5 |أ| 2 + 12 أ · ب - 9 |ب| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 جتا 60˚ - 9 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

مثال لحساب المنتج العددي للمتجهات للمسائل المكانية

أوجد المنتج القياسي للمتجهين a = (1؛ 2؛ -5) وb = (4؛ 8؛ 1).

حل:أ · ب = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

مثال لحساب حاصل الضرب النقطي للمتجهات ذات الأبعاد n

أوجد المنتج القياسي للمتجهات a = (1; 2; -5; 2) و b = (4; 8; 1; -2).

حل:أ · ب = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. يسمى المنتج الاتجاهي للمتجهات والمتجهات المتجه الثالث ، محددة على النحو التالي:

2) عمودي، عمودي. (1 "")

3) يتم توجيه المتجهات بنفس طريقة توجيه أساس المساحة بأكملها (إيجابيًا أو سلبيًا).

تعيين : .

المعنى المادي للمنتج ناقلات

- لحظة القوة بالنسبة للنقطة O؛ - نصف القطر - متجه نقطة تطبيق القوة

علاوة على ذلك، إذا قمنا بنقله إلى النقطة O، فيجب توجيه الثلاثي باعتباره متجهًا أساسيًا.

المنتج النقطي للمتجهات

نواصل التعامل مع المتجهات. في الدرس الأول ناقلات للدمىلقد نظرنا إلى مفهوم المتجه، والإجراءات مع المتجهات، وإحداثيات المتجهات وأبسط المسائل المتعلقة بالمتجهات. إذا أتيت إلى هذه الصفحة لأول مرة من محرك بحث، فإنني أوصي بشدة بقراءة المقالة التمهيدية المذكورة أعلاه، لأنه لكي تتقن المادة، يجب أن تكون على دراية بالمصطلحات والرموز التي أستخدمها، وأن تكون لديك معرفة أساسية بالمتجهات و تكون قادرة على حل المشاكل الأساسية. هذا الدرس هو استمرار منطقي للموضوع، وفيه سأقوم بتحليل المهام النموذجية التي تستخدم المنتج القياسي للمتجهات بالتفصيل. هذا نشاط مهم جدًا.. حاول ألا تتخطى الأمثلة؛ فهي تأتي بمكافأة مفيدة - فالتدريب سيساعدك على دمج المادة التي قمت بتغطيتها والتحسن في حل المشكلات الشائعة في الهندسة التحليلية.

جمع المتجهات، ضرب المتجه بعدد.... سيكون من السذاجة الاعتقاد بأن علماء الرياضيات لم يتوصلوا إلى شيء آخر. بالإضافة إلى الإجراءات التي سبق أن تناولناها، هناك عدد من العمليات الأخرى مع المتجهات، وهي: المنتج النقطي للمتجهات, ناقلات المنتج من ناقلاتو منتج مختلط من المتجهات. إن حاصل الضرب العددي للمتجهات مألوف لنا منذ المدرسة، بينما ينتمي المنتجان الآخران تقليديًا إلى مسار الرياضيات العليا. المواضيع بسيطة، والخوارزمية لحل العديد من المشكلات واضحة ومفهومة. الشيء الوحيد. هناك قدر لا بأس به من المعلومات، لذلك من غير المرغوب فيه محاولة إتقان كل شيء وحله مرة واحدة. هذا ينطبق بشكل خاص على الدمى، صدقوني، المؤلف على الإطلاق لا يريد أن يشعر مثل تشيكاتيلو من الرياضيات. حسنًا، ليس من الرياضيات، بالطبع أيضًا =) يمكن للطلاب الأكثر استعدادًا استخدام المواد بشكل انتقائي، بمعنى ما، "الحصول على" المعرفة المفقودة؛ بالنسبة لك سأكون الكونت دراكولا غير ضار =)

دعونا أخيرًا نفتح الباب ونشاهد بحماس ما يحدث عندما يلتقي متجهان ببعضهما البعض...

تعريف المنتج العددي للمتجهات.
خصائص المنتج العددي. المهام النموذجية

مفهوم المنتج النقطي

أولا حول الزاوية بين المتجهات. أعتقد أن الجميع يفهم بشكل حدسي ما هي الزاوية بين المتجهات، ولكن فقط في حالة، مزيد من التفاصيل. دعونا نفكر في المتجهات الحرة غير الصفرية و. إذا قمت برسم هذه المتجهات من نقطة تعسفية، فستحصل على صورة تخيلها الكثيرون بالفعل عقليًا:

أعترف أنني هنا وصفت الوضع فقط على مستوى الفهم. إذا كنت بحاجة إلى تعريف دقيق للزاوية بين المتجهات، فيرجى الرجوع إلى الكتاب المدرسي؛ بالنسبة للمشكلات العملية، من حيث المبدأ، لا فائدة من ذلك بالنسبة لنا. أيضًا هنا وهنا، سأتجاهل المتجهات الصفرية في الأماكن نظرًا لأهميتها العملية المنخفضة. لقد قمت بالحجز خصيصًا لزوار الموقع المتقدمين الذين قد يوبخونني بسبب عدم الاكتمال النظري لبعض البيانات اللاحقة.

يمكن أن تأخذ القيم من 0 إلى 180 درجة (0 إلى راديان)، ضمنا. ومن الناحية التحليلية، فإن هذه الحقيقة مكتوبة في شكل متباينة مزدوجة: أو (بالراديان).

في الأدبيات، غالبًا ما يتم تخطي رمز الزاوية وكتابته ببساطة.

تعريف:المنتج القياسي لمتجهين هو رقم يساوي منتج أطوال هذه المتجهات وجيب تمام الزاوية بينهما:

الآن هذا تعريف صارم للغاية.

نحن نركز على المعلومات الأساسية:

تعيين:يُشار إلى المنتج العددي بـ أو ببساطة.

نتيجة العملية هي رقم: يتم ضرب المتجه بالمتجه وتكون النتيجة رقمًا. في الواقع، إذا كانت أطوال المتجهات أرقامًا، وجيب تمام الزاوية هو رقم، فإن حاصل ضربها سيكون أيضًا رقمًا.

فقط بضعة أمثلة للإحماء:

مثال 1

حل:نحن نستخدم الصيغة . في هذه الحالة:

إجابة:

يمكن العثور على قيم جيب التمام في الجدول المثلثي. أوصي بطباعته - ستكون هناك حاجة إليه في جميع أقسام البرج تقريبًا وستكون هناك حاجة إليه عدة مرات.

من وجهة نظر رياضية بحتة، المنتج العددي ليس له أبعاد، أي أن النتيجة، في هذه الحالة، هي مجرد رقم وهذا كل شيء. من وجهة نظر المسائل الفيزيائية، يكون للمنتج العددي دائمًا معنى مادي معين، أي أنه بعد النتيجة يجب الإشارة إلى وحدة فيزيائية أو أخرى. يمكن العثور على مثال قانوني لحساب عمل القوة في أي كتاب مدرسي (الصيغة هي بالضبط منتج عددي). يتم قياس عمل القوة بالجول، لذلك سيتم كتابة الإجابة بشكل محدد تمامًا، على سبيل المثال، .

مثال 2

اكتشف إذا والزاوية بين المتجهات تساوي .

هذا مثال عليك حله بنفسك، الجواب في نهاية الدرس.

الزاوية بين المتجهات وقيمة منتج النقطة

في المثال 1 تبين أن المنتج القياسي موجب، وفي المثال 2 تبين أنه سلبي. دعونا نتعرف على ما تعتمد عليه علامة المنتج العددي. دعونا نلقي نظرة على الصيغة لدينا: . أطوال المتجهات غير الصفرية تكون دائمًا موجبة: لذا فإن الإشارة يمكن أن تعتمد فقط على قيمة جيب التمام.

ملحوظة: لفهم المعلومات أدناه بشكل أفضل، من الأفضل دراسة الرسم البياني لجيب التمام في الدليل الرسوم البيانية وظيفة والخصائص. انظر كيف يتصرف جيب التمام على القطعة.

كما ذكرنا سابقًا، يمكن أن تختلف الزاوية بين المتجهات في الداخل ، والحالات التالية ممكنة:

1) إذا ركنبين المتجهات حار: (من 0 إلى 90 درجة)، ثم ، و سيكون منتج النقطة موجبًا شارك في الإخراج، فإن الزاوية بينهما تعتبر صفرًا، وسيكون حاصل الضرب القياسي موجبًا أيضًا. منذ ذلك الحين، يتم تبسيط الصيغة: .

2) إذا ركنبين المتجهات صريح: (من 90 إلى 180 درجة)، ثم ، وبالمقابل، المنتج النقطي سلبي: . حالة خاصة: إذا كانت النواقل اتجاهين متعاكسين، ثم تؤخذ الزاوية بينهما بعين الاعتبار موسع: (180 درجة). المنتج العددي هو أيضا سلبي، منذ ذلك الحين

والأقوال العكسية صحيحة أيضًا:

1) إذا كانت الزاوية بين هذه المتجهات حادة. وبدلاً من ذلك، تكون المتجهات مشتركة في الاتجاه.

2) إذا كانت الزاوية بين هذه المتجهات منفرجة. وبدلاً من ذلك، تكون المتجهات في اتجاهين متعاكسين.

لكن الحالة الثالثة لها أهمية خاصة:

3) إذا ركنبين المتجهات مستقيم: (90 درجة)، ثم المنتج العددي هو صفر: . والعكس صحيح أيضًا: إذاً. يمكن صياغة البيان بشكل مضغوط على النحو التالي: المنتج القياسي لمتجهين يكون صفرًا إذا وفقط إذا كانت المتجهات متعامدة. تدوين رياضي قصير:

! ملحوظة : دعونا نكرر أساسيات المنطق الرياضي: عادة ما تتم قراءة أيقونة النتيجة المنطقية ذات الوجهين "إذا وفقط إذا"، "إذا وفقط إذا". كما ترون، يتم توجيه الأسهم في كلا الاتجاهين - "من هذا يتبع هذا، والعكس صحيح - من هذا يتبع هذا". بالمناسبة، ما هو الفرق عن أيقونة المتابعة ذات الاتجاه الواحد؟ تنص الأيقونة هذا فقطأن "من هذا يتبع هذا" وليس حقيقة أن العكس هو الصحيح. على سبيل المثال: ولكن ليس كل حيوان هو نمر، لذلك في هذه الحالة لا يمكنك استخدام الأيقونة. وفي الوقت نفسه، بدلا من الرمز يستطيعاستخدم أيقونة من جانب واحد. على سبيل المثال، أثناء حل المشكلة، اكتشفنا أننا استنتجنا أن المتجهات متعامدة: - مثل هذا الإدخال سيكون صحيحا، بل وأكثر ملاءمة من .

الحالة الثالثة لها أهمية عملية كبيرة، لأنه يسمح لك بالتحقق مما إذا كانت المتجهات متعامدة أم لا. سنحل هذه المشكلة في القسم الثاني من الدرس.

خصائص المنتج النقطي

دعنا نعود إلى الموقف عندما يكون هناك متجهان شارك في الإخراج. في هذه الحالة، تكون الزاوية بينهما صفرًا، وصيغة حاصل الضرب العددية تأخذ الشكل: .

ماذا يحدث إذا تم ضرب المتجه في نفسه؟ من الواضح أن المتجه يتماشى مع نفسه، لذلك نستخدم الصيغة المبسطة أعلاه:

الرقم يسمى مربع عدديناقلات، ويشار إليها باسم .

هكذا، المربع العددي للمتجه يساوي مربع طول المتجه المحدد:

ومن هذه المساواة يمكننا الحصول على صيغة لحساب طول المتجه:

حتى الآن يبدو الأمر غير واضح، لكن أهداف الدرس ستضع كل شيء في مكانه. لحل المشاكل التي نحتاجها أيضا خصائص المنتج النقطي.

بالنسبة للمتجهات العشوائية وأي رقم، تكون الخصائص التالية صحيحة:

1) - تبديلية أو تبادليقانون المنتج العددي.

2) – التوزيع أو التوزيعيةقانون المنتج العددي. ببساطة، يمكنك فتح الأقواس.

3) - النقابي أو ترابطيقانون المنتج العددي. يمكن اشتقاق الثابت من المنتج العددي.

في كثير من الأحيان، ينظر الطلاب إلى جميع أنواع الخصائص (والتي تحتاج أيضًا إلى إثبات!) على أنها قمامة غير ضرورية، والتي تحتاج فقط إلى حفظها ونسيانها بأمان بعد الاختبار مباشرة. ويبدو أن المهم هنا هو أن الجميع يعلم منذ الصف الأول أن إعادة ترتيب العوامل لا يغير الناتج: . يجب أن أحذرك أنه في الرياضيات العليا من السهل إفساد الأمور بمثل هذا النهج. لذا، على سبيل المثال، الخاصية الإبدالية ليست صحيحة بالنسبة إلى المصفوفات الجبرية. وهذا أيضا ليس صحيحا ل ناقلات المنتج من ناقلات. لذلك، على الأقل، من الأفضل الخوض في أي خصائص تصادفها في دورة الرياضيات العليا لفهم ما يمكنك فعله وما لا يمكنك فعله.

مثال 3

.

حل:أولاً، دعونا نوضح الموقف مع المتجه. ما هذا على أي حال؟ مجموع المتجهات هو متجه محدد جيدًا، ويُشار إليه بالرمز . يمكن العثور على تفسير هندسي للإجراءات مع المتجهات في المقالة ناقلات للدمى. نفس البقدونس مع المتجه هو مجموع النواقل و .

لذلك، وفقًا للشرط، من الضروري العثور على المنتج القياسي. من الناحية النظرية، تحتاج إلى تطبيق صيغة العمل لكن المشكلة هي أننا لا نعرف أطوال المتجهات والزاوية بينهما. لكن الشرط يعطي معلمات مماثلة للمتجهات، لذلك سنتخذ طريقًا مختلفًا:

(1) استبدل تعبيرات المتجهات.

(2) نفتح الأقواس وفقا لقاعدة ضرب كثيرات الحدود، يمكن العثور على لسان مبتذل في المقال ارقام مركبةأو دمج دالة كسرية عقلانية. لن أكرر كلامي =) بالمناسبة، خاصية توزيع حاصل الضرب القياسي تسمح لنا بفتح الأقواس. لدينا الحق.

(3) في الحدين الأول والأخير نكتب بشكل مضغوط المربعات العددية للمتجهات: . في الفصل الثاني نستخدم تبديلية المنتج القياسي: .

(٤) نقدم مصطلحات مشابهة: .

(5) في الفصل الأول نستخدم صيغة المربع العددي، والتي تم ذكرها منذ وقت ليس ببعيد. في المصطلح الأخير، وفقا لذلك، يعمل نفس الشيء: . نقوم بتوسيع الحد الثاني وفقا للصيغة القياسية .

(6) استبدل هذه الشروط ، وقم بإجراء الحسابات النهائية بعناية.

إجابة:

تشير القيمة السالبة للمنتج القياسي إلى حقيقة أن الزاوية بين المتجهات منفرجة.

المشكلة نموذجية، إليك مثال لحلها بنفسك:

مثال 4

ابحث عن المنتج القياسي للمتجهات وإذا كان معروفًا ذلك .

والآن هناك مهمة مشتركة أخرى، تتعلق فقط بالصيغة الجديدة لطول المتجه. سيكون الترميز هنا متداخلًا بعض الشيء، لذا سأعيد كتابته بحرف مختلف من أجل الوضوح:

مثال 5

أوجد طول المتجه إذا .

حلسيكون على النحو التالي:

(1) نورد التعبير الخاص بالمتجه.

(2) نستخدم صيغة الطول:، ويكون التعبير بأكمله بمثابة المتجه "ve".

(3) نستخدم الصيغة المدرسية لمربع المجموع. لاحظ كيف يتم الأمر هنا بطريقة غريبة: - في الواقع، إنه مربع الفرق، وفي الواقع، هذا هو الحال. يمكن لأولئك الذين يرغبون إعادة ترتيب المتجهات: - يحدث نفس الشيء، حتى إعادة ترتيب المصطلحات.

(٤) ما يلي معروف بالفعل من المشكلتين السابقتين.

إجابة:

وبما أننا نتحدث عن الطول، فلا تنس الإشارة إلى البعد - "الوحدات".

مثال 6

أوجد طول المتجه إذا .

هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

نستمر في استخراج الأشياء المفيدة من حاصل الضرب النقطي. دعونا ننظر إلى الصيغة لدينا مرة أخرى . باستخدام قاعدة التناسب، نعيد ضبط أطوال المتجهات على مقام الجانب الأيسر:

دعونا نتبادل الأجزاء:

ما هو معنى هذه الصيغة؟ إذا كان طولا متجهين ومنتجهما القياسي معروفين، فيمكن حساب جيب تمام الزاوية بين هذه المتجهات، وبالتالي الزاوية نفسها.

هل المنتج النقطي هو رقم؟ رقم. هل أطوال المتجهات أرقام؟ أعداد. وهذا يعني أن الكسر هو أيضًا رقم. وإذا كان جيب تمام الزاوية معروفًا: ، ثم باستخدام الدالة العكسية من السهل العثور على الزاوية نفسها: .

مثال 7

أوجد الزاوية بين المتجهات وإذا علمت ذلك .

حل:نحن نستخدم الصيغة:

في المرحلة النهائية من الحسابات، تم استخدام التقنية الفنية - القضاء على اللاعقلانية في المقام. ومن أجل التخلص من اللاعقلانية، قمت بضرب البسط والمقام بـ .

حتى إذا ، الذي - التي:

يمكن العثور على قيم الدوال المثلثية العكسية عن طريق الجدول المثلثي. على الرغم من أن هذا يحدث نادرا. في مشاكل الهندسة التحليلية، في كثير من الأحيان بعض الدببة الخرقاء مثل ، ويجب العثور على قيمة الزاوية تقريبًا باستخدام الآلة الحاسبة. في الواقع، سوف نرى مثل هذه الصورة أكثر من مرة.

إجابة:

مرة أخرى، لا تنس الإشارة إلى الأبعاد - الراديان والدرجات. شخصيًا، من أجل "حل جميع الأسئلة" بشكل واضح، أفضّل الإشارة إلى كليهما (ما لم يكن الشرط، بالطبع، يتطلب تقديم الإجابة بالراديان فقط أو بالدرجات فقط).

يمكنك الآن التعامل بشكل مستقل مع مهمة أكثر تعقيدًا:

مثال 7*

معطاة أطوال المتجهات والزاوية بينهما. أوجد الزاوية بين المتجهات .

المهمة ليست صعبة بقدر ما هي متعددة الخطوات.
دعونا نلقي نظرة على خوارزمية الحل:

1) وفقًا للشرط، تحتاج إلى إيجاد الزاوية بين المتجهات و ، لذلك تحتاج إلى استخدام الصيغة .

2) أوجد المنتج العددي (انظر الأمثلة رقم 3، 4).

3) أوجد طول المتجه وطول المتجه (انظر الأمثلة رقم 5، 6).

4) نهاية الحل تتطابق مع المثال رقم 7 - نعرف الرقم مما يعني أنه من السهل إيجاد الزاوية نفسها:

حل قصير وإجابة في نهاية الدرس.

القسم الثاني من الدرس مخصص لنفس المنتج القياسي. الإحداثيات. سيكون الأمر أسهل مما كان عليه في الجزء الأول.

المنتج النقطي للمتجهات،
تعطى بواسطة الإحداثيات على أساس متعامد

إجابة:

وغني عن القول أن التعامل مع الإحداثيات أكثر متعة.

مثال 14

أوجد المنتج العددي للمتجهات و if

هذا مثال لك لحله بنفسك. هنا يمكنك استخدام ترابط العملية، أي لا تحسب، ولكن خذ على الفور الرقم الثلاثي خارج المنتج القياسي واضربه به أخيرًا. الحل والجواب في نهاية الدرس .

وفي نهاية القسم مثال مثير لحساب طول المتجه:

مثال 15

أوجد أطوال المتجهات ، لو

حل:طريقة القسم السابق تقترح نفسها مرة أخرى: ولكن هناك طريقة أخرى:

لنجد المتجه:

وطوله حسب الصيغة التافهة :

المنتج النقطي غير ذي صلة هنا على الإطلاق!

كما أنه ليس مفيدًا عند حساب طول المتجه:
قف. ألا ينبغي لنا أن نستفيد من الخاصية الواضحة لطول المتجه؟ ماذا يمكنك أن تقول عن طول المتجه؟ هذا المتجه أطول بخمس مرات من المتجه. الاتجاه معاكس، لكن هذا لا يهم، لأننا نتحدث عن الطول. من الواضح أن طول المتجه يساوي المنتج وحدةالأرقام لكل طول متجه:
- علامة المعامل "تأكل" الرقم الناقص المحتمل.

هكذا:

إجابة:

صيغة جيب تمام الزاوية بين المتجهات المحددة بالإحداثيات

الآن لدينا معلومات كاملة لاستخدام الصيغة المشتقة مسبقًا لجيب تمام الزاوية بين المتجهات التعبير من خلال إحداثيات المتجهات:

جيب تمام الزاوية بين المتجهات المستويةو ، محددة على أساس متعامد ، يتم التعبير عنها بواسطة الصيغة:
.

جيب تمام الزاوية بين المتجهات الفضائية، محددة على أساس متعامد ، يتم التعبير عنها بواسطة الصيغة:

مثال 16

نظرا لثلاثة رؤوس المثلث. أوجد (زاوية قمة الرأس).

حل:حسب الشروط الرسم غير مطلوب ولكن لا يزال:

يتم تحديد الزاوية المطلوبة بقوس أخضر. دعونا نتذكر على الفور تسمية المدرسة للزاوية: – اهتمام خاص بها متوسطحرف - هذا هو رأس الزاوية التي نحتاجها. للإيجاز، يمكنك أيضًا الكتابة ببساطة.

من الرسم يتضح تمامًا أن زاوية المثلث تتطابق مع الزاوية بين المتجهات، وبعبارة أخرى: .

ومن المستحسن أن تتعلم كيفية إجراء التحليل عقليا.

لنجد المتجهات:

دعونا نحسب المنتج العددي:

وأطوال المتجهات:

جيب تمام الزاوية:

هذا هو بالضبط ترتيب إكمال المهمة التي أوصي بها للدمى. يمكن للقراء الأكثر تقدمًا كتابة الحسابات "في سطر واحد":

فيما يلي مثال على قيمة جيب التمام "السيئة". القيمة الناتجة ليست نهائية، لذلك لا فائدة من التخلص من اللاعقلانية في المقام.

لنجد الزاوية نفسها:

إذا نظرت إلى الرسم، فإن النتيجة معقولة تماما. وللتحقق من ذلك، يمكن أيضًا قياس الزاوية باستخدام المنقلة. لا تضر غطاء الشاشة =)

إجابة:

وفي الجواب لا ننسى ذلك سأل عن زاوية المثلث(وليس عن الزاوية بين المتجهات)، ولا تنس الإشارة إلى الإجابة الدقيقة: والقيمة التقريبية للزاوية: ، وجدت باستخدام الآلة الحاسبة.

ويمكن لمن استمتع بهذه العملية حساب الزوايا والتحقق من صحة المساواة القانونية

مثال 17

يتم تعريف المثلث في الفضاء من خلال إحداثيات رؤوسه. أوجد الزاوية بين الجانبين و

هذا مثال لك لحله بنفسك. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس

سيتم تخصيص قسم أخير قصير للتوقعات، والتي تتضمن أيضًا منتجًا قياسيًا:

إسقاط المتجه على المتجه. إسقاط المتجه على محاور الإحداثيات.
جيب تمام الاتجاه للمتجه

النظر في المتجهات و:

دعونا نسقط المتجه على المتجه؛ وللقيام بذلك، نحذف من بداية المتجه ونهايته متعامدينإلى المتجه (الخطوط المنقطة الخضراء). تخيل أن أشعة الضوء تسقط بشكل عمودي على المتجه. بعد ذلك سيكون الجزء (الخط الأحمر) بمثابة "ظل" المتجه. في هذه الحالة، يكون إسقاط المتجه على المتجه هو طول القطعة. وهذا يعني أن الإسقاط هو رقم.

تتم الإشارة إلى هذا الرقم على النحو التالي: يشير "المتجه الكبير" إلى المتجه أيّالمشروع، يشير "ناقل منخفض صغير" إلى المتجه علىالذي هو متوقع.

يُقرأ الإدخال نفسه على النحو التالي: "إسقاط المتجه "a" على المتجه "be"."

ماذا يحدث إذا كان المتجه "be" "قصيرًا جدًا"؟ نرسم خطًا مستقيمًا يحتوي على المتجه "be". وسيتم عرض المتجه "a" بالفعل إلى اتجاه المتجه "يكون"ببساطة - إلى الخط المستقيم الذي يحتوي على المتجه "be". سيحدث الشيء نفسه إذا تم تأجيل المتجه "أ" إلى المملكة الثلاثين - فسيظل من السهل إسقاطه على الخط المستقيم الذي يحتوي على المتجه "يكون".

إذا كانت الزاويةبين المتجهات حار(كما في الصورة)، ثم

إذا كانت ناقلات متعامد، إذن (الإسقاط هو نقطة تعتبر أبعادها صفراً).

إذا كانت الزاويةبين المتجهات صريح(في الشكل، قم بإعادة ترتيب سهم المتجه عقليًا)، ثم (بنفس الطول، ولكن تم التقاطه بعلامة الطرح).

دعونا نرسم هذه المتجهات من نقطة واحدة:

من الواضح أنه عندما يتحرك المتجه، فإن إسقاطه لا يتغير