Как да начертаете 2 успоредни прави на Лобачевски през точка. Практически приложения на геометрията на Лобачевски

Геометрията на Лобачевски

Въведение

Глава I. Историята на възникването на неевклидовата геометрия

Глава II. Геометрията на Лобачевски

2.1 Основни понятия

2.2 Съгласуваност на геометрията на Лобачевски

2.3 Модели на геометрията на Лобачевски

2.4 Дефект на триъгълник и многоъгълник

2.5 Абсолютна единица за дължина в геометрията на Лобачевски

2.6 Дефиниция на успоредна права. Функция P(x)

2.7 Модел на Поанкаре

Практическа част

1. Сборът от ъглите на триъгълник

2. Въпросът за съществуването на такива фигури

3. Основното свойство на паралелизма

4. Свойства на функцията P(x)

Заключение. заключения

Приложения

Списък на използваната литература

Въведение

Тази работа показва приликите и разликите между двете геометрии на примера на доказателството на един от постулатите на Евклид и продължението на тези концепции в геометрията на Лобачевски, като се вземат предвид постиженията на науката по това време.

Всяка теория на съвременната наука се счита за правилна, докато не бъде създадена следващата. Това е един вид аксиома за развитието на науката. Този факт е многократно потвърждаван.

Физиката на Нютон прераства в релативистка, а тази - в квантова. Теорията за флогистона се превърна в химия. Такава е съдбата на всички науки. Тази съдба не заобиколи геометрията. Традиционната геометрия на Евклид е прераснала в геометрия. Лобачевски. Тази работа е посветена на този клон на науката.

Целта на тази работа: да се разгледа разликата между геометрията на Лобачевски и геометрията на Евклид.

Целите на тази работа: да се сравнят теоремите на геометрията на Евклид с подобни теореми на геометрията на Лобачевски;

като решавате задачи, извеждайте положенията на геометрията на Лобачевски.

Изводи: 1. Геометрията на Лобачевски е изградена върху отхвърлянето на петия постулат на Евклид.

2. В геометрията на Лобачевски:

няма подобни триъгълници, които да не са равни;

два триъгълника са равни, ако ъглите им са равни;

сумата от ъглите на триъгълник не е равна на 180 0, а по-малко (сумата от ъглите на триъгълник зависи от неговия размер: колкото по-голяма е площта, толкова повече сумата се различава от 180 0; и обратно, колкото по-малка е площта, толкова по-близка е сумата от нейните ъгли до 180 0);

през точка извън права може да се начертае повече от една права, успоредна на дадената права.

Глава 1. Историята на възникването на неевклидовата геометрия

1.1 V постулат на Евклид, опити за доказването му

Евклид е автор на първата строга логическа конструкция на геометрията, достигнала до нас. Неговото изложение е толкова съвършено за времето си, че в продължение на две хиляди години от момента на появата на неговия труд "Елементи" това е единственото ръководство за учениците по геометрия.

"Начала" се състои от 13 книги, посветени на геометрията и аритметиката в геометрично изложение.

Всяка книга на Елементите започва с определение на понятия, които се срещат за първи път. Следвайки определенията, Евклид дава постулати и аксиоми, тоест твърдения, които се приемат без доказателство.

Постулатът V на Евклид гласи: и че всеки път, когато една права, когато се пресича с две други прави, образува едностранни вътрешни ъгли с тях, чиято сума е по-малка от две прави, тези прави се пресичат от страната, на която тази сума е по-малка от два реда.

Най-важният недостатък на системата от евклидови аксиоми, включително нейните постулати, е нейната непълнота, тоест тяхната недостатъчност за строго логическа конструкция на геометрията, в която всяко изречение, ако не фигурира в списъка с аксиоми, трябва да бъде логически изведени от последните им. Следователно Евклид, когато доказваше теореми, не винаги се основаваше на аксиоми, а прибягваше до интуиция, визуализация и "сетивни" възприятия. Например, той приписва чисто визуален характер на понятието "между"; той мълчаливо приема, че права линия, минаваща през вътрешна точка на окръжност, със сигурност трябва да я пресича на две пръчки. В същото време той се основаваше само на видимост, а не на логика; той никъде не даде доказателство за този факт и не можа да го даде, тъй като му липсваха аксиомите за приемственост. Липсват му и някои други аксиоми, без които не е възможно строго логическо доказателство на теореми.

Но никой не се усъмни в истинността на постулатите на Евклид по отношение на петия постулат. Междувременно, още в древността, именно постулатът на паралелите привлече специалното внимание на редица геометри, които смятаха за неестествено да го поставят сред постулатите. Това вероятно се дължи на сравнително по-малко очевидността и яснотата на постулат V: имплицитно, той предполага постижимостта на всякакви, произволно отдалечени части от равнината, изразявайки свойство, което се открива само когато правите линии се удължават за неопределено време.

Самият Евклид и много учени се опитаха да докажат постулата за паралелите. Някои се опитаха да докажат постулата за паралелите, използвайки само други постулати и онези теореми, които могат да бъдат изведени от последните, без да използват самия V постулат. Всички подобни опити бяха неуспешни. Техният общ недостатък е, че някакво предположение, еквивалентно на доказвания постулат, е имплицитно приложено в доказателството. Други предложиха предефиниране на успоредните прави или замяна на постулата V с нещо, което смятаха за по-очевидно.

Но вековните опити да се докаже петият постулат на Евклид в крайна сметка доведоха до появата на нова геометрия, която се различава по това, че в нея петият постулат не е изпълнен. Тази геометрия сега се нарича неевклидова, а в Русия носи името на Лобачевски, който пръв публикува труд с нейното представяне.

И една от предпоставките за геометричните открития на Н. И. Лобачевски (1792-1856) е именно неговият материалистичен подход към проблемите на познанието. Лобачевски, той е твърдо убеден в обективното съществуване на материалния свят и възможността за неговото познание, независимо от човешкото съзнание. В речта си „За най-важните предмети на образованието“ (Казан, 1828 г.) Лобачевски съчувствено цитира думите на Ф. Бейкън: „оставете ги да се трудят напразно, като се опитвате да извлечете цялата мъдрост от тях сами; попитайте природата, тя пази всички истини и ще отговори на всички ваши въпроси безотказно и задоволително. В своето есе „За принципите на геометрията“, което е първата публикация на откритата от него геометрия, Лобачевски пише: „Първите понятия, от които започва всяка наука, трябва да бъдат ясни и сведени до най-малкия брой. Тогава само те могат да служат като солидна и достатъчна основа на учението. Такива понятия се придобиват от сетивата; вродено - не трябва да се вярва.

Първите опити на Лобачевски да докаже петия постулат датират от 1823 г. До 1826 г. той стигна до заключението, че петият постулат не зависи от останалите аксиоми на геометрията на Евклид, а на 11 (23) февруари 1826 г. на среща на преподавателския състав на Казанския университет той направи доклад „ Кратко представяне на принципите на геометрията със строго доказателство на паралелната теорема”, в която са очертани началото на откритата от него „въображаема геометрия”, както той нарича системата, станала по-късно известна като неевклидова геометрия. . Докладът от 1826 г. е включен в първата публикация на Лобачевски по неевклидова геометрия - статията "За принципите на геометрията", публикувана в списанието на Казанския университет "Казан вестник" през 1829-1830 г. по-нататъшното развитие и приложенията на откритата от него геометрия са посветени на мемоарите "Въображаема геометрия", "Прилагането на въображаемата геометрия към някои интеграли" и "Нови начала на геометрията с пълна теория на паралелите", публикувани в "Научни бележки" съответно през 1835, 1836 и 1835-1838 г. Ревизиран текст на "Въображаемата геометрия" се появява в превод на френски в Берлин, пак там през 1840 г. са издадени като отделна книга на немски „Геометрични изследвания върху теорията на успоредните прави” от Лобачевски. Накрая през 1855 и 1856г. той публикува в Казан на руски и френски език "Пангеометрия". Той високо оцени "Геометричните изследвания" на Гаус, който направи Лобачевски (1842) член-кореспондент на Гьотингенското научно дружество, което по същество беше Академията на науките на Хановерското кралство. Гаус обаче не публикува оценка на новата геометрична система.

1.2 Постулатите за паралелизъм на Евклид и Лобачевски

Основната точка, от която започва разделянето на геометрията на обикновена евклидова (обща) и неевклидова (въображаема геометрия или "пангеометрия"), както знаете, е постулатът за успоредните линии.

Обикновената геометрия се основава на предположението, че през точка, която не лежи на дадена права, може да се начертае най-много една права в равнината, определена от тази точка и правата, която не пресича дадената права. Фактът, че през точка, която не лежи на дадена права, минава поне една права, която не пресича тази права, се отнася до "абсолютна геометрия", т.е. може да се докаже без помощта на постулата за успоредни прави.

Правата BB, минаваща през P под прав ъгъл спрямо перпендикуляра PQ, спуснат от AA 1, не пресича правата AA 1 ; тази права в евклидовата геометрия се нарича успоредна на AA 1 .

За разлика от постулата на Евклид, Лобачевски приема следната аксиома като основа за изграждане на теорията за успоредните прави:

През точка, която не лежи на дадена права, в равнината, определена от тази точка и правата, може да се прекара повече от една права, която не пресича дадената права.

Това пряко предполага съществуването на безкраен брой прави, минаващи през една и съща точка и не пресичащи дадената права. Нека правата СС 1 не пресича AA 1; тогава всички прави, минаващи вътре в двата вертикални ъгъла VRS и B 1 PC 1 също не се пресичат с правата AA 1 .

Глава 2. Геометрия на Лобачевски.

2.1 Основни понятия

В мемоарите си За принципите на геометрията (1829) Лобачевски възпроизвежда първо доклада си от 1826 г.

На 7 февруари 1832 г. Николай Лобачевски представя първата си работа по неевклидова геометрия пред съда на своите колеги. Този ден е началото на революция в математиката, а работата на Лобачевски е първата стъпка към теорията на относителността на Айнщайн. Днес "RG" събра пет от най-често срещаните погрешни схващания за теорията на Лобачевски, които съществуват сред хората, далеч от математическата наука

Мит първи. Геометрията на Лобачевски няма нищо общо с евклидовата.

Всъщност геометрията на Лобачевски не се различава много от евклидовата геометрия, с която сме свикнали. Факт е, че от петте постулата на Евклид Лобачевски остави първите четири без промяна. Тоест, той се съгласява с Евклид, че права линия може да бъде начертана между всеки две точки, че тя винаги може да бъде удължена до безкрайност, че окръжност с произволен радиус може да бъде начертана от всеки център и че всички прави ъгли са равни на всеки друго. Лобачевски не се съгласи само с петия постулат, най-съмнителния от негова гледна точка, на Евклид. Неговата формулировка звучи изключително сложно, но ако я преведем на език, разбираем за обикновения човек, се оказва, че според Евклид две неуспоредни линии определено ще се пресичат. Лобачевски успя да докаже неистинността на това съобщение.

Мит втори. В теорията на Лобачевски успоредните прави се пресичат

Това не е вярно. Всъщност петият постулат на Лобачевски звучи така: „В равнината през точка, която не лежи на дадена права, минава повече от една права, която не пресича дадената“. С други думи, за една права линия е възможно да се начертаят поне две прави през една точка, които няма да я пресичат. Тоест в този постулат на Лобачевски изобщо не се говори за успоредни прави! Говорим само за съществуването на няколко непресичащи се прави в една и съща равнина. Така предположението за пресичането на успоредни прави се ражда поради баналното непознаване на същността на теорията на великия руски математик.

Мит трети. Геометрията на Лобачевски е единствената неевклидова геометрия

Неевклидовите геометрии са цял пласт от теории в математиката, където основата е петият постулат, различен от евклидовия. Лобачевски, за разлика от Евклид например, описва хиперболично пространство. Има и друга теория, описваща сферичното пространство - това е геометрията на Риман. Тук се пресичат успоредните прави. Класически пример за това от училищната програма са меридианите на земното кълбо. Ако погледнете модела на земното кълбо, се оказва, че всички меридиани са успоредни. Междувременно си струва да поставите модел върху сферата, тъй като виждаме, че всички предишни паралелни меридиани се събират в две точки - на полюсите. Заедно теориите на Евклид, Лобачевски и Риман се наричат ​​"три големи геометрии".

Четвърти мит. Геометрията на Лобачевски не е приложима в реалния живот

Напротив, съвременната наука разбира, че евклидовата геометрия е само частен случай на геометрията на Лобачевски и че реалният свят се описва по-точно с формулите на руския учен. Най-силният тласък за по-нататъшното развитие на геометрията на Лобачевски беше теорията на относителността на Алберт Айнщайн, която показа, че самото пространство на нашата Вселена не е линейно, а е хиперболична сфера. Междувременно самият Лобачевски, въпреки факта, че е работил през целия си живот върху развитието на своята теория, го нарече "въображаема геометрия".

Мит пети. Лобачевски е първият, който създава неевклидова геометрия

Това не е съвсем вярно. Паралелно с него и независимо от него до подобни заключения стигат унгарският математик Янош Бояй и известният немски учен Карл Фридрих Гаус. Произведенията на Янош обаче не бяха забелязани от широката публика и Карл Гаус предпочете изобщо да не бъде публикуван. Затова именно нашият учен се смята за пионер в тази теория. Съществува обаче донякъде парадоксална гледна точка, че самият Евклид е първият, който изобретява неевклидовата геометрия. Факт е, че той самокритично смята петия си постулат за неочевиден, така че доказва повечето от своите теореми, без да прибягва до него.

геометрични теореми на Лобачевски

1. Основни понятия на геометрията на Лобачевски

В евклидовата геометрия, според петия постулат, на равнината през точка R,лежащ извън линията А "А,има само една права линия B"B,не се пресичат А „А.Направо Б"Б"наречен паралелен към А"А.Освен това е достатъчно да се изисква да има най-много една такава права, тъй като съществуването на непресичаща се права може да се докаже чрез последователно чертане на прави PQA"Aи PBPQ.В геометрията на Лобачевски аксиомата за паралелизма изисква това през точка Рпремина повече от една права линия, която не се пресича А „А.

Непресичащите се линии запълват частта от молива с връх R,лежащ вътре в чифт вертикални ъгли TPUи U"PT", разположени симетрично спрямо перпендикуляра P.Q.Правите, които образуват страните на вертикалните ъгли, разделят пресичащите се линии от непресичащите се и сами по себе си също не се пресичат. Тези гранични линии се наричат успоредници в точка P на права линия А „Асъответно в две посоки: Т "Тпаралелен А „Ав посоката А"А,а UU"паралелен А „Ав посоката A A".Други непресичащи се прави се наричат разминаващи се линии с А „А.

Ъгъл , 0< Рформи с перпендикуляр pQ, QPT=QPU"=,Наречен ъгъл на успоредност сегмент PQ=aи се обозначава с . При а=0ъгъл =/2; с увеличаване аъгълът намалява така, че за всеки даден, 0<а.Тази зависимост се нарича функция на Лобачевски :

P(a)=2arctg (),

където да се-- някаква константа, която дефинира сегмент с фиксирана стойност. Нарича се радиус на кривината на пространството на Лобачевски. Подобно на сферичната геометрия, има безкраен набор от пространства на Лобачевски, различни по големина да се.

Две различни прави линии в равнина образуват двойка от един от трите вида.

пресичащи се линии . Разстоянието от точките на една линия до друга линия се увеличава неограничено, когато точката се отдалечава от пресечната точка на линиите. Ако линиите не са перпендикулярни, тогава всяка се проектира ортогонално върху другата в отворен сегмент с краен размер.

Паралелни линии . В равнината през дадена точка има една права, успоредна на дадената права в посоката, дадена на последната. Успоредно в точка Рзапазва във всяка своя точка свойството да бъде успореден на една и съща права в една и съща посока. Паралелизмът е реципрочен (ако а||bв определена посока, тогава b||ав съответната посока) и преходност (ако а||bи с || bв една посока, тогава a||cв съответната посока). По посока на успоредността успоредните се приближават неограничено, в обратната посока се отдалечават неограничено (в смисъл на разстоянието от точката на движение на една права до друга права). Ортогоналната проекция на една права върху друга е отворена полуправа.

Различни линии . Те имат един общ перпендикуляр, чиято отсечка дава минималното разстояние. От двете страни на перпендикуляра линиите се разминават неограничено. Всяка линия се проектира върху друга в отворен сегмент с краен размер.

Три вида линии съответстват в равнината на три вида моливи от линии, всяка от които покрива цялата равнина: лъч от 1-ви вид е множеството от всички прави, минаващи през една точка ( центърлъч); лъч от 2-ри вид е множеството от всички прави, перпендикулярни на една права ( базалъч); лъч от 3-ти вид е множеството от всички прави, успоредни на една права в дадена посока, включително тази права.

Ортогоналните траектории на правите линии на тези лъчи образуват аналози на кръга на евклидовата равнина: кръгв правилния смисъл; равноотдалечени , или линия равен разстояния (ако не смятате основата), която е вдлъбната към основата; ограничителна линия , или хороцикъл, може да се разглежда като кръг с безкрайно отдалечен център. Граничните линии са еднакви. Те не са затворени и са вдлъбнати към паралелност. Две гранични линии, генерирани от един сноп, са концентрични (равни сегменти са изрязани на правите линии на снопа). Съотношението на дължините на концентричните дъги, затворени между две прави линии на лъча, намалява към успоредността като експоненциална функция на разстоянието хмежду дъги:

s" / s=e.

Всеки от аналозите на кръга може да се плъзга върху себе си, което поражда три вида еднопараметрични движения на равнината: въртене около собствения център; въртене около идеалния център (едната траектория е основата, останалите са равноотдалечени); въртене около безкрайно отдалечен център (всички траектории са гранични линии).

Завъртането на аналозите на кръг около правата линия на генериращия молив води до аналози на сфера: собствената сфера, повърхността на равни разстояния и хоросферата, или маргинален повърхности .

На сферата геометрията на големите кръгове е обичайната сферична геометрия; върху повърхността на равни разстояния - равноотдалечена геометрия, която е планиметрията на Лобачевски, но с по-голяма стойност да се;върху граничната повърхност, евклидовата геометрия на граничните линии.

Връзката между дължините на дъги и хорди на граничните линии и евклидовите тригонометрични съотношения на граничната повърхност ни позволяват да изведем тригонометрични съотношения на равнината, тоест тригонометрични формули за прави триъгълници.

2. Някои теореми от геометрията на Лобачевски

Теорема 1. Сборът от ъглите на всеки триъгълник е по-малък от 2d.

Да разгледаме първо правоъгълен триъгълник ABC (фиг. 2). Неговите страни a, b, cса изобразени съответно като отсечка от евклидовия перпендикуляр на правата и, дъги на евклидовия кръг с център Ми дъги на евклидовия кръг с център н. Ъгъл ОТ-- направо. Ъгъл НОравен на ъгъла между допирателните към окръжностите bи св точката НО, или, което е същото, ъгълът между радиусите NAи MAтези кръгове. накрая B = BNM.

Нека изградим сегмент BNкато диаметъра на евклидовия кръг q;тя има с обиколка седна обща точка AT, тъй като неговият диаметър е радиусът на окръжността с. Следователно точката НОлежи извън кръга, ограничен от кръга q,Следователно,

A = ЧОВЕК< MBN.

Следователно, поради равенството MBN+B = dние имаме:

А + Б< d; (1)

така че A+B+C< 2d, что и требовалось доказать.

Обърнете внимание, че с правилното хиперболично движение всеки правоъгълен триъгълник може да бъде подреден така, че един от краката му да лежи върху евклидовия перпендикуляр на правата и;следователно, методът, който използвахме, за да изведем неравенството (1) приложим за всеки правоъгълен триъгълник.

Ако е даден наклонен триъгълник, тогава го разделяме с една от височините на два правоъгълни триъгълника. Сборът от острите ъгли на тези правоъгълни триъгълници е равен на сбора от ъглите на дадения косоъгълен триъгълник. Следователно, като се вземе предвид неравенството (1) , заключаваме, че теоремата е валидна за всеки триъгълник.

Теорема 2 . Сборът от ъглите на четириъгълник е по-малък от 4d.

За да го докажем, е достатъчно да разделим четириъгълника с диагонал на два триъгълника.

Теорема 3 . Две разминаващи се прави имат един и само един общ перпендикуляр.

Нека една от тези разминаващи се прави линии бъде изобразена на картата като евклидов перпендикуляр Ркъм права линия ив точката М, другият е под формата на евклидов полукръг рсъсредоточен върху и, и Ри рнямат общи точки (фиг. 3). Такова подреждане на две различни хиперболични линии върху карта винаги може да се постигне с правилно хиперболично движение.

Да похарчим от Мевклидов тангенс MNда се ри опишете от центъра Мрадиус MNевклидов полукръг м. Това е ясно м--хиперболична линия, пресичаща и Ри рпод прав ъгъл. Следователно, мизобразява на картата търсения общ перпендикуляр на дадените разминаващи се прави.

Две различни прави не могат да имат два общи перпендикуляра, тъй като в този случай ще има четириъгълник с четири прави ъгъла, което противоречи на теорема 2.

. Теорема 4. Правоъгълната проекция на страна на остър ъгъл върху другата му страна е отсечка(а не полуправа, както е в геометрията на Евклид).

Валидността на теоремата е очевидна от фиг. 4, където сегментът ABима правоъгълна проекция на страната ABостър ъгъл ТИна негова страна КАТО.

На същата фигура дъгата DEЕвклидов кръг с център Ме перпендикуляр на хиперболичната линия AC. Този перпендикуляр не се пресича с наклонения AB.Следователно предположението, че перпендикулярна и наклонена права към една и съща права винаги се пресичат, противоречи на аксиомата на Лобачевски за паралелизма; това е еквивалентно на аксиомата на Евклид за паралелизма.

Теорема 5. Ако три ъгъла на триъгълник ABC са равни съответно на три ъгъла на триъгълник A, B, C, тогава тези триъгълници са еднакви.

Приемете обратното и оставете настрана, съответно, върху лъчите ABи ACсегменти AB \u003d A "B", AC \u003d A "C".Очевидно триъгълници. ABCи A "B" Cравни на двете страни и ъгъла между тях. Точка бне съвпада с AT, точка ° Сне съвпада с ОТ, тъй като във всеки един от тези случаи ще се осъществи равенството на тези триъгълници, което противоречи на предположението.

Обмислете следните възможности.

а) Точка B лежи между НОи AT, точка ОТ-- между НОи ОТ(фиг. 5); в тази и следващата фигура хиперболичните линии са условно изобразени като евклидови линии). Лесно е да се провери, че сборът от ъглите на четириъгълник SSNEе равно на 4г, което е невъзможно поради теорема 2.

6) Точка ATлежи между НОи AT, точка ОТ-- между НОи ОТ(фиг. 6). Означаваме с дточката на пресичане на сегментите слънцеи пр.н.езащото C=C"и C" \u003d C,тогава C=ОТ , което е невъзможно, тъй като ъгъл C е външен за триъгълника CCD.

Други възможни случаи се третират по подобен начин.

Теоремата е доказана, тъй като направеното предположение е довело до противоречие.

От теорема 5 следва, че в геометрията на Лобачевски няма триъгълник, подобен на дадения триъгълник, но не и равен на него.

Свикнали сме да мислим, че геометрията на наблюдавания свят е евклидова, т.е. то изпълнява законите на геометрията, която се изучава в училище. Всъщност това не е вярно. В тази статия ще разгледаме проявленията в реалността на геометрията на Лобачевски, която на пръв поглед е чисто абстрактна.

Геометрията на Лобачевски се различава от обикновената Евклидова по това, че в нея през точка, нележаща на дадена права, преминават поне две прави, които лежат с дадената права в една равнина и не я пресичат. Нарича се още хиперболична геометрия.

1. Евклидова геометрия - през бялата точка минава само една права, която не пресича жълтата линия
2. Геометрия на Риман - всякакви две прави се пресичат (няма успоредни прави)
3. Геометрия на Лобачевски - има безкрайно много прави линии, които не пресичат жълтата линия и минават през бялата точка

За да може читателят да си представи това, нека опишем накратко модела на Клайн. В този модел равнината на Лобачевски се реализира като вътрешността на окръжност с радиус едно, където точките на равнината са точките на тази окръжност, а линиите са хордите. Хордата е права линия, свързваща две точки от окръжност. Разстоянието между две точки е трудно да се определи, но не ни е необходимо. От фигурата по-горе става ясно, че през точката P има безкрайно много прави, които не пресичат правата a. В стандартната евклидова геометрия има само една права, която минава през точка P и не пресича правата a. Тази права е успоредна.

Сега да преминем към основното - практическите приложения на геометрията на Лобачевски.

Сателитните навигационни системи (GPS и GLONASS) се състоят от две части: орбитално съзвездие от 24-29 сателита, равномерно разположени около Земята, и контролен сегмент на Земята, който осигурява синхронизация на времето на сателитите и използване на единна координатна система. Сателитите са с много точни атомни часовници, а приемниците (GPS-навигатори) са с обикновени, кварцови часовници. Приемниците също имат информация за координатите на всички сателити във всеки един момент. Сателитите на кратки интервали предават сигнал, съдържащ данни за началния час на предаването. След получаване на сигнал от най-малко четири сателита, приемникът може да коригира часовника си и да изчисли разстоянията до тези спътници, използвайки формулата ((времето, когато сигналът е изпратен от сателита) - (часът, когато сигналът е получен от сателита)) x (скорост на светлината) = (разстояние до сателита). Изчислените разстояния също се коригират по формулите, вградени в приемника. Освен това приемникът намира координатите на пресечната точка на сферите с центрове в сателитите и радиуси, равни на изчислените разстояния до тях. Очевидно това ще бъдат координатите на приемника.

Читателят вероятно е наясно, че поради ефекта в специалната теория на относителността, поради високата скорост на спътника, времето в орбита е различно от времето на Земята. Но все още има подобен ефект в Общата теория на относителността, свързан именно с неевклидовата геометрия на пространство-времето. Отново няма да навлизаме в математически подробности, тъй като те са доста абстрактни. Но ако спрем да отчитаме тези ефекти, тогава в рамките на един ден на работа ще се натрупа грешка от порядъка на 10 км в показанията на навигационната система.

Геометричните формули на Лобачевски се използват и във физиката на високите енергии, а именно при изчисленията на ускорителите на заредени частици. Хиперболичните пространства (т.е. пространствата, в които действат законите на хиперболичната геометрия) се срещат и в самата природа. Нека дадем още примери:

Геометрията на Лобачевски може да се види в структурите на коралите, в организацията на клетъчните структури в растението, в архитектурата, в някои цветя и т.н. Между другото, ако си спомняте в миналия брой говорихме за шестоъгълниците в природата, така че в хиперболичната природа хептагоните са алтернатива, която също е широко разпространена.

Гласувах Благодаря!

Може да се интересувате от:

• 
  

Lv1. (Аксиома на паралелизма на Лобачевски). Във всяка равнина има права a 0 и точка A 0, която не принадлежи на тази права, така че през тази точка минават поне две прави, които не пресичат a 0 .

Наборът от точки, прави и равнини, които удовлетворяват аксиомите за членство, ред, конгруентност, непрекъснатост и аксиомата за паралелизма на Лобачевски, ще се нарича триизмерно пространство на Лобачевски и ще се означава с L 3 . Повечето от геометричните свойства на фигурите ще бъдат разгледани от нас в равнината на пространството L 3, т.е. на самолета на Лобачевски. Нека обърнем внимание на факта, че формалното логическо отрицание на аксиомата V 1 , аксиомата на паралелизма в евклидовата геометрия, има точно същата формулировка, която сме дали като аксиомата LV 1 . Има поне една точка и една права на равнината, за които твърдението на аксиомата за паралелизъм на евклидовата геометрия не е валидно. Нека докажем една теорема, от която следва, че твърдението на аксиомата за паралелизъм на Лобачевски е валидно за всяка точка и всяка права равнина на Лобачевски.

Теорема 13.1.Нека a е произволна права, A е точка, която не лежи на тази права. Тогава в равнината, определена от точката A и правата a, има поне две прави, минаващи през A и не пресичащи правата a.

Доказателство.Провеждаме доказателството по метода "от противно", като използваме теорема 11.1 (виж § 11). Нека има точка A и права a в пространството на Лобачевски, така че в равнината, определена от тази точка и правата a, единствената права, която не пресича a, минава през точката A. Нека спуснем и точките A, перпендикулярни на AB, върху правата a и в точката A възстановим перпендикуляра h към правата AB (фиг. 50). Както следва от теорема 4.2 (виж § 4), правите h и a не се пресичат. Правата h, по силата на предположението, е единствената права, която минава през A и не пресича a. Нека изберем произволна точка C на правата a. Нека отделим от лъча AC в полуравнината с границата AB, която не съдържа точка B, ъгъл CAM, равен на ACB. Тогава, както следва от същата теорема 4.2, правата AM не пресича a. От предположението ни следва, че съвпада с h. Следователно точката M принадлежи на правата h. Триъгълник ABC е правоъгълен триъгълник. Да се ​​изчисли сборът от ъглите на триъгълника ABC: . От теорема 11.1 следва, че условието на аксиомата за успоредност на евклидовата геометрия е изпълнено. Следователно в разглежданата равнина не може да съществуват такива точки A 0 и права a 0, че през тази точка да минават поне две прави, които не пресичат a 0 . Стигнахме до противоречие с условието на аксиомата за паралелизъм на Лобачевски. Теоремата е доказана.

Трябва да се отбележи, че по-нататък ще използваме твърдението именно на теорема 13.1, като по същество ще заменим с него твърдението на аксиомата за паралелизма на Лобачевски. Между другото, в много учебници именно това твърдение се приема като аксиома за паралелизма на геометрията на Лобачевски.

Лесно е да се получи следното следствие от теорема 13.1.

Следствие 13.2. В равнината на Лобачевски през точка, която не лежи на дадена права, има безкрайно много прави, които не пресичат дадената права.

Наистина, нека a е дадена права, а A е точка, която не й принадлежи, h 1 и h 2 са прави, минаващи през A и не пресичащи a (фиг. 51). Очевидно всички прави, които минават през точката A и лежат в един от ъглите, образувани от h 1 и h 2 (виж фиг. 51), не пресичат правата a.

В глава 2 ние доказахме редица твърдения, които са еквивалентни на аксиомата за паралелизъм в евклидовата геометрия. Техните логически отрицания характеризират свойствата на фигурите в равнината на Лобачевски.

Първо, на равнината на Лобачевски е валидно логическото отрицание на петия постулат на Евклид. В раздел 9 формулирахме самия постулат и доказахме теорема за неговата еквивалентност на аксиомата за паралелизъм в евклидовата геометрия (виж теорема 9.1). Неговото логическо отрицание е:

Твърдение 13.3.В равнината на Лобачевски има две непресичащи се прави, които при пресичане с трета права образуват едностранни вътрешни ъгли, чиято сума е по-малка от два прави ъгъла.

В § 12 формулирахме предложението на Посидоний: на равнината има поне три колинеарни точки, разположени в една полуравнина от дадената права и на равно разстояние от нея.Доказахме и теорема 12.6: предложението на Посидоний е еквивалентно на утвърждаването на аксиомата за паралелизъм в евклидовата геометрия.По този начин отрицанието на това твърдение действа в плоскостта на Лобачевски.

Твърдение 13.4. Множеството точки, равноотдалечени от правата на равнината на Лобачевски и разположени в една и съща полуравнина спрямо нея, от своя страна не лежат на една и съща права.

В равнината на Лобачевски набор от точки, еднакво отдалечени от права линия и принадлежащи към една и съща полуравнина спрямо тази права, образуват крива линия, така наречената равноотдалечена линия. Неговите свойства ще бъдат разгледани от нас по-късно.

Помислете сега за предложението на Legendre: Теорема 11.6, която доказахме (вижте § 11), твърди това От това следва, че на равнината на Лобачевски логическото отрицание на това твърдение е вярно.

Твърдение 13.5. От страната на всеки остър ъгъл има такава точка, че перпендикулярът към нея, издигнат в тази точка, не пресича втората страна на ъгъла.

Нека отбележим свойствата на триъгълниците и четириъгълниците в равнината на Лобачевски, които следват пряко от резултатите от раздели 9 и 11. На първо място, теорема 11.1. гласи че предположението за съществуването на триъгълник, чиято сума от ъгли съвпада със сумата от два прави ъгъла, е еквивалентно на аксиомата за успоредност на евклидовата равнина.От това и от първата теорема на Лежандър (виж теорема 10.1, § 10) следва следното твърдение

Твърдение 13.6. В равнината на Лобачевски сумата от ъглите на всеки триъгълник е по-малка от 2d.

От това пряко следва, че сборът от ъглите на всеки изпъкнал четириъгълник е по-малък от 4d, а сборът от ъглите на всеки изпъкнал n-ъгълник е по-малък от 2(n-1)d.

Тъй като в евклидовата равнина ъглите, съседни на горната основа на четириъгълника на Сакери, са равни на прави ъгли, което в съответствие с теорема 12.3 (вижте § 12) е еквивалентно на аксиомата за паралелност на евклидовата геометрия, можем да начертаем следното заключение.

Твърдение 13.7. Ъглите, прилежащи към горната основа на четириъгълника на Сакери, са остри.

Остава да разгледаме още две свойства на триъгълниците в равнината на Лобачевски. Първият от тях е свързан с предложението на Уолис: в равнината съществува поне една двойка триъгълници със съответно равни ъгли, но не и равни страни.В раздел 11 доказахме, че това предложение е еквивалентно на аксиомата за паралелизъм в евклидовата геометрия (виж теорема 11.5). Логическото отрицание на това твърдение ни води до следния извод: на равнината на Лобачевски няма триъгълници с равни ъгли, но не и равни страни. Следователно следното предложение е вярно.

Твърдение 13.8. (четвъртият критерий за равенството на триъгълниците в равнината на Лобачевски).Всеки два триъгълника на равнината на Лобачевски, имащи съответно еднакви ъгли, са равни един на друг.

Помислете сега за следващия въпрос. Може ли да се опише окръжност около всеки триъгълник в равнината на Лобачевски? Отговорът е даден от теорема 9.4 (вижте § 9). В съответствие с тази теорема, ако окръжност може да бъде описана около всеки триъгълник в равнината, тогава условието на аксиомата за паралелност на евклидовата геометрия е изпълнено в равнината. Следователно логическото отрицание на твърдението на тази теорема ни води до следното твърдение.

Твърдение 13.9. В равнината на Лобачевски има триъгълник, около който е невъзможно да се опише окръжност.

Лесно е да се конструира пример за такъв триъгълник. Избираме някаква права a и точка A, която не й принадлежи. Нека спуснем перпендикуляра h от точка A на правата a. По силата на аксиомата за успоредността на Лобачевски има права b, минаваща през A и неперпендикулярна на h, която не пресича a (фиг. 52). Както знаете, ако окръжност е описана около триъгълник, тогава нейният център лежи в точката на пресичане на перпендикулярните ъглополовящи на страните на триъгълника. Следователно, достатъчно е да дадем пример за такъв триъгълник, чиито ъглополовящи не се пресичат. Избираме точка M на правата h, както е показано на фигура 52. Показваме я симетрично по отношение на правите a и b, получаваме точки N и P. Тъй като правата b не е перпендикулярна на h, точката P прави не принадлежат на h. Следователно точките M, N и P съставляват върховете на триъгълника. Правите a и b служат по построение за негови ъглополовящи. Те, както бе споменато по-горе, не се пресичат. Триъгълникът MNP е търсеният.

Лесно е да се конструира пример за триъгълник в равнината на Лобачевски, около който може да се опише окръжност. За да направите това, достатъчно е да вземете две пресичащи се линии, да изберете точка, която не им принадлежи, и да я отразите спрямо тези линии. Направете сами подробната сграда.

Определение 14.1. Нека са дадени две насочени прави и . Те се наричат ​​паралелни, ако са изпълнени следните условия:

1. правите a и b не се пресичат;

2. за произволни точки A и B на правите a и b всеки вътрешен лъч h на ъгъла AVB 2 пресича правата a (фиг. 52).

Ще обозначаваме успоредни прави по същия начин, както е обичайно в училищния курс по геометрия: a || b. Обърнете внимание, че успоредните прави на евклидовата равнина отговарят на това определение.

Теорема 14.3. Нека на равнината на Лобачевски са дадени насочена права и точка B, която не й принадлежи. Тогава една насочена права минава през дадената точка, така че права a е успоредна на права b.

Доказателство.Нека спуснем перпендикуляра BA от точка B на правата a и от точка B ще възстановим перпендикуляра p на правата BA (фиг. 56 a). Правата p, както многократно беше отбелязано, не пресича дадената права a. Избираме произволна точка С върху нея, разделяме точките от отсечката AC на два класа и . Първият клас включва такива точки S от тази отсечка, за които лъчът BS пресича лъча AA 2 , а вторият клас включва такива точки T, за които лъчът BT не пресича лъча AA 2 . Нека покажем, че такова разделяне на класове произвежда Дедекиндово сечение на сегмента AC. Съгласно теорема 4.3 (вижте § 4) трябва да проверим, че:

2. и класове и съдържа точки, различни от A и C;

3. всяка точка от клас, различна от A, лежи между точка A и всяка точка от клас.

Първото условие е очевидно, всички точки на сегмента принадлежат към един или друг клас, докато самите класове, въз основа на тяхната дефиниция, нямат общи точки.

Второто условие също е лесно за проверка. Очевидно е, че и . Класът съдържа точки, различни от A, за да проверите това твърдение, е достатъчно да изберете която и да е точка от лъча AA 2 и да я свържете с точка B. Този лъч ще пресече сегмента BC в точка от първия клас. Класът съдържа и точки, различни от C, в противен случай ще стигнем до противоречие с аксиомата за паралелизъм на Лобачевски.

Нека докажем третото условие. Нека има точка S от първия клас, различна от A, и точка T от втория клас, така че точката T лежи между A и S (виж Фиг. 56 a). Тъй като , тогава лъчът BS пресича лъча AA 2 в някаква точка R. Да разгледаме лъча BT. Той пресича страната AS на триъгълника ASR в точка T. Според аксиомата на Паша този лъч трябва да пресича или страната AR, или страната SR на този триъгълник. Да предположим, че лъчът BT пресича страната SR в някаква точка O. Тогава две различни прави BT и BR минават през точките B и O, което противоречи на аксиомата на аксиоматиката на Хилберт. Така лъчът BT пресича страната AR, което означава, че точката T не принадлежи към класа K 2 . Полученото противоречие води до твърдението, че точката S се намира между A и T. Условието на теорема 4.3 е ​​проверено напълно.

В съответствие със заключението на теорема 4.3 относно раздела на Дедекинд за отсечката AC, съществува точка, за която всяка точка, лежаща между A и принадлежи на класа , и всяка точка, лежаща между и C, принадлежи на класа . Нека покажем, че насочената права е успоредна на правата . Всъщност остава да докажем, че не пресича правата a, тъй като поради избора на точки от клас K 1 всеки вътрешен лъч на ъгъла пресича . Да предположим, че правата пресича правата a в някаква точка H (фиг. 56 b). Избираме произволна точка P на лъча HA 2 и разглеждаме лъча BP. След това пресича отсечката M 0 C в точка Q (докажете това твърдение сами). Но вътрешните точки на сегмента M 0 C принадлежат към втория клас, лъчът BP не може да има общи точки с правата a. Следователно нашето предположение за пресичането на прави BM 0 и a е неправилно.

Лесно се проверява, че правата е единствената насочена права, минаваща през точка B и успоредна на . Наистина, нека друга насочена линия минава през точка B, която, както и, е успоредна на . В този случай ще приемем, че M 1 е точка от отсечката AC. Тогава, изхождайки от дефиницията на класа K 2 , . Следователно лъчът BM 0 е вътрешен лъч на ъгъла , следователно по определение 14.1 той пресича правата . Стигнахме до противоречие с доказаното по-горе твърдение. Теорема 14.3 е ​​напълно доказана.

Да разгледаме точка B и насочена права, която не я съдържа. В съответствие с доказаната теорема 14.3 през точка B минава насочена права, успоредна на a. Нека спуснем перпендикуляра BH от точка B на правата a (фиг. 57). Лесно е да се види това ъгъл HBB 2 - остър. Наистина, ако приемем, че този ъгъл е прав ъгъл, тогава от дефиниция 14.1 следва, че всяка права, минаваща през точка B, пресича правата a, което противоречи на теорема 13.1, т.е. аксиома LV 1 от паралелизма на Лобачевски (виж § 13). Лесно се вижда, че предположението, че този ъгъл е тъп, също води до противоречие сега с Определение 14.1 и Теорема 4.2 (вижте § 4), тъй като вътрешният лъч на ъгъла HBB 2, перпендикулярен на BH, не пресича лъча AA 2 . Следователно следното твърдение е вярно.

Теорема 14.4. Нека насочена права е успоредна на насочена права. Ако от точката B на правата пуснем перпендикуляра ВН на правата , то ъгълът HBB 2 е остър.

От тази теорема ясно следва следното следствие.

Последица.Ако има общ перпендикуляр на насочените прави и , то правата не е успоредна на правата .

Нека въведем понятието паралелизъм за ненасочени прави. Ще приемем, че две неориентирани прави са успоредни, ако е възможно да се изберат посоки върху тях така, че да отговарят на Определение 14.1.Както знаете, правата линия има две посоки. Следователно от теорема 14.3 следва, че през точката B, която не принадлежи на правата a, преминават две неориентирани прави, успоредни на дадената права. Очевидно те са симетрични спрямо перпендикуляра, пуснат от точка B на правата a. Тези две прави са същите гранични линии, които разделят молива от прави, минаващи през точка B и пресичащи a, от молива от прави, минаващи през B и не пресичащи правата a (фиг. 57).

Теорема 15.2. (Свойство на симетрия на успоредни прави на равнината на Лобачевски).Нека насочена права е успоредна на насочена права. Тогава насочената права е успоредна на правата.

Свойството на симетрия на концепцията за успоредни прави на равнината на Лобачевски ни позволява да не уточняваме реда на насочените успоредни прави, т.е. не уточнявайте кой ред е първият и кой вторият. Очевидно е, че свойството на симетрия на концепцията за успоредни прави също се извършва в евклидовата равнина. Това следва пряко от определението за успоредни прави в евклидовата геометрия. В евклидовата геометрия свойството транзитивност е валидно и за успоредни прави. Ако права a е успоредна на права b и права b е успоредна на права c. тогава правите a и c също са успоредни една на друга. Подобно свойство е валидно и за насочени прави на равнината на Лобачевски.

Теорема 15.3. (Свойство на транзитивност на успоредни прави на равнината на Лобачевски).Нека има три различни насочени линии , . Ако и , тогава .

Помислете за насочена права, успоредна на насочена права. Нека ги пресечем с права линия. Точките A и B, съответно, са точките на пресичане на правите , и , (фиг. 60). Следната теорема е вярна.

Теорема 15.4. Ъгълът е по-голям от ъгъла.

Теорема 15.5. Външен ъгъл на изроден триъгълник е по-голям от вътрешен ъгъл, който не е съседен на него.

Доказателството следва директно от теорема 15.4. Предайте го сами.

Да разгледаме произволен сегмент AB. През точка A прекарваме права a, перпендикулярна на AB, а през точка B, права b, успоредна на a (фиг. 63). Както следва от теорема 14.4 (виж § 14), правата b не е перпендикулярна на правата AB.

Определение 16.1. Острият ъгъл, образуван от правите AB и b, се нарича ъгъл на успоредност на отсечката AB.

Ясно е, че всеки сегмент съответства на определен ъгъл на успоредност. Следната теорема е вярна.

Теорема 16.2. Равните сегменти съответстват на равни ъгли на успоредност.

Доказателство.Нека са дадени две равни отсечки AB и A¢B¢. Нека начертаем насочени прави и през точки A и A¢, перпендикулярни съответно на AB и A¢B¢, и през точки B и B¢, насочени прави и съответно успоредни, и (фиг. 64). Тогава и съответно ъглите на успоредност на отсечките AB и A¢B¢. Нека се преструваме, че

Нека отделим ъгъл a 2 от лъча BA в полуравнината BAA 2, (виж фиг. 64). Поради неравенство (1) лъчът l е вътрешен лъч на ъгъл ABB 2 . Тъй като ½1 , то l пресича лъча AA 2 в някаква точка P. Нека нанесем върху лъча A¢A 2 ¢ от точката A¢ отсечката A¢P¢, равна на AP. Да разгледаме триъгълниците ABP и A¢B¢P¢. Те са правоъгълни, според условието на теоремата имат равни катети AB и A¢B¢, по конструкция втората двойка катети AR и A¢P¢ са равни. Така правоъгълният триъгълник ABP е равен на триъгълника A¢B¢P¢. Ето защо . От друга страна, лъчът B¢P¢ пресича лъча A¢A 2 ¢, а насочената права B 1 ¢B 2 ¢ е успоредна на правата A 1 ¢A 2 ¢. Следователно лъчът B¢P¢ е вътрешният лъч на ъгъл A¢B¢B 2 ¢, . Полученото противоречие опровергава предположението ни, неравенството (1) е невярно. По същия начин се доказва, че ъгълът не може да бъде по-малък от ъгъла . Теоремата е доказана.

Нека сега разгледаме как ъглите на успоредност на неравни сегменти са свързани един с друг.

Теорема 16.3. Нека отсечката AB е по-голяма от отсечката A¢B¢, а ъглите и съответно техните ъгли на успоредност. Тогава .

Доказателство.Доказателството на тази теорема следва директно от теорема 15.5 (вижте § 15) за външния ъгъл на изроден триъгълник. Помислете за сегмент AB. Нека начертаем през точка A насочена права, перпендикулярна на AB, и през точка B насочена права, успоредна (фиг. 65). Нека начертаем върху лъча AB отсечка AP, равна на A¢B¢. Тъй като , то P е вътрешна точка на сегмента AB. Нека начертаем насочена права C 1 C 2 през R, също успоредна. Ъгълът служи като ъгъл на успоредност на отсечката A¢B¢, а ъгълът служи като ъгъл на успоредност на отсечката AB. От друга страна, от теорема 15.2 за симетрията на концепцията за успоредни прави (виж § 15) следва, че правата C 1 C 2 е успоредна на правата . Следователно триъгълникът RVS 2 A 2 е изроден, - външен и - вътрешните му ъгли. Теорема 15.5 предполага истинността на доказваното твърдение.

Лесно е да се докаже обратното.

Теорема 16.4.Нека и са ъглите на успоредност на отсечките AB и A¢B¢. Тогава, ако , тогава AB > А¢В¢.

Доказателство.Да предположим обратното,. Тогава от теореми 16.2 и 16.3 следва, че , което противоречи на условието на теоремата.

И така доказахме, че всеки сегмент има свой собствен ъгъл на паралелност и по-голям сегмент съответства на по-малък ъгъл на паралелност. Помислете за твърдение, което доказва, че за всеки остър ъгъл има сегмент, за който този ъгъл е ъгъл на успоредност. Това ще установи еднозначно съответствие между сегменти и остри ъгли на равнината на Лобачевски.

Теорема 16.5. За всеки остър ъгъл има сегмент, за който този ъгъл е ъгъл на успоредност.

Доказателство.Нека е даден остър ъгъл ABC (фиг. 66). Ще приемем, че всички разгледани по-долу точки на лъчите BA и BC лежат между точките B и A и B и C. Наричаме допустим лъч, ако началото му принадлежи към страната на ъгъла BA, перпендикулярен е на правата BA и се намира в същата полуравнина спрямо правата BA като страната BC на дадения ъгъл.Нека се обърнем към предложението на Legendre: p Перпендикуляр, начертан към страната на остър ъгъл във всяка точка от тази страна, пресича втората страна на ъгъла.Доказахме теорема 11.6 (вижте § 11), която гласи това Предложението на Legendre е еквивалентно на аксиомата за паралелизъм на евклидовата геометрия.От това заключихме, че на равнината на Лобачевски логическото отрицание на това твърдение е вярно, а именно, от страната на всеки остър ъгъл има такава точка, че перпендикулярът към нея, издигнат в тази точка, не пресича втората страна на ъгъла(виж § 13). И така, има допустим лъч m с начало в точка M, който не пресича страната BC на дадения ъгъл (виж фиг. 66).

Нека разделим точките от отсечката BM на два класа. клас ще принадлежи на онези точки от този сегмент, за които допустимите лъчи с начало в тези точки пресичат страната BC на дадения ъгъл, и класът принадлежат онези точки от отсечката BC, за които допустимите лъчи с начало в тези точки не пресичат страната BC. Нека покажем, че такова разбиване на сегмента VM образува сечение на Дедекинд (виж теорема 4.3, § 4). За да направите това, трябва да проверите това

5. и класове и съдържа точки, различни от B и M;

6. всяка точка от клас, различна от B, лежи между точка B и всяка точка от клас.

Първото условие е очевидно изпълнено. Всяка точка от отсечката BM принадлежи или към клас K 1 или към клас K 2 . Освен това една точка, по силата на дефиницията на тези класове, не може да принадлежи на два класа едновременно. Очевидно можем да приемем, че , точката M принадлежи на K 2, тъй като допустимият лъч с начало в точка M не пресича BC. Класът K 1 съдържа поне една точка, различна от B. За да го построим, е достатъчно да изберем произволна точка P от страната BC и да пуснем перпендикуляра PQ от нея върху лъча BA. Ако приемем, че точката Q лежи между точките M и A, тогава точките P и Q лежат в различни полуравнини спрямо правата, съдържаща лъча m (виж фиг. 66). Следователно отсечката PQ пресича лъча m в някаква точка R. Получаваме, че от точката R към правата BA са пуснати два перпендикуляра, което противоречи на теорема 4.2 (виж § 4). Така точката Q принадлежи на сегмента BM, класът K 1 съдържа точки, различни от B. Лесно е да се обясни защо има сегмент на лъча BA, който съдържа поне една точка, принадлежаща на класа K 2 и различна от своя край. Действително, ако класът K 2 на разглежданата отсечка BM съдържа една точка M, тогава избираме произволна точка M¢ между M и A. Да разгледаме допустим лъч m¢ с начало в точката M¢. Той не пресича лъча m, в противен случай от точката на правата AB са пуснати два перпендикуляра, така че m¢ не пресича лъча BC. Отсечката ВМ¢ е желаната и всички по-нататъшни разсъждения трябва да се извършат за отсечката ВМ¢.

Нека проверим валидността на третото условие от теорема 4.3. Да предположим, че има такива точки и че точката P се намира между точката U и M (фиг. 67). Нека начертаем допустимите лъчи u и p с начало в точки U и P. Тъй като тогава лъчът p пресича страната BC на дадения ъгъл в някаква точка Q. Правата, съдържаща лъча u, пресича страната BP на триъгълника BPQ, следователно , според аксиомата на Хилберт (аксиома на Паш, вижте § 3) тя пресича или страната BQ, или страната PQ на този триъгълник. Но, следователно, лъчът u не пресича страната BQ, следователно лъчите p и u се пресичат в някаква точка R. Отново стигаме до противоречие, тъй като сме построили точка, от която два перпендикуляра са спуснати към правата AB. Условието на теорема 4.3 е ​​напълно изпълнено.

М. От това следва, че . Получихме противоречие, тъй като построихме точка от клас K 1, разположена между точките и M. Остава да покажем, че всеки вътрешен лъч на ъгъла пресича лъча BC. Да разгледаме произволен вътрешен лъч h на този ъгъл. Избираме върху него произволна точка K, която принадлежи на ъгъла , и от нея пускаме перпендикуляр на правата BA (фиг. 69). Основата S на този перпендикуляр очевидно принадлежи на отсечката VM 0 , т.е. клас К 1 (докажете сами този факт). От това следва, че перпендикулярът KS пресича страната BC на дадения ъгъл в някаква точка T (виж фиг. 69). Лъчът h пресича страната ST на триъгълника BST в точка K, според аксиомата (аксиомата на Паша) трябва да пресича или страната BS, или страната BT на този триъгълник. Ясно е, че h не пресича отсечката BS, иначе две прави, h и BA, минават през две точки и тази пресечна точка. Така h пресича страната BT, т.е. лъч BA. Теоремата е напълно доказана.

И така, установихме, че всеки сегмент в геометрията на Лобачевски може да бъде свързан с остър ъгъл - неговия ъгъл на успоредност. Ще приемем, че сме въвели мярката на ъглите и сегментите, отбелязваме, че мярката на сегментите ще бъде въведена от нас по-късно, в § . Въвеждаме следното определение.

Определение 16.6. Ако x е дължината на сегмента, а j е ъгълът, тогава зависимостта j = P(x), която свързва дължината на сегмента със стойността на неговия ъгъл на паралелност, се нарича функция на Лобачевски.

Ясно е, че. Използвайки доказаните по-горе свойства на ъгъла на успоредност на сегмент (виж теореми 16.3 и 16.4), можем да заключим следното: функцията на Лобачевски е монотонно намаляваща.Николай Иванович Лобачевски получи следната забележителна формула:

,

където k е някакво положително число. Той е от голямо значение в геометрията на пространството на Лобачевски и се нарича неговия радиус на кривина. Две пространства на Лобачевски с еднакъв радиус на кривина са изометрични. От горната формула, както е лесно да се види, също следва, че j = P(x) е монотонно намаляваща непрекъсната функция, чиито стойности принадлежат на интервала.

На евклидовата равнина фиксираме окръжност w с център в някаква точка O и радиус, равен на единица, който ще наричаме абсолютен. Множеството от всички точки на окръжността, ограничена от окръжността w, ще бъде обозначено с W¢, а множеството от всички вътрешни точки на тази окръжност с W. Така, . Точките от множеството W ще се наричат L-точкиМножеството W на всички L-точки е L-равнина, върху който ще изградим модела на Кейли-Клайн на самолета на Лобачевски. Ще се обадим L-правпроизволни хорди на окръжността w. Ще приемем, че L-точка X принадлежи на L-линията x тогава и само ако точката X, като точка от евклидовата равнина, принадлежи на хордата x на абсолюта.

L-равнина, аксиомата на Лобачевски за паралелизма е валидна:през L-точка B, която не лежи на L-линията a, има поне две L-линии b и c, които нямат общи точки с L-линията a. Фигура 94 илюстрира това твърдение. Също така е лесно да се разбере какво представляват успоредно насочените прави линии на L-равнината. Помислете за Фигура 95. L-линията b минава през точката на пресичане на L-линията a с абсолюта. Следователно насочената L-права A 1 A 2 е успоредна на насочената L-права B 1 A 2 . Наистина, тези прави не се пресичат и ако изберем произволни L-точки A и B, принадлежащи съответно на тези прави, тогава всеки вътрешен лъч h под ъгъл A 2 BA пресича правата a. Така две L-линии са успоредни, ако имат обща пресечна точка с абсолюта. Ясно е, че свойството за симетрия и транзитивност на концепцията за успоредност на L-линии е изпълнено. В параграф 15 доказахме свойството на симетрия, докато свойството на транзитивност е илюстрирано на Фигура 95. Правата A 1 A 2 е успоредна на правата B 1 A 2, те пресичат абсолюта в точка A 2. Правите B 1 A 2 и C 1 A 2 също са успоредни, те също пресичат абсолюта в една и съща точка A 2 . Следователно правите A 1 A 2 и C 1 A 2 са успоредни една на друга.

По този начин основните понятия, дефинирани по-горе, удовлетворяват изискванията на аксиомите I 1 -I 3 , II, III, IV на аксиоматичните групи на Хилберт и аксиомата на паралелизма на Лобачевски, следователно те са модел на равнината на Лобачевски. Ние доказахме смислената последователност на планиметрията на Лобачевски. Ние формулираме това твърдение като следната теорема.

Теорема 1. Геометрията на Лобачевски не е противоречива по съдържание.

Ние изградихме модел на самолета на Лобачевски, но можете да се запознаете с конструкцията на пространствен модел, подобен на този, разгледан на самолета в ръководството.

Най-важният извод следва от теорема 1. Аксиомата за паралелизма не е следствие от аксиоми I–IV от аксиоматиката на Хилберт. Тъй като петият постулат на Евклид е еквивалентен на аксиомата за паралелизъм на евклидовата геометрия, този постулат също не зависи от останалите аксиоми на Хилберт.