Първото условие за равновесие на твърдо тяло. Статика

Равновесие на механична системае състояние, при което всички точки на механична система са в покой по отношение на разглежданата отправна система. Ако отправната система е инерциална, се нарича равновесие абсолютен, ако е неинерционен - роднина.

За да се намерят условията на равновесие за абсолютно твърдо тяло, е необходимо мислено да се раздели на голям брой достатъчно малки елементи, всеки от които може да бъде представен от материална точка. Всички тези елементи взаимодействат помежду си - тези сили на взаимодействие се наричат вътрешни. Освен това външни сили могат да действат върху редица точки на тялото.

Съгласно втория закон на Нютон, за да бъде ускорението на точка нула (и ускорението на точка в покой да бъде нула), геометричната сума на силите, действащи върху тази точка, трябва да е нула. Ако тялото е в покой, то всички негови точки (елементи) също са в покой. Следователно за всяка точка от тялото можем да напишем:

където е геометричната сума на всички външни и вътрешни сили, действащи върху азелемент на тялото.

Уравнението означава, че за равновесието на едно тяло е необходимо и достатъчно геометричната сума на всички сили, действащи върху всеки елемент от това тяло, да е равна на нула.

От него лесно се получава първото условие за равновесието на едно тяло (система от тела). За да направите това, достатъчно е да сумирате уравнението за всички елементи на тялото:

.

Втората сума е равна на нула според третия закон на Нютон: векторната сума на всички вътрешни сили на системата е равна на нула, тъй като всяка вътрешна сила съответства на сила, равна по абсолютна стойност и противоположна по посока.

Следователно,

.

Първото условие за равновесие на твърдо тяло(системи на тялото)е равенство на нула на геометричната сума на всички външни сили, приложени към тялото.

Това условие е необходимо, но не достатъчно. Лесно е да проверите това, като си спомните въртеливото действие на двойка сили, чиято геометрична сума също е равна на нула.

Второто условие за равновесие на твърдо тялое равенството на нула на сумата от моментите на всички външни сили, действащи върху тялото, спрямо всяка ос.

По този начин условията на равновесие за твърдо тяло в случай на произволен брой външни сили изглеждат така:

.

Статиката е дял от механиката, който изучава баланса на телата.Статиката ви позволява да определите условията за равновесие на телата и отговаря на някои въпроси, свързани с движението на телата, например дава отговор в каква посока се извършва движението, ако балансът е нарушен. Струва си да се огледате и ще забележите, че повечето тела са в равновесие – или се движат с постоянна скорост, или са в покой. Това заключение може да се направи от законите на Нютон.

Пример е самият човек, картина, окачена на стената, кранове, различни сгради: мостове, арки, кули, сгради. Телата около нас са изложени на някаква сила. Върху телата действат различен брой сили, но ако намерим резултантната сила, за тяло в равновесие, тя ще бъде равна на нула.
Разграничаване:

• статично равновесие - тялото е в покой;
• динамично равновесие - тялото се движи с постоянна скорост.

статичен баланс.Ако върху тялото действат сили F1, F2, F3 и т.н., тогава основното изискване за съществуването на равновесно състояние е (равновесие). Това е векторно уравнение в 3D пространство и представлява три отделни уравнения, по едно за всяка посока в пространството. .

Проекциите на всички сили, приложени към тялото във всяка посока, трябва да бъдат компенсирани, т.е. алгебричната сума на проекциите на всички сили във всяка посока трябва да бъде равна на 0.

Когато намирате резултантната сила, можете да прехвърлите всички сили и да поставите точката на тяхното прилагане в центъра на масата. Центърът на масата е точка, която се въвежда за характеризиране на движението на тяло или система от частици като цяло, характеризира разпределението на масите в тялото.

На практика много често се сблъскваме със случаи на транслационно и въртеливо движение едновременно: варел, който се търкаля по наклонена равнина, танцуваща двойка. При такова движение едно условие за равновесие не е достатъчно.

Необходимото условие за равновесие в този случай ще бъде:

На практика и в живота играе важна роля стабилност на тялотохарактеризиращ баланса.

Има видове баланс:

• Стабилен баланс;
• Нестабилно равновесие;
• Безразличен баланс.

устойчив баланс- това е равновесие, когато при малко отклонение от равновесното положение възниква сила, която го връща в състояние на равновесие (махало на спрял часовник, тенис топка, търкаляна в дупка, роли или барабан, лен върху въже са в състояние на стабилно равновесие).

Нестабилно равновесие- това е състояние, когато тялото, след като бъде извадено от равновесното положение, се отклонява още повече от равновесното положение поради възникващата сила (тенис топка върху изпъкнала повърхност).

Безразличен баланс- оставено на себе си, тялото не променя позицията си, след като е извадено от състоянието на равновесие (топка за тенис, лежаща на масата, картина на стената, ножици, линийка, окачена на карамфил, са в състояние на безразличие равновесие). Оста на въртене и центърът на тежестта са еднакви.

За две тела тялото ще бъде по-стабилно, което има по-голям отпечатък.

Едно тяло е в покой (или се движи равномерно и праволинейно), ако векторната сума на всички действащи върху него сили е нула. Твърди се, че силите се балансират взаимно. Когато имаме работа с тяло с определена геометрична форма, когато изчисляваме резултантната сила, всички сили могат да бъдат приложени към центъра на масата на тялото.

Условието за равновесие на телата

За да бъде в равновесие тяло, което не се върти, е необходимо резултантната на всички действащи върху него сили да е равна на нула.

F → = F 1 → + F 2 → + . . + F n → = 0 .

Фигурата по-горе показва равновесието на твърдо тяло. Блокът е в състояние на равновесие под действието на три сили, действащи върху него. Линиите на действие на силите F 1 → и F 2 → се пресичат в точка O. Точката на приложение на гравитацията е центърът на масата на тялото C. Тези точки лежат на една права линия и при изчисляване на резултантната сила F 1 → , F 2 → и m g → се редуцират до точка C .

Условието резултантната на всички сили да е равна на нула не е достатъчно, ако тялото може да се върти около някаква ос.

Рамото на силата d е дължината на перпендикуляра, прекаран от линията на действие на силата до точката на нейното приложение. Моментът на сила M е произведението на рамото на силата и нейния модул.

Моментът на сила се стреми да завърти тялото около оста си. Тези моменти, които въртят тялото обратно на часовниковата стрелка, се считат за положителни. Единицата за измерване на момента на силата в международната система SI е 1 нютон метър.

Определение. моментно правило

Ако алгебричната сума на всички моменти, приложени към тялото спрямо фиксираната ос на въртене, е равна на нула, тогава тялото е в равновесие.

M1 + M2 + . . + M n = 0

важно!

В общия случай за равновесието на телата трябва да са изпълнени две условия: резултантната сила да е равна на нула и да се спазва правилото на моментите.

В механиката има различни видове равновесие. По този начин се прави разлика между стабилно и нестабилно, както и безразлично равновесие.

Типичен пример за безразлично равновесие е търкалящо се колело (или топка), което, ако бъде спряно в която и да е точка, ще бъде в състояние на равновесие.

Стабилното равновесие е такова равновесие на тялото, когато с неговите малки отклонения възникват сили или моменти на сили, които се стремят да върнат тялото в равновесно състояние.

Нестабилно равновесие - състояние на равновесие, с малко отклонение, от което силите и моментите на силите се стремят да изведат тялото още повече от равновесие.

На фигурата по-горе позицията на топката е (1) - безразлично равновесие, (2) - нестабилно равновесие, (3) - стабилно равновесие.

Тяло с фиксирана ос на въртене може да бъде във всяко от описаните положения на равновесие. Ако оста на въртене минава през центъра на масата, има безразлично равновесие. При стабилно и нестабилно равновесие центърът на масата се намира на вертикална линия, която минава през оста на въртене. Когато центърът на масата е под оста на въртене, равновесието е стабилно. В противен случай, обратното.

Частен случай на равновесие е равновесието на тяло върху опора. В този случай еластичната сила се разпределя върху цялата основа на тялото и не преминава през една точка. Тялото е в покой в ​​равновесие, когато вертикална линия, начертана през центъра на масата, пресича областта на опората. В противен случай, ако линията от центъра на масата не попада в контура, образуван от линиите, свързващи опорните точки, тялото се преобръща.

Пример за равновесие на тяло върху опора е известната Наклонената кула в Пиза. Според легендата Галилео Галилей изпускал топки от него, когато провеждал своите експерименти за изучаване на свободното падане на тела.

Линия, прекарана от центъра на масата на кулата, пресича основата на приблизително 2,3 m от нейния център.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Статичното изчисляване на инженерните конструкции в много случаи се свежда до разглеждане на условията на равновесие на конструкция от система от тела, свързани с някакъв вид връзки. Ще се наричат ​​връзките, свързващи частите на тази конструкция вътрешниЗа разлика от външенвръзки, които закрепват конструкцията с тела, които не са включени в нея (например с опори).

Ако след премахване на външните връзки (опори) конструкцията остане твърда, тогава проблемите на статиката за нея се решават като за абсолютно твърдо тяло. Възможно е обаче да има такива инженерни структури, които след изхвърляне на външните връзки не остават твърди. Пример за такъв дизайн е арка с три панти. Ако опорите A и B се изхвърлят, тогава арката няма да бъде твърда: нейните части могат да се въртят около пантата C.

Въз основа на принципа на втвърдяването, системата от сили, действащи върху такава конструкция, трябва при равновесие да удовлетворява условията на равновесие на твърдо тяло. Но тези условия, както беше изтъкнато, макар и необходими, няма да бъдат достатъчни; следователно е невъзможно да се определят всички неизвестни количества от тях. За да се реши проблемът, е необходимо допълнително да се вземе предвид балансът на една или повече части от конструкцията.

Например, съставяйки условията на равновесие за силите, действащи върху арка с три шарнири, получаваме три уравнения с четири неизвестни X A, Y A, X B, Y B . След като разгледахме допълнително условията на равновесие за лявата (или дясната) половина от него, получаваме още три уравнения, съдържащи две нови неизвестни X C, Y C, на фиг. 61 не е показано. Решавайки получената система от шест уравнения, намираме всичките шест неизвестни.

14. Частни случаи на намаляване на пространствената система от сили

Ако, когато системата от сили се сведе до динамичен винт, главният момент на динамото се оказа равен на нула, а главният вектор е различен от нула, тогава това означава, че системата от сили се свежда до резултатната , а централната ос е линията на действие на тази резултатна. Нека разберем при какви условия, свързани с главния вектор Fp и главния момент M 0 , това може да бъде. Тъй като основният момент на динамото M * е равен на компонента на главния момент M 0, насочен по главния вектор, тогава разглежданият случай M * \u003d O означава, че главният момент M 0 е перпендикулярен на главния вектор, т.е. / 2 \u003d Fo * M 0 \u003d 0. Това директно означава, че ако главният вектор F 0 не е равен на нула, а вторият инвариант е равен на нула, Fo≠O, / 2 = F 0 *M 0 =0, (7.9) тогава разглежданата системата се свежда до резултатна.

По-специално, ако за всеки център на редукция F 0 ≠0 и M 0 = 0, тогава това означава, че системата от сили се свежда до резултата, преминаващ през този център на редукция; в този случай ще бъде изпълнено и условието (7.9) Нека обобщим представената в глава V теорема за момента на резултантната (теорема на Вариньон) за случая на пространствена система от сили. Ако пространствената система. сили се свежда до резултатната, тогава моментът на резултатната спрямо произволна точка е равен на геометричната сума от моментите на всички сили спрямо същата точка.П
нека системата от сили има резултатна R и точка Олежи на линията на действие на тази резултатна. Ако доведем дадената система от сили до тази точка, тогава получаваме, че главният момент е равен на нула.
Нека вземем друг референтен център O1; (7.10)C
от друга страна, на базата на формула (4.14) имаме Mo1=Mo+Mo1(Fo), (7.11), тъй като М 0 = 0. Сравнявайки изразите (7.10) и (7.11) и като вземем предвид, че в този случай F 0 = R, получаваме (7.12).

Така теоремата е доказана.

Нека при произволен избор на центъра на редукция Fo=O, M ≠0. Тъй като главният вектор не зависи от центъра на редукция, той е равен на нула за всеки друг избор на центъра на редукция. Следователно основният момент също не се променя с промяна в центъра на редукция и следователно в този случай системата от сили се свежда до двойка сили с момент, равен на M0.

Нека сега направим таблица на всички възможни случаи на намаляване на пространствената система от сили:

Ако всички сили са в една и съща равнина, например в равнината Охуслед това техните проекции върху оста Жи моменти за осите хи прище бъде равно на нула. Следователно, Fz=0; Mox=0, Moy=0. Въвеждайки тези стойности във формула (7.5), откриваме, че вторият инвариант на равнинната силова система е равен на нула.Получаваме същия резултат за пространствената система от успоредни сили. Наистина, нека всички сили са успоредни на оста z. След това техните проекции върху осите хи прии моментите около оста z ще бъдат равни на 0. Fx=0, Fy=0, Moz=0

Въз основа на доказаното може да се твърди, че плоска система от сили и система от успоредни сили не се свеждат до динамичен винт.

11. Равновесие на тялото при наличие на триене при плъзганеАко две тела / и // (фиг. 6.1) взаимодействат едно с друго, докосвайки се в точка И,тогава винаги реакцията R A, действаща например от страната на тялото // и приложена към тялото /, може да се разложи на две компоненти: N.4, насочена по общата нормала към повърхността на контактуващите тела при точка L и T 4, лежаща в допирателната равнина. Извиква се компонент N.4 нормален отговор,сила T l се нарича сила на триене при плъзгане -предотвратява „плъзгането на тялото / по тялото //. В съответствие с аксиомата 4 (3 закон на Нютон) върху тялото // от страната на тялото / действа еднаква по големина и противоположно насочена сила на реакция. Неговата компонента, перпендикулярна на допирателната равнина, се нарича сила на нормалното налягане.Както бе споменато по-горе, силата на триене т И = О, ако свързващите повърхности са идеално гладки. При реални условия повърхностите са грапави и в много случаи силата на триене не може да бъде пренебрегната. 6.2, а.Към тялото 5, разположено върху неподвижна плоча D, е прикрепена резба, хвърлена върху блока С, чийто свободен край е снабден с опорна платформа И.Ако тампон Ипостепенно натоварване, тогава с увеличаване на общото му тегло напрежението на нишката ще се увеличи С, който се стреми да премести тялото надясно. Въпреки това, докато общото натоварване не е твърде голямо, силата на триене T ще задържи тялото ATв покой. На фиг. 6.2, bизобразен действащ върху тялото ATсили, а P е силата на гравитацията, а N е нормалната реакция на плочата д. Ако товарът е недостатъчен, за да счупи останалите, са валидни следните равновесни уравнения: н- П = 0, (6.1) S-T = 0. (6.2) От тук следва, че н = Пи T = S. Така, докато тялото е в покой, силата на триене остава равна на силата на опън на нишката S. Означаваме с Tmax сила на триене в критичния момент на процеса на натоварване, когато тялото ATгуби равновесие и започва да се плъзга по плочата д. Следователно, ако тялото е в равновесие, тогава T≤Tmax. Максимална сила на триене т макс зависи от свойствата на материалите, от които са направени телата, тяхното състояние (например от естеството на повърхностната обработка), както и от големината на нормалното налягане Н.Както показва опитът, максималната сила на триене е приблизително пропорционална на нормалното налягане, т.е. д.има равенство Tmax= fN. (6.4) Тази връзка се нарича Закон на Амонтон-Кулон.Безразмерният коефициент / се нарича коефициент на триене при плъзгане.Както следва от опита, то стойността в широк диапазон не зависи от площта на контактните повърхности,но зависи от материала и степента на грапавост на контактуващите повърхности. Стойностите на коефициентите на триене се установяват емпирично и могат да бъдат намерени в референтни таблици. Неравенството" (6.3) вече може да се запише като T≤fN (6.5) Случаят на строго равенство в (6.5) съответства на максималната стойност на силата на триене. Това означава, че силата на триене може да се изчисли по формулата т = fN само в случаите, когато е известно предварително, че има критичен случай. Във всички останали случаи силата на триене трябва да се определи от уравненията за равновесие.Разгледайте тяло, разположено върху грапава повърхност. Ще приемем, че в резултат на действието на активни сили и сили на реакция тялото се намира в пределно равновесие. На фиг. 6.6, а показана е ограничаващата реакция R и нейните компоненти N и T max (в позицията, показана на тази фигура, активните сили се стремят да преместят тялото надясно, максималната сила на триене T max е насочена наляво). Ъгъл f между гранична реакцияР а нормалата към повърхността се нарича ъгъл на триене.Нека намерим този ъгъл. От фиг. 6.6, но имаме tgφ \u003d Tmax / N или, използвайки израза (6.4), tgφ \u003d f (6-7)

дадени са и двете количества).