Каква е формулата за определяне на работата, извършена от гравитацията? Работата на гравитацията

Нишка \u003d mg (h n - h k) (14,19)

където h n и h k са началната и крайната височина (фиг. 14.7) на материална точка с маса m, g е модулът на ускорението на свободното падане.

Работата на гравитацията Нишка се определя от началното и крайното положение на материалната точка и не зависи от траекторията между тях.

Тя може да бъде положителна, отрицателна или нула:

а) нишка > 0 - по време на спускане на материална точка,

б) Тежка< 0 - при подъеме материальной точки,

в) A str = 0 - при условие, че височината не се променя, или при затворена траектория на материална точка.

Работата на силата на триене при постоянна скорост b.w. ( v = конст) и сили на триене ( Е tr = конст) на интервала от време t:

A tr = ( Е tr, v)t, (14.20)

Работата на силата на триене може да бъде положителна, отрицателна или нула. Например:

а
) работата на силата на триене, действаща върху долната лента от страната на горната лента (фиг. 14.8), A tr.2,1\u003e 0, тъй като ъгълът между силата, действаща върху долната лента от страната на горната лента Е tr.2.1 и скорост v 2 на долната лента (спрямо земната повърхност) е равна на нула;

б) A tr.1,2< 0 - угол между силой трения Е tr.1,2 и скорост v 1 на горната лента е равна на 180 (виж фиг. 14.8);

в) A tr \u003d 0 - например лентата е върху въртящ се хоризонтален диск (по отношение на диска лентата е неподвижна).

Работата на силата на триене зависи от траекторията между началното и крайното положение на материалната точка.

§15. механична енергия

Кинетична енергия на материална точка K - SFV, равна на половината от произведението на масата на b.w. на квадрат на модула на неговата скорост:

(15.1)

Кинетичната енергия, дължаща се на движението на тялото, зависи от референтната система и е неотрицателна величина:

Единица за кинетична енергия-джаул: [K] = J.

Теорема за кинетична енергия - нарастване на кинетичната енергия b.w. е равно на работата A p на резултантната сила:

K = A p. (15.3)

Работата на резултантната сила може да се намери като сбор от работите A i на всички сили Е i (i = 1,2,…n), приложено към черното тегло:

(15.4)

Модул на скоростта на материална точка: при A p > 0 - нараства; на A p< 0 - уменьшается; при A р = 0 - не изменяется.

Кинетична енергия на система от материални точки K c е равно на сумата от кинетичните енергии K i на всички н b.w., принадлежащи към тази система:

(15.5)

където m i и v i са модулът на масата и скоростта на i-тия m.t. тази система.

Прирастът на кинетичната енергия на системата b.t.K с е равно на сбора от работите А рi на всички нрезултантни сили, приложени към i-тата материална точка на системата:

(15.6)

Силово поле- област от пространството, във всяка точка от която върху тялото действат сили.

Стационарно силово поле- поле, чиито сили не се променят във времето.

Еднородно поле на силите- поле, чиито сили са еднакви във всичките му точки.

Централно силово поле- поле, чиито посоки на действие на всички сили преминават през една точка, наречена център на полето, а модулът на силите зависи само от разстоянието до този център.

Неконсервативни сили (nx.sl)- сили, чиято работа зависи от траекторията между началното и крайното положение на тялото .

Пример за неконсервативни сили са силите на триене. Работата на силите на триене по затворена траектория в общ случайне е равно на нула.

Консервативни сили (ks.sl)- сили, чиято работа се определя от началните и крайните положения на м.т. и не зависи от траекторията между тях. При затворена траектория работата на консервативните сили е нула. Полето на консервативните сили се нарича потенциално.

Пример за консервативни сили са гравитацията и еластичността.

Потенциална енергия P - SPV, което е функция от взаимното разположение на частите на системата (тялото).

Единица за потенциална енергия-джаул: [P] = J.

Теорема за потенциалната енергия

Загуба на потенциална енергия на система от материални точкие равно на работата на консервативните сили:

–P s = P n – P c = A ks.sl (15.7 )

Потенциалната енергия се определя до постоянна стойност и може да бъде положителна, отрицателна или равна на нула.

Потенциална енергия на материална точка Пв някакъв момент силово поле- SPV, равно на работата на консервативните сили при преместване на б.в. от дадена точка на полето до точка, където потенциалната енергия се приема за нула:

P \u003d A ks.sl. (15.8)

Потенциална енергия на еластично деформирана пружина

(15.9)

Ж de x - преместване на свободния край на пружината; k е твърдостта на пружината, C е произволна константа (избрана от условието за удобство при решаване на задачата).

P(x) графики за различни константи: a) C > 0, b) C = 0, c) C< 0  параболы (рис.15.1).

При условие P (0) = 0, константата C = 0 и

(15.10)

Работата на гравитацията - раздел Философия, Теоретична механикакратък курс от бележки за лекции по теоретична механика Когато изчисляваме работата на силата на гравитацията, ще приемем, че ние ...

Нека насочим оста вертикално нагоре. Точка с маса се движи по определена траектория от позиция в позиция (фиг.6.2). Проекциите на гравитацията върху координатните оси са: където е ускорението на свободното падане.

Нека изчислим работата на гравитацията. Използвайки формула (6.3), получаваме:

Както можете да видите, гравитацията е потенциална сила. Работата му не зависи от траекторията на точката, а се определя от разликата във височината между началното и крайното положение на точката, равна на намаляването на потенциалната енергия на материалното тяло.

По този начин,

(6.13)

Работата, извършена от гравитацията, е положителна, ако точката губи височина (спуска се) и отрицателна, ако точката набира височина.

Край на работата -

Тази тема принадлежи на:

Теоретична механика кратък курс от бележки за лекции по теоретична механика

федерален държавен бюджет образователна институцияпо-висок професионално образование.. Московски държавен строителен университет ..

Ако се нуждаеш допълнителен материалпо тази тема или не сте намерили това, което търсите, препоръчваме да използвате търсенето в нашата база данни с произведения:

Какво ще правим с получения материал:

Ако този материал се оказа полезен за вас, можете да го запазите на страницата си в социалните мрежи:

туит

Всички теми в този раздел:

Основни закони на механиката
Теоретичната механика е една от така наречените аксиоматични науки. Тя се основава на система от изходни положения - аксиоми, приети без доказателство, но проверени не само чрез пряко

Аксиома 3
Две материални точки взаимодействат със сили, равни по големина и насочени по една права линия противоположни страни(фиг.!.2). Аксиома 4 (Принцип

Точкова скорост
Скоростта на една точка се характеризира с нейната скорост, към дефиницията на която сега се обръщаме. Нека в момента

точково ускорение
Скоростта на изменение на вектора на скоростта характеризира ускорението на точката. Нека в момента точката nah

Аксиома 3
Система от две сили, приложени към абсолютно твърдо тяло, е уравновесена (еквивалентна на нула), ако и само ако тези сили са равни по абсолютна стойност и действат в една права линия в противоположни посоки

Силов момент около точка
Нека е дадена силата, приложена в точка

Силов момент около оста
Моментът на сила спрямо оста е проекцията върху оста на момента на силата, изчислена спрямо всяка точка на тази ос:

Силова двойка
Двойка сили е система от две сили, които са еднакви по абсолютна стойност и действат по успоредни прави в противоположни посоки. самолет, в съч

Диференциални уравнения на движение на механична система
Помислете за механична система, състояща се от материални точки. За всяка точка от системата в инерциалната система около

Основни свойства на вътрешните сили
Нека разгледаме всеки две точки от механичната система и

Теорема за промяната на импулса на механична система
Добавяме член по член всички равенства (3.1): Като вземем предвид първото основно

Теорема за промяната на кинетичния момент
Умножаваме всяко от уравненията (3.1) векторно отляво по радиус вектора на съответната точка и добавяме

Условия на равновесие
Нека се спрем на въпросите за равновесието на материалните тела, които съставляват съществена част от раздела "Статика" на курса по теоретична механика. Под равновесие в механиката традиционно

Равновесие на система от сили, чиито линии на действие лежат в една и съща равнина
В много практически интересни случаитялото е в равновесие под действието на система от сили, чиито линии на действие са разположени в една и съща равнина. Нека вземем тази равнина за координата

Фермерско изчисление
Специално мястов редица статични задачи е изчисляването на ферми. Фермата е твърда конструкция, изработена от прави пръти (фиг. 3.3). Ако всички пръчки на фермата и всички прикрепени към нея

Равновесие на тялото при наличие на триене
Както знаете, когато тялото се плъзга по опорна повърхност, възниква съпротивление, което забавя плъзгането. Това явление се взема предвид, като се вземе предвид силата на триене.

Център на паралелни сили
Това понятие се въвежда за система от успоредни сили, които имат резултатна, а точките на приложение на силите на системата са точките

Център на тежестта на тялото
Помислете за материално тяло, разположено близо до повърхността на Земята (в полето земно притегляне). Нека първо приемем, че тялото се състои от крайно числоматериални точки, с други думи - частици,

Център на масата на механична система. Теорема за движението на центъра на масата
Инерционните свойства на материалното тяло се определят не само от неговата маса, но и от естеството на разпределението на тази маса в тялото. съществена роляв описанието на такова разпределение играе позицията на центъра

ЛЕКЦИЯ 5
5.1. Движение на абсолютно твърдо тяло критични задачимеханиката е абсолютно описание на движението твърдо тяло. Като цяло, различни точки

Постъпателно движение на твърдо тяло
Транслационно е движението на твърдо тяло, при което всяка права линия, начертана в тялото, остава успоредна на първоначалното си положение по време на движението.

Кинематика на въртеливото движение на твърдо тяло
При въртеливо движениеима само една права линия в тялото, всички точки на която

скорост на тялото
Накрая получаваме: (5.4) Формула (5.4) се нарича формула на Ойлер. На фиг.5.

Диференциално уравнение на въртеливото движение на твърдо тяло
Въртенето на твърдо тяло, както всяко друго движение, възниква в резултат на действието външни сили. За да опишем въртеливото движение, използваме теоремата за промяна ъглов моментотношение

Кинематика на плоскопаралелно движение на твърдо тяло
Движението на тялото се нарича плоскопаралелно, ако разстоянието от всяка точка на тялото до някаква фиксирана (основна) равнина остава непроменено по време на цялото движение

Диференциални уравнения на плоскопаралелно движение на твърдо тяло
При изучаване на кинематиката на равнинно-паралелното движение на твърдо тяло всяка точка от тялото може да се приеме за полюс. При решаване на проблеми с динамиката центърът на масата на тялото винаги се приема за полюс, а за под

система Кьониг. Първата теорема на Кьониг
(Учете сами) Нека отправната система е неподвижна (инерционна). Система

Работа и сила на силата. Потенциална енергия
Половината от произведението на масата на точка и квадрата на нейната скорост се нарича кинетична енергия на материална точка. Кинетичната енергия на механична система се нарича

Теорема за изменението на кинетичната енергия на механична система
Теоремата за промяна на кинетичната енергия е една от общи теоремидинамика, заедно с доказани по-рано теореми за промяната в импулса и промяната в момента на количествата

Работата на вътрешните сили на геометрично непроменлива механична система
Имайте предвид, че за разлика от теоремата за промяна на импулса и теоремата за промяна на импулса, теоремата за промяна на кинетичната енергия обикновено включва вътрешни сили.

Изчисляване на кинетичната енергия на абсолютно твърдо тяло
Ще получим формули за изчисляване на кинетичната енергия на абсолютно твърдо тяло при някои от движенията му. 1. Кога движение напредвъв всеки един момент скоростта на всички точки на тялото е една

Работата на външните сили, приложени към идеално твърдо тяло
В раздела "Кинематика" беше установено, че скоростта на всяка точка на твърдо тяло геометрично е сумата от скоростта на точка, взета за полюс, и скоростта, получена от точка със сферична d

Работа на еластичната сила
концепция еластична силаобикновено се свързва с реакцията на линейна еластична пружина. Нека насочим оста по протежение на

Работа с въртящ момент
Нека силата е приложена в някаква точка на тялото, имащо ос на въртене. Тялото се върти с ъглова скорост

Възможни скорости и възможни движения
Нека първо въведем понятията за възможна скорост и възможно изместване за материална точка, върху която е наложено холономно нестационарно ограничение. Възможна скорост мат

Перфектни връзки
Ограниченията, наложени на механична система, се наричат ​​идеални, ако сумата от работата на всички реакции на ограниченията върху всяко възможно изместване на системата е равна на нула:

Принципът на възможните движения
Принцип възможни движенияустановява условията за равновесие на механичните системи. Равновесието на механична система традиционно се разбира като състояние на покой по отношение на избраната инерция

Общо уравнение на динамиката
Нека разгледаме механична система, състояща се от материални точки, върху които са наложени идеални условия.

« Физика - 10 клас"

Нека изчислим работата на гравитацията, когато тяло (например камък) пада вертикално надолу.

AT начален моменткогато тялото е било на височина hx над повърхността на Земята, а в последния момент от времето - на височина h 2 (фиг. 5.8). Модул на преместване на тялото |Δ| \u003d h 1 - h 2.

Посоките на векторите на гравитацията T и преместването Δ съвпадат. Според определението за работа (виж формула (5.2)) имаме

A = | Т | |Δ|cos0° = mg(h 1 - h 2) = mgh 1 - mgh 2 . (5.12)

Нека сега тялото бъде хвърлено вертикално нагоре от точка, разположена на височина h 1 над повърхността на Земята, и то е достигнало височина h 2 (фиг. 5.9). Векторите T и Δ са насочени в противоположни посоки, а модулът на преместване |Δ| \u003d h 2 - h 1. Записваме работата на гравитацията, както следва:

A = | Т | |Δ|cos180° = -mg(h 2 - h 1) = mgh 1 - mgh 2 . (5.13)

Ако тялото се движи праволинейно, така че посоката на движение да сключва ъгъл a с посоката на гравитацията (фиг. 5.10), тогава работата на гравитацията е равна на:

A = | Т | |Δ|cosα = mg|BC|cosα.

от правоъгълен триъгълник BCD показва, че |BC|cosα = BD = h 1 - h 2 . Следователно,

A \u003d mg (h 1 - h 2) \u003d mgh 1 - mgh 2. (5.14)

Този израз съвпада с израза (5.12).

Формулите (5.12), (5.13), (5.14) позволяват да се забележи важна закономерност. При праволинейно движениетяло, работата на гравитацията във всеки случай е равна на разликата между две стойности на количеството, в зависимост от позициите на тялото, определени от височините h 1 и h 2 над повърхността на Земята.

Освен това работата на гравитацията при преместване на тяло с маса m от едно положение в друго не зависи от формата на траекторията, по която се движи тялото. Наистина, ако тялото се движи по кривата BC (фиг. 5.11), тогава, представяйки тази крива като стъпаловидна линия, състояща се от вертикални и хоризонтални участъци с малка дължина, ще видим, че в хоризонталните участъци работата на гравитацията е нула, тъй като силата е перпендикулярна на изместването и сумата от работата върху вертикални секции е равна на работата, която би била извършена от гравитацията при преместване на тялото по вертикален сегмент с дължина h 1 - h 2. Така работата на гравитацията при движение по кривата BC е равна на:

A \u003d mgh 1 - mgh 2.

Работата на гравитацията не зависи от формата на траекторията, а само от позициите на началната и крайната точка на траекторията.

Определяме работата A при движение на тялото затворена верига, например по контура BCDEB (фиг. 5.12). Работа A 1 на гравитацията при преместване на тяло от точка B до точка D по траекторията на BCD: A 1 \u003d mg (h 2 - h 1), по траекторията на DEB: A 2 \u003d mg (h 1 - h 2) .

Тогава общата работа A \u003d A 1 + A 2 \u003d mg (h 2 - h 1) + mg (h 1 - h 2) \u003d 0.

Когато тялото се движи по затворен път, работата, извършена от гравитацията, е нула.

Така че работата на гравитацията не зависи от формата на траекторията на тялото; определя се само от началните и крайните положения на тялото. Когато тялото се движи по затворен път, работата, извършена от гравитацията, е нула.

Силите, чиято работа не зависи от формата на траекторията на точката на приложение на силата и е равна на нула по затворена траектория, се наричат консервативни сили.

Гравитацията е консервативна сила.

Силата на гравитацията е F = mgи насочен вертикално надолу. В близост до повърхността на Земята тя може да се счита за постоянна.

Когато тялото се движи вертикално надолу, силата на гравитацията съвпада по посока с преместването. При преместване от височина h1 над някакво ниво, от което започваме да броим височината, до височина h2 над същото ниво (фиг. 192), тялото се движи по абсолютна стойностравна на h1 - h2.

Тъй като посоките на движение и силата са еднакви, работата, извършена от гравитацията, е положителна и равна на:

Височините h1 и h2 не трябва да се измерват от повърхността на Земята. Можете да изберете всяко ниво, за да започнете отчитането на височината. Може да е пода на стая, маса или стол, може да е дъното на дупка, изкопана в земята и т.н. Все пак разликата във височината е включена във формулата за работа и не зависи от откъде да започнем да ги броим. Можем например да се съгласим да започнем отчитането на височината от ниво B (виж Фиг. 192). Тогава височината на това ниво ще бъде равна на нула и работата ще бъде изразена чрез равенството

където h е височината на точка А над ниво В.

Ако тялото се движи вертикално нагоре, тогава силата на гравитацията е насочена срещу движението на тялото и нейната работа е отрицателна. Когато тялото се повдигне на височина h над нивото, от което е хвърлено, силата на гравитацията извършва работа, равна на

Ако след повдигане нагоре тялото се върне към първоначалния си еструс, тогава работата по такъв път, започваща и завършваща в една и съща точка (по затворен път), по пътя „напред и назад“, е равна на нула. Това е една от характеристиките на гравитацията: работата, извършена от гравитацията върху затворен път, е нула.

Сега нека разберем каква работа се извършва от гравитацията в случай, че тялото не се движи вертикално.

Като пример, помислете за движението на тялото по дължината наклонена равнина(фиг. 193).

Да приемем, че тяло с маса m върху наклонена равнина с височина h прави преместване s по абсолютна стойност равна на дължинатанаклонена равнина. Работата на гравитацията mg в този случай трябва да се изчисли по формулата

Но от фигурата се вижда, че

Имаме същата стойност за работа.

Оказва се, че работата на гравитацията не зависи от това дали тялото се движи вертикално или преминава повече дълъг пътпо наклонена равнина. При същата „загуба на височина“ работата на гравитацията е същата (фиг. 194).

Това важи не само при движение по наклонена равнина, но и по всяка друга пътека. Наистина, да предположим, че тялото се движи по някакъв произволен път, например по този, показан на фигура 195.

Можем мислено да разделим целия този път на редица малки участъци: AA1, A2A1, A2A3 и т.н. Всеки от тях може да се счита за малка наклонена равнина, а цялото движение на тялото по пътя AB може да бъде представено като движение по множество наклонени равнини, преминаващи една в друга. Работата на гравитацията върху всяка такава наклонена равнина е равна на произведението mg и изменението на височината на тялото върху нея. Ако промяната на надморската височина е отделни секцииса равни на h1, h2, h3 и т.н., тогава работата на гравитацията върху тях е равна на mgh1, mgh2, mgh3 и т.н. Тогава пълна работацелият път може да бъде намерен чрез добавяне на всички тези произведения:

Следователно,

По този начин работата на гравитацията не зависи от траекторията на тялото и винаги е равна на произведението на гравитацията и разликата във височините в началната и крайната позиция. При движение надолу работата е положителна, при движение нагоре е отрицателна.

Защо тогава в техниката и ежедневието, когато повдигат товари, те често използват наклонена равнина? В крайна сметка работата по преместване на товар по наклонена равнина е същата като при вертикално движение!

Това се обяснява с факта, че при равномерно движениенатоварване върху наклонена равнина, силата, която трябва да се приложи към товара в посоката на движение, е по-малка от силата на гравитацията. Вярно е, че товарът в същото време пътува на по-голямо разстояние. По-дълъг път е цената, че товарът може да бъде повдигнат по наклонена равнина с по-малко сила.

Работата на гравитацията зависи само от промяната на височината и е равна на произведението на модула на гравитацията и вертикалното движение на точката (фиг. 15.6):

където ∆h- промяна на височината. При спускане работата е положителна, при изкачване – отрицателна.

Работата на резултантната сила

Под действието на система от сили точка с маса тсе движи от позиция М 1в позиция М 2(фиг. 15.7).

При движение под действието на система от сили се използва теоремата за работата на резултантната.

Работата на резултантната върху някакво преместване е равна на алгебрична сумаработа на системата от сили върху същото преместване.

Примери за решаване на проблеми

Пример 1Тяло с тегло 200 kg се повдига по наклонена равнина (фиг. 15.8).

Определете извършената работа при движение 10 m s постоянна скорост. Коефициентът на триене на тялото върху равнината f = 0,15.

Решение

1. С равномерен ръст движеща силае равна на сумата от съпротивителните сили. Начертаваме силите, действащи върху тялото на диаграмата:

1. Използваме теоремата за работата на резултата:

1. Заменете входните стойности и определете повдигащата работа:

Пример 2Определете работата, извършена от гравитацията при преместване на товар от точка Иточно ОТвърху наклонена равнина (фиг. 15.9). Силата на тежестта на тялото е 1500 N. AB = 6 m, BC = 4 m.

Решение

1. Работата на тежестта зависи само от изменението на височината на товара. Промяна на надморската височина при придвижване от точка А до С:

2. Гравитационна работа:

Пример 3Определете работата на силата на рязане за 3 минути. Скоростта на въртене на детайла е 120 об / мин, диаметърът на детайла е 40 mm, силата на рязане е 1 kN (фиг. 15.10).

Решение

1. Ротационна операция

където F rez - сила на рязане.

2. Ъглова скорост 120 об/мин.

3. Брой обороти на дадено времее z = 120 3 = 360 об.

Ъгълът на въртене през това време

4. Работа за 3 минути wp= 1 0,02 2261 = 45,2 kJ.

Пример 4телесна маса м= 50 kg се премества по пода с хоризонтална сила Q от разстояние С= 6 м. Определете работата, която ще извърши силата на триене, ако коефициентът на триене между повърхността на тялото и пода f= 0,3 (фиг. 1.63).

Решение

Според закона на Амонтън-Кулон силата на триене

Силата на триене е насочена в посока, обратна на движението, така че работата на тази сила е отрицателна:

Пример 5Определете напрежението на клоните на ремъка (фиг. 1.65), ако мощността, предавана от вала, е N=20 kW, скорост на вала n = 150 об/мин

Решение

Въртящият момент, предаван от вала

Изразяваме въртящия момент чрез усилията в клоните на ремъчното задвижване:
където

Пример 6Радиус на колелото Р\u003d 0,3 m се търкаля без подхлъзване по хоризонтална релса (фиг. 1.66). Намерете работата на триенето при търкаляне при преместване на центъра на колелото на разстояние С= 30 m, ако вертикалното натоварване върху оста на колелото е P = 100 kN. Коефициентът на триене при търкаляне на колелото по релсата е равен на к= 0,005 см.

Решение

Триенето при търкаляне възниква поради деформации на колелото и релсата в зоната на техния контакт. Нормална реакция нсе измества напред по посока на движението и се образува с вертикална сила на натиск Рвърху двойката оси на колелата, чието рамо е равно на коефициента на триене при търкаляне к, и момента

Тази двойка се стреми да завърти колелото в посока, обратна на въртенето му. Следователно работата на триенето при търкаляне ще бъде отрицателна и ще се определи като продукт постоянен моменттриене на ъгъл на колело φ , т.е.

Пътят, изминат от едно колело, може да се определи като произведение от неговия ъгъл на въртене и радиуса

Въвеждане на стойност φ в произведението изразяване и заместване числови стойности, получаваме

тестови въпросии задачи

1. Какви сили се наричат ​​движещи сили?

2. Какви сили се наричат ​​съпротивителни сили?

3. Запишете формулите за определяне на работата по време на транслационни и ротационни движения.

4. Каква сила се нарича област? Какво е въртящ момент?

5. Формулирайте теорема за работата на резултата.