Правата линия е целта на хипербола. Хипербола и нейното канонично уравнение

Клас 10 . Криви от втори ред.

10.1. Елипса. Канонично уравнение. Полуоси, ексцентричност, графика.

10.2. Хипербола. Канонично уравнение. Полуоси, ексцентричност, асимптоти, графика.

10.3. Парабола. Канонично уравнение. Парабола парабола, графика.

Криви от втори ред в равнина са линии, чиято неявна дефиниция има формата:

Където
- дадени реални числа,
- координати на точките на кривата. Най-важните линии сред кривите от втори ред са елипсата, хиперболата и параболата.

10.1. Елипса. Канонично уравнение. Полуоси, ексцентричност, графика.

Дефиниция на елипса.Елипса е равнинна крива, чиято сума от разстоянията от две фиксирани точки е
самолет до всяка точка

(тези.). Точки
се наричат фокуси на елипсата.

Канонично уравнение на елипса:
. (2)

(или ос
) преминава през трикове
, а началото е точката - намира се в центъра на сегмента
(Фиг. 1). Елипса (2) е симетрична спрямо координатните оси и началото (центъра на елипсата). Постоянно
,
са наречени полуосите на елипсата.

Ако елипсата е дадена с уравнение (2), тогава фокусите на елипсата се намират така.

1) Първо, ние определяме къде лежат фокусите: фокусите лежат на координатната ос, на която са разположени големите полуоси.

2) След това се изчислява фокусното разстояние (разстояние от фокуса до началото).

При
фокуси лежат на оста
;
;
.

Ексцентричностелипса се нарича количеството: (при
);(при
).

Елипса винаги
. Ексцентричността служи като характеристика на компресията на елипсата.

Ако елипсата (2) се премести така, че центърът на елипсата да удари точката

,
, тогава уравнението на получената елипса има формата

10.2. Хипербола. Канонично уравнение. Полуоси, ексцентричност, асимптоти, графика.

Определение за хипербола.Хипербола е равнинна крива, в която абсолютната стойност на разликата в разстоянията от две фиксирани точки е
самолет до всяка точка
тази крива има постоянен, независимо от точката
(тези.). Точки
се наричат фокуси на хипербола.

Уравнение на канонична хипербола:
или
. (3)

Това уравнение се получава, ако координатната ос
(или ос
) преминава през трикове
, а началото е точката - намира се в центъра на сегмента
. Хиперболите (3) са симетрични спрямо координатните оси и началото. Постоянно
,
са наречени полуоси на хиперболата.

Фокусите на една хипербола се намират така.

При хиперболата
фокуси лежат на оста
:
(фиг. 2.а).

При хиперболата
фокуси лежат на оста
:
(фиг. 2.b)

Тук - фокусно разстояние (разстояние от фокусите до началото). Изчислява се по формулата:
.

Ексцентричностхипербола е количеството:

(За
);(За
).

Хиперболата винаги е така
.

Асимптоти на хиперболите(3) са две прави линии:
. И двата клона на хиперболата се приближават неограничено към асимптотите с нарастване .

Изграждането на графика на хипербола трябва да се извърши, както следва: първо по полуосите
изграждаме спомагателен правоъгълник със страни, успоредни на координатните оси; след това начертайте прави линии през противоположните върхове на този правоъгълник, това са асимптотите на хиперболата; накрая изобразяваме клоните на хиперболата, те докосват средните точки на съответните страни на спомагателния правоъгълник и се приближават с нарастване към асимптоти (фиг. 2).

Ако хиперболите (3) се преместят така, че центърът им да удари точката
, а полуосите ще останат успоредни на осите
,
, тогава уравнението на получените хиперболи ще бъде записано във формата

,
.

10.3. Парабола. Канонично уравнение. Парабола парабола, графика.

Дефиниция на парабола.Параболата е равнинна крива, за която за всяка точка
тази крива е разстоянието от
до фиксирана точка равнина (наречена фокус на параболата) е равна на разстоянието от
до фиксирана права линия в равнината(наречена директриса на параболата) .

Уравнение на канонична парабола:
, (4)

Където - наричана константа параметърпараболи.

Точка
парабола (4) се нарича връх на параболата. ос
е оста на симетрия. Фокусът на параболата (4) е в точката
, директрисно уравнение
. Графики на парабола (4) със значения
И
са показани на фиг. 3.а и 3.б съответно.

Уравнението
също определя парабола в равнината
, чиито оси, в сравнение с парабола (4),
,
размениха си местата.

Ако парабола (4) се премести така, че нейният връх да удари точката
, а оста на симетрия ще остане успоредна на оста
, тогава уравнението на получената парабола има формата

Да преминем към примерите.

Пример 1. Кривата от втори ред е дадена от уравнението
. Дайте име на тази крива. Намерете неговите фокуси и ексцентричност. Начертайте крива и нейните фокуси върху равнина
.

Решение. Тази крива е елипса с център в точката
и полуоски
. Това може лесно да се провери чрез замяна
. Тази трансформация означава преход от дадена декартова координатна система
към нов Декартова системакоординати
, чиято ос
успоредни на осите
,
. Тази координатна трансформация се нарича системно изместване
точно . IN нова системакоординати
уравнението на кривата се преобразува в канонично уравнениеелипса
, неговата графика е показана на фиг. 4.

Да намерим трикове.
, така че триковете
елипса, разположена на оста
.. В координатната система
:
. защото
, в старата координатна система
фокусите имат координати.

Пример 2. Дайте името на кривата от втори ред и предоставете нейната графика.

Решение. Нека изберем перфектни квадрати въз основа на членове, съдържащи променливи И .

Сега уравнението на кривата може да бъде пренаписано, както следва:

Следователно дадената крива е елипса с център в точката
и полуоски
. Получената информация ни позволява да начертаем неговата графика.

Пример 3. Дайте име и графика на линията
.

Решение. . Това е каноничното уравнение на елипса с център в точката
и полуоски
.

защото,
, заключаваме: отзад дадено уравнениеопределя на равнината
долната половина на елипсата (фиг. 5).

Пример 4. Дайте името на кривата от втори ред
. Намерете неговите фокуси, ексцентричност. Дайте графика на тази крива.

- канонично уравнение на хипербола с полуоси
.

Фокусно разстояние.

Знакът минус предхожда термина с , така че триковете
хиперболите лежат на оста
:. Клоните на хиперболата са разположени над и под оста
.

- ексцентричност на хиперболата.

Асимптоти на хипербола: .

Изграждането на графика на тази хипербола се извършва в съответствие с описаната по-горе процедура: изграждаме спомагателен правоъгълник, чертаем асимптоти на хиперболата, чертаем клонове на хиперболата (виж Фиг. 2.b).

Пример 5. Разберете вида на кривата, дадена от уравнението
и го начертайте.

- хипербола с център в точка
и полуоски.

защото , заключаваме: даденото уравнение определя тази част от хиперболата, която лежи вдясно от правата линия
. По-добре е да нарисувате хипербола в спомагателна координатна система
, получена от координатната система
смяна
и след това маркирайте желаната част от хиперболата с удебелена линия

Пример 6. Разберете вида на кривата и начертайте нейната графика.

Решение. Нека подчертаем идеален квадратчрез термини с променлива :

Нека пренапишем уравнението на кривата.

Това е уравнението на парабола с нейния връх в точката
. Използвайки преобразуване на отместване, уравнението на параболата се привежда в канонична форма
, от което става ясно какъв-параметърпараболи. Фокус параболи в системата
има координати
,, и в системата
(според трансформация на смяна). Графиката на параболата е показана на фиг. 7.

Домашна работа.

1. Начертайте елипси, дадени от уравненията:
Намерете техните полуоси, фокусно разстояние, ексцентрицитет и посочете върху графиките на елипсите местата на техните фокуси.

2. Начертайте хиперболи, дадени от уравненията:
Намерете техните полуоси, фокусно разстояние, ексцентричност и посочете върху графиките на хиперболите местата на техните фокуси. Напишете уравнения за асимптотите на дадените хиперболи.

3. Начертайте параболи, дадени от уравненията:
. Намерете техния параметър, фокусно разстояние и посочете на параболичните графики местоположението на фокуса.

4. Уравнение
определя част от 2-ри ред на кривата. Намерете каноничното уравнение на тази крива, запишете името й, начертайте нейната графика и маркирайте върху нея онази част от кривата, която съответства на първоначалното уравнение.

Хипербола се нарича локусточки, за които разликата в разстоянията от две фиксирани точки на равнината, наречени фокуси, е постоянна стойност; посочената разлика се взема съгл абсолютна стойности обикновено се означава с 2а Фокусите на хипербола се означават с буквите F 1 и F 2, разстоянието между тях с 2с. По дефиниция на хипербола 2а

Нека бъде дадена хипербола. Ако оста е декартова правоъгълна системакоординатите са избрани така, че фокусите на дадена хипербола да са разположени на оста x симетрично спрямо началото на координатите, тогава в тази координатна система уравнението на хиперболата има формата

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, (1)

където b = √(c 2 - a 2). Уравнение от тип (I) се нарича канонично уравнение на хипербола , При посочения избор на координатна система координатните оси са осите на симетрия на хиперболата, а началото е нейният център на симетрия (фиг. 18). Осите на симетрия на хипербола се наричат просто нейните оси, центърът на симетрия е центърът на хиперболата. Хиперболата пресича една от неговите оси; пресечните точки се наричат върхове на хиперболата. На фиг. 18-те върха на хипербола са точки A" и A.

Правоъгълник със страни 2а и 2b, разположен симетрично спрямо осите на хиперболата и докосващ я във върховете, се нарича главен правоъгълник на хиперболата.

Сегментите с дължина 2a и 2b, свързващи средните точки на страните на главния правоъгълник на хиперболата, се наричат още нейни оси. Диагоналите на основния правоъгълник (удължен до безкрайност) са асимптоти на хиперболата; техните уравнения са:

y = b/a x, y = - b/a x

Уравнението

X 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 (2)

дефинира хипербола, която е симетрична по отношение на координатни осис фокуси върху ординатната ос; уравнение (2), подобно на уравнение (1), се нарича канонично уравнение на хипербола; в този случай постоянната разлика в разстоянията от произволна точка на хиперболата до фокусите е равна на 2b.

Две хиперболи, които се определят от уравненията

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1, - x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1

в една и съща координатна система се наричат спрегнати.

Хипербола с равни полуоси (a = b) се нарича равностранна; неговото канонично уравнение има формата

x 2 - y 2 = a 2 или - x 2 + y 2 = a 2.

където a е разстоянието от центъра на хиперболата до нейния връх, наречено ексцентричност на хиперболата. Очевидно за всяка хипербола ε > 1. Ако M(x; y) - произволна точкахиперболи, тогава сегментите F 1 M и F 2 M (виж Фиг. 18) се наричат фокални радиуси на точката M. Фокалните радиуси на точките от десния клон на хиперболата се изчисляват с помощта на формулите

r 1 = εx + a, r 2 = εx - a,

фокални радиуси на точки от левия клон - съгласно формулите

r 1 = -εх - a, r 2 = -εх + a

Ако хиперболата е дадена от уравнение (1), тогава линиите, определени от уравненията

x = -a/ε, x = a/ε

се наричат нейни директриси (виж фиг. 18). Ако хиперболата е дадена с уравнение (2), тогава директрисите се определят от уравненията

x = -b/ε, x = b/ε

Всяка директорка има следното свойство: ако r е разстоянието от произволна точка на хиперболата до определен фокус, d е разстоянието от същата точка до едностранната директриса с този фокус, тогава отношението r/d е постоянна стойност, равна на ексцентрицитета на хиперболата:

515. Съставете уравнение на хипербола, чиито фокуси са разположени на абсцисната ос симетрично спрямо началото, като знаете освен това, че:

1) неговите оси 2a = 10 и 2b = 8;

2) разстоянието между фокусите 2c = 10 и оста 2b = 8;

3) разстояние между фокусите 2с = 6 и ексцентричност ε = 3/2;

4) ос 2а = 16 и ексцентричност ε = 5/4;

5) уравнения на асимптоти y = ±4/3x и разстояние между фокусите 2c = 20;

6) разстоянието между директрисите е 22 2/13, а разстоянието между фокусите е 2c = 26; 39

7) разстоянието между директрисите е 32/5, а оста 2b = 6;

8) разстоянието между директрисите е 8/3, а ексцентрицитетът ε = 3/2;

9) уравнението на асимптотите y = ± 3/4 x и разстоянието между директрисите е 12 4/5.

516. Съставете уравнение на хипербола, чиито фокуси са разположени на ординатната ос симетрично спрямо началото, като знаете освен това, че:

1) нейните полуоси a = 6, b = 18 (с буквата a означаваме полуоста на хиперболата, разположена на оста x);

2) разстоянието между огнищата е 2c = 10, а ексцеитриситетът е ε = 5/3; много добре 12

3) уравнението на асимптотите y = ±12/5x и разстоянието между върховете е 48;

4) разстоянието между директрисите е 7 1/7, а ексцентрицитетът ε = 7/5;

5) уравнението на асимптотите y = ± 4/3x и разстоянието между директрисите е 6 2/5.

517. Определете полуосите a и b за всяка от следните хиперболи:

1) x 2 /9 - y 2 /4 = 1; 2) x 2 /16 - y 2 = 1; 3) x 2 - 4y 2 = 16;

4) x 2 - y 2 = 1; 5) 4x 2 - 9y 2 = 25; 6) 25x 2 -16y 2 = 1;

7) 9x 2 - 64y 2 = 1.

518. Дадена е хипербола 16x 2 - 9y 2 = 144. Намерете: 1) полуосите a и b; 2) трикове; 3) ексцентричност; 4) уравнения на асимптоти; 5) директрисни уравнения.

519. Дадена е хипербола 16x 2 - 9y 2 = -144. Намерете: 1) полуосите a и b; 2) трикове; 3) ексцентричност; 4) уравнения на асимптоти; 5) директрисни уравнения.

520. Изчислете площта на триъгълника, образуван от асимптотите на хиперболата x 2 /4 - y 2 /9 = 1 и правата 9x + 2y - 24 = 0.

521. Установете кои прави се определят от следните уравнения:

1) y = +2/3√(x 2 - 9); 2) y = -3√(x 2 + 1)

3) x = -4/3√(y 2 + 9); 4) +2/5√(x 2 + 25)

522. Дадена е точка M 1 (l0; - √5) върху хипербола - x 2 /80 - y 2 /20 = 1. Създайте уравнения на правите, на които лежат фокалните радиуси на точката M 1.

523. След като се уверите, че точка M 1 (-5; 9/4) лежи върху топката x 2 /16 - y 2 /9 = 1, определете фокалните радиуси на точка M 1.

524. Ексцентрицитетът на хиперболата е ε = 2, фокусният радиус на нейната точка M, изтеглен от определен фокус, е равен на 16. Изчислете разстоянието от точка M до едностранната директриса с този фокус.

525. Ексцентрицитетът на хиперболата е ε = 3, разстоянието от точката M на хиперболата до директрисата е 4. Изчислете разстоянието от точката M до фокуса, едностранно с тази директриса.

526. Ексцентрицитетът на хиперболата е ε = 2, центърът й е в началото, един от фокусите F(12; 0). Изчислява се разстоянието от точка M 1 на хиперболата с абциса равна на 13 до директрисата, съответстваща на дадения фокус.

527. Ексцентрицитетът на хиперболата е ε = 3/2, центърът й е в началото, една от директрисите е дадена от уравнението x = -8. Изчислете разстоянието от точка M 1 на хиперболата с абциса равна на 10 до фокуса, съответстващ на дадената директриса.

528. Определете точките на хиперболата - x 2 /64 - y 2 /36 = 1, чието разстояние до десния фокус е 4,5.

529. Определете точките на хиперболата x 2 /9 - y 2 /16 = 1, чието разстояние до левия фокус е 7.

530. През левия фокус на хиперболата x 2 /144 - y 2 /25 = 1 е прекаран перпендикуляр към нейната ос, съдържаща върховете. Определете разстоянията от фокусите до точките на пресичане на този перпендикуляр с хиперболата.

531. С помощта на един компас построете фокусите на хиперболата x 2 /16 - y 2 /25 = 1 (приемайки, че са изобразени координатните оси и е дадена мащабната единица).

532. Съставете уравнение на хипербола, чиито фокуси лежат на абсцисната ос симетрично спрямо началото, ако е дадено:

1) точки M 1 (6; -1) и M 2 (-8; 2√2) хиперболи;

2) точка M 1 (-5; 3) хипербола и ексцентричност ε = √2;

3) точка M 1 (9/2;-l) хипербола и уравнение на асимптотите y = ± 2.3x;

4) точка M 1 (-3; 5.2) уравнение на хипербола и директриса x = ± 4/3;

5) уравнения на асимптоти y = ±-3/4x и уравнения на директриси x = ± 16/5

533. Определете ексцентрицитета на равностранна хипербола.

534. Определете ексцентрицитета на хипербола, ако сегментът между нейните върхове се вижда от фокусите на спрегнатата хипербола под ъгъл 60 °.

535. Фокусовете на хиперболата съвпадат с фокусите на елипсата x 2 /25 + y 2 /9 = 1. Напишете уравнение за хиперболата, ако нейният ексцентричност ε = 2.

536. Напишете уравнение за хипербола, чиито фокуси лежат във върховете на елипсата x 2 /100 + y 2 /64 = 1, а директрисите минават през фокусите на тази елипса.

537. Докажете, че разстоянието от фокуса на хиперболата x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 до нейната асимптота е равно на b.

538. Докажете, че произведението на разстоянията от всяка точка на хиперболакса x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 до нейните две асимптоти е постоянна стойност, равна на a 2 b 2 /(a 2 + b 2)

539. Докажете, че площта на паралелограма, ограничена от асимптотите на хиперболата x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 и линиите, начертани през която и да е от неговите точки, успоредни на асимптотите, е постоянна стойност, равна на ab/2.

540. Напишете уравнение за хипербола, ако са известни нейните полуоси a и b, центърът C(x 0;y 0) и фокусите са разположени на права линия: 1) успоредна на оста Ox; 2) успоредна на оста Oy.

541. Установете, че всяко от следните уравнения определя хипербола и намерете координатите на нейния център C, полуос, ексцентрицитет, уравнения на асимптоти и уравнения на директриси:

1) 16x 2 - 9у 2 - 64x - 54у - 161 =0;

2) 9x 2 - 16y 2 + 90x + 32y - 367 = 0;

3) 16x 2 - 9y 2 - 64x - 18y + 199 = 0.

542. Установете кои прави се определят от следните уравнения:

1) y = - 1 + 2/3√(x 2 - 4x - 5);

2) y = 7 - 3/2√(x 2 - 6x + 13);

3) x = 9 - 2√(y 2 + 4y + 8);

4) X = 5 + 3/4√(y 2 + 4y - 12).

Начертайте тези линии на чертежа.

543. Създайте уравнение за хипербола, като знаете, че:

1) разстоянието между върховете му е 24, а фокусите са F 1 (-10; 2), F 2 (16; 2);

2) фокусите са F 1 (3; 4), F 2 (-3; -4) и разстоянието между директрисите е 3,6;

3) ъгълът между асимптотите е 90°, а фокусите са F 1 (4; -4), F 1 (- 2; 2).

544. Напишете уравнение за хипербола, ако са известни нейният ексцентрицитет ε = 5/4, фокусът F (5; 0) и уравнението на съответната директриса 5x - 16 = 0.

545. Напишете уравнение за хипербола, ако са известни нейният ексцентриситет e - фокус F(0; 13) и уравнението на съответната директриса 13y - 144 = 0.

546. Точка A (-3; - 5) лежи върху хипербола, чийто фокус е F (-2; -3), а съответната директриса е дадена от уравнението x + 1 = 0. Напишете уравнение за тази хипербола .

547. Напишете уравнение за хипербола, ако са известни нейният ексцентрицитет ε = √5, фокусът F(2;-3) и уравнението на съответната директриса Zx - y + 3 = 0.

548. Точка M 1 (1; 2) лежи върху хипербола, чийто фокус е F(-2; 2), а съответната директриса е дадена от уравнението 2x - y - 1 = 0. Напишете уравнение за тази хипербола .

549. Дадено е уравнението на равностранна хипербола x 2 - y 2 = a 2. Намерете неговото уравнение в новата система, като вземете неговите асимптоти за координатни оси.

550. След като установите, че всяко от следните уравнения определя хипербола, намерете за всяко от тях центъра, полуосите, уравненията на асимптотите и ги нанесете на чертежа: 1) xy = 18; 2) 2xy - 9 = 0; 3) 2xy + 25 = 0.

551. Намерете пресечните точки на правата линия 2x - y - 10 = 0 и хиперболата x 2 /20 - y 2 /5 = 1.

552. Намерете пресечните точки на правата линия 4x - 3y - 16 = 0 и хиперболата x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

553. Намерете пресечните точки на правата линия 2x - y + 1 = 0 и хиперболата x 2 /9 - y 2 /4 = 1.

554.V следните случаиопределете как е разположена линията спрямо хиперболата: дали пресича, докосва или минава извън нея:

1) x - y - 3 = 0, x 2 /12 - y 2 /3 = l;

2) x - 2y + 1 = 0, x 2 /16 - y 2 /9 = l;

555. Определете при какви стойности на m правата линия y = 5/2x + m

1) пресича хиперболата x 2 /9 - y 2 /36 = 1; 2) докосва я;

3) преминава извън тази хипербола.

556. Изведете условието, при което правата линия y = kx + m докосва хиперболата x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1.

557. Напишете уравнение за допирателната към хиперболата x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 в нейната точка Af, (*,; #i).

558. Докажете, че допирателните към хипербола, начертани в краищата на един и същи диаметър, са успоредни.

559. Съставете уравнения на допирателните към хиперболата x 2 /20 - y 2 /5 = 1, перпендикулярна на правата 4x + 3y - 7 = 0.

560. Съставете уравнения на допирателните към хиперболата x 2 /16 - y 2 /64 = 1, успоредна на правата 10x - 3y + 9 = 0.

561. Начертайте допирателни към хиперболата x 2 /16 - y 2 /8 = - 1 успоредна на правата 2x + 4y - 5 = 0 и изчислете разстоянието d между тях.

562. Върху хиперболата x 2 /24 - y 2 /18 = 1 намерете точката M 1, която е най-близо до правата 3x + 2y + 1 = O, и изчислете разстоянието d от точката M x до тази права.

563. Създайте уравнение за допирателните към хиперболата x 2 - y 2 = 16, изтеглена от точка A(- 1; -7).

564. От точка C(1;-10) се начертават допирателни към хиперболата x 2 /8 - y 2 /32 = 1. Създайте уравнение за хордата, свързваща точките на допиране.

565. От точка P(1; -5) са прекарани допирателни към хиперболата x 2 /3 - y 2 /5 = 1. Изчислете разстоянието d от точка P до хордата на хиперболата, свързваща точките на допиране.

566. Хипербола минава през точка A(√6; 3) и се допира до правата 9x + 2y - 15 == 0. Напишете уравнение за тази хипербола, при условие че нейните оси съвпадат с координатните оси.

567. Напишете уравнение за хипербола, допирателна към две прави: 5x - 6y - 16 = 0, 13x - 10y - 48 = 0, при условие че нейните оси съвпадат с координатните оси.

568. След като се уверите, че пресечните точки на елипсата x 2 /3 - y 2 /5 = 1 и хиперболата x 2 /12 - y 2 /3 = 1 са върховете на правоъгълника, съставете уравненията на неговите страни .

569. Дадени хиперболи x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 и някои от нейните допирателни: P е точката на пресичане на допирателната с оста Ox, Q е проекцията на точката на допирателна върху същата ос . Докажете, че OP OQ = a 2 .

570. Докажете, че фокусите на хипербола са разположени по различни страниот всяка негова допирателна.

571. Докажете, че произведението на разстоянията от фокусите до всяка допирателна към хиперболата x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 е постоянна стойност, равна на b 2.

572. Правата 2x - y - 4 == 0 се допира до хиперболата, чиито фокуси са в точки F 1 (-3; 0) и F 2 (3; 0). Напишете уравнение за тази хипербола.

573. Съставете уравнение на хипербола, чиито фокуси са разположени на оста x симетрично спрямо началото, ако е известно уравнението на допирателната към хиперболата 15x + 16y - 36 = 0 и разстоянието между нейните върхове е 2a = 8.

574. Докажете, че правата, допирателна към хиперболата в точка М, е равни ъглис радиуси на фокуса F 1 M, F 2 M и минава вътре в ъгъла F 1 MF 2. X^

575. От десния фокус на хиперболата x 2 /5 - y 2 /4 = 1 под ъгъл α(π

576. Докажете, че елипса и хипербола с общи фокуси се пресичат под прав ъгъл.

577. Коефициентът на равномерно компресиране на равнината спрямо оста Ox е равен на 4/3. Определете уравнението на правата, в която хиперболата x 2 /16 - y 2 /9 = 1 се трансформира по време на тази компресия. Вижте проблем 509.

578. Коефициентът на равномерно свиване на равнината спрямо оста Oy е равен на 4/5. Определете уравнението на правата, в която хиперболата x 2 /25 - y 2 /9 = 1 се трансформира по време на това компресиране.

579. Намерете уравнението на правата, в която хиперболата x 2 - y 2 = 9 се трансформира при две последователни равномерни компресии на равнината към координатните оси, ако коефициентите на равномерно компресиране на равнината към осите Ox и Oy са съответно равни на 2/3 и 5/3.

580. Определете коефициента q на равномерно компресиране на равнината спрямо оста Ox, при който хиперболата - x 2 /25 - y 2 /36 = 1 се трансформира в хипербола x 2 /25 - y 2 /16 = 1.

581. Определете коефициента q на равномерно компресиране на равнината към оста Oy, при който хиперболата x 2 /4 - y 2 /9 = 1 се трансформира в хипербола x 2 /16 - y 2 /9 = 1.

582. Определете коефициентите q 1 и q 2 на две последователни равномерни компресии на равнината към осите Ox и Oy, при които хиперболата x 2 /49 - y 2 /16 = 1 се трансформира в хипербола x 2 /25 - y 2 /64 = 1.

Хипербола е набор от точки в равнина, чиито разстояния са различни от две дадени точки, фокуси, е постоянна стойност и е равна на .

Подобно на елипсата, ние поставяме фокусите в точки , (виж Фиг. 1).

Ориз. 1

От фигурата се вижда, че може да има случаи и title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> title="Представено от QuickLaTeX.com" height="16" width="65" style="vertical-align: -4px;"> , тогда согласно определению !}

Известно е, че в триъгълник разликата между двете страни е по-малка от третата страна, така че, например, с получаваме:

Нека изведем двете страни на площада и след допълнителни трансформации откриваме:

Където . Уравнението на хиперболата (1) е канонично уравнение на хипербола.

Хиперболата е симетрична по отношение на координатните оси, следователно, както и за елипсата, достатъчно е да начертаете нейната графика в първата четвърт, където:

Диапазон от стойности за първото тримесечие.

Когато имаме един от върховете на хиперболата. Втори връх. Ако , тогава няма реални корени от (1). Те казват, че и са въображаемите върхове на хипербола. От връзката се оказва, че за достатъчно големи стойностиима място с най-близко равенство title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> title="Представено от QuickLaTeX.com" height="27" width="296" style="vertical-align: -7px;"> . Поэтому прямая есть линией, расстояние между которой и соответствующей точкой гиперболы направляется к нулю при .!}

Форма и характеристики на хипербола

Нека разгледаме уравнение (1) формата и местоположението на хиперболата.

Променливите и са включени в уравнение (1) в двойни степени. Следователно, ако една точка принадлежи на хипербола, тогава точките също принадлежат на хипербола. Това означава, че фигурата е симетрична спрямо осите и и точката, която се нарича център на хиперболата.
Нека намерим точките на пресичане с координатните оси. Замествайки в уравнение (1), намираме, че хиперболата пресича оста в точки . Като го поставим, получаваме уравнение, което няма решения. Това означава, че хиперболата не пресича оста. Точките се наричат върхове на хиперболата. Отсечката = и се нарича реална ос на хиперболата, а отсечката се нарича въображаема ос на хиперболата. Числата и се наричат съответно реална и имагинерна полуос на хиперболата. Правоъгълникът, създаден от осите, се нарича главен правоъгълник на хиперболата.
От уравнение (1) излиза, че , т.е. Това означава, че всички точки на хиперболата са разположени отдясно на правата (дясното разклонение на хиперболата) и отляво на правата (лявото разклонение на хиперболата).
Нека вземем точка върху хиперболата в първата четвърт, т.е. и следователно . От 0" title="Изобразено от QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> 0" title="Представено от QuickLaTeX.com" height="31" width="156" style="vertical-align: -12px;"> , при title="Представено от QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Представено от QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция монотонно возрастает при title="Представено от QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Представено от QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> . Аналогично, так как при title="Представено от QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Представено от QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> , тогда функция выпуклая вверх при title="Представено от QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> title="Представено от QuickLaTeX.com" height="12" width="51" style="vertical-align: 0px;"> .!}

Асимптоти на хипербола

Има две асимптоти на хипербола. Нека намерим асимптотата на клона на хиперболата в първата четвърт и след това използваме симетрията. Помислете за точката през първото тримесечие, т.е. В този случай, , тогава асимптотата има формата: , където

Това означава, че правата е асимптотата на функцията. Следователно, поради симетрията, асимптотите на хипербола са прави линии.

Използвайки установените характеристики, ще изградим клон на хиперболата, който се намира в първата четвърт и ще използваме симетрията:

Ориз. 2

В случая, когато , т.е. хиперболата се описва от уравнението. В тази хипербола има асимптоти, които са ъглополовящи координатни ъгли.

Примери за задачи за изграждане на хипербола

Пример 1

Задача

Намерете осите, върховете, фокусите, ексцентрицитета и уравненията на асимптотите на хиперболата. Построете хипербола и нейните асимптоти.

Решение

Нека редуцираме уравнението на хиперболата до канонична форма:

Сравнявайки това уравнение с каноничното (1) намираме , , . Пикове, фокуси и . ексцентричност; асптоти; Изграждаме парабола. (виж Фиг. 3)

Напишете уравнението на хиперболата:

Решение

Като напишем уравнението на асимптотата във формата, намираме отношението на полуосите на хиперболата. Според условията на задачата следва, че . Следователно задачата беше сведена до решаване на система от уравнения:

Замествайки във второто уравнение на системата, получаваме:

където . Сега го намираме.

Следователно хиперболата има следното уравнение:

Отговор

Хипербола и нейното канонично уравнениеактуализиран: 17 юни 2017 г. от: Научни статии.Ru

Определение . Хиперболата е геометричното място на точките, разликата от всяка от които до две дадени точки, наречени фокуси, е постоянна стойност

Да вземем координатна система, така че фокусите да лежат на абсцисната ос, а началото на координатите разделя сегмента F 1 F 2 наполовина (фиг. 30). Нека означим F 1 F 2 = 2c. Тогава F 1 (c; 0); F 2 (-c; 0)

MF 2 = r 2 , MF 1 = r 1 – фокални радиуси на хиперболата.

Според определението за хипербола, r 1 – r 2 = const.

Нека го означим с 2а

Тогава r 2 - r 1 = ±2a, така че:

=> канонично уравнение на хипербола

Тъй като уравнението на хиперболата x и y е в четни степени, тогава ако точката M 0 (x 0; y 0) лежи върху хиперболата, тогава точките M 1 (x 0; -y 0) M 2 (-x 0) също лежат върху него.-y 0) M 3 (-x 0; -y 0).

Следователно хиперболата е симетрична спрямо двете координатни оси.

Когато y = 0 x 2 = a 2 x = ± a. Върховете на хиперболата ще бъдат точки A 1 (a; 0); A 2 (-a; 0).

. Поради симетрия провеждаме проучване през първото тримесечие

1) при
y има въображаема стойност, следователно точките на хиперболата с абсцисите
не съществува

2) за x = a; y = 0 A 1 (a; 0) принадлежи на хиперболата

3) за x > a; y > 0. Освен това, при неограничено нарастване на x, клонът на хиперболата отива към безкрайност.

От това следва, че хиперболата е крива, състояща се от два безкрайни клона.

P 6. Асимптоти на хипербола

Нека разгледаме заедно с уравнението
уравнение на права

ДА СЕ кривата ще лежи под правата линия (фиг. 31). Помислете за точките N (x, Y) и M (x, y), чиито абсциси са еднакви, и Y - y = MN. Да разгледаме дължината на отсечката MN

Ще намерим

Така че, ако точка М, движейки се по хипербола в първата четвърт, се отдалечава до безкрайност, тогава нейното разстояние от правата линия
намалява и клони към нула.

Поради симетрията, правата има същото свойство
.

Определение. Директен към който при
Кривата се приближава неограничено и се нарича асимптота.

И
така, уравнението на асимптотите на хиперболата
.

Асимптотите на хиперболата са разположени по диагоналите на правоъгълник, едната страна на който е успоредна на оста x и е равна на 2a, а другата е успоредна на оста oy и е равна на 2b, а центърът е на началото на координатите (фиг. 32).

P 7. Ексцентричност и директриси на хипербола

r 2 – r 1 = ± 2a знакът + се отнася за десния клон на хиперболата

знак – отнася се за левия клон на хиперболата

Определение. Ексцентричността на хипербола е отношението на разстоянието между фокусите на тази хипербола към разстоянието между нейните върхове.

. Тъй като c > a, ε > 1

Нека изразим фокалните радиуси на хиперболата по отношение на ексцентричността:

Определение . Да извикаме правите линии
, перпендикулярна на фокалната ос на хиперболата и разположена на разстояниеот центъра му чрез директриси на хиперболи, съответстващи на десния и левия фокус.

T
що се отнася до хиперболата
следователно директрисите на хиперболата са разположени между нейните върхове (фиг. 33). Нека покажем, че съотношението на разстоянията на всяка точка от хиперболата до фокуса и съответната директриса е постоянна стойност и равна на ε.

С. 8 Парабола и нейното уравнение

ОТНОСНО
определение. Параболата е геометричното място на точки, еднакво отдалечени от дадена точка, наречена фокус, и от дадена права, наречена директриса.

За да съставим уравнението на парабола, приемаме за ос x права линия, минаваща през фокуса F 1 перпендикулярно на директрисата и приемаме, че оста x е насочена от директрисата към фокуса. За начало на координатите вземаме средата O на отсечката от точка F до тази права линия, дължината на която означаваме с p (фиг. 34). Ще наричаме стойността p параметър на параболата. Координатна точка на фокус
.

Нека M (x, y) е произволна точка от параболата.

Според определението

при 2 = 2рх – канонично уравнение на парабола

За да определим вида на параболата, трансформираме нейното уравнение
това предполага . Следователно върхът на параболата е в началото и оста на симетрия на параболата е oh. Уравнението y 2 = -2px с положително p се редуцира до уравнението y 2 = 2px чрез замяна на x с –x и неговата графика изглежда (Фиг. 35).

U
Уравнението x2 = 2py е уравнението на парабола с връх в точка O (0; 0), чиито клонове са насочени нагоре.

х
2 = -2ру – уравнение на парабола с център в началото, симетрична спрямо оста y, чиито клонове са насочени надолу (фиг. 36).

Параболата има една ос на симетрия.

Ако x е на първа степен и y е на втора, тогава оста на симетрия е x.

Ако x е на втора степен, а y е на първа степен, тогава оста на симетрия е оста y.

Бележка 1. Уравнението на директрисата на парабола има формата
.

Бележка 2. Тъй като за парабола , Чеε парабола е равна на 1.ε = 1 .

Здравейте, скъпи студенти от университета Аргемона! Добре дошли на поредната лекция за магията на функциите и интегралите.

Днес ще говорим за хипербола. Да започнем просто. Най-простият тип хипербола е:

Тази функция, за разлика от правата линия в нейните стандартни форми, има специална характеристика. Както знаем, знаменателят на една дроб не може да бъде нула, защото не можете да делите на нула.
x ≠ 0
От тук заключаваме, че областта на дефиниция е цялата числова ос, с изключение на точка 0: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Ако x клони към 0 отдясно (записано така: x->0+), т.е. става много, много малко, но остава положително, тогава y става много, много голямо положително (y->+∞).
Ако x клони към 0 отляво (x->0-), т.е. стане много, много малък по абсолютна стойност, но остава отрицателен, тогава y също ще бъде отрицателен, но по абсолютна стойност ще бъде много голям (y->-∞).
Ако x клони към плюс безкрайност (x->+∞), т.е. става много голямо положително число, тогава y ще става все по-малко положително число, т.е. ще клони към 0, оставайки положителен през цялото време (y->0+).
Ако x клони към минус безкрайност (x->-∞), т.е. стане голямо по модул, но отрицателно число, тогава y също винаги ще бъде отрицателно число, но малко по модул (y->0-).

Y, подобно на x, не може да приеме стойност 0. То клони само към нула. Следователно наборът от стойности е същият като домейна на дефиниция: (-∞; 0) ∪ (0; +∞).

Въз основа на тези съображения можем схематично да начертаем графика на функцията

Вижда се, че хиперболата се състои от две части: едната е разположена в първия координатен ъгъл, където стойностите на x и y са положителни, а втората част е в третия координатен ъгъл, където стойностите на x и y са отрицателни.
Ако преминем от -∞ към +∞, тогава виждаме, че нашата функция намалява от 0 до -∞, след това има рязък скок (от -∞ до +∞) и започва вторият клон на функцията, който също намалява, но от +∞ до 0. Тоест тази хипербола е намаляваща.

Ако промените функцията само малко: използвайте магията на минуса,

(1")

Тогава функцията по чудо ще се премести от 1 на 3 координатни кварталипрез 2-ро и 4-то тримесечие и ще се увеличава.

Нека ви напомня, че функцията е повишаване на, ако за две стойности x 1 и x 2 такива, че x 1<х 2 , значения функции находятся в том же отношении f(х 1) < f(х 2).
И функцията ще бъде намаляващи, ако f(x 1) > f(x 2) за същите стойности на x.

Клоните на хиперболата се приближават до осите, но никога не ги пресичат. Наричат се линии, които графиката на функцията се доближава, но никога не пресича асимптотатази функция.
За нашата функция (1) асимптотите са правите x=0 (ос OY, вертикална асимптота) и y=0 (ос OX, хоризонтална асимптота).

Сега нека усложним малко най-простата хипербола и да видим какво се случва с графиката на функцията.

(2)

Току-що добавихме константата „а“ към знаменателя. Добавянето на число към знаменателя като член към x означава преместване на цялата „хиперболична конструкция“ (заедно с вертикалната асимптота) на (-a) позиции надясно, ако a - отрицателно число, и до (a) позиции вляво, ако a — положително число.

На лявата графика към x се добавя отрицателна константа (a<0, значит, -a>0), което води до преместване на графиката надясно, а на дясната графика има положителна константа (a>0), поради което графиката се премества наляво.

И каква магия може да повлияе на прехвърлянето на „хиперболичната структура“ нагоре или надолу? Добавяне на постоянен член към дроб.

(3)

Сега цялата ни функция (двете разклонения и хоризонталната асимптота) ще се покачи с b позиции нагоре, ако b е положително число, и ще се спусне с b позиции надолу, ако b е отрицателно число.

Моля, обърнете внимание, че асимптотите се движат заедно с хиперболата, т.е. хиперболата (и двата й клона) и двете й асимптоти задължително трябва да се разглеждат като неделима структура, която се движи равномерно наляво, надясно, нагоре или надолу. Много е приятно усещането, когато само с добавяне на число можете да накарате цялата функция да се движи във всяка посока. Не е ли магия, която можете да овладеете много лесно и да я насочите по свое усмотрение в правилната посока?
Между другото, можете да контролирате движението на всяка функция по този начин. В следващите уроци ще затвърдим това умение.

Преди да ви попитам домашна работа, искам да насоча вниманието ви към тази функция

(4)

Долният клон на хиперболата се движи от 3-тия координатен ъгъл нагоре - към втория, към ъгъла, където стойността на y е положителна, т.е. този клон се отразява симетрично спрямо оста OX. И сега получаваме четна функция.

Какво означава " дори функция"? Функцията се извиква дори, ако условието е изпълнено: f(-x)=f(x)
Функцията се извиква странно, ако е изпълнено условието: f(-x)=-f(x)
В нашия случай

(5)

Всяка четна функция е симетрична спрямо оста OY, т.е. пергамент с чертеж на графика може да бъде сгънат по оста OY и двете части на графиката точно ще съвпаднат една с друга.

Както виждаме, тази функция също има две асимптоти - хоризонтална и вертикална. За разлика от функциите, разгледани по-горе, тази функция е нарастваща от една страна и намаляваща от друга.

Нека сега се опитаме да манипулираме тази графика, като добавим константи.

(6)

Спомнете си, че добавянето на константа като термин към „x“ кара цялата графика (заедно с вертикалната асимптота) да се движи хоризонтално по хоризонталната асимптота (наляво или надясно, в зависимост от знака на тази константа).

(7)

И добавянето на константата b като член към дроб кара графиката да се движи нагоре или надолу. Всичко е много просто!

Сега опитайте сами да експериментирате с тази магия.

Домашна работа 1.

Всеки приема две функции за своите експерименти: (3) и (7).
a=първата цифра от вашия LD
b=втора цифра от вашия LD
Опитайте се да достигнете до магията на тези функции, като започнете с най-простата хипербола, както направих в урока, и постепенно добавяйки вашите собствени константи. Вече можете да моделирате функция (7) въз основа на окончателната форма на функция (3). Посочете областите на дефиниция, набора от стойности и асимптоти. Как се държат функциите: намаляване, увеличаване. Дори странно. Като цяло, опитайте се да направите същото изследване, както в клас. Може би ще намерите нещо друго, за което забравих да говоря.

Между другото, и двата клона на най-простата хипербола (1) са симетрични по отношение на ъглополовящата на 2-ри и 4-ти координатен ъгъл. Сега си представете, че хиперболата започва да се върти около тази ос. Нека вземем такава хубава фигура, която може да се използва.

Задача 2. Къде може да се използва тази фигура? Опитайте се да начертаете ротационна фигура за функция (4) спрямо нейната ос на симетрия и помислете къде може да намери приложение такава фигура.

Спомняте ли си как в края на последния урок получихме права линия с пробита точка? И ето го последният задача 3.
Постройте графика на тази функция:

(8)

Коефициентите a, b са същите като в задача 1.
c=трета цифра от вашия LD или a-b, ако вашият LD е двуцифрен.
Малък съвет: първо, фракцията, получена след заместване на числата, трябва да бъде опростена и след това ще получите обикновена хипербола, която трябва да конструирате, но в крайна сметка трябва да вземете предвид домейна на дефиниция на оригиналния израз.