По този начин дължината на вектора се изчислява като квадратен корен от сумата на квадратите на неговите координати
. Дължината на n-мерен вектор се изчислява по подобен начин
. Ако си спомним, че всяка координата на вектор е разликата между координатите на края и началото, тогава получаваме формулата за дължината на сегмента, т.е. Евклидово разстояние между точките.

Скаларен продуктдва вектора в равнина е произведението на дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях:
. Може да се докаже, че скаларното произведение на два вектора = (x 1, x 2) и = (y 1 , y 2) е равно на сумата от произведенията на съответните координати на тези вектори:
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2 .

В n-мерното пространство скаларното произведение на векторите X= (x 1, x 2,...,x n) и Y= (y 1, y 2,...,y n) се дефинира като сумата от продуктите на съответните им координати: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

Операцията за умножаване на вектори един по друг е подобна на умножаването на матрица на ред по матрица на колона. Подчертаваме, че резултатът ще бъде число, а не вектор.

Скаларното произведение на векторите има следните свойства (аксиоми):

1) Комутативно свойство: X*Y=Y*X.

2) Разпределително свойство по отношение на събирането: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) За всяко реално число 
.

4)
, ако X не е нулев вектор;
ifX е нулев вектор.

Линейно векторно пространство, в което е дадено скаларно произведение от вектори, което удовлетворява четирите съответни аксиоми, се нарича Евклидов линеен векторпространство.

Лесно е да се види, че когато умножим всеки вектор по себе си, получаваме квадрат на неговата дължина. Така че е различно дължинавектор може да се дефинира като корен квадратен от скаларния му квадрат:.

Дължината на вектора има следните свойства:

1) |X| = 0Х = 0;

2) |X| = ||*|X|, където е реално число;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Неравенството на Коши-Буняковски);

4) |X+Y||X|+|Y| ( неравенство на триъгълник).

Ъгълът  между векторите в n-мерното пространство се определя въз основа на концепцията за скаларно произведение. Всъщност, ако
, Че
. Тази дроб не е по-голяма от единица (според неравенството на Коши-Буняковски), така че от тук можем да намерим .

Двата вектора се наричат ортогоналенили перпендикулярен, ако тяхното скаларно произведение е равно на нула. От дефиницията на скаларното произведение следва, че нулевият вектор е ортогонален на всеки вектор. Ако и двата ортогонални вектора са различни от нула, тогава cos= 0, т.е.=/2 = 90 o.

Нека погледнем отново Фигура 7.4. От фигурата може да се види, че косинусът на ъгъла на наклона на вектора спрямо хоризонталната ос може да се изчисли като
, а косинусът на ъгъланаклон на вектора спрямо вертикалната ос е като
. Тези номера обикновено се наричат насочващи косинуси. Лесно е да се провери, че сумата от квадратите на насочващите косинуси винаги е равна на едно: cos 2 +cos 2 = 1. По същия начин понятията за насочващи косинуси могат да бъдат въведени за пространства с по-високи измерения.

Векторна пространствена основа

За векторите можем да дефинираме понятията линейна комбинация,линейна зависимостИ независимостподобно на начина, по който тези понятия бяха въведени за матрични редове. Също така е вярно, че ако векторите са линейно зависими, тогава поне един от тях може да бъде изразен линейно по отношение на останалите (т.е. това е линейна комбинация от тях). Обратното също е вярно: ако един от векторите е линейна комбинация от другите, тогава всички тези вектори заедно са линейно зависими.

Забележете, че ако сред векторите a l , a 2 ,...a m има нулев вектор, тогава този набор от вектори е задължително линейно зависим. Всъщност получаваме l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0, ако например приравним коефициента  j при нулевия вектор на единица и всички останали коефициенти на нула. В този случай не всички коефициенти ще бъдат равни на нула ( j ≠ 0).

В допълнение, ако част от векторите от набор от вектори са линейно зависими, тогава всички тези вектори са линейно зависими. Всъщност, ако някои вектори дават нулев вектор в тяхната линейна комбинация с коефициенти, които и двата не са нула, тогава останалите вектори, умножени по нулевите коефициенти, могат да бъдат добавени към тази сума от продукти и пак ще бъде нулев вектор.

Как да определим дали векторите са линейно зависими?

Например, нека вземем три вектора: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) и a 3 = (3, 1, 4, 3). Нека създадем матрица от тях, в която те ще бъдат колони:

Тогава въпросът за линейната зависимост ще се сведе до определяне на ранга на тази матрица. Ако се окаже, че е равно на три, тогава и трите колони са линейно независими, а ако се окаже по-малко, тогава това ще означава линейна зависимост на векторите.

Тъй като рангът е 2, векторите са линейно зависими.

Имайте предвид, че решението на проблема може също да започне с разсъждение, което се основава на определението за линейна независимост. А именно, създайте векторно уравнение  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, което ще приеме формата  l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Тогава получаваме система от уравнения:

Решаването на тази система по метода на Гаус ще се сведе до получаване на същата стъпкова матрица, само че ще има още една колона - свободни условия. Всички те ще бъдат нула, тъй като линейните трансформации на нули не могат да доведат до различен резултат. Трансформираната система от уравнения ще приеме формата:

Решението на тази система ще бъде (-с;-с; с), където с е произволно число; например (-1;-1;1). Това означава, че ако приемем  l = -1; 2 =-1 и  3 = 1, тогава  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, т.е. векторите всъщност са линейно зависими.

От решения пример става ясно, че ако вземем броя на векторите, по-голям от размерността на пространството, то те задължително ще бъдат линейно зависими. Всъщност, ако вземем пет вектора в този пример, ще получим матрица 4 x 5, чийто ранг не може да бъде по-голям от четири. Тези. максималният брой линейно независими колони пак няма да бъде повече от четири. Два, три или четири четириизмерни вектора могат да бъдат линейно независими, но пет или повече не могат. Следователно не повече от два вектора могат да бъдат линейно независими в равнината. Всеки три вектора в двумерното пространство са линейно зависими. В триизмерното пространство всеки четири (или повече) вектора винаги са линейно зависими. И така нататък.

Ето защо измерениепространството може да се дефинира като максималния брой линейно независими вектори, които могат да бъдат в него.

Набор от n линейно независими вектора на n-мерно пространство R се нарича базатова пространство.

Теорема. Всеки вектор на линейното пространство може да бъде представен като линейна комбинация от базисни вектори и по уникален начин.

Доказателство. Нека векторите e l , e 2 ,...e n образуват базисно-мерно пространство R. Нека докажем, че всеки вектор X е линейна комбинация от тези вектори. Тъй като заедно с вектора X броят на векторите ще стане (n +1), тези (n +1) вектори ще бъдат линейно зависими, т.е. има числа l , 2 ,..., n ,, които не са едновременно равни на нула, така че

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +Х = 0

В този случай 0, защото в противен случай бихме получили l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, където не всички коефициенти l , 2 ,..., n са равни на нула. Това означава, че базисните вектори ще бъдат линейно зависими. Следователно можем да разделим двете страни на първото уравнение на:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0

Х = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

Х = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,

където x j = -( j /),
.

Сега доказваме, че такова представяне под формата на линейна комбинация е уникално. Да приемем обратното, т.е. че има друго представяне:

X = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Нека извадим от него член по член получения преди това израз:

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n

Тъй като базисните вектори са линейно независими, получаваме, че (y j - x j) = 0,
, т.е. y j ​​​​= x j . Така изразът се оказа същият. Теоремата е доказана.

Изразът X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n се нарича разгражданевектор X базиран на e l, e 2,...e n и числа x l, x 2,...x n - координативектор x спрямо тази основа или в тази основа.

Може да се докаже, че ако n-нулеви вектори на n-мерно евклидово пространство са по двойки ортогонални, тогава те образуват основа. Всъщност, нека умножим двете страни на равенството l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 по всеки вектор e i. Получаваме  l (e l *е i) +  2 (e 2 *е i) +...+  n (e n *е i) = 0   i (e i *е i) = 0   i = 0 за  i.

Вектори e l , e 2 ,...e n от формата на n-мерното евклидово пространство ортонормална основа, ако тези вектори са по двойки ортогонални и нормата на всеки от тях е равна на единица, т.е. ако e i *e j = 0 за i≠j и |е i | = 1 заi.

Теорема (няма доказателство). Във всяко n-мерно евклидово пространство има ортонормална основа.

Пример за ортонормална база е система от n единични вектора e i , за която i-тият компонент е равен на единица, а останалите компоненти са равни на нула. Всеки такъв вектор се нарича орт. Например векторните вектори (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1) формират основата на триизмерното пространство.

Лекция: векторни координати; скаларно произведение на вектори; ъгъл между векторите

Векторни координати

И така, както споменахме по-рано, векторът е насочен сегмент, който има свое начало и край. Ако началото и краят са представени от определени точки, тогава те имат свои собствени координати в равнината или в пространството.

Ако всяка точка има свои собствени координати, тогава можем да получим координатите на целия вектор.

Да кажем, че имаме вектор, чието начало и край имат следните обозначения и координати: A(A x ; Ay) и B(B x ; By)

За да се получат координатите на даден вектор, е необходимо да се извадят съответните координати на началото от координатите на края на вектора:

За да определите координатите на вектор в пространството, използвайте следната формула:

Точково произведение на вектори

Има два начина да се дефинира концепцията за скаларен продукт:

• Геометричен метод. Според него скаларният продукт е равен на произведението на стойностите на тези модули и косинуса на ъгъла между тях.

• Алгебричен смисъл. От гледна точка на алгебрата скаларното произведение на два вектора е определена величина, която се получава в резултат на сумата от произведенията на съответните вектори.

Ако векторите са дадени в пространството, тогава трябва да използвате подобна формула:

Имоти:

• Ако умножите два еднакви вектора скаларно, тогава тяхното скаларно произведение няма да бъде отрицателно:

• Ако скаларното произведение на два еднакви вектора се окаже равно на нула, тогава тези вектори се считат за нула:

• Ако даден вектор се умножи сам по себе си, тогава скаларното произведение ще бъде равно на квадрата на неговия модул:

• Скаларният продукт има комуникативно свойство, тоест скаларният продукт няма да се промени, ако векторите се пренаредят:

• Скаларното произведение на ненулеви вектори може да бъде равно на нула само ако векторите са перпендикулярни един на друг:

• За скаларно произведение на вектори, комутативният закон е валиден в случай на умножаване на един от векторите по число:

• Със скаларно произведение можете също да използвате разпределителното свойство на умножението:

Ъгъл между векторите

В случай на равнинна задача, скаларното произведение на вектори a = (a x; a y) и b = (b x; b y) може да се намери с помощта на следната формула:

a b = a x b x + a y b y

Формула за скаларно произведение на вектори за пространствени задачи

В случай на пространствен проблем, скаларното произведение на векторите a = (a x; a y; a z) и b = (b x; b y; b z) може да се намери с помощта на следната формула:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

Формула за скаларно произведение на n-мерни вектори

В случай на n-мерно пространство, скаларното произведение на вектори a = (a 1; a 2; ...; a n) и b = (b 1; b 2; ...; b n) може да се намери с помощта на следната формула:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Свойства на скаларното произведение на векторите

1. Скаларното произведение на вектор със себе си винаги е по-голямо или равно на нула:

2. Скаларното произведение на вектор със себе си е равно на нула тогава и само ако векторът е равен на нулевия вектор:

a · a = 0<=>а = 0

3. Скаларното произведение на вектор със себе си е равно на квадрата на неговия модул:

4. Операцията скаларно умножение е комуникативна:

5. Ако скаларното произведение на два ненулеви вектора е равно на нула, тогава тези вектори са ортогонални:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>а ┴ б

6. (αa) b = α(a b)

7. Операцията на скаларното умножение е разпределителна:

(a + b) c = a c + b c

Примерни задачи за изчисляване на скаларно произведение на вектори

Примери за изчисляване на скаларно произведение на вектори за равнинни задачи

Намерете скаларното произведение на векторите a = (1; 2) и b = (4; 8).

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Намерете скаларното произведение на векторите a и b, ако техните дължини |a| = 3, |b| = 6, а ъгълът между векторите е 60˚.

Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Намерете скаларното произведение на векторите p = a + 3b и q = 5a - 3 b, ако техните дължини |a| = 3, |b| = 2, а ъгълът между векторите a и b е 60˚.

Решение:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |а| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Пример за изчисляване на скаларното произведение на вектори за пространствени задачи

Намерете скаларното произведение на векторите a = (1; 2; -5) и b = (4; 8; 1).

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Пример за изчисляване на точковия продукт за n-мерни вектори

Намерете скаларното произведение на векторите a = (1; 2; -5; 2) и b = (4; 8; 1; -2).

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Кръстосаното произведение на вектори и вектор се нарича трети вектор , определени както следва:

2) перпендикулярен, перпендикулярен. (1"")

3) векторите са ориентирани по същия начин като основата на цялото пространство (положително или отрицателно).

Обозначете:.

Физическо значение на векторното произведение

— момент на сила спрямо точка O; - радиус - вектор на точката на прилагане на силата, тогава

Освен това, ако го преместим в точка O, тогава тройката трябва да бъде ориентирана като базисен вектор.

Точково произведение на вектори

Продължаваме да се занимаваме с вектори. На първия урок Вектори за манекениРазгледахме концепцията за вектор, действия с вектори, векторни координати и най-простите задачи с вектори. Ако сте попаднали на тази страница за първи път от търсачка, силно препоръчвам да прочетете горната уводна статия, тъй като за да усвоите материала, трябва да сте запознати с термините и обозначенията, които използвам, да имате основни познания за векторите и можете да решавате основни проблеми. Този урок е логично продължение на темата и в него ще анализирам подробно типични задачи, които използват скаларното произведение на векторите. Това е МНОГО ВАЖНА дейност.. Опитайте се да не пропускате примерите; те идват с полезен бонус - практиката ще ви помогне да консолидирате преминатия материал и да се справите по-добре с често срещаните проблеми в аналитичната геометрия.

Събиране на вектори, умножение на вектор с число.... Би било наивно да се мисли, че математиците не са измислили нещо друго. В допълнение към вече обсъдените действия, има редица други операции с вектори, а именно: точково произведение на вектори, векторно произведение на векториИ смесено произведение на вектори. Скаларното произведение на векторите ни е познато от училище; другите две произведения традиционно принадлежат към курса на висшата математика. Темите са прости, алгоритъмът за решаване на много проблеми е ясен и разбираем. Единственото нещо. Има прилично количество информация, така че е нежелателно да се опитвате да овладеете и решите ВСИЧКО НАВЕДНЪЖ. Това важи особено за манекените; повярвайте ми, авторът абсолютно не иска да се чувства като Чикатило от математиката. Е, не и от математиката, разбира се =) По-подготвените ученици могат да използват материалите избирателно, в известен смисъл, да „получат“ липсващите знания; за вас аз ще бъда безобиден граф Дракула =)

Нека най-после отворим вратата и гледаме с ентусиазъм какво се случва, когато два вектора се срещнат...

Дефиниция на скаларното произведение на векторите.
Свойства на скаларното произведение. Типични задачи

Концепцията за точков продукт

Първо за ъгъл между векторите. Мисля, че всеки интуитивно разбира какъв е ъгълът между векторите, но за всеки случай малко повече подробности. Нека разгледаме свободни ненулеви вектори и . Ако начертаете тези вектори от произволна точка, ще получите картина, която мнозина вече са си представили мислено:

Признавам, тук описах ситуацията само на ниво разбиране. Ако имате нужда от стриктна дефиниция на ъгъла между векторите, моля, обърнете се към учебника за практически задачи, по принцип не ни е полезен. Също така ТУК И ТУК ще игнорирам нулевите вектори на места поради ниското им практическо значение. Направих резервация специално за напреднали посетители на сайта, които могат да ме упрекнат в теоретичната непълнота на някои последващи твърдения.

може да приема стойности от 0 до 180 градуса (0 до радиани), включително. Аналитично този факт се записва под формата на двойно неравенство: или (в радиани).

В литературата символът за ъгъл често се пропуска и просто се изписва.

определение:Скаларното произведение на два вектора е ЧИСЛО, равно на произведението на дължините на тези вектори и косинуса на ъгъла между тях:

Сега това е доста строго определение.

Ние се фокусираме върху съществена информация:

Обозначаване:скаларното произведение се означава с или просто.

Резултатът от операцията е ЧИСЛО: Векторът се умножава по вектор и резултатът е число. Наистина, ако дължините на векторите са числа, косинусът на ъгъл е число, тогава техният продукт също ще бъде число.

Само няколко примера за загряване:

Пример 1

Решение:Използваме формулата . В такъв случай:

Отговор:

Косинусовите стойности могат да бъдат намерени в тригонометрична таблица. Препоръчвам да го отпечатате - ще е необходимо в почти всички секции на кулата и ще е необходимо много пъти.

От чисто математическа гледна точка скаларното произведение е безразмерно, тоест резултатът в този случай е просто число и това е. От гледна точка на физичните проблеми, скаларното произведение винаги има определен физически смисъл, тоест след резултата трябва да се посочи една или друга физическа единица. Каноничен пример за изчисляване на работата на сила може да се намери във всеки учебник (формулата е точно скаларен продукт). Работата на силата се измерва в джаули, следователно отговорът ще бъде написан доста конкретно, например, .

Пример 2

Намерете дали , а ъгълът между векторите е равен на .

Това е пример, който трябва да решите сами, отговорът е в края на урока.

Ъгъл между векторите и стойността на точковия продукт

В пример 1 скаларното произведение се оказва положително, а в пример 2 – отрицателно. Нека да разберем от какво зависи знакът на скаларното произведение. Нека да разгледаме нашата формула: . Дължините на ненулевите вектори винаги са положителни: , така че знакът може да зависи само от стойността на косинуса.

Забележка: За да разберете по-добре информацията по-долу, е по-добре да проучите косинусната графика в ръководството Функционални графики и свойства. Вижте как косинусът се държи на отсечката.

Както вече беше отбелязано, ъгълът между векторите може да варира в рамките , като са възможни следните случаи:

1) Ако ъгълмежду вектори пикантен: (от 0 до 90 градуса), след това , И точковият продукт ще бъде положителен съвместно режисиран, тогава ъгълът между тях се счита за нула и скаларният продукт също ще бъде положителен. Тъй като , формулата опростява: .

2) Ако ъгълмежду вектори тъп: (от 90 до 180 градуса), след това , и съответно, точковият продукт е отрицателен: . Специален случай: ако векторите противоположни посоки, тогава се разглежда ъгълът между тях разширена: (180 градуса). Скаларното произведение също е отрицателно, тъй като

Обратните твърдения също са верни:

1) Ако , тогава ъгълът между тези вектори е остър. Алтернативно, векторите са съпосочни.

2) Ако , тогава ъгълът между тези вектори е тъп. Алтернативно, векторите са в противоположни посоки.

Но третият случай е от особен интерес:

3) Ако ъгълмежду вектори прав: (90 градуса), тогава скаларното произведение е нула: . Обратното също е вярно: ако , то . Твърдението може да се формулира компактно по следния начин: Скаларното произведение на два вектора е нула тогава и само ако векторите са ортогонални. Кратка математическа нотация:

! Забележка : Да повторим основи на математическата логика: Двустранна икона за логическо следствие обикновено се чете "ако и само ако", "ако и само ако". Както можете да видите, стрелките са насочени в двете посоки - "от това следва това и обратно - от това следва това." Между другото, каква е разликата от иконата за еднопосочно следване? Иконата гласи само че, че „от това следва това“, и не е факт, че е вярно обратното. Например: , но не всяко животно е пантера, така че в този случай не можете да използвате иконата. В същото време, вместо иконата Могаизползвайте едностранна икона. Например, докато решавахме задачата, открихме, че заключихме, че векторите са ортогонални: - такъв запис ще бъде правилен и дори по-подходящ от .

Третият случай има голямо практическо значение, тъй като ви позволява да проверите дали векторите са ортогонални или не. Ще решим този проблем във втория раздел на урока.

Свойства на точковия продукт

Нека се върнем към ситуацията, когато два вектора съвместно режисиран. В този случай ъгълът между тях е нула, , а формулата за скаларно произведение приема формата: .

Какво се случва, ако един вектор се умножи сам по себе си? Ясно е, че векторът е подравнен със себе си, така че използваме горната опростена формула:

Номерът се нарича скаларен квадратвектор и се означават като .

По този начин, скаларният квадрат на вектор е равен на квадрата на дължината на дадения вектор:

От това равенство можем да получим формула за изчисляване на дължината на вектора:

Засега изглежда неясно, но целите на урока ще поставят всичко на мястото си. За решаване на проблемите, от които се нуждаем свойства на точковия продукт.

За произволни вектори и всяко число са верни следните свойства:

1) – комутативен или комутативензакон за скаларен продукт.

2) – разпространение или разпределителензакон за скаларен продукт. Просто можете да отворите скобите.

3) – асоциативни или асоциативензакон за скаларен продукт. Константата може да бъде получена от скаларното произведение.

Често всякакви имоти (които също трябва да бъдат доказани!) се възприемат от студентите като ненужни боклуци, които трябва само да бъдат запомнени и безопасно забравени веднага след изпита. Изглежда, че това, което е важно тук, всеки вече знае от първи клас, че пренареждането на факторите не променя продукта: . Трябва да ви предупредя, че във висшата математика е лесно да се объркат нещата с такъв подход. Така, например, свойството комутативност не е вярно за алгебрични матрици. Също така не е вярно за векторно произведение на вектори. Следователно най-малкото е по-добре да се задълбочите във всички свойства, които срещате в курса по висша математика, за да разберете какво можете и какво не можете.

Пример 3

.

Решение:Първо, нека изясним ситуацията с вектора. Какво е това все пак? Сумата от вектори е добре дефиниран вектор, който се означава с . Геометрична интерпретация на действия с вектори можете да намерите в статията Вектори за манекени. Същият магданоз с вектор е сборът от векторите и .

И така, според условието се изисква да се намери скаларното произведение. На теория трябва да приложите работещата формула , но проблемът е, че не знаем дължините на векторите и ъгъла между тях. Но условието дава подобни параметри за вектори, така че ще поемем по различен маршрут:

(1) Заменете изразите на векторите.

(2) Отваряме скобите според правилото за умножение на полиноми; в статията може да се намери вулгарен език Комплексни числаили Интегриране на дробно-рационална функция. Няма да се повтарям =) Между другото, разпределителното свойство на скаларното произведение ни позволява да отворим скобите. Имаме право.

(3) В първия и последния член записваме компактно скаларните квадрати на векторите: . Във втория член използваме комутативността на скаларното произведение: .

(4) Представяме подобни условия: .

(5) В първия член използваме формулата за скаларен квадрат, която беше спомената не толкова отдавна. В последния мандат съответно работи същото: . Разширяваме втория член според стандартната формула .

(6) Заменете тези условия , и ВНИМАТЕЛНО извършете окончателните изчисления.

Отговор:

Отрицателна стойност на скаларното произведение показва факта, че ъгълът между векторите е тъп.

Проблемът е типичен, ето пример как да го разрешите сами:

Пример 4

Намерете скаларното произведение на вектори и ако е известно, че .

Сега друга често срещана задача, само за новата формула за дължината на вектор. Нотацията тук ще бъде малко припокриваща се, така че за по-голяма яснота ще я пренапиша с различна буква:

Пример 5

Намерете дължината на вектора, ако .

Решениеще бъде както следва:

(1) Предоставяме израза за вектора .

(2) Използваме формулата за дължина: и целият израз ve действа като вектор „ve“.

(3) Използваме училищната формула за квадрат на сбора. Забележете как работи тук по любопитен начин: – всъщност това е квадратът на разликата и всъщност е така. Желаещите могат да пренаредят векторите: - случва се същото, до пренареждането на членовете.

(4) Това, което следва, вече е познато от предишните две задачи.

Отговор:

Тъй като говорим за дължина, не забравяйте да посочите размерите - „единици“.

Пример 6

Намерете дължината на вектора, ако .

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.

Продължаваме да изстискваме полезни неща от точковия продукт. Нека да разгледаме нашата формула отново . Използвайки правилото на пропорцията, нулираме дължините на векторите до знаменателя на лявата страна:

Нека разменим частите:

Какъв е смисълът на тази формула? Ако са известни дължините на два вектора и тяхното скаларно произведение, тогава можем да изчислим косинуса на ъгъла между тези вектори и, следователно, самия ъгъл.

Точковият продукт число ли е? Номер. Дължините на вектора числа ли са? Числа. Това означава, че дробта също е число. И ако косинусът на ъгъла е известен: , тогава с помощта на обратната функция е лесно да се намери самият ъгъл: .

Пример 7

Намерете ъгъла между векторите и ако е известно, че .

Решение:Използваме формулата:

На последния етап от изчисленията е използван технически похват - елиминиране на ирационалност в знаменателя. За да премахна ирационалността, умножих числителя и знаменателя по .

Така че, ако , Че:

Стойностите на обратните тригонометрични функции могат да бъдат намерени от тригонометрична таблица. Въпреки че това се случва рядко. В задачите на аналитичната геометрия, много по-често някоя тромава мечка като , и стойността на ъгъла трябва да се намери приблизително с помощта на калкулатор. Всъщност ще видим такава картина повече от веднъж.

Отговор:

Отново не забравяйте да посочите размерите - радиани и градуси. Лично аз, за ​​да „разреша всички въпроси“, предпочитам да посоча и двете (освен ако условието, разбира се, не изисква представяне на отговора само в радиани или само в градуси).

Сега можете самостоятелно да се справите с по-сложна задача:

Пример 7*

Дадени са дължините на векторите и ъгълът между тях. Намерете ъгъла между векторите , .

Задачата не е толкова трудна, колкото е многоетапна.
Нека да разгледаме алгоритъма за решение:

1) Според условието трябва да намерите ъгъла между векторите и , така че трябва да използвате формулата .

2) Намерете скаларното произведение (вижте примери № 3, 4).

3) Намерете дължината на вектора и дължината на вектора (вижте примери № 5, 6).

4) Краят на решението съвпада с пример № 7 - знаем числото , което означава, че е лесно да се намери самият ъгъл:

Кратко решение и отговор в края на урока.

Вторият раздел на урока е посветен на същото скаларно произведение. Координати. Ще бъде още по-лесно, отколкото в първата част.

Точково произведение на вектори,
зададени от координати в ортонормална основа

Отговор:

Излишно е да казвам, че работата с координати е много по-приятна.

Пример 14

Намерете скаларното произведение на вектори и ако

Това е пример, който можете да решите сами. Тук можете да използвате асоциативността на операцията, тоест не броете, а веднага извадете тройката извън скаларното произведение и я умножете по нея последна. Решението и отговорът са в края на урока.

В края на раздела, провокативен пример за изчисляване на дължината на вектор:

Пример 15

Намерете дължините на векторите , Ако

Решение:Методът от предишния раздел се предлага отново: но има и друг начин:

Нека намерим вектора:

И дължината му по тривиалната формула :

Точковият продукт тук изобщо не е от значение!

Също така не е полезно при изчисляване на дължината на вектор:
Спри се. Не трябва ли да се възползваме от очевидното свойство на дължината на вектора? Какво можете да кажете за дължината на вектора? Този вектор е 5 пъти по-дълъг от вектора. Посоката е противоположна, но това няма значение, защото говорим за дължина. Очевидно дължината на вектора е равна на произведението модулчисла за дължина на вектора:
– знакът за модул „изяжда” възможния минус на числото.

По този начин:

Отговор:

Формула за косинуса на ъгъла между векторите, които са зададени с координати

Сега имаме пълна информация, за да използваме получената по-рано формула за косинуса на ъгъла между векторите изрази чрез векторни координати:

Косинус на ъгъла между равнинните вектории , определени в ортонормална основа, изразено с формулата:
.

Косинус на ъгъла между пространствените вектори, определени в ортонормална основа, изразено с формулата:

Пример 16

Дадени са три върха на триъгълник. Намерете (ъгъл на върха).

Решение:Според условията чертежът не е задължителен, но все пак:

Необходимият ъгъл е маркиран със зелена дъга. Нека веднага да си спомним училищното обозначение на ъгъл: – специално внимание на средно аритметичнобуква - това е върхът на ъгъла, от който се нуждаем. За краткост можете също да напишете просто .

От чертежа е съвсем очевидно, че ъгълът на триъгълника съвпада с ъгъла между векторите и, с други думи: .

Препоръчително е да се научите как да извършвате анализа психически.

Нека намерим векторите:

Нека изчислим скаларното произведение:

И дължините на векторите:

Косинус от ъгъл:

Точно това е редът на изпълнение на задачата, който препоръчвам за манекени. По-напредналите читатели могат да напишат изчисленията „на един ред“:

Ето пример за „лоша“ косинусова стойност. Получената стойност не е окончателна, така че няма смисъл да се отървем от ирационалността в знаменателя.

Нека намерим самия ъгъл:

Ако погледнете чертежа, резултатът е доста правдоподобен. За проверка ъгълът може да се измери и с транспортир. Не повреждайте капака на монитора =)

Отговор:

В отговора не забравяме това попита за ъгъла на триъгълник(а не за ъгъла между векторите), не забравяйте да посочите точния отговор: и приблизителната стойност на ъгъла: , намерено с помощта на калкулатор.

Тези, които са се насладили на процеса, могат да изчислят ъглите и да проверят валидността на каноничното равенство

Пример 17

Триъгълникът се определя в пространството от координатите на неговите върхове. Намерете ъгъла между страните и

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока

Кратък последен раздел ще бъде посветен на прогнозите, които също включват скаларен продукт:

Проекция на вектор върху вектор. Проекция на вектор върху координатни оси.
Насочващи косинуси на вектор

Помислете за векторите и:

Нека проектираме вектора върху вектора, от началото и края на вектора, който пропускаме перпендикулярикъм вектор (зелени пунктирани линии). Представете си, че лъчите светлина падат перпендикулярно на вектора. Тогава сегментът (червената линия) ще бъде „сянката“ на вектора. В този случай проекцията на вектора върху вектора е ДЪЛЖИНАТА на сегмента. Тоест, ПРОЕКЦИЯТА Е ЧИСЛО.

Това ЧИСЛО се обозначава по следния начин: „голям вектор“ означава вектора КОЙТОпроект, „вектор с малък индекс“ означава вектора НАкойто се проектира.

Самият запис гласи така: „проекция на вектор „a“ върху вектор „be“.“

Какво се случва, ако векторът "be" е "твърде къс"? Начертаваме права линия, съдържаща вектора "be". И вектор „а“ вече ще бъде проектиран към посоката на вектора "be", просто - към правата линия, съдържаща вектора "be". Същото ще се случи, ако векторът „а“ бъде отложен в тридесетото царство - той все още лесно ще се проектира върху правата линия, съдържаща вектора „бе“.

Ако ъгълътмежду вектори пикантен(както е на снимката), тогава

Ако векторите ортогонален, тогава (проекцията е точка, чиито размери се считат за нула).

Ако ъгълътмежду вектори тъп(на фигурата мислено пренаредете векторната стрелка), след това (същата дължина, но взета със знак минус).

Нека начертаем тези вектори от една точка:

Очевидно, когато един вектор се движи, неговата проекция не се променя