Сборът и произведението на корените на уравнението са равни. Как да намерим сумата от корените на уравнение

може да се намери чрез умножение. Например: 5+5+5+5+5+5=5x6. Те казват за такъв израз, че сумата от равни членове е сгъната в продукт. И обратното, ако прочетем това равенство отдясно наляво, получаваме, че сме разширили сбора от равни членове. По същия начин можете да сгънете произведението на няколко равни множителя 5x5x5x5x5x5=5 6 .

Тоест, вместо да умножаваме шест същите множители 5x5x5x5x5x5 напишете 5 6 и кажете "пет на шеста степен."

Изразът 5 6 е степен на число, където:

5 - основа на степента;

6 - експонент.

Операциите, чрез които произведението на равни множители се сгъва в степен, се наричат степенуване.

AT общ изгледстепен с основа "a" и показател "n" се записва като

Повишаването на числото a на степен n означава намиране на произведението от n множителя, всеки от които е равен на a

Ако основата на степента "a" е 1, тогава стойността на степента за всяко естествено n ще бъде равна на 1. Например, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Ако увеличите числото "a", вдигнете до първа степен, тогава получаваме самото число a: a 1 = a

Ако повишите произволно число до нулева степен, тогава в резултат на изчисленията получаваме едно. а 0 = 1

Втората и третата степен на число се считат за специални. Те измислиха имена за тях: втората степен се нарича квадрат на число, трето - кубтози номер.

Всяко число може да бъде повдигнато на степен - положителна, отрицателна или нула. Следните правила обаче не се използват:

При намиране на степента на положително число се получава положително число.

При изчисляване на нула в естествена степенполучаваме нула.

x m х n = x m + n

например: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Да се разделяне на степени с една и съща основане променяме основата, а изваждаме степените:

x m / x n \u003d x m - n , където, m > n

пр.: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

При изчисляване степенуванеНие не променяме основата, но умножаваме степените един по друг.

(при м )н = y m н

например: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(Х · y) n = x n · м ,

например: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

При извършване на изчисления за степенуване на дробповдигаме числителя и знаменателя на дробта на дадената степен

(x/y)n = x n / y n

например: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .

Последователността на извършване на изчисления при работа с изрази, съдържащи степен.

При извършване на изчисления на изрази без скоби, но съдържащи степени, първо се извършва степенуване, след това операциите умножение и деление и едва след това операциите събиране и изваждане.

Ако е необходимо да се оцени израз, съдържащ скоби, тогава първо, в реда, посочен по-горе, правим изчисленията в скоби, а след това останалите действия в същия ред отляво надясно.

Много широко в практическите изчисления, за да се опростят изчисленията, се използват готови таблици с градуси.

В продължение на разговора за степента на числото е логично да се занимаваме с намирането на стойността на степента. Този процес е наименуван степенуване. В тази статия просто ще проучим как се извършва степенуването, като същевременно ще се докоснем до всички възможни степени - естествени, цели, рационални и ирационални. И по традиция ще разгледаме подробно решенията на примери за повишаване на числата в различни степени.

Навигация в страницата.

Какво означава "степенуване"?

Нека започнем, като обясним какво се нарича степенуване. Ето съответното определение.

Определение.

степенуванее да се намери стойността на степента на число.

По този начин намирането на стойността на степента на a със степента r и повишаването на числото a на степен r е едно и също нещо. Например, ако задачата е „изчислете стойността на степен (0,5) 5“, тогава тя може да бъде преформулирана по следния начин: „Повишете числото 0,5 на степен 5“.

Сега можете да преминете директно към правилата, по които се извършва степенуването.

Повишаване на число на естествена степен

На практика равенството, основано на, обикновено се прилага във формата . Тоест, когато числото a се повдига на дробна степен m / n, първо се извлича коренът на n-та степен от числото a, след което резултатът се повишава на цяла степен m.

Обмислете решения на примери за повдигане на дробна степен.

Пример.

Изчислете стойността на градуса.

Решение.

Показваме две решения.

Първи начин. По дефиниция на степен с дробен показател. Изчисляваме стойността на степента под знака на корена, след което извличаме кубичен корен: .

Вторият начин. По дефиниция на степен с дробен показател и въз основа на свойствата на корените равенствата са верни . Сега извадете корена Накрая повдигаме на цяла степен .

Очевидно получените резултати от повишаването на дробна степен съвпадат.

Отговор:

Обърнете внимание, че дробният показател може да се запише като десетична дробили смесено число, в тези случаи трябва да се замени със съответната обикновена дроб, след което да се извърши степенуване.

Пример.

Изчислете (44,89) 2,5 .

Решение.

Записваме показателя във формата обикновена дроб(ако е необходимо, вижте статията): . Сега извършваме повдигане до дробна степен:

Отговор:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Трябва също да се каже, че повишаването на числата до рационални степени е доста трудоемък процес (особено когато числителят и знаменателят дробен индикаторградуса са достатъчни големи числа), което обикновено се извършва с помощта на компютърна технология.

В заключение на този параграф ще се спрем на конструкцията на числото нула на дробна степен. дробна степеннула на формата, дадохме следното значение: защото имаме , докато нула на степен m/n не е дефинирана. Значи нула в дробна част положителна степене равно на нула, например . И нула в дробна отрицателна степен няма смисъл, например изразите и 0 -4,3 нямат смисъл.

Издигане до ирационална степен

Понякога става необходимо да се намери стойността на степента на число с ирационален показател. В същото време, в практически целиобикновено е достатъчно да се получи стойността на градуса до някакъв знак. Веднага отбелязваме, че тази стойност се изчислява на практика с помощта на електронна изчислителна технология, тъй като се повишава до ir рационална степенръчно изисква Голям бройтромави изчисления. Ние обаче ще опишем в общи линиисъщност на действието.

За да се получи приблизителна стойност на степента на a с ирационален показател, се взема някакво десетично приближение на показателя и се изчислява стойността на показателя. Тази стойност е приблизителната стойност на степента на числото a с ирационален показател. Колкото по-точно десетично приближение на числото е взето първоначално, толкова по-точна ще бъде градусната стойност в крайна сметка.

Като пример, нека изчислим приблизителната стойност на степента на 2 1,174367... . Вземете следното десетично приближение ирационален показател: . Сега повдигаме 2 до рационална степен 1,17 (описахме същността на този процес в предишния параграф), получаваме 2 1,17 ≈ 2,250116. По този начин, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ако вземем по-точно десетично приближение на ирационален експонент, например, тогава получаваме по-точна стойност на първоначалната степен: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Библиография.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Учебник по математика Ж за 5 клетки. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 7 клетки. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 8 клетки. образователни институции.
• Макаричев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник за 9 клетки. образователни институции.
• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати за технически училища).

Урок и презентация на тема: "Степен с отрицателен показател. Определение и примери за решаване на задачи"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения. Всички материали се проверяват с антивирусна програма.

Учебни помагала и тренажори в онлайн магазин "Интеграл" за 8 клас
Ръководство за учебника Muravina G.K. Ръководство за учебника Alimova Sh.A.

Определяне на степен с отрицателен показател

Момчета, добри сме в повишаването на числата на степен.
Например: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Знаем добре, че всяко число на нулева степен е равно на единица. $a^0=1$, $a≠0$.
Възниква въпросът какво се случва, ако повдигнете число на отрицателна степен? Например, на какво би било равно числото $2^(-2)$?
Първите математици, които зададоха този въпрос, решиха, че не си струва да изобретяват колелото и е добре всички свойства на степените да останат същите. Тоест при умножаване на мощности с същата база, показателите се сумират.
Нека разгледаме този случай: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Разбрахме, че произведението на такива числа трябва да дава единица. Единицата в продукта се получава чрез умножаване на реципрочните стойности, тоест $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Такива разсъждения доведоха до следното определение.
Определение. Ако $n$ естествено числои $а≠0$, тогава е валидно следното равенство: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Важна идентичност, която често се използва: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
По-специално, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Примери за решения

Пример 1
Изчислете: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Решение.
Нека разгледаме всеки термин поотделно.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4)$.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Остава да извършите операции събиране и изваждане: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Отговор: $6\frac(1)(4)$.

Пример 2
Изразете дадено число като степен просто число$\frac(1)(729)$.

Решение.
Очевидно $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Но 729 не е просто число, завършващо на 9. Можем да приемем, че това число е степен на три. Нека последователно разделим 729 на 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Извършени са шест операции, което означава: $729=3^6$.
За нашата задача:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Отговор: $3^(-6)$.

Пример 3. Изразете израза като степен: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Решение. Първата операция винаги се извършва вътре в скобите, след това умножението $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Отговор: $a$.

Пример 4. Докажете идентичността:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Решение.
От лявата страна разгледайте всеки фактор в скоби поотделно.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Да преминем към дробта, на която делим.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Да направим делението.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Получихме точната самоличност, която трябваше да бъде доказана.

В края на урока отново ще запишем правилата за действия със степени, тук показателят е цяло число.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Задачи за самостоятелно решаване

1. Изчислете: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Представете даденото число като степен на просто число $\frac(1)(16384)$.
3. Изразете израза като степен:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Докажете самоличността:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.