Свойство на съседни ъгли на успоредник. "успоредник и неговите свойства"

Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки. Следната фигура показва успоредник ABCD. Страната AB е успоредна на страната CD и страната BC е успоредна на страната AD.

Както може би се досещате, успоредник е изпъкнал четириъгълник. Нека разгледаме основните свойства на успоредник.

Свойства на успоредник

1. В успоредника срещуположните ъгли и срещуположните страни са равни. Нека докажем това свойство - разгледайте успоредника, представен на следващата фигура.

Диагоналът BD го разделя на два равни триъгълника: ABD и CBD. Те са равни по страната BD и двата прилежащи към нея ъгъла, тъй като ъглите, лежащи на кръст при секущата BD на успоредните прави BC и AD и съответно AB и CD. Следователно AB = CD и
пр.н.е. А от равенството на ъгли 1, 2, 3 и 4 следва, че ъгъл A = ъгъл1 + ъгъл3 = ъгъл2 + ъгъл4 = ъгъл C.

2. Диагоналите на успоредник се делят наполовина от пресечната точка. Нека точка O е пресечната точка на диагоналите AC и BD на успоредника ABCD.

Тогава триъгълник AOB и триъгълник COD са равни един на друг, по протежение на страната и два съседни ъгъла. (AB = CD, тъй като това са противоположните страни на успоредника. И ъгъл 1 = ъгъл 2 и ъгъл 3 = ъгъл 4 са като напречни ъгли, когато правите AB и CD се пресичат съответно със секущите AC и BD.) От това следва, че AO = OC и OB = OD, което трябваше да бъде доказано.

Всички основни свойства са илюстрирани на следващите три фигури.

Концепция за успоредник

Определение 1

Успореднике четириъгълник, в който срещуположните страни са успоредни една на друга (фиг. 1).

Снимка 1.

Успоредникът има две основни свойства. Нека ги разгледаме без доказателства.

Свойство 1: Противоположните страни и ъглите на успоредника са съответно равни.

Свойство 2: Диагоналите, начертани в успоредник, се разполовяват от тяхната пресечна точка.

Признаци на успоредник

Нека разгледаме три характеристики на успоредник и да ги представим под формата на теореми.

Теорема 1

Ако две страни на четириъгълник са равни една на друга и също са успоредни, тогава този четириъгълник ще бъде успоредник.

Доказателство.

Нека ни е даден четириъгълник $ABCD$. В който $AB||CD$ и $AB=CD$ Нека начертаем в него диагонал $AC$ (фиг. 2).

Фигура 2.

Да разгледаме успоредни прави $AB$ и $CD$ и техния секанс $AC$. Тогава

\[\ъгъл CAB=\ъгъл DCA\]

като кръстосани ъгли.

Според $I$ критерия за равенство на триъгълниците,

тъй като $AC$ е техен обща странаи $AB=CD$ по условие. Средства

\[\ъгъл DAC=\ъгъл ACB\]

Да разгледаме правите $AD$ и $CB$ и техния секанс $AC$; чрез последното равенство между лежащите ъгли получаваме, че $AD||CB$.) Следователно, по дефиниция $1$, този четириъгълник е успоредник.

Теоремата е доказана.

Теорема 2

Ако противоположните страни на четириъгълник са равни една на друга, то той е успоредник.

Доказателство.

Нека ни е даден четириъгълник $ABCD$. В които $AD=BC$ и $AB=CD$. Нека начертаем в него диагонал $AC$ (фиг. 3).

Фигура 3.

Тъй като $AD=BC$, $AB=CD$ и $AC$ е обща страна, то по $III$ критерия за равенство на триъгълниците,

\[\триъгълник DAC=\триъгълник ACB\]

\[\ъгъл DAC=\ъгъл ACB\]

Нека разгледаме правите $AD$ и $CB$ и техния секанс $AC$; чрез последното равенство между лежащите ъгли получаваме, че $AD||CB$. Следователно, по дефиниция $1$, този четириъгълник е успоредник.

\[\ъгъл DCA=\ъгъл CAB\]

Нека разгледаме правите $AB$ и $CD$ и техния секанс $AC$; чрез последното равенство между лежащите ъгли получаваме, че $AB||CD$. Следователно по Дефиниция 1 този четириъгълник е успоредник.

Теоремата е доказана.

Теорема 3

Ако диагоналите, начертани в четириъгълник, се разделят на две равни части от тяхната пресечна точка, то този четириъгълник е успоредник.

Доказателство.

Нека ни е даден четириъгълник $ABCD$. Нека начертаем диагонали $AC$ и $BD$ в него. Нека се пресичат в точка $O$ (фиг. 4).

Фигура 4.

Тъй като по условие $BO=OD,\ AO=OC$ и ъглите $\angle COB=\angle DOA$ са вертикални, то по $I$ критерия за равенство на триъгълниците,

\[\триъгълник BOC=\триъгълник AOD\]

\[\ъгъл DBC=\ъгъл BDA\]

Да разгледаме правите $BC$ и $AD$ и техния секанс $BD$; чрез последното равенство между лежащите ъгли получаваме, че $BC||AD$. Също така $BC=AD$. Следователно, съгласно теорема $1$, този четириъгълник е успоредник.

Обобщение на урока.

Алгебра 8 клас

Учителят Сисой А.К.

Училище 1828г

Тема на урока: „Успоредник и неговите свойства“

Тип урок: комбиниран

Цели на урока:

1) Осигурете усвояването на нова концепция - успоредник и неговите свойства

2) Продължете да развивате умения и способности за решаване геометрични задачи;

3) Развитие на културата математическа реч

План на урока:

1. Организиране на времето

(Слайд 1)

Слайдът показва изявление на Луис Карол. Учениците се информират за целта на урока. Проверява се готовността на учениците за урока.

2. Актуализиране на знанията

(Слайд 2)

На дъската има задачи за устна работа. Учителят кани учениците да помислят върху тези проблеми и да вдигнат ръце към тези, които разбират как да решат проблема. След решаване на две задачи на дъската се извиква ученик за доказване на теоремата за сбора на ъглите, който самостоятелно прави допълнителни постройки върху чертежа и доказва устно теоремата.

Учениците използват формулата за сумата от ъглите на многоъгълник:

3. Основна част

(Слайд 3)

Дефиниция на успоредник на дъската. Учителят говори за нова фигура и формулира определение, като прави необходимите обяснения с помощта на чертеж. След това върху карираната част на презентацията с помощта на маркер и линийка показва как се чертае успоредник (възможни са няколко случая)

(Слайд 4)

Учителят формулира първото свойство на успоредник. Кани учениците да кажат от чертежа какво е дадено и какво трябва да се докаже. След това дадената задача се появява на дъската. Учениците се досещат (може и с помощта на учителя), че търсените равенства трябва да се доказват чрез равенствата на триъгълници, които се получават чрез начертаване на диагонал (на дъската се появява диагонал). След това учениците се досещат защо триъгълниците са равни и назовават знака, че триъгълниците са равни (появява се подходяща форма). Те устно съобщават фактите, които са необходими, за да направят триъгълниците равни (както ги назоват, се появява съответна визуализация). След това учениците формулират свойството равни триъгълници, то се появява като точка 3 от доказателството и след това те независимо завършват устно доказателството на теоремата.

(Слайд 5)

Учителят формулира второто свойство на успоредник. На дъската се появява чертеж на успоредник. Учителят предлага да използвате картината, за да кажете какво е дадено и какво трябва да се докаже. След като учениците докладват правилно какво е дадено и какво трябва да се докаже, се появява условието на теоремата. Учениците се досещат, че равенството на частите на диагоналите може да се докаже чрез равенството на триъгълницитеAOBИ C.O.D.. Използвайки предишното свойство на успоредник, човек предполага, че страните са равниABИ CD. Тогава разбират, че трябва да намерят равни ъгли и, използвайки свойствата на успоредните прави, да докажат равенството на съседните равни страниъгли Тези етапи са визуализирани на слайда. Верността на теоремата следва от равенството на триъгълниците - учениците я казват и на слайда се появява съответна визуализация.

(Слайд 6)

Учителят формулира третото свойство на успоредник. В зависимост от оставащото време до края на урока, учителят може да даде възможност на учениците самостоятелно да докажат това свойство или да се ограничат до неговата формулировка, а самото доказателство да остави на учениците като домашна работа. Доказателството може да се базира на сбора от ъглите на вписан многоъгълник, който беше повторен в началото на урока, или на сбора от вътрешните едностранни ъгли на две успоредни правиADИ пр.н.е., и секанс, напримерAB.

4. Фиксиране на материала

На този етап учениците използват предварително научени теореми за решаване на проблеми. Учениците избират самостоятелно идеи за решаване на проблема. защото възможни вариантиИма много дизайн и всички те зависят от това как учениците ще търсят решение на задачата, няма визуализация на решението на задачите, а учениците самостоятелно чертаят всеки етап от решението на отделна дъска с записване на решението в тетрадка.

(Слайд 7)

Появява се условието на задачата. Учителят предлага да се формулира „Дадено“ според условието. След като учениците правилно съставят кратка бележкаусловия, на дъската се появява „Дадено“. Процесът за решаване на проблема може да изглежда така:

Нека начертаем височината BH (визуализирано)

Триъгълникът AHB е правоъгълен триъгълник. Ъгъл А равен на ъгъл C и е равно на 30 0 (според свойството на противоположни ъгли в успоредник). 2BH =AB (по свойството на катета, лежащ срещу ъгъл от 30 0 in правоъгълен триъгълник). Така че AB = 13 cm.

AB = CD, BC = AD (по свойство противоположни странив успоредник) Значи AB = CD = 13 cm. Тъй като периметърът на успоредника е 50 cm, тогава BC = AD = (50 – 26): 2 = 12 cm.

Отговор: AB = CD = 13 cm, BC = AD = 12 cm.

(Слайд 8)

Появява се условието на задачата. Учителят предлага да се формулира „Дадено“ според условието. След това на екрана се появява „Given“. С помощта на червени линии е подчертан четириъгълник, за който трябва да докажете, че е успоредник. Процесът за решаване на проблема може да изглежда така:

защото BK и MD са перпендикулярни на една права, тогава правите BK и MD са успоредни.

През съседни ъглиможе да се покаже, че сумата от вътрешните едностранни ъгли при прави BM и KD и секущата MD е равна на 180 0. Следователно тези прави са успоредни.

Тъй като четириъгълникът BMDK има противоположни страни, успоредни по двойки, то този четириъгълник е успоредник.

5. Край на урока. Поведение на резултатите.

(Слайд 8)

На слайда се появяват въпроси нова тема, на които учениците отговарят.

Общински бюджет образователна институция

Савинская средна общообразователно училище

Проучване

Успоредник и неговите нови свойства

Изпълнил: ученик от 8Б клас

Средно училище MBOU Savinskaya

Кузнецова Светлана, 14 години

Ръководител: учител по математика

Тулчевская Н.А.

стр. Савино

Ивановска област, Русия

2016 г

аз Въведение ____________________________________________________ страница 3

II. От историята на успоредника ___________________________________стр.4

III Допълнителни свойства на успоредник _________________________________страница 4

IV. Доказателство за свойства _____________________________________ страница 5

V. Решаване на проблеми с помощта на допълнителни свойства __________стр. 8

VI. Приложение на свойствата на успоредник в живота ___________________страница 11

VII. Заключение _________________________________________________страница 12

VIII. Литература _________________________________________________стр.13

Въведение

"Сред равни умове

при равенство на другите условия

този, който знае геометрията, е по-добър"

(Блез Паскал).

Докато изучавахме темата „Успоредник“ в уроците по геометрия, разгледахме две свойства на успоредник и три характеристики, но когато започнахме да решаваме задачи, се оказа, че това не е достатъчно.

Имах въпрос: има ли успоредник други свойства и как те ще помогнат при решаването на проблеми?

И реших да проуча допълнителни свойства на успоредник и да покажа как те могат да бъдат приложени за решаване на проблеми.

Предмет на изследване : успоредник

Обект на изследване : свойства на успоредник
Цел на работата:

формулиране и доказване на допълнителни свойства на успоредник, които не се изучават в училище;

прилагане на тези свойства за решаване на проблеми.

Задачи:

Проучете историята на появата на успоредника и историята на развитието на неговите свойства;

намирам Допълнителна информацияпо изследваната проблематика;

Изучаване на допълнителни свойства на успоредник и доказване на тях;

Покажете приложението на тези свойства за решаване на проблеми;

Помислете за приложението на свойствата на успоредник в живота.
Изследователски методи:

Работа с образователни и научни – популярна литература, интернет ресурси;

Изучаване на теоретичен материал;

Идентифициране на набор от проблеми, които могат да бъдат решени с помощта на допълнителни свойства на успоредник;

Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

Продължителност на изследването : 3 месеца: януари-март 2016г

В учебник по геометрия четем следната дефиниция на успоредник: Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки.

Думата "паралелограм" се превежда като " паралелни линии“ (от гръцки думи Parallelos - успоредник и gramme - права), този термин е въведен от Евклид. В своята книга Елементи Евклид доказа следните свойстваУспоредник: Противоположните страни и ъгли на успоредник са равни, а диагоналът го разполовява. Евклид не споменава пресечната точка на успоредник. Едва към края на Средновековието се развива пълна теорияуспоредници И едва през 17 век в учебниците се появяват теореми за успоредниците, които са доказани с помощта на теоремата на Евклид за свойствата на успоредник.

III Допълнителни свойства на успоредник

В учебника по геометрия са дадени само 2 свойства на успоредник:

Противоположните ъгли и страни са равни

Диагоналите на успоредник се пресичат и се разделят на две от пресечната точка.

В различни източници по геометрия можете да намерите следните допълнителни свойства:

Сумата от съседните ъгли на успоредник е 180 0

Симетралата на ъгъла на успоредника се отрязва от него равнобедрен триъгълник;

Симетралите на противоположни ъгли на успоредник лежат на успоредни прави;

Симетралите на съседни ъгли на успоредник се пресичат под прав ъгъл;

Когато ъглополовящите на всички ъгли на успоредник се пресичат, те образуват правоъгълник;

Разстоянията от противоположните ъгли на успоредника до същия диагонал са равни.

Ако свържете противоположни върхове в успоредник със средните точки на противоположни страни, ще получите друг успоредник.

Сборът от квадратите на диагоналите на успоредник е равен на удвоения сбор от квадратите на съседните му страни.

Ако начертаете височини от два противоположни ъгъла в успоредник, ще получите правоъгълник.

IV Доказателство за свойствата на успоредник

Сборът от съседните ъгли на успоредник е 180 0

дадени:

ABCD – успоредник

Докажи:

A+
B=

Доказателство:

А и
B – вътрешни едностранни ъгли с успоредни прави BC AD и секанс AB, което означава
A+
B=

дадени: ABCD - успоредник,

AK симетрала
А.

Докажи: АВК – равнобедрен

Доказателство:

1)
1=
3 (на кръст, разположен на пр.н.е AD и секанс AK ),

2)
2=
3, защото AK е ъглополовяща,

означава 1=
2.

3) ABC - равнобедрен, защото 2 ъгъла на триъгълника са равни

. Симетралата на ъгъла на успоредник отрязва равнобедрен триъгълник от него

дадени: ABCD е успоредник,

AK – ъглополовяща A,

CP - ъглополовяща C.

Докажи: AK ║ SR

Доказателство:

1) 1=2, защото AK е ъглополовяща

2) 4=5 защото CP – ъглополовяща

3) 3=1 (напречно разположени ъгли при

BC ║ AD и AK-секанс),

4) A =C (по свойството на успоредник), което означава 2=3=4=5.

4) От параграфи 3 и 4 следва, че 1 = 4 и тези ъгли съответстват на прави линии AK и CP и секуща BC,

това означава AK ║ CP (въз основа на успоредността на линиите)

. Симетрали на противоположни ъгли на успоредник лежат на успоредни прави

Симетрали на съседни ъгли на успоредник се пресичат под прав ъгъл

дадени: ABCD - успоредник,

AK-ъглополовяща A,

DP ъглополовяща D

Докажи: DP АК.

Доказателство:

1) 1=2, защото AK - ъглополовяща

Нека 1=2=x, тогава A=2x,

2) 3=4, защото D Р – ъглополовяща

Нека 3=4=y, тогава D=2y

3) A + D =180 0, защото сумата от съседните ъгли на успоредник е 180

2) Помислете A OD

1+3=90 0, тогава
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Симетралите на всички ъгли на успоредника при пресичане образуват правоъгълник

дадени: ABCD - успоредник, AK-ъглополовяща A,

DP-ъглополовяща D,

CM ъглополовяща C,

BF - ъглополовяща B .

Докажи: KRNS - правоъгълник

Доказателство:

Въз основа на предишното свойство 8=7=6=5=90 0 ,

означава, че KRNS е правоъгълник.

Разстоянията от противоположните ъгли на успоредника до същия диагонал са равни.

дадени: ABCD-успоредник, AC-диагонал.

VC климатик, Д.П. A.C.

Докажи: BC=DP

Доказателство: 1) DCP = KAB, като вътрешни кръстове, лежащи с AB ║ CD и секуща AC.

2) AKB= CDР (покрай страната и два прилежащи ъгъла AB=CD CD P=AB K).

А в равните триъгълници съответните страни са равни, което означава DP=BK.

дадени: ABCD успоредник.

Докажи: VKDP е успоредник.

Доказателство:

1) BP=KD (AD=BC, точки K и P

разделете тези страни наполовина)

2) BP ║ KD (лежат на AD пр.н.е.)

Ако срещуположните страни на четириъгълник са равни и успоредни, тогава четириъгълникът е успоредник.

Ако начертаете височини от два противоположни ъгъла в успоредник, ще получите правоъгълник.

дадени: ABCD е успоредник. BD и AC са диагонали.

Докажи: AC 2 +ВD 2 =2(AB 2 + AD 2 )

Доказателство: 1)ПИТАМ: A.C. ²=
+

2)б Рд : BD 2 = б Р 2 + Рд 2 (според Питагоровата теорема)

3) A.C. ²+ BD ²=SK²+А K²+б Р²+Рд ²

4) SC = BP = N(височина )

5) AC 2 +Бд 2 = з 2 + А ДА СЕ 2 + з 2 +Pд 2

6) Позволявам д К=А P=x, Тогава ° С ДА СЕд : з 2 = CD 2 - Х 2 според Питагоровата теорема )

7) AC²+Bд ² = Cд 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -Х 2 +Pд 2 ,

AC²+Bд ²=2Сд 2 -2x 2 + А ДА СЕ 2 +Pд 2

8) А ДА СЕ=AD+ х, РD=AD- х,

AC²+Bд ² =2CD 2 -2x 2 +(AD +x) 2 +(AD -Х) 2 ,

AC²+ IND²=2 СЪСD²-2 х² +АД 2 +2 AD х+ х 2 +АД 2 -2 AD х+ х 2 ,
AC²+ IND²=2CD 2 +2 AD 2 =2(CD 2 +АД 2 ).

V . Решаване на проблеми с помощта на тези свойства

Пресечната точка на ъглополовящите на два ъгъла на успоредник, съседни на едната страна, принадлежи на противоположната страна. Най-късата страна на успоредник е 5 . Намерете по-голямата му страна.

дадени: ABCD е успоредник,

AK – ъглополовяща
а,

D K – ъглополовяща
D, AB=5

намирам: Слънце

решение

Решение

защото AK - ъглополовяща
И тогава ABC е равнобедрен.

защото D K – ъглополовяща
D, тогава DCK - равнобедрен

DC =C K= 5

Тогава BC=VC+SC=5+5 = 10

Отговор: 10

2. Намерете периметъра на успоредник, ако ъглополовящата на един от ъглите му разделя страната на успоредника на отсечки от 7 cm и 14 cm.

1 случай

дадени:
а,

ВК=14см, КС=7см

Намирам: P успоредник

Решение

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

защото AK – ъглополовяща
И тогава ABC е равнобедрен.

AB=BK= 14 см

Тогава P=2 (14+21) =70 (cm)

случва се

дадени: ABCD е успоредник,

D K – ъглополовяща
д

ВК=14см, КС=7см

намирам: P успоредник

Решение

VS=VK+KS=14+7=21 (cm)

защото D K – ъглополовяща
D, тогава DCK - равнобедрен

DC =C K= 7

Тогава P= 2 (21+7) = 56 (cm)

Отговор: 70см или 56см

3. Страните на успоредника са 10 см и 3 см. Симетралите на два ъгъла, съседни на по-голямата страна, разделят противоположната страна на три отсечки. Намерете тези сегменти.

1 случай:ъглополовящи се пресичат извън успоредника

дадени: ABCD – успоредник, AK – ъглополовяща
а,

D K – ъглополовяща
D , AB=3 cm, BC=10 cm

намирам: VM, MN, NC

Решение

защото AM - ъглополовяща
И тогава AVM е равнобедрен.

защото DN – ъглополовяща
D, тогава DCN - равнобедрен

DC=CN=3

Тогава MN = 10 – (BM +NC) = 10 – (3+3)=4 cm

Случай 2:ъглополовящи се пресичат вътре в успоредник

защото AN - ъглополовяща
И тогава ABN е равнобедрен.

AB=Bн = 3 д

И плъзгащата се решетка трябва да се премести на необходимото разстояние във вратата

Паралелограмен механизъм- механизъм с четири бара, чиито връзки образуват успоредник. Използва се за осъществяване на транслационно движение чрез шарнирни механизми.

Успоредник с фиксирана връзка- едното звено е неподвижно, противоположното прави люлеещо се движение, оставайки успоредно на неподвижното. Два паралелограма, свързани един зад друг, дават на крайната връзка две степени на свобода, оставяйки я успоредна на неподвижната връзка.

Примери: чистачки за автобуси, мотокари, стативи, закачалки, автомобилни окачвания.

Успоредник с неподвижна става- използва се свойството на успоредника да поддържа постоянно съотношение на разстоянията между три точки. Пример: чертожен пантограф - устройство за мащабиране на чертежи.

Ромб- всички връзки са с еднаква дължина, приближаването (свиването) на двойка срещуположни панти води до раздалечаване на другите две панти. Всички връзки работят в компресия.

Примери - автомобилен ромбовиден крик, трамваен пантограф.

ножицаили Х-образен механизъм, също известен като Нюрнбергска ножица- версия на ромб - две връзки, свързани в средата с панта. Предимствата на механизма са компактност и простота, недостатъкът е наличието на две плъзгащи се двойки. Два (или повече) такива механизма, свързани последователно, образуват диамант(и) в средата. Използва се в асансьори и детски играчки.

VII Заключение

Кой учи математика от дете?

той развива вниманието, тренира мозъка си,

собствена воля, култивира постоянство

и постоянство в постигането на целите

А. Маркушевич

По време на работата доказах допълнителни свойства на успоредника.

Бях убеден, че с помощта на тези свойства можете да решавате проблеми по-бързо.

Показах как се прилагат тези свойства, използвайки примери за решаване на конкретни проблеми.

Научих много за успоредника, който го няма в нашия учебник по геометрия

Убедих се, че познаването на геометрията е много важно в живота чрез примери за прилагане на свойствата на успоредник.

Целта на моята изследователска работа е изпълнена.

Значението на математическите знания се доказва от факта, че е учредена награда за този, който публикува книга за човек, живял целия си живот без помощта на математиката. Все още нито един човек не е получил тази награда.

VIII Литература

Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки. Площта на успоредника е равна на произведението на неговата основа (a) и височина (h). Можете също да намерите неговата площ през две страни и ъгъл и през диагонали.

Свойства на успоредник

1. Противоположните страни са еднакви.

Първо, нека начертаем диагонала $AC$ . Получаваме два триъгълника: $ABC$ и $ADC$.

Тъй като $ABCD$ е успоредник, следното е вярно:

$AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2$като лежане на кръст.

$AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4$като лежане на кръст.

Следователно (според втория критерий: и $AC$ е общ).

А това означава $\триъгълник ABC = \триъгълник ADC$, след това $AB = CD$ и $AD = BC$ .

2. Срещуположните ъгли са еднакви.

Според доказателството свойства 1Ние знаем това $\ъгъл 1 = \ъгъл 2, \ъгъл 3 = \ъгъл 4$. Така сумата от противоположните ъгли е: $\ъгъл 1 + \ъгъл 3 = \ъгъл 2 + \ъгъл 4$. Като се има предвид това $\триъгълник ABC = \триъгълник ADC$получаваме $\ъгъл A = \ъгъл C $ , $\ъгъл B = \ъгъл D $ .

3. Диагоналите са разделени наполовина от пресечната точка.

от собственост 1знаем, че противоположните страни са идентични: $AB = CD$ . Още веднъж обърнете внимание на кръстосано разположените равни ъгли.

Така става ясно, че $\триъгълник AOB = \триъгълник COD$според втория знак за равенство на триъгълниците (два ъгъла и страната между тях). Тоест $BO = OD$ (срещу ъглите $\ъгъл 2$ и $\ъгъл 1$ ) и $AO = OC$ (срещу ъглите $\ъгъл 3$ и $ \ъгъл 4$ съответно).

Признаци на успоредник

Ако във вашия проблем присъства само една характеристика, тогава фигурата е успоредник и можете да използвате всички свойства на тази фигура.

За по-добро запаметяване имайте предвид, че знакът за успоредник ще отговори на следния въпрос - "как да разбера?". Тоест как да разберете, че дадена фигура е успоредник.

1. Успоредникът е четириъгълник, чиито две страни са равни и успоредни.

$AB = CD$ ; $AB || CD \Rightarrow ABCD$- успоредник.

Нека да разгледаме по-отблизо. Защо $AD || BC $?

$\триъгълник ABC = \триъгълник ADC$от собственост 1: $AB = CD $ , $\ъгъл 1 = \ъгъл 2 $, лежащ на кръст, когато $AB $ и $CD $ и секущата $AC $ са успоредни.

Но ако $\триъгълник ABC = \триъгълник ADC$, тогава $\ъгъл 3 = \ъгъл 4 $ (лежат срещу $AD || BC $ ($\ъгъл 3 $ и $\ъгъл 4 $ - тези, които лежат напречно, също са равни).

Първият знак е правилен.