Kolika je medijana u formuli trougla. Medijan trougla

Medijan i visina trougla je jedan od najfascinantnijih i zanimljive teme geometrija. Termin "medijan" označava liniju ili segment koji povezuje vrh trougla sa njegovim Suprotna strana. Drugim riječima, medijana je prava koja ide od sredine jedne strane trougla do suprotnog vrha istog trougla. Pošto trougao ima samo tri vrha i tri stranice, mogu postojati samo tri medijane.

Svojstva medijane trougla

Sve medijane trougla seku se u jednoj tački i razdvojene su ovom tačkom u omjeru 2:1, računajući od vrha. Dakle, ako nacrtate sve tri medijane u trokutu, tada će ih tačka njihovog presjeka podijeliti na dva dijela. Dio koji je bliži vrhu bit će 2/3 cijele prave, a dio koji je bliži strani trougla bit će 1/3 prave. Medijani se sijeku u jednoj tački.
Tri medijane nacrtane u jednom trouglu dijele ovaj trougao na 6 malih trouglova, čija će površina biti jednaka.
Što je veća stranica trougla iz kojeg dolazi medijana, to je medijana manja. Nasuprot tome, najviše kratka strana ima najdužu medijanu.
Median in pravougaonog trougla ima niz svojih karakteristika. Na primjer, ako je kružnica opisana oko takvog trokuta, koji će prolaziti kroz sve vrhove, tada medijana pravi ugao, povučen na hipotenuzu, postat će polumjer opisane kružnice (odnosno, njena dužina će biti udaljenost od bilo koje tačke na kružnici do njenog centra).

Jednačina srednje dužine trougla

Formula medijana dolazi iz Stewartove teoreme i kaže da je medijan Kvadratni korijen iz omjera kvadrata zbira stranica trokuta koji čine vrh, minus kvadrat stranice na koju je povučena medijana na četiri. Drugim riječima, da biste saznali dužinu medijane, morate kvadrirati dužine svake strane trokuta, a zatim to napisati kao razlomak, čiji će brojnik biti zbir kvadrata stranica koje formiraju ugao iz kojeg dolazi medijana, minus kvadrat treće strane. Imenilac ovdje je broj 4. Zatim, iz ovog razlomka, trebate izvući kvadratni korijen, a zatim dobijamo dužinu medijane.

Tačka presjeka medijana trougla

Kao što smo gore napisali, sve medijane jednog trougla seku se u jednoj tački. Ova tačka se naziva središte trougla. Ona dijeli svaku medijanu na dva dijela, čija je dužina povezana kao 2:1. Središte trougla je ujedno i središte kružnice koja je opisana oko njega. I drugi geometrijske figure imaju svoje centre.

Koordinate tačke preseka medijana trougla

Da bismo pronašli koordinate presjeka medijana jednog trokuta, koristimo svojstvo tezge prema kojem dijeli svaku medijanu na segmente 2:1. Označavamo vrhove kao A(x 1 ;y 1), B(x 2 ;y 2), C(x 3 ;y 3),

i izračunaj koordinate centra trougla po formuli: x 0 = (x 1 + x 2 + x 3) / 3; y 0 \u003d (y 1 + y 2 + y 3) / 3.

Površina trougla u smislu medijane

Sve medijane jednog trougla dijele ovaj trokut sa 6 jednakih trouglova, a centar trokuta dijeli svaku medijanu u omjeru 2:1. Stoga, ako su poznati parametri svake medijane, moguće je izračunati površinu trokuta kroz površinu jednog od malih trokuta, a zatim povećati ovu cifru za 6 puta.

Medijan je segment povučen od vrha trougla do sredine suprotne strane, odnosno dijeli ga na pola točkom presjeka. Tačka u kojoj medijana siječe suprotnu stranu iz koje izlazi naziva se baza. Kroz jednu tačku, koja se zove tačka preseka, prolazi svaka medijana trougla. Formula za njegovu dužinu može se izraziti na nekoliko načina.

Formule za izražavanje dužine medijane

Često se u zadacima iz geometrije učenici moraju baviti segmentom kao što je medijana trougla. Formula za njegovu dužinu je izražena kao strane:

gdje su a, b i c stranice. Štaviše, c je strana na koju medijan pada. Ovako najviše jednostavna formula. Medijani trougla su ponekad potrebni za pomoćne proračune. Postoje i druge formule.

Ako su tokom proračuna poznate dvije stranice trokuta i određeni ugao α koji se nalazi između njih, tada će se dužina medijane trougla, spuštena na treću stranu, izraziti na sljedeći način.

Osnovna svojstva

Svi medijani imaju jednu zajednička tačka presjeci O i podijeljeni su u omjeru dva prema jedan, ako računamo od vrha. Ova tačka se naziva težište trougla.
Medijan dijeli trokut na dva druga, čije su površine jednake. Takvi trouglovi se nazivaju jednaki trouglovi.
Ako nacrtate sve medijane, tada će trokut biti podijeljen na 6 jednakih figura, koje će također biti trokuti.
Ako su u trokutu sve tri strane jednake, onda će u njemu svaka od medijana također biti visina i simetrala, odnosno okomita na stranu na koju je povučena, i dijeli kut iz kojeg izlazi.
AT jednakokraki trougao medijan ispušten iz vrha koji je nasuprot strani koja nije jednaka nijednoj drugoj će također biti visina i simetrala. Medijani ispušteni iz drugih vrhova su jednaki. Takođe je neophodno i dovoljno stanje jednakokraki.
Ako je trokut baza ispravna piramida, tada se visina spuštena na datu osnovu projektuje na točku presjeka svih medijana.

U pravokutnom trokutu, medijana povučena do najduže stranice je polovina njene dužine.
Neka je O tačka presjeka medijana trougla. Formula ispod bit će tačna za bilo koju tačku M.

Drugo svojstvo je medijan trougla. Formula za kvadrat njegove dužine u smislu kvadrata stranica prikazana je u nastavku.

Svojstva strana na koje je povučena medijana

Ako spojite bilo koje dvije točke presjeka medijana sa stranama na kojima su spuštene, tada će rezultujući segment biti srednja linija trokuta i biti jedna polovina od strane trokuta sa kojom nema zajedničkih tačaka.
Osnove visina i medijana u trouglu, kao i sredine segmenata koji povezuju vrhove trougla sa tačkom preseka visina, leže na istoj kružnici.

Zaključno, logično je reći da je jedan od najvažnijih segmenata upravo medijana trougla. Njegova formula se može koristiti za pronalaženje dužina njegovih drugih strana.

Uputstvo

Da se povuče formula za medijane u proizvoljnom , potrebno je okrenuti se posljedici kosinusne teoreme za paralelogram dobiven popunjavanjem trougao. Formula se na tome može dokazati, vrlo je zgodno pri rješavanju ako su poznate sve dužine stranica ili se lako mogu pronaći iz drugih početnih podataka problema.

U stvari, kosinusna teorema je generalizacija Pitagorine teoreme. Zvuči ovako: za dvodimenzionalno trougao sa dužinama stranica a, b i c i uglom α nasuprot a, vrijedi sljedeća jednakost: a² = b² + c² - 2 b c cos α.

Generalizirajući zaključak iz kosinusne teoreme definira jednu od najvažnija svojstvačetvorougao: zbir kvadrata dijagonala jednak je zbiru kvadrata svih njegovih stranica: d1² + d2² = a² + b² + c² + d².

Dopuni trougao do paralelograma ABCD dodavanjem pravih paralelnih sa a i c. dakle sa stranicama a i c i dijagonalom b. Najprikladniji način za izgradnju je sljedeći: na pravoj liniji kojoj pripada medijana, segment MD iste dužine, spojite njegov vrh sa vrhovima preostalih A i C.

Prema svojstvu paralelograma, dijagonale su podijeljene presječnom točkom na jednake dijelove. Primijenite posljedicu kosinusne teoreme, prema kojoj je zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak zbiru dvostrukih kvadrata njegovih stranica: BK² + AC² = 2 AB² + 2 BC².

Pošto je BK = 2 BM i BM medijan od m, onda je: (2 m) ² + b² = 2 c² + 2 a², dakle: m = 1/2 √(2 c² + 2 a² - b²).

izneo si formula jedan od trougao za stranu b: mb = m. Slično, postoje medijane njegove druge dvije strane: ma = 1/2 √(2 c² + 2 b² - a²); mc = 1/2 √(2 a² + 2 b² - c²).

Izvori:

srednja formula
Formule za medijanu trokuta [video]

medijana trougao naziva se segment koji povezuje bilo koji vrh trougao sa sredinom suprotne strane. Tri medijane se seku u jednoj tački uvek unutra trougao. Ova tačka deli svaku medijana u omjeru 2:1.

Uputstvo

Problem nalaženja medijane može se riješiti dodatnim konstrukcijama trougao na paralelogram i kroz teoremu o dijagonalama paralelograma. Produzimo stranice trougao i medijana, gradeći ih do paralelograma. Dakle, medijana trougao bit će polovina dijagonale rezultirajućeg paralelograma, dvije strane trougao- njegovu stranu (a, b) i treću stranu trougao, na koju je povučena medijana, druga je dijagonala rezultirajućeg paralelograma. Prema teoremi, zbir kvadrata paralelograma jednak je dvostrukom zbiru kvadrata njegovih stranica.
2*(a^2 + b^2) = d1^2 + d2^2,
gdje
d1, d2 - dijagonale rezultirajućeg paralelograma;
odavde:
d1 = 0,5*v(2*(a^2 + b^2) - d2^2)

Medijan je segment linije koji povezuje vrh trougao i sredinom suprotne strane. Znajući dužine sve tri strane trougao, možete pronaći njegove medijane. U posebnim slučajevima jednakokračnih i jednakostraničnih trougao, očigledno, dovoljno je znati, odnosno, dvije (nisu jednake jedna drugoj) i jednu stranu trougao.

Trebaće ti

Vladar

Uputstvo

Razmislite opšti slučaj trougao ABC sa neravnopravnim prijateljem stranke. Dužina srednjeg AE ovog trougao može se izračunati pomoću formule: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Ostatak medijana je potpuno isti. Ovo se izvodi putem Stewartove teoreme, ili kroz kompletiranje trougao na paralelogram.

Ako je ABC jednakokračan i AB = AC, tada će medijan AE biti i ovo trougao. Prema tome, trougao BEA će biti pravougli trougao. Prema Pitagorinoj teoremi, AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Od ukupne dužine medijane trougao, za medijane BO i SP vrijedi: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Izvori:

Medijane i nesektori trougla

Medijan je segment koji spaja vrh trougla i sredinu suprotne strane. Znajući dužine sve tri strane trougla, možete ga pronaći medijane. U posebnim slučajevima jednakokračnih i jednakostranični trougao, očigledno, dovoljno je znati, odnosno, dvije (nisu jednake jedna drugoj) i jednu stranu trougla. Medijan se može naći i iz drugih podataka.

Trebaće ti

Dužine stranica trokuta, uglovi između stranica trokuta

Uputstvo

Razmotrimo najopštiji slučaj trougla ABC sa tri nejednake stranice. Dužina medijane AE ovog trougla može se izračunati pomoću formule: AE = sqrt(2*(AB^2)+2*(AC^2)-(BC^2))/2. Odmori se medijane su potpuno isti. Ovo se izvodi putem Stewartove teoreme, ili preko dopunjavanja trougla do paralelograma.

Ako je ABC jednakokračan i AB = AC, tada će AE biti u isto vrijeme i ovaj trokut. Prema tome, trougao BEA će biti pravougli trougao. Prema Pitagorinoj teoremi, AE = sqrt((AB^2)-(BC^2)/4). Od ukupne dužine medijane trougao, za BO i CP je tačno: BO = CP = sqrt(2*(BC^2)+(AB^2))/2.

Medijan trougla se može naći i iz drugih podataka. Na primjer, ako su date dužine dviju stranica, jednoj od njih se povlači medijana, na primjer, dužine stranica AB i BC, kao i ugao x između njih. Zatim dužina medijane može se naći kroz kosinusni teorem: AE = sqrt((AB^2+(BC^2)/4)-AB*BC*cos(x)).

Izvori:

Medijane i simetrale trougla
kako pronaći dužinu medijane

Medijan trougla je segment koji povezuje vrh trougla sa sredinom suprotne strane ovog trougla.

Svojstva medijane trougla

1. Medijan dijeli trougao na dva trougla iste površine.

2. Medijane trougla seku se u jednoj tački, koja svaku od njih dijeli u omjeru 2:1, računajući od vrha. Ova tačka se naziva težište trougla (centroid).

3. Cijeli trougao podijeljen je svojim medijanama na šest jednakih trouglova.

Dužina medijane povučene u stranu: ( doc izgradnjom do paralelograma i korištenjem jednakosti u paralelogramu dvostrukog zbroja kvadrata stranica i zbira kvadrata dijagonala )

T1. Tri medijane trougla seku se u jednoj tački M, koja svaku od njih deli u omjeru 2:1, računajući od vrhova trougla. Dato: ∆ abc, SS 1, AA 1, BB 1 - medijane
∆ABC. Dokazati: i

D-in: Neka je M presječna tačka medijana CC 1 , AA 1 trougla ABC. Napomena A 2 - sredina segmenta AM i C 2 - sredina segmenta CM. Tada A 2 C 2 - srednja linija trougao AMS. znači, A 2 C 2|| AC

i A 2 C 2 \u003d 0,5 * AC. OD 1 ALI 1 je srednja linija trougla ABC. Dakle, A 1 OD 1 || AC i A 1 OD 1 \u003d 0,5 * AC.

četvorougao A 2 C 1 A 1 C 2- paralelogram, jer su njegove suprotne strane A 1 OD 1 i A 2 C 2 jednake i paralelne. shodno tome, A 2 M = MA 1 i C 2 M = GOSPOĐA 1 . To znači da bodovi A 2 i M podijeliti medijanu AA 2 na tri jednaka dijela, tj. AM = 2MA 2. Slično CM = 2MC 1 . Dakle, tačka M preseka dve medijane AA 2 i CC2 trougao ABC svaki od njih dijeli u omjeru 2:1, računajući od vrhova trougla. Sasvim slično, dokazano je da tačka presjeka medijana AA 1 i BB 1 dijeli svaku od njih u omjeru 2:1, računajući od vrhova trougla.

Na medijani AA 1 takva tačka je tačka M, dakle tačka M i postoji tačka preseka medijana AA 1 i BB 1.

Na ovaj način, n

T2. Dokažite da segmenti koji spajaju težište sa vrhovima trougla dijele ga na tri jednaka dijela. Dato: ∆ABC , su njegove medijane.

dokazati: S AMB =S BMC =S-AMC.Dokaz. AT, imaju zajedničko. jer njihove baze su jednake i visina povučena od vrha M, imaju zajedničko. Onda

Na sličan način se dokazuje da S AMB = S AMC . Na ovaj način, S AMB = S AMC = S CMB .n

Simetrala trougla Teoreme vezane za simetrale trougla. Formule za pronalaženje simetrala

Simetrala ugla Zraka koja počinje od vrha ugla i dijeli ugao na dva jednaka ugla.

Simetrala ugla je geometrijsko mesto tačke unutar ugla koje su jednako udaljene od strana ugla.

Svojstva

1. Teorema o simetrali: Simetrala unutrašnjeg ugla trokuta dijeli suprotnu stranu u omjeru jednakom omjeru dvije susjedne stranice

2. Simetrale unutrašnjih uglova trougla seku se u jednoj tački - centru upisa - centru kružnice upisane u ovaj trougao.

3. Ako su dvije simetrale u trouglu jednake, onda je trokut jednakokračan (Steiner-Lemusova teorema).

Izračunavanje dužine simetrale

l c - dužina simetrale povučene na stranu c,

a,b,c - stranice trougla naspram vrhova A,B,C respektivno,

p - polovina perimetra trougla,

a l ,b l - dužine segmenata na koje simetrala l c dijeli stranicu c,

α,β,γ - unutrašnji uglovi trougao na vrhovi A,B,C odnosno,

h c - visina trougla, spuštena na stranu c.

metoda područja.

Karakteristika metode. Iz imena proizilazi da je glavni objekt ovu metodu je područje. Za veći broj figura, na primjer, za trokut, površina se jednostavno izražava kroz različite kombinacije elemenata figure (trokut). Stoga je tehnika vrlo efikasna kada se porede različiti izrazi za površinu date figure. U ovom slučaju nastaje jednačina koja sadrži poznate i željene elemente figure, rješavanjem koje određujemo nepoznatu. Tu se manifestuje glavna karakteristika metode površine - od geometrijskog problema "čini" algebarski, svodeći sve na rješavanje jednačine (a ponekad i sistema jednačina).

1) Metoda poređenja: povezana sa velikim brojem formula S istih figura

2) Metoda S omjera: zasnovana na sljedećim referentnim zadacima:

Ceva teorema

Neka tačke A",B",C" leže na pravima BC,CA,AB trougla. Prave AA",BB",CC" seku se u jednoj tački ako i samo ako

Dokaz.

Označimo točkom presjeka segmenata i . Ispustimo okomite iz tačaka C i A na pravu BB 1 dok se ne seku sa njom u tačkama K i L (vidi sliku).

Pošto trouglovi i imaju zajednička strana, tada su njihove površine povezane kao visine povučene na ovu stranu, tj. AL i CK:

Posljednja jednakost je tačna, budući da su pravokutni trouglovi i slični po oštrom kutu.

Slično, dobijamo i

Pomnožimo ove tri jednakosti:

Q.E.D.

Komentar. Segment (ili nastavak segmenta) koji povezuje vrh trougla sa tačkom koja leži na suprotnoj strani ili njen nastavak naziva se ceviana.

Teorema ( obrnuta teorema Chevy). Neka tačke A",B",C" leže na stranicama BC,CA i AB trougla ABC redom. Neka važi relacija

Tada se segmenti AA“, BB“, CC“ seku u jednoj tački.

Menelajeva teorema

Menelajeva teorema. Neka se linija preseca trougao ABC, gdje je C 1 tačka njenog preseka sa stranicom AB, A 1 tačka njenog preseka sa stranicom BC, a B 1 tačka njenog preseka sa produžetkom stranice AC. Onda

Dokaz . Povucite pravu kroz tačku C paralelnu sa AB. Označimo sa K njegovu tačku preseka sa pravom B 1 C 1 .

Trouglovi AC 1 B 1 i CKB 1 su slični (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1 , ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). shodno tome,

Trouglovi BC 1 A 1 i CKA 1 su takođe slični (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). znači,

Iz svake jednakosti izražavamo CK:

Gdje Q.E.D.

Teorema (inverzna Menelajeva teorema). Neka je zadan trougao ABC. Neka tačka C 1 leži na strani AB, tačka A 1 leži na strani BC, a tačka B 1 leži na produžetku stranice AC, a relacija

Tada tačke A 1 ,B 1 i C 1 leže na istoj pravoj liniji.

1. Šta je medijana?

Vrlo je jednostavno!

Uzmi trougao

Označite sredinu na jednoj od njegovih strana.

I povežite se sa suprotnim vrhom!

Rezultirajuća linija i je medijan.

2. Svojstva medijane.

Koja su dobra svojstva medijane?

1) Zamislimo da je trougao - pravougaona. Ima ih, zar ne?

Zašto??? Šta je sa pravim uglom?

Pogledajmo pažljivo. Samo ne na trokut, već na ... pravougaonik. Zašto pitate?

Ali hodaš po Zemlji - vidiš li da je okrugla? Ne, naravno, za ovo morate pogledati Zemlju iz svemira. Dakle, gledamo naš pravougaoni trougao "iz svemira".

Nacrtajmo dijagonalu:

Sjećate li se da su dijagonale pravokutnika jednaka i dijeliti tačka preseka na pola? (ako se ne sjećate, pogledajte temu)

Dakle, polovina druge dijagonale je naša medijana. Dijagonale su jednake, njihove polovice, naravno, također. Evo nas

Nećemo dokazivati ovu tvrdnju, ali da biste vjerovali u nju, razmislite sami: postoji li još neki paralelogram s jednakim dijagonalama, osim pravokutnika? Naravno da ne! Pa, to znači da medijana može biti jednaka polovini stranice samo u pravokutnom trokutu.

Pogledajmo kako ovo svojstvo pomaže u rješavanju problema.

ovdje, zadatak:
Na strane; . Sa vrha održan medijana. Pronađite ako.

Ura! Možete primijeniti Pitagorinu teoremu! Vidite kako je sjajno? Da to nismo znali medijana jednaka polovini strane

Primjenjujemo Pitagorinu teoremu:

2) A sada da imamo ne jednu, već cijelu tri medijane! Kako se ponašaju?

Zapamtite veoma važna činjenica:

Tesko? Pogledaj sliku:

Medijani i seku se u jednoj tački.

I .... (dokazujemo to u , ali za sada Zapamti!):

- duplo više od;
- duplo više od;
- duplo više.

Još niste umorni? Ima li dovoljno snage za sljedeći primjer? Sada ćemo primijeniti sve o čemu smo pričali!

Zadatak: U trouglu su povučene medijane i koje se seku u tački. Pronađite ako

Po Pitagorinoj teoremi nalazimo:

A sada primjenjujemo znanje o tački presjeka medijana.

Hajde da to obeležimo. rez, a. Ako nije sve jasno - pogledajte sliku.

To smo već pronašli.

Sredstva, ; .

U zadatku nam se postavlja pitanje o segmentu.

u našoj notaciji.

Odgovori: .

Sviđa mi se? Sada pokušajte sami primijeniti znanje o medijani!

MEDIAN. PROSJEČAN NIVO

1. Medijan prepolovi stranu.

I sve? Ili možda čak nešto podijeli na pola? Zamislite da jeste!

2. Teorema: Medijan prepolovi površinu.

Zašto? I zapamtimo najviše jednostavan oblik površina trougla.

I ovu formulu primjenjujemo dva puta!

Gledajte, medijana podijeljena na dva trokuta: i. Ali! Imaju istu visinu! Samo na ovoj visini pada u stranu, a na - za nastavak strane. Začudo, dešava se i ovako: trouglovi su različiti, ali visina je ista. I tako, sada primjenjujemo formulu dva puta.

Šta bi to značilo? Pogledaj sliku. U stvari, postoje dvije tvrdnje u ovoj teoremi. Jeste li primijetili?

Prva izjava: medijane se seku u jednoj tački.

Druga izjava: tačka preseka medijane je podeljena u odnosu, računajući od vrha.

Pokušajmo otkriti tajnu ove teoreme:

Povežimo tačke i. Šta se desilo?

A sada nacrtajmo još jednu srednju liniju: označite sredinu - stavite tačku, označite sredinu - stavite tačku.

Sada - srednja linija. To je

paralelno;

Jeste li primijetili neke slučajnosti? Oba i su paralelni. I, i.

Šta iz ovoga slijedi?

paralelno;

Naravno, samo paralelogram!

Dakle - paralelogram. Pa šta? I prisjetimo se osobina paralelograma. Na primjer, šta znate o dijagonalama paralelograma? Tako je, dijele tačku raskrsnice na pola.

Pogledajmo ponovo sliku.

To jest - medijana je podijeljena točkama i na tri jednaka dijela. I to isto.

To znači da su oba medijana odvojena tačkom upravo u odnosu, odnosno i.

Šta će se dogoditi sa trećom medijanom? Vratimo se na početak. Moj bože?! Ne, sada će sve biti mnogo kraće. Ispustimo medijanu i nacrtajmo medijane i.

Sada zamislite da smo izvršili potpuno isto razmišljanje kao i za medijane i. Šta onda?

Ispada da će medijana podijeliti medijanu na potpuno isti način: u odnosu, računajući od tačke.

Ali koliko točaka može biti na segmentu koje ga dijele u odnosu, računajući od tačke?

Naravno, samo jedan! I to smo već vidjeli - u tome je poenta.

Šta se na kraju dogodilo?

Medijan je tačno prošao! Kroz njega su prolazile sve tri medijane. I svi su bili podijeljeni u odnosu, računajući od vrha.

Tako smo riješili (dokazali) teoremu. Ispostavilo se da je odgovor paralelogram koji se nalazi unutar trougla.

4. Formula za dužinu medijane

Kako pronaći dužinu medijane ako su stranice poznate? Jeste li sigurni da vam treba? Hajde da otvorimo strašna tajna: Ova formula nije baš korisna. Ali ipak ćemo to napisati, ali nećemo dokazivati (ako vas zanima dokaz, pogledajte sljedeći nivo).

Kako bi neko shvatio zašto se to dešava?

Pogledajmo pažljivo. Samo ne na trougao, već na pravougaonik.

Dakle, pogledajmo pravougaonik.

Jeste li primijetili da je naš trokut tačno polovina ovog pravougaonika?

Nacrtajmo dijagonalu

Sjećate li se da su dijagonale pravokutnika jednake i da dijele presječnu tačku? (ako se ne sjećate, pogledajte temu)
Ali jedna od dijagonala je naša hipotenuza! Dakle, tačka preseka dijagonala je sredina hipotenuze. Zvali smo je.

Dakle, polovina druge dijagonale je naša medijana. Dijagonale su jednake, njihove polovice, naravno, također. Evo nas

Štaviše, ovo se dešava samo u pravouglom trouglu!

Evo zadatka:

Na strane; . Medijan je povučen odozgo. Pronađite ako.

Ura! Možete primijeniti Pitagorinu teoremu! Vidite kako je sjajno? Da nismo znali da je medijana polovina strane samo u pravouglu, ovaj problem nismo mogli riješiti ni na koji način. A sada možemo!

Primjenjujemo Pitagorinu teoremu:

MEDIAN. UKRATKO O GLAVNOM

1. Medijan prepolovi stranu.

2. Teorema: Medijan prepolovi površinu

4. Formula za dužinu medijane

Inverzna teorema: ako je medijana jednaka polovini stranice, tada je trokut pravokutni i ova medijana je povučena prema hipotenuzi.

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, onda ste veoma cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako ste pročitali do kraja, onda ste u 5%!

Sada najvažnija stvar.

Shvatili ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, to je... jednostavno je super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspešan polaganje ispita, za prijem u institut na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji to nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se mnogo toga otvara pred njima. više mogućnosti i život postaje svetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na ispitu i na kraju biti ... sretniji?

NAPUNI RUKU, RJEŠAVAJUĆI PROBLEME NA OVU TEMU.

Na ispitu vas neće tražiti teorija.

Trebaće ti rješavajte probleme na vrijeme.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete to učiniti na vrijeme.

To je kao u sportu - morate ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gdje god želite obavezno sa rešenjima detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (nije neophodno) i svakako ih preporučujemo.

Da biste nam pomogli uz pomoć naših zadataka, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u ovom članku - 299 rub.
Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka vodiča - 499 rub.

Da, imamo 99 takvih članaka u udžbeniku i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za cijeli vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati sa teorijom.

“Razumijem” i “Znam kako riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!