Razmotrite primjere podjele decimalni razlomci u ovom svetlu.

Primjer.

Podijelite decimalu 1,2 sa decimalom 0,48.

Rješenje.

odgovor:

1,2:0,48=2,5 .

Primjer.

Podijelite periodičnu decimalu 0.(504) sa decimalom 0.56.

Rješenje.

Prevedemo periodični decimalni razlomak u običan:. Također prevodimo konačni decimalni razlomak 0,56 u običan, imamo 0,56 = 56/100. Sada možemo prijeći s dijeljenja originalnih decimala na dijeljenje običnih razlomaka i završiti proračune: .

Prevedimo primljeno običan razlomak u decimalni razlomak dijeleći brojilac sa nazivnikom kolonom:

odgovor:

0,(504):0,56=0,(900) .

Princip dijeljenja beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka razlikuje se od principa dijeljenja konačnih i periodičnih decimalnih razlomaka, jer se decimalni razlomci koji se ne ponavljaju ne mogu pretvoriti u obične razlomke. Podjela beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka svodi se na dijeljenje konačnih decimalnih razlomaka, za koje se provodi zaokruživanje brojeva do određenog nivoa. Štaviše, ako je jedan od brojeva s kojima se vrši dijeljenje konačan ili periodični decimalni razlomak, tada se također zaokružuje na istu znamenku kao i neperiodični decimalni razlomak.

Primjer.

Podijelite beskonačnu neponavljajuću decimalu 0,779... sa završnom decimalom 1,5602.

Rješenje.

Prvo morate zaokružiti decimalne razlomke kako biste prešli od dijeljenja beskonačnog neponavljajućeg decimalnog razlomka na dijeljenje konačnih decimalnih razlomaka. Možemo zaokružiti na stotinke: 0,779…≈0,78 i 1,5602≈1,56. Dakle, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100 100/156= 78/156=1/2=0,5 .

odgovor:

0,779…:1,5602≈0,5 .

Dijeljenje prirodnog broja decimalnim razlomkom i obrnuto

Suština pristupa dijeljenju prirodnog broja decimalnim razlomkom i dijeljenju decimalnog razlomka sa prirodni broj ne razlikuje se od suštine dijeljenja decimalnih razlomaka. To jest, konačni i periodični razlomci se zamjenjuju običnim razlomcima, i to beskonačnim neperiodični razlomci su zaokružene.

Za ilustraciju, razmotrite primjer dijeljenja decimalnog razlomka prirodnim brojem.

Primjer.

Podijelite decimalni razlomak 25,5 prirodnim brojem 45.

Rješenje.

Zamjenom decimalnog razlomka 25,5 običnim razlomkom 255/10=51/2, dijeljenje se svodi na dijeljenje običnog razlomka prirodnim brojem: . Rezultirajuća frakcija decimalni zapis ima oblik 0.5(6) .

odgovor:

25,5:45=0,5(6) .

Podjela decimalnog razlomka prirodnim brojem kolonom

Dijeljenje konačnih decimalnih razlomaka prirodnim brojevima prikladno se izvodi kolonom po analogiji s dijeljenjem kolonom prirodnih brojeva. Evo pravila podjele.

To podijeliti decimalu prirodnim brojem kolonom, potrebno:

• dodajte nekoliko cifara desno u djeljivi decimalni razlomak 0, (tokom dijeljenja, ako je potrebno, možete dodati bilo koji broj nula, ali ove nule možda neće biti potrebne);
• izvršite dijeljenje stupcem decimalnog razlomka prirodnim brojem prema svim pravilima za dijeljenje stupcem prirodnih brojeva, ali kada je dijeljenje cijelog broja decimalnog razlomka završeno, tada u privatnom trebate stavite zarez i nastavite dijeljenje.

Recimo odmah da se kao rezultat dijeljenja konačnog decimalnog razlomka prirodnim brojem može dobiti ili konačni decimalni razlomak ili beskonačan periodični decimalni razlomak. Zaista, nakon podjele svih decimalnih mjesta koja nisu 0 dividenda, možemo dobiti ili ostatak od 0, i dobićemo konačni decimalni razlomak, ili će se ostaci početi periodično ponavljati, i dobićemo periodični decimalni razlomak.

Pozabavimo se svim zamršenostima dijeljenja decimalnih razlomaka na prirodne brojeve kolonom prilikom rješavanja primjera.

Primjer.

Podijelite decimalu 65,14 sa 4.

Rješenje.

Izvršimo dijeljenje decimalnog razlomka prirodnim brojem po stupcu. Dodajmo par nula desno u zapisu razlomka 65,14, dok dobijemo decimalni razlomak jednak njemu 65,1400 (vidi jednake i nejednake decimalne razlomke). Sada možete početi dijeliti cijeli broj decimalnog razlomka 65,1400 prirodnim brojem 4 u stupcu:

Time se završava dijeljenje cijelog broja decimalnog razlomka. Ovdje privatno trebate staviti decimalni zarez i nastaviti dijeljenje:

Došli smo do ostatka od 0, u ovoj fazi se podjela po koloni završava. Kao rezultat, imamo 65,14:4=16,285.

odgovor:

65,14:4=16,285 .

Primjer.

Podijelite 164,5 sa 27.

Rješenje.

Podijelimo decimalni razlomak prirodnim brojem kolonom. Nakon podjele cijelog broja, dobijamo sljedeću sliku:

Sada stavljamo zarez privatno i nastavljamo podjelu stupcem:

Sada se jasno vidi da su se ostaci od 25, 7 i 16 počeli ponavljati, dok se brojevi 9, 2 i 5 ponavljaju u količniku. Dakle, dijeljenje decimale 164,5 sa 27 daje nam periodičnu decimalu 6,0(925) .

odgovor:

164,5:27=6,0(925) .

Podjela decimalnih razlomaka po stupcu

Podjela decimalnog razlomka decimalnim razlomkom može se svesti na dijeljenje decimalnog razlomka prirodnim brojem kolonom. Da biste to učinili, djelilac i djelitelj moraju se pomnožiti sa takvim brojem 10, ili 100, ili 1000, itd., tako da djelitelj postane prirodan broj, a zatim podijeliti prirodnim brojem sa stupcem. To možemo učiniti zahvaljujući svojstvima dijeljenja i množenja, budući da a:b=(a 10):(b 10) , a:b=(a 100):(b 100) i tako dalje.

Drugim riječima, podijeliti završnu decimalu sa završnom decimalom, potrebno je:

• u deljeniku i djelitelju pomaknite zarez udesno za onoliko znakova koliko ima nakon decimalne zareze u djelitelju, ako u isto vrijeme nema dovoljno znakova u dividendi za pomicanje zareza, onda morate dodati potreban iznos nule na desnoj strani;
• nakon toga izvršite dijeljenje kolonom decimalnog razlomka prirodnim brojem.

Razmotrite, prilikom rješavanja primjera, primjenu ovog pravila za dijeljenje decimalnim razlomkom.

Primjer.

Izvršite deljenje kolone 7.287 sa 2.1.

Rješenje.

Pomaknimo zarez u ovim decimalnim razlomcima za jednu cifru udesno, to će nam omogućiti da prijeđemo od dijeljenja decimalnog razlomka 7,287 sa decimalnim razlomkom 2,1 do dijeljenja decimalnog razlomka 72,87 prirodnim brojem 21. Podijelimo kolonom:

odgovor:

7,287:2,1=3,47 .

Primjer.

Podijelite decimalu 16,3 sa decimalom 0,021.

Rješenje.

Pomjerite zarez u dividendi i djelitelju udesno za 3 cifre. Očigledno, nema dovoljno cifara u djelitelju da nosi zarez, pa dodajmo potreban broj nula na desno. Sada podijelimo stupac razlomka 16300,0 prirodnim brojem 21:

Od ovog trenutka počinju da se ponavljaju ostaci 4, 19, 1, 10, 16 i 13, što znači da će se ponavljati i brojevi 1, 9, 0, 4, 7 i 6 u količniku. Kao rezultat, dobijamo periodični decimalni razlomak 776,(190476) .

odgovor:

16,3:0,021=776,(190476) .

Imajte na umu da vam glasovno pravilo omogućava da prirodni broj podijelite konačnim decimalnim razlomkom u koloni.

Primjer.

Podijelite prirodni broj 3 decimalnim razlomkom 5.4.

Rješenje.

Nakon pomjeranja zareza za 1 cifru udesno, dolazimo do dijeljenja broja 30,0 sa 54. Podijelimo kolonom:
.

Ovo pravilo se može primijeniti i kod dijeljenja beskonačnih decimalnih razlomaka sa 10, 100, .... Na primjer, 3,(56):1000=0,003(56) i 593,374…:100=5,93374… .

Dijeljenje decimala sa 0,1, 0,01, 0,001, itd.

Budući da je 0,1 \u003d 1/10, 0,01 \u003d 1/100, itd., iz pravila dijeljenja običnim razlomkom slijedi da dijeljenje decimalnog razlomka sa 0,1, 0,01, 0,001 itd. to je kao da datu decimalu pomnožite sa 10, 100, 1000, itd. respektivno.

Drugim riječima, da biste podijelili decimalni razlomak sa 0,1, 0,01, ... potrebno je pomaknuti zarez udesno za 1, 2, 3, ... znamenke, a ako nema dovoljno cifara u decimalnom razlomku da pomaknite zarez, onda trebate dodati traženi broj na desne nule.

Na primjer, 5.739:0.1=57.39 i 0.21:0.00001=21.000 .

Isto pravilo se može primijeniti kada se beskonačne decimale dijele sa 0,1, 0,01, 0,001 itd. U isto vrijeme, treba biti vrlo oprezan sa podjelom periodične frakcije, da se ne bi pogriješili s periodom razlomka, koji je rezultat dijeljenja. Na primjer, 7,5(716):0,01=757,(167) , pošto nakon pomjeranja zareza u zapisu decimalnog razlomka 7,5716716716 ... dvije cifre udesno, imamo zapis 757,167167 ... . Uz beskonačne neperiodične decimale, sve je jednostavnije: 394,38283…:0,001=394382,83… .

Dijeljenje razlomka ili mješovitog broja decimalom i obrnuto

Dijeljenje običnog ili mješovitog broja s konačnom ili ponavljajućom decimalom, ili dijeljenje konačne ili ponavljajuće decimale običnim razlomkom ili mješoviti broj svodi se na dijeljenje običnih razlomaka. Da biste to učinili, decimalni razlomci se zamjenjuju odgovarajućim običnim razlomcima, a mješoviti broj je predstavljen kao nepravilan razlomak.

Kada se beskonačan neperiodični decimalni razlomak dijeli običnim razlomkom ili mješovitim brojem i obrnuto, treba prijeći na dijeljenje decimalnih razlomaka, zamjenjujući obični razlomak ili mješoviti broj odgovarajućim decimalnim razlomkom.

Bibliografija.

• Matematika: studije. za 5 ćelija. opšte obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije / [N. Ya. Vilenkin i drugi]. - 22. izd., Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
• algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; Više škola, 1984.-351 str., ilustr.

37. Decimalna podjela

Zadatak. Površina pravougaonika je 2,88 dm 2, a širina 0,8 dm. Kolika je dužina pravougaonika?

Rješenje. Budući da je 2,88 dm 2 = 288 cm 2 i 0,8 dm = 8 cm, dužina pravokutnika je 288: 8, odnosno 36 cm = 3,6 dm. Našli smo broj 3,6 takav da je 3,6 0,8 = 2,88. To je količnik 2,88 podijeljen sa 0,8.

Odgovor 3.6 može se dobiti bez pretvaranja decimetara u centimetre. Da biste to učinili, pomnožite djelitelj 0,8 i dividendu 2,88 sa 10 (to jest, pomaknite zarez za jednu cifru udesno u njima) i podijelite 28,8 sa 8. Opet dobijamo:.

Za dijeljenje broja decimalom, potrebno:
1) u deljeniku i deliocu pomeriti zarez udesno za onoliko cifara koliko ih ima posle decimalne tačke u deliocu;
2) nakon toga izvršiti deljenje prirodnim brojem.

Primjer 1 Podijelite 12,096 sa 2,24. Pomerimo zarez 2 cifre udesno u deljeniku i deliocu. Dobijamo brojeve 1209,6 i 224.

Od , zatim i .

Primjer 2 Podijelite 4,5 sa 0,125. Ovdje je potrebno pomaknuti zarez za 3 cifre udesno u djelitelju i djelitelju. Pošto postoji samo jedna cifra iza decimalnog zareza u dividendi, dodaćemo joj dve nule na desnoj strani. Nakon pomjeranja zareza dobijamo brojeve 4500 i 125.

Od , zatim i .

Primjeri 1 i 2 to pokazuju kada se broj dijeli sa nepravilan razlomak ovaj broj se smanjuje ili se ne mijenja, a kada se podijeli ispravnim decimalnim razlomkom, povećava se:, a.

Podijelite 2,467 sa 0,01. Nakon pomjeranja zareza u dividendi i djelitelju za 2 cifre udesno, dobijamo da je količnik 246,7:1, odnosno 246,7. Dakle, i 2,467: 0,01 = 246,7. Odavde dobijamo pravilo:

Podijeliti decimalu sa 0,1; 0,01; 0,001, trebate pomaknuti zarez u njemu udesno za onoliko cifara koliko ima nula ispred jedinice u djelitelju (odnosno, pomnožite ga sa 10, 100, 1000).

Ako nema dovoljno brojeva, prvo morate dodati nekoliko nula na kraj razlomka.

Na primjer, .

1443. Nađi količnik i testiraj množenjem:

a) 0,8: 0,5; b) 3,51: 2,7; c) 14.335: 0.61.

1444. Nađi količnik i testiraj dijeljenjem:

a) 0,096: 0,12; 6) 0,126:0,9; c) 42.105: 3.5.

1445. Izvrši podjelu:

1446. Zapiši izraze:

a) količnik dijeljenja zbira a i 2,6 sa razlikom b i 8,5;
b) zbir količnika x i 3.7 i količnika 3.1 i y.

1447. Pročitaj izraz:

a) m: 12,8 - n: 4,9; b) (x + 0,7): (y + 3,4); c) (a: b) (8: c).

1448. Čovjekov korak je 0,8 m. Koliko koraka treba da napravi da bi prešao udaljenost od 100 m?

1449. Aljoša je prešao 162,5 km vozom za 2,6 sata Koliko je brz bio voz?

1450. Nađi masu leda od 1 cm 3 ako je masa leda od 3,5 cm 3 3,08 g.

1451. Konopac je prerezan na dva dijela. Dužina jednog dijela je 3,25 m, a dužina drugog dijela je 1,3 puta manja od prvog. Koja je bila dužina užeta?

1452. U prvom pakovanju je bilo 6,72 kg brašna, što je 2,4 puta više od drugog pakovanja. Koliko kilograma brašna je bilo u obe vreće?

1453. Borya je potrošio 3,5 puta manje vremena na pripremu lekcija nego na šetnju. Koliko je Borya trebalo da hoda i priprema lekcije ako je šetnja trajala 2,8 sati?

Deljenje decimalom je isto kao i deljenje prirodnim brojem.

Pravilo za dijeljenje broja decimalnim razlomkom

Da biste broj podijelili decimalnim razlomkom, potrebno je i u dividendi i u djelitelju pomaknuti zarez onoliko cifara udesno koliko ih ima u djelitelju nakon decimalnog zareza. Nakon toga podijelite prirodnim brojem.

Primjeri.

Izvrši dijeljenje decimalom:

Da biste podijelili decimalni razlomak, potrebno je da pomaknete zarez za onoliko cifara udesno i u dividendi i u djelitelju koliko ih ima nakon decimalne točke u djelitelju, odnosno za jedan znak. Dobijamo: 35,1: 1,8 \u003d 351: 18. Sada izvodimo podjelu na ugao. Kao rezultat, dobijamo: 35,1: 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Da biste izvršili dijeljenje decimalnih razlomaka, i u dividendi i u djelitelju, pomaknite zarez udesno za jedan znak: 14,76: 3,6 \u003d 147,6: 36. Sada radimo na prirodnom broju. Rezultat: 14,76: 3,6 = 4,1.

Da biste izvršili dijeljenje decimalnim razlomkom prirodnog broja, potrebno je i u dividendi i u djelitelju pomaknuti onoliko znakova udesno koliko ih ima u djelitelju nakon decimalnog zareza. Budući da u ovom slučaju zarez nije napisan u djelitelju, nedostajući broj znakova popunjavamo nulama: 70: 1,75 \u003d 7000: 175. Dobivene prirodne brojeve dijelimo uglom: 70: 1,75 \u003d 7000: 175 \u003d 40.

4) 0,1218: 0,058

Da bismo jedan decimalni razlomak podijelili na drugi, pomjerimo zarez udesno i u dividendi i u djelitelju za onoliko cifara koliko ih ima u djelitelju nakon decimalnog zareza, odnosno za tri cifre. Dakle, 0,1218: 0,058 \u003d 121,8: 58. Podjela decimalnim razlomkom zamijenjena je dijeljenjem prirodnim brojem. Dijelimo kutak. Imamo: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8

U ovom vodiču ćemo pogledati svaku od ovih operacija jednu po jednu.

Sadržaj lekcije

Dodavanje decimala

Kao što znamo, decimalni dio ima cijeli broj i razlomak. Prilikom zbrajanja decimala, cijeli broj i razlomak se zbrajaju odvojeno.

Na primjer, dodajmo decimale 3.2 i 5.3. Pogodnije je dodati decimalne razlomke u kolonu.

Prvo upisujemo ova dva razlomka u kolonu, pri čemu cjelobrojni dijelovi moraju biti ispod cijelih, a razlomci ispod razlomaka. U školi se ovaj uslov zove "zarez ispod zareza".

Zapišimo razlomke u stupac tako da je zarez ispod zareza:

Počinjemo sabirati razlomke: 2 + 3 \u003d 5. Zapisujemo pet u razlomku našeg odgovora:

Sada sabiramo cjelobrojne dijelove: 3 + 5 = 8. Zapisujemo osam u cjelobrojni dio našeg odgovora:

Sada odvajamo cijeli broj od razlomka zarezom. Da bismo to učinili, opet slijedimo pravilo "zarez ispod zareza":

Dobio odgovor 8.5. Dakle, izraz 3,2 + 5,3 jednak je 8,5

Zapravo, nije sve tako jednostavno kao što se čini na prvi pogled. I ovdje postoje zamke o kojima ćemo sada govoriti.

Mjesta u decimalama

Decimale, kao i obični brojevi, imaju svoje cifre. Ovo su deseta mesta, stota mesta, hiljaditi mesta. U ovom slučaju cifre počinju nakon decimalnog zareza.

Prva cifra iza decimalnog zareza je odgovorna za desetine, druga cifra iza decimale za stotinke, treća cifra iza decimalne zapete za hiljaditi.

Cifre u decimalnim razlomcima pohranjuju neke korisne informacije. Konkretno, oni izvještavaju koliko je desetina, stotih i hiljaditih dionica u decimali.

Na primjer, uzmite u obzir decimalu 0,345

Pozicija na kojoj se nalazi trojka se zove deseto mjesto

Pozicija na kojoj se nalazi četvorka se zove stotinke mesto

Pozicija na kojoj se nalazi petorka se zove hiljaditih delova

Pogledajmo ovu cifru. Vidimo da je u kategoriji desetina trojka. Ovo sugerira da postoje tri desetine u decimalnom razlomku 0,345.

Ako zbrojimo razlomke, onda dobijemo originalni decimalni razlomak 0,345

Vidi se da smo u početku dobili odgovor, ali smo ga pretvorili u decimalni razlomak i dobili 0,345.

Prilikom sabiranja decimalnih razlomaka poštuju se isti principi i pravila kao i kod sabiranja običnih brojeva. Sabiranje decimalnih razlomaka se odvija po ciframa: desetine se dodaju desetinkama, stotinke stotim, hiljaditi i hiljadinim.

Stoga je kod zbrajanja decimalnih razlomaka potrebno slijediti pravilo "zarez ispod zareza". Zarez ispod zareza daje isti redoslijed kojim se desetine dodaju desetinkama, stotinke stotinke, hiljadinke i hiljadinke.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza 1,5 + 3,4

Prije svega, dodajemo razlomke 5 + 4 = 9. Zapisujemo devet u razlomljeni dio našeg odgovora:

Sada sabiramo cjelobrojne dijelove 1 + 3 = 4. Zapisujemo četiri u cjelobrojni dio našeg odgovora:

Sada odvajamo cijeli broj od razlomka zarezom. Da bismo to učinili, opet poštujemo pravilo "zarez ispod zareza":

Dobio odgovor 4.9. Dakle, vrijednost izraza 1,5 + 3,4 je 4,9

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza: 3,51 + 1,22

Ovaj izraz zapisujemo u kolonu, poštujući pravilo "zarez ispod zareza"

Prije svega, dodajte razlomak, odnosno stotinke 1+2=3. Trojku upisujemo u stoti dio našeg odgovora:

Sada dodajte desetine 5+2=7. Zapisujemo sedam u desetom dijelu našeg odgovora:

Sada dodajte cijele dijelove 3+1=4. Zapisujemo četiri u cijeli dio našeg odgovora:

Odvajamo cijeli broj od razlomaka zarezom, poštujući pravilo "zarez ispod zareza":

Dobio odgovor 4,73. Dakle, vrijednost izraza 3,51 + 1,22 je 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Kao i kod običnih brojeva, kada se zbrajaju decimalni razlomci, . U ovom slučaju, jedna cifra se upisuje u odgovor, a ostatak se prenosi na sljedeću cifru.

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza 2,65 + 3,27

Zapisujemo ovaj izraz u kolonu:

Dodajte stotinke 5+7=12. Broj 12 neće stati u stoti dio našeg odgovora. Stoga u stotom dijelu upisujemo broj 2 i prenosimo jedinicu na sljedeći bit:

Sada saberemo desetine 6+2=8 plus jedinicu koju smo dobili iz prethodne operacije, dobijemo 9. U desetinu našeg odgovora upisujemo broj 9:

Sada dodajte cijele dijelove 2+3=5. Zapisujemo broj 5 u celobrojni deo našeg odgovora:

Dobio odgovor 5,92. Dakle, vrijednost izraza 2,65 + 3,27 je 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Primjer 4 Pronađite vrijednost izraza 9,5 + 2,8

Upišite ovaj izraz u kolonu

Zbrajamo razlomke 5 + 8 = 13. Broj 13 neće stati u razlomak našeg odgovora, pa prvo zapišemo broj 3, a jedinicu prenosimo na sljedeću cifru, odnosno u cijeli broj dio:

Sada dodajemo cijele dijelove 9+2=11 plus jedinicu koju smo dobili iz prethodne operacije, dobijamo 12. Zapisujemo broj 12 u cjelobrojni dio našeg odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomaka zarezom:

Dobio odgovor 12.3. Dakle, vrijednost izraza 9,5 + 2,8 je 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Prilikom sabiranja decimalnih razlomaka, broj cifara iza decimalnog zareza u oba razlomka mora biti isti. Ako nema dovoljno znamenki, tada se ova mjesta u razlomku popunjavaju nulama.

Primjer 5. Pronađite vrijednost izraza: 12,725 + 1,7

Pre nego što zapišemo ovaj izraz u kolonu, učinimo da broj cifara iza decimalne tačke u oba razlomka bude isti. Decimalni razlomak 12,725 ima tri znamenke iza decimalne zareze, dok razlomak 1,7 ima samo jednu. Dakle, u razlomku 1,7 na kraju trebate dodati dvije nule. Tada dobijamo razlomak 1.700. Sada možete napisati ovaj izraz u stupac i početi računati:

Dodajte hiljadite od 5+0=5. Zapisujemo broj 5 u hiljaditom dijelu našeg odgovora:

Dodajte stotinke 2+0=2. Zapisujemo broj 2 u stoti dio našeg odgovora:

Dodajte desetine 7+7=14. Broj 14 neće stati u desetinu našeg odgovora. Stoga prvo zapisujemo broj 4 i prenosimo jedinicu na sljedeći bit:

Sada dodajemo cijele dijelove 12+1=13 plus jedinicu koju smo dobili iz prethodne operacije, dobijamo 14. Upisujemo broj 14 u cijeli broj našeg odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomaka zarezom:

Dobio odgovor 14,425. Dakle, vrijednost izraza 12,725+1,700 je 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Oduzimanje decimala

Prilikom oduzimanja decimalnih razlomaka morate se pridržavati istih pravila kao i kod sabiranja: „zarez ispod zareza“ i „jednak broj znamenki iza decimalnog zareza“.

Primjer 1 Naći vrijednost izraza 2.5 − 2.2

Ovaj izraz zapisujemo u kolonu, poštujući pravilo “zarez ispod zareza”:

Računamo razlomak 5−2=3. Zapisujemo broj 3 u desetom dijelu našeg odgovora:

Izračunajte cijeli broj 2−2=0. Zapisujemo nulu u cijelom dijelu našeg odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomaka zarezom:

Dobili smo odgovor 0,3. Dakle, vrijednost izraza 2,5 − 2,2 jednaka je 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Primjer 2 Naći vrijednost izraza 7.353 - 3.1

U ovom izrazu različit iznos cifre iza decimalnog zareza. U razlomku 7.353 nalaze se tri cifre iza decimalnog zareza, a u razlomku 3.1 samo jedna. To znači da se u razlomku 3.1 moraju dodati dvije nule na kraju kako bi broj cifara u oba razlomka bio isti. Onda dobijemo 3,100.

Sada možete napisati ovaj izraz u kolonu i izračunati ga:

Dobio odgovor 4,253. Dakle, vrijednost izraza 7,353 − 3,1 je 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Kao i kod običnih brojeva, ponekad ćete morati posuditi jedan iz susjednog bita ako oduzimanje postane nemoguće.

Primjer 3 Naći vrijednost izraza 3.46 − 2.39

Oduzmite stotinke 6−9. Od broja 6 nemojte oduzimati broj 9. Dakle, morate uzeti jedinicu od susjedne cifre. Pozajmivši jednu od susjedne cifre, broj 6 se pretvara u broj 16. Sada možemo izračunati stoti dio 16−9=7. Zapisujemo sedam u stotom dijelu našeg odgovora:

Sada oduzmite desetine. Kako smo uzeli jednu jedinicu u kategoriji desetinki, brojka koja se tu nalazila se smanjila za jednu jedinicu. Drugim riječima, deseto mjesto sada nije broj 4, već broj 3. Izračunajmo desetine od 3−3=0. U desetom dijelu našeg odgovora pišemo nulu:

Sada oduzmite cjelobrojne dijelove 3−2=1. Jedinicu upisujemo u cijeli broj našeg odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomaka zarezom:

Dobio odgovor 1.07. Dakle, vrijednost izraza 3,46−2,39 jednaka je 1,07

3,46−2,39=1,07

Primjer 4. Naći vrijednost izraza 3−1.2

Ovaj primjer oduzima decimalni broj od cijelog broja. Zapišimo ovaj izraz u kolonu tako da cijeli dio Decimalni razlomak 1,23 bio je pod brojem 3

Sada učinimo da broj cifara iza decimalnog zareza bude isti. Da biste to učinili, nakon broja 3 stavite zarez i dodajte jednu nulu:

Sada oduzmite desetine: 0−2. Ne oduzimajte od nule broj 2. Dakle, morate uzeti jedinicu od susjedne cifre. Pozajmivši jedan od susedne cifre, 0 se pretvara u broj 10. Sada možete izračunati desetine od 10−2=8. Zapisujemo osmicu u desetom dijelu našeg odgovora:

Sada oduzmite cijele dijelove. Ranije se broj 3 nalazio u cijelom broju, ali smo od njega posudili jednu jedinicu. Kao rezultat, pretvorio se u broj 2. Stoga oduzimamo 1 od 2. 2−1=1. Jedinicu upisujemo u cijeli broj našeg odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomaka zarezom:

Dobio odgovor 1.8. Dakle, vrijednost izraza 3−1.2 je 1.8

Decimalno množenje

Množenje decimala je jednostavno, pa čak i zabavno. Da biste pomnožili decimale, morate ih pomnožiti kao obične brojeve, zanemarujući zareze.

Nakon što dobijete odgovor, potrebno je odvojiti cijeli broj od razlomka zarezom. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u oba razlomka, zatim prebrojati isti broj znamenki desno u odgovoru i staviti zarez.

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza 2,5 × 1,5

Ove decimalne razlomke množimo kao obične brojeve, zanemarujući zareze. Da biste zanemarili zareze, možete privremeno zamisliti da su potpuno odsutni:

Dobili smo 375. U ovom broju potrebno je cijeli dio od razlomka odvojiti zarezom. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u razlomcima od 2,5 i 1,5. U prvom razlomku je jedna cifra iza decimalnog zareza, u drugom razlomku takođe jedna. Ukupno dva broja.

Vraćamo se na broj 375 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Moramo izbrojati dvije cifre s desne strane i staviti zarez:

Dobio odgovor 3,75. Dakle, vrijednost izraza 2,5 × 1,5 je 3,75

2,5 x 1,5 = 3,75

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza 12,85 × 2,7

Pomnožimo ove decimale, zanemarujući zareze:

Dobili smo 34695. U ovom broju trebate odvojiti cijeli broj od razlomka zarezom. Da biste to učinili, morate izračunati broj znamenki nakon decimalne točke u razlomcima od 12,85 i 2,7. U razlomku 12,85 su dvije cifre iza decimalnog zareza, u razlomku 2,7 je jedna cifra - ukupno tri cifre.

Vraćamo se na broj 34695 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Moramo izbrojati tri cifre s desne strane i staviti zarez:

Dobio odgovor 34,695. Dakle, vrijednost izraza 12,85 × 2,7 je 34,695

12,85 x 2,7 = 34,695

Množenje decimale redovnim brojem

Ponekad postoje situacije kada trebate pomnožiti decimalni razlomak sa regularnim brojem.

Da biste pomnožili decimalni i običan broj, morate ih pomnožiti, bez obzira na zarez u decimali. Nakon što dobijete odgovor, potrebno je odvojiti cijeli broj od razlomka zarezom. Da biste to učinili, trebate izbrojati broj znamenki nakon decimalne točke u decimalnom razlomku, a zatim u odgovoru izbrojati isti broj znamenki desno i staviti zarez.

Na primjer, pomnožite 2,54 sa 2

Pomnožimo decimalni razlomak 2,54 sa uobičajenim brojem 2, zanemarujući zarez:

Dobili smo broj 508. U ovom broju trebate odvojiti cijeli broj od razlomka zarezom. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u razlomku 2,54. Razlomak 2,54 ima dvije cifre iza decimalnog zareza.

Vraćamo se na broj 508 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Moramo izbrojati dvije cifre s desne strane i staviti zarez:

Dobio odgovor 5.08. Dakle, vrijednost izraza 2,54 × 2 je 5,08

2,54 x 2 = 5,08

Množenje decimala sa 10, 100, 1000

Množenje decimala sa 10, 100 ili 1000 vrši se na isti način kao i množenje decimala redovnim brojevima. Potrebno je izvršiti množenje, zanemarujući zarez u decimalnom razlomku, a zatim u odgovoru odvojiti cijeli broj od razlomka, računajući isti broj cifara na desnoj strani koliko je bilo cifara iza decimalnog zareza u decimalnom dijelu frakcija.

Na primjer, pomnožite 2,88 sa 10

Pomnožimo decimalni razlomak 2,88 sa 10, zanemarujući zarez u decimalnom razlomku:

Dobili smo 2880. U ovom broju trebate odvojiti cijeli dio od razlomka zarezom. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u razlomku 2,88. Vidimo da u razlomku 2,88 postoje dvije cifre iza decimalnog zareza.

Vraćamo se na broj 2880 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Moramo izbrojati dvije cifre s desne strane i staviti zarez:

Dobio odgovor 28.80. Odbacujemo zadnju nulu - dobijamo 28,8. Dakle, vrijednost izraza 2,88 × 10 je 28,8

2,88 x 10 = 28,8

Postoji drugi način množenja decimalnih razlomaka sa 10, 100, 1000. Ova metoda je mnogo jednostavnija i praktičnija. Sastoji se od činjenice da se zarez u decimalnom razlomku pomiče udesno za onoliko cifara koliko ima nula u množitelju.

Na primjer, riješimo prethodni primjer 2,88×10 na ovaj način. Bez davanja ikakvih proračuna, odmah gledamo faktor 10. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima jednu nulu. Sada u razlomku 2,88 pomjerimo decimalni zarez udesno za jednu cifru, dobijemo 28,8.

2,88 x 10 = 28,8

Pokušajmo pomnožiti 2,88 sa 100. Odmah gledamo faktor 100. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima dvije nule. Sada u razlomku 2,88 pomjerimo decimalni zarez udesno za dvije cifre, dobijemo 288

2,88 x 100 = 288

Pokušajmo pomnožiti 2,88 sa 1000. Odmah gledamo faktor 1000. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima tri nule. Sada u razlomku 2,88 pomičemo decimalni zarez udesno za tri znamenke. Treće znamenke nema, pa dodajemo još jednu nulu. Kao rezultat, dobijamo 2880.

2,88 x 1000 = 2880

Množenje decimala sa 0,1 0,01 i 0,001

Množenje decimala sa 0,1, 0,01 i 0,001 radi na isti način kao i množenje decimale sa decimalom. Potrebno je pomnožiti razlomke kao obične brojeve, a u odgovor staviti zarez, računajući onoliko cifara na desnoj strani koliko ima cifara iza decimalnog zareza u oba razlomka.

Na primjer, pomnožite 3,25 sa 0,1

Ove razlomke množimo kao obične brojeve, zanemarujući zareze:

Dobili smo 325. U ovom broju trebate odvojiti cijeli dio od razlomka zarezom. Da biste to učinili, morate izračunati broj znamenki nakon decimalne točke u razlomcima od 3,25 i 0,1. U razlomku 3,25 nalaze se dvije cifre iza decimalnog zareza, u razlomku 0,1 je jedna cifra. Ukupno tri broja.

Vraćamo se na broj 325 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati tri cifre na desnoj strani i staviti zarez. Nakon brojanja tri cifre, nalazimo da su brojevi gotovi. U ovom slučaju morate dodati jednu nulu i staviti zarez:

Dobili smo odgovor 0,325. Dakle, vrijednost izraza 3,25 × 0,1 je 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Postoji drugi način za množenje decimala sa 0,1, 0,01 i 0,001. Ova metoda je mnogo lakša i praktičnija. Sastoji se u tome da se zarez u decimalnom razlomku pomiče ulijevo za onoliko cifara koliko ima nula u množitelju.

Na primjer, riješimo prethodni primjer 3,25 × 0,1 na ovaj način. Bez davanja ikakvih proračuna, odmah gledamo faktor 0,1. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima jednu nulu. Sada u razlomku 3,25 pomičemo decimalni zarez ulijevo za jednu cifru. Pomerajući zarez za jednu cifru ulevo, vidimo da nema više cifara ispred tri. U ovom slučaju dodajte jednu nulu i stavite zarez. Kao rezultat, dobijamo 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Pokušajmo pomnožiti 3,25 sa 0,01. Odmah pogledajte množitelj od 0,01. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima dvije nule. Sada u razlomku 3,25 pomjerimo zarez ulijevo za dvije cifre, dobijemo 0,0325

3,25 x 0,01 = 0,0325

Pokušajmo pomnožiti 3,25 sa 0,001. Odmah pogledajte množitelj od 0,001. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima tri nule. Sada u razlomku 3,25 pomjerimo decimalni zarez ulijevo za tri cifre, dobijemo 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Nemojte brkati množenje decimala sa 0,1, 0,001 i 0,001 sa množenjem sa 10, 100, 1000. Uobičajena greška većina ljudi.

Kada se množi sa 10, 100, 1000, zarez se pomera udesno za onoliko cifara koliko ima nula u množitelju.

A kada se množi sa 0,1, 0,01 i 0,001, zarez se pomera ulevo za onoliko cifara koliko ima nula u množitelju.

Ako je u početku teško zapamtiti, možete koristiti prvu metodu, u kojoj se množenje izvodi kao kod običnih brojeva. U odgovoru ćete morati odvojiti cijeli broj od razlomka tako što ćete izbrojati onoliko cifara na desnoj strani koliko ima cifara iza decimalne točke u oba razlomka.

Deljenje manjeg broja većim. Napredni nivo.

U jednoj od prethodnih lekcija to smo rekli prilikom dijeljenja manje Za više, dobije se razlomak u čijem je brojiocu dividenda, a u nazivniku djelitelj.

Na primjer, da biste podijelili jednu jabuku na dvije, morate u brojilac napisati 1 (jedna jabuka), a u nazivnik 2 (dva prijatelja). Rezultat je razlomak. Tako će svaki prijatelj dobiti jabuku. Drugim riječima, pola jabuke. Razlomak je odgovor na problem kako podijeliti jednu jabuku između dvije

Ispostavilo se da ovaj problem možete dalje riješiti ako podijelite 1 sa 2. Uostalom, razlomak u bilo kojem razlomku znači dijeljenje, što znači da je i ovo dijeljenje dozvoljeno u razlomku. Ali kako? Navikli smo na činjenicu da je dividenda uvijek veća od djelitelja. A ovdje je, naprotiv, dividenda manja od djelitelja.

Sve će postati jasno ako se sjetimo da razlomak znači drobljenje, dijeljenje, dijeljenje. To znači da se jedinica može podijeliti na onoliko dijelova koliko želite, a ne samo na dva dijela.

Prilikom dijeljenja manjeg broja većim dobiva se decimalni razlomak u kojem će cijeli broj biti 0 (nula). Razlomak može biti bilo šta.

Dakle, podijelimo 1 sa 2. Rešimo ovaj primjer uglom:

Ne može se samo tako podijeliti na dvoje. Ako postavite pitanje "koliko je dvojaka u jednom" , tada će odgovor biti 0. Stoga, privatno pišemo 0 i stavljamo zarez:

Sada, kao i obično, množimo količnik sa djeliteljem da izvučemo ostatak:

Došao je trenutak kada se jedinica može podijeliti na dva dijela. Da biste to učinili, dodajte još jednu nulu desno od primljene:

Dobili smo 10. Podijelimo 10 sa 2, dobijemo 5. Zapisujemo pet u razlomak našeg odgovora:

Sada izvlačimo posljednji ostatak da završimo proračun. Pomnožimo 5 sa 2, dobićemo 10

Dobili smo odgovor 0,5. Dakle, razlomak je 0,5

Pola jabuke se također može napisati pomoću decimalnog razlomka 0,5. Ako zbrojimo ove dvije polovine (0,5 i 0,5), opet ćemo dobiti originalnu jednu cijelu jabuku:

Ovu tačku možemo razumjeti i ako zamislimo kako je 1 cm podijeljen na dva dijela. Ako 1 centimetar podijelite na 2 dijela, dobit ćete 0,5 cm

Primjer 2 Naći vrijednost izraza 4:5

Koliko je petica u četiri? Ne sve. Pišemo privatno 0 i stavljamo zarez:

Pomnožimo 0 sa 5, dobijemo 0. Zapisujemo nulu ispod četiri. Odmah oduzmite ovu nulu od dividende:

Sada počnimo da delimo (delimo) četiri na 5 delova. Da bismo to učinili, desno od 4, dodamo nulu i podijelimo 40 sa 5, dobijemo 8. Osam pišemo privatno.

Završavamo primjer množenjem 8 sa 5 i dobijemo 40:

Dobili smo odgovor 0,8. Dakle, vrijednost izraza 4:5 je 0,8

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza 5: 125

Koliko je brojeva 125 u pet? Ne sve. Privatno pišemo 0 i stavljamo zarez:

Pomnožimo 0 sa 5, dobijemo 0. Zapišemo 0 ispod pet. Odmah oduzmite od pet 0

Sada počnimo dijeliti (dijeliti) pet na 125 dijelova. Da bismo to učinili, desno od ove petice pišemo nulu:

Podijelite 50 sa 125. Koliko je brojeva 125 u 50? Ne sve. Dakle, u količnik ponovo upisujemo 0

Pomnožimo 0 sa 125, dobijemo 0. Ovu nulu zapišemo ispod 50. Odmah oduzmite 0 od 50

Sada dijelimo broj 50 na 125 dijelova. Da bismo to učinili, desno od 50 pišemo još jednu nulu:

Podijelite 500 sa 125. Koliko je brojeva 125 u broju 500. U broju 500 postoje četiri broja 125. Četiri pišemo privatno:

Završavamo primjer množenjem 4 sa 125 i dobijemo 500

Dobili smo odgovor 0,04. Dakle, vrijednost izraza 5:125 je 0,04

Dijeljenje brojeva bez ostatka

Dakle, stavimo zarez u kvocijent iza jedinice, čime pokazujemo da je podjela cijelih dijelova završena i prelazimo na razlomak:

Ostatku 4 dodajte nulu

Sada podijelimo 40 sa 5, dobijemo 8. Pišemo osam privatno:

40−40=0. Primljeno 0 u ostatku. Dakle, podjela je u potpunosti završena. Dijeljenjem 9 sa 5 dobije se decimala 1,8:

9: 5 = 1,8

Primjer 2. Podijelite 84 sa 5 bez ostatka

Prvo podijelimo 84 sa 5 kao i obično s ostatkom:

Privatno primljeno 16 i još 4 na saldu. Sada dijelimo ovaj ostatak sa 5. Stavljamo zarez u privatno i dodajemo 0 ostatku 4

Sada podijelimo 40 sa 5, dobijemo 8. Zapisujemo osam u količniku nakon decimalnog zareza:

i dovršite primjer provjerom da li još uvijek postoji ostatak:

Deljenje decimale redovnim brojem

Decimalni razlomak, kao što znamo, sastoji se od cijelog broja i razlomka. Kada dijelite decimalni razlomak redovnim brojem, prije svega trebate:

• podijeliti cijeli broj decimalnog razlomka ovim brojem;
• nakon što se cijeli broj podijeli, potrebno je odmah staviti zarez u privatni dio i nastaviti računanje, kao kod običnog dijeljenja.

Na primjer, podijelimo 4,8 sa 2

Zapišimo ovaj primjer kao ugao:

Sada podijelimo cijeli dio sa 2. Četiri podijeljeno sa dva je dva. Napišemo dvojku privatno i odmah stavimo zarez:

Sada pomnožimo količnik sa djeliteljem i vidimo postoji li ostatak od dijeljenja:

4−4=0. Ostatak je nula. Još ne pišemo nulu, jer rješenje nije završeno. Zatim nastavljamo računati, kao kod običnog dijeljenja. Skinite 8 i podijelite sa 2

8: 2 = 4. Zapisujemo četiri u količnik i odmah ga množimo s djeliteljem:

Dobio odgovor 2.4. Vrijednost izraza 4,8: ​​2 je 2,4

Primjer 2 Naći vrijednost izraza 8,43:3

Podijelimo 8 sa 3, dobijemo 2. Odmah stavite zarez iza dva:

Sada množimo količnik sa djeliteljem 2 × 3 = 6. Zapisujemo šest ispod osmice i nalazimo ostatak:

Podijelimo 24 sa 3, dobijemo 8. Osam pišemo privatno. Odmah ga množimo sa djeliteljem da nađemo ostatak dijeljenja:

24−24=0. Ostatak je nula. Nula još nije snimljena. Uzmite posljednja tri dividende i podijelite sa 3, dobićemo 1. Odmah pomnožite 1 sa 3 da dovršite ovaj primjer:

Dobio odgovor 2,81. Dakle, vrijednost izraza 8,43:3 jednaka je 2,81

Dijeljenje decimale sa decimalom

Da biste podijelili decimalni razlomak na decimalni razlomak, u dividendi i u djelitelju, pomaknite zarez udesno za isti broj cifara nakon decimalnog zareza u djelitelju, a zatim podijelite redovnim brojem.

Na primjer, podijelite 5,95 sa 1,7

Zapišimo ovaj izraz kao ugao

Sada, u dividendi i u djelitelju, pomičemo zarez udesno za isti broj cifara koliko ih ima nakon decimalnog zareza u djelitelju. Delitelj ima jednu cifru iza decimalnog zareza. Dakle, moramo pomaknuti zarez udesno za jednu cifru u dividendi i u djelitelju. Prijenos:

Nakon pomjeranja decimalnog zareza udesno za jednu cifru, decimalni razlomak 5,95 pretvorio se u razlomak 59,5. A decimalni razlomak 1,7, nakon pomjeranja decimalne točke udesno za jednu znamenku, pretvorio se u uobičajeni broj 17. I već znamo kako podijeliti decimalni razlomak uobičajenim brojem. Daljnji proračun nije težak:

Zarez se pomiče udesno radi lakšeg dijeljenja. To je dozvoljeno zbog činjenice da se pri množenju ili dijeljenju dividende i djelitelja istim brojem, količnik ne mijenja. Šta to znači?

Ovo je jedan od zanimljive karakteristike divizije. To se zove privatno vlasništvo. Razmotrimo izraz 9: 3 = 3. Ako se u ovom izrazu dividenda i djelitelj pomnože ili podijele istim brojem, tada se količnik 3 neće promijeniti.

Pomnožimo dividendu i djelitelj sa 2 i vidimo šta će se dogoditi:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

Kao što se može vidjeti iz primjera, količnik se nije promijenio.

Ista stvar se dešava kada nosimo zarez u deljeniku i u deljeniku. U prethodnom primjeru, gdje smo podijelili 5,91 sa 1,7, pomaknuli smo zarez za jednu cifru udesno u dividendi i djelitelju. Nakon pomjeranja zareza, razlomak 5,91 je pretvoren u razlomak 59,1, a razlomak 1,7 je pretvoren u uobičajeni broj 17.

Zapravo, unutar ovog procesa se dogodilo množenje sa 10. Evo kako je to izgledalo:

5,91 × 10 = 59,1

Dakle, broj cifara iza decimalnog zareza u djelitelju zavisi od toga čime će se pomnožiti dividenda i djelitelj. Drugim riječima, broj cifara iza decimalnog zareza u djelitelju će odrediti za koliko cifara u dividendi i u djelitelju će zarez biti pomaknut udesno.

Decimalno dijeljenje sa 10, 100, 1000

Dijeljenje decimale sa 10, 100 ili 1000 vrši se na isti način kao . Na primjer, podijelimo 2,1 sa 10. Riješimo ovaj primjer uglom:

Ali postoji i drugi način. Lakši je. Suština ove metode je da se zarez u dividendi pomjeri ulijevo za onoliko cifara koliko ima nula u djelitelju.

Riješimo prethodni primjer na ovaj način. 2,1: 10. Gledamo u razdjelnik. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da postoji jedna nula. Dakle, u djeljivom 2.1, trebate pomaknuti zarez ulijevo za jednu cifru. Pomaknemo zarez ulijevo za jednu cifru i vidimo da nema više cifara. U ovom slučaju dodajemo još jednu nulu ispred broja. Kao rezultat, dobijamo 0,21

Pokušajmo podijeliti 2,1 sa 100. U broju 100 postoje dvije nule. Dakle, u deljivom 2.1, morate pomeriti zarez ulevo za dve cifre:

2,1: 100 = 0,021

Pokušajmo podijeliti 2,1 sa 1000. U broju 1000 postoje tri nule. Dakle, u deljivom 2.1, morate pomeriti zarez ulevo za tri cifre:

2,1: 1000 = 0,0021

Decimalno dijeljenje sa 0,1, 0,01 i 0,001

Dijeljenje decimale sa 0,1, 0,01 i 0,001 vrši se na isti način kao . U dividendi i u djelitelju morate pomaknuti zarez udesno za onoliko cifara koliko ih ima nakon decimalne točke u djelitelju.

Na primjer, podijelimo 6,3 sa 0,1. Prije svega, pomjerimo zareze u dividendi i u djelitelju udesno za isti broj cifara koliko ih ima nakon decimalne točke u djelitelju. Delitelj ima jednu cifru iza decimalnog zareza. Dakle, pomjerimo zareze u dividendi i u djelitelju udesno za jednu cifru.

Nakon pomjeranja decimalnog zareza udesno za jednu cifru, decimalni razlomak 6,3 pretvara se u uobičajeni broj 63, a decimalni razlomak 0,1, nakon pomjeranja decimalnog zareza udesno za jednu znamenku, pretvara se u jedan. A dijeljenje 63 sa 1 je vrlo jednostavno:

Dakle, vrijednost izraza 6,3:0,1 jednaka je 63

Ali postoji i drugi način. Lakši je. Suština ove metode je da se zarez u dividendi prenosi udesno za onoliko cifara koliko ima nula u djelitelju.

Riješimo prethodni primjer na ovaj način. 6.3:0.1. Pogledajmo razdjelnik. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da postoji jedna nula. Dakle, u djeljivom 6.3, trebate pomjeriti zarez udesno za jednu cifru. Pomaknemo zarez udesno za jednu cifru i dobijemo 63

Pokušajmo podijeliti 6,3 sa 0,01. Delitelj 0,01 ima dvije nule. Dakle, u deljivom 6.3, morate pomeriti zarez udesno za dve cifre. Ali u dividendi postoji samo jedna znamenka iza decimalnog zareza. U ovom slučaju, na kraju se mora dodati još jedna nula. Kao rezultat, dobijamo 630

Pokušajmo podijeliti 6,3 sa 0,001. Delitelj 0,001 ima tri nule. Dakle, u deljivom 6.3, morate pomeriti zarez udesno za tri cifre:

6,3: 0,001 = 6300

Zadaci za samostalno rješavanje

Da li vam se dopala lekcija?
Pridružite se našoj nova grupa Vkontakte i počnite primati obavještenja o novim lekcijama

U prošloj lekciji naučili smo kako sabirati i oduzimati decimalne razlomke (pogledajte lekciju "Dodavanje i oduzimanje decimalnih razlomaka"). Istovremeno su procijenili koliko su proračuni pojednostavljeni u odnosu na uobičajene razlomke na dva sprata.

Nažalost, kod množenja i dijeljenja decimalnih razlomaka ovaj efekat se ne javlja. U nekim slučajevima, decimalni zapis čak komplikuje ove operacije.

Prvo, uvedemo novu definiciju. Sretaćemo ga dosta često, i to ne samo na ovoj lekciji.

Značajan dio broja je sve između prve i posljednje cifre različite od nule, uključujući prikolice. Radi se o samo o brojevima, decimalni zarez se ne uzima u obzir.

Cifre uključene u značajan dio broja nazivaju se značajne cifre. Mogu se ponavljati i čak biti jednake nuli.

Na primjer, razmotrite nekoliko decimalnih razlomaka i napišite njihove odgovarajuće značajne dijelove:

1. 91,25 → 9125 (značajne brojke: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (značajne brojke: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (značajne brojke: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (značajne brojke: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (postoji samo jedna značajna cifra: 3).

Imajte na umu: nule unutar značajnog dijela broja ne idu nikuda. Već smo se susreli sa nečim sličnim kada smo naučili pretvarati decimalne razlomke u obične (pogledajte lekciju “Decimalni razlomci”).

Ovo je toliko važno, a greške se ovdje prave toliko često da ću objaviti test na ovu temu u bliskoj budućnosti. Obavezno vježbajte! A mi, naoružani konceptom značajnog dijela, preći ćemo, zapravo, na temu lekcije.

Decimalno množenje

Operacija množenja sastoji se od tri uzastopna koraka:

1. Za svaki razlomak zapišite značajan dio. Dobićete dva obična cijela broja - bez nazivnika i decimalnih zareza;
2. Pomnožite ove brojeve na bilo koji prikladan način. Direktno, ako su brojevi mali, ili u koloni. Dobijamo značajan dio željenog razlomka;
3. Saznajte gdje i za koliko znamenki se decimalna točka pomjera u originalnim razlomcima da biste dobili odgovarajući značajan dio. Izvedite obrnute pomake na značajnom dijelu dobivenom u prethodnom koraku.

Da vas još jednom podsjetim da se nule na stranama značajnog dijela nikada ne uzimaju u obzir. Zanemarivanje ovog pravila dovodi do grešaka.

1. 0,28 12,5;
2. 6,3 1,08;
3. 132,5 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 10.000.

Radimo s prvim izrazom: 0.28 12.5.

1. Napišimo bitne dijelove za brojeve iz ovog izraza: 28 i 125;
2. Njihov proizvod: 28 125 = 3500;
3. U prvom množitelju, decimalna točka je pomaknuta za 2 znamenke udesno (0,28 → 28), au drugom - za još jednu cifru. Ukupno je potreban pomak ulijevo za tri znamenke: 3500 → 3.500 = 3,5.

Sada se pozabavimo izrazom 6.3 1.08.

1. Napišimo bitne dijelove: 63 i 108;
2. Njihov proizvod: 63 108 = 6804;
3. Opet, dva pomaka udesno: za 2 i 1 cifru, respektivno. Ukupno - opet 3 cifre udesno, tako da će pomak unazad biti 3 cifre ulijevo: 6804 → 6.804. Ovog puta nema nula na kraju.

Došli smo do trećeg izraza: 132,5 0,0034.

1. Značajni dijelovi: 1325 i 34;
2. Njihov proizvod: 1325 34 = 45,050;
3. U prvom razlomku decimalni zarez ide udesno za 1 cifru, a u drugom - za čak 4. Ukupno: 5 udesno. Izvodimo pomak za 5 ulijevo: 45050 → .45050 = 0,4505. Nula je uklonjena na kraju i dodata na prednju stranu kako ne bi ostala "gola" decimalna točka.

Sljedeći izraz: 0,0108 1600,5.

1. Pišemo značajne dijelove: 108 i 16 005;
2. Množimo ih: 108 16 005 = 1 728 540;
3. Brojimo brojeve iza decimalnog zareza: u prvom broju ima 4, u drugom - 1. Ukupno - opet 5. Imamo: 1.728.540 → 17.28540 = 17.2854. Na kraju je uklonjena “dodatna” nula.

Konačno, posljednji izraz: 5.25 10.000.

1. Značajni dijelovi: 525 i 1;
2. Množimo ih: 525 1 = 525;
3. Prvi razlomak je pomaknut za 2 znamenke udesno, a drugi razlomak je pomaknut za 4 znamenke ulijevo (10.000 → 1.0000 = 1). Ukupno 4 − 2 = 2 znamenke lijevo. Izvodimo obrnuti pomak za 2 cifre udesno: 525, → 52 500 (morali smo dodati nule).

obratite pažnju na posljednji primjer: budući da se decimalna točka kreće u različitim smjerovima, ukupni pomak je kroz razliku. Ovo je veoma važna tačka! Evo još jednog primjera:

Razmotrimo brojeve 1,5 i 12 500. Imamo: 1,5 → 15 (pomak za 1 udesno); 12 500 → 125 (pomak 2 ulijevo). “Koramo” 1 cifru udesno, a zatim 2 cifre ulijevo. Kao rezultat toga, zakoračili smo 2 − 1 = 1 znamenku ulijevo.

Decimalna podjela

Podjela je možda i najviše komplikovana operacija. Naravno, ovdje možete postupiti po analogiji s množenjem: podijeliti značajne dijelove, a zatim "pomjeriti" decimalni zarez. Ali u ovom slučaju postoje mnoge suptilnosti koje negiraju potencijalnu uštedu.

Pogledajmo generički algoritam koji je malo duži, ali mnogo pouzdaniji:

1. Pretvorite sve decimale u obične razlomke. Uz malo vježbe, ovaj korak će vam oduzeti nekoliko sekundi;
2. Dobivene razlomke podijelite na klasičan način. Drugim riječima, pomnožite prvi razlomak sa "obrnutim" drugim (pogledajte lekciju "Množenje i dijeljenje brojčanih razlomaka");
3. Ako je moguće, vratite rezultat kao decimalu. Ovaj korak je takođe brz, jer često imenilac već ima stepen deset.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Razmatramo prvi izraz. Prvo, pretvorimo obi razlomke u decimale:

Isto radimo i sa drugim izrazom. Brojilac prvog razlomka ponovo se razlaže na faktore:

U trećem i četvrtom primjeru postoji važna stvar: nakon što se riješite decimalnog zapisa, pojavljuju se razlomci koji se mogu opozvati. Međutim, nećemo izvršiti ovo smanjenje.

Zadnji primjer je zanimljiv jer je brojnik drugog razlomka prost broj. Ovde jednostavno nema šta da se faktorizuje, pa ga smatramo „praznim kroz“:

Ponekad dijeljenje rezultira cijelim brojem (govorim o posljednjem primjeru). U ovom slučaju, treći korak se uopće ne izvodi.

Osim toga, prilikom dijeljenja često se pojavljuju „ružni“ razlomci koji se ne mogu pretvoriti u decimale. Tu se dijeljenje razlikuje od množenja, gdje se rezultati uvijek izražavaju u decimalnom obliku. Naravno, u ovom slučaju, posljednji korak se opet ne izvodi.

Obratite pažnju i na 3. i 4. primjer. U njima namjerno ne reduciramo obične razlomke dobivene iz decimala. Inače će to otežati inverzni problem- prikaz konačnog odgovora ponovo u decimalnom obliku.

Zapamtite: osnovno svojstvo razlomka (kao i bilo koje drugo pravilo u matematici) samo po sebi ne znači da se mora primjenjivati ​​svuda i uvijek, u svakoj prilici.