Formule za aritmetičke i geometrijske progresije 9.  Algebra: aritmetičke i geometrijske progresije

Poglavlje 3 ODNOSI I PROPORCIJE

Proporcije se mogu koristiti za rješavanje problema.

Znate, na primjer, da cijena robe ovisi o njenoj količini: velika količina roba se kupuje, to će biti veća njena vrednost. Takve količine se nazivaju direktno proporcionalne.

Zapamtite!

Za dvije veličine se kaže da su direktno proporcionalne ako se, kada se jedna veličina poveća (smanji) nekoliko puta, druga količina poveća (smanji) za isti broj puta.

Zadatak 1. Za 2 kg slatkiša platili su 72 UAH. Koliko će koštati 4,5 kg ovih slatkiša?

Rješenja.

Bilješka:

ako su dvije veličine direktno proporcionalne, tada se ta proporcija formira omjerom odgovarajućih vrijednosti ovih veličina.

U praksi, pored direktno proporcionalne zavisnosti veličina, postoji i inverzna. proporcionalna zavisnost. Na primjer, na putu do škole, kada vrijeme ističe, povećavate brzinu kretanja kako ne biste zakasnili na čas. Stoga brzina vašeg kretanja ovisi o satu kretanja: što je vrijeme kretanja kraće, to će vaša brzina biti veća. Takve količine se nazivaju obrnuto proporcionalne.

Zapamtite!

Dvije veličine se nazivaju obrnuto proporcionalne ako se, kada se jedna veličina poveća (smanji) nekoliko puta, druga količina smanji (poveća) za isti broj puta.

Zadatak 2. Automobil, koji se kretao brzinom od 90 km/h, prešao je udaljenost od Čerkasa do Kijeva za 2 h 3 Koliko se brzo kretao? obrnuti smjer, ako je prešao razdaljinu od Kijeva do Čerkasa za 2,5 h?

Rješenja.

Bilješka:

ako su dvije veličine obrnuto proporcionalne, tada proporciju čine međusobno inverzni omjeri odgovarajućih vrijednosti ovih veličina.

Da li su dvije veličine uvijek direktno proporcionalne ili obrnuto proporcionalne? Hajde da razgovaramo. Na primjer, tokom bolesti, temperatura djeteta može rasti i padati nekoliko dana. I ovdje nema zavisnosti, što znači da ne može biti proporcionalnosti. Ali rast djeteta se stalno povećava sa porastom starosti. Shodno tome, postoji odnos između veličina, što znači da postoji razlog za analizu proporcionalno ovim veličinama. Jasno je da ovdje nema proporcionalne ovisnosti, stoga nije potrebno saznati kako su te proporcionalne vrijednosti direktno ili obrnuto. Ako su dvije veličine proporcionalne, tada su moguće samo dvije opcije koje se međusobno isključuju - ili direktna proporcionalnost ili inverzna proporcionalnost.

Saznati više

Ime italijanskog monaha matematičara posredno je povezano sa istorijom zlatnog preseka. Leonardo iz Pize (1180-1240 str.), poznatiji kao Fibonači (Bonačijev sin).

Mnogo je putovao po istoku, upoznao Evropu sa indijskim (arapskim) brojevima. Godine 1202. objavljeno je njegovo matematičko djelo “Knjiga o abakusu” (brojne ploče), u kojem su sakupljeni svi tada poznati problemi. Jedan od zadataka je bio: „Koliko će se parova zečeva roditi od jednog para u jednoj godini?“. Raspravljajući o ovoj temi, Fibonacci je izgradio sljedeći niz brojeva:

0, 1, 1,2, 3, 5, 8, 13,21, 34,55, ... .

Sada je ovaj niz brojeva poznat kao Fibonačijev niz. Posebnost ovog niza brojeva je da svaki njegov član, počevši od trećeg, jednak je zbiru prethodna dva:

0 + 1 = 1; 1+1 = 2; 1+2 = 3; 2 + 3 = 5;

3 + 5 = 8; 5 + 8=13; 8 + 13 = 21; 13 + 21=34

slično, a omjer susjednih brojeva niza približava se omjeru zlatnog presjeka. Na primjer:

21: 34 = 0,617, a34: 55 = 0,618.

ZAPAMTITE GLAVNE STVARI

1. Koje se veličine nazivaju direktno proporcionalnim? Navedite primjere.

2. Kako rješavate probleme za direktnu proporcionalnost?

3. Koje se veličine nazivaju obrnuto proporcionalnim? Navedite primjere.

4. Da li rješavam probleme inverzne proporcionalnosti?

5. Da li su dvije veličine uvijek proporcionalne?

589". Dvije vrijednosti su direktno proporcionalne. Kako će se jedna vrijednost promijeniti ako se druga: a) poveća za 5 puta; b) smanji za 2 puta?

Objasnite odgovor.

590". Prema stanju zadatka sačinili su skraćeni zapis:

1)3-36, 2) 70-3, 3) 2-100,

4-48; 60-2; 4-50.

Da li su ove količine direktno proporcionalne?

591". Dvije vrijednosti su obrnuto proporcionalne, kako će se jedna vrijednost promijeniti ako druga:

a) povećaće se za 4 puta; b) smanjiti za 6 puta?

Objasnite odgovor.

592". Prema stanju zadatka sačinili su skraćeni zapis:

1) 80-4, 2)3-18, 3)10-8,

160 - 2; 5 - 30; 4 - 20.

Da li su ove količine obrnuto proporcionalne?

593°. Odredite ako je direktno proporcionalno ovu zavisnost vrijednosti:

1) cenu nabavljene robe po jednoj ceni i količinu robe;

2) masu kutije slatkiša i broj identičnih slatkiša u kutiji;

3) putanju koju je automobil prešao konstantnom brzinom i vreme kretanja;

4) brzinu kretanja i vreme kretanja za savladavanje određene udaljenosti;

5) težina i visina lica;

b) masu bobica i masu šećera za pravljenje džema;

7) obim pravougaonika i dužina jedne od njegovih stranica;

8) dužina stranice kvadrata i njegovog obima.

594°. Iz skraćenog zapisa problema, pronađite x ako su količine direktno proporcionalne.

1) 3 kg slatkiša -36 UAH, 2) 15 dijelova - 3 sata,

6 kg slatkiša x; x -2 sata.

595°. Koliko košta 10 kg slatkiša ako je za 4 kg takvih slatkiša plaćeno 128 UAH?

596°. Za 3 kg jabuka platili su 24 UAH. Koliko košta 7 kg ovih jabuka?

597°. Čamac je prešao 80 km za 4 sata. Koliko će čamac preći za 2 sata istom brzinom?

598°. Turista je pješačio 20 km za 5 sati. Koliko sati je potrebno turistu da pređe razdaljinu od 28 km, krećući se istom brzinom?

599°. Pri pečenju hleba od 1 kg raženog brašna dobije se 1,4 kg hleba. Koliko je brašna potrebno da se dobije 42 kvintala hleba?

600°. Od 3 kg sirovih zrna kafe dobije se 2,5 kg prženih zrna. Koliko kilograma sirove kafe u zrnu treba uzeti da dobijete 10 kg pržene?

601°. Automobil je prešao put od 210 km za 3 sata. Koja je udaljenost lakša za automobil za 2 sata, koji se kreće istom brzinom?

602°. Bezrepi gibon majmun, skačući s drveta na drvo, prevali udaljenost od 32 km za 2 sata. Koliko će daleko gibon preći za 3 sata?

603°. Odredite da li je ova zavisnost veličina obrnuto proporcionalna:

1) cenu robe i nabavnu cenu;

2) masu kutije slatkiša i njenu cenu;

3) brzinu kretanja i vrijeme kretanja za savladavanje određene udaljenosti;

4) brzinu automobila i putanju koju je prešao konstantnom brzinom;

5) obim obavljenog posla i vreme njegovog izvođenja;

6) produktivnost rada i vrijeme za njeno izvođenje određene količine posla;

7) broj automobila i teret koji će prevoziti u određenom vremenu;

8) dužina stranice kvadrata i njegova površina.

604°. Koristeći skraćeni zapis problema, pronađite x ako su količine obrnuto proporcionalne.

1) 3 h - 80 km/h, 2) 5 -8 radnih dana,

4 h - x; x -10 dana.

605°. Narudžbu za izradu namještaja za 12 dana izvršila su 3 stolara. Za koliko dana će trebati 6 stolara da završe narudžbu ako im je produktivnost rada ista?

606°, Za koliko dana će 6 radnika završiti zadatak ako 2 radnika mogu izvršiti ovaj zadatak za 9 dana?

607°. Crveni kengur se kretao 3 sata brzinom od 55 km/h. Kolika bi trebala biti brzina kengura da pređe ovu udaljenost za 2,5 sata?

608°. Kolika bi trebala biti brzina voza po novom redu vožnje da bi put između dvije stanice prešao za 4 sata, ako ga je, po starom redu vožnje brzinom od 100 km/h, prešao za 5 sati ?

609. Za 4 kg kolačića platili su 56 UAH. Koliko će 3 kg slatkiša koštati 2 UAH više od cijene kolačića?

610. 5 kg jabuka košta 40 UAH. Pronađite cijenu 2 kg krušaka, čija je cijena 4 UAH viša od cijene jabuka.

611. Klatno zidnog sata napravi 730 zamaha za 15 minuta. Koliko će oscilacija napraviti za 1 sat? Koliko vremena je potrebno da klatno napravi 2190 oscilacija?

612. Natalia je platila 60 UAH za 24 sveske. Koliko košta 20 ovih sveska? Koliko se ovih sveska može kupiti za 45 UAH?

613. U konzervi je 12 litara mlijeka. Sipano je podjednako u 6 limenki. Koliko litara mlijeka ima u svakoj tegli? Koliko tegli od tri litra se može napuniti mlijekom iz ove konzerve?

614. Kroz slavina za vodu U minuti istječe 6 litara vode. Koliko će vode isteći iz slavine za pola sata? Koliko će vremena trebati da 27 litara vode protiče kroz slavinu?

615. Udaljenost između stanica je 360 ​​km. Koliko će vremena trebati vozu da pređe 90 km za jedan sat? Kolika mora biti brzina voza da pređe ovu udaljenost za 4 sata i 30 minuta?

616. Udaljenost između sela je 18 km. Koliko je lakša udaljenost za biciklistu čija je brzina 12 km/h? Kojom brzinom se pješak treba kretati da pređe ovu udaljenost za 6 sati?

617. Dva traktora su preorala njivu za 6 dana. Koliko će dana trebati 4 traktora da iskopaju ovu njivu ako rade sa istom produktivnošću rada? Koliko je traktora potrebno da se ovo polje preora za 2 dana?

618. Osam kamiona može prevesti teret za 3 dana. Za koliko dana će 6 takvih kamiona moći da prevezu robu? Koliko će kamiona biti potrebno za transport ovog tereta za 2 dana?

619. Sastavite i riješite zadatak za:

1) direktna proporcionalnost, za čije rješenje trebate napraviti proporciju

2) inverzna proporcionalnost, za čije rješenje trebate sastaviti omjer x: 4 = 120: 160.

620. Napravi i riješi zadatak za: 1) direktnu proporcionalnost za čije rješenje treba napraviti proporciju

2) inverzna proporcionalnost, za čije je rješenje potrebno napraviti omjer 3: x = 90: 60.

621*. Tarasik može otići zeljeznicka stanica do sela za 20 minuta. Koliko će mu trebati da se vozi biciklom od stanice do sela, ako je brzina njegovog kretanja na biciklu 2 puta veća od brzine kretanja pješice?

622*. Majstor, radeći samostalno, posao završava za 3 dana, a zajedno sa studentom - za 2 dana. Za koliko dana učenik može sam završiti ovaj posao?

623*. Dima trči 4 kruga na traci za trčanje u isto vrijeme kada Katya trči 3 kruga. Katya je trčala 12 krugova. Koliko je krugova Dima pretrčao za to vrijeme?

624*. Voda se može ispumpati iz bazena za 1 sat i 15 minuta. Koliko dugo nakon početka rada u bazenu će biti 0,2 količine vode koja je bila na početku?

PRIMJENITE U PRAKSI

625. Za štampanje knjige trebalo je staviti 28 redova na svaku stranicu, po 40 slova u svakom redu. Međutim, pokazalo se da je svrsishodnije staviti 35 redova na svaku stranicu. U ovom slučaju, koliko će slova biti stavljeno u svaki red slova tokom štampanja ove knjige, ako se broj slova po stranici ne promeni?

626. Za pripremu 12 kolača potrebno je uzeti protein iz jednog jajeta i 3 kašike šećera. Koliko ovih proizvoda treba uzeti za pripremu 24 takva slaganja? Koliko kolača ćete dobiti ako imate 3 jaja?

ZADACI ZA PONAVLJANJE

627. Koji broj treba upisati u posljednju ćeliju lanca?

628. Riješite jednačinu:

Dve veličine se nazivaju direktno proporcionalno, ako kada se jedan od njih poveća nekoliko puta, drugi se poveća za isti iznos. Prema tome, kada se jedan od njih smanji za nekoliko puta, drugi se smanjuje za isti iznos.

Odnos između takvih veličina je direktno proporcionalan odnos. Primjeri direktno proporcionalne veze:

1) at konstantna brzina pređena udaljenost je direktno proporcionalna vremenu;

2) obim kvadrata i njegova stranica su direktno proporcionalni;

3) trošak robe kupljene po jednoj cijeni direktno je proporcionalan njenoj količini.

Da biste razlikovali direktni proporcionalni odnos od obrnutog, možete koristiti poslovicu: "Što dalje u šumu, to je više drva za ogrjev."

Zgodno je rješavati probleme za direktno proporcionalne veličine koristeći proporcije.

1) Za izradu 10 dijelova potrebno je 3,5 kg metala. Koliko će metala biti utrošeno za izradu 12 takvih dijelova?

(Mi se svađamo ovako:

1. U popunjenoj koloni stavite strelicu u smjeru od više na manji.

2. Što više dijelova, više metala je potrebno za njihovu izradu. Dakle, to je direktno proporcionalan odnos.

Neka je za izradu 12 dijelova potrebno x kg metala. Izrađujemo proporciju (u smjeru od početka strelice do njenog kraja):

12:10=x:3,5

Da bismo pronašli , moramo podijeliti proizvod ekstremnih članova poznatim srednjim članom:

To znači da će biti potrebno 4,2 kg metala.

Odgovor: 4,2 kg.

2) 1680 rubalja je plaćeno za 15 metara tkanine. Koliko košta 12 metara takve tkanine?

(1. U popunjenu kolonu stavite strelicu u smjeru od najvećeg prema najmanjem.

2. Što manje tkanine kupite, manje morate platiti za nju. Dakle, to je direktno proporcionalan odnos.

3. Dakle, druga strelica je usmjerena u istom smjeru kao i prva).

Neka x rubalja košta 12 metara tkanine. Izrađujemo proporciju (od početka strelice do njenog kraja):

15:12=1680:x

Da bismo pronašli nepoznati ekstremni član proporcije, podijelimo proizvod srednjih članova poznatim ekstremnim članom proporcije:

Dakle, 12 metara košta 1344 rubalja.

Odgovor: 1344 rubalja.

6. razred

LEKCIJA 12 Poglavlje 1 . Odnosi, proporcije, procenti (26 sati)

Tema . Direktna i inverzna proporcija. C/r br. 3.

Target. P testirati znanje učenika na temu Proporcije. Definirajte direktno proporcionalne i obrnuto proporcionalne veličine. Naučite rješavati probleme na ovu temu.

Tokom nastave.

Opcija 1. Opcija 1.

Riješiti proporciju: Riješiti proporciju:

1)
, 1)
,

,
,

. Odgovori:
.
. Odgovori:
.

2) , 2)
,

,
,

. Odgovori: .
. Odgovori:
.

3)
, 3)
,

,
,

,
,

. Odgovori:
.
. Odgovori:
.

Objašnjenje novog materijala.

Direktna i inverzna proporcija.

multimedijalna tabla. Elektronska aplikacija. Katalog. Animacija. Potrošnja struje u stanu. (1 min 31 sek.)

(Slajd 2). Neka olovka košta 3 p. (ovo je cijena). Tada je lako izračunati trošak dva, tri itd. rukuje prema formuli: .

Broj ručki, kom.

Trošak, r.

Imajte na umu da se s povećanjem broja olovaka nekoliko puta, njihov trošak povećava za isti iznos.

Kaže se da je trošak kupovine direktno proporcionalan broju kupljenih olovaka.

(Slajd 3). Definicija. Dve veličine se nazivajudirektno proporcionalno , ako kada se jedan od njih poveća nekoliko puta, drugi se poveća za isti iznos.

Ako su dvije veličine direktno proporcionalne, tada su omjeri odgovarajućih vrijednosti ovih veličina jednaki.

(Slajd 4). Primjeri direktno proporcionalnih veličina:

1. Obim kvadrata i dužina stranice kvadrata su direktno proporcionalni.
.

2. Ako je brzina kretanja konstantna, tada su prijeđeni put i vrijeme kretanja direktno proporcionalni.
.

3. Ako je produktivnost rada konstantna, tada su količina obavljenog posla i vrijeme direktno proporcionalni.
.

4. Prihod kino blagajne je direktno proporcionalan broju prodatih karata po istoj cijeni. itd.

(Slajd 5). Zadatak 1 . Za 5 bilježnica u kavezu plaća se 40 rubalja. Koliko će platiti za 12 istih notebook računara?

Količina Trošak

5 bilježnica - 40 rubalja. Direktna proporcionalnost

12 sveska - x r.

Rješenje.

Jer količine direktno proporcionalno jednaki

,

,

.

96 str. platiti 12 bilježnica. Odgovori: 96 str.

(Slajd 6). Žele da kupe za 120 rubalja. nekoliko istih knjiga. Tada je lako izračunati broj knjiga za 10 rubalja, 20 rubalja, 30 rubalja. 40 r. itd. prema formuli:
.

Cijena, r.

Broj knjiga, kom.

Imajte na umu da se s povećanjem cijene knjige nekoliko puta njihov broj smanjuje za isti iznos. .

Kažu da je broj kupljenih knjiga obrnuto njihovu cijenu.

(Slajd 7). Definicija. Dve veličine se nazivajuobrnuto proporcionalno , ako kada se jedan od njih poveća nekoliko puta, drugi se smanji za isti iznos.

Ako su količine obrnuto proporcionalne, onda je omjer vrijednosti jedne veličine jednak inverznom omjeru vrijednosti druge veličine.

(Slajd 8). Primjeri obrnuto proporcionalnih veličina:

1. Ako je prijeđeni put konstantan, tada su brzina kretanja i vrijeme kretanja obrnuto proporcionalni.
.

2. Ako je produktivnost rada konstantna, tada su količina obavljenog rada i vrijeme obrnuto proporcionalni.
.

(Slajd 9). Zadatak 2 . 6 radnika završi posao za 5 sati. Koliko će vremena trebati 3 radnika da završe ovaj posao?

Qty Time

6 radnika - 5 sati Inverzna proporcionalnost

3 radnika - x h

Rješenje.

Jer količine obrnuto proporcionalno, zatim omjere dvije proizvoljne vrijednosti iste količine jednaka je obrnutom omjer odgovarajućih vrijednosti druge veličine.

,

,

.

Za 10 sati, 3 radnika će se nositi sa ovim poslom. Odgovori: 10 sati

Algoritam za rješavanje problema.

Compose kratka napomena i odrediti vrstu proporcionalnosti. (Istoimene vrijednosti su ispisane jedna ispod druge)

Postavite proporciju.

• Ako dvije količine direktno proporcionalno, tada je omjer dvije proizvoljne vrijednosti prve veličine jednak omjeru dvije odgovarajuće vrijednosti druge veličine.

  Ako dvije količine obrnuto proporcionalno, tada je omjer dvije proizvoljne vrijednosti jedne veličine jednak inverznom omjeru odgovarajućih vrijednosti druge veličine.

Pronađite nepoznati član proporcije.

Analizirajte rezultat i zapišite odgovor.

Rješenje vježbi.

Uch.s.21 br. 75 (a). 100 g rastvora sadrži 4 g soli. Koliko soli sadrži 300 g ovog rastvora?

Rastvor soli

100 g - 4 g Direktna proporcionalnost

300 g - x g

Rješenje.

Jer količine direktno proporcionalno, zatim omjere dvije proizvoljne vrijednosti prve veličine jednaki omjer dvije odgovarajuće vrijednosti druge veličine.

,

,

.

U 300 g ovog rastvora nalazi se 12 g soli. Odgovori Težina: 12 g.

Uč.s.22 br. 88. Neki posao će obaviti 6 ljudi za 18 dana. Za koliko dana će 9 ljudi raditi isti posao, radeći jednako uspješno kao i prvi?

Qty Time

6 osoba - 18 dana. Inverzna proporcionalnost kg rude bogate gvožđem. Koliko rude zamjenjuje 4 tone starog metala?

Zadaća. § 1.5 (učite teoriju). br. 73, 75(b), 77(a), 84(b).

Matematika je osnova i kraljica svih nauka, i savetujem ti da se sprijateljiš sa njom, prijatelju. Ona mudri zakoni ako to uradite, povećaćete svoje znanje, primenićete ga. Možeš li plivati ​​u moru, možeš li letjeti u svemiru. Možete izgraditi kuću za ljude: ona će stajati sto godina. Ne budi lijen, radi, trudi se, Poznavajući sol nauka. Pokušajte sve dokazati, ali neumorno.

3 Izbor odgovora sa odgovarajućim slovom skrivene riječi: 17-c; 7-l; 0.1-i; 14-s; 0.2-a; 25-k. Pronađite brojeve koji nedostaju i pronađite riječ: 3+37:5 3. 0.3 +4.1: .45: .7 5.6:0.7:2 0 +4.8:26 riječ.9 50.050.1 0.050.337 80,45,20 ,2 sila Ova riječ je moć. Moto lekcije: Moć je u znanju! Tražim, pa učim!

Direktan proporcionalni odnos je takva zavisnost veličina u kojoj ... Inverzno proporcionalni odnos je takva zavisnost veličina u kojoj ... Da biste pronašli nepoznati ekstremni član proporcije ... Srednji član proporcije je . .. Proporcija je tačna ako ...

C) ... kada se jedna vrijednost poveća nekoliko puta, druga se smanjuje za isti iznos. X) ... proizvod ekstremnih članova jednak je proizvodu srednjih članova proporcije. A) ... kada se jedna vrijednost poveća nekoliko puta, druga se povećava za isti iznos. P) ... trebate podijeliti proizvod srednjih članova proporcije poznatim ekstremnim članom. Y) ... kada se jedna vrijednost poveća nekoliko puta, druga se povećava za isti iznos. E) ... omjer proizvoda ekstremnih članova i poznate srednje vrijednosti

4. Brzina automobila i vrijeme njegovog kretanja su obrnuto proporcionalni. 5. Brzina automobila i pređeni put su obrnuto proporcionalni. 6. Dvije veličine se nazivaju obrnuto proporcionalne ako se, kada se jedna od njih udvostruči, druga prepolovi.

Provjerimo odgovore:

Rješenje. Broj buldožera. 150 min. \u003d 2,5 sata Odgovor: za 2,5 sata Algoritam za rješavanje problema za direktne i inverzno proporcionalne zavisnosti: nepoznati broj označeno sa x. Uslov je zapisan u obliku tabele. Utvrđuje se vrsta zavisnosti između veličina. Direktno proporcionalna ovisnost je označena jednako usmjerenim strelicama, a obrnuto proporcionalna ovisnost je označena suprotno usmjerenim strelicama. Proporcija se bilježi. Nepoznati član je lociran.

Provjerite sami: Koje se količine nazivaju direktno proporcionalnim? Navedite primjere direktno proporcionalnih veličina. Koje se veličine nazivaju obrnuto proporcionalnim? Navedite primjere obrnuto proporcionalnih veličina. Navedite primjere veličina čija zavisnost nije ni direktno ni obrnuto proporcionalna.

Zadaća. P; 811; 812.

Sažetak časa algebre u 9. razredu

Tema lekcije: Definicija aritmetičke i geometrijske progresije.

Formula n-tog člana aritmetičkog i geometrijskog

progresije.

Vrsta lekcije : lekcija učenje novog gradiva

Svrha lekcije:

Formiranje pojmova aritmetičke i geometrijske progresije kao tipova numeričke sekvence; izvođenje formule n-tog člana aritmetičkog i geometrijskog niza.

Upoznavanje sa karakterističnim svojstvom članova aritmetičke i geometrijske progresije.

Formiranje sposobnosti učenika za korištenje stečenih znanja u rješavanju problema.

Ciljevi lekcije:

Obrazovni: upoznati pojmove aritmetičke i geometrijske progresije; formule n-tog člana; karakteristično svojstvo koje imaju članovi aritmetičke i geometrijske progresije.

Razvijanje: povećati svjesnu asimilaciju materijala kroz suprotstavljanje; razvijaju sposobnost poređenja matematički koncepti, pronaći sličnosti i razlike, vidjeti obrasce, razumjeti po analogiji, razviti pamćenje i logičko mišljenje.

Vaspitno: stvoriti uslove za razvoj kognitivni interes predmetu.

Plan lekcije:

1. Organizacija početka časa, postavljanje ciljeva i zadataka časa.

2. Motivacija za proučavanje teme („Legenda o šahovskoj tabli“)

3. Učenje novog gradiva

4. Primarno pričvršćivanje

5. Sumiranje lekcije

6. Domaći

Tokom nastave

1. Organizacija početka časa.

Navedite temu lekcije, svrhu lekcije, zadatke.

2. Motivacija za proučavanje teme.

"Legenda o šahovskoj tabli".

Šah je jedna od najstarijih igara. Postoji dugi niz stoljeća i nije iznenađujuće što se za nju vežu legende, čija se istinitost ne može provjeriti zbog propisivanja vremena. Želim da ispričam jednu od ovih legendi. Da bi se to razumjelo, ne treba uopće znati igrati šah - dovoljno je znati da se igra odvija na tabli podijeljenoj na 64 ćelije (naizmenično crno-bijele).

Igra šaha izmišljena je u Indiji, a kada ju je upoznao indijski kralj Šeram, bio je oduševljen njenom duhovitošću i raznovrsnošću mogućih pozicija u njoj. Saznavši da je igru ​​izmislio jedan od njegovih podanika, kralj je naredio da ga pozove kako bi ga lično nagradio za uspješan izum.

Izumitelj - zvao se Seta - pojavio se na prestolu vladara. Bio je skromno obučen naučnik koji je za život dobijao od svojih učenika.

Želim da te adekvatno nagradim, Seth, za divnu igru ​​koju si smislio, rekao je kralj.

Mudrac se naklonio.

Dovoljno sam bogat da ispunim tvoju najodvažniju želju - nastavi kralj - Navedi nagradu koja će te zadovoljiti i dobićeš je.

Seth je šutio.

Ne stidi se - ohrabri ga kralj - Izrazi svoju želju. Neću štedeti ništa da to ispunim!

Velika je vaša ljubaznost, gospodaru. Ali dajte mi vremena da razmislim o odgovoru. Sutra ću vam, nakon zrelog razmišljanja, prenijeti svoj zahtjev.

Kada se sledećeg dana Seta ponovo pojavio na stepenicama prestola, iznenadio je kralja neviđenom skromnošću svog zahteva.

Gospode, - reče Set, - naredi mi da mi dam jedno zrno pšenice za prvu ćeliju na šahovskoj tabli.

Jednostavno zrno pšenice? - začudi se kralj.

Da, gospodaru. Za drugu ćeliju naredite da se daju dva zrna, za treću - četiri, za četvrtu - 8, za petu - 16, za šestu - 32 ...

Dosta! - prekinuo ga je kralj razdraženo.- Dobićete svoja zrna za sve 64 ćelije ploče, po vašoj želji: za svaku duplo više od prethodne. Ali znaj da tvoj zahtjev nije dostojan moje velikodušnosti. Tražeći tako beznačajnu nagradu, bez poštovanja zanemarujete moju milost. Zaista kao učitelj koga možete pokazati najbolji primjer poštovanje za dobrotu svog suverena. Idi! Moje sluge će vam donijeti vreću pšenice.

Seta se nasmiješio, izašao iz dvorane i čekao na kapiji palate.

Za večerom se kralj sjetio izumitelja šaha i poslao ga da sazna da li mu je nepromišljeni Set već oduzeo mizernu nagradu.

Gospode, - glasio je odgovor, - tvoja naredba se ispunjava. Dvorski matematičari izračunavaju broj zrna koja slijede.

Kralj se namrštio - nije navikao da se njegova naređenja izvršavaju tako sporo.

Uveče, odlazeći na spavanje, kralj Šeram je još jednom upitao da li je Seta napustio ogradu palate sa svojom vrećom pšenice.

Gospode, - odgovorili su mu, - tvoji matematičari neumorno rade i nadaju se da će pre zore završiti sa brojanjem.

Zašto ovo odlažu? - uzviknuo je kralj ljutito.- Sutra, prije nego što se probudim, sve do posljednjeg zrna mora biti dato Setu. Ne naručujem dvaput!

Ujutro je kralj bio obaviješten da je nadzornik dvorskih matematičara tražio da sasluša važan izvještaj. Kralj je naredio da ga dovedu.

Prije nego što progovorite o svom slučaju,” najavio je Sheram, “želim čuti da li je Seta konačno dobio beznačajnu nagradu koju je sebi dodijelio.

Iz tog razloga, usudio sam se da se pojavim pred vama u tako rano "sat", odgovorio je starac. "Savesno smo prebrojali ceo broj zrna koje Set želi da dobije. Broj je tako velik...

Koliko god da je veliko, - prekinuo ga je kralj nadmeno, - moje žitnice neće oskudevati! Nagrada je obećana i mora se dati...

Nije u vašoj moći, gospodaru, da ispunite takve želje. U svim vašim ambarima nema toliki broj žitarica koliko je Set tražio. Niti ga nema u žitnicama čitavog kraljevstva. Toliki broj zrna nema na čitavom prostoru Zemlje. A ako želite obećanu nagradu bez greške, onda naredite da zemaljska kraljevstva pretvorite u oranice, da isušite mora i okeane, da otopite led i snijeg koji prekrivaju daleke sjeverne pustare. Neka sav njihov prostor bude potpuno zasejan pšenicom. I sve što se rodi na ovim poljima, dajte Setu. Tada će dobiti svoju nagradu.

Sa čuđenjem je kralj slušao reči starešine.

Daj mi taj monstruozni broj, rekao je zamišljeno.

Osamnaest kvintiliona četiri stotine četrdeset šest kvadriliona sedam stotina četrdeset četiri triliona sedamdeset tri milijarde sedam stotina devet miliona pet stotina pedeset jedna hiljada šest stotina petnaest, Gospode! (18 446 744 073 709 551 615)

Takva je legenda. Da li se ovo o čemu se ovde priča zaista dogodilo, nije poznato, ali da je nagrada o kojoj predanje govori morala biti izražena upravo u takvom broju.

Ako želite da zamislite čitavu neizmjernost ovog brojčanog diva, procijenite kolika bi ambara bila potrebna da primi toliki broj žitarica. To je poznato kubni metar pšenica sadrži oko 15 miliona zrna. To znači da je nagrada za pronalazača šaha trebalo da bude približno

12.000.000.000.000 kubnih metara m, odnosno 12.000 kubnih metara. km. Sa visinom štale od 4 m i širinom od 10 m, njena dužina bi se morala protezati za 300.000.000 km, odnosno duplo više nego od Zemlje do Sunca!

Naravno, indijski kralj nije bio u poziciji da izda takvu nagradu.

3. Prezentacija novog materijala.

Dajte svakom učeniku po jedan list papira teorijski materijal u obliku tabele koja pokazuje razlike u definicijama aritmetičke i geometrijske progresije, njihove karakteristična svojstva, formule za nalaženje n-tog člana, formule za nalaženje zbira n-prvih članova i za geometrijsku progresiju, data je formula za zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije.

Aritmetička progresija(a/p)	Geometrijska progresija(g/n)
Def. Aritmetička progresija je niz brojeva čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, sabranom istim brojem. Na primjer: -6; -četiri; -2; 0; 2; četiri;… 6; = -4; = -2; =0; = 2…	Def. Geometrijska progresija je niz brojeva koji nisu nula, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnožen istim brojem koji nije jednak nuli. Na primjer: 5; petnaest; 45; 135, ... 5; =15; =45; =135; …
d = 2 – razlika a/n d = - ; d=-	q = 3 - imenilac g/n q = ; Q=
Formula n-tog člana a / p D = + 2d; D = + 3d; = + 4d;	Formula n-tog člana g/p Q = ; Q = ;
Formula za srednji rok a/p