Kako pronaći nazivnik geometrijske progresije. Beskonačno opadajuća geometrijska progresija

NUMERIČKI NISOVI VI

§ l48. Zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije

Do sada smo, govoreći o zbirovima, uvijek pretpostavljali da je broj članova u tim zbirovima konačan (na primjer, 2, 15, 1000, itd.). Ali kada se rješavaju neki problemi (posebno viši matematički), treba se nositi sa zbirom beskonačnog broja članova

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Koji su to iznosi? A-prioritet zbir beskonačnog broja pojmova a 1 , a 2 , ..., a n , ... naziva se granica sume S n prvo P brojevi kada P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Granica (2), naravno, može i ne mora postojati. Prema tome, za zbir (1) se kaže da postoji ili ne postoji.

Kako saznati postoji li zbir (1) u svakom konkretnom slučaju? Općenito rješenje ovog pitanja daleko prevazilazi okvire našeg programa. Međutim, postoji jedan važan poseban slučaj koji sada moramo razmotriti. Govorit ćemo o sumiranju članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije.

Neka bude a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... je beskonačno opadajuća geometrijska progresija. To znači da | q |< 1. Сумма первых P članova ove progresije jednak je

Iz osnovnih teorema o granicama varijabli (vidi § 136) dobijamo:

Ali 1 = 1, a q n = 0. Dakle

Dakle, zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije jednak je prvom članu ovog progresa podijeljen sa jedan minus imenilac ove progresije.

1) Zbir geometrijske progresije 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... je

a zbir geometrijske progresije je 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... jednako

2) Jednostavan periodični razlomak 0,454545 ... pretvori se u običan.

Da bismo riješili ovaj problem, ovaj razlomak predstavljamo kao beskonačan zbir:

Desna strana ove jednakosti je zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije, čiji je prvi član 45/100, a imenilac 1/100. Dakle

Na opisani način može se dobiti i opšte pravilo za pretvaranje prostih periodičnih razlomaka u obične (vidi Poglavlje II, § 38):

Da biste pretvorili jednostavan periodični razlomak u običan, morate postupiti na sljedeći način: u brojilac staviti period decimalnog razlomka, a u nazivnik - broj koji se sastoji od devetki uzetih onoliko puta koliko ima znamenki u periodu decimalnog razlomka.

3) Mješoviti periodični razlomak 0,58333 .... pretvoriti u običan razlomak.

Hajde da predstavimo ovaj razlomak kao beskonačan zbir:

Na desnoj strani ove jednakosti, svi članovi, počevši od 3/1000, formiraju beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju, čiji je prvi član 3/1000, a imenilac 1/10. Dakle

Na opisani način se takođe može dobiti opšte pravilo za konverziju mešovitih periodičnih razlomaka u obične (videti Poglavlje II, § 38). Namjerno to ne uključujemo ovdje. Nema potrebe da zapamtite ovo glomazno pravilo. Mnogo je korisnije znati da se svaki mješoviti periodični razlomak može predstaviti kao zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije i nekog broja. I formula

za zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije, treba, naravno, zapamtiti.

Kao vježbu, pozivamo vas da se, pored problema br. 995-1000 u nastavku, još jednom okrenete problemu br. 301 § 38.

Vježbe

995. Šta se naziva zbirom beskonačno opadajuće geometrijske progresije?

996. Nađi sume beskonačno opadajućih geometrijskih progresija:

997. Za koje vrijednosti X progresija

se beskonačno smanjuje? Pronađite zbroj takve progresije.

998. U jednakostraničnom trouglu sa stranom a novi trougao je upisan spajanjem središta njegovih stranica; novi trokut je upisan u ovaj trokut na isti način, i tako redom do beskonačnosti.

a) zbir obima svih ovih trouglova;

b) zbir njihovih površina.

999. U kvadratu sa stranom a novi kvadrat se upisuje spajanjem sredina njegovih stranica; kvadrat je upisan u ovaj kvadrat na isti način, i tako redom ad beskonačno. Nađite zbir opsega svih ovih kvadrata i zbir njihovih površina.

1000. Napravite beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju, tako da je njen zbir jednak 25 / 4, a zbir kvadrata njegovih članova jednak 625 / 24.

Ovaj broj se naziva nazivnik geometrijske progresije, odnosno svaki član se razlikuje od prethodnog za q puta. (Pretpostavićemo da je q ≠ 1, inače je sve previše trivijalno). Lako je vidjeti da je opća formula n-tog člana geometrijske progresije b n = b 1 q n – 1 ; termini sa brojevima b n i b m razlikuju se za q n – m puta.

Već u starom Egiptu poznavali su ne samo aritmetičku, već i geometrijsku progresiju. Evo, na primjer, zadatka iz papirusa Rhinda: „Sedam lica ima sedam mačaka; svaka mačka pojede sedam miševa, svaki miš jede sedam klasova kukuruza, svaki klip može uzgojiti sedam mjera ječma. Koliko su veliki brojevi u ovom nizu i njihov zbir?

Rice. 1. Problem geometrijske progresije starog Egipta

Ovaj zadatak se ponavljao mnogo puta sa različitim varijacijama među drugim narodima u drugim vremenima. Na primjer, napisano u XIII vijeku. "Knjiga abakusa" Leonarda iz Pize (Fibonači) ima problem u kojem se pojavljuje 7 starica na putu za Rim (očigledno hodočasnice), od kojih svaka ima 7 mazgi, od kojih svaka ima 7 torbi, od kojih svaka sadrži 7 hljebova, od kojih svaka ima 7 noževa, od kojih je svaki u 7 korica. Problem postavlja pitanje koliko stvari ima.

Zbir prvih n članova geometrijske progresije S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Ova se formula može dokazati, na primjer, na sljedeći način: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Dodajmo broj b 1 q n na S n i dobijemo:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Dakle, S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), i dobijamo potrebnu formulu.

Već na jednoj od glinenih ploča starog Babilona, ​​koja datira iz VI veka. BC e., sadrži zbir 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Istina, kao iu nizu drugih slučajeva, ne znamo gdje je ta činjenica bila poznata Vaviloncima .

Brzi rast geometrijske progresije u brojnim kulturama, posebno u Indiji, više puta se koristi kao vizualni simbol neizmjernosti svemira. U poznatoj legendi o pojavi šaha, vladar daje njihovom izumitelju mogućnost da sam odabere nagradu, a on traži toliki broj zrna pšenice koji će se dobiti ako se jedno stavi na prvu ćeliju šahovske ploče. , dva na drugom, četiri na trećem, osam na četvrtom, itd., svaki put kada se broj udvostruči. Vladika je mislio da je to, najviše, nekoliko vreća, ali se pogrešio. Lako je vidjeti da je pronalazač za sva 64 polja šahovske ploče trebao dobiti (2 64 - 1) zrno, koje se izražava kao 20-cifreni broj; čak i da je cijela površina Zemlje zasijana, trebalo bi najmanje 8 godina da se prikupi potreban broj zrna. Ova legenda se ponekad tumači kao referenca na gotovo neograničene mogućnosti koje se kriju u igri šaha.

Lako je uočiti činjenicu da je ovaj broj zaista 20-cifreni:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 = 1,6 10 19 (precizniji izračun daje 1,84 10 19). Ali pitam se možete li saznati kojom cifrom završava ovaj broj?

Geometrijska progresija se povećava ako je nazivnik veći od 1 u apsolutnoj vrijednosti, ili opada ako je manji od jedan. U potonjem slučaju, broj q n može postati proizvoljno mali za dovoljno veliko n. Dok rastuća eksponencijalna raste neočekivano brzo, opadajuća eksponencijalna opada jednako brzo.

Što je veći n, slabiji se broj q n razlikuje od nule, a zbir n članova geometrijske progresije S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) bliži je broju S \u003d b 1 / (1 - q) . (Tako je obrazložio, na primjer, F. Viet). Broj S se naziva zbirom beskonačno opadajuće geometrijske progresije. Međutim, tokom mnogih vekova pitanje šta znači sabiranje SVE geometrijske progresije, sa svojim beskonačnim brojem pojmova, matematičarima nije bilo dovoljno jasno.

Opadajuća geometrijska progresija može se vidjeti, na primjer, u Zenonovim aporijama "Ugriz" i "Ahilej i kornjača". U prvom slučaju jasno je pokazano da je ceo put (pretpostavimo dužinu 1) zbir beskonačnog broja segmenata 1/2, 1/4, 1/8 itd. Ovako je, naravno, sa stanovišta ideja o beskonačnoj geometrijskoj progresiji konačnog zbira. Pa ipak – kako je to moguće?

Rice. 2. Progresija sa faktorom 1/2

U aporiji o Ahileju situacija je malo komplikovanija, jer ovde imenilac progresije nije jednak 1/2, već nekom drugom broju. Neka, na primjer, Ahil trči brzinom v, kornjača se kreće brzinom u, a početna udaljenost između njih je l. Ahilej će pretrčati ovu udaljenost u vremenu l/v, a kornjača će se pomeriti razdaljinu lu/v za to vreme. Kada Ahilej protrči kroz ovaj segment, udaljenost između njega i kornjače će postati jednaka l (u / v) 2, itd. Ispada da sustizanje kornjače znači pronalaženje zbroja beskonačno opadajuće geometrijske progresije sa prvim član l i imenilac u / v. Ovaj zbir - segment koji će Ahilej na kraju pretrčati do tačke susreta sa kornjačom - jednak je l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Ali, opet, kako treba tumačiti ovaj rezultat i zašto uopšte ima smisla, dugo nije bilo jasno.

Rice. 3. Geometrijska progresija sa koeficijentom 2/3

Zbir geometrijske progresije koristio je Arhimed kada je određivao površinu segmenta parabole. Neka je dati segment parabole omeđen tetivom AB i neka je tangenta u tački D parabole paralelna sa AB. Neka je C središte AB, E središte AC, F središte CB. Povucite prave paralelne sa DC kroz tačke A, E, F, B; neka tangenta povučena u tački D , ove prave se sijeku u tačkama K , L , M , N . Nacrtajmo i segmente AD i DB. Neka prava EL siječe pravu AD u tački G, a parabola u tački H; prava FM seče pravu DB u tački Q, a parabolu u tački R. Prema opštoj teoriji konusnih presjeka, DC je prečnik parabole (tj. segmenta paralelnog njegovoj osi); ona i tangenta u tački D mogu poslužiti kao koordinatne ose x i y, u kojima je jednadžba parabole napisana kao y 2 = 2px (x je udaljenost od D do bilo koje točke datog promjera, y je dužina a segment paralelan sa datom tangentom od ove tačke prečnika do neke tačke na samoj paraboli).

Na osnovu jednačine parabole, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , a pošto je DK = 2DL , onda je KA = 4LH . Pošto je KA = 2LG, LH = HG. Površina segmenta ADB parabole jednaka je površini trougla ΔADB i površinama segmenata AHD i DRB zajedno. Zauzvrat, površina AHD segmenta je na sličan način jednaka površini trokuta AHD i preostalih segmenata AH i HD, sa svakim od kojih se može izvršiti ista operacija - podijeliti u trokut (Δ) i dva preostala segmenta (), itd.:

Površina trokuta ΔAHD jednaka je polovini površine trokuta ΔALD (imaju zajedničku osnovu AD, a visine se razlikuju 2 puta), što je zauzvrat jednako polovini površine ​​trougao ΔAKD, a samim tim i polovinu površine trougla ΔACD. Dakle, površina trokuta ΔAHD jednaka je četvrtini površine trokuta ΔACD. Isto tako, površina trokuta ΔDRB jednaka je četvrtini površine trougla ΔDFB. Dakle, površine trokuta ∆AHD i ∆DRB, zajedno, jednake su četvrtini površine trougla ∆ADB. Ponavljanjem ove operacije primijenjene na segmente AH, HD, DR i RB iz njih će se odabrati i trouglovi, čija će površina, zajedno, biti 4 puta manja od površine trokuta ΔAHD i ΔDRB, uzeto zajedno, dakle 16 puta manje od površine trokuta ΔADB. itd:

Dakle, Arhimed je dokazao da je "svaki segment zatvoren između prave i parabole četiri trećine trougla koji ima istu osnovu i jednaku visinu sa njim."

>>Matematika: Geometrijska progresija

Radi lakšeg čitanja, ovaj odjeljak slijedi potpuno isti plan kao što smo slijedili u prethodnom dijelu.

1. Osnovni pojmovi.

Definicija. Brojčani niz čiji su svi članovi različiti od 0 i čiji se svaki član, počevši od drugog, dobija od prethodnog člana množenjem istim brojem naziva se geometrijska progresija. U ovom slučaju, broj 5 se naziva nazivnik geometrijske progresije.

Dakle, geometrijska progresija je numerički niz (b n) dat rekurzivno relacijama

Da li je moguće, gledajući niz brojeva, utvrditi da li je to geometrijska progresija? Može. Ako ste uvjereni da je omjer bilo kojeg člana niza i prethodnog člana konstantan, onda imate geometrijsku progresiju.
Primjer 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Primjer 2

Ovo je geometrijska progresija koja
Primjer 3

Ovo je geometrijska progresija koja
Primjer 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Ovo je geometrijska progresija gdje je b 1 - 8, q = 1.

Imajte na umu da je ovaj niz takođe aritmetička progresija (vidi Primer 3 iz § 15).

Primjer 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Ovo je geometrijska progresija, u kojoj je b 1 = 2, q = -1.

Očigledno, geometrijska progresija je rastući niz ako je b 1 > 0, q > 1 (vidi primjer 1), a opadajući niz ako je b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Da bi se naznačilo da je niz (b n) geometrijska progresija, ponekad je zgodna sljedeća notacija:

Ikona zamjenjuje izraz "geometrijska progresija".
Napominjemo jedno zanimljivo i u isto vrijeme sasvim očigledno svojstvo geometrijske progresije:
Ako sekvenca je geometrijska progresija, zatim niz kvadrata, tj. je geometrijska progresija.
U drugoj geometrijskoj progresiji, prvi član je jednak q 2.
Ako eksponencijalno odbacimo sve članove koji slijede b n, onda ćemo dobiti konačnu geometrijsku progresiju
U sljedećim paragrafima ovog odjeljka razmotrit ćemo najvažnija svojstva geometrijske progresije.

2. Formula n-tog člana geometrijske progresije.

Razmotrite geometrijsku progresiju imenilac q. Imamo:

Nije teško pogoditi da je za bilo koji broj n jednakost

Ovo je formula za n-ti član geometrijske progresije.

Komentar.

Ako ste pročitali važnu napomenu iz prethodnog pasusa i razumjeli je, pokušajte da dokažete formulu (1) matematičkom indukcijom, baš kao što je to učinjeno za formulu n-og člana aritmetičke progresije.

Prepišimo formulu n-og člana geometrijske progresije

i uvodimo notaciju: Dobijamo y = mq 2, ili, detaljnije,
Argument x je sadržan u eksponentu, pa se takva funkcija naziva eksponencijalna funkcija. To znači da se geometrijska progresija može smatrati eksponencijalnom funkcijom datom na skupu N prirodnih brojeva. Na sl. 96a prikazuje grafik funkcije na sl. 966 - graf funkcije U oba slučaja imamo izolovane tačke (sa apscisama x = 1, x = 2, x = 3, itd.) koje leže na nekoj krivoj (obe slike prikazuju istu krivu, samo drugačije locirane i prikazane u različitim razmerama). Ova kriva se naziva eksponent. Više o eksponencijalnoj funkciji i njenom grafu biće reči u predmetu algebra za 11. razred.

Vratimo se na primjere 1-5 iz prethodnog pasusa.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Ovo je geometrijska progresija, u kojoj je b 1 = 1, q = 3. Napravimo formulu za n-ti član
2) Ovo je geometrijska progresija, u kojoj formulirajmo n-ti član

Ovo je geometrijska progresija koja Sastavite formulu za n-ti član
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Ovo je geometrijska progresija, u kojoj je b 1 = 8, q = 1. Napravimo formulu za n-ti član
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Ovo je geometrijska progresija, u kojoj je b 1 = 2, q = -1. Sastavite formulu za n-ti član

Primjer 6

S obzirom na geometrijsku progresiju

U svim slučajevima, rješenje se zasniva na formuli n-tog člana geometrijske progresije

a) Stavljajući n = 6 u formulu n-tog člana geometrijske progresije, dobijamo

b) Imamo

Budući da je 512 = 2 9, dobivamo n - 1 = 9, n = 10.

d) Imamo

Primjer 7

Razlika između sedmog i petog člana geometrijske progresije je 48, zbir petog i šestog člana progresije je također 48. Nađite dvanaesti član ove progresije.

Prva faza. Izrada matematičkog modela.

Uvjeti zadatka mogu se ukratko napisati na sljedeći način:

Koristeći formulu n-tog člana geometrijske progresije, dobijamo:
Tada se drugi uslov zadatka (b 7 - b 5 = 48) može zapisati kao

Treći uslov zadatka (b 5 +b 6 = 48) može se zapisati kao

Kao rezultat, dobijamo sistem od dve jednačine sa dve varijable b 1 i q:

koji u kombinaciji sa gore navedenim uslovom 1 predstavlja matematički model problema.

Druga faza.

Rad sa sastavljenim modelom. Izjednačavajući leve delove obe jednačine sistema, dobijamo:

(podijelili smo obje strane jednačine na izraz b 1 q 4 , koji je različit od nule).

Iz jednačine q 2 - q - 2 = 0 nalazimo q 1 = 2, q 2 = -1. Zamjenom vrijednosti q = 2 u drugu jednačinu sistema dobijamo
Zamjenom vrijednosti q = -1 u drugu jednačinu sistema, dobijamo b 1 1 0 = 48; ova jednačina nema rješenja.

Dakle, b 1 = 1, q \u003d 2 - ovaj par je rješenje sastavljenog sistema jednadžbi.

Sada možemo zapisati dotičnu geometrijsku progresiju: ​​1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Treća faza.

Odgovor na problemsko pitanje. Potrebno je izračunati b 12 . Imamo

Odgovor: b 12 = 2048.

3. Formula za zbir članova konačne geometrijske progresije.

Neka postoji konačna geometrijska progresija

Sa S n označimo zbir njegovih članova, tj.

Hajde da izvedemo formulu za pronalaženje ove sume.

Počnimo s najjednostavnijim slučajem, kada je q = 1. Tada se geometrijska progresija b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn sastoji od n brojeva jednakih b 1 , tj. progresija je b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Zbir ovih brojeva je nb 1 .

Neka sada q = 1 Za pronalaženje S n koristimo umjetnu metodu: izvršimo neke transformacije izraza S n q. Imamo:

Izvodeći transformacije, prvo smo koristili definiciju geometrijske progresije, prema kojoj (vidi treću liniju rezonovanja); drugo, dodavali su i oduzimali zašto se značenje izraza, naravno, nije promijenilo (vidi četvrti red rezonovanja); treće, koristili smo formulu n-tog člana geometrijske progresije:

Iz formule (1) nalazimo:

Ovo je formula za zbir n članova geometrijske progresije (za slučaj kada je q = 1).

Primjer 8

Zadata konačna geometrijska progresija

a) zbir članova napredovanja; b) zbir kvadrata njegovih članova.

b) Iznad (vidi str. 132) smo već primijetili da ako su svi članovi geometrijske progresije na kvadrat, onda će se dobiti geometrijska progresija sa prvim članom b 2 i nazivnikom q 2. Tada će se zbir šest članova nove progresije izračunati po

Primjer 9

Pronađite 8. član geometrijske progresije za koji

U stvari, dokazali smo sljedeću teoremu.

Numerički niz je geometrijska progresija ako i samo ako je kvadrat svakog od njegovih članova, osim prvog (i posljednjeg, u slučaju konačnog niza), jednak umnošku prethodnog i narednog člana (karakteristično svojstvo geometrijske progresije).

Razmotrimo sada pitanje sabiranja beskonačne geometrijske progresije. Nazovimo parcijalni zbir date beskonačne progresije zbirom njenih prvih članova. Označite djelimični zbir simbolom

Za svaku beskonačnu progresiju

može se sastaviti (takođe beskonačan) niz njegovih parcijalnih suma

Neka niz s neograničenim povećanjem ima granicu

U ovom slučaju, broj S, odnosno granica parcijalnih zbira progresije, naziva se zbir beskonačne progresije. Dokazaćemo da beskonačna opadajuća geometrijska progresija uvek ima zbir i izvući formulu za ovaj zbir (takođe možemo pokazati da za beskonačnu progresiju nema sume, ne postoji).

Zapisujemo izraz za parcijalni zbir kao zbir članova progresije prema formuli (91.1) i razmatramo granicu parcijalne sume na

Iz teoreme tačke 89 je poznato da za opadajuću progresiju ; stoga, primjenom teorema granične razlike, nalazimo

(ovdje se također koristi pravilo: konstantni faktor se izvlači iz predznaka granice). Postojanje je dokazano, a istovremeno se dobija formula za zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije:

Jednakost (92.1) se takođe može zapisati kao

Ovdje može izgledati paradoksalno da se dobro definirana konačna vrijednost pripisuje zbiru beskonačnog skupa pojmova.

Može se dati jasna ilustracija da se objasni ova situacija. Posmatrajmo kvadrat čija je stranica jednaka jedan (slika 72). Podijelimo ovaj kvadrat vodoravnom linijom na dva jednaka dijela i primijenimo gornji dio na donji tako da se formira pravokutnik sa stranicama 2 i . Nakon toga, desnu polovinu ovog pravokutnika ponovo podijelimo na pola vodoravnom linijom i pričvrstimo gornji dio na donji (kao što je prikazano na slici 72). Nastavljajući ovaj proces, konstantno transformišemo originalni kvadrat površine 1 u figure jednake veličine (u obliku stepenica sa tanjivim stepenicama).

Beskonačnim nastavkom ovog procesa, cijela površina kvadrata se razlaže na beskonačan broj članova - površine pravougaonika sa osnovama jednakim 1 i visinama. Površine pravougaonika samo formiraju beskonačno opadajuću progresiju, njen zbir

tj., kako se i očekivalo, jednaka je površini kvadrata.

Primjer. Pronađite zbrojeve sljedećih beskonačnih progresija:

Rješenje, a) Napominjemo da ovu progresiju. Dakle, formulom (92.2) nalazimo

b) Ovdje to znači da po istoj formuli (92.2) imamo

c) Nalazimo da ova progresija Dakle, ova progresija nema zbroj.

U odeljku 5 prikazana je primena formule za zbir članova beskonačno opadajuće progresije na konverziju periodičnog decimalnog razlomka u običan razlomak.

Vježbe

1. Zbir beskonačno opadajuće geometrijske progresije je 3/5, a zbir prva četiri člana je 13/27. Pronađite prvi član i imenilac progresije.

2. Nađite četiri broja koji čine naizmjeničnu geometrijsku progresiju, u kojoj je drugi član manji od prvog za 35, a treći veći od četvrtog za 560.

3. Pokažite sekvencu šta ako

formira beskonačno opadajuću geometrijsku progresiju, zatim niz

za bilo koji oblik beskonačno opadajuća geometrijska progresija. Da li ova tvrdnja vrijedi za

Izvedite formulu za proizvod članova geometrijske progresije.

Matematika je štaljudi kontrolišu prirodu i sebe.

Sovjetski matematičar, akademik A.N. Kolmogorov

Geometrijska progresija.

Pored zadataka za aritmetičke progresije, na prijemnim ispitima iz matematike uobičajeni su i zadaci koji se odnose na pojam geometrijske progresije. Da biste uspješno riješili takve probleme, morate poznavati svojstva geometrijske progresije i imati dobre vještine u njihovom korištenju.

Ovaj članak je posvećen prikazu glavnih svojstava geometrijske progresije. Također daje primjere rješavanja tipičnih problema, pozajmljeno iz zadataka prijemnih testova iz matematike.

Zabilježimo preliminarno glavna svojstva geometrijske progresije i prisjetimo se najvažnijih formula i iskaza, povezan sa ovim konceptom.

Definicija. Brojčani niz naziva se geometrijska progresija ako je svaki njegov broj, počevši od drugog, jednak prethodnom, pomnožen istim brojem. Broj se naziva nazivnik geometrijske progresije.

Za geometrijsku progresijuformule su validne

, (1)

gdje . Formula (1) se naziva formulom opšteg člana geometrijske progresije, a formula (2) je glavno svojstvo geometrijske progresije: svaki član progresije se poklapa sa geometrijskom sredinom svojih susjednih članova i .

Bilješka, da se upravo zbog ovog svojstva dotična progresija naziva "geometrijska".

Formule (1) i (2) gore su sažete kako slijedi:

, (3)

Za izračunavanje sume prvo članovi geometrijske progresijeformula se primjenjuje

Ako odredimo

gdje . Kako je , formula (6) je generalizacija formule (5).

U slučaju kada i geometrijska progresijase beskonačno smanjuje. Za izračunavanje sumeod svih članova beskonačno opadajuće geometrijske progresije, koristi se formula

. (7)

Na primjer , koristeći formulu (7), može se pokazati, šta

gdje . Ove jednakosti se dobivaju iz formule (7) pod uvjetom da , (prva jednakost) i , (druga jednakost).

Teorema. Ako onda

Dokaz. Ako onda ,

Teorema je dokazana.

Prijeđimo na razmatranje primjera rješavanja zadataka na temu "Geometrijska progresija".

Primjer 1 Dato: , i . Naći .

Odluka. Ako se primjenjuje formula (5), onda

Odgovor: .

Primjer 2 Neka i . Naći .

Odluka. Kako i , koristimo formule (5), (6) i dobijamo sistem jednačina

Ako se druga jednačina sistema (9) podijeli sa prvom, zatim ili . Iz ovoga slijedi . Razmotrimo dva slučaja.

1. Ako , onda iz prve jednačine sistema (9) imamo.

2. Ako , onda .

Primjer 3 Neka , i . Naći .

Odluka. Iz formule (2) slijedi da ili . Od , tada ili .

Po uslovu. Međutim, stoga. jer i , onda ovde imamo sistem jednačina

Ako je druga jednačina sistema podijeljena s prvom, onda ili .

Budući da , jednadžba ima jedan odgovarajući korijen . U ovom slučaju, prva jednačina sistema implicira .

Uzimajući u obzir formulu (7), dobijamo.

Odgovor: .

Primjer 4 Dato: i . Naći .

Odluka. Od tada .

Jer , tada ili

Prema formuli (2), imamo . U tom smislu, iz jednakosti (10) dobivamo ili .

Međutim, prema uvjetu , dakle .

Primjer 5 Poznato je da . Naći .

Odluka. Prema teoremi imamo dvije jednakosti

Od , tada ili . Jer, onda.

Odgovor: .

Primjer 6 Dato: i . Naći .

Odluka. Uzimajući u obzir formulu (5), dobijamo

Od tada . Od , i , onda .

Primjer 7 Neka i . Naći .

Odluka. Prema formuli (1) možemo pisati

Dakle, imamo ili . Poznato je da i , Stoga i .

Odgovor: .

Primjer 8 Nađi nazivnik beskonačne opadajuće geometrijske progresije ako

i .

Odluka. Iz formule (7) slijedi i . Odavde i iz uslova zadatka dobijamo sistem jednačina

Ako je prva jednadžba sistema na kvadrat, a zatim podijelite rezultirajuću jednačinu drugom jednačinom, onda dobijamo

Ili .

Odgovor: .

Primjer 9 Pronađite sve vrijednosti za koje je niz , , geometrijska progresija.

Odluka. Neka , i . Prema formuli (2), koja definira glavno svojstvo geometrijske progresije, možemo napisati ili .

Odavde dobijamo kvadratnu jednačinu, čiji su koreni i .

Hajde da proverimo: ako, zatim , i ; ako , onda , i .

U prvom slučaju imamo i , i u drugom - i .

Odgovor: , .

Primjer 10riješi jednačinu

, (11)

gdje i .

Odluka. Lijeva strana jednačine (11) je zbir beskonačne opadajuće geometrijske progresije, u kojoj i , pod uvjetom: i .

Iz formule (7) slijedi, šta . U tom smislu, jednačina (11) poprima oblik ili . odgovarajući koren kvadratna jednačina je

Odgovor: .

Primjer 11. P niz pozitivnih brojevaformira aritmetičku progresiju, a - geometrijska progresija, kakve to veze ima. Naći .

Odluka. As aritmetički niz, onda (glavno svojstvo aritmetičke progresije). Ukoliko, zatim ili . Ovo implicira, da je geometrijska progresija. Prema formuli (2), onda to zapišemo.

Od i , tada . U tom slučaju, izraz ima oblik ili . po uslovu, dakle iz jednačinedobijamo jedinstveno rešenje problema koji se razmatra, tj. .

Odgovor: .

Primjer 12. Izračunaj sumu

. (12)

Odluka. Pomnožite obje strane jednakosti (12) sa 5 i dobijete

Ako od rezultujućeg izraza oduzmemo (12)., onda

ili .

Da bismo izračunali, zamijenimo vrijednosti u formulu (7) i dobijemo . Od tada .

Odgovor: .

Ovdje dati primjeri rješavanja problema bit će korisni kandidatima u pripremi za prijemne ispite. Za dublje proučavanje metoda rješavanja problema, povezana sa geometrijskom progresijom, možete koristiti tutorijale sa liste preporučene literature.

1. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate tehničkih univerziteta / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: dodatni dijelovi školskog programa. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 str.

3. Medynsky M.M. Kompletan kurs osnovne matematike u zadacima i vježbama. Knjiga 2: Brojčani nizovi i progresije. – M.: Editus, 2015. - 208 str.

Imate bilo kakvih pitanja?

Da dobijete pomoć tutora - registrujte se.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.