Ivanova Anastasia

Zadatak broj 15 specijalističkog ispita iz matematike je zadatak povećanog stepena složenosti, koji predstavlja nejednakost. Prilikom rješavanja ovih nejednačina studenti moraju pokazati poznavanje teorema o ekvivalenciji nejednačina određenog tipa, te sposobnost korištenja standardnih i nestandardnih metoda rješavanja. Analiza sadržaja školskih udžbenika pokazuje da se u većini njih metodama za rješavanje nejednačina korištenjem svojstava funkcija ne pridaje dužna pažnja, a u zadacima Jedinstvenog državnog ispita gotovo svake godine predlažu se nejednačine čije se rješavanje pojednostavljuje. ako se primjenjuju svojstva funkcija. Prema statističkim podacima prikazanim na web stranici Federalnog zavoda za pedagoška mjerenja, u 2017. godini oko 15% polaznika ispita je za ovaj zadatak dobilo ne nula bodova; maksimalni rezultat je oko 11%. Sve navedeno ukazuje da studenti imaju velike poteškoće u rješavanju zadatka broj 15 Jedinstvenog državnog ispita. Target: Istražite različite načine rješavanja nejednakosti.

:

1. Proučite teorijski materijal na ovu temu.

2. Razmotrite primjere ponuđene u banci zadataka Jedinstvenog državnog ispita na web stranici Federalnog zavoda za pedagoška mjerenja.

3. Proučiti funkcionalno-grafičke metode za rješavanje nejednačina.

4. Uporedite različite metode za rješavanje nejednačina.

5. Eksperimentalno provjerite koja metoda rješavanja nejednačina je najracionalnija.

Metode istraživanja: anketiranje, ispitivanje, analiza, poređenje i sinteza rezultata.

U našem radu proučavali smo funkcionalno-grafičke metode za rješavanje nejednačina. Upoređene su različite metode za rješavanje nejednačina. Eksperimentalno smo provjerili koja metoda rješavanja nejednačina je najracionalnija. I došli su do zaključka da učenik mora znati nekoliko načina rješavanja nejednakosti kako bi uštedio vrijeme i smanjio rizik od logičkih i računskih grešaka.

Skinuti:

Pregled:

Proučavanje različitih metoda za rješavanje nejednačina

Ivanova Anastasia Evgenevna

Opštinska budžetska obrazovna ustanova
"Srednja škola br.30 sa produbljenim izučavanjem pojedinačnih predmeta"

11b razred

Naučni članak (opis posla)

1. Uvod

Relevantnost.

Zadatak broj 15 specijalističkog ispita iz matematike je zadatak povećanog stepena složenosti, koji predstavlja nejednakost (racionalnu, iracionalnu, eksponencijalnu, logaritamsku). Prilikom rješavanja ovih nejednačina studenti moraju pokazati poznavanje teorema o ekvivalenciji nejednačina određenog tipa, te sposobnost korištenja standardnih i nestandardnih metoda rješavanja.

Potpuno ispravno rješenje ovog zadatka vrijedi 2 boda. Prilikom rješavanja problema prihvatljive su bilo koje matematičke metode - algebarske, funkcionalne, grafičke, geometrijske itd.

Prema statističkim podacima prikazanim na web stranici Federalnog zavoda za pedagoška mjerenja, u 2017. godini oko 15% polaznika ispita je za ovaj zadatak dobilo ne nula bodova; maksimalni rezultat je oko 11%. Tipične greške su povezane sa nepažljivim čitanjem matematičke notacije nejednačina, nerazumevanjem algoritma za rešavanje agregata i sistema logaritamskih nejednačina. Učesnici ispita su napravili dosta grešaka prilikom rješavanja razlomaka racionalnih nejednačina (zaboravljen je imenilac).

Rezultati rješavanja zadatka broj 15 učenika naše škole na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike prikazani su u tabeli 1 i na dijagramu (sl. 1).

Tabela 1

Rezultati zadatka br. 15 učenika naše škole

Fig.1. Rezultati zadatka br. 15 učenika naše škole

Rezultati zadatka broj 15 na probnom gradskom ispitu 11a,b razreda u školskoj 2017-2018. godine prikazani su u tabeli 2 i na dijagramu (sl. 2).

tabela 2

Rezultati zadatka br. 15 na probnom gradskom ispitu

u školskoj 2017-2018. godine od strane učenika naše škole

Fig.2. Rezultati zadatka br. 15 na probnom ispitu u školskoj 2017-2018. godine od strane učenika naše škole

Proveli smo anketu među nastavnicima matematike u našoj školi i identifikovali glavne probleme koje učenici imaju pri rješavanju nejednakosti: pogrešno određivanje raspona prihvatljivih vrijednosti nejednakosti; razmatranje ne svih slučajeva prelaska sa logaritamske nejednakosti na racionalnu; pretvaranje logaritamskih izraza; greške u korištenju intervalne metode itd.

Brojne tipične greške su povezane sa upotrebom metode intervala i uvođenjem pomoćne varijable. Na primjer, greška u određivanju predznaka na intervalima ili pogrešno postavljanje brojeva na koordinatnoj liniji, prema kriterijima, može se protumačiti kao računske greške. Ostali koji se odnose na preskakanje koraka algoritma ili njihovo netačno izvođenje boduju se 0 bodova.

Sve navedeno ukazuje da učenici imaju velike poteškoće u rješavanju zadatka broj 15 Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. S tim u vezi, mi smo iznijeli hipoteza : ako učenik zna nekoliko načina rješavanja nejednakosti, tada će moći izabrati najracionalniji.

Predmet proučavanja: nejednakosti.

Predmet studija: različiti načini rješavanja nejednakosti.

Target : Istražite različite načine rješavanja nejednakosti.

Za postizanje ovog cilja riješeni su sljedeći zadaci:

1. Proučite teorijski materijal na ovu temu.
2. Razmotrite primjere ponuđene u banci zadataka Jedinstvenog državnog ispita na web stranici Federalnog zavoda za pedagoška mjerenja.
3. Proučavati funkcionalno-grafičke metode za rješavanje nejednačina.
4. Uporedite različite metode za rješavanje nejednačina.
5. Eksperimentalno provjerite koja metoda rješavanja nejednačina je najracionalnija.

2. Glavni dio

2.1. Teorijski dio

1. Linearne nejednakosti

Linearne nejednakostisu nejednakosti oblika: ax + b 0; ax+b≥0; ax+b≤0, gdje su a i b – bilo koji brojevi, i a≠0,x - nepoznata varijabla.

Pravila za transformaciju nejednakosti:

1. Bilo koji član nejednakosti može se prenijeti iz jednog dijela nejednakosti u drugi, mijenjajući predznak u suprotan.

2. Obje strane nejednakosti mogu se pomnožiti/podijeliti istim pozitivnim brojem da bi se dobila nejednakost ekvivalentna datoj.

3. Obje strane nejednakosti mogu se pomnožiti/podijeliti istim negativnim brojem, obrnuti predznak nejednakosti.

2. Kvadratne nejednakosti

Nejednakost oblika

gdje je x varijabla, a, b, c su brojevi, , naziva se kvadrat. Prilikom rješavanja kvadratne nejednačine potrebno je pronaći korijene odgovarajućekvadratna jednačina . Da biste to učinili, morate pronaćidiskriminatorno ove kvadratne jednačine. Možete dobiti 3 slučaja: 1) D=0 , kvadratna jednadžba ima jedan korijen; 2) D>0 kvadratna jednadžba ima dva korijena; 3)D kvadratna jednadžba nema korijena. Zavisno od dobijenih korijena i predznaka koeficijenta a jedna od šest mogućih lokacijafunkcionalna grafika (Aneks 1).

3. Racionalne nejednakosti

Racionalna nejednakostsa jednom varijablom x naziva se nejednakost oblika f(x) izrazi, tj. algebarski izrazi sastavljeni od brojeva, varijable x i korištenjem matematičkih operacija, tj. operacije sabiranja, oduzimanja, množenja, dijeljenja i povećanja na prirodne stepene.Algoritam za rješavanje racionalnih nejednačina metodom intervala(Aneks 1).

4. Eksponencijalne nejednakosti

Eksponencijalna nejednakost- ovo je nejednakost , u kojem je nepoznata u eksponentu. Najjednostavnijieksponencijalna nejednakost ima oblik: a x ‹ b ili a x › b, gdje je a> 0, a ≠ 1, x je nepoznato.

5. Logaritamske nejednakosti

Logaritamska nejednakostnaziva se nejednakost u kojoj je nepoznata količina pod predznakomlogaritam .

1. Nejednakost ako svodi na ekvivalentnu nejednakost. Ako - zatim na nejednakost.

Slično nejednakostije ekvivalentna nejednačinama za: ; Za : .

Rješenja dobijenih nejednačina moraju se presjeći sa ODZ:

2. Rješavanje logaritamske nejednakosti oblikaje ekvivalentno rješavanju sljedećih sistema:

A) b)

Nejednakost u svakom od dva slučaja svodi se na jedan od sistema:

A) b)

6. Iracionalne nejednakosti

Ako nejednakost uključuje funkcije pod predznakom korijena, tada se takve nejednakosti nazivaju iracionalno.

.

2.2. Praktični dio

Studija #1

Target : Naučite metodu ograničene funkcije.

napredak:

1. Proučite metodu ograničenih funkcija.

2. Riješite nejednačine ovom metodom.

Da biste koristili ograničenost funkcije, morate biti u stanju pronaći skup vrijednosti funkcije i znati procjene raspona vrijednosti standardnih funkcija (na primjer,) .

Primjer #1 . Riješite nejednakost:

Rješenje:

Domena:

Za sve x iz rezultirajućeg skupa imamo:

Dakle, rješenje nejednakosti

odgovor:

Primjer br. 2. Riješite nejednakost:

Rješenje:

Jer

Ova nejednakost je ekvivalentna

Prva jednačina sistema ima jedan koren x = - 0,4, što takođe zadovoljava drugu jednačinu.

Odgovor: - 0,4

zaključak: Ova metoda je najefikasnija ako nejednakost sadrži funkcije kao što sui drugi, čiji su rasponi ograničeni iznad ili ispod.

Studija #2

Target : proučavanje metode racionalizacije rješenja nejednačina.

napredak:

1. Proučite metod racionalizacije.

2. Riješite nejednačine ovom metodom.

Metoda racionalizacije sastoji se od zamjene složenog izraza F(x) jednostavnijim izrazom G(x), u kojem je nejednakost G(x) v 0 ekvivalentna nejednakosti F(x) v 0 na domeni definicije izraz F(x) (simbol "v" zamjenjuje jedan od znakova nejednakosti: ≤, ≥, >,

Istaknimo neke tipične izraze F i odgovarajuće racionalizirajuće izraze G (Tablica 1), gdje su f, g, h, p, q izrazi s promjenljivom x (h>0, h≠1,f>0,g>0) , a -fiksan broj (a>0, a≠1). (Dodatak 2).

Primjer br. 1. Riješite nejednakost:

O.D.Z:

odgovor:

Primjer br. 2. Riješite nejednakost:

O.D.Z:

Uzimajući u obzir domen definicije, dobijamo

odgovor:

Zaključak : Najteže su nejednakosti s logaritmima na promjenljivu bazu. Metoda racionalizacije omogućava vam da se pomaknete od nejednačina koje sadrže kompleksne eksponencijalne, logaritamske itd. izraz, do njegove ekvivalentne jednostavnije racionalne nejednakosti. Metoda racionalizacije ne samo da štedi vrijeme, već i smanjuje rizik od logičkih i računskih grešaka.

Studija #3

Target : u procesu rješavanja nejednačina uporediti različite metode.

napredak:

1. Riješite nejednakostkoristeći različite metode.

2. Uporedite rezultate i izvucite zaključak.

Primjer br. 1. Riješite nejednakost

Rješenje:

1 način. Algebarska metoda

Rešenje prvog sistema:

Rješavamo drugu nejednakost drugog sistema:

Metoda 2 . Korištenje opsega funkcije

Domena:

Za ove x vrijednosti dobijamo:

Desna strana nejednakosti je negativna u svom domenu definicije. Dakle, nejednakost vrijedi za

odgovor:

3 way. Grafička metoda

Zaključak : rješavajući nejednačinu algebarskom metodom došao sam do nejednakosti šestog stepena, proveo dosta vremena rješavajući je, ali je nisam mogao riješiti. Racionalna metoda, po mom mišljenju, je korištenje domena funkcije ili grafički.

Primjer br. 2. Riješite nejednakost:.

odgovor:

zaključak: Ovu nejednakost sam uspio riješiti samo zahvaljujući metodi racionalizacije.

Zaključak

Analiza sadržaja školskih udžbenika pokazuje da se u većini njih metodama za rješavanje nejednačina korištenjem svojstava funkcija ne pridaje dužna pažnja, a u zadacima Jedinstvenog državnog ispita gotovo svake godine predlažu se nejednačine čije se rješavanje pojednostavljuje. ako se primjenjuju svojstva funkcija.

Većina učenika rješava nejednačine koristeći standardne, algoritamske metode, što ponekad rezultira glomaznim proračunima. S tim u vezi, procenat ispunjenosti zadatka br. 15 na Jedinstvenom državnom ispitu je nizak.

Opseg primjene svojstava funkcija u rješavanju nejednačina je vrlo širok. Upotreba svojstava (ograničenost, monotonost, itd.) funkcija uključenih u nejednakosti omogućava korištenje nestandardnih metoda rješenja. Po našem mišljenju, sposobnost korištenja potrebnih svojstava funkcija pri rješavanju nejednačina može omogućiti studentima da izaberu racionalnije rješenje.

U našem radu proučavali smo funkcionalno-grafičke metode za rješavanje nejednačina. Upoređene su različite metode za rješavanje nejednačina. Eksperimentalno smo provjerili koja metoda rješavanja nejednačina je najracionalnija.

I došli su do zaključka da učenik mora znati nekoliko načina rješavanja nejednakosti kako bi uštedio vrijeme i smanjio rizik od logičkih i računskih grešaka.

Ciljevi našeg rada su ostvareni, cilj je postignut, hipoteza je potvrđena.

književnost:

1. Alimov Sh. A, Kolyagin Yu. M., Sidorov Yu. V. et al. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10.-11. razred. opšte obrazovanje institucije / Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov i drugi - 15. izd. – M.: Obrazovanje, 2007. – 384 str.
2. Korjanov A.G., Prokofjev A.A. Materijali iz predmeta „Priprema dobrih i odličnih učenika za Jedinstveni državni ispit“: predavanja 1-4. - M.: Pedagoški univerzitet “Prvi septembar”, 2012. – 104 str.
3. Web stranica http://www.fipi.ru/.
4. Web stranica https://ege.sdamgia.ru/.
5. Yashchenko I. V. Jedinstveni državni ispit. Matematika. Nivo profila: standardne opcije ispita: 36 opcija / ur. I. V. Yashchenko. - M.: Izdavačka kuća "Narodno obrazovanje", 2018. - 256 str.

Pregled:

Da biste koristili preglede prezentacija, kreirajte Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

Proučavanje različitih metoda za rješavanje nejednakosti Ivanova Anastasia Evgenievna MBOU "Srednja škola br. 30 sa detaljnim proučavanjem pojedinačnih predmeta"

Rezultati zadatka br. 15 učenika naše škole

Rezultati zadatka br. 15 na probnom ispitu u školskoj 2017-2018. godine od strane učenika naše škole

Hipoteza: ako student zna nekoliko načina za rješavanje nejednakosti, tada će moći izabrati najracionalniji Objekt proučavanja: nejednakosti Predmet proučavanja: različiti načini rješavanja nejednakosti

Cilj: Istražiti različite načine rješavanja nejednakosti. Za postizanje ovog cilja riješeni su sljedeći zadaci: Proučiti teorijski materijal na ovu temu. Razmotrite primjere ponuđene u banci zadataka Jedinstvenog državnog ispita na web stranici Federalnog zavoda za pedagoška mjerenja. Proučavati funkcionalno-grafičke metode za rješavanje nejednačina. Uporedite različite metode za rješavanje nejednačina. Eksperimentalno provjerite koja metoda rješavanja nejednačina je najracionalnija.

Studija br. 1 Svrha: Proučavanje metode ograničene funkcije. Napredak: 1. Proučite metodu ograničenih funkcija. 2. Riješite nejednačine ovom metodom. Primjer br. 1. Riješite nejednakost: Rješenje: Domen: Za sve x iz rezultirajućeg skupa imamo: Dakle, rješenje nejednakosti Odgovor:

Primjer br. 2. Riješite nejednačinu: Rješenje: Jer Ova nejednakost je ekvivalentna.Prva jednačina sistema ima jedan korijen x = - 0,4, što također zadovoljava drugu jednačinu. Odgovor: - 0,4 Zaključak: ova metoda je najefikasnija ako nejednakost sadrži funkcije, poput ostalih, čiji su rasponi vrijednosti ograničeni iznad ili ispod.

Studija br. 2 Svrha: proučavanje metode za racionalizaciju rješenja nejednačina. Napredak: 1. Proučite metod racionalizacije. 2. Riješite nejednačine ovom metodom. Primjer br. 1. Riješiti nejednakost: O.D.Z: Uzimajući u obzir domen definicije, dobijamo odgovor:

Primjer br. 2. Riješiti nejednakost: O.D.Z: Uzimajući u obzir domen definicije, dobijamo odgovor: Zaključak: najveće poteškoće izazivaju nejednakosti sa logaritmima na promjenljivu bazu. Metoda racionalizacije omogućava vam da se pomaknete od nejednačina koje sadrže kompleksne eksponencijalne, logaritamske itd. izraz, do njegove ekvivalentne jednostavnije racionalne nejednakosti. Metoda racionalizacije ne samo da štedi vrijeme, već i smanjuje rizik od logičkih i računskih grešaka.

Studija br. 3 Svrha: u procesu rješavanja nejednačina uporediti različite metode. Napredak: 1. Riješite nejednačinu različitim metodama. 2. Uporedite rezultate i izvucite zaključak. Primjer br. 1. Riješite nejednačinu na 1 način. Algebarska metoda Rješavanje prvog sistema: Rješavanje druge nejednakosti drugog sistema: 2. metoda. Koristeći domenu definicije funkcije Domen definicije: Za ove vrijednosti x dobijamo: Desna strana nejednakosti je negativna na svojoj domeni definicije. Dakle, nejednakost vrijedi za

3 way. Grafička metoda Zaključak: rješavajući nejednačinu algebarskom metodom, došao sam do nejednakosti šestog stepena, proveo dosta vremena rješavajući je, ali je nisam mogao riješiti. Racionalna metoda, po mom mišljenju, je korištenje domena funkcije ili grafički.

Primjer br. 2. Riješite nejednačinu: Odgovor: Zaključak: Ovu nejednačinu sam uspio riješiti samo zahvaljujući metodi racionalizacije.

Opseg primjene svojstava funkcija u rješavanju nejednačina je vrlo širok. Upotreba svojstava (ograničenost, monotonost, itd.) funkcija uključenih u nejednakosti omogućava korištenje nestandardnih metoda rješenja. Po našem mišljenju, sposobnost korištenja potrebnih svojstava funkcija pri rješavanju nejednačina može omogućiti studentima da izaberu racionalnije rješenje. U našem radu proučavali smo funkcionalno-grafičke metode za rješavanje nejednačina. Upoređene su različite metode za rješavanje nejednačina. Eksperimentalno smo provjerili koja metoda rješavanja nejednačina je najracionalnija. I došli su do zaključka da učenik mora znati nekoliko načina rješavanja nejednakosti kako bi uštedio vrijeme i smanjio rizik od logičkih i računskih grešaka. Ciljevi našeg rada su ostvareni, cilj je postignut, hipoteza je potvrđena.

Hvala vam na pažnji!

Opštinska obrazovna ustanova

Yuryevskaya osnovna srednja škola

Ostrovsky okrug

Opštinska faza regionalnog metodičkog takmičenja

Nominacija

Toolkit

Predmet

Funkcionalno-grafička metoda za rješavanje jednačina i nejednačina u srednjoškolskom predmetu algebre.

Rad su pripremili:

nastavnik matematike

Uvod

Analiza školskih udžbenika

Jedinstvena analiza državnog ispita

1. Opći teorijski dio

1.1. Grafička metoda

1.2. Funkcionalna metoda

2. Rješavanje jednačina i nejednačina korištenjem svojstava inputa

funkcije u njima

2.1. Upotreba DZ

2.2. Korištenje ograničenja funkcija

2.3. Korištenje monotonosti funkcije

2.4. Korištenje grafova funkcija

2.5. Korištenje parnih ili neparnih svojstava i periodičnosti funkcija .

3. Rješavanje jednačina i nejednačina

3.1. Rješavanje jednačina

3.2. Rješavanje nejednačina

Radionica

Bibliografija

Aplikacija

Uvod

Tema mog rada je “Funkcionalno-grafička metoda za rješavanje jednačina i nejednačina u srednjoškolskom kursu algebre.” Jedna od glavnih tema srednjoškolskog kursa algebre. Rješavanje jednačina i nejednačina igra važnu ulogu u srednjoškolskim predmetima matematike. Učenici počinju da uče o nejednačinama i jednačinama u osnovnoj školi.

Sadržaj tema „Jednačine“ i „Nejednačine“ postepeno se produbljuje i proširuje. Tako, na primjer, procenat nejednakosti od ukupnog gradiva izučenog u 7. razredu je 20%, u 8. razredu - 25%, u 9. razredu - 30%, u 10-11. razredu - 35%.

Završno proučavanje nejednačina i jednačina odvija se u predmetima algebre i početne analize od 10. do 11. razreda. Neki univerziteti uključuju jednadžbe i nejednakosti u ispitne radove, koji su često vrlo složeni i zahtijevaju različite pristupe rješavanju. U školi se jedan od najtežih dijelova školskog predmeta matematike obrađuje samo u nekoliko izbornih časova.

Fokus ovog rada je da pruži potpunije razotkrivanje primene funkcionalne grafičke metode na rešavanje jednačina i nejednačina u srednjoškolskom kursu algebre.

Relevantnost ovog rada je da je ova tema uključena u Jedinstveni državni ispit.

U pripremi ovog rada postavio sam cilj da razmotrim što više vrsta jednačina i nejednačina, riješenih funkcionalno-grafičkom metodom. Također dublje proučite ovu temu, identificirajući najracionalnije rješenje koje brzo vodi do odgovora.

Predmet izučavanja je algebra za 10-11 razred, uređena i varijante Jedinstvenog državnog ispita.

U ovom radu se razmatraju često nailazi na tipove jednačina i nejednakosti, a nadam se da će znanje koje sam stekao u radu pomoći pri polaganju školskih ispita i pri upisu na fakultet. Može poslužiti i kao nastavno pomagalo za pripremu školaraca za polaganje Jedinstvenog državnog ispita.

Analiza školskih udžbenika

U metodičkoj literaturi uobičajeno je da se sve metode po kojima su školske linije jednadžbi i nejednakosti od 7. do 11. razreda dijele u tri grupe:

metoda faktorizacije;

ümetoda uvođenja novih varijabli;

Funkcionalna grafička metoda.

Razmotrimo treću metodu, naime, korištenje grafova funkcija i raznih svojstava funkcija.

Školsku djecu treba učiti da koriste funkcionalno-grafičku metodu od samog početka izučavanja teme „Jednačine“.

Rješenje nekih problema može se zasnivati ​​na svojstvima monotonosti, periodičnosti, parnosti ili neparnosti itd. funkcija uključenih u njih.

Analizom udžbenika možemo zaključiti da se o ovoj temi govori samo u udžbenicima matematike nove generacije, a konstrukcija predmeta u ovim udžbenicima zasniva se na prioritetu funkcionalno-grafičke linije. U drugim udžbenicima funkcionalno-grafička metoda rješavanja jednačina i nejednačina nije izdvojena kao posebna tema. Upotreba svojstava funkcije za rješavanje problema spominje se usputno kada se proučavaju druge teme. Novi udžbenici sadrže i dovoljan broj zadataka ovog tipa. Udžbenik sadrži zadatke naprednog nivoa. Prikazan je najkompletniji sistem zadataka, sistematizovan za svako svojstvo funkcije.

Udžbenik	“Algebra i počeci analize 10-11”, udžbenik za obrazovne ustanove,	, „Algebra i počeci analize 11“, udžbenik za opšteobrazovne ustanove (profilni nivo)		i dr. „Algebra i počeci analize 11“, udžbenik za obrazovne ustanove	i dr. „Algebra i počeci analize 10-11“, udžbenik za obrazovne ustanove
Mjesto u znanju	Poglavlje 8 “Jednačine i nejednačine. Sistemi jednačina i nejednačina" (poslednja tema kursa)	Poglavlje 6 “Jednačine i nejednačine. Sistemi jednačina i nejednačina" (poslednja tema kursa)	Poglavlje II “Jednačine, nejednačine, sistemi”	Ne postoji posebna tema. Ali u temi "Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi i nejednačina" formulirana je teorema o korijenu, koja se koristi u daljnjem proučavanju	Nema posebne teme
	§ §56 Opće metode za rješavanje jednačina i nejednačina (funkcionalno-grafička metoda: teorema o korijenu, ograničenost funkcije)	§ §27 Opće metode za rješavanje jednačina i nejednačina (funkcionalno-grafička metoda: teorema o korijenu, ograničenost funkcije)	§ Jednačine (nejednačine) oblika ; § §12*Nestandardne metode za rješavanje jednačina i nejednačina (koristeći domene postojanja funkcija, nenegativnost funkcija, ograničenost, korištenje svojstava sin i cos, korištenje izvoda)	Svojstvo monotonosti funkcije, par-nepar (prilikom izvođenja formula za korijene trigonometrijskih jednadžbi)	Svojstvo monotonosti spominje se prilikom analize primjera u temi “Eksponencijalna funkcija”
Primjeri razmatranih jednačina i nejednačina	(;		Riješite jednačinu. Koliko korijena ima jednačina u ovom intervalu?	Riješite jednačinu

Analiza Jedinstvenog državnog ispita (tekstovi i rezultati)

Jedinstveni državni ispit kao oblik certifikacije, koji je uveden u praksu ruskog obrazovanja 2002. godine, od 2009. prelazi iz eksperimentalnog u redovni način.

Analiza tekstova Jedinstvenog državnog ispita pokazala je da se svake godine susreću zadaci u kojima se koriste svojstva funkcija.

2003. godine u zadacima A9 i C2, prilikom rješavanja, možete primijeniti svojstva funkcija:

· A9. Označite interval kojem pripadaju korijeni jednačine .

· C2. Pronađite sve vrijednosti str, za koje je jednadžba nema korena.

· U 2004. godini – zadatak B2. Koliko korijena ima jednačina? .

· 2005. zadatak C2 (riješi jednačinu ) završilo je 37% učenika.

U 2007. godini, prilikom rješavanja zadatka “Riješi jednačinu” u dijelu B, maturanti su razmatrali dva slučaja rješavanja jednačine, uobičajeno otkrivajući znak modula..gif" width="81" height="24"> uzima samo pozitivne vrijednosti.

Čak i dobro pripremljeni učenici često izvršavaju zadatke koristeći metode "šablona" rješenja koje dovode do glomaznih transformacija i proračuna.

Očigledno je da je dobro pripremljen maturant prilikom rješavanja navedenih zadataka morao pokazati ne samo poznavanje poznatih metoda rješavanja jednačina ili transformacije izraza, već i sposobnost analize stanja, korelacije podataka i zahtjeva zadatka, izvođenja različitih posljedica iz stanja itd., odnosno pokazuju određeni stepen razvijenosti matematičkog mišljenja.

Dakle, kada podučavate studente sa dobrim rezultatima, morate voditi računa ne samo o savladavanju osnovne komponente kursa algebre i počecima analize (ovladavanje naučenim pravilima, formulama, metodama), već i o ostvarivanju jednog od glavnih ciljeva. nastave matematike - razvoj mišljenja učenika, posebno matematičkog mišljenja. Za postizanje ovog cilja mogu poslužiti izborni predmeti.

Zaista, prilikom studiranja matematike, studenti opšteobrazovnih ustanova tradicionalno se upoznaju sa grafičkom metodom rješavanja jednačina, nejednačina i njihovih sistema. Međutim, poslednjih godina u sadržaju nastave matematike pojavljuju se nove klase jednačina (nejednačina) i nove funkcionalne metode za njihovo rešavanje. Međutim, zadaci sadržani u testnim materijalima Jedinstvenog državnog ispita (UZE) (tzv. kombinovane jednadžbe), čija rješenja zahtijevaju korištenje samo funkcionalno-grafičke metode, izazivaju poteškoće studentima.

1. Opći teorijski dio

Neka su X i Y dva proizvoljna numerička skupa. Elementi ovih skupova će biti označeni sa x i y, respektivno, i zvati će se promenljive.

Definicija. Numerička funkcija definirana na skupu X i koja uzima vrijednosti u skupu Y naziva se korespondencija (pravilo, zakon) koja svakom x iz skupa X pridružuje jednu i samo jednu vrijednost y iz skupa Y.

Varijabla x naziva se nezavisna varijabla ili argument, a varijabla y je zavisna varijabla. Takođe se kaže da je varijabla y funkcija iz varijable x. Vrijednosti zavisne varijable nazivaju se vrijednostima funkcije.

Uvedeni koncept numeričke funkcije je poseban slučaj opšteg koncepta funkcije kao korespondencije između elemenata dva ili više proizvoljnih skupova.

Neka su X i Y dva proizvoljna skupa.

Definicija. Funkcija definirana na skupu X i koja uzima vrijednosti u skupu Y je korespondencija koja svakom elementu skupa X pridružuje jedan i samo jedan element iz skupa Y.

Definicija. Definirati funkciju znači naznačiti opseg njene definicije i korespondenciju (pravilo) uz pomoć kojih se, s obzirom na vrijednost nezavisne varijable, pronalaze odgovarajuće vrijednosti funkcije.

Postoje dva načina za rješavanje jednadžbi povezanih s konceptom funkcije: grafički I funkcionalan. Poseban slučaj funkcionalne metode je metoda funkcionalan, ili univerzalni zamjene.

Definicija. Rješavanje date jednačine znači pronalaženje skupa svih njenih korijena (rješenja). Skup korijena (rješenja) može biti prazan, konačan ili beskonačan. U narednim poglavljima teorijskog dijela analiziraćemo gore opisane metode rješavanja jednačina, au dijelu „Vježbanje“ pokazaćemo njihovu primjenu u različitim situacijama.

1.1. Grafička metoda.

U praksi, da bi se konstruirao graf nekih funkcija, oni sastavljaju tablicu vrijednosti funkcija za neke vrijednosti argumenata, zatim iscrtavaju odgovarajuće točke na koordinatnoj ravni i uzastopno ih povezuju linijom. Pretpostavlja se da tačke dovoljno precizno pokazuju napredak promjene funkcije.

Definicija. Graf funkcije y = f(x) je skup svih tačaka

(x, f(x) | x https://pandia.ru/text/78/500/images/image024_0.jpg" width="616" height="403">

Tačka presjeka grafova ima koordinate (0,5; 0). dakle, x=0,5

odgovor: x=0,5

Primjer 2.

10| sinx|=10|cosx|-1

Ova jednačina se može racionalno riješiti grafičko-analitičkom metodom.

Pošto je 10>1, ova jednadžba je ekvivalentna sljedećem:

Točke sjecišta grafova imaju koordinate ();. Stoga x=.

odgovor: x=

1.2. Funkcionalna metoda

Ne može se svaka jednadžba oblika f(x)=g(x) kao rezultat transformacija svesti na jednadžbu jednog ili drugog standardnog oblika, za koju su prikladne konvencionalne metode rješenja. U takvim slučajevima ima smisla koristiti takva svojstva funkcija f(x) i g(x) kao što su monotonost, ograničenost, parnost, periodičnost, itd. Dakle, ako se jedna od funkcija povećava, a druga smanjuje u određenom intervalu , tada jednačina f(x) = g(x) ne može imati više od jednog korijena, koji se u principu može naći odabirom. Nadalje, ako je funkcija f(x) ograničena odozgo, a funkcija g(x) ograničena odozdo tako da je f(x) swing=A g(x) min=A, tada je jednadžba f(x)=g(x) ekvivalentna sistemu jednačina

Također, kada se koristi funkcionalna metoda, racionalno je koristiti neke od dolje navedenih teorema. Da bismo ih dokazali i iskoristili, potrebne su sljedeće opće jednadžbe:

(2)

Teorema 1. Korijeni jednačine (1) su korijeni jednačine (2).

Teorema 2. Ako je f(x) rastuća funkcija na intervalu a

Posljednja teorema daje korolar koji se također koristi u rješenjima:

Zaključak 1. Ako f(x) raste u cijelom svom domenu definicije, tada su na datom intervalu jednačine (1) i (2) ekvivalentne. Ako f(x) opada u cijelom svom domenu definicije, n je neparno, tada su na datom intervalu jednadžbe (1) i (2) ekvivalentne.

Teorema 3. Ako su u jednačini f(x)=g(x) za bilo koji dopušteni x ispunjeni uslovi f(x)≥a, g(x)≤a, gdje je a neki realan broj, tada je data jednadžba ekvivalentna sistem

Zaključak 2. Ako je u jednačini f(x)+g(x)=a+b za bilo koji dopušteni x f(x)≤a, g(x)≤b, tada je ova jednadžba ekvivalentna sistemu

Funkcionalna metoda za rješavanje jednačina se često koristi u kombinaciji sa grafičkom, jer se obje ove metode zasnivaju na istim svojstvima funkcija. Ponekad se naziva kombinacija ovih metoda grafičko-analitičke metoda.

Primjer 1.

coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image033_3.gif" width="64" height="41 src=">≤1 x2+1≥1 =>

coshttps://pandia.ru/text/78/500/images/image035_3.gif" width="121" height="48">

=> x=π, na k=0

odgovor: x=π

1.3. Metoda funkcionalne supstitucije

Poseban slučaj funkcionalne metode je metoda funkcionalne zamjene - možda najčešća metoda za rješavanje složenih problema u matematici. Suština metode je uvođenje nove varijable y=ƒ(x), čija upotreba dovodi do jednostavnijeg izraza. Poseban slučaj funkcionalne supstitucije je trigonometrijska supstitucija.

Trigonometrijska jednadžba oblika

R(greh kx,cos nx, tg mx,ctg lx) = 0 (3)

gdje je R racionalna funkcija, k,n,m,l OZ, koristeći trigonometrijske formule za dvostruke i trostruke argumente, kao i formule za sabiranje, može se svesti na racionalnu jednadžbu za argumente sin x,cos x, tg x,ctg x, nakon čega se jednačina (3) može svesti na racionalnu jednačinu za t=tg( x/2) korišćenjem univerzalnih trigonometrijskih supstitucijskih formula

2tg(x/2) 1-tg²(x/2)

Sin x=cos x=

1+tg²(x/2) 1+tg²(x/2)

2tg(x/2) 1-tg²(x/2)

Tg x=ctg x=

1-tg²(x/2) 2tg(x/2)

Treba napomenuti da upotreba formula (4) može dovesti do sužavanja OD originalne jednadžbe, budući da tan(x/2) nije definiran u tačkama x=π+2πk, kÎZ, stoga u takvim slučajevima potrebno je provjeriti da li su uglovi x=π+ 2πk, kÎZ korijeni izvorne jednadžbe.

Primjer 1.

grijeh x+√2-sin² x+ sin x√2-sin² x = 3

Neka je sada r = u+v i s=uv, pa iz sistema jednačina to slijedi

Pošto je u = sin x i u = 1, onda sin x= 1 i x = π/2+2πk, kO Z

odgovor: x = π/2+2πk, kOZ

Primjer 2.

5 grijeh x-5 tg x

+4(1- cos x)=0

grijeh x+ tg x

Ova jednačina se može racionalno riješiti metodom funkcionalne zamjene.

Od tg x nije definisano na x = π/2+πk, kO Z, i grijeh x+tg x=0 na x = πk, kO Z, tada su uglovi x = πk/2, kO Z nisu uključene u ODZ jednačine.

Koristimo formule za tangentu poluugla i označavamo t=tg( x/2), a prema uslovima zadatka t≠0;±1, onda dobijamo

https://pandia.ru/text/78/500/images/image055_2.gif" width="165"> +4 1- =0

Pošto je t≠0;±1, ova jednačina je ekvivalentna jednačini

5t² + = 0 ó-5-5t² + 8 = 0

odakle je t = ± ..gif" width="27" height="47"> +2πk, kÎ Z

Primjer 3.

tg x+ ctg x+ tg²x+ ctg²x+ tg³x+ ctg³x=6

Ova jednačina se može racionalno riješiti metodom funkcionalne zamjene.

Neka je y=tg x+ctg x, zatim tg² x+ctg² x=y²-2, tg³ x+ctg³ x=y³-3y

Od tg x+ctg x=2, tada tg x+1/ tg x=2. Iz toga slijedi da je tg x=1 i x = π/4+πk, kO Z

odgovor: x = π/2+2πk, kO Z

2. Rješavanje jednadžbi i nejednačina korištenjem svojstava funkcija uključenih u njih

2. 1. Upotreba ODZ-a.

Ponekad vam poznavanje ODZ-a omogućava da dokažete da jednačina (ili nejednačina) nema rješenja, a ponekad vam omogućava da pronađete rješenja jednadžbe (ili nejednakosti) direktnom zamjenom brojeva iz ODZ-a.

Primjer 1. Riješite jednačinu

Rješenje. ODZ ove jednačine se sastoji od svih x koji istovremeno zadovoljavaju uslove 3-x0 i x-3>0, odnosno ODZ je prazan skup. Time je rješenje jednačine završeno, jer je utvrđeno da niti jedan broj ne može biti rješenje, odnosno da jednačina nema korijena.

Odgovor: nema rješenja.

Primjer 2. Riješite jednačinu

(1)

Rješenje. ODZ ove jednadžbe se sastoji od svih x koji istovremeno zadovoljavaju uslove, odnosno ODZ je Zamjenom ovih vrijednosti x u jednačinu (1) nalazimo da su joj lijeva i desna strana jednake 0, što znači da sve https://pandia.ru/ text/78/500/images/image065_2.gif" width="93 height=21" height="21">

Primjer 3. Riješite nejednakost

Rješenje. ODZ nejednakosti (2) sastoji se od svih x koji istovremeno zadovoljavaju uslove odnosno ODZ se sastoji od dva broja i . Zamjenom u nejednačinu (2) nalazimo da je njegova lijeva strana jednaka 0, desna jednaka https://pandia.ru/text/78/500/images/image070_1.gif" width="53" visina ="23">. gif" width="117 height=41" height="41">.

Odgovor: x=1.

Primjer 4. Riješite nejednakost

(3)

Rješenje. ODZ nejednakosti (3) je sve x koje zadovoljava uslov 0<х1. Ясно, что х=1 не является решением неравенства (3). Для х из промежутка 0

Odgovor: 0

Primjer 5. Riješite nejednakost

Rješenje..gif" width="73" height="19"> i .

Za x iz intervala https://pandia.ru/text/78/500/images/image082_1.gif" width="72" height="24 src=">.gif" width="141 height=24" visina = "24"> na ovom intervalu, pa stoga nejednačina (4) nema rješenja na ovom intervalu.

Neka x pripada intervalu, zatim https://pandia.ru/text/78/500/images/image087_1.gif" width="141 height=24" height="24"> za takav x, i, prema tome, na U ovom intervalu nejednačina (4) također nema rješenja.

Dakle, nejednakost (4) nema rješenja.

Odgovor: nema rješenja.

Bilješke.

Prilikom rješavanja jednadžbi nije potrebno pronaći ODZ. Ponekad je lakše preći na istragu i provjeriti pronađene korijene. Prilikom rješavanja nejednačina ponekad je moguće ne pronaći ODZ, već riješiti nejednakost prelaskom na ekvivalentni sistem nejednačina, u kojem ili jedna od nejednačina nema rješenja, ili poznavanje njenog rješenja pomaže u rješavanju sistema nejednačina .

Primjer 6. Riješite nejednakost

Rješenje. Pronalaženje ODZ nejednakosti nije lak zadatak, pa ćemo to učiniti drugačije. Nejednakost (5) je ekvivalentna sistemu nejednakosti

(6)

Treća nejednakost ovog sistema je ekvivalentna nejednakosti koja nema rješenja. Shodno tome, sistem nejednačina (6) nema rješenja, što znači da nejednakost (5) nema rješenja.

Odgovor: nema rješenja.

Primjer 7. Riješite nejednakost

. (7)

Rješenje. Pronalaženje ODZ nejednakosti (7) je težak zadatak. Stoga, uradimo stvari drugačije. Nejednakost (7) je ekvivalentna sistemu nejednakosti

(8)

Treća nejednačina ovog sistema ima rješenja za sve x iz intervala -1

2.2. Iskorištavanje ograničene funkcionalnosti.

Prilikom rješavanja jednadžbi i nejednačina, svojstvo funkcije da je ograničena ispod ili iznad na određenom skupu često igra odlučujuću ulogu.

Na primjer, ako su za sve x iz nekog skupa M tačne sljedeće nejednakosti: f(x)>A i g(x)

Imajte na umu da ulogu broja A često igra nula; u ovom slučaju kažu da je sačuvan predznak funkcija f(x) i g(x) na skupu M.

Primjer 1. Riješite jednačinu

Rješenje..gif" width="191" height="24 src="> Kako za bilo koju vrijednost x lijeva strana jednačine ne prelazi jedan, a desna uvijek nije manja od dva, onda ova jednačina ima nema rješenja.

Odgovor: nema rješenja.

Primjer 2. Riješite jednačinu

(9)

Rješenje. Očigledno je da su x=0, x=1, x=-1 rješenja jednadžbe (9)..gif" width="36" height="19">, jer ako je njeno rješenje, onda je (-) takođe njegova odluka.

Podijelimo skup x>0, , na dva intervala (0;1) i (1;+∞).

Prepišimo jednačinu (9) u obliku https://pandia.ru/text/78/500/images/image103_1.gif" width="104" height="28">.gif" width="99" height= "25 src=">samo pozitivne. Prema tome, na ovom intervalu jednačina (9) nema rješenja.

Neka x pripada intervalu (1;+∞). Za svaku od ovih vrijednosti x funkcija uzima pozitivne vrijednosti, funkcija https://pandia.ru/text/78/500/images/image105_1.gif" width="99" height="25 src="> nije pozitivna. Dakle, na ovom intervalu, jednačina (9) nema rješenja.

Ako je x>2, onda , a to znači da na intervalu (2;+∞) jednadžba (9) također nema rješenja.

Dakle, x=0, x=1 i x=-1 i samo su to rješenja originalne jednačine.

odgovor:

Primjer 3. Riješite nejednakost

Rješenje. ODZ nejednakosti (10) je sve realno x, osim x=-1. Podijelimo ODZ u tri skupa: -∞<х<-1, -1

Neka -∞<х<-1..gif" width="93" height="24 src=">. Posljedično, svi ovi x su rješenja nejednakosti (10).

Neka -1 , A . Prema tome, nijedan od ovih x nije rješenje nejednakosti (10).

Neka je 0 , A . Posljedično, svi ovi x su rješenja nejednakosti (10).

Odgovor: -∞<х<-1; 0

Primjer 4. Riješite jednačinu

(11)

Rješenje. Označimo preko f(x). Iz definicije apsolutne vrijednosti slijedi da je f(x)= na , https://pandia.ru/text/78/500/images/image120_1.gif" width="84" height="41 src=">. gif" width="43" height="41 src=">. Dakle, ako je , onda se jednadžba (11) može prepisati u obliku , odnosno u obliku ..gif" width="53" height="41"> zadovoljavaju samo . Ako je , tada se jednačina (11) može prepisati kao https://pandia.ru/text/78/500/images/image128_0.gif" width="73 height=41" height="41">. Ova jednačina ima rješenja . Od ovih x vrijednosti, samo .

Razmotrimo x iz intervala . Na ovom intervalu, jednadžba (11) se može prepisati u obliku , odnosno u obliku

Jasno je da je x = 0 rješenje jednadžbe (12), a samim tim i originalne jednačine..gif" width="39" height="19"> jednačina (12) je ekvivalentna jednadžbi

Za bilo koju vrijednost , funkcija uzima samo pozitivne vrijednosti, pa jednadžba (12) nema rješenja na skupu .

Odgovor: x=0, ; https://pandia.ru/text/78/500/images/image139_0.gif" width="211" height="41">. (13)

Rješenje. Neka postoji rješenje jednačine (13), tada vrijedi sljedeća jednakost: (14)

i nejednakosti https://pandia.ru/text/78/500/images/image142_1.gif" width="68" height="27 src=">. Iz valjanosti nejednakosti dobijamo da je lijeva strana jednakosti (14) ima isti predznak kao , To jest, isti predznak kao , i desna strana je isti predznak kao , ali budući da i zadovoljavaju jednakost (14), imaju iste predznake.

Prepišimo jednakost (14) u obliku

https://pandia.ru/text/78/500/images/image147_0.gif" width="284" height="24">

Prepišimo jednakost (15) u obliku

Pošto imaju iste predznake, onda ..gif" width="95" height="24">. (17)

Očigledno je da je svako rješenje jednačine (17) rješenje jednačine (13). Prema tome, jednačina (13) je ekvivalentna jednačini (17). Rješenja jednačine (17) su , oni i samo oni su rješenja jednadžbe (13).

odgovor:

Komentar. Kao iu primjeru 5, može se dokazati da je jednadžba.

gdje su n, m bilo koji prirodni brojevi, ekvivalentno je jednadžbi, a zatim riješite ovu jednostavniju jednačinu.

2. 3. Korištenje monotonosti funkcije.

Rješavanje jednačina i nejednačina korištenjem svojstva monotonosti zasniva se na sljedećim tvrdnjama.

Neka je f(x) kontinuirana i strogo monotona funkcija na intervalu L, tada jednadžba f(x)=C, gdje je C data konstanta, može imati najviše jedno rješenje na intervalu L. Neka f(x) i g(x) su kontinuirane funkcije na intervalu L, f(x) striktno raste, a g(x) striktno opada na ovom intervalu, tada jednadžba f(x)=g(x) može imati najviše jedno rješenje na interval L.

Imajte na umu da interval L može biti beskonačan interval (-∞; +∞), polubeskonačan interval (a; +∞), (-∞; a), [a; +∞), (-∞; a], segmenti, intervali i poluintervali.

Primjer 1. Riješite jednačinu

(18)

Rješenje. Očigledno, od tada x0 ne može biti rješenje jednačine (18). . Za funkciju x>0 kontinuirano i striktno rastuće, kao proizvod dvije kontinuirane pozitivne striktno rastuće funkcije f=x i https://pandia.ru/text/78/500/images/image157_0.gif" width="119" height="34" > uzima svaku svoju vrijednost u tačno jednoj tački. Lako je vidjeti da je x=1 rješenje jednadžbe (18), dakle, ovo je njeno jedino rješenje.

Odgovor: x=1.

Primjer 2. Riješite nejednakost

. (19)

Rješenje. Svaka od funkcija , , je kontinuirana i striktno rastuća na cijeloj osi. To znači da je originalna funkcija ista . Lako je vidjeti da je za x=0 funkcija uzima vrijednost 3. Zbog kontinuiteta i stroge monotonosti ove funkcije za x>0 imamo , na x<0 имеем . Prema tome, rješenja nejednakosti (19) su sva x<0.

Odgovor: -∞

Primjer 3. Riješite jednačinu

(20)

Rješenje. Opseg dozvoljenih vrijednosti jednačine (20) je interval . O rasponu važećih vrijednosti funkcije I su kontinuirane i striktno opadajuće, dakle, funkcija je kontinuirana i opadajuća. Dakle, funkcija h(x) uzima svaku vrijednost samo u jednoj tački. Pošto je h(2)=2, tada je x=2 jedini korijen originalne jednadžbe.

Odgovor: x=2.

Primjer 4. Riješite nejednakost

Rješenja... gif" width="95" height="25 src="> prikazana su na slici 7. Iz slike slijedi da za sve x iz ODZ vrijedi nejednakost (26).

Dokažimo to. Za svaki imamo , i za svaki takav x imamo da https://pandia.ru/text/78/500/images/image211_1.gif" width="63 height=23" height="23"> mi imati . Prema tome, rješenja nejednakosti (26) će biti sva x iz intervala [-1;1].

Primjer 2. Riješite jednačinu

. (27)

Rješenje..gif" width="123" height="24"> i prikazani su na slici 8. Nacrtajmo pravu liniju y=2. Iz slike proizlazi da graf funkcije f(x) nije niži od ove linije, a graf funkcije g(x) ne više. Štaviše, ovi grafovi dodiruju pravu liniju y=2 u različitim tačkama. Dakle, jednačina nema rješenja. Dokažimo to. Za svaki imamo , a . U ovom slučaju, f(x)=2 samo za x=-1, a g(x)=2 samo za x=0. To znači da jednačina (27) nema rješenja.

Odgovor: nema rješenja.

Primjer 3. Riješite jednačinu

. (28)

Rješenje..gif" width="95" height="25 src="> prikazani su na slici 9. Lako je provjeriti da je tačka (-1; -2) presječna tačka grafova funkcija f( x) i g(x), odnosno x=-1 je rješenje jednadžbe (28). Povučemo pravu liniju y=x-1. Sa slike slijedi da se nalazi između grafika funkcija y=f(x) i y=g(x) Ovo zapažanje pomaže da se dokaže da jednačina (28) nema drugih rješenja.

Da bismo to učinili, dokazujemo da su x iz intervala (-1; +∞) nejednakosti i , a za x iz intervala (-∞; -1) nejednakosti https://pandia.ru/text/78/500 /images/image229_1 .gif" width="89" height="21 src=">. Očigledno, nejednakost vrijedi za x>-1, a nejednakost https://pandia.ru/text/78/500/ images/image228_1.gif" width="93" height="24">..gif" width="145" height="25">. Sva rješenja ove nejednakosti su x<-1. Точно так же показывается, что решениями неравенства являются все х>-1.

Posljedično, tražena tvrdnja je dokazana, a jednačina (28) ima jedan korijen x=-1.

Odgovor: x=-1.

Primjer 4. Riješite nejednakost

. (29)

Rješenje..gif" width="39" height="19 src=">, odnosno ODZ se sastoji od tri razmaka, , https://pandia.ru/text/78/500/images/image234_1.gif" width= "52" height="41">, je ekvivalentno nejednakosti

, (30)

a u području x>0 to je ekvivalentno nejednakosti

. (31)

Skice grafova funkcija i prikazani su na slici 10..gif" width="56" height="45"> i .

Dakle, nejednakost (31) nema rješenja, a nejednakost (30) će imati rješenja za sve x iz intervala .

Dokažimo to.

A) Neka . Nejednakost (29) je ekvivalentna nejednakosti (30) na ovom intervalu. Lako je vidjeti da za svaki x iz ovog intervala vrijede nejednakosti

,

.

Prema tome, nejednakost (30), a uz nju i originalna nejednakost (29), nemaju rješenja na intervalu .

B) Neka . Tada je nejednakost (29) također ekvivalentna nejednakosti (30). Za svaki x iz ovog intervala

,

Prema tome, svaki takav x je rješenje nejednakosti (30), a time i originalne nejednakosti (29).

C) Neka je x>0. Na ovom skupu, originalna nejednakost je ekvivalentna nejednakosti (31). Očigledno, za bilo koji x iz ovog skupa su tačne sljedeće nejednakosti:

,

Ovo implicira:

1) nejednačina (31) nema rješenja na skupu gdje , odnosno nejednakost (31) nema rješenja na skupu ;

2) nejednakost (31) nema rješenja na skupu gdje https://pandia.ru/text/78/500/images/image253_1.gif" width="60" height="19"> Ostaje pronaći rješenja za nejednakost (31 ) koji pripada intervalu 1