Geometrijske transformacije grafova funkcija tablice. Transformiranje grafova trigonometrijskih funkcija

Hipoteza: Ako proučavate kretanje grafa tokom formiranja jednadžbe funkcija, tada možete vidjeti da svi grafovi poštuju opšti obrasci stoga je moguće formulisati opšte zakone bez obzira na funkcije, što će ne samo olakšati konstrukciju grafova različitih funkcija, već ih koristiti i u rešavanju problema.

Svrha: Proučiti kretanje grafova funkcija:

1) Zadatak proučavanja književnosti

2) Naučite graditi grafove različitih funkcija

3) Naučite kako pretvoriti grafikone linearne funkcije

4) Razmotriti upotrebu grafova u rješavanju problema

Predmet proučavanja: Grafovi funkcija

Predmet istraživanja: Kretanja grafova funkcija

Relevantnost: Konstrukcija grafova funkcija u pravilu oduzima dosta vremena i zahtijeva pažnju učenika, ali poznavajući pravila za transformaciju grafova funkcija i grafova osnovnih funkcija, možete brzo i jednostavno izgraditi grafove funkcija, što će omogućiti ne samo da izvršavate zadatke za crtanje grafova funkcija, već i rješavate povezane probleme (da biste pronašli maksimum (minimalna visina vremena i tačka susreta))

Ovaj projekat je koristan svim učenicima škole.

Pregled literature:

U literaturi se razmatraju načini konstruisanja grafova različitih funkcija, kao i primeri transformacije grafova ovih funkcija. U različitim tehničkim procesima koriste se grafovi gotovo svih glavnih funkcija, što omogućava jasnije predočenje toka procesa i programiranje rezultata

Trajna funkcija. Ova funkcija je data formulom y = b, gdje je b neki broj. raspored stalna funkcija je prava linija paralelna sa x-osi i koja prolazi kroz tačku (0; b) na y-osi. Grafikon funkcije y \u003d 0 je apscisa osa.

Vrste funkcija 1 Direktna proporcionalnost. Ova funkcija je data formulom y \u003d kx, gdje je koeficijent proporcionalnosti k ≠ 0. Grafikon direktne proporcionalnosti je prava linija koja prolazi kroz ishodište.

Linearna funkcija. Takva funkcija je data formulom y = kx + b, gdje su k i b realni brojevi. Grafikon linearne funkcije je prava linija.

Grafovi linearne funkcije mogu se sijecati ili biti paralelni.

Dakle, linije grafova linearnih funkcija y = k 1 x + b 1 i y = k 2 x + b 2 sijeku se ako je k 1 ≠ k 2; ako je k 1 = k 2 , tada su prave paralelne.

2 Inverzna proporcionalnost je funkcija koja je data formulom y \u003d k / x, gdje je k ≠ 0. K se naziva koeficijent inverzna proporcionalnost. Graf inverzne proporcionalnosti je hiperbola.

Funkcija y \u003d x 2 predstavljena je grafom koji se naziva parabola: na intervalu [-~; 0] funkcija se smanjuje, u intervalu funkcija raste.

Funkcija y \u003d x 3 raste duž cijele brojevne linije i grafički je predstavljena kubičnom parabolom.

Funkcija napajanja sa prirodni pokazatelj. Ova funkcija je data formulom y \u003d x n, gdje je n prirodni broj. Grafovi funkcija snage sa prirodnim eksponentom zavisi od n. Na primjer, ako je n = 1, onda će graf biti prava linija (y = x), ako je n = 2, onda će graf biti parabola, itd.

Funkcija snage s cijelim brojem negativan indikator predstavljen formulom y = x -n, gdje je n prirodni broj. Ova funkcija je definirana za sve x ≠ 0. Grafikon funkcije također ovisi o eksponentu n.

Funkcija napajanja s pozitivnim frakcioni indikator. Ova funkcija je predstavljena formulom y \u003d x r, gdje je r pozitivan nesvodljivi razlomak. Ova funkcija također nije ni parna ni neparna.

Grafička linija koja prikazuje odnos zavisnih i nezavisnih varijabli na koordinatnoj ravni. Grafikon služi za vizuelni prikaz ovih elemenata.

Nezavisna varijabla je varijabla koja može poprimiti bilo koju vrijednost u opsegu funkcije (gdje datu funkciju ima smisla (ne može se podijeliti sa nulom)

Da nacrtate graf funkcije,

1) Pronađite ODZ (opseg prihvatljivih vrijednosti)

2) uzeti neke proizvoljne vrijednosti za nezavisnu varijablu

3) Pronađite vrijednost zavisne varijable

4) Izgradite koordinatna ravan označite ove tačke na njemu

5) Povežite njihove linije ako je potrebno, istražite dobijeni graf Transformacija grafova elementarnih funkcija.

Graph Conversion

AT čista forma osnovne elementarne funkcije susrećemo se, nažalost, ne tako često. Mnogo je vjerojatnije da se nosi s tim elementarne funkcije dobijene od osnovnih elementarnih zbrajanja konstanti i koeficijenata. Grafovi takvih funkcija mogu se izgraditi primjenom geometrijskih transformacija na grafove odgovarajućih osnovnih elementarnih funkcija (ili idite na novi sistem koordinate). Na primjer, formula kvadratne funkcije je kvadratna parabola formula komprimirana tri puta u odnosu na os ordinate, simetrično prikazana u odnosu na osu apscise, pomaknuta u odnosu na smjer ove ose za 2/3 jedinice i pomaknuta duž smjera ordinatne ose za 2 jedinice.

Hajde da razumemo ove geometrijske transformacije grafa funkcije korak po korak koristeći konkretne primere.

Uz pomoć geometrijskih transformacija grafa funkcije f (x) može se konstruirati graf bilo koje funkcije formule oblika, gdje je formula koeficijenti kompresije ili proširenja duž osi oy i ox, minus znaci ispred formule i formule koeficijenata označavaju simetričan prikaz grafa u odnosu na koordinatne ose, a i b definiraju pomak u odnosu na osu apscise i ordinate.

Dakle, postoje tri tipa geometrijskih transformacija grafa funkcija:

Prvi tip je skaliranje (kompresija ili ekspanzija) duž apscisa i ordinatne osi.

Potreba za skaliranjem je naznačena koeficijentima formule koji nisu jedan, ako je broj manji od 1, tada se graf komprimuje u odnosu na oy i rasteže u odnosu na ox, ako je broj veći od 1, onda se protežemo duž ordinatne osi i skupljaju se duž ose apscise.

Drugi tip je simetričan (zrcalni) prikaz u odnosu na koordinatne ose.

Potreba za ovom transformacijom je naznačena predznacima minus ispred koeficijenata formule (u ovom slučaju graf prikazujemo simetrično u odnosu na os vola) i formule (u ovom slučaju graf prikazujemo simetrično sa u odnosu na os y). Ako nema znakova minusa, ovaj korak se preskače.

Sažetak časa algebre i početak analize u 10. razredu

na temu: „Konverzija grafikona trigonometrijske funkcije»

Svrha lekcije: sistematizirati znanje na temu "Svojstva i grafovi trigonometrijskih funkcija y = sin (x), y = cos (x)".

Ciljevi lekcije:

ponovite svojstva trigonometrijskih funkcija y = sin (x), y = cos (x);
ponovite formule redukcije;
konverzija grafova trigonometrijskih funkcija;
razvijaju pažnju, pamćenje, logičko razmišljanje; aktivirati mentalna aktivnost sposobnost analize, generalizacije i rasuđivanja;
vaspitanje marljivosti, marljivosti u postizanju cilja, interesovanja za predmet.

Oprema za nastavu: ikt

Vrsta lekcije: učenje novog

Tokom nastave

Prije lekcije, 2 učenika na tabli grade grafikone od svojih domaćih zadataka.

Vrijeme organizacije:

Zdravo momci!

Danas ćemo u lekciji pretvoriti grafove trigonometrijskih funkcija y = sin (x), y = cos (x).

Usmeni rad:

Provjera domaćeg.

rješavanje zagonetki.

Učenje novog gradiva

Sve transformacije grafova funkcija su univerzalne - pogodne su za sve funkcije, uključujući i trigonometrijske. Ovdje se ograničavamo na kratak podsjetnik na glavne transformacije grafova.

Transformacija grafova funkcija.

Zadana je funkcija y = f (x). Počinjemo graditi sve grafove od grafa ove funkcije, a zatim izvodimo akcije s njom.

Funkcija

Šta raditi sa rasporedom

y = f(x) + a

Sve tačke prvog grafa podižemo za jedinicu gore.

y = f(x) – a

Sve tačke prvog grafikona su spuštene za jedinicu naniže.

y = f(x + a)

Sve tačke prvog grafa pomeramo za jedinicu ulevo.

y = f (x - a)

Sve tačke prvog grafa pomeramo za jedinicu udesno.

y = a*f(x),a>1

Popravljamo nule na mjestu, gornje tačke pomjeramo više puta, donje spuštamo niže za puta.

Grafikon će se "protezati" gore-dole, nule ostaju na mestu.

y = a*f(x), a<1

Popravljamo nule, gornje tačke će se spustiti jednom, donje će porasti puta. Grafikon će se "smanjiti" na x-osu.

y=-f(x)

Preslikajte prvi graf oko x-ose.

y = f(ax), a<1

Fiksirajte tačku na y-osi. Svaki segment na x-osi se povećava za puta. Grafikon će se protezati od y-ose u različitim smjerovima.

y = f(ax), a>1

Fiksirajte tačku na osi ordinata, svaki segment na osi apscise se smanjuje za puta. Grafikon će se "smanjiti" na y-osu s obje strane.

y= | f(x)|

Dijelovi grafikona koji se nalaze ispod x-ose su preslikani. Cijeli graf će se nalaziti u gornjoj poluravni.

Sheme rješenja.

1)y = sin x + 2.

Gradimo graf y = sin x. Svaku tačku grafikona podižemo za 2 jedinice (i nule).

2)y = cos x - 3.

Gradimo graf y = cos x. Svaku tačku grafikona spuštamo za 3 jedinice.

3)y = cos (x - /2)

Gradimo graf y = cos x. Sve tačke n/2 pomeramo udesno.

4) y = 2 sin x .

Gradimo graf y = sin x. Ostavljamo nule na mjestu, podižemo gornje tačke 2 puta, spuštamo donje za isti iznos.

PRAKTIČNI RAD Iscrtavanje trigonometrijskih funkcija pomoću programa Advanced Grapher.

Nacrtajmo funkciju y = -cos 3x + 2.

Nacrtajmo funkciju y = cos x.
Odrazite ga oko x-ose.
Ovaj graf mora biti komprimiran tri puta duž x-ose.
Konačno, takav graf mora biti podignut za tri jedinice duž y-ose.

y = 0,5 sin x.

y=0,2 cos x-2

y = 5 cos 0 .5 x

y=-3sin(x+π).

2) Pronađite grešku i ispravite je.

V. Istorijska građa. Eulerova poruka.

Leonhard Ojler je najveći matematičar 18. veka. Rođen u Švicarskoj. Dugi niz godina živi i radi u Rusiji, član Akademije u Sankt Peterburgu.

Zašto bismo trebali znati i zapamtiti ime ovog naučnika?

Do početka 18. stoljeća trigonometrija je još uvijek bila nedovoljno razvijena: nije bilo simbola, formule su bile ispisane riječima, bilo ih je teško asimilirati, nejasno je bilo i pitanje znakova trigonometrijskih funkcija u različitim četvrtima kruga, samo su uglovi ili lukovi shvaćeni kao argument trigonometrijske funkcije. Tek u djelima Eulera trigonometrija je dobila moderan izgled. Upravo je on počeo razmatrati trigonometrijsku funkciju broja, tj. argument je postao shvaćen ne samo kao lukovi ili stepeni, već i kao brojevi. Ojler je sve trigonometrijske formule izveo iz nekoliko osnovnih, pojednostavio pitanje znakova trigonometrijske funkcije u različitim četvrtima kruga. Za označavanje trigonometrijskih funkcija uveo je simbole: sin x, cos x, tg x, ctg x.

Na pragu 18. stoljeća pojavio se novi pravac u razvoju trigonometrije - analitički. Ako se prije toga glavnim ciljem trigonometrije smatralo rješenje trokuta, onda je Ojler trigonometriju smatrao naukom o trigonometrijskim funkcijama. Prvi dio: doktrina funkcije je dio opće doktrine funkcija, koja se proučava u matematičkoj analizi. Drugi dio: rješenje trouglova - poglavlje geometrije. Takve inovacije je napravio Euler.

VI. Ponavljanje

Samostalni rad "Dodaj formulu."

VII. Sažetak lekcije:

1) Šta ste novo naučili na lekciji danas?

2) Šta još želite da znate?

3) Ocjenjivanje.

Tekst rada je postavljen bez slika i formula.
Puna verzija rada dostupna je na kartici "Job Files" u PDF formatu

Uvod

Transformacija grafova funkcije jedan je od osnovnih matematičkih pojmova koji se direktno odnose na praktične aktivnosti. Transformacija grafova funkcija prvi put se susreće u 9. razredu algebre prilikom proučavanja teme "Kvadratna funkcija". Kvadratna funkcija se uvodi i proučava u bliskoj vezi s kvadratnim jednadžbama i nejednačinama. Također, mnogi matematički koncepti se razmatraju grafičkim metodama, na primjer, u razredima 10-11, proučavanje funkcije omogućava pronalaženje domene definicije i opsega funkcije, područja smanjenja ili povećanja, asimptota, intervali konstantnog predznaka itd. Ovo važno pitanje postavlja se i GIA. Iz toga proizlazi da je konstrukcija i transformacija grafova funkcija jedan od glavnih zadataka nastave matematike u školi.

Međutim, za iscrtavanje mnogih funkcija može se koristiti niz metoda za olakšavanje konstrukcije. Gore navedeno definiše relevantnost istraživačke teme.

Predmet proučavanja je studija transformacije grafova u školskoj matematici.

Predmet studija - proces konstruisanja i transformacije grafova funkcija u srednjoj školi.

problem pitanje: da li je moguće izgraditi graf nepoznate funkcije, imajući vještinu transformacije grafova elementarnih funkcija?

Cilj: crtanje funkcije u nepoznatoj situaciji.

Zadaci:

1. Analizirati edukativni materijal o problemu koji se proučava. 2. Identifikujte šeme za transformaciju grafova funkcija u školskom kursu matematike. 3. Izaberite najefikasnije metode i alate za konstruisanje i pretvaranje grafova funkcija. 4. Biti sposoban primijeniti ovu teoriju u rješavanju problema.

Potrebna osnovna znanja, vještine, sposobnosti:

Odredite vrijednost funkcije pomoću vrijednosti argumenta na različite načine specificiranja funkcije;

Izgraditi grafove proučavanih funkcija;

Opišite ponašanje i svojstva funkcija iz grafa i, u najjednostavnijim slučajevima, iz formule pronađite najveću i najmanju vrijednost iz grafa funkcije;

Opisi uz pomoć funkcija raznih zavisnosti, njihovo grafičko predstavljanje, interpretacija grafova.

Glavni dio

Teorijski dio

Kao početni graf funkcije y = f(x), izabrat ću kvadratnu funkciju y=x 2 . Razmotrit ću slučajeve transformacije ovog grafa povezane s promjenama u formuli koja definira ovu funkciju i izvući zaključke za bilo koju funkciju.

1. Funkcija y = f(x) + a

U novoj formuli, vrijednosti funkcije (koordinate tačaka grafikona) se mijenjaju brojem a, u poređenju sa "starom" vrijednošću funkcije. Ovo dovodi do paralelnog prevođenja grafa funkcije duž ose OY:

gore ako je a > 0; dolje ako a< 0.

ZAKLJUČAK

Dakle, graf funkcije y=f(x)+a dobija se iz grafa funkcije y=f(x) pomoću paralelnog prevođenja duž y-ose za jedinice gore ako je a > 0, i pomoću a jedinica pada ako a< 0.

2. Funkcija y = f(x-a),

U novoj formuli, vrijednosti argumenata (apscise tačaka grafikona) se mijenjaju brojem a, u poređenju sa "starom" vrijednošću argumenata. To dovodi do paralelnog prijenosa grafa funkcije duž ose OX: udesno ako je< 0, влево, если a >0.

ZAKLJUČAK

Dakle, graf funkcije y= f(x - a) se dobija iz grafa funkcije y=f(x) paralelnim prevođenjem duž ose apscise za jedinice ulevo ako je a > 0, i za jedinice na desno ako a< 0.

3. Funkcija y = k f(x), gdje je k > 0 i k ≠ 1

U novoj formuli, vrijednosti funkcije (koordinate tačaka grafikona) se mijenjaju k puta u odnosu na "staru" vrijednost funkcije. To dovodi do: 1) "istezanja" od tačke (0; 0) duž ose OY za k puta, ako je k > 1, 2) "kompresije" do tačke (0; 0) duž ose OY za faktor od 0, ako je 0< k < 1.

ZAKLJUČAK

Stoga: da biste izgradili graf funkcije y = kf(x), gdje je k > 0 i k ≠ 1, trebate pomnožiti ordinate tačaka datog grafa funkcije y = f(x) sa k. Takva transformacija se naziva rastezanje od tačke (0; 0) duž ose OY za k puta ako je k > 1; kontrakcija do tačke (0; 0) duž ose OY za faktor ako je 0< k < 1.

4. Funkcija y = f(kx), gdje je k > 0 i k ≠ 1

U novoj formuli, vrijednosti argumenta (apscisa tačaka grafikona) se mijenjaju k puta u odnosu na "staru" vrijednost argumenta. To dovodi do: 1) “istezanja” od tačke (0; 0) duž ose OX za 1/k puta ako je 0< k < 1; 2) «сжатию» к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

ZAKLJUČAK

I tako: da biste napravili graf funkcije y = f(kx), gdje je k > 0 i k ≠ 1, trebate pomnožiti apscise tačaka datog grafa funkcije y=f(x) sa k . Takva transformacija se naziva rastezanjem od tačke (0; 0) duž ose OX za 1/k puta ako je 0< k < 1, сжатием к точке (0; 0) вдоль оси OX. в k раз, если k > 1.

5. Funkcija y = - f (x).

U ovoj formuli, vrijednosti funkcije (koordinate tačaka grafikona) su obrnute. Ova promjena rezultira simetričnim prikazom originalnog grafa funkcije oko x-ose.

ZAKLJUČAK

Da biste napravili graf funkcije y = - f (x), potreban vam je graf funkcije y = f (x)

odražavaju simetrično oko ose OX. Takva transformacija se naziva transformacija simetrije oko ose OX.

6. Funkcija y = f (-x).

U ovoj formuli, vrijednosti argumenta (apscisa tačaka grafikona) su obrnute. Ova promjena rezultira simetričnim prikazom originalnog grafa funkcije u odnosu na osu OY.

Primjer za funkciju y \u003d - x² ova transformacija nije primjetna, jer je ova funkcija parna i graf se ne mijenja nakon transformacije. Ova transformacija je vidljiva kada je funkcija neparna i kada nije ni parna ni neparna.

7. Funkcija y = |f(x)|.

U novoj formuli, vrijednosti funkcije (koordinate tačaka grafikona) su ispod znaka modula. To dovodi do nestanka dijelova grafa originalne funkcije s negativnim ordinatama (odnosno onih koji se nalaze u donjoj poluravni u odnosu na os Ox) i simetričnog prikaza ovih dijelova u odnosu na osu Ox.

8. Funkcija y= f (|x|).

U novoj formuli, vrijednosti argumenata (apscise tačaka grafikona) su ispod znaka modula. To dovodi do nestanka dijelova grafa izvorne funkcije s negativnim apscisama (odnosno onih koji se nalaze u lijevoj poluravni u odnosu na osu OY) i njihove zamjene dijelovima originalnog grafa koji su simetrični u odnosu na OY. osa.

Praktični dio

Razmotrimo nekoliko primjera primjene gornje teorije.

PRIMJER 1.

Rješenje. Hajde da se transformišemo ovu formulu:

1) Napravimo graf funkcije

PRIMJER 2.

Iscrtajte funkciju zadanu formulom

Rješenje. Hajde da transformišemo ovu formulu isticanjem u ovoj kvadratni trinom binomni kvadrat:

1) Napravimo graf funkcije

2) Izvršite paralelni prijenos konstruiranog grafa na vektor

PRIMJER 3.

ZADATAK IZ UPOTREBE Iscrtavanje funkcije po komadima

Funkcijski graf Funkcijski graf y=|2(x-3)2-2|; jedan

Paralelni prijenos.

PRENOS DUZ Y-OSI

f(x) => f(x) - b
Neka je potrebno nacrtati funkciju y \u003d f (x) - b. Lako je vidjeti da su ordinate ovog grafa za sve vrijednosti x na |b| jedinice manje od odgovarajućih ordinata grafa funkcija y = f(x) za b>0 i |b| više jedinica - na b 0 ili gore na b Da biste nacrtali funkciju y + b = f(x), nacrtajte funkciju y = f(x) i pomaknite x-osu na |b| jedinice za b>0 ili za |b| jedinice dolje na b

PRENOS DUZ X-OSI

f(x) => f(x + a)
Neka je potrebno nacrtati funkciju y = f(x + a). Razmotrimo funkciju y = f(x), koja u nekoj tački x = x1 uzima vrijednost y1 = f(x1). Očigledno je da će funkcija y = f(x + a) poprimiti istu vrijednost u tački x2, čija je koordinata određena iz jednakosti x2 + a = x1, tj. x2 = x1 - a, a jednakost koja se razmatra vrijedi za ukupnost svih vrijednosti iz domene funkcije. Dakle, grafik funkcije y = f(x + a) može se dobiti paralelnim pomicanjem grafika funkcije y = f(x) duž x-ose ulijevo za |a| jedinice za a > 0 ili udesno za |a| jedinice za a Da biste nacrtali funkciju y = f(x + a), nacrtajte funkciju y = f(x) i pomaknite y-os na |a| jedinice desno za a>0 ili |a| jedinice lijevo za a

primjeri:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Refleksija.

GRAFIKOVANJE FUNKCIJE POGLEDA Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Očigledno, funkcije y = f(-x) i y = f(x) uzimaju jednake vrijednosti u tačkama čije su apscise jednake u apsolutna vrijednost, ali suprotnog znaka. Drugim riječima, ordinate grafa funkcije y = f(-x) u području pozitivnih (negativnih) vrijednosti x bit će jednake ordinatama grafa funkcije y = f(x) sa negativnim (pozitivnim) x vrijednostima koje odgovaraju apsolutnoj vrijednosti. Tako dobijamo sledeće pravilo.
Da biste nacrtali funkciju y = f(-x), trebali biste iscrtati funkciju y = f(x) i prikazati je duž y-ose. Rezultirajući graf je graf funkcije y = f(-x)

GRAFIKOVANJE FUNKCIJE POGLEDA Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Ordinate grafa funkcije y = - f(x) za sve vrijednosti argumenta su jednake po apsolutnoj vrijednosti, ali suprotne po predznaku od ordinata grafa funkcije y = f(x) za iste vrijednosti argumenta. Tako dobijamo sledeće pravilo.
Da biste nacrtali funkciju y = - f(x), trebali biste iscrtati funkciju y = f(x) i prikazati je oko x-ose.

primjeri:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Deformacija.

DEFORMACIJA GRAFIKA DUŽ Y-OSI

f(x) => kf(x)
Razmotrimo funkciju oblika y = k f(x), gdje je k > 0. Lako je vidjeti da za jednake vrijednosti argumenta, ordinate grafa ove funkcije bit će k puta veće od ordinata grafa funkcije y = f (x) za k > 1 ili 1/k puta manje od ordinata grafa funkcija y = f (x) za k Da biste nacrtali grafik funkcije y = k f (x), trebali biste nacrtati funkciju y = f(x) i povećati njene ordinate za k puta za k > 1 (razvucite grafik duž ordinatna osa) ili smanjiti njegove ordinate za 1/k puta za k
k > 1- koje se proteže od ose Ox
0 - kompresija na OX os

DEFORMACIJA GRAFIKA DUŽ X-OSI

f(x) => f(kx)
Neka je potrebno nacrtati funkciju y = f(kx), gdje je k>0. Razmotrimo funkciju y = f(x), koja u proizvoljna tačka x = x1 uzima vrijednost y1 = f(x1). Očigledno je da funkcija y = f(kx) uzima istu vrijednost u tački x = x2, čija je koordinata određena jednakošću x1 = kx2, a ova jednakost vrijedi za ukupnost svih vrijednosti x iz domene funkcije. Posljedično, graf funkcije y = f(kx) je komprimiran (za k 1) duž ose apscise u odnosu na graf funkcije y = f(x). Dakle, dobijamo pravilo.
Da biste nacrtali funkciju y = f(kx), nacrtajte funkciju y = f(x) i smanjite njenu apscisu za k puta za k>1 (komprimirajte grafik duž ose apscise) ili povećajte njenu apscisu za 1/k puta za k
k > 1- kompresija na Oy os
0 - rastezanje od OY ose

Rad su izveli Aleksandar Čičkanov, Dmitrij Leonov pod nadzorom Tkacha T.V., Vyazovov S.M., Ostroverkhova I.V.
©2014

Osnovne elementarne funkcije u svom čistom obliku bez transformacije su rijetke, pa najčešće morate raditi s elementarnim funkcijama koje se iz osnovnih dobivaju dodavanjem konstanti i koeficijenata. Takvi grafovi se grade korištenjem geometrijskih transformacija zadanih elementarnih funkcija.

Pogledajmo primjer kvadratna funkcija oblika y \u003d - 1 3 x + 2 3 2 + 2, čiji je graf parabola y \u003d x 2, koja je komprimirana tri puta u odnosu na O y i simetrična u odnosu na O x, štoviše, pomaknut za 2 3 za O x udesno, za 2 jedinice za O na gore. Na koordinatnoj liniji to izgleda ovako:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Geometrijske transformacije grafa funkcije

Primenom geometrijskih transformacija datog grafa dobijamo da je graf predstavljen funkcijom oblika ± k 1 f (± k 2 (x + a)) + b kada su k 1 > 0 , k 2 > 0 kompresija omjeri na 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 или растяжения при k 1 >1 , k 2 > 1 duž O y i O x. Znak ispred koeficijenata k 1 i k 2 označava simetričan prikaz grafika u odnosu na ose, a i b ga pomeraju duž O x i O y.

Definicija 1

Postoje 3 vrste grafika geometrijske transformacije:

Skaliranje duž O x i O y. Na to utiču koeficijenti k 1 i k 2, pod uslovom da 1 nije jednako, kada je 0< k 1 < 1 , 0 < k 2 < 1 , то график сжимается по О у, а растягивается по О х, когда k 1 >1, k 2 > 1, tada se graf rasteže duž O y i kompresuje duž O x.
Simetričan prikaz oko koordinatnih osa. Ako postoji znak “-” ispred k 1, simetrija ide u odnosu na O x, prije k 2 ide u odnosu na O y. Ako "-" nedostaje, tada se tačka odlučivanja preskače;
Paralelni prijevod (smjena) duž O x i O y. Transformacija se izvodi kada koeficijenti a i b nisu jednaki 0. Ako je vrijednost a pozitivna, tada se graf pomiče ulijevo za | a | jedinice, ako je negativan a , onda udesno za istu udaljenost. Vrijednost b određuje kretanje duž ose O y, što znači da ako je b pozitivan, funkcija se pomiče gore, a ako je b negativna, pomiče se dolje.

Razmotrite rješenja koristeći primjere, počevši od funkcije snage.

Primjer 1

Transformirajte y = x 2 3 i nacrtajte funkciju y = - 1 2 · 8 x - 4 2 3 + 3 .

Rješenje

Hajde da predstavimo funkcije ovako:

y = - 1 2 8 x - 4 2 3 + 3 = - 1 2 8 x - 1 2 2 3 + 3 = - 2 x - 1 2 2 3 + 3

Gdje je k 1 = 2, treba obratiti pažnju na prisustvo "-", a \u003d - 1 2, b \u003d 3. Odavde dobijamo da su geometrijske transformacije napravljene rastezanjem duž O y dvaput, prikazanim simetrično u odnosu na O x, pomerenim udesno za 1 2 i gore za 3 jedinice.

Ako predstavimo izvornu funkciju snage, to ćemo dobiti

kada se dvaput razvuče duž O y, imamo to

Preslikavanje simetrično u odnosu na O x ima oblik

i pomerite se udesno za 12

pomeranje 3 jedinice gore ima oblik

Razmotrit ćemo transformacije eksponencijalne funkcije koristeći primjere.

Primjer 2

Grafikujte eksponencijalnu funkciju y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 .

Rješenje.

Transformiramo funkciju na osnovu svojstava funkcije snage. Onda to shvatamo

y = - 1 2 1 2 (2 - x) + 8 = - 1 2 - 1 2 x + 1 + 8 = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8

Ovo pokazuje da dobijamo lanac transformacija y = 1 2 x:

y = 1 2 x → y = 1 2 1 2 x → y = 1 2 1 2 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 1 2 x → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x → → y = - 1 2 1 2 - 1 2 x + 8

Dobijamo da je original eksponencijalna funkcija ima oblik

Stiskanje dvaput duž O y daje

Istezanje duž O x

Simetrično preslikavanje u odnosu na O x

Preslikavanje je simetrično u odnosu na O y

Pomaknite gore 8 jedinica

Razmotrimo rješenje na primjeru logaritamska funkcija y = log(x) .

Primjer 3

Konstruirajte funkciju y = ln e 2 · - 1 2 x 3 koristeći transformaciju y = ln (x) .

Rješenje

Da biste to riješili, trebate koristiti svojstva logaritma, tada dobijamo:

y = ln e 2 - 1 2 x 3 = ln (e 2) + ln - 1 2 x 1 3 = 1 3 ln - 1 2 x + 2

Transformacije logaritamske funkcije izgledaju ovako:

y = ln (x) → y = 1 3 ln (x) → y = 1 3 ln 1 2 x → → y = 1 3 ln - 1 2 x → y = 1 3 ln - 1 2 x + 2

Nacrtajte graf izvorne logaritamske funkcije

Sistem komprimujemo prema O y

Protežemo se duž O x

Napravimo preslikavanje u odnosu na O y

Napravimo pomak za 2 jedinice, dobijamo

Za transformaciju grafova trigonometrijske funkcije potrebno je u shemu uklopiti rješenja oblika ± k 1 · f (± k 2 · (x + a)) + b. Potrebno je da k 2 bude jednak T k 2 . Stoga dobijamo 0< k 2 < 1 дает понять, что график функции увеличивает период по О х, при k 1 уменьшает его. От коэффициента k 1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.

Razmotrimo primjere rješavanja zadataka s transformacijama y = sin x .

Primjer 4

Grafikon y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 koristeći transformacije funkcije y=sinx.

Rješenje

Potrebno je funkciju dovesti u oblik ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . Za ovo:

y = - 3 sin 1 2 x - 3 2 - 2 = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2

Vidi se da je k 1 = 3, k 2 = 1 2, a \u003d - 3, b = 2. Budući da postoji "-" ispred k 1, ali ne i prije k 2, tada dobijamo lanac transformacija oblika:

y = sin (x) → y = 3 sin (x) → y = 3 sin 1 2 x → y = - 3 sin 1 2 x → → y = - 3 sin 1 2 x - 3 → y = - 3 sin 1 2 (x - 3) - 2

Detaljna konverzija sinusnog talasa. Prilikom crtanja izvorne sinusoide y = sin (x), nalazimo da se T = 2 π smatra najmanjim pozitivnim periodom. Pronalaženje maksimuma u tačkama π 2 + 2 π · k ; 1 , a minimum - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z .

Istezanje duž O y izvodi se tri puta, što znači da će se povećanje amplitude oscilacija povećati za 3 puta. T = 2 π je najmanji pozitivan period. Maksimumi idu na π 2 + 2 π · k ; 3 , k ∈ Z , minimumi - - π 2 + 2 π · k ; - 3 , k ∈ Z .

Kada se dvaput istegnemo duž O x, dobivamo da se najmanji pozitivni period povećava za 2 puta i jednak je T = 2 π k 2 = 4 π. Maksimumi idu na π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , minimumi - in - π + 4 π · k ; - 3 , k ∈ Z .

Slika se proizvodi simetrično u odnosu na O x. Najmanji pozitivni period u ovaj slučaj se ne mijenja i iznosi T = 2 π k 2 = 4 π . Maksimalni prelaz izgleda kao - π + 4 π · k ; 3 , k ∈ Z , a minimum je π + 4 π · k ; - 3 , k ∈ Z .

Grafikon je pomaknut naniže za 2 jedinice. Nema promjene u najmanjem zajedničkom periodu. Pronalaženje maksimuma sa prelazom u tačke - π + 3 + 4 π · k ; 1 , k ∈ Z , minimumi - π + 3 + 4 π · k ; - 5 , k ∈ Z .

Na ovoj fazi graf trigonometrijske funkcije smatra se transformiranim.

Razmislite detaljna konverzija funkcije y = cos x .

Primjer 5

Nacrtajte funkciju y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 koristeći transformaciju funkcije oblika y = cos x .

Rješenje

prema algoritmu, datu funkciju svesti na oblik ± k 1 · f ± k 2 · x + a + b . Onda to shvatamo

y = 3 2 cos 2 - 2 x + 1 = 3 2 cos (- 2 (x - 1)) + 1

Iz uvjeta se može vidjeti da je k 1 = 3 2, k 2 = 2, a = - 1, b = 1, gdje k 2 ima "-", a nema ga prije k 1.

Odavde dobijamo da dobijamo graf trigonometrijske funkcije oblika:

y = cos (x) → y = 3 2 cos (x) → y = 3 2 cos (2 x) → y = 3 2 cos (- 2 x) → → y = 3 2 cos (- 2 (x - 1) )) → y = 3 2 cos - 2 (x - 1) + 1

Korak po korak kosinusna transformacija sa grafičkom ilustracijom.

At datom rasporedu y = cos (x) može se vidjeti da je najmanji zajednički period jednak T = 2 π . Pronalaženje maksimuma u 2 π · k ; 1 , k ∈ Z i minimumi π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z .

Kada se rasteže duž O y za faktor 32, amplituda oscilacija se povećava za faktor 32. T = 2 π je najmanji pozitivni period. Pronalaženje maksimuma u 2 π · k ; 3 2 , k ∈ Z , minimumi u π + 2 π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .

Kada se dva puta kompresuje duž O x, dobijamo da je najmanji pozitivni period broj T = 2 π k 2 = π . Maksimumi se prenose na π · k ; 3 2 , k ∈ Z , minimumi - π 2 + π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .

Simetrično preslikavanje u odnosu na O y. Pošto je graf neparan, neće se promijeniti.

Prilikom pomicanja grafika za 1. U najmanjem pozitivnom periodu T = π nema promjena. Pronalaženje maksimuma u π · k + 1 ; 3 2 , k ∈ Z , minimumi - π 2 + 1 + π · k ; - 3 2 , k ∈ Z .

Kada se pomakne za 1, najmanji pozitivni period je T = π i ne mijenja se. Pronalaženje maksimuma u π · k + 1 ; 5 2 , k ∈ Z , minimumi u π 2 + 1 + π · k ; - 1 2 , k ∈ Z .

Transformacija kosinusne funkcije je završena.

Razmotrimo transformacije koristeći primjer y = t g x .

Primjer 6

Nacrtajte funkciju y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 koristeći transformacije funkcije y = t g (x) .

Rješenje

Za početak je potrebno zadatu funkciju dovesti u oblik ± k 1 f ± k 2 x + a + b, nakon čega dobijamo da

y = - 1 2 t g π 3 - 2 3 x + π 3 = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3

Jasno se vidi da k 1 \u003d 1 2, k 2 \u003d 2 3, a \u003d - π 2, b \u003d π 3, a ispred koeficijenata k 1 i k 2 stoji "-". Dakle, nakon transformacije tangentoida, dobijamo

y = t g (x) → y = 1 2 t g (x) → y = 1 2 t g 2 3 x → y = - 1 2 t g 2 3 x → → y = - 1 2 t g - 2 3 x → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 → → y = - 1 2 t g - 2 3 x - π 2 + π 3

Korak po korak transformacija tangentoida sa grafičkom slikom.

Imamo da je originalni graf y = t g (x) . Pozitivna promjena perioda je T = π. Domen definicije je - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .

Stisnemo 2 puta duž O y. T \u003d π se smatra najmanjim pozitivnim periodom, gdje je domen definicije - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z .

Rastegnite duž O x 3 2 puta. Izračunajmo najmanji pozitivni period, i bio je jednak T = π k 2 = 3 2 π . I domen funkcije sa koordinatama - 3 π 4 + 3 2 π · k ; 3 π 4 + 3 2 π · k , k ∈ Z , mijenja se samo domen definicije.

Simetrija ide na stranu O x. Period se u ovom trenutku neće mijenjati.

Potrebno je prikazati koordinatne ose simetrično. Domen definicije u ovom slučaju je nepromijenjen. Dijagram je isti kao i prije. Ovo sugerira da je tangentna funkcija neparna. Ako da neparna funkcija postavite simetrično preslikavanje O x i O y, onda ćemo transformirati u originalnu funkciju.