Jednog od ovih dana bilo je potrebno napisati program koji izračunava srednju kvadratnu aproksimaciju funkcije date u tabeli, na osnovu stepena - metodom najmanjih kvadrata. Odmah ću rezervirati da nisam uzeo u obzir trigonometrijsku osnovu i neću je uzimati u ovom članku. Na kraju članka možete pronaći izvorni kod za C# program.

Teorija

Neka su vrijednosti aproksimirane funkcije f(x) predano N+1čvorovi f(x 0), ..., f(x N). Aproksimirajuća funkcija će biti izabrana iz neke parametarske porodice F(x, c), gdje c = (c 0 , ..., c n) T- vektor parametara, N > n.

Osnovna razlika između problema aproksimacije srednjeg kvadrata i problema interpolacije je u tome što broj čvorova premašuje broj parametara. AT ovaj slučaj gotovo uvijek ne postoji takav vektor parametara za koji bi se vrijednosti aproksimirajuće funkcije podudarale s vrijednostima aproksimirane funkcije u svim čvorovima.

U ovom slučaju, problem aproksimacije se postavlja kao problem nalaženja takvog vektora parametara c = (c 0 , ..., c n) T, pri čemu bi vrijednosti aproksimirajuće funkcije što manje odstupale od vrijednosti aproksimirane funkcije F(x, c) preko svih čvorova.

Grafički, problem se može predstaviti na sljedeći način

Napišimo kriterij za aproksimaciju srednjeg kvadrata za metodu najmanjih kvadrata:
J(c) = √ (Σ i=0 N 2) →min

Korijenski izraz je kvadratna funkcija s obzirom na koeficijente aproksimirajućeg polinoma. On je kontinuiran i diferenciran u c 0 , ..., c n. Očigledno, njen minimum je u tački u kojoj su svi parcijalni derivati ​​jednaki nuli. Izjednačavanjem parcijalnih izvoda sa nulom, dobijamo sistem linearnih algebarske jednačine s obzirom na nepoznate (željene) koeficijente polinoma najbolje aproksimacije.

Metoda najmanjih kvadrata može se primijeniti na razne parametarske funkcije, ali se često u inženjerskoj praksi polinomi u nekoj linearno nezavisnoj bazi koriste kao aproksimirajuća funkcija ( φ k(x), k=0,...,n}:
F(x, c)= Σ k=0 n [ c k φ k(x)] .

U ovom slučaju, sistem linearnih algebarskih jednadžbi za određivanje koeficijenata će imati dosta određene vrste:

…

Da bi ovaj sistem imao jedinstveno rješenje, potrebno je i dovoljno da determinanta matrice A (Gramova determinanta) bude različita od nule. Da bi sistem imao jedinstveno rešenje, neophodno je i dovoljno da sistem baze funkcioniše φ k(x), k=0,...,n bio linearno nezavisan od skupa aproksimacijskih čvorova.

Ovaj članak razmatra aproksimaciju srednjeg kvadrata polinomima u bazi stepena ( φ k(x) = x k , k=0,...,n}.

Primjer

Pređimo sada na primjer. Obavezno se povući empirijska formula za datu tabelarnu zavisnost f(x), koristeći metodu najmanjih kvadrata.

x	0,75	1,50	2,25	3,00	3,75
y	2,50	1,20	1,12	2,25	4,28

Uzmimo kao aproksimirajuću funkciju
y = F(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2, odnosno n=2, N=4

Sistem jednadžbi za određivanje koeficijenata:
a 00 c 0 + a 01 c 1 +… + a 0n c n = b 0
a 10 c 0 + a 11 c 1 +… + a 1n c n = b 1
…
a n0 c 0 + a n1 c 1 +… + a nn c n = b n

a kj = Σ i=0 N [φ k (x i)φ j (x i) ], b j = Σ i=0 N

Koeficijenti se izračunavaju po formulama:
a 00 = N + 1 = 5, a 01 = Σ i=0 N x i = 11,25, a 02 = Σ i=0 N x i 2 = 30,94
a 10 = Σ i=0 N x i = 11,25, a 11 = Σ i=0 N x i 2 = 30,94, a 12 = Σ i=0 N x i 3 = 94,92
a 20 = Σ i=0 N x i 2 = 30,94, a 21 = Σ i=0 N x i 3 = 94,92, a 22 = Σ i=0 N x i 4 = 303,76
b 0 = Σ i=0 N y i = 11,25, b 1 = Σ i=0 N x i y i = 29, b 2 = Σ i=0 N x i 2 y i = 90,21

Rješavamo sistem jednadžbi i dobijamo sljedeće vrijednosti koeficijenata:
c 0 = 4,822, c 1 = -3,882, c 2 = 0,999

Dakle
y = 4,8 - 3,9x + x2

Grafikon rezultirajuće funkcije

Implementacija u C#

A sada pređimo na to kako napisati kod koji bi izgradio takvu matricu. A ovdje se ispostavilo da je sve prilično jednostavno:
private double[,] MakeSystem(double[,] xyTable, int base) ( double[,] matrica = new double; for (int i = 0; i< basis; i++) { for (int j = 0; j < basis; j++) { matrix = 0; } } for (int i = 0; i < basis; i++) { for (int j = 0; j < basis; j++) { double sumA = 0, sumB = 0; for (int k = 0; k < xyTable.Length / 2; k++) { sumA += Math.Pow(xyTable, i) * Math.Pow(xyTable, j); sumB += xyTable * Math.Pow(xyTable, i); } matrix = sumA; matrix = sumB; } } return matrix; }
Na ulazu, funkcija prima tablicu vrijednosti funkcije - matricu, čija prva kolona sadrži x vrijednosti, druga, respektivno, y, kao i vrijednost baze snage.

Prvo se za matricu dodeljuje memorija u koju će biti upisani koeficijenti za rešavanje sistema linearne jednačine. Tada, u stvari, sastavljamo matricu - u sumA su upisane vrijednosti koeficijenata aij, u sumB - bi, sve prema formuli naznačenoj gore u teoretskom dijelu.

Za rješavanje kompajliranog sistema linearnih algebarskih jednačina u mom programu koristi se Gaussova metoda. Arhiva sa projektom se može preuzeti

Često vrijednosti interpolirane funkcije u, u2 , ..., y„ se određuju iz eksperimenta sa nekim greškama, pa je nerazumno koristiti tačnu aproksimaciju na interpolacijskim čvorovima. U ovom slučaju, prirodnije je aproksimirati funkciju ne po točkama, već po prosjek, tj. u jednoj od L p normi.

Razmak 1 p - skup funkcija d(x), definisano na segmentu [a,b] i modulo integrabilan sa p-ti stepen, ako je norma definirana

Konvergencija u takvoj normi naziva se konvergencija u prosjek. Prostor 1,2 naziva se Hilbertov prostor, a konvergencija u njemu je rms.

Neka su data funkcija Ax) i skup funkcija φ(x) iz nekog linearnog normiranog prostora. U kontekstu problema interpolacije, aproksimacije i aproksimacije, mogu se formulisati sljedeća dva problema.

Prvi zadatak je aproksimacija sa datom tačnošću, tj. prema datom e pronaći φ(x) takav da je nejednakost |[Ax) - φ(x)|| G..

Drugi zadatak je pretraga najbolja aproksimacija tj. traženje funkcije φ*(x) koja zadovoljava relaciju:

Definisati bez dokaza dovoljno stanje postojanje najbolje aproksimacije. Da bismo to učinili, u linearnom prostoru funkcija biramo skup koji je parametrizovan izrazom

pri čemu će se pretpostaviti da je skup funkcija φ[(x), ..., φn(x) linearno nezavisan.

Može se pokazati da u bilo kojem normiranom prostoru za linearna aproksimacija(2.16) najbolja aproksimacija postoji, iako je jedinstvena u svakom linearnom prostoru.

Razmotrimo Hilbertov prostor LzCp) realnih kvadratno integrabilnih funkcija s težinom p(x) > 0 na [ , gdje je skalarni proizvod ( g,h) određuje

formula:

Zamjenom linearne kombinacije (2.16) u uvjet najbolje aproksimacije, nalazimo

Izjednačavanje na nulu derivata u odnosu na koeficijente (D, k= 1, ..., P, dobijamo sistem linearnih jednadžbi

Determinanta sistema jednačina (2.17) naziva se Gramova determinanta. Gramova determinanta nije nula, jer se pretpostavlja da je sistem funkcija φ[(x), ..., φn(x) linearno nezavisan.

Dakle, najbolja aproksimacija postoji i jedinstvena je. Za njegovo dobijanje potrebno je riješiti sistem jednačina (2.17). Ako je sistem funkcija φ1(x), ..., φn(x) ortogonaliziran, tj. (φ/, φ,) = sy, gdje je SCH,ij = 1, ..., P, tada se sistem jednačina može riješiti u obliku:

Koeficijenti pronađeni prema (2.18) Q, ..., th str nazivaju se koeficijenti generalizovanog Fourierovog reda.

Ako skup funkcija φ t (X), ..., φ "(x), ... čini potpuni sistem, onda na osnovu Parsevalove jednakosti za Π -» s normom greške neograničeno opada. To znači da najbolja aproksimacija konvergira rms u Dx) sa bilo kojom zadatom tačnošću.

Napominjemo da je potraga za koeficijentima najbolje aproksimacije rješavanjem sistema jednačina (2.17) praktično neostvariva, jer kako se red Gram matrice povećava, njena determinanta brzo teži nuli, a matrica postaje loše uslovljena. Rešavanje sistema linearnih jednačina sa takvom matricom će dovesti do značajnog gubitka tačnosti. Hajde da to proverimo.

Neka su kao sistem funkcija φ„ i =1, ..., P, izabrani stepeni, tj. φ* = X 1 ", 1 = 1, ..., P, tada, uz pretpostavku da je segment aproksimacijski segment, nalazimo Gram matricu

Gramova matrica oblika (2.19) se također naziva Hilbertova matrica. Ovo je klasičan primjer takozvana loše uslovljena matrica.

Koristeći MATLAB, izračunavamo determinantu Hilbertove matrice u obliku (2.19) za neke prve vrijednosti P. Listing 2.5 prikazuje kod za odgovarajući program.

Listing 23

% Izračunajte determinantu Hilbertovih matrica % očistite radni prostor očisti sve;

%odaberi maksimalna vrijednost red Hilbertove matrice ptah =6;

%izgradite petlju za generiranje %Hilbertovih matrica i izračunajte njihove determinante

za n = 1: nmax d(n)=det(hi I b(n)); kraj

%prikaz vrijednosti determinanti % Hilbertovih matrica

f o g ta t kratki kraj

Nakon izrade koda u Listingu 2.5, vrijednosti determinante Hilbertove matrice za prvih šest matrica trebale bi se pojaviti u MATLAB komandnom prozoru. Donja tabela prikazuje odgovarajuće numeričke vrijednosti redova matrice (n) i njihove determinante (d). Tabela jasno pokazuje koliko brzo determinanta Hilbertove matrice teži nuli kako red raste i, počevši od redova 5 i 6, postaje neprihvatljivo mali.

Tabela vrijednosti determinante Hilbertovih matrica

Numerička ortogonalizacija sistema funkcija φ, i = 1, ..., P također dovodi do primjetnog gubitka tačnosti, stoga, kako bi se uzelo u obzir veliki broj terminima u ekspanziji (2.16), potrebno je ortogonalizaciju izvršiti analitički, odnosno tačno, ili koristiti gotov sistem ortogonalnih funkcija.

Ako se tokom interpolacije stupnjevi obično koriste kao sistem baznih funkcija, onda se tokom aproksimacije u prosjeku kao osnovne funkcije biraju polinomi koji su ortogonalni sa datom težinom. Najčešći od njih su Jacobijevi polinomi, čiji su poseban slučaj Legendre i Čebišev polinom. Lagsrr i Hermite polinomi se također koriste. Više detalja o ovim polinomima može se naći, na primjer, u dodatku Ortogonalni polinomi knjige.

3. RMS aproksimacija funkcije

3.1 Izjava o problemu

Razvijte algoritamsku šemu i napišite program u Turbo Pascalu 7.0 za izvođenje aproksimacije srednjeg kvadrata funkcije date u čvorovima.

3.2 Matematička formulacija problema

Neka postoji skup funkcija koje pripadaju linearnom prostoru funkcija. Pod bliskošću u prosjeku interpolirane i interpolirajuće funkcije podrazumijevamo rezultat procjene integrala

, (3.1)

gdje je funkcija težine.

Ova aproksimacija se naziva srednji kvadrat.

3.3 Pregled postojećih numeričkih metoda za rješavanje problema

Problem aproksimacije srednjeg kvadrata javlja se u mnogim područjima primijenjeno istraživanje, na primjer, kada statistička obrada eksperimentalni podaci korištenjem regresione analize, prilikom procjene parametara modela, u zadacima filtriranja, itd.

Kada je nivo nesigurnosti u postavljanju aproksimirane funkcije f(x i), i=1..m, dovoljno velik, što je tipično za obradu eksperimentalnih podataka, nema smisla zahtijevati da se ispune uslovi interpolacije; štaviše, broj tačaka za specifikaciju funkcije f(x i) je često prilično velik. Sve ovo čini upotrebu interpolacije neperspektivnom zbog loše uslovljenosti visokodimenzionalnog problema i problema konvergencije procesa interpolacije.

Jedna od najjednostavnijih i stoga široko korištenih aproksimirajućih funkcija je algebarski polinom

Metoda aproksimacije srednjeg kvadrata daje konstrukciju polinoma Pn(x) na osnovu minimizacije vrijednosti

Razmatrana metoda aproksimacije minimizira srednju kvadratnu devijaciju aproksimirajućeg polinoma od funkcije koja se aproksimira, ali ne garantuje značajne lokalne greške. Da bi se spriječila ova mogućnost, koriste se polinomi najbolje uniformne aproksimacije.

u prostoru parametara a 0 , a 1 ,...,a n. Postoji različiti pristupi na rješavanje problema minimiziranja funkcije D(a). Najjednostavniji od njih dovodi do potrebe za rješavanjem normalan sistem linearne algebarske jednadžbe

Međutim, čak i za n > 5, matrica takvog sistema ispada toliko loše uslovljena da se vrijednosti a j dobivene iz (3.4) ispostavljaju malo korisnim za izračunavanje P n (x). Stoga, ako je potrebno konstruirati polinome najbolje srednje kvadratne aproksimacije, više visoki stepeni koriste se drugi algoritmi, na primjer, metoda dekompozicije singularne vrijednosti.

3.4 Numerička metoda rješavanje problema

Mogu se razmotriti dva pitanja:

1 - izaberite funkciju tako da je nejednakost ispunjena

2 - pronaći najbolju aproksimaciju, tj. takva funkcija da je relacija

. (3.6)

Proširujemo funkciju u smislu sistema linearno nezavisnih funkcija:

. (3.7)

U nastavku, da skratimo notaciju, koristićemo definiciju tačkasti proizvod u funkcijskom prostoru:

.

Zamjenom (3.7) u uslov (3.6) dobijamo

Diferenciramo ovaj izraz u odnosu na i izjednačimo derivacije sa nulom, dobijamo

. (3.8)

Odrednica ovog sistema je Gramova determinanta funkcija. Na osnovu njihovog linearnu nezavisnost ova determinanta nije jednaka nuli. Dakle, iz sistema (3.8) se mogu naći koeficijenti koji definišu funkciju prema (3.6) i minimiziraju integral greške . Dakle, najbolja aproksimacija srednjeg kvadrata postoji i ona je jedinstvena.

Kada se koristi ortonormalni sistem funkcija, sistem (3.8) pojednostavljuje:

,

one. su Fourierovi koeficijenti, a najbolja aproksimacija je Fourierov red koji se završava na nekom članu.

Dokazano je da u bilo kojem linearno normiranom prostoru pod linearnom aproksimacijom oblika (3.4) postoji najbolja aproksimacija, iako možda nije jedinstvena.

U slučajevima kada funkcije nisu ortogonalne, na , Gramova determinanta se smanjuje, približavajući se nuli. Tada sistem postaje loše uslovljen i njegovo rješenje daje veliku grešku. U ovoj situaciji obično se ne uzima više od pet ili šest članova u zbroju (3,7).

Najčešće korišteni polinomi su Legendre, Chebyshev, Laguerre, Hermite, ortogonalni sa datom težinom.

Razmislite poseban slučaj kada je potrebno pronaći najbolju aproksimaciju funkcije date u tabeli. Za realne funkcije definirane na konačnom skupu tačaka, skalarni proizvod je definiran formulom

, (3.9)

gdje je broj specificiranih čvorova.

Uslov za najbolju aproksimaciju srednjeg kvadrata se piše na sljedeći način:

. (3.10)

Pretpostavljam , gdje , i zamjenom ovog polinoma u (3.10), dolazimo do sistema (3.8), u kojem se skalarni proizvodi izračunavaju prema (3.9). Opisani postupak aproksimacije naziva se metoda najmanjih kvadrata.

Najčešća verzija metode najmanjih kvadrata odgovara slučaju tip snage funkcije, tj. , i .

Sistem jednačina (3.8) tada poprima oblik

, , (3.11)

Forma više visoki nivo apstrakcije i generalizacije od onoga na što je orijentisano tradicionalno učenje." dakle, tradicionalni oblici učenje ne uspijeva podići matematičko razmišljanje mlađih školaraca na viši nivo. Kako netradicionalno obrazovanje rješava ovaj problem? Koja svojstva matematičkog mišljenja razvija rješenje nestandardni zadaci? U-...

mreža izgrađena na bazi različitih topologija. Softver aplikativni sistemi dizajnirani za profesionalna aktivnost menadžer, uključuje: · sistemski softver; osnovni paketi primijenjenih programa; · sredstva mrežne podrške računara u lokalnim i globalnim mrežama; Sistemi za programiranje aplikacija; test softver. ...

Da bi se izgladio diskretne funkcije Altmana, i time uveo ideju kontinuiteta u teoriju, korištena je aproksimacija korijena srednjeg kvadrata polinomom različitih stupnjeva.

Poznato je da niz interpolacijskih polinoma nad ekvidistantnim čvorovima ne mora nužno konvergirati funkciji, čak i ako je funkcija beskonačno diferencibilna. Za aproksimiranu funkciju, uz pomoć odgovarajućeg rasporeda čvorova, moguće je smanjiti stepen polinoma. . Struktura Altmanovih funkcija je takva da je pogodnije koristiti aproksimaciju funkcije ne interpolacijom, već konstruiranjem najbolje srednje kvadratne aproksimacije u normaliziranom linearnom prostoru. Razmotrite osnovne koncepte i informacije u konstruisanju najbolje aproksimacije. Problemi aproksimacije i optimizacije postavljaju se u linearnim normiranim prostorima.

Metrički i linearni normirani prostori

Za većinu široki koncepti matematika se odnosi na "skup" i "mapiranje". Koncept "skup", "skup", "kolekcija", "porodica", "sistem", "klasa" u nestrogoj teoriji skupova smatraju se sinonimima.

Termin "operator" je identičan terminu "mapiranje". Izrazi "operacija", "funkcija", "funkcionalni", "mjera" su posebni slučajevi koncepta "mapiranje".

Pojmovi "struktura", "prostor" u aksiomatskoj konstrukciji matematičke teorije takođe dobija fundamentalni značaj. Matematičke strukture uključuju teorijske strukture skupova (uređene i djelimično uređene skupove); apstraktne algebarske strukture (polugrupe, grupe, prstenovi, podjelni prstenovi, polja, algebre, rešetke); diferencijalne strukture(spoljni diferencijalne forme, razmaci vlakana) , , , , , , .

Pod strukturom se podrazumijeva konačni skup koji se sastoji od skupova nosioca (glavnog skupa), numeričkog polja (pomoćnog skupa) i mapiranja definiranog na elementima nosioca i brojevima polja. Ako se nosač uzme u kompletu kompleksni brojevi, tada igra ulogu i glavnog i pomoćnog skupa. Termin "struktura" je identičan konceptu "prostora".

Da bi se definirao prostor, prije svega je potrebno definirati noseći skup sa svojim elementima (tačkama) označenim latinskim i grčkim slovima

Skupovi realnih (ili složenih) elemenata mogu djelovati kao nosioci: brojevi; vektori, ; Matrice, ; Sekvence, ; Funkcije

Skupovi također mogu djelovati kao noseći elementi: realna osa, ravan, trodimenzionalni (i višedimenzionalni) prostor, permutacije, kretanja; apstraktni setovi.

Definicija. Metrički prostor je struktura koja formira trojku, gdje je preslikavanje nenegativno stvarna funkcija dva argumenta za bilo koje x i y iz M i zadovoljavaju tri aksioma.

• 1 - nenegativnost; , at.
• 2- - simetrija;
• 3- - aksiom refleksivnosti.

gdje su razmaci između elemenata.

U metričkom prostoru specificira se metrika i formira se koncept blizine dva elementa iz potpornog skupa.

Definicija. Pravi linearni (vektorski) prostor je struktura u kojoj je preslikavanje aditivna operacija sabiranja elemenata koji mu pripadaju, a preslikavanje je operacija množenja broja elementom iz.

Operacija znači da je za bilo koja dva elementa treći element jedinstveno definiran, nazvan njihov zbir i označen sa, a vrijede sljedeći aksiomi.

komutativno svojstvo.

Asocijativno svojstvo.

Postoji poseban element u B, označen sa tako da vrijedi za bilo koji.

jer bilo koji postoji, takav da.

Element se naziva suprotno od i označava se sa.

Operacija znači da je za bilo koji element i bilo koji broj, element definiran, označen sa i aksiomi su ispunjeni:

Element (tačke) linearnog prostora naziva se i vektor. Aksiomi 1 - 4 definiraju grupu (aditiv), koja se naziva modul i predstavlja strukturu.

Ako se operacija u strukturi ne pokorava nijednom aksiomu, onda se takva struktura naziva groupoid. Ova struktura je izuzetno loša; ne sadrži nikakav aksiom asocijativnosti, tada se struktura naziva monoid (polugrupa).

U strukturi, uz pomoć preslikavanja i aksioma 1-8, postavlja se svojstvo linearnosti.

Dakle, linearni prostor je grupni modul, u čiju strukturu je dodana još jedna operacija - množenje potpornih elemenata brojem sa 4 aksioma. Ako umjesto operacije, uz još jednu grupnu operaciju množenja elemenata sa 4 aksioma, postuliramo aksiom distributivnosti, tada nastaje struktura koja se zove polje.

Definicija. Linearni normirani prostor je struktura u kojoj preslikavanje zadovoljava sljedeće aksiome:

• 1. I tada i samo tada, kada.
• 2. , .
• 3. , .

I tako u samo 11 aksioma.

Na primjer, ako je struktura polja realni brojevi, gdje - realni brojevi, dodajte modul koji ima sva tri svojstva norme, tada polje realnih brojeva postaje normirani prostor

Postoje dva uobičajena načina za uvođenje norme: ili eksplicitnim specificiranjem intervalnog oblika homogeno konveksnog funkcionala , ili specificiranjem skalarnog proizvoda , .

Neka se tada može dati oblik funkcionala bezbroj načina promjenom vrijednosti:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

Drugi uobičajeni način prihvatanja dodjeljivanja je da se drugo preslikavanje uvede u strukturu prostora (funkcija dva argumenta, koja se obično označava i naziva skalarnim proizvodom).

Definicija. Euklidski prostor je struktura u kojoj skalarni proizvod sadrži normu i zadovoljava aksiome:

• 4. , i ako i samo ako

U Euklidskom prostoru, norma je generisana formulom

Iz svojstava 1 - 4 skalarnog proizvoda slijedi da su svi aksiomi norme zadovoljeni. Ako je skalarni proizvod u obliku, tada će se norma izračunati po formuli

Norma prostora se ne može specificirati korištenjem skalarnog proizvoda , .

U prostorima sa skalarnim umnoškom pojavljuju se takvi kvaliteti kojih nema u linearnim normiranim prostorima (ortogonalnost elemenata, jednakost paralelograma, Pitagorina teorema, Apolonijev identitet, Ptolemejeva nejednakost. Uvođenje skalarnog proizvoda daje put do više efikasno rešenje problemi aproksimacije.

Definicija. Za beskonačan niz elemenata u linearnom normiranom prostoru kaže se da je konvergentan po normi (jednostavno konvergentan ili ima ograničenje u) ako postoji takav element da za bilo koji postoji broj koji zavisi od takvog da je za

Definicija. Niz elemenata u se naziva fundamentalnim ako za bilo koji postoji broj koji zavisi od toga bilo koji i ako je zadovoljen (Trenogin Kolmogorov, Kantorovič, str. 48)

Definicija. Banahov prostor je struktura u kojoj bilo koji fundamentalni niz konvergira u normi.

Definicija. Hilbertov prostor je struktura u kojoj se bilo koji fundamentalni niz konvergira u normi koju generiše skalarni proizvod.

Kvadratna aproksimacija

Ako dijagram raspršenja izgleda kao parabola, tada tražimo empirijsku formulu u obliku kvadratni trinom. Pretpostavimo da je kriva koja se približava kao parabola, simetrična oko y-ose. Tada će parabola poprimiti jednostavniji oblik

(4.4)

Uzmimo polukvadratni koordinatni sistem. Ovo je takav koordinatni sistem, u kojem je skala kvadratna duž apscise, tj. vrijednosti podjela su iscrtane prema izrazu, ovdje m- mjerilo u nekoj jedinici dužine, na primjer, u cm.

Linearna skala je iscrtana duž y-ose u skladu sa izrazom

Postavili smo eksperimentalne tačke na ovaj koordinatni sistem. Ako se tačke ovog grafa nalaze približno u pravoj liniji, to potvrđuje našu pretpostavku da je zavisnost y od x je dobro izražena funkcijom oblika (4.4). Da nađemo koeficijente a i b sada možete primijeniti jednu od gore navedenih metoda: metodu rastegnute niti, metodu odabranih tačaka ili metodu prosjeka.

Metoda čvrstog konca primjenjuje se na isti način kao i za linearnu funkciju.

Metoda odabranih bodova možemo se prijaviti ovako. Na pravolinijskom grafu uzmite dvije tačke (daleko jedna od druge). Označavamo koordinate ovih tačaka i ( x, y). Onda možemo pisati

Iz redukovanog sistema dvije jednačine nalazimo a i b i zamijenimo ih u formulu (4.4) i dobijemo konačni oblik empirijske formule.

Može ili ne mora da se gradi pravolinijski graf, i uzmi brojeve , ( x,y) direktno sa stola. Međutim, formula dobijena ovim izborom tačaka biće manje tačna.

Proces pretvaranja zakrivljenog grafa u pravu liniju naziva se izravnavanje.

Srednji metod. Primjenjuje se na isti način kao u slučaju linearna zavisnost. Eksperimentalne tačke dijelimo u dvije grupe sa istim (ili skoro istim) brojem bodova u svakoj grupi. Jednakost (4.4) se može prepisati kao

(4.5)

Nalazimo zbir reziduala za tačke prve grupe i izjednačavamo sa nulom. Isto radimo i za bodove druge grupe. Dobijamo dvije jednačine sa nepoznanicama a i b. Rješavajući sistem jednačina, nalazimo a i b.

Imajte na umu da prilikom primjene ove metode nije potrebno graditi aproksimirajuću ravnu liniju. dot plot u polukvadratnom koordinatnom sistemu potrebno je samo da se proveri da li je funkcija oblika (4.4) prikladna za empirijsku formulu.

Primjer. Proučavanjem uticaja temperature na hod hronometra dobijeni su sljedeći rezultati:

z	-20	-15,4	-9,0	-5,4	-0,6	+4,8	+9,4
	2,6	2,01	1,34	1,08	0,94	1,06	1,25

U ovom slučaju nas ne zanima sama temperatura, već njeno odstupanje od . Stoga, uzimamo kao argument , gdje t- temperatura u stepenima Celzijusa uobičajene skale.

Ucrtavanjem odgovarajućih tačaka na Dekartov koordinatni sistem, primećujemo da se kao aproksimirajuća kriva može uzeti parabola sa osom koja je paralelna sa y-osi (slika 4). Uzmimo polukvadratni koordinatni sistem i nacrtamo eksperimentalne tačke na njemu. Vidimo da se ove tačke dovoljno dobro uklapaju na pravu liniju. Dakle, empirijska formula

može se pretraživati ​​u obliku (4.4).

Hajde da definišemo koeficijente a i b prosječnom metodom. Da bismo to učinili, podijelimo eksperimentalne točke u dvije grupe: u prvoj grupi - prve tri točke, u drugoj - preostale četiri točke. Koristeći jednakost (4.5) nalazimo zbir reziduala za svaku grupu i izjednačavamo svaki zbir sa nulom.