Rezultat svođenja na zajednički nazivnik. Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Ovaj članak objašnjava, kako pronaći najmanji zajednički imenilac i kako pretvoriti razlomke zajednički imenilac . Prvo su date definicije zajedničkog imenioca razlomaka i najmanjeg zajedničkog imenioca, a takođe je pokazano kako pronaći zajednički imenilac razlomaka. Slijedi pravilo za svođenje razlomaka na zajednički nazivnik i razmotreni su primjeri primjene ovog pravila. U zaključku, primjeri smanjenja tri i više razlomke na zajednički imenilac.

Navigacija po stranici.

Šta se naziva svođenje razlomaka na zajednički nazivnik?

Sada možemo reći šta znači dovesti razlomke na zajednički imenilac. Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik je množenje brojnika i nazivnika datih razlomaka takvim dodatnim faktorima da su rezultat razlomci sa istim nazivnicima.

Zajednički nazivnik, definicija, primjeri

Sada je vrijeme da definiramo zajednički imenilac razlomaka.

Drugim riječima, zajednički imenitelj nekog skupa obične frakcije je bilo koji prirodni broj, koji je djeljiv sa svim nazivnicima datih razlomaka.

Iz zvučne definicije proizlazi da ovaj skup razlomaka ima beskonačno mnogo zajedničkih nazivnika, jer postoji beskonačan skup zajednički višekratnici svih nazivnika originalnog skupa razlomaka.

Određivanje zajedničkog imenioca razlomaka omogućava vam da pronađete zajedničke imenitelje datih razlomaka. Neka su, na primjer, dati razlomci 1/4 i 5/6, njihovi imenioci su 4 i 6, respektivno. Pozitivni zajednički višekratnici 4 i 6 su brojevi 12, 24, 36, 48, ... Bilo koji od ovih brojeva je zajednički imenitelj razlomaka 1/4 i 5/6.

Da biste konsolidirali materijal, razmotrite rješenje sljedećeg primjera.

Primjer.

Da li je moguće svesti razlomke 2/3, 23/6 i 7/12 na zajednički imenilac od 150?

Rješenje.

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, moramo saznati da li je broj 150 zajednički višekratnik nazivnika 3, 6 i 12. Da biste to učinili, provjerite je li 150 jednako djeljivo sa svakim od ovih brojeva (ako je potrebno, pogledajte pravila i primjere dijeljenja prirodnih brojeva, kao i pravila i primjere dijeljenja prirodnih brojeva s ostatkom): 150:3 =50 , 150:6=25 , 150: 12=12 (odmor. 6) .

dakle, 150 nije djeljivo sa 12, tako da 150 nije zajednički višekratnik 3, 6 i 12. Dakle, broj 150 ne može biti zajednički nazivnik originalnih razlomaka.

odgovor:

To je zabranjeno.

Najmanji zajednički imenilac, kako ga pronaći?

U skupu brojeva koji su zajednički imenioci ovih razlomaka nalazi se najmanji prirodni broj, koji se naziva najmanji zajednički imenilac. Hajde da formulišemo definiciju najmanjeg zajedničkog nazivnika ovih razlomaka.

Definicija.

Najmanji zajednički imenilac- ovo je najmanji broj, svih zajedničkih nazivnika datih razlomaka.

Ostaje da se pozabavimo pitanjem kako pronaći najmanji zajednički djelitelj.

Budući da je najmanji pozitivni zajednički djelitelj ovaj set brojeva, onda je LCM nazivnika ovih razlomaka najmanji zajednički imenilac ovih razlomaka.

Dakle, pronalaženje najmanjeg zajedničkog nazivnika razlomaka se svodi na nazivnike tih razlomaka. Pogledajmo primjer rješenja.

Primjer.

Pronađite najmanji zajednički nazivnik za 3/10 i 277/28.

Rješenje.

Imenioci ovih razlomaka su 10 i 28. Željeni najmanji zajednički nazivnik nalazi se kao LCM brojeva 10 i 28. U našem slučaju, to je lako: pošto je 10=2 5 i 28=2 2 7 , onda je LCM(15, 28)=2 2 5 7=140 .

odgovor:

140 .

Kako razlomke dovesti na zajednički imenilac? Pravilo, primjeri, rješenja

Obični razlomci obično vode do najmanjeg zajedničkog nazivnika. Sada ćemo zapisati pravilo koje objašnjava kako razlomke svesti na najmanji zajednički nazivnik.

Pravilo za svođenje razlomaka na najmanji zajednički nazivnik sastoji se od tri koraka:

• Prvo, pronađite najmanji zajednički nazivnik razlomaka.
• Drugo, za svaki razlomak se izračunava dodatni faktor, za koji se najmanji zajednički imenilac dijeli sa nazivnikom svakog razlomka.
• Treće, brojnik i imenilac svakog razlomka se množe njegovim dodatnim faktorom.

Primijenimo navedeno pravilo na rješenje sljedećeg primjera.

Primjer.

Smanjite razlomke 5/14 i 7/18 na najmanji zajednički imenilac.

Rješenje.

Izvršimo sve korake algoritma za svođenje razlomaka na najmanji zajednički nazivnik.

Prvo, nalazimo najmanji zajednički nazivnik, koji je jednak najmanjem zajedničkom višekratniku brojeva 14 i 18. Kako je 14=2 7 i 18=2 3 3 , onda je LCM(14, 18)=2 3 3 7=126 .

Sada izračunavamo dodatne faktore uz pomoć kojih će se razlomci 5/14 i 7/18 svesti na imenilac 126. Za razlomak 5/14 dodatni faktor je 126:14=9, a za razlomak 7/18 dodatni faktor je 126:18=7.

Ostaje da se pomnoži brojioci i imenioci razlomaka 5/14 i 7/18 dodatnim faktorima 9 i 7, respektivno. Imamo i .

Dakle, svođenje razlomaka 5/14 i 7/18 na najmanji zajednički imenilac je završeno. Rezultat su bili razlomci 45/126 i 49/126.

U ovoj lekciji ćemo se osvrnuti na svođenje razlomaka na zajednički nazivnik i riješiti probleme na ovu temu. Hajde da definišemo pojam zajedničkog imenioca i dodatnog faktora, podsetimo se međusobnog primarni brojevi. Hajde da definišemo koncept najmanjeg zajedničkog nazivnika (LCD) i rešimo niz zadataka da ga pronađemo.

Tema: Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različiti imenioci

Lekcija: Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Ponavljanje. Osnovno svojstvo razlomka.

Ako se brojnik i imenilac razlomka pomnože ili podijele istim prirodnim brojem, onda će se dobiti razlomak jednak njemu.

Na primjer, brojnik i nazivnik razlomka se mogu podijeliti sa 2. Dobijamo razlomak. Ova operacija se naziva redukcija frakcije. Može se uraditi i inverzna transformacija, množeći brojilac i imenilac razlomka sa 2. U ovom slučaju kažemo da smo razlomak sveli na novi imenilac. Broj 2 se naziva dodatni faktor.

Zaključak. Razlomak se može svesti na bilo koji nazivnik koji je višekratnik nazivnika datog razlomka. Da bi se razlomak doveo do novog nazivnika, njegov brojnik i imenilac se množe sa dodatnim faktorom.

1. Dovedite razlomak do imenioca 35.

Broj 35 je višekratnik broja 7, odnosno 35 je djeljiv sa 7 bez ostatka. Dakle, ova transformacija je moguća. Hajde da pronađemo dodatni faktor. Da bismo to učinili, podijelimo 35 sa 7. Dobijamo 5. Pomnožimo brojilac i nazivnik originalnog razlomka sa 5.

2. Dovedite razlomak do imenioca 18.

Hajde da pronađemo dodatni faktor. Da bismo to učinili, podijelimo novi nazivnik s originalnim. Dobijamo 3. Pomnožimo brojilac i imenilac ovog razlomka sa 3.

3. Dovedite razlomak do imenioca 60.

Deljenjem 60 sa 15 dobijamo dodatni množilac. Jednako je 4. Pomnožimo brojilac i imenilac sa 4.

4. Dovedite razlomak do imenioca 24

U jednostavnim slučajevima, redukcija na novi nazivnik se vrši u umu. Uobičajeno je samo označiti dodatni faktor iza zagrade malo desno i iznad originalnog razlomka.

Razlomak se može svesti na imenilac 15, a razlomak na imenilac 15. Razlomci imaju zajednički imenilac 15.

Zajednički imenilac razlomaka može biti bilo koji zajednički višekratnik njihovih nazivnika. Radi jednostavnosti, razlomci se svode na najmanji zajednički nazivnik. Jednaka je najmanjem zajedničkom višekratniku nazivnika datih razlomaka.

Primjer. Svesti na najmanji zajednički nazivnik razlomka i .

Prvo, pronađite najmanji zajednički višekratnik nazivnika ovih razlomaka. Ovaj broj je 12. Nađimo dodatni faktor za prvi i drugi razlomak. Da bismo to učinili, dijelimo 12 sa 4 i sa 6. Tri je dodatni faktor za prvi razlomak, a dva za drugi. Razlomke dovodimo do imenioca 12.

Razlomke smo sveli na zajednički imenilac, odnosno našli smo razlomke koji su im jednaki i imaju isti imenilac.

Pravilo. Da razlomke dovedemo do najmanjeg zajedničkog nazivnika,

Prvo, pronađite najmanji zajednički višekratnik nazivnika ovih razlomaka, koji će biti njihov najmanji zajednički imenilac;

Drugo, podijelite najmanji zajednički imenilac sa nazivnicima ovih razlomaka, odnosno pronađite dodatni faktor za svaki razlomak.

Treće, pomnožite brojilac i nazivnik svakog razlomka njegovim dodatnim faktorom.

a) Razlomke svesti na zajednički imenilac.

Najmanji zajednički imenilac je 12. Dodatni faktor za prvi razlomak je 4, za drugi - 3. Razlomke dovodimo do imenioca 24.

b) Razlomke svesti na zajednički imenilac.

Najmanji zajednički imenilac je 45. Podijelimo 45 sa 9 sa 15, dobijemo 5, odnosno 3. Razlomke dovodimo do imenioca 45.

c) Razlomke svesti na zajednički imenilac.

Zajednički imenilac je 24. Dodatni faktori su 2 i 3, respektivno.

Ponekad je teško verbalno pronaći najmanji zajednički višekratnik za nazivnike datih razlomaka. Tada se zajednički imenilac i dodatni faktori nalaze proširenjem u primarni faktori.

Svesti na zajednički nazivnik razlomka i .

Razložimo brojeve 60 i 168 na proste faktore. Napišimo proširenje broja 60 i dodajmo faktore koji nedostaju 2 i 7 iz drugog proširenja. Pomnožite 60 sa 14 i dobijete zajednički imenilac 840. Dodatni faktor za prvi razlomak je 14. Dodatni faktor za drugi razlomak je 5. Smanjimo razlomke na zajednički imenilac od 840.

Bibliografija

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. i dr. Matematika 6. - M.: Mnemozina, 2012.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija, 2006.

3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - Prosvjeta, 1989.

4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadaci za predmet matematike 5-6 razred. - ZŠ MIPhI, 2011.

5. Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - ZŠ MIPhI, 2011.

6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O. itd. Matematika: Sagovornik udžbenik za 5-6 razred srednja škola. Biblioteka nastavnika matematike. - Prosvjeta, 1989.

Možete preuzeti knjige navedene u tački 1.2. ovu lekciju.

Zadaća

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S. i dr. Matematika 6. - M.: Mnemozina, 2012. (vidi link 1.2)

Domaći: br. 297, br. 298, br. 300.

Ostali zadaci: #270, #290

Ovaj članak objašnjava kako razlomke svesti na zajednički nazivnik i kako pronaći najmanji zajednički imenilac. Date su definicije, dato je pravilo za svođenje razlomaka na zajednički nazivnik i razmotreni su praktični primjeri.

Šta je svođenje razlomka na zajednički imenilac?

Obični razlomci se sastoje od brojnika - gornjeg dijela i nazivnika - donjeg dijela. Ako razlomci imaju isti imenilac, kaže se da imaju zajednički imenilac. Na primjer, razlomci 11 14 , 17 14 , 9 14 imaju isti imenilac 14 . Drugim riječima, svedeni su na zajednički nazivnik.

Ako razlomci imaju različite nazivnike, onda se uvijek mogu svesti na zajednički imenilac uz pomoć jednostavnih radnji. Da biste to učinili, morate pomnožiti brojilac i nazivnik s određenim dodatnim faktorima.

Očigledno, razlomci 4 5 i 3 4 nisu svedeni na zajednički imenilac. Da biste to učinili, trebate upotrijebiti dodatne faktore 5 i 4 da ih dovedete do nazivnika od 20. Kako to točno učiniti? Pomnožite brojilac i imenilac 45 sa 4, a brojilac i imenilac od 34 pomnožite sa 5. Umjesto razlomaka 4 5 i 3 4 dobijamo 16 20 i 15 20 respektivno.

Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Svođenje razlomaka na zajednički imenilac je množenje brojnika i nazivnika razlomaka faktorima tako da su rezultat identični razlomci sa istim nazivnikom.

Zajednički nazivnik: definicija, primjeri

Šta je zajednički imenitelj?

Zajednički nazivnik

Zajednički nazivnik razlomaka je bilo koji pozitivan broj, što je zajednički višekratnik svih datih razlomaka.

Drugim riječima, zajednički nazivnik nekog skupa razlomaka bit će takav prirodan broj koji je bez ostatka djeljiv sa svim imeniocima tih razlomaka.

Skup prirodnih brojeva je beskonačan i stoga, po definiciji, svaki skup običnih razlomaka ima beskonačan broj zajedničkih nazivnika. Drugim riječima, postoji beskonačno mnogo zajedničkih višekratnika za sve nazivnike originalnog skupa razlomaka.

Zajednički nazivnik za nekoliko razlomaka je lako pronaći koristeći definiciju. Neka postoje razlomci 1 6 i 3 5 . Zajednički nazivnik razlomaka bit će svaki pozitivni zajednički višekratnik brojeva 6 i 5. Takvi pozitivni zajednički višekratnici su 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, itd.

Razmotrimo primjer.

Primjer 1. Zajednički nazivnik

Mogu li se razlomci 1 3, 21 6, 5 12 svesti na zajednički imenilac, koji je jednak 150?

Da biste saznali da li je to tako, morate provjeriti da li je 150 zajednički višekratnik nazivnika razlomaka, odnosno brojeva 3, 6, 12. Drugim riječima, broj 150 mora biti djeljiv sa 3, 6, 12 bez ostatka. hajde da proverimo:

150 ÷ ​​3 = 50 , 150 ÷ ​​6 = 25 , 150 ÷ ​​12 = 12 , 5

To znači da 150 nije zajednički nazivnik navedenih razlomaka.

Najmanji zajednički imenilac

Najmanji prirodni broj iz skupa zajedničkih nazivnika nekog skupa razlomaka naziva se najmanji zajednički imenilac.

Najmanji zajednički imenilac

Najmanji zajednički imenilac razlomaka je najmanji broj među svim zajedničkim nazivnicima tih razlomaka.

Najmanji zajednički djelitelj datog skupa brojeva je najmanji zajednički višekratnik (LCM). LCM svih nazivnika razlomaka je najmanji zajednički imenilac tih razlomaka.

Kako pronaći najmanji zajednički imenilac? Pronalaženje se svodi na pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika razlomaka. Pogledajmo primjer:

Primjer 2: Pronađite najmanji zajednički nazivnik

Moramo pronaći najmanji zajednički imenilac za razlomke 1 10 i 127 28 .

Tražimo LCM brojeva 10 i 28. Rastavljamo ih na jednostavne faktore i dobijamo:

10 \u003d 2 5 28 \u003d 2 2 7 N O K (15, 28) = 2 2 5 7 \u003d 140

Kako dovesti razlomke na najmanji zajednički imenilac

Postoji pravilo koje objašnjava kako razlomke svesti na zajednički nazivnik. Pravilo se sastoji od tri tačke.

Pravilo za svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

1. Pronađite najmanji zajednički imenilac razlomaka.
2. Za svaki razlomak pronađite dodatni faktor. Da biste pronašli množitelj, trebate podijeliti najmanji zajednički imenilac sa nazivnikom svakog razlomka.
3. Pomnožite brojilac i imenilac pronađenim dodatnim faktorom.

Razmotrite primjenu ovog pravila na konkretnom primjeru.

Primjer 3. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Postoje razlomci 3 14 i 5 18. Hajde da ih dovedemo do najmanjeg zajedničkog imenioca.

Po pravilu, prvo nalazimo LCM nazivnika razlomaka.

14 \u003d 2 7 18 \u003d 2 3 3 N O K (14, 18) \u003d 2 3 3 7 \u003d 126

Izračunavamo dodatne faktore za svaki razlomak. Za 3 14 dodatni faktor je 126 ÷ 14 = 9 , a za razlomak 5 18 dodatni faktor je 126 ÷ 18 = 7 .

Pomnožimo brojilac i imenilac razlomaka dodatnim faktorima i dobijemo:

3 9 14 9 = 27 126, 5 7 18 7 = 35 126.

Dovođenje više razlomaka na najmanji zajednički nazivnik

Prema razmatranom pravilu, ne samo parovi razlomaka, već i više njih mogu se svesti na zajednički nazivnik.

Uzmimo još jedan primjer.

Primjer 4. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Dovedite razlomke 3 2 , 5 6 , 3 8 i 17 18 na najmanji zajednički imenilac.

Izračunajte LCM nazivnika. Pronađite LCM od tri ili više brojeva:

N O C (2, 6) = 6 N O C (6, 8) = 24 N O C (24, 18) = 72 N O C (2, 6, 8, 18) = 72

Za 3 2 dodatni faktor je 72 ÷ 2 =   36 , za 5 6 dodatni faktor je 72 ÷ 6 =   12 , za 3 8 dodatni faktor je 72 ÷ 8 =   9 , konačno, za 17 18 dodatni faktor je 72 18 =   4 .

Pomnožimo razlomke dodatnim faktorima i idemo na najmanji zajednički nazivnik:

3 2 36 = 108 72 5 6 12 = 60 72 3 8 9 = 27 72 17 18 4 = 68 72

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter