Prilikom proučavanja jednačina prave linije na ravni i u trodimenzionalni prostor oslanjamo se na vektorsku algebru. Gde posebno značenje imaju vektor pravca i vektor normale. U ovom članku ćemo detaljnije pogledati vektor normalne linije. Počnimo s definicijom normalni vektor direktno, dajemo primjere i grafičke ilustracije. Zatim prelazimo na pronalaženje koordinata vektora normale prave linije koristeći poznate jednadžbe prave linije, a mi ćemo pokazati detaljna rješenja zadataka.

Navigacija po stranici.

Vektor normalne linije - definicija, primjeri, ilustracije.

Da biste razumjeli gradivo, morate jasno razumjeti pravu liniju, ravan, kao i znati osnovne definicije povezane s vektorima. Stoga preporučujemo da prvo osvježite pamćenje materijala u člancima: ravna linija na ravni, ravna linija u prostoru, ideja o ravni i.

Hajde da damo definiciju vektora normalne linije.

Definicija.

Vektor normalne linije je bilo koji vektor različit od nule koji leži na bilo kojoj pravoj okomitoj na datu jedinicu.

Iz definicije vektora normalne linije jasno je da postoji beskonačan skup normalni vektori date linije.

Definicija vektora normale prave i definicija vektora smjera prave nam omogućavaju da zaključimo da je bilo koji vektor normale date prave okomit na bilo koji vektor smjera ove prave.

Dajemo primjer vektora normalne linije.

Neka Oxy bude dat u avionu. Jedan od skupova normalnih vektora koordinatne linije Ox je koordinatni vektor. Zaista, vektor je različit od nule i leži na koordinatnoj liniji Oy, koja je okomita na osu Ox. Skup svih normalnih vektora koordinatne prave Ox u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy može se specificirati kao .

U pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz u trodimenzionalnom prostoru, vektor normale prave linije Oz je vektor . Koordinatni vektor je također vektor normale prave Oz. Očigledno je da će svaki vektor različit od nule koji leži u bilo kojoj ravni okomitoj na osu Oz biti normalni vektor prave Oz.

Koordinate vektora normale prave - pronalaženje koordinata vektora normale prave pomoću poznatih jednačina ove prave.

Ako uzmemo u obzir pravu u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxy, onda će ona odgovarati jednadžbi prave na ravni nekog tipa, a normalni vektori prave će biti određeni njihovim koordinatama (vidi članak). Ovo postavlja pitanje: "kako pronaći koordinate vektora normale prave kada znamo jednačinu ove prave"?

Nađimo odgovor na pitanje postavljeno za prave definisane na ravni jednačinama različitih tipova.

Ako je prava linija na ravni određena opštom jednadžbom ravnih linija oblika , tada koeficijenti A i B predstavljaju odgovarajuće koordinate vektora normale ove prave.

Primjer.

Pronađite koordinate nekog vektora normalne linije .

Rješenje.

Pošto je prava linija data opštom jednačinom, možemo odmah zapisati koordinate njenog vektora normale - to su odgovarajući koeficijenti ispred varijabli x i y. To jest, normalni vektor linije ima koordinate .

odgovor:

Jedan od brojeva A ili B u opštoj jednačini prave može biti jednak nuli. Ovo ne bi trebalo da ti smeta. Pogledajmo primjer.

Primjer.

Navedite bilo koji vektor normalne linije.

Rješenje.

Data nam je nepotpuna opšta jednačina prave linije. Može se prepisati u formu , odakle su odmah vidljive koordinate vektora normale ove linije: .

odgovor:

Jednačina prave u segmentima oblika ili jednačina prave sa ugaonim koeficijentom lako se može svesti na opšta jednačina linija, odakle se nalaze koordinate vektora normale ove linije.

Primjer.

Pronađite koordinate vektora normale prave.

Rješenje.

Vrlo je lako preći sa jednačine prave u segmentima na opštu jednačinu prave: . Prema tome, vektor normale ove linije ima koordinate .

odgovor:

Ako je prava određena kanonskom jednadžbom prave na ravni forme ili parametarske jednačine prave na ravni forme , tada je koordinate vektora normale malo teže dobiti. Iz ovih jednačina se odmah mogu vidjeti koordinate usmjerivača vektora prave - . I omogućava vam da pronađete koordinate vektora normale ove linije.

Također možete dobiti koordinate vektora normale prave redukcijom kanonske jednačine linije ili parametarskih jednačina prave na opću jednačinu. Da biste to učinili, napravite sljedeće transformacije:

Na vama je da odlučite koji metod preferirate.

Pokažimo rješenja na primjerima.

Primjer.

Pronađite neki normalni vektor linije .

Rješenje.

Vektor usmjeravanja je ravan je vektor . Vektor normalne linije je okomit na vektor, tada je jednak nuli: . Iz ove jednakosti, dajući n x proizvoljnu realnu vrijednost različitu od nule, nalazimo n y. Neka je onda n x =1 , dakle, vektor normale originalne linije ima koordinate .

Drugo rješenje.

Prijeđimo s kanonske jednadžbe prave na opću jednačinu: . Sada su koordinate vektora normale ove linije postale vidljive.

odgovor:

Jednačina ravni. Kako napisati jednačinu ravni?
Međusobni dogovor avioni. Zadaci

Prostorna geometrija nije mnogo složenija od „ravne“ geometrije, a naši letovi u svemiru počinju ovim člankom. Da biste savladali temu, morate je dobro razumjeti vektori, osim toga, preporučljivo je biti upoznat s geometrijom ravnine - bit će mnogo sličnosti, mnogo analogija, pa će se informacije mnogo bolje probaviti. U nizu mojih lekcija, 2D svijet otvara članak Jednačina prave linije na ravni. Ali sada je Batman napustio TV ekran i lansirao se sa kosmodroma Bajkonur.

Počnimo sa crtežima i simbolima. Šematski, ravan se može nacrtati u obliku paralelograma, što stvara utisak prostora:

Avion je beskonačan, ali imamo priliku da prikažemo samo njegov deo. U praksi se pored paralelograma crta i oval ili čak oblak. Iz tehničkih razloga, meni je zgodnije da prikažem avion upravo na ovaj način i upravo u ovoj poziciji. Pravi avioni u kojima ćemo razmatrati praktični primjeri, može se pozicionirati na bilo koji način - mentalno uzmite crtež u ruke i rotirajte ga u prostoru, dajući avionu bilo koji nagib, bilo koji ugao.

Oznake: avioni se obično označavaju malim grčkim slovima, očigledno da ih ne bi pobrkali sa prava linija na ravni ili sa prava linija u prostoru. Navikao sam da koristim pismo. Na crtežu je to slovo "sigma", a ne rupa uopšte. Mada, rupa avion je svakako prilično zabavan.

U nekim slučajevima, zgodno je koristiti ista grčka slova s ​​nižim indeksima za označavanje ravnina, na primjer, .

Očigledno, ravan je jedinstveno određena sa tri razne tačke, ne leži na istoj pravoj liniji. Stoga su troslovne oznake ravnina prilično popularne - po tačkama koje im pripadaju, na primjer, itd. Često se slova stavljaju u zagrade: , kako ne bi pobrkali ravan s drugom geometrijskom figurom.

Za iskusne čitaoce daću meni za brzi pristup:

• Kako napraviti jednadžbu ravni koristeći tačku i dva vektora?
• Kako napraviti jednadžbu ravni koristeći tačku i normalni vektor?

i nećemo čamiti duga čekanja:

Opća jednačina u ravnini

Opća jednačina ravnine ima oblik , gdje koeficijenti nisu u isto vrijeme jednaki nuli.

Brojni teorijski proračuni i praktični problemi vrijede i za uobičajenu ortonormalnu bazu i za afine osnove prostor (ako je ulje ulje, vratite se na lekciju Linearna (ne)ovisnost vektora. Osnova vektora). Radi jednostavnosti, pretpostavićemo da se svi događaji dešavaju u ortonormalnoj bazi i Dekartovom pravougaonom koordinatnom sistemu.

Ajmo sada malo da vežbamo prostorna imaginacija. U redu je ako je vaš loš, sada ćemo ga malo razviti. Čak i igranje na živce zahteva obuku.

U samom opšti slučaj, kada brojevi nisu nula, ravan siječe sve tri koordinatne ose. Na primjer, ovako:

Ponavljam još jednom da se avion kreće u nedogled u svim pravcima, a mi imamo priliku prikazati samo njegov dio.

Razmotrimo najjednostavnije jednadžbe ravnina:

Kako razumeti zadata jednačina? Razmislite o tome: “Z” je UVIJEK jednako nuli, za bilo koje vrijednosti “X” i “Y”. Ova jednadžba je "nativna" koordinatna ravan. Zaista, formalno se jednačina može prepisati na sljedeći način: , odakle se jasno vidi da nas nije briga koje vrijednosti zauzimaju “x” i “y”, važno je da je “z” jednako nuli.

Isto tako:
– jednačina koordinatne ravni;
– jednačina koordinatne ravni.

Hajde da malo zakomplikujemo problem, razmotrimo ravan (ovde i dalje u paragrafu pretpostavljamo da numerički koeficijenti nisu jednaki nuli). Prepišimo jednačinu u obliku: . Kako to razumjeti? “X” je UVIJEK, za bilo koje vrijednosti “Y” i “Z”, jednako određenom broju. Ova ravan je paralelna sa koordinatnom ravninom. Na primjer, ravan je paralelna s ravninom i prolazi kroz tačku.

Isto tako:
– jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom ravninom;
– jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom ravninom.

Dodajmo članove: . Jednačina se može prepisati na sljedeći način: , odnosno “zet” može biti bilo šta. Šta to znači? “X” i “Y” su povezani relacijom koja povlači određenu pravu liniju u ravni (saznaćete jednačina prave u ravni?). Pošto "z" može biti bilo šta, ova ravna linija se "replicira" na bilo kojoj visini. Tako jednačina definira ravan paralelnu sa koordinatna osa

Isto tako:
– jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom osom;
– jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom osom.

Ako su slobodni članovi jednaki nuli, tada će ravni direktno proći kroz odgovarajuće ose. Na primjer, klasična “direktna proporcionalnost”: . Nacrtajte pravu liniju u ravni i mentalno je pomnožite gore-dolje (pošto je "Z" bilo koji). Zaključak: avion, dato jednačinom, prolazi kroz koordinatnu osu.

Završavamo pregled: jednačina ravnine prolazi kroz ishodište. Pa, ovdje je sasvim očigledno da tačka zadovoljava ovu jednačinu.

I na kraju, slučaj prikazan na crtežu: – ravan je prijateljski sa svim koordinatnim osama, a uvek „odseca“ trougao, koji se može nalaziti u bilo kom od osam oktanata.

Linearne nejednakosti u prostoru

Da biste razumjeli informacije, morate dobro proučiti linearne nejednačine u ravni, jer će mnoge stvari biti slične. Paragraf će biti kratkog preglednog karaktera sa nekoliko primjera, budući da je materijal u praksi prilično rijedak.

Ako jednačina definira ravan, onda su nejednačine
pitaj poluprostori. Ako nejednakost nije stroga (posljednje dvije na listi), tada rješenje nejednakosti, pored poluprostora, uključuje i samu ravan.

Primjer 5

Pronađite vektor jedinične normale ravnine .

Rješenje: Jedinični vektor je vektor čija je dužina jedan. Označimo dati vektor kroz . Potpuno je jasno da su vektori kolinearni:

Prvo uklanjamo vektor normale iz jednadžbe ravnine: .

Kako pronaći jedinični vektor? Da biste pronašli jedinični vektor, trebate svaki podijelimo vektorsku koordinatu dužinom vektora.

Prepišimo normalni vektor u formu i pronađemo njegovu dužinu:

prema gore navedenom:

Odgovori:

Provjera: ono što je trebalo provjeriti.

Čitaoci koji su pažljivo proučili posljednji pasus lekcije vjerovatno su to primijetili koordinate jediničnog vektora su tačno kosinus smjera vektora:

Odmorimo se od problema koji je prisutan: kada vam je dat proizvoljan vektor koji nije nula, a prema uvjetu potrebno je pronaći njegove kosinuse smjera (vidi posljednje zadatke lekcije Tačkasti proizvod vektora), tada ćete, u stvari, pronaći jedinični vektor kolinearan ovom. Zapravo dva zadatka u jednoj boci.

Potreba za pronalaženjem vektora jedinične normale javlja se u nekim problemima matematičke analize.

Shvatili smo kako izvući normalni vektor, a sada odgovorimo na suprotno pitanje:

Kako napraviti jednadžbu ravni koristeći tačku i normalni vektor?

Ova kruta konstrukcija normalnog vektora i tačke je dobro poznata na dasci. Ispružite ruku naprijed i mentalno birajte proizvoljna tačka prostor, na primjer, mala mačka u kredencu. Očigledno, kroz ovu tačku možete nacrtati jednu ravan okomitu na vašu ruku.

Jednačina ravnine koja prolazi kroz tačku okomitu na vektor izražava se formulom:

Da biste proučavali pravolinijske jednačine, morate dobro razumjeti vektorsku algebru. Važno je pronaći vektor pravca i vektor normale linije. Ovaj članak će razmotriti vektor normale prave s primjerima i crtežima, pronalaženje njegovih koordinata ako su poznate jednadžbe pravih. Razgovarat će se o detaljnom rješenju.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Da biste materijal lakše probavili, morate razumjeti koncepte linije, ravni i definicija koje su povezane s vektorima. Prvo, hajde da se upoznamo sa konceptom vektora linije.

Definicija 1

Vektor normalne linije je bilo koji vektor različit od nule koji leži na bilo kojoj pravoj okomitoj na datu jedinicu.

Jasno je da postoji beskonačan broj normalnih vektora koji se nalaze na datoj liniji. Pogledajmo sliku ispod.

Nalazimo da je prava okomita na jednu od dvije date paralelne prave, a zatim se njena okomita proteže na drugu paralelnu pravu. Iz ovoga dobijamo da se skupovi vektora normale ovih paralelnih pravih poklapaju. Kada su linije a i a 1 paralelne, a n → se smatra normalnim vektorom za pravu a, takođe se smatra normalnim vektorom za pravu a 1. Kada linija a ima direktan vektor, tada je vektor t · n → različit od nule za bilo koju vrijednost parametra t, a također je normalan za pravu a.

Koristeći definiciju vektora normale i vektora smjera, možemo zaključiti da je vektor normale okomit na smjer. Pogledajmo primjer.

Ako je data ravan O x y, tada je skup vektora za O x koordinatni vektor j → . Smatra se različitim od nule i pripada koordinatnoj osi O y, okomitoj na O x. Cijeli skup normalnih vektora u odnosu na O x može se napisati kao t · j →, t ∈ R, t ≠ 0.

Pravougaoni sistem O x y z ima vektor normale i → povezan sa pravom linijom O z. Vektor j → se također smatra normalnim. Ovo pokazuje da se svaki vektor različit od nule koji se nalazi u bilo kojoj ravni i okomit na O z smatra normalnim na O z.

Koordinate vektora normale prave linije - pronalaženje koordinata vektora normale prave linije koristeći poznate jednadžbe prave linije

Kada se razmatra pravougaoni koordinatni sistem O x y, nalazimo da mu odgovara jednačina prave linije na ravni, a određivanje vektora normale vrši se iz koordinata. Ako je jednadžba prave linije poznata, a potrebno je pronaći koordinate vektora normale, onda je potrebno identificirati koeficijente iz jednačine A x + B y + C = 0, koji odgovaraju koordinatama vektor normale date prave linije.

Primjer 1

Datoj liniji oblika 2 x + 7 y - 4 = 0 _, pronađite koordinate vektora normale.

Rješenje

Pod uslovom imamo da je prava linija data opštom jednačinom, što znači da je potrebno zapisati koeficijente koji su koordinate vektora normale. To znači da koordinate vektora imaju vrijednost 2, 7.

odgovor: 2 , 7 .

Postoje slučajevi kada su A ili B iz jednačine jednaki nuli. Pogledajmo rješenje takvog zadatka koristeći primjer.

Primjer 2

Odredite vektor normale za datu pravu y - 3 = 0.

Rješenje

Pod uslovom nam je data opšta jednačina prave linije, pa je zapišimo ovako: 0 · x + 1 · y - 3 = 0. Sada jasno vidimo koeficijente, koji su koordinate vektora normale. To znači da nalazimo da su koordinate vektora normale 0, 1.

Odgovor: 0, 1.

Ako je data jednačina u segmentima oblika x a + y b = 1 ili jednačina sa nagib y = k · x + b, onda je potrebno svesti na opštu jednačinu prave, gde možete pronaći koordinate vektora normale ove prave.

Primjer 3

Pronađite koordinate vektora normale ako je data jednadžba prave x 1 3 - y = 1.

Rješenje

Prvo, trebate prijeći od jednadžbe u segmentima x 1 3 - y = 1 na opštu jednačinu. Tada dobijamo da je x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0.

Ovo pokazuje da koordinate vektora normale imaju vrijednost 3, - 1.

odgovor: 3 , - 1 .

Ako je prava definisana kanonskom jednadžbom prave na ravni x - x 1 a x = y - y 1 a y ili parametarskom x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ, tada dobijanje koordinata postaje komplikovanije. Iz ovih jednačina je jasno da će koordinate vektora smjera biti a → = (a x , a y) . Mogućnost pronalaženja koordinata vektora normale n → moguća je zbog uslova okomitosti vektora n → i a →.

Moguće je dobiti koordinate normalnog vektora redukcijom kanonskog ili parametarske jednačine direktno generalu. tada dobijamo:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 = 0

Da biste to riješili, možete odabrati bilo koju prikladnu metodu.

Primjer 4

Pronađite vektor normale date prave x - 2 7 = y + 3 - 2 .

Rješenje

Iz prave linije x - 2 7 = y + 3 - 2 jasno je da će vektor smjera imati koordinate a → = (7 , - 2) . Vektor normale n → = (n x , n y) date prave je okomit na a → = (7 , - 2) .

Hajde da saznamo čemu je jednak skalarni proizvod. Naći tačkasti proizvod vektore a → = (7, - 2) i n → = (n x, n y) pišemo a →, n → = 7 · n x - 2 · n y = 0.

Vrijednost n x je proizvoljna; n y treba pronaći. Ako je n x = 1, odavde dobijamo da je 7 · 1 - 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2.

To znači da vektor normale ima koordinate 1, 7 2.

Drugo rješenje se svodi na to da je potrebno doći opšti izgled jednačine iz kanonske. Da bismo to učinili, transformiramo se

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 · (y + 3) = - 2 · (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

Rezultat koordinata vektora normale je 2,7.

Odgovor: 2, 7 ili 1 , 7 2 .

Primjer 5

Navedite koordinate vektora normale prave x = 1 y = 2 - 3 · λ.

Rješenje

Prvo, trebate izvršiti transformaciju za prijelaz na opći oblik prave linije. hajde da uradimo:

x = 1 y = 2 - 3 · λ ⇔ x = 1 + 0 · λ y = 2 - 3 · λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 · (x - 1) = 0 · (y - 2) ⇔ - 3 · x + 0 · y + 3 = 0

Ovo pokazuje da su koordinate vektora normale - 3, 0.

odgovor: - 3 , 0 .

Razmotrimo metode za pronalaženje koordinata normalnog vektora za jednadžbu ravne linije u datom prostoru pravougaoni sistem koordinate O x y z.

Kada je prava data jednadžbama ravni koje se sijeku A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, tada je vektor normale ravan se odnosi na A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, tada dobijamo vektore napisane u obliku n 1 → = (A 1, B 1, C 1) i n 2 → = (A 2, B 2, C 2).

Kada je prava definisana pomoću kanonske jednadžbe prostora, koja ima oblik x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ili parametarskom jednačinom, koja ima oblik x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ, pa se a x, a y i a z smatraju koordinatama vektora pravca date prave linije. Svaki vektor različit od nule može biti normalan za datu liniju i biti okomito na vektor a → = (a x, a y, a z) . Iz toga slijedi da pronalaženje koordinata normale sa parametarskim i kanonske jednačine proizvedeno korištenjem koordinata vektora koji je okomit na dati vektor a → = (a x, a y, a z) .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U najopštijem slučaju, normala na površinu predstavlja njenu lokalnu krivinu, a samim tim i pravac zrcalne refleksije (slika 3.5). U odnosu na naša saznanja, možemo reći da je normala vektor koji određuje orijentaciju lica (slika 3.6).

Rice. 3.5 Sl. 3.6

Mnogi algoritmi za uklanjanje skrivenih linija i površina koriste samo rubove i vrhove, pa da biste ih kombinirali s modelom osvjetljenja, morate znati približnu vrijednost normale na rubovima i vrhovima. Neka su date jednadžbe ravni poligonalnih lica, tada je normala na njihov zajednički vrh jednaka srednjoj vrijednosti normala na sve poligone koji konvergiraju ovom vrhu. Na primjer, na sl. 3.7 smjer približne normale u tački V 1 Tu je:

n v1 = (a 0 + a 1 + a 4 )i + (b 0 + b 1 + b 4 )j + (c 0 + c 1 + c 4 )k, (3.15)

Gdje a 0 , a 1 , a 4 ,b 0 ,b 1 , b 4 , c 0 , c 1 , c 4 - koeficijenti jednadžbi ravni tri poligona P 0 , P 1 , P 4 , oni okolo V 1 . Imajte na umu da ako trebate pronaći samo smjer normale, tada dijeljenje rezultata s brojem lica nije potrebno.

Ako jednačine ravnina nisu date, onda se normala na vrh može odrediti usrednjavanjem vektorskih proizvoda svih ivica koje se sijeku u vrhu. Još jednom, gledajući vrh V 1 na Sl. 3.7, nalazimo smjer približne normale:

n v1 = V 1 V 2 V 1 V 4 +V 1 V 5 V 1 V 2 +V 1 V 4  V 1 V 5 (3.16)

Rice. 3.7 - Aproksimacija normale na poligonalnu površinu

Imajte na umu da su potrebne samo vanjske normale. Osim toga, ako rezultirajući vektor nije normaliziran, tada njegova vrijednost ovisi o broju i površini određenih poligona, kao io broju i dužini određenih rubova. Uticaj poligona sa veća površina i duža rebra.

Kada se normala površine koristi za određivanje intenziteta i transformacija perspektive se izvodi na objektu ili slici scene, normala se mora izračunati prije podjele perspektive. U suprotnom, smjer normale će biti izobličen, a to će uzrokovati da se intenzitet koji je specificiran modelom osvjetljenja pogrešno odredi.

Ako je poznat analitički opis ravni (površine), onda se normala izračunava direktno. Znajući jednadžbu ravnine svake strane poliedra, možete pronaći smjer vanjske normale.

Ako je jednadžba ravni:

tada se vektor normale na ovu ravan piše na sljedeći način:

, (3.18)

Gdje
- jedinični vektori sjekire x,y,z respektivno.

Magnituda d izračunava se pomoću proizvoljne tačke koja pripada ravni, na primjer, za tačku (
)

Primjer. Razmotrimo 4-strani ravan poligon opisan sa 4 vrha V1(1,0,0), V2(0,1,0), V3(0,0,1) i V4(1,1,1) (vidi Sl. 3.7).

Jednačina ravnine je:

x + y + z - 1 = 0.

Hajde da dobijemo normalu na ovu ravan koristeći vektorski proizvod para vektora koji su susjedni rubovi jednog od vrhova, na primjer, V1:

Mnogi algoritmi za uklanjanje skrivenih linija i površina koriste samo ivice ili vrhove, tako da je za njihovo kombinovanje sa modelom osvetljenja potrebno znati približnu vrednost normale na ivicama i vrhovima.

Neka su date jednadžbe ravni lica poliedra, tada je normala na njihov zajednički vrh jednaka srednjoj vrijednosti normala na sva lica koja konvergiraju u ovom vrhu.