Kako riješiti sistem racionalnih nejednakosti. Frakcionalne racionalne nejednakosti

Hajde da ga nađemo numeričke vrijednosti x, pri čemu se pretvaraju u istinite numeričke nejednakosti nekoliko istovremeno racionalne nejednakosti. U takvim slučajevima kažu da je potrebno riješiti sistem racionalnih nejednakosti sa jednim nepoznatim x.

Da bi se riješio sistem racionalnih nejednakosti, potrebno je pronaći sva rješenja za svaku nejednakost u sistemu. Tada će zajednički dio svih pronađenih rješenja biti rješenje sistema.

primjer: Riješite sistem nejednačina

(x -1)(x - 5)(x - 7)< 0,

Prvo rješavamo nejednakost

(x - 1) (x - 5) (x - 7)< 0.

Koristeći metodu intervala (slika 1), nalazimo da se skup svih rješenja nejednakosti (2) sastoji od dva intervala: (-, 1) i (5, 7).

Slika 1

Sada riješimo nejednakost

Koristeći metodu intervala (slika 2), nalazimo da se skup svih rješenja nejednakosti (3) sastoji i od dva intervala: (2, 3) i (4, +).

Sada treba da nađemo zajednički dio rješavanje nejednačina (2) i (3). Hajde da crtamo koordinatna osa x i označite rješenja koja se na njemu nalaze. Sada je to jasno zajednički dio rješenje nejednačina (2) i (3) je interval (5, 7) (slika 3).

Prema tome, skup svih rješenja sistema nejednačina (1) čini interval (5, 7).

primjer: Riješite sistem nejednačina

x2 - 6x + 10< 0,

Hajde da prvo riješimo nejednakost

x 2 - 6x + 10< 0.

Koristeći metodu odabira pun kvadrat, možemo to napisati

x 2 - 6x + 10 = x 2 - 2x3 + 3 2 - 3 2 + 10 = (x - 3) 2 +1.

Stoga se nejednakost (2) može zapisati u obliku

(x - 3) 2 + 1< 0,

iz čega je jasno da nema rješenja.

Sada ne morate rješavati nejednakost

pošto je odgovor već jasan: sistem (1) nema rješenja.

primjer: Riješite sistem nejednačina

Pogledajmo prvo prvu nejednakost; imamo

1 < 0, < 0.

Koristeći predznak krivulje nalazimo rješenja ove nejednakosti: x< -2; 0 < x < 2.

Rešimo sada drugu nejednačinu datom sistemu. Imamo x 2 - 64< 0, или (х - 8)(х + 8) < 0. С помощью кривой знаков находим решения неравенства: -8 < x < 8.

Zabilježivši pronađena rješenja prve i druge nejednačine na opštoj brojevnoj pravoj (slika 6), nalazimo takve intervale u kojima se ova rješenja poklapaju (presjek rješenja): -8< x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

primjer: Riješite sistem nejednačina

Transformirajmo prvu nejednakost sistema:

x 3 (x - 10)(x + 10) 0, ili x(x - 10)(x + 10) 0

(pošto se faktori u neparnim stepenima mogu zameniti odgovarajućim faktorima prvog stepena); Koristeći metodu intervala, naći ćemo rješenja posljednje nejednačine: -10 x 0, x 10.

Razmotrimo drugu nejednakost sistema; imamo

Nalazimo (slika 8) x -9; 3< x < 15.

Kombinacijom pronađenih rješenja dobijamo (slika 9) x 0; x > 3.

primjer: Nađi cjelobrojna rješenja sistemi nejednakosti:

x + y< 2,5,

Rješenje: Dovedemo sistem u formu

Zbrajanjem prve i druge nejednakosti imamo y< 2, 75, а учитывая третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

gdje je -1< x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

Tema časa "Rješavanje sistema racionalnih nejednačina"

Klasa 10

Vrsta lekcije: pretraga

Cilj: pronalaženje načina za rješavanje nejednakosti sa modulom, primjena intervalne metode u novoj situaciji.

Ciljevi lekcije:

Testirajte svoje vještine u rješavanju racionalnih nejednakosti i njihovih sistema; - pokazati studentima mogućnost upotrebe intervalne metode pri rješavanju nejednačina sa modulom;

Naučite logično razmišljati;

Razvijati vještinu samoprocjene svog rada;

Naučite da izrazite svoje misli

Naučite da branite svoju tačku gledišta razumom;

Formirati pozitivan motiv za učenje kod učenika;

Razvijati samostalnost učenika.

Tokom nastave

I. Organiziranje vremena(1 min)

Poštovani, danas ćemo nastaviti sa proučavanjem teme „Sistem racionalnih nejednakosti“, svoje znanje i vještine ćemo primijeniti u novoj situaciji.

Zapišite datum i temu lekcije "Rješavanje sistema racionalnih nejednačina". Danas vas pozivam na putovanje putevima matematike, gdje vas čekaju testovi, ispit snage. Na vašim stolovima su mape puta sa zadacima, putni list za samoprocjenu, koji ćete na kraju putovanja predati meni (otpremniku).

Moto putovanja bit će aforizam “Ko hoda može savladati put, ali ko misli u matematici”. Ponesite svoje znanje sa sobom. Uključi proces razmišljanja i idemo. Na putu će nas pratiti drumski radio.Svira se muzičko djelo (1 min). Zatim oštar zvuk signala.

II. Faza provjere znanja. Rad u grupama."Pregled prtljaga"

Evo prvog testa za provjeru prtljage, koji testira vaše znanje o ovoj temi

Sada ćete biti podijeljeni u grupe od 3 ili 4 osobe. Svako na svom stolu ima komad papira sa zadatkom. Podijelite ove zadatke među sobom, riješite ih i zapišite gotove odgovore na zajednički list. Grupa od 3 osobe bira bilo koja 3 zadatka. Svako ko završi sve zadatke će to prijaviti nastavniku. Ja ili moji asistenti ćemo provjeriti odgovore, a ako je barem jedan odgovor netačan, grupi će biti vraćen list na ponovnu provjeru. (djeca ne vide odgovore, samo im se kaže koji zadatak ima pogrešan odgovor).Pobjednik je grupa koja prva obavi sve zadatke bez grešaka. Naprijed do pobjede.

Muzika je veoma tiha.

Ako dvije ili tri grupe završe svoj posao u isto vrijeme, jedno od djece iz druge grupe će pomoći nastavniku da provjeri. Odgovori na nastavničkom listu (4 primjerka).

Rad se zaustavlja kada se pojavi pobjednička grupa.

Ne zaboravite popuniti radni list za samoprocjenu. I idemo dalje.

List sa zadacima za "Pregled prtljaga"

1) 3)

2) 4)

III. Faza ažuriranja znanja i otkrivanja novih znanja. "Eureka"

Inspekcija je pokazala da imate bogato znanje.

Ali na putu se dešavaju razne situacije, ponekad je potrebna domišljatost, a mi ćemo provjeriti jeste li zaboravili da je ponesete sa sobom.

Naučili ste rješavati sisteme racionalnih nejednakosti koristeći intervalnu metodu. Danas ćemo pogledati za koje probleme je preporučljivo koristiti ovu metodu. Ali prvo, sjetimo se šta je modul.

1. Nastavite rečenice “Modul broja jednak je samom broju ako...”(usmeno)

„Modul broja je suprotan broj, ako..."

2. Neka je A(X) polinom u x

Nastavite sa snimanjem:

odgovor:

Zapišite suprotan izraz od A(x)

A(x) = 5 - 4x; A(x) = 6x 2 - 4x + 2

A(x)= -A(x)=

Učenik piše na tabli, momci u svoje sveske.

3. Pokušajmo sada pronaći način rješavanja kvadratne nejednakosti s modulom

Koji su vaši prijedlozi za rješavanje ove nejednakosti?

Poslušajte prijedloge momaka.

Ako nema prijedloga, onda postavite pitanje: "Može li se ova nejednakost riješiti korištenjem sistema nejednakosti?"

Učenik izlazi i odlučuje.

IV. Faza primarne konsolidacije novog znanja, izrada algoritma rješenja. Dopuna prtljaga.

(Rad u grupama od 4 osobe).

Sada predlažem da napunite svoj prtljag. Radit ćete u grupama.Svaka grupa dobija 2 kartice sa zadacima.

Na prvoj kartici potrebno je zapisati sisteme za rješavanje nejednakosti prikazanih na tabli i razviti algoritam za rješavanje takvih nejednakosti, nema potrebe da ih rješavate.

Prva karta je drugačija za grupe, druga je ista

Šta se desilo?

Ispod svake jednačine na ploči morate napisati skup sistema.

4 učenika izlaze i pišu sisteme. U ovom trenutku razgovaramo o algoritmu sa razredom.

V. Faza konsolidacije znanja."Put kući".

Prtljag je napunjen, sada je vrijeme za polazak Povratak. Sada sami riješite bilo koju od predloženih nejednakosti s modulom u skladu sa sastavljenim algoritmom.

Putni radio će opet biti s vama na putu.

Pustite tihu muziku u pozadini. Nastavnik provjerava dizajn i daje savjete ako je potrebno.

Zadaci na tabli.

Posao je završen. Provjerite odgovore (oni su uključeni stražnja strana tabli), ispunite putni list za samoprocjenu.

Postavljanje domaće zadaće.

Zapisati zadaća(prepišite u svoju svesku nejednačine koje niste uradili ili uradili sa greškama, dodatno br. 84 (a) na strani 373 udžbenika po želji)

VI. Faza opuštanja.

Koliko vam je ovo putovanje bilo korisno?

Šta ste naučili?

Sažmite. Izbrojite koliko je bodova svako od vas zaradio.(momci navode konačan rezultat).Predajte listove samoprocene dispečeru, odnosno meni.

Želim da završim lekciju parabolom.

“Jedan mudrac je hodao, a srela su ga tri čovjeka, noseći kola sa kamenjem za gradnju pod vrelim suncem. Mudrac je stao i svakome postavio pitanje. Prvog je upitao: “Šta si radio cijeli dan?”, a on je sa smiješkom odgovorio da je cijeli dan nosio prokleto kamenje. Mudrac je pitao drugog: „Šta si radio ceo dan?“, a on je odgovorio: „Savesno sam radio svoj posao“, a treći se nasmešio, lica ozareno radošću i zadovoljstvom: „I učestvovao sam u gradnji Hrama!”

Lekcija je gotova.

List za samoprocjenu

Prezime, ime, klasa		Broj bodova
Rad u grupi na rješavanju nejednakosti ili sistema nejednakosti.	2 boda ako je urađeno ispravno bez vanjske pomoći; 1 bod ako se radi ispravno uz pomoć izvana; 0 bodova ako niste izvršili zadatak 1 dodatni bod za grupnu pobjedu

Korišćenjem ovu lekciju naučićete o racionalnim nejednakostima i njihovim sistemima. Sistem racionalnih nejednakosti rješava se korištenjem ekvivalentnih transformacija. Razmatra se definicija ekvivalencije, metoda zamjene razlomačno-racionalne nejednakosti kvadratnom, a razumije se i razlika između nejednakosti i jednačine i kako se provode ekvivalentne transformacije.

Algebra 9. razred

Završni osvrt na kurs algebre 9. razreda

Racionalne nejednakosti i njihovi sistemi. Sistemi racionalnih nejednakosti.

1.1 Abstract.

1. Ekvivalentne konverzije racionalne nejednakosti.

Odluči se racionalna nejednakost znači pronaći sva njegova rješenja. Za razliku od jednadžbe, pri rješavanju nejednačine, po pravilu, nastaje beskonačan broj rješenja. Bezbroj rješenja se ne mogu provjeriti zamjenom. Stoga morate transformirati izvornu nejednakost tako da u svakom sljedećem redu dobijete nejednakost s istim skupom rješenja.

Racionalne nejednakosti može se riješiti samo uz pomoć ekvivalentno ili ekvivalentne transformacije. Takve transformacije ne iskrivljuju skup rješenja.

Definicija. Racionalne nejednakosti pozvao ekvivalentno, ako se skupovi njihovih rješenja poklapaju.

Da ukaže ekvivalencija koristite znak

2. Rješenje sistema nejednačina

Prva i druga nejednakost su razlomke racionalne nejednakosti. Metode za njihovo rješavanje prirodni su nastavak metoda za rješavanje linearnih i kvadratnih nejednačina.

Pomerimo brojeve sa desne strane na lijevu sa suprotnim predznakom.

Kao rezultat, desna strana će ostati 0. Ova transformacija je ekvivalentna. To je označeno znakom

Izvršimo radnje koje algebra propisuje. Oduzmite "1" u prvoj nejednakosti i "2" u drugoj.

3. Rješavanje nejednačina metodom intervala

1) Hajde da predstavimo funkciju. Moramo znati kada je ova funkcija manja od 0.

2) Nađimo domen definicije funkcije: nazivnik ne bi trebao sadržavati 0. “2” je tačka prekida. Kod x=2 funkcija je nedefinirana.

3) Pronađite korijene funkcije. Funkcija je jednaka 0 ako brojnik sadrži 0.

Postavljene tačke dijele brojevnu osu na tri intervala - to su intervali konstantnog predznaka. U svakom intervalu funkcija zadržava svoj predznak. Odredimo predznak na prvom intervalu. Zamenimo neku vrednost. Na primjer, 100. Jasno je da su i brojnik i imenilac veći od 0. To znači da je cijeli razlomak pozitivan.

Odredimo predznake na preostalim intervalima. Prilikom prolaska kroz tačku x=2, samo imenilac mijenja predznak. To znači da će cijeli razlomak promijeniti predznak i biti negativan. Hajde da sprovedemo slično razmišljanje. Prilikom prolaska kroz tačku x=-3, samo brojilac mijenja predznak. To znači da će razlomak promijeniti predznak i biti pozitivan.

Odaberimo interval koji odgovara uvjetu nejednakosti. Zasenčimo ga i zapišemo kao nejednakost

4. Rješavanje nejednakosti pomoću kvadratne nejednakosti

Važna činjenica.

Kada se poredi sa 0 (u slučaju stroge nejednakosti), razlomak se može zamijeniti umnoškom brojnika i nazivnika, ili se brojnik ili nazivnik mogu zamijeniti.

To je tako jer su sve tri nejednakosti zadovoljene pod uslovom da su u i v drugačiji znak. Ove tri nejednakosti su ekvivalentne.

Iskoristimo ovu činjenicu i zamijenimo frakciona racionalna nejednakost kvadrat.

Riješimo kvadratnu nejednačinu.

Hajde da se predstavimo kvadratna funkcija. Nađimo njegove korijene i napravimo skicu njegovog grafa.

To znači da su grane parabole okrenute prema gore. Unutar intervala korijena, funkcija zadržava svoj predznak. Ona je negativna.

Izvan intervala korijena funkcija je pozitivna.

Rješenje prve nejednakosti:

5. Rješenje nejednakosti

Hajde da predstavimo funkciju:

Nađimo njegove intervale konstantnog predznaka:

Da bismo to učinili, pronaći ćemo korijene i prijelomne točke domene definicije funkcije. Uvek izdvajamo prelomne tačke. (x=3/2) Iskopavamo korijene ovisno o znaku nejednakosti. Naša nejednakost je stroga. Stoga iskopavamo korijen.

Postavimo znakove:

Zapišimo rješenje:

Hajde da završimo rešavanje sistema. Nađimo presjek skupa rješenja prve nejednačine i skupa rješenja druge nejednačine.

Rješavanje sistema nejednačina znači pronalaženje presjeka skupa rješenja prve nejednačine i skupa rješenja druge nejednačine. Stoga, nakon što ste odvojeno riješili prvu i drugu nejednačinu, morate zapisati rezultate dobivene u jednom sistemu.

Opišimo rješenje prve nejednačine preko ose Ox.