Matematičke granice. Online kalkulator.Rešavanje granica

Za one koji žele naučiti kako pronaći granice u ovom članku ćemo govoriti o tome. Nećemo ulaziti u teoriju, ona se obično drži na predavanjima od strane nastavnika. Dakle, "dosadnu teoriju" treba izložiti u vašim sveskama. Ako ne, onda možete čitati udžbenike preuzete iz biblioteke obrazovne ustanove ili druge online resurse.

Dakle, koncept granice je prilično važan u proučavanju predmeta višu matematiku, posebno kada se sretnete integralni račun i razumjeti odnos između granice i integrala. U sadašnjem materijalu će se uzeti u obzir jednostavni primjeri, kao i načine za njihovo rješavanje.

Primjeri rješenja

Primjer 1
Izračunajte a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
Rješenje
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Često nam se šalju ova ograničenja i traže pomoć da ih riješimo. Odlučili smo da ih istaknemo konkretan primjer i da pojasnimo da ove granice treba jednostavno zapamtiti, po pravilu. Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo obezbediti detaljno rješenje. Moći ćete se upoznati s napretkom izračunavanja i prikupiti informacije. Ovo će vam pomoći da blagovremeno dobijete kredit od nastavnika!
Odgovori
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text(b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$

Šta učiniti s nesigurnošću forme: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Primjer 3
Riješite $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $
Rješenje
Kao i uvijek, počinjemo zamjenom vrijednosti $ x $ u izraz ispod znaka granice. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Šta je sledeće? Šta bi trebao biti rezultat? Budući da je ovo neizvjesnost, to još nije odgovor i nastavljamo računanje. Pošto imamo polinom u brojiocima, dekomponujemo ga na faktore koristeći poznatu formulu $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Zapamtite? Odlično! Sada samo naprijed i primijeni to uz pjesmu :) Dobijamo da je brojilac $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Nastavljamo rješavati s obzirom na gornju transformaciju: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
Odgovori
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Uzmimo granicu u zadnja dva primjera do beskonačnosti i razmotrimo nesigurnost: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Primjer 5
Izračunajte $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $
Rješenje
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ sta da radim? Kako biti? Ne paničarite, jer nemoguće je moguće. Potrebno je izvaditi zagrade i u brojniku i u nazivniku X, a zatim ga smanjiti. Nakon toga pokušajte izračunati granicu. Pokušavam... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Koristeći definiciju iz primjera 2 i zamjenom beskonačnosti za x, dobijamo: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
Odgovori
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritam za izračunavanje granica

Dakle, hajde da ukratko sumiramo analizirane primjere i napravimo algoritam za rješavanje granica:

Zamijenite tačku x u izrazu koji slijedi znak granice. Ako se dobije određeni broj, ili beskonačnost, onda je granica potpuno riješena. U suprotnom, imamo nesigurnost: "nula podijeljena nulom" ili "beskonačnost podijeljena beskonačnošću" i prijeđite na sljedeće paragrafe instrukcije.
Da biste eliminisali nesigurnost "nulu podijelite sa nulom" morate rastaviti brojnik i nazivnik. Smanjite slično. Zamijenite tačku x u izrazu ispod znaka granice.
Ako je nesigurnost "beskonačnost podijeljena sa beskonačnošću", tada uzimamo i u brojiocu i u nazivniku x najvećeg stepena. Skraćujemo x. Zamjenjujemo x vrijednosti ispod granice u preostali izraz.

U ovom članku ste se upoznali sa osnovama rješavanja limita koje se često koriste na kursu. Matematička analiza. Naravno, ovo nisu sve vrste problema koje nude ispitivači, već samo najjednostavnije granice. O drugim vrstama zadataka ćemo govoriti u budućim člancima, ali prvo morate naučiti ovu lekciju da biste nastavili dalje. Razgovaraćemo o tome šta da radimo ako postoje koreni, stepeni, proučavaćemo infinitezimalne ekvivalentne funkcije, divne granice, L'Hopitalovo pravilo.

Ako ne možete sami shvatiti granice, nemojte paničariti. Uvijek nam je drago pomoći!

Nesigurnost tipa i oblika najčešće su nesigurnosti koje je potrebno riješiti prilikom rješavanja ograničenja.

Večina zadaci na granicama koji nailaze na učenike, upravo nose takve neizvjesnosti. Da bismo ih otkrili, ili, tačnije, izbjegli nejasnoće, postoji nekoliko umjetnih metoda za transformaciju oblika izraza pod graničnim znakom. Ove tehnike su sljedeće: pojam po član dijeljenje brojila i nazivnika najvećom potencijom varijable, množenje konjugiranim izrazom i faktorizacija za naknadno smanjenje korištenjem rješenja kvadratne jednačine i skraćene formule za množenje.

Neodređenost vrste

Primjer 1

n je jednako 2. Prema tome, dijelimo brojilac i imenilac po članu sa:

Komentar na desnoj strani izraza. Strelice i brojevi pokazuju čemu razlomci teže nakon zamjene umjesto n vrijednosti beskonačnosti. Ovdje, kao u primjeru 2, stepen n ima više u nazivniku nego u brojniku, zbog čega cijeli razlomak teži beskonačno maloj vrijednosti ili "supermalom broju".

Dobijamo odgovor: granica ove funkcije s promjenljivom koja teži beskonačnosti je .

Primjer 2 .

Rješenje. Ovdje je najveća snaga varijable x je jednako 1. Prema tome, delimo brojnik i nazivnik po članu sa x:

Komentar o toku rješenja. U brojiocu "x" zabijamo ispod korena trećeg stepena, a da njegov početni stepen (1) ostane nepromenjen, dodeljujemo mu isti stepen kao koren, odnosno 3. Nema strelica i dodatnih brojeva u ovom unosu, pa pokušajte mentalno, ali po analogiji sa prethodnim primjerom, odredite čemu teže izrazi u brojniku i nazivniku nakon zamjene beskonačnosti sa "x".

Dobili smo odgovor: granica ove funkcije s promjenljivom koja teži beskonačnosti jednaka je nuli.

Neodređenost vrste

Primjer 3 Otkrijte neizvjesnost i pronađite granicu.

Rješenje. Brojilac je razlika kocki. Hajde da ga razložimo na faktore koristeći skraćenu formulu množenja iz kursa skolska matematika:

Imenilac je kvadratni trinom, koji činimo na faktore rješavanjem kvadratne jednadžbe (opet referenca na rješavanje kvadratnih jednadžbi):

Zapišimo izraz dobiven kao rezultat transformacija i pronađemo granicu funkcije:

Primjer 4 Otkrijte neizvjesnost i pronađite granicu

Rješenje. Teorema o ograničenju količnika ovdje se ne primjenjuje, jer

Stoga razlomak transformiramo identično: množenjem brojnika i nazivnika binomom konjugatom sa nazivnikom i smanjimo za x+1. Prema posledicama teoreme 1, dobijamo izraz, rešavanjem kojeg nalazimo željenu granicu:

Primjer 5 Otkrijte neizvjesnost i pronađite granicu

Rješenje. Direktna zamjena vrijednosti x= 0 in datu funkciju dovodi do neodređenosti oblika 0/0. Da ga otvorite, pokrenite identične transformacije i kao rezultat dobijamo željenu granicu:

Primjer 6 Izračunati

Rješenje: koristiti granične teoreme

odgovor: 11

Primjer 7 Izračunati

Rješenje: u ovom primjeru, granice brojnika i nazivnika na su 0:

; . Dobili smo, dakle, da se teorema o graničnom količniku ne može primijeniti.

Faktoriziramo brojilac i nazivnik kako bismo smanjili razlomak zajedničkim faktorom koji teži nuli i stoga omogućili primjenu teoreme 3.

Kvadratni trinom u brojiocu, proširimo formulom, gdje su x 1 i x 2 korijeni trinoma. Faktori i nazivnik, smanjite razlomak za (x-2), a zatim primijenite teoremu 3.

odgovor:

Primjer 8 Izračunati

Rješenje: Za , brojilac i imenilac teže beskonačnosti, pa direktnom primjenom teoreme 3 dobijamo izraz , koji predstavlja nesigurnost. Da biste se riješili ove vrste nesigurnosti, podijelite brojilac i imenilac s najvećom potencijom argumenta. AT ovaj primjer treba podijeliti na X:

odgovor:

Primjer 9 Izračunati

Rješenje: x 3:

odgovor: 2

Primjer 10 Izračunati

Rješenje: Brojilac i imenilac teže beskonačnosti. Brojilac i imenilac dijelimo najvećom potencijom argumenta, tj. x 5:

Brojač razlomka teži 1, nazivnik 0, tako da razlomak teži beskonačnosti.

odgovor:

Primjer 11. Izračunati

Rješenje: Brojilac i imenilac teže beskonačnosti. Brojilac i imenilac dijelimo najvećom potencijom argumenta, tj. x 7:

odgovor: 0

Derivat.

Derivat funkcije y = f(x) u odnosu na argument x granica omjera njegovog prirasta y prema inkrementu x argumenta x poziva se kada inkrement argumenta teži nuli: . Ako je ova granica konačna, onda je funkcija y = f(x) naziva se diferencijabilnim u tački x. Ako ova granica postoji, onda kažemo da je funkcija y = f(x) ima beskonačan izvod na x.

Derivati od glavnog elementarne funkcije:

1. (konst)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Pravila diferencijacije:

Primjer 1 Pronađite izvod funkcije

Rješenje: Ako derivaciju drugog člana pronađemo po pravilu diferencijacije razlomka, onda je prvi član kompleksna funkcija, čiji se izvod nalazi po formuli:

, gdje , onda

Prilikom rješavanja korištene su sljedeće formule: 1,2,10, a, c, d.

odgovor:

Primjer 21. Pronađite izvod funkcije

Rješenje: oba termina - složene funkcije, gdje je za prvi , , i za drugi , , zatim

odgovor:

Derivatne aplikacije.

1. Brzina i ubrzanje

Neka funkcija s(t) opiše pozicija objekat u nekom koordinatnom sistemu u trenutku t. Tada je prvi izvod funkcije s(t) trenutan brzina objekat:
v=s′=f′(t)
Drugi izvod funkcije s(t) je trenutni ubrzanje objekat:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Tangentna jednadžba
y−y0=f′(x0)(x−x0),
gdje su (x0,y0) koordinate dodirne tačke, f′(x0) je vrijednost derivacije funkcije f(x) u dodirnoj tački.

3. Normalna jednačina
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

gdje su (x0,y0) koordinate tačke u kojoj je nacrtana normala, f′(x0) je vrijednost derivacije funkcije f(x) u datoj tački.

4. Funkcija rastuća i opadajuća
Ako je f′(x0)>0, tada funkcija raste u tački x0. Na slici ispod, funkcija raste na x x2.
Ako je f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Ako f′(x0)=0 ili derivacija ne postoji, onda nam ova karakteristika ne dozvoljava da odredimo prirodu monotonosti funkcije u tački x0.

5. Lokalni ekstremi funkcije
Funkcija f(x) ima lokalni maksimum u tački x1 ako postoji susedstvo tačke x1 takvo da za sve x iz ove okoline važi nejednakost f(x1)≥f(x).
Slično, funkcija f(x) ima lokalni minimum u tački x2 ako postoji okolina tačke x2 takva da za sve x iz ove okoline vrijedi nejednakost f(x2)≤f(x).

6. Kritične tačke
Tačka x0 je kritična tačka funkcija f(x) ako je izvod f′(x0) u njoj jednak nuli ili ne postoji.

7. Prvi dovoljan znak postojanja ekstremuma
Ako je funkcija f(x) rastuća (f′(x)>0) za sve x u nekom intervalu (a,x1] i opadajuća (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) za sve x iz intervala $

$ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

$ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

Prije nego što nastavite s rješenjem, odredite vrstu vašeg problema

Unesite 1 $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Da bi se otkrile takve nesigurnosti, potrebno je brojilac i imenilac razlomka pomnožiti konjugatom izraza koji sadrži korijen.

Primjer 1
Pronađite ograničenje sa korijenom $$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) $$
Rješenje
Zamijenite $ x \to 4 $ u funkciju sublimit: $$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) = \frac(0)(0) = $$ Dobijamo nesigurnost $ [\frac(0)(0)] $. Pomnožite brojilac i imenilac njegovim konjugatom, jer sadrži korijen: $ 4+\sqrt(x+12) $ $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))((4-\sqrt(x+12))(4+\sqrt (x+12))) = $$ Koristeći formulu razlike kvadrata $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ smanjujemo ograničenje na sljedeći oblik: $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))(16-(x+12)) = $$ Otvaramo zagrade u nazivniku i pojednostavljujemo ga: $$ = \lim \limits_(x \to 4) \frac((x-4)(4+\sqrt(x+12)))(4-x) = $$ Funkciju u limitu smanjujemo za $ x-4 $, imamo: $$ = -\lim \limits_(x \to 4) (4+\sqrt(x+12)) = -(4+\sqrt(4+12)) = -8 $$ Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo dati detaljno rješenje. Moći ćete se upoznati s napretkom izračunavanja i prikupiti informacije. Ovo će vam pomoći da blagovremeno dobijete kredit od nastavnika!
Odgovori
$$ \lim \limits_(x \to 4) \frac(x-4)(4-\sqrt(x+12)) = -8 $$

Upišite 2 $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Ograničenja s korijenom ovog tipa, kada $ x \to \infty $ moraju biti izračunata drugačije od prethodnog slučaja. Potrebno je odrediti najveće potencije izraza brojnika i nazivnika. Zatim izvadite najviši od dva stepena iz zagrada i smanjite.

Unesite 3 $ \bigg [\infty-\infty \bigg ] $

Ova vrsta ograničenja često se susreće u dodatnim zadacima na ispitu. Na kraju krajeva, učenici često ne izračunavaju ispravno granice ovog tipa. Kako riješiti limite s korijenima ovog tipa? Sve je jednostavno. Potrebno je pomnožiti i podijeliti funkciju u granici sa izrazom koji joj je konjugiran.

Primjer 3
Izračunajte korijensko ograničenje $$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x $$
Rješenje
Za $ x \to \infty $ u granici vidimo: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x = [\infty - \infty] = $$ Nakon množenja i dijeljenja konjugatom, imamo granicu: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac((\sqrt(x^2-3x)-x)(\sqrt(x^2-3x)+x))(\sqrt(x^2 -3x)+x) = $$ Pojednostavite brojilac koristeći formulu razlike kvadrata: $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac((x^2-3x)-x^2)(\sqrt(x^2-3x)+x) = $$ Nakon proširenja zagrada i pojednostavljenja, dobijamo: $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3x)(\sqrt(x^2-3x)+x) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3x)(x(\sqrt(1-\frac(3)(x))+1)) = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(-3)(\sqrt(1-\frac(3)(x))+1) = $$ Zamijenite $ x \to \infty $ u ograničenje i izračunajte ga: $$ = \frac(-3)(\sqrt(1-0)+1) = -\frac(3)(2) $$
Odgovori
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \sqrt(x^2-3x)-x = -\frac(3)(2) $$

\begin(jednačina) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(jednačina)

Primjer #4

Pronađite $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)$.

Pošto je $\lim_(x\to 4)\left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\right)=0$ i $\lim_(x\to 4)(16-x^ 2 )=0$, onda imamo posla sa nesigurnošću oblika $\frac(0)(0)$. Da biste se riješili iracionalnosti koja je uzrokovala ovu nesigurnost, potrebno je pomnožiti brojilac i imenilac izrazom koji je konjugiran s brojnikom. tu više neće pomoći, jer će množenje sa $\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)$ dovesti do sljedećeg rezultata:

$$ \left(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)\desno)\left(\sqrt(5x-12)+\sqrt(x+4)\right)=\sqrt((5x -12)^2)-\sqrt((x+4)^2) $$

Kao što vidite, takvo množenje nas neće spasiti od razlike korijena, što uzrokuje neodređenost $\frac(0)(0)$. Moramo pomnožiti drugim izrazom. Ovaj izraz mora biti takav da nakon množenja njime razlika kubnih korijena nestane. A kockasti korijen može "ukloniti" samo treći stepen, tako da trebate koristiti . Zamjenom $a=\sqrt(5x-12)$, $b=\sqrt(x+4)$ u desnu stranu ove formule, dobijamo:

$$ \left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\desno)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt( x+4)+\sqrt((x+4)^2) \right)=\\ =\sqrt((5x-12)^3)-\sqrt((x+4)^3)=5x-12 -(x+4)=4x-16. $$

Dakle, nakon množenja sa $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$, razlika kubnih korijena nestalo. To je izraz $\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2)$ koji će biti konjugiran na izraz $\ sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$. Vratimo se na našu granicu i pomnožimo brojilac i imenilac izrazom konjugiranim s brojnikom $\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4)$:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=\left|\frac(0)(0)\right |=\\ =\lim_(x\to 4)\frac(\left(\sqrt(5x-12)- \sqrt(x+4)\desno)\left(\sqrt((5x-12)^2 )+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \desno))((16-x^2)\left(\sqrt((5x) -12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \desno))=\\ =\lim_(x\to 4 )\frac(4x-16)((16-x^2)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt ((x+4)^2) \desno)) $$

Zadatak je praktično riješen. Ostaje samo uzeti u obzir da je $16-x^2=-(x^2-16)=-(x-4)(x+4)$ (vidi ). Dodatno, $4x-16=4(x-4)$, tako da prepisujemo posljednje ograničenje u ovom obliku:

$$ \lim_(x\to 4)\frac(4x-16)((16-x^2)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \ sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \desno))=\\ =\lim_(x\to 4)\frac(4(x-4))(-(x-4 )(x+4)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x-12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \ desno))=\\ =-4\cdot\lim_(x\to 4)\frac(1)((x+4)\left(\sqrt((5x-12)^2)+\sqrt(5x- 12)\cdot \sqrt(x+4)+\sqrt((x+4)^2) \desno))=\\ =-4\cdot\frac(1)((4+4)\left(\ sqrt((5\cdot4-12)^2)+\sqrt(5\cdot4-12)\cdot \sqrt(4+4)+\sqrt((4+4)^2) \desno))=-\ frac(1)(24). $$

Odgovori: $\lim_(x\to 4)\frac(\sqrt(5x-12)-\sqrt(x+4))(16-x^2)=-\frac(1)(24)$.

Razmotrimo još jedan primjer (primjer br. 5) u ovom dijelu, gdje primjenjujemo . U osnovi, shema rješenja se ne razlikuje od prethodnih primjera, osim što će konjugirani izraz imati drugačiju strukturu. Usput, vrijedi napomenuti da u tipičnim proračunima i testovima često postoje zadaci kada se, na primjer, izrazi s kubnim korijenom stavljaju u brojnik, a izrazi s kvadratnim korijenom stavljaju u nazivnik. U ovom slučaju morate pomnožiti i brojnik i imenilac raznim konjugiranim izrazima. Na primjer, kada se izračuna granica $\lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)$ koja sadrži nesigurnost oblika $\frac(0 )(0 )$, množenje će izgledati ovako:

$$ \lim_(x\to 8)\frac(\sqrt(x)-2)(\sqrt(x+1)-3)=\left|\frac(0)(0)\right|= \lim_ (x\do 8)\frac(\left(\sqrt(x)-2\desno)\cdot \left(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\desno)\cdot\left (\sqrt(x+1)+3\desno))(\left(\sqrt(x+1)-3\desno)\cdot\left(\sqrt(x+1)+3\desno)\cdot\ lijevo(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\desno))=\\= \lim_(x\to 8)\frac((x-8)\cdot\left(\sqrt( x+1)+3\desno))(\levo(x-8\desno)\cdot\left(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4\desno))= \lim_(x \to 8)\frac(\sqrt(x+1)+3)(\sqrt(x^2)+2\sqrt(x)+4)=\frac(3+3)(4+4+4) =\frac(1)(2). $$

Sve primijenjene transformacije su već ranije razmatrane, tako da pretpostavljam da ovdje nema posebnih nejasnoća. Međutim, ako rješenje vašeg sličnog primjera izazove pitanja, odjavite se o tome na forumu.

Primjer #5

Pronađite $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$.

Pošto je $\lim_(x\to 2)(\sqrt(5x+6)-2)=0$ i $\lim_(x\to 2)(x^3-8)=0$, imamo sa nesigurnošću $ \frac(0)(0)$. Da bismo otkrili ovu nesigurnost, koristimo . Konjugirani izraz za brojilac ima oblik

$$\sqrt((5x+6)^3)+\sqrt((5x+6)^2)\cdot 2+\sqrt(5x+6)\cdot 2^2+2^3=\sqrt(( 5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8.$$

Pomnoživši brojilac i imenilac razlomka $\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)$ gornjim konjugiranim izrazom, dobijamo:

$$\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\ lim_(x\to 2)\frac(\left(\sqrt(5x+6)-2\right)\cdot \left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x) +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\desno))((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\ cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\desno))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5x+6-16) ((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6) +8\desno))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+ 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\desno)) $$

Pošto $5x-10=5\cdot(x-2)$ i $x^3-8=x^3-2^3=(x-2)(x^2+2x+4)$ (vidi ), onda:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(5x-10)((x^3-8)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x +6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\desno))=\\ =\lim_(x\to 2)\frac(5(x-2))((x-2 )(x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3)+2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+ 6 )+8\desno))=\\ \lim_(x\to 2)\frac(5)((x^2+2x+4)\cdot\left(\sqrt((5x+6)^3) + 2\cdot\sqrt((5x+6)^2)+4\cdot\sqrt(5x+6)+8\desno))=\\ \frac(5)((2^2+2\cdot 2 + 4)\cdot\left(\sqrt((5\cdot 2+6)^3)+2\cdot\sqrt((5\cdot 2+6)^2)+4\cdot\sqrt(5\cdot 2 +6)+8\desno))=\frac(5)(384). $$

Odgovori: $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(5x+6)-2)(x^3-8)=\frac(5)(384)$.

Primjer #6

Pronađite $\lim_(x\to 2)\frac(\sqrt(3x-5)-1)(\sqrt(3x-5)-1)$.

Pošto je $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$ i $\lim_(x\to 2)(\sqrt(3x-5)-1)=0$, onda imamo posla sa nesigurnošću $\frac(0)(0)$. U takvim situacijama, kada su izrazi ispod korijena isti, možete koristiti metodu zamjene. Potrebno je zamijeniti izraz ispod korijena (tj. $3x-5$) uvođenjem neke nove varijable. Međutim, jednostavno korištenje novog slova neće učiniti ništa. Zamislite da smo izraz $3x-5$ jednostavno zamijenili slovom $t$. Tada razlomak ispod granice postaje: $\frac(\sqrt(t)-1)(\sqrt(t)-1)$. Iracionalnost nije nigdje nestala, samo se donekle promijenila, što nije nimalo olakšalo zadatak.

Ovdje je prikladno podsjetiti da korijen može ukloniti samo stupanj. Ali koji stepen koristiti? Pitanje nije trivijalno, jer imamo dva korijena. Jedan korijen petog, a drugi - trećeg reda. Stepen mora biti takav da se oba korijena uklanjaju u isto vrijeme! Potreban nam je prirodan broj koji je djeljiv sa $3$ i $5$ u isto vrijeme. Postoji beskonačan broj takvih brojeva, ali najmanji od njih je broj $15$. On je zvao najmanji zajednički višekratnik brojevi $3$ i $5$. A zamjena bi trebala biti ovakva: $t^(15)=3x-5$. Pogledajte šta takva zamjena čini korijenima.

Teorija granica je jedna od grana matematičke analize. Pitanje rješavanja granica je prilično opsežno, budući da postoje desetine metoda za rješavanje granica različitih tipova. Postoje desetine nijansi i trikova koji vam omogućavaju da riješite jednu ili drugu granicu. Ipak, pokušat ćemo razumjeti glavne vrste ograničenja na koje se najčešće susrećemo u praksi.

Počnimo sa samim konceptom granice. Ali prvo, kratka istorijska pozadina. Bio jednom davno jedan Francuz Augustin Louis Cauchy u 19. vijeku, koji je postavio temelje matematičke analize i dao stroge definicije, a posebno definiciju granice. Mora se reći da je taj isti Cauchy sanjao, sanja i sanjat će u noćnim morama svih studenata fizičko-matematičkih fakulteta, pošto je dokazao ogroman broj teorema matematičke analize, a jedna teorema je odvratnija od druge. S tim u vezi, nećemo razmatrati striktnu definiciju granice, već ćemo pokušati učiniti dvije stvari:

1. Shvatite šta je granica.
2. Naučite riješiti glavne vrste ograničenja.

Izvinjavam se na nekim nenaučnim objašnjenjima, bitno je da je materijal razumljiv i čajniku, što je, zapravo, zadatak projekta.

Dakle, koja je granica?

I odmah primjer zasto da se zezate sa bakom....

Svaki limit se sastoji od tri dijela:

1) Dobro poznata ikona ograničenja.
2) Unosi ispod ikone ograničenja, u ovom slučaju . Unos glasi "x teži jedinstvu." Najčešće - upravo, iako umjesto "x" u praksi postoje druge varijable. U praktičnim zadacima, umjesto jedinice, može postojati apsolutno bilo koji broj, kao i beskonačnost ().
3) Funkcije pod graničnim znakom, u ovom slučaju .

Sam zapis glasi ovako: "granica funkcije kada x teži jedinici."

Hajde da analiziramo sledeće važno pitanje - šta znači izraz "x traži do jedinstva? I šta je uopšte „stremiti“?
Koncept granice je koncept, da tako kažem, dinamičan. Konstruirajmo niz: prvo , zatim , , …, , ….
To jest, izraz "x traži na jedan" treba shvatiti na sljedeći način - "x" dosljedno uzima vrijednosti koji su beskonačno bliski jedinstvu i praktično se poklapaju s njim.

Kako riješiti gornji primjer? Na osnovu gore navedenog, samo trebate zamijeniti jedinicu u funkciji pod znakom ograničenja:

Dakle, prvo pravilo glasi: Kada dobijete bilo koje ograničenje, prvo samo pokušajte uključiti broj u funkciju.

Razmatrali smo najjednostavniju granicu, ali takvi se nalaze i u praksi, i to ne tako rijetko!

primjer beskonačnosti:

Razumijevanje šta je to? To je slučaj kada se neograničeno povećava, to jest: prvo, zatim, zatim, pa i tako dalje do beskonačnosti.

I šta se dešava sa funkcijom u ovom trenutku?
, , , …

Dakle: ako je , tada funkcija teži minus beskonačnosti:

Grubo govoreći, prema našem prvom pravilu, zamjenjujemo beskonačnost u funkciju umjesto "x" i dobijamo odgovor.

Još jedan primjer sa beskonačnošću:

Opet, počinjemo da rastemo do beskonačnosti i gledamo ponašanje funkcije:

Zaključak: za , funkcija raste beskonačno:

I još jedan niz primjera:

Pokušajte sami mentalno analizirati sljedeće i zapamtiti najjednostavnije vrste ograničenja:

, , , , , , , , ,
Ako negdje postoji sumnja, možete uzeti kalkulator i malo vježbati.
U slučaju da , pokušajte izgraditi niz , , . Ako onda , , .

Napomena: strogo govoreći, ovaj pristup sa građenjem nizova od nekoliko brojeva je netačan, ali je sasvim prikladan za razumijevanje najjednostavnijih primjera.

Obratite pažnju i na sljedeću stvar. Čak i ako je ograničenje dato sa velikim brojem na vrhu, ili barem sa milion: , onda je svejedno , jer će prije ili kasnije "x" poprimiti tako gigantske vrijednosti da će milion u odnosu na njih biti pravi mikrob.

Šta treba zapamtiti i razumjeti iz gore navedenog?

1) Kada dobijemo bilo koje ograničenje, prvo jednostavno pokušamo zamijeniti broj u funkciju.

2) Morate razumjeti i odmah riješiti najjednostavnije granice, kao npr , , itd.

Sada ćemo razmotriti grupu granica, kada , i funkcija je razlomak, u brojniku i nazivniku koji su polinomi

primjer:

Calculate Limit

Prema našem pravilu, pokušat ćemo zamijeniti beskonačnost u funkciju. Šta dobijamo na vrhu? Beskonačnost. A šta se dešava ispod? Takođe beskonačnost. Dakle, imamo takozvanu neodređenost forme. Moglo bi se pomisliti da , i odgovor je spreman, ali u opštem slučaju to uopšte nije slučaj i mora se primeniti neko rešenje, koje ćemo sada razmotriti.

Kako riješiti granice ovog tipa?

Prvo pogledamo brojilac i pronađemo najveću snagu:

Najveća snaga u brojiocu je dva.

Sada gledamo imenilac i takođe nalazimo najviši stepen:

Najveći stepen nazivnika je dva.

Zatim biramo najveći stepen brojnika i nazivnika: u ovom primjeru oni su isti i jednaki dva.

Dakle, metoda rješenja je sljedeća: da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je brojilac i imenilac podijeliti na najveći stepen.

Evo ga, odgovora, a ne beskonačnosti uopšte.

Šta je bitno za donošenje odluke?

Prvo, ukazujemo na nesigurnost, ako postoji.

Drugo, poželjno je prekinuti rješenje radi međuobjašnjenja. Obično koristim znak, on nema nikakvo matematičko značenje, već znači da se rješenje prekida radi srednjeg objašnjenja.

Treće, u granici je poželjno označiti čemu i kuda teži. Kada se rad sastavlja ručno, prikladnije je to učiniti ovako:

Za bilješke je bolje koristiti jednostavnu olovku.

Naravno, ne možete učiniti ništa od ovoga, ali tada će, možda, nastavnik uočiti nedostatke u rješenju ili početi postavljati dodatna pitanja o zadatku. I da li ti treba?

Primjer 2

Pronađite granicu
Opet u brojniku i nazivniku nalazimo u najvišem stepenu:

Maksimalni stepen u brojiocu: 3
Maksimalni stepen u nazivniku: 4
Izaberi najveći vrijednost, u ovom slučaju četiri.
Prema našem algoritmu, da bismo otkrili nesigurnost, podijelimo brojilac i nazivnik sa .
Kompletan zadatak može izgledati ovako:

Podijelite brojilac i imenilac sa

Primjer 3

Pronađite granicu
Maksimalni stepen "x" u brojiocu: 2
Maksimalna snaga "x" u nazivniku: 1 (može se napisati kao)
Da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je podijeliti brojilac i nazivnik sa . Čisto rješenje može izgledati ovako:

Podijelite brojilac i imenilac sa

Rekord ne znači deljenje sa nulom (nemoguće je podeliti sa nulom), već deljenje sa beskonačno malim brojem.

Dakle, kada se otkrije neodređenost forme, možemo dobiti konačan broj, nula ili beskonačnost.

Granice sa tipskom nesigurnošću i metodom za njihovo rješavanje

Sljedeća grupa granica je donekle slična granicama koje smo upravo razmatrali: postoje polinomi u brojniku i nazivniku, ali "x" više ne teži beskonačnosti, već konačan broj.

Primjer 4

Riješite granicu
Prvo, pokušajmo zamijeniti -1 u razlomku:

U ovom slučaju se dobija tzv. nesigurnost.

Opšte pravilo: ako postoje polinomi u brojniku i nazivniku, i postoji nesigurnost oblika , tada za njegovo otkrivanje rastaviti brojilac i imenilac.

Da biste to učinili, najčešće trebate riješiti kvadratnu jednadžbu i (ili) koristiti skraćene formule za množenje. Ako su ove stvari zaboravljene, posjetite stranicu Matematičke formule i tabele i upoznati se sa metodičkim materijalom Matematičke formule vruće škole. Inače, najbolje ga je odštampati, potrebno je vrlo često, a informacije sa papira se bolje upijaju.

Pa da riješimo naš limit

Rastavljanje brojnika i nazivnika na faktore

Da biste faktorizirali brojnik, morate riješiti kvadratnu jednačinu:

Prvo nalazimo diskriminanta:

I kvadratni korijen toga: .

Ako je diskriminanta velika, na primjer 361, koristimo kalkulator, funkcija kvadratnog korijena je na najjednostavnijem kalkulatoru.

! Ako se korijen ne izvuče u potpunosti (dobije se razlomak sa zarezom), vrlo je vjerovatno da je diskriminanta pogrešno izračunata ili je u zadatku greška u kucanju.

Zatim pronalazimo korijene:

Na ovaj način:

Sve. Brojilac se rastavlja na faktore.

Nazivnik. Imenilac je već najjednostavniji faktor i ne postoji način da se pojednostavi.

Očigledno, može se skratiti na:

Sada zamjenjujemo -1 u izrazu koji ostaje ispod predznaka granice:

Naravno, na testu, na testu, ispitu, rješenje nikada nije oslikano tako detaljno. U konačnoj verziji dizajn bi trebao izgledati otprilike ovako:

Rastavimo brojilac na faktore.

Primjer 5

Calculate Limit

Prvo, "čisto" rješenje

Razložimo brojilac i imenilac.

Brojač:
imenilac:

,

Šta je važno u ovom primjeru?
Prvo, morate dobro razumjeti kako se otkriva brojilac, prvo smo stavili u zagrade 2, a zatim koristili formulu razlike kvadrata. Ovo je formula koju trebate znati i vidjeti.