» Lekcija 15

Lekcija 15

Cramer metoda

(SLN)
- identifikator sistema
Ako je determinanta SLE različita od nule, tada je rješenje sistema određeno Cramerovom formulom:
, , ()
gdje:

	Da bismo to učinili, u kolonu u kojoj je varijabla x, dakle u prvi stupac, umjesto koeficijenata na x, stavljamo slobodne koeficijente koji se u sistemu jednačina nalaze na desnoj strani jednačina
	Da bismo to uradili, u kolonu u kojoj je promenljiva y (2. kolona), umesto koeficijenata na y, stavljamo slobodne koeficijente koji se u sistemu jednačina nalaze na desnoj strani jednačina
	Da bismo to učinili, u kolonu u kojoj stoji varijabla z, što znači treći stupac, umjesto koeficijenata na z, stavljamo slobodne koeficijente koji se u sistemu jednačina nalaze na desnoj strani jednačina

Vježba 1. Riješite SLE s Cramerovim formulama u Excelu

Napredak odluke

1. Zapisujemo jednačinu u matričnom obliku:

2. Unesite matricu A i B u Excel.

3. Naći determinantu matrice A. Trebalo bi da bude jednaka 30.

4. Determinanta sistema je različita od nule, dakle - rešenje je jednoznačno određeno Cramerovim formulama.

5. Popunite dX, dY, dZ vrijednosti na Excel listu (pogledajte sliku ispod).

6. Da biste izračunali vrijednosti dX, dY, dZ u ćelijama F8, F12, F16, morate unijeti funkciju koja izračunava determinantu dX, dY, dZ, respektivno.

7. Da biste izračunali vrijednost X u ćeliji I8, morate unijeti formulu =F8/B5 (prema Cramerovoj formuli dX/|A|).

8. Unesite formule da sami izračunate Y i Z.

Zadatak 2: samostalno pronađite rješenje SLE po Cramer metodi:

Cramerove formule i matrična metoda sistemska rješenja linearne jednačine nemaju ozbiljne praktična primjena, jer uključuju glomazne proračune. U praksi se Gaussova metoda najčešće koristi za rješavanje sistema linearnih jednačina.

Gaussova metoda

Proces Gausovog rješenja sastoji se od dva koraka.

1. Ravni potez: sistem je sveden na stepenasti (posebno trouglasti) oblik.

Da bi se riješio sistem jednačina, ispisuje se proširena matrica ovog sistema

a preko redova ove matrice proizvodi elementarne transformacije, dovodeći ga u formu kada će se nule nalaziti ispod glavne dijagonale.
Dozvoljeno je izvršiti elementarne transformacije na matricama.
Uz pomoć ovih transformacija, svaki put se dobije proširena matrica novi sistem, ekvivalentno originalnom, tj. sistem čije se rješenje poklapa sa rješenjem originalnog sistema.

2. Obrnuto: postoji sekvencijalno određivanje nepoznatih iz ovog postupnog sistema.

Primjer. Postavite kompatibilnost i riješite sistem

Rješenje.
Direktan potez: Zapišimo proširenu matricu sistema i zamijenimo prvi i drugi red tako da element bude jednak jedan (na ovaj način je pogodnije izvoditi transformacije matrice).



.

Imamo Rangovi sistemske matrice i njene proširene matrice poklapali su se sa brojem nepoznatih. Prema Kronecker-Capellijevoj teoremi, sistem jednačina je konzistentan i njegovo rješenje je jedinstveno.
Obrnuti potez: Zapišimo sistem jednadžbi čiju smo proširenu matricu dobili kao rezultat transformacija:

Tako da imamo .
Dalje, zamjenom u treću jednačinu, nalazimo .
Zamjenom i u drugu jednačinu, dobivamo .
Zamjenom u prvoj pronađenoj jednačini dobivamo .
Dakle, imamo rješenje za sistem.

Rješenje SLE Gaussovom metodom u Excelu:

Tekst će od vas tražiti da unesete formulu oblika: (=A1:B3+$C$2:$C$3) u opseg ćelija, itd., to su takozvane "formule niza". Microsoft Excel automatski ga zatvara u vitičaste zagrade (( )). Da biste unijeli ovu vrstu formule, odaberite cijeli raspon u koji želite da umetnete formulu, unesite formulu bez vitičastih zagrada u prvu ćeliju (za primjer iznad - =A1:B3+$C$2:$C$3) i pritisnite Ctrl +Shift+Enter.
Hajde da imamo sistem linearnih jednačina:

1. Zapišimo koeficijente sistema jednačina u ćelije A1:D4 i kolonu slobodnih članova u ćelije E1:E4. Ako je u ćelijiA1je 0, morate zamijeniti redove tako da ova ćelija ima vrijednost različitu od nule. Za veću jasnoću, možete dodati ispunu ćelijama u kojima se nalaze slobodni članovi.

2. Potrebno je smanjiti koeficijent na x1 u svim jednadžbama osim prve na 0. Prvo, uradimo to za drugu jednadžbu. Kopirajte prvi red u ćelije A6:E6 bez izmena, u ćelije A7:E7 treba da unesete formulu: (=A2:E2-$A$1:$E$1*(A2/$A$1)). Dakle, oduzimamo prvi red od drugog reda, pomnožen sa A2/$A$1, tj. odnos prvih koeficijenata druge i prve jednadžbe. Radi praktičnosti popunjavanja redova 8 i 9, reference na ćelije prvog reda moraju biti apsolutne (koristimo simbol $).

3. Unesenu formulu kopiramo u redove 8 i 9 i tako se riješimo koeficijenata ispred x1 u svim jednadžbama osim u prvoj.

4. Sada dovedemo koeficijente ispred x2 u trećoj i četvrtoj jednadžbi na 0. Da biste to učinili, kopirajte rezultirajuće 6. i 7. redove (samo vrijednosti) u redove 11 i 12, a u ćelije A13:E13 unesite formulu (=A8:E8-$ A$7:$E$7*(B8/$B$7)), koje zatim kopiramo u ćelije A14:E14. Tako se ostvaruje razlika redova 8 i 7, pomnožena sa koeficijentom B8/$B$7. .

5. Ostaje dovesti koeficijent na x3 u četvrtoj jednadžbi na 0, za ovo ćemo opet učiniti isto: kopirati rezultirajuće 11., 12. i 13. redove (samo vrijednosti) u redove 16-18 i upisati formulu ( = A14: E14-$A$13:$E$13*(C14/$C$13)). Tako se ostvaruje razlika između redova 14 i 13, pomnožena sa koeficijentom C14/$C$13. Ne zaboravite da permutirate linije da biste se riješili 0 u nazivniku razlomka.

6. Gaussovo kretanje naprijed je završeno. Počnimo obrnuto od posljednjeg reda rezultirajuće matrice. Potrebno je podijeliti sve elemente posljednjeg reda koeficijentom na x4. Da bismo to uradili, u red 24 unosimo formulu (=A19:E19/D19).

7. Dovedemo sve redove u sličan oblik, za to popunjavamo redove 23, 22, 21 sa sljedećim formulama:

23: (=(A18:E18-A24:E24*D18)/C18) - oduzimamo četvrti red pomnožen sa koeficijentom na x4 trećeg reda od trećeg reda.

22: (=(A17:E17-A23:E23*C17-A24:E24*D17)/B17) – oduzmite treći i četvrti red od drugog reda, pomnoženo sa odgovarajućim koeficijentima.

21: (=(A16:E16-A22:E22*B16-A23:E23*C16-A24:E24*D16)/A16) – oduzmite drugi, treći i četvrti od prvog reda, pomnoženo sa odgovarajućim koeficijentima.

Rezultat (korijeni jednadžbe) se izračunava u ćelijama E21:E24.

Sastavio: Saliy N.A.

Cramerova metoda se zasniva na korištenju determinanti u rješavanju sistema linearnih jednačina. Ovo uvelike ubrzava proces rješenja.

Cramerova metoda se može koristiti za rješavanje sistema od onoliko linearnih jednačina koliko ima nepoznatih u svakoj jednačini. Ako determinanta sistema nije jednaka nuli, onda se u rješenju može koristiti Cramerova metoda; ako je jednaka nuli, onda ne može. Osim toga, Cramerova metoda se može koristiti za rješavanje sistema linearnih jednačina koje imaju jedinstveno rješenje.

Definicija. Determinanta, sastavljena od koeficijenata nepoznatih, naziva se determinanta sistema i označava se sa (delta).

Odrednice

dobiju se zamjenom koeficijenata na odgovarajućim nepoznanicama slobodnim terminima:

;

.

Cramerova teorema. Ako je determinanta sistema različita od nule, onda sistem linearnih jednačina ima jedno jedino rešenje, a nepoznata je jednaka odnosu determinanti. Imenilac je determinanta sistema, a brojilac je determinanta dobijena iz determinante sistema zamenom koeficijenata sa nepoznatim slobodnim članovima. Ova teorema vrijedi za sistem linearnih jednačina bilo kojeg reda.

Primjer 1 Riješite sistem linearnih jednačina:

Prema Cramerova teorema imamo:

Dakle, rješenje sistema (2):

online kalkulator, odlučujući metod Kramer.

Tri slučaja u rješavanju sistema linearnih jednačina

Kako se čini iz Cramerove teoreme, pri rješavanju sistema linearnih jednačina mogu se pojaviti tri slučaja:

Prvi slučaj: sistem linearnih jednačina ima jedinstveno rješenje

(sistem je konzistentan i određen)

Drugi slučaj: sistem linearnih jednačina ima bezbroj odluke

(sistem je konzistentan i neodređen)

** ,

one. koeficijenti nepoznatih i slobodnih članova su proporcionalni.

Treći slučaj: sistem linearnih jednačina nema rješenja

(sistem nedosljedan)

Dakle, sistem m linearne jednačine sa n varijable se poziva nekompatibilno ako nema rješenja, i joint ako ima barem jedno rješenje. zglobni sistem naziva se jednadžba koja ima samo jedno rješenje siguran, i više od jednog neizvjesno.

Primjeri rješavanja sistema linearnih jednačina Cramer metodom

Pustite sistem

.

Na osnovu Cramerove teoreme

………….
,

gdje
-

identifikator sistema. Preostale determinante se dobiju zamjenom stupca s koeficijentima odgovarajuće varijable (nepoznate) sa slobodnim članovima:

Primjer 2

.

Dakle, sistem je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante

Po Cramerovim formulama nalazimo:

Dakle, (1; 0; -1) je jedino rješenje sistema.

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, Cramerovu metodu rješavanja.

Ako u sistemu linearnih jednadžbi nema varijabli u jednoj ili više jednačina, tada su u determinanti elementi koji im odgovaraju jednaki nuli! Ovo je sljedeći primjer.

Primjer 3 Rešite sistem linearnih jednačina Cramerovom metodom:

.

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Pažljivo pogledajte sistem jednačina i determinantu sistema i ponovite odgovor na pitanje u kojim slučajevima je jedan ili više elemenata determinante jednak nuli. Dakle, determinanta nije jednaka nuli, dakle, sistem je određen. Da bismo pronašli njegovo rješenje, izračunavamo determinante za nepoznate

Po Cramerovim formulama nalazimo:

Dakle, rješenje sistema je (2; -1; 1).

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, Cramerovu metodu rješavanja.

Vrh stranice

Nastavljamo da zajedno rješavamo sisteme koristeći Cramerovu metodu

Kao što je već spomenuto, ako je determinanta sistema jednaka nuli, a determinante za nepoznate nisu jednake nuli, sistem je nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Ilustrirajmo sljedećim primjerom.

Primjer 6 Rešite sistem linearnih jednačina Cramerovom metodom:

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Determinanta sistema je jednaka nuli, pa je sistem linearnih jednačina ili nekonzistentan i određen, ili nekonzistentan, odnosno nema rješenja. Da pojasnimo, izračunavamo determinante za nepoznate

Odrednice za nepoznate nisu jednake nuli, dakle sistem je nekonzistentan, odnosno nema rješenja.

Za provjeru rješenja sistema jednačina 3 X 3 i 4 X 4 možete koristiti online kalkulator, Cramerovu metodu rješavanja.

U zadacima o sistemima linearnih jednačina postoje i oni u kojima se pored slova koja označavaju varijable nalaze i druga slova. Ova slova označavaju neki broj, najčešće pravi broj. U praksi, takve jednačine i sistemi jednačina dovode do problema pretraživanja zajednička svojstva bilo koje pojave ili objekte. Odnosno, da li ste izmislili bilo šta novi materijal ili uređaja, a da bi se opisali njegova svojstva koja su uobičajena bez obzira na veličinu ili broj kopija, potrebno je riješiti sistem linearnih jednačina, gdje umjesto nekih koeficijenata za varijable postoje slova. Ne morate daleko tražiti primjere.

Sljedeći primjer je za sličan problem, samo se povećava broj jednačina, varijabli i slova koja označavaju neki realni broj.

Primjer 8 Rešite sistem linearnih jednačina Cramerovom metodom:

Rješenje. Nalazimo determinantu sistema:

Pronalaženje determinanti za nepoznate

Rješenje linearnih sistema algebarske jednačine u Excel-u Metode za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina su dobro opisane u udžbeniku "Osnove računarske matematike. Demidovich BP, Maron IA 1966". Preuzimanje - 11Mb

1. Metoda inverzne matrice (rješenje u Excelu)

S obzirom na jednačinu:
A*X = B, gdje je A kvadratna matrica, X,B - vektori;
i B - poznati vektor(tj. stupac brojeva), X je nepoznati vektor,
tada se rješenje X može zapisati kao:
X = A -1 *B, gdje je A -1 inverzno od A matrice.
U MS Excelu, inverzna matrica se izračunava funkcijom MIN(), a matrice (ili matrica vektorom) se množe sa funkcijom MMUM().

Postoje "suptilnosti" korištenja ovih matrične akcije u Excelu. Dakle, da biste izračunali inverznu matricu iz matrice A, trebate:

1. Mišom odaberite kvadratnu površinu ćelija gdje će se postaviti inverzna matrica. 2. Počnite unositi formulu =MOBR(3. Odaberite matricu A pomoću miša. U ovom slučaju odgovarajući raspon ćelija će stati desno od zagrade. 4. Zatvorite zagradu, pritisnite kombinaciju tipki: Ctrl-Shift -Unesite 5. Inverznu matricu treba izračunati i popuniti za to predviđenu površinu. Da biste matricu pomnožili vektorom: 1. Mišom odaberite područje ćelija u koje će se smjestiti rezultat množenja 2. Počnite unos formule =MULTIPLE(3. Označite matricu - prvi množitelj mišem. U ovom slučaju, odgovarajući raspon ćelija će biti unesen desno od zagrade. 4. Unesite separator sa tastature ; (tačka i zarez) 5. Odaberite mišem faktor vektor-sekunda. U ovom slučaju, odgovarajući raspon ćelija će stati desno od zagrade 6. Zatvorite zagradu, pritisnite kombinaciju tipki: Ctrl-Shift-Enter 7. proizvod treba izračunati i popuniti područje namijenjeno za njega.i drugi način na koji se koristi gumb za izgradnju Excel funkcija.4. primjer SLAE reda

Preuzmite Excel dokument u kojem je ovaj primjer riješen razne metode.

2. Gaussova metoda

Gaussova metoda se izvodi detaljno (po koracima) samo u obrazovne svrhe kada treba da pokažeš da to možeš. A da biste riješili pravi SLAE, bolje je primijeniti metodu u Excelu inverzna matrica ili koristite posebne programe, na primjer, ovo

Kratki opis.

3. Jacobi metoda (metoda jednostavnih iteracija)

Za primjenu Jacobijeve metode (i Seidelove metode), potrebno je da dijagonalne komponente matrice A budu veće od zbira preostalih komponenti istog reda. Ciljni sistem nema ovo svojstvo, pa izvodim preliminarne transformacije.

(1)' = (1) + 0,43*(2) - 0,18*(3) - 0,96*(4) (2)' = (2) + 0,28*(1) - 1 ,73*(3) + 0,12 *(4) (3)' = (3) – 0,27*(1) - 0,75*(2) + 0,08*(4) (4)' = (4) + 0,04*(1) – 6,50*(2) + 8,04*(3) Napomena: koeficijenti su odabrani na listu "Analiza". Rešeni su sistemi jednačina čija je svrha da se vandijagonalni elementi okrenu na nulu. Koeficijenti su zaokruženi rezultati rješavanja ovakvih sistema jednačina. Naravno, to nije slučaj. Kao rezultat, dobijam sistem jednačina:
Da bi se primijenila Jacobijeva metoda, sistem jednačina se mora transformirati u oblik:
X = B2 + A2*X

Zatim svaki red podijelim sa faktorom lijevog stupca, odnosno sa 16, 7, 3, 70. Tada matrica A2 ima oblik:


I vektor B2:

Kratka teorija iz kursa algebre:

Neka je zadan sistem linearnih jednačina (1). Matrična metoda rješavanje sistema linearnih jednačina koristi se u slučajevima kada je broj jednačina jednak broju varijabli.

Hajde da uvedemo notaciju. Neka ALI je matrica koeficijenata za varijable, B je vektor slobodnih termina, X je vektor varijabilnih vrijednosti. Onda X=A-1×B, gdje A -1– matrica, inverzna ALI. Štaviše, inverzna matrica A -1 postoji ako determinanta matrice A nije jednaka 0. Proizvod originalne matrice A i inverzne A -1 mora biti jednak matrici identiteta:

A -1 A \u003d AA -1 \u003d E.

Vježbajte: Riješite sistem linearnih jednačina:

Tehnologija rada:

Neka je na opsegu A11:C13 data početna matrica A sastavljena od koeficijenata sistema. Prvo pronađite determinantu matrice A. Da biste to učinili, u ćeliji F15, trebate pozvati Čarobnjak za funkcije, U kategoriji " Reference i nizovi"pronađi funkciju MOPRED() , postavite svoj argument na A11:C13. Dobili smo rezultat 344. Pošto determinanta originalne matrice A nije jednaka 0, tj. postoji inverzna matrica, tako da je sljedeći korak pronalaženje inverzne matrice. Da biste to učinili, odaberite raspon A15:C17, gdje će se postaviti inverzna matrica. pozivanje Čarobnjaci funkcija, u kategoriji " Reference i nizovi"pronađi funkciju MOBR( ), postavite njegov argument na A11:S13 i pritisnite Shift+Ctrl+Enter. Da biste provjerili ispravnost inverzne matrice, pomnožite je s originalnom pomoću funkcije MULT() . Pozovite ovu funkciju nakon odabira raspona A19:A21. Navedite originalnu matricu A kao argumente, tj. opseg A11:C13 i inverzna matrica, tj. raspon A15:C17 i pritisnite Shift+Ctrl+Enter. Got matrica identiteta. Dakle, inverzna matrica je ispravno pronađena. Sada da biste pronašli rezultat, odaberite raspon F18:F20 za njega. Pozovite funkciju MULT() koristeći Čarobnjaci funkcija, navedite dva raspona niza koje ćete množiti - inverznu matricu i stupac slobodnih članova, tj. A15:C17 i E11:E13 i pritisnite Shift+Ctrl+Enter. Rezultat je prikazan na slici 6.

Sada možete provjeriti ispravnost pronađenih rješenja x 1, x 2 i x 3. Da biste to učinili, izvršite proračun svake jednačine koristeći pronađene vrijednosti x 1, x 2 i x 3. Na primjer, u ćeliji G11 izračunajte vrijednost , a rezultat bi trebao biti jednak 3. Hajde da uvedemo sljedeću formulu =A11*$F$18+B11*$F$19+C11*$F$20 . Kopirajte ovu formulu u dvije ćelije ispod, tj. u G12 i G13. Ponovo nabavite kolonu besplatnih članova. Dakle, rješenje sistema linearnih jednačina je ispravno (slika 80).

Slika 80 - Rješavanje sistema linearnih jednačina

Varijante individualnih zadataka

Zadatak broj 1. Izračunajte vrijednost izraza koristeći Microsoft Excel:

Tabela 16 - Individualne opcije za laboratorijski rad