U prethodnim lekcijama učili smo kako se rješavaju kvadratne jednadžbe. To je zahtijevalo uvođenje novog matematičkog objekta, diskriminanta. Ako se ne sjećate o čemu se radi, preporučujem da se vratite na lekciju "Kako riješiti kvadratne jednadžbe".

Za početak, definicija onoga što je bi kvadratna jednačina je bilo koji izraz u kojem je varijabla prisutna samo u 4. i 2. stepenu.

1)uvesti novu varijablu $((x)^(2))=t$. U ovom slučaju, kvadriranjem obe strane ove jednačine dobijamo

\[\begin(align)& (((((x)^(2))))^(2))=((t)^(2)) \\& ((x)^(4))= ((t)^(2)) \\\end(poravnati)\]

2) prepiši naš izraz — $a((x)^(4))+b((x)^(2))+4=0\to a((t)^(2))+bt+c=0 $

3) nađemo rješenje za rezultirajuću jednačinu i pronađemo varijable $((t)_(1))$ i $((t)_(2))$ ako postoje dva korijena.

4) izvršimo inverznu zamjenu, tj. zapamtimo šta je $t$, dobićemo dvije konstrukcije: $((x)^(2))=((t)_(1))$ i $((x)^ ( 2))=((t)_(2))$.

5) rješavamo dobijene jednačine i nalazimo x-ove.

Pravi zadaci

Primjer #1

Pogledajmo kako ovaj sklop radi na stvarnim bikvadratnim jednadžbama.

Rešavamo prvi problem:

\[((x)^(4))-5((x)^(2))+4=0\]

Uvodimo novu varijablu i prepisujemo:

\[((x)^(2))=t\to ((t)^(2))-5t+4=0\]

Ovo je uobičajena kvadratna jednadžba, izračunavamo je pomoću diskriminanta:

Ovo je dobar broj. Koren je 3.

Sada pronađite vrijednost $t$:

\[\begin(niz)((35)(l))

((t)_(1))\text( )=\text( )\frac(5+3)(2)=\text( )\frac(8)(2)\text( )=\text( ) 4 \\((t)_(2))\text( )=\frac(5-3)(2)=\text( )\frac(2)(2)\text(= )1 \\\end (niz)\]

Ali budite oprezni, pronašli smo samo $t$ - ovo nije rješenje, ovo je tek treći korak. Pređimo na četvrti korak - zapamtite šta je $t$ i odlučite:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=4\to ((x)^(2))-4=0\to (x-2)(x+2)=0 \\ & \left[ \begin(align)& x=2 \\& x=-2 \\\end(align) \right. \\\end(poravnati)\]

Ovdje smo riješili prvi dio. Pređimo na drugu vrijednost $t$:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=1\to ((x)^(2))-1=0\to (x-1)(x+1)=0 \\ & \left[ \begin(align)& x=1 \\& x=-1 \\\end(align) \right. \\\end(poravnati)\]

Ukupno smo dobili četiri odgovora: 2; -2; jedan; -1, tj. Bikvadratna jednadžba može imati do četiri korijena.

Primjer #2

Pređimo na drugi primjer:

\[((x)^(4))-25((x)^(2))+144=0\]

Ovdje neću sve detaljno opisivati. Hajde da odlučimo kako ćemo to raditi na času.

Zamjenjujemo:

Tada ćemo imati:

\[((t)^(2))-25t+144=0\]

Count$D$:

Koren diskriminante je 7. Pronađite $t$:

\[\begin(niz)((35)(l))

((t)_(1))\text( )=\frac(25+7)(2)\text( )=\text( )\frac(32)(2)=\text( )16 \\( (t)_(2))\text( )=\frac(25-7)(2)=\text( )\frac(18)(2)\text( )=\text( )9 \\\end (niz)\]

Prisjetite se šta je $t$:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=16 \\& \left[ \begin(align)& x=4 \\& x=-4 \\\end(align) \right . \\\end(poravnati)\]

druga opcija:

\[\begin(poravnaj)& ((x)^(2))=9 \\& \left[ \begin(poravnaj)& x=3 \\& x=-3 \\\end(poravnaj) \desno . \\\end(poravnati)\]

To je sve. Ponovo imamo četiri odgovora: 4; -četiri; 3; -3.

Primjer #3

Pređimo na posljednju bikvadratnu jednačinu:

\[((x)^(4))-\frac(5)(4((x)^(2)))+\frac(1)(4)=0\]

Ponovo uvodimo zamjenu:

\[((t)^(2))-\frac(5)(4t)+\frac(1)(4)=0\]

Pomnožimo obje strane sa 4 da se riješimo razlomaka koeficijenata:

Pronađite $D$:

Koren diskriminanta je tri:

\[\begin(niz)((35)(l))

((t)_(1))\text( )=\text( )\frac(5+3)(2\cdot 4)=\text( )\frac(8)(8)\text( )=\ text( )1 \\((t)_(2))\text( )=\frac(5-3)(2\cdot 4)=\text( )\frac(2)(8)=\text( )\frac(1)(4) \\\end(niz)\]

Brojimo X. Prisjetite se šta je $t$:

\[\begin(poravnati)& ((x)^(2))=1 \\& \left[ \begin(align)& x=1 \\& x=-1 \\\end(poravnati) \desno . \\\end(poravnati)\]

Druga opcija je malo komplikovanija:

\[\begin(align)& ((x)^(2))=\frac(1)(4) \\& \left[ \begin(align)& x=\frac(1)(2) \\ & x=-\frac(1)(2) \\\end(align) \desno. \\\end(poravnati)\]

Ponovo imamo četiri korena:

Ovako se sve radi bikvadratne jednačine. Naravno, ovo nije najviše brz način ali je najpouzdaniji. Pokušajte sami riješiti iste primjere kao u ovom videu. U odgovoru, x vrijednosti moraju biti zapisane kroz tačku i zarez - ovako sam to zapisao. Ova lekcija je gotova. Sretno!

Uputstvo

Metoda zamjene Izrazite jednu varijablu i zamijenite je drugom jednačinom. Možete izraziti bilo koju varijablu koju želite. Na primjer, izrazite "y" iz druge jednadžbe:
x-y=2 => y=x-2 Zatim spojite sve u prvu jednačinu:
2x+(x-2)=10 Premjestiti sve bez x na desna strana i računaj:
2x+x=10+2
3x=12 Zatim, za "x, podijelite obje strane jednadžbe sa 3:
x=4. Dakle, pronašli ste "x. Pronađite "na. Da biste to učinili, zamijenite "x" u jednačinu iz koje ste izrazili "y:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Provjeri. Da biste to učinili, zamijenite rezultirajuće vrijednosti u jednadžbe:
2*4+2=10
4-2=2
Nepoznato pronađeno tačno!

Kako sabirati ili oduzimati jednačine Riješite se bilo koje varijable odjednom. U našem slučaju, to je lakše uraditi sa "y.
Pošto je u "y" "+", a u drugom "-", tada možete izvršiti operaciju sabiranja, tj. Lijevo dodajemo lijevu stranu, a desnu desnu stranu:
2x+y+(x-y)=10+2Pretvori:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Zamijenite "x" u bilo koju jednačinu i pronađite "y:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 Prema 1. metodi, možete pronaći ono što ste pronašli ispravno.

Ako nema jasno definisanih varijabli, onda je potrebno malo transformisati jednačine.
U prvoj jednačini imamo "2x", au drugoj samo "x. Da bi se sabiranje ili „x smanjilo, pomnožite drugu jednačinu sa 2:
x-y=2
2x-2y=4 Zatim oduzmite drugu jednačinu od prve jednačine:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3y=6
pronađite y = 2 "x izražavanjem iz bilo koje jednadžbe, tj.
x=4

Povezani video zapisi

Savjet 2: Kako riješiti linearnu jednačinu s dvije varijable

Jednačina, napisan u općem obliku ax + by + c = 0, naziva se linearna jednadžba s dva varijable. Ova jednačina sama sadrži beskonačan skup rješenja, pa se u zadacima uvijek dopunjava nečim - drugom jednačinom ili graničnim uslovima. U zavisnosti od uslova koje daje zadatak, rešiti linearnu jednačinu sa dva varijable trebalo bi Različiti putevi.

Trebaće ti

• - linearna jednačina sa dvije varijable;
• - druga jednačina ili dodatni uslovi.

Uputstvo

Dat sistem od dvije linearne jednačine, riješite ga na sljedeći način. Odaberite jednu od jednačina u kojima su koeficijenti prije varijable manji i izraziti jednu od varijabli, na primjer, x. Zatim tu vrijednost koja sadrži y ubacite u drugu jednačinu. U rezultirajućoj jednadžbi bit će samo jedna varijabla y, pomjerite sve dijelove sa y na lijevu stranu, a slobodne na desnu. Nađite y i zamijenite bilo koju od originalnih jednačina, pronađite x.

Postoji još jedan način da se reši sistem od dve jednačine. Pomnožite jednu od jednadžbi brojem tako da koeficijent ispred jedne od varijabli, na primjer ispred x, bude isti u obje jednačine. Zatim oduzmite jednu od jednadžbi od druge (ako desna strana nije 0, ne zaboravite da oduzmete desnu stranu na isti način). Vidjet ćete da je varijabla x nestala i da je ostalo samo jedno y. Riješite rezultirajuću jednačinu i zamijenite pronađenu vrijednost y u bilo koju od originalnih jednakosti. Pronađite x.

Treći način rješavanja sistema od dvije linearne jednačine je grafički. Nacrtajte koordinatni sistem i nacrtajte grafike dvije prave, čije su jednadžbe naznačene u vašem sistemu. Da biste to učinili, zamijenite bilo koje dvije vrijednosti x u jednadžbu i pronađite odgovarajući y - to će biti koordinate tačaka koje pripadaju pravoj. Najprikladnije je pronaći sjecište s koordinatnim osama - samo zamijenite vrijednosti x=0 i y=0. Koordinate tačke preseka ove dve linije biće zadaci.

Ako postoji samo jedna linearna jednadžba u uslovima zadatka, tada su vam dati dodatni uslovi zbog kojih možete pronaći rješenje. Pažljivo pročitajte problem da pronađete ove uslove. Ako a varijable x i y su udaljenost, brzina, težina - slobodno postavite granicu x≥0 i y≥0. Sasvim je moguće da x ili y skriva broj , jabuke itd. – tada vrijednosti mogu biti samo . Ako je x starost sina, jasno je da on ne može biti stariji od oca, pa to navedite u uslovima zadatka.

Izvori:

• kako riješiti jednačinu sa jednom promjenljivom

Samo po sebi jednačina sa tri nepoznato ima mnogo rješenja, pa se najčešće dopunjava sa još dvije jednadžbe ili uvjeta. Ovisno o tome koji su početni podaci, uvelike će zavisiti i tok odluke.

Trebaće ti

• - sistem od tri jednačine sa tri nepoznate.

Uputstvo

Ako dva od tri sistema imaju samo dvije od tri nepoznate, pokušajte izraziti neke varijable u terminima ostalih i priključiti ih u jednačina sa tri nepoznato. Vaš cilj s ovim je da ga pretvorite u normalu jednačina sa nepoznatim. Ako je ovo , dalje rješenje je prilično jednostavno - zamijenite pronađenu vrijednost u druge jednadžbe i pronađite sve ostale nepoznanice.

Neki sistemi jednačina mogu se oduzeti od jedne jednačine drugom. Pogledajte da li je moguće pomnožiti jedan od sa ili varijablu tako da se dvije nepoznanice smanje odjednom. Ako postoji takva prilika, iskoristite je, najvjerovatnije, naknadna odluka neće biti teška. Ne zaboravite da prilikom množenja brojem morate pomnožiti i lijevu i desnu stranu. Slično tome, kada oduzimate jednačine, zapamtite da desna strana također mora biti oduzeta.

Ako prethodne metode nisu pomogle, koristite na opšti način rješenja bilo koje jednačine sa tri nepoznato. Da biste to učinili, prepišite jednadžbe u obliku a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3. Sada napravite matricu koeficijenata na x (A), matricu nepoznatih (X) i matricu slobodnih (B). Obratite pažnju, množeći matricu koeficijenata matricom nepoznatih, dobit ćete matricu, matricu slobodnih članova, odnosno A * X \u003d B.

Pronađite matricu A na stepen (-1) nakon pronalaženja , imajte na umu da ne bi trebala biti jednaka nuli. Nakon toga, pomnožite rezultirajuću matricu sa matricom B, kao rezultat ćete dobiti željenu matricu X, koja označava sve vrijednosti.

Također možete pronaći rješenje za sistem od tri jednačine koristeći Cramerovu metodu. Da biste to učinili, pronađite determinantu trećeg reda ∆ koja odgovara matrici sistema. Zatim sukcesivno pronađite još tri determinante ∆1, ∆2 i ∆3, zamjenjujući vrijednosti slobodnih pojmova umjesto vrijednosti odgovarajućih stupaca. Sada pronađite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Izvori:

• rješenja jednadžbi sa tri nepoznanice

Rješavanje sistema jednačina je složeno i uzbudljivo. Kako teži sistem, interesantnije je to riješiti. Najčešće u matematici srednja škola postoje sistemi jednačina sa dve nepoznate, ali u višu matematiku može postojati više varijabli. Sistemi se mogu riješiti na nekoliko načina.

Uputstvo

Najčešća metoda za rješavanje sistema jednačina je supstitucija. Da biste to učinili, trebate izraziti jednu varijablu kroz drugu i zamijeniti je drugom jednačina sistema, dovodeći tako jednačina na jednu varijablu. Na primjer, date jednačine: 2x-3y-1=0; x+y-3=0.

Pogodno je izraziti jednu od varijabli iz drugog izraza, prebacujući sve ostalo na desnu stranu izraza, ne zaboravljajući promijeniti predznak koeficijenta: x = 3-y.

Otvaramo zagrade: 6-2y-3y-1 = 0; -5y + 5 = 0; y = 1. Rezultirajuća vrijednost y zamjenjuje se u izraz: x = 3-y; x \u003d 3-1; x = 2.

U prvom izrazu, svi članovi su 2, možete uzeti 2 iz zagrade na distributivno svojstvo množenja: 2 * (2x-y-3) = 0. Sada se oba dijela izraza mogu smanjiti za ovaj broj, a zatim izraziti y, jer je modulo koeficijent za njega jednak jedan: -y = 3-2x ili y = 2x-3.

Kao iu prvom slučaju, ovaj izraz zamjenjujemo drugim jednačina i dobijamo: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2 Rezultirajuću vrijednost zamijenimo u izraz: y=2x -3;y=4-3=1.

Vidimo da je koeficijent na y isti po vrijednosti, ali različit po predznaku, stoga, ako dodamo ove jednadžbe, potpuno ćemo se riješiti y: 4x + 3x-2y + 2y-6-8 = 0; 7x -14 \u003d 0; x = 2. Zamjenjujemo vrijednost x u bilo koju od dvije jednadžbe sistema i dobivamo y=1.

Povezani video zapisi

Bisquare jednačina predstavlja jednačinačetvrti stepen opšti oblik koji je predstavljen izrazom ax^4 + bx^2 + c = 0. Njegovo rješenje se zasniva na korištenju metode zamjene nepoznatih. AT ovaj slučaj x^2 je zamijenjen drugom varijablom. Dakle, rezultat je običan kvadrat jednačina, što treba riješiti.

Uputstvo

Riješite kvadrat jednačina rezultat zamjene. Da biste to učinili, prvo izračunajte vrijednost u skladu sa formulom: D = b^2 ? 4ac. U ovom slučaju, varijable a, b, c su koeficijenti naše jednačine.

Pronađite korijene bikvadratne jednadžbe. Da biste to učinili, uzmite kvadratni korijen dobivenih rješenja. Ako je bila jedna odluka, onda će biti dvije - pozitivne i negativno značenje kvadratni korijen. Da postoje dva rješenja, bikvadratna jednačina bi imala četiri korijena.

Povezani video zapisi

Jedna od klasičnih metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina je Gaussova metoda. Sastoji se u sekvencijalno isključivanje varijabli, kada se sistem jednačina, uz pomoć jednostavnih transformacija, pretvara u sistem koraka, iz kojeg se redom pronalaze sve varijable, počevši od posljednjih.

Uputstvo

Prvo, dovedite sistem jednačina u takav oblik kada će sve nepoznanice biti u strogo definisanom redosledu. Na primjer, svi nepoznati X-ovi će biti prvi u svakom redu, svi Y-ovi će doći nakon X, svi Z-ovi će doći nakon Y, itd. Na desnoj strani svake jednačine ne bi trebalo biti nepoznanica. Mentalno odredite koeficijente ispred svake nepoznate, kao i koeficijente na desnoj strani svake jednačine.

Svi iz škole znaju nešto kao jednačine. Jednačina je jednakost koja sadrži jednu ili više varijabli. Znajući da je jedan od dijelova ove jednakosti jednak drugom, moguće je izolovati pojedinačne dijelove jednačine, prenoseći jednu ili drugu njezinu komponentu izvan znaka jednakosti prema jasno definiranim pravilima. Možete pojednostaviti jednačinu do željenog logičkog zaključka u obliku x=n, gdje je n bilo koji broj.

OD osnovna škola Sva djeca pohađaju kurseve različite složenosti. Kasnije u programu složeniji linearne jednačine- kvadrat, onda idi kubne jednačine. Svaka sljedeća vrsta jednadžbi ima nove metode rješavanja, postaje sve teže proučavati i ponavljati.

Međutim, nakon ovoga postavlja se pitanje rješavanja takve vrste jednadžbi kao što su bikvadratne jednadžbe. Ovaj tip, unatoč prividnoj složenosti, rješava se prilično jednostavno: glavna stvar je biti u stanju dovesti takve jednadžbe u pravilan oblik. Njihovo rješenje se proučava u jednoj ili dvije lekcije, zajedno sa praktični zadaci ako studenti imaju osnovno znanje o rješavanju kvadratnih jednačina.

Šta osoba koja se susreće sa ovom vrstom jednačina treba da zna? Za početak, oni uključuju samo parne potencije varijable "x": četvrtu i, respektivno, drugu. Da bi se bikvadratna jednačina riješila, potrebno je dovesti je u oblik Kako to učiniti? Dovoljno jednostavno! Samo trebate zamijeniti "x" u kvadratu sa "y". Tada će se "x", koje je zastrašujuće za mnoge školarce, pretvoriti u "y" na kvadrat do četvrtog stepena, a jednačina će poprimiti oblik običnog kvadrata.

Nadalje, rješava se kao obična kvadratna jednačina: razlaže se na faktore, nakon čega se pronalazi vrijednost misteriozne „igre“. Da biste riješili bikvadratnu jednadžbu do kraja, morate pronaći između "y" - to će biti željena vrijednost "x", nakon što pronađete vrijednosti koje možete sebi čestitati na uspješnom završetku kalkulacija.

Šta treba imati na umu pri rješavanju jednačina ovog tipa? Prvo i najvažnije: Y ne može biti negativan broj! Sam uslov da je y kvadrat od x isključuje slična opcija rješenja. Stoga, ako se tijekom početnog rješenja bikvadratne jednadžbe jedna od vrijednosti "y" pokaže kao pozitivna za vas, a druga negativna, trebate uzeti samo njenu pozitivnu verziju, inače bikvadratna jednačina će biti pogrešno riješena. Bolje je odmah uvesti pravilo da je varijabla "y" veća ili jednaka nuli.

Druga važna nijansa: broj "x", koji je kvadratni korijen broja "y", može biti i pozitivan i negativan. Recimo ako je "y" jednako četiri, onda će bikvadratna jednačina imati dva rješenja: dva i minus dva. Ovo se dešava iz razloga što negativan broj, podignut u čak stepen, jednak je broju istog modula, ali različitog predznaka, podignut na isti stepen. Stoga je uvijek vrijedno zapamtiti ovu važnu tačku, inače jednostavno možete izgubiti jedan ili više odgovora na jednadžbu. Najbolje je odmah napisati da je “x” jednako plus ili minus kvadratni korijen od "yig".

Općenito, rješenje bikvadratnih jednadžbi je prilično jednostavno i ne zahtijeva puno vremena. Za proučavanje ove teme u školski program dva su dovoljna akademskih sati- osim, naravno, ponavljanja i kontrolni radovi. Bikvadratne jednačine standardni pogled Vrlo ih je lako riješiti ako se pridržavate gore navedenih pravila. Njihovo rješenje neće vam biti teško, jer je detaljno opisano u udžbenicima matematike. Sretno u učenju i uspjeh u rješavanju svih, ne samo matematičkih, problema!