Gaussova metoda (sukcesivno isključivanje nepoznatih). Primjeri rješenja za lutke

Razmotrimo tačne metode za rješavanje sistema; ovdje je matrica dimenzija

Metoda za rješavanje problema se klasifikuje kao egzaktna ako, pod pretpostavkom da nema zaokruživanja, daje tačno rješenje problema nakon konačnog broja aritmetičkih i logičkih operacija. Ako je broj nenulti elemenata matrice sistema reda , tada je za većinu trenutno korištenih egzaktnih metoda za rješavanje takvih sistema potreban broj operacija reda . Stoga je za primenljivost egzaktnih metoda neophodno da takav redosled broja operacija bude prihvatljiv za dati računar; druga ograničenja nameću volumen i struktura memorije računara.

Klauzula o "metodama koje se trenutno koriste" ima sljedeće značenje. Postoje metode za rješavanje ovakvih sistema s manjim brojem operacija, ali se one ne koriste aktivno zbog velike osjetljivosti rezultata na računsku grešku.

Najpoznatija egzaktna metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina je Gaussova metoda eliminacije. Razmotrimo jednu od njegovih mogućih implementacija. Pod pretpostavkom da je , prva jednadžba sistema

podijelimo sa koeficijentom , kao rezultat dobijamo jednačinu

Zatim, od svake od preostalih jednačina, prva jednačina se oduzima, množi se odgovarajućim koeficijentom. Kao rezultat, ove jednačine se pretvaraju u oblik

Ispostavilo se da je prva nepoznanica isključena iz svih jednačina osim prve. Dalje, pod pretpostavkom da , drugu jednačinu podijelimo koeficijentom i isključimo nepoznatu iz svih jednačina, počevši od druge i tako dalje. Kao rezultat uzastopnog eliminacije nepoznanica, sistem jednačina se transformiše u sistem jednadžbi sa trouglastom matricom

Skup izvršenih proračuna, tokom kojih je originalni problem transformisan u oblik (2), naziva se direktnim tokom Gaussove metode.

Iz jednačine sistema (2) određujemo , od , itd. do . Ukupnost takvih proračuna naziva se obrnutim tokom Gaussove metode.

Lako je provjeriti da implementacija pomjeranja naprijed Gaussove metode zahtijeva aritmetičke operacije, a povratak unazad zahtijeva aritmetičke operacije.

Izuzetak se javlja kao rezultat sljedećih operacija: 1) dijeljenje jednačine sa , 2) oduzimanje jednačine dobijene nakon takvog dijeljenja, pomnožene sa , od jednačina s brojevima k . Prva operacija je ekvivalentna množenju sistema jednačina na lijevoj strani dijagonalnom matricom

druga operacija je ekvivalentna množenju s lijeve strane matricom

Dakle, sistem (2) dobijen kao rezultat ovih transformacija može se zapisati kao

Proizvod lijevih (desnih) trokutnih matrica je lijeva (desna) trokutna matrica, tako da je C lijeva trokutasta matrica. Iz formule za elemente inverzne matrice

slijedi da je matrica inverzna lijevom (desnom) trouglastom lijevom (desnom) trouglastom. Dakle, matrica je lijevo trokutasta.

Hajde da uvedemo notaciju. Prema konstrukciji, sve i matrica D su pravougaoni. Odavde dobijamo prikaz matrice A kao proizvod lijeve i desne trokutne matrice:

Jednakost, zajedno sa uslovom , čini sistem jednačina u odnosu na elemente trouglastih matrica B i : . Budući da za i za , ovaj sistem se može napisati kao

(3)

ili, što je isto,

Koristeći uslov da sve dobijamo sistem rekurentnih relacija za određivanje elemenata i :

Proračuni se provode uzastopno za skupove. Ovdje i ispod, u slučaju kada je gornja granica zbrajanja manja od donje, pretpostavlja se da je cijeli zbir jednak nuli.

Dakle, umjesto uzastopnih transformacija sistema (1) u oblik (2), mogu se direktno izračunati matrice B i korištenjem formula (4). Ovi proračuni se mogu izvesti samo ako su svi elementi različiti od nule. Neka su matrice glavnih minora reda matrica A, B, D. Prema (3) . Jer onda . dakle,

Dakle, da bi se izvršili proračuni prema formulama (4) potrebno je i dovoljno ispuniti uslove

U nekim slučajevima je unaprijed poznato da je uvjet (5) zadovoljen. Na primjer, mnogi problemi matematičke fizike svode se na rješavanje sistema sa pozitivno određenom matricom A. Međutim, u opštem slučaju to se ne može unaprijed reći. Moguć je i takav slučaj: sve, ali među količinama ima vrlo malih, a kada se podijele s njima, dobiće se veliki brojevi sa velikim apsolutnim greškama. Kao rezultat, rješenje će biti jako iskrivljeno.

Označimo . Budući da i , Tada vrijedi jednakosti. Dakle, nakon dekomponovanja matrice originalnog sistema na proizvod leve i desne trouglaste matrice, rešenje originalnog sistema se svodi na sekvencijalno rešenje dva sistema sa trouglastim matricama; ovo bi zahtijevalo aritmetičke operacije.

Često je zgodno kombinovati niz operacija za dekomponovanje matrice A u proizvod trouglastih matrica i za određivanje vektora d. Jednačine

sistemi se mogu napisati kao

Stoga se vrijednosti mogu izračunati istovremeno s ostalim vrijednostima pomoću formula (4).

Prilikom rješavanja praktičnih problema često postaje neophodno rješavati sisteme jednačina sa matricom koja sadrži veliki broj nultih elemenata.

Obično ove matrice imaju takozvanu trakastu strukturu. Preciznije, matrica A se naziva -dijagonalna ili ima trakastu strukturu, ako je na . Broj se zove širina trake. Pokazalo se da se pri rješavanju sistema jednadžbi s matricom trake Gaussovom metodom broj aritmetičkih operacija i potrebna količina memorije računala mogu značajno smanjiti.

Zadatak 1. Istražiti karakteristike Gaussove metode i metode rješavanja sistema korištenjem dekompozicije matrice pojasa A na proizvod lijeve i desne trokutne matrice. Pokažite da su aritmetičke operacije potrebne za pronalaženje rješenja (za ). Pronađite vodeći član broja operacija pod uslovom .

Zadatak 2. Procijenite količinu učitane memorije računala u Gauss metodi za matrice pojasa.

Prilikom izračunavanja bez pomoći računara, vjerovatnoća slučajnih grešaka je velika. Da bi se eliminisale takve greške, ponekad se uvodi kontrolni sistem koji se sastoji od kontrolnih elemenata jednačina sistema

Prilikom transformacije jednadžbi, na kontrolnim elementima se izvode iste operacije kao i na slobodnim članovima jednadžbi. Kao rezultat toga, kontrolni element svake nove jednačine mora biti jednak zbiru koeficijenata ove jednačine. Velika razlika između njih ukazuje na greške u proračunima ili na nestabilnost algoritma proračuna u odnosu na računsku grešku.

Na primjer, u slučaju dovođenja sistema jednačina u formu pomoću formula (4), kontrolni element svake od jednačina sistema izračunava se pomoću istih formula (4). Nakon izračunavanja svih elemenata na fiksnoj kontroli se vrši provjera jednakosti

Obrnuti tok Gaussove metode je takođe praćen proračunom kontrolnih elemenata redova sistema.

Da bi se izbjegao katastrofalan utjecaj računske greške, koristi se Gaussova metoda sa izborom glavnog elementa.

Njegova razlika od gore opisane sheme Gaussove metode je sljedeća. Neka, u toku eliminisanja nepoznanica, sistem jednačina

Hajde da nađemo takav da i ponovo označiti i ; tada ćemo eliminirati nepoznatu iz svih jednačina, počevši od . Takvo redizajniranje dovodi do promjene redoslijeda eliminacije nepoznanica i u mnogim slučajevima značajno smanjuje osjetljivost rješenja na greške zaokruživanja u proračunima.

Često je potrebno riješiti nekoliko sistema jednadžbi , sa istom matricom A. Zgodno je postupiti na sljedeći način: uvođenjem notacije

Izvršimo proračune koristeći formule (4) i izračunajmo elemente na . Kao rezultat, dobiće se p sistema jednadžbi sa trouglastom matricom, koji odgovara originalnom problemu

Ove sisteme rješavamo svaki posebno. Ispada da je ukupan broj aritmetičkih operacija u rješavanju p sistema jednačina na ovaj način .

Gore opisana tehnika se ponekad koristi kako bi se dobio sud o grešci rješenja, koja je posljedica grešaka zaokruživanja u proračunima, bez značajnijih dodatnih troškova. Oni su dati vektorom z sa komponentama koje imaju, ako je moguće, isti red i predznak kao komponente željenog rješenja; često zbog nedostatka dovoljno informacija koje uzimaju. Izračunava se vektor i zajedno sa originalnim sistemom jednačina rešava se sistem.

Neka su i z stvarno dobijena rješenja ovih sistema. Prosudba o grešci željenog rješenja može se dobiti na osnovu hipoteze: relativne greške u rješavanju eliminacionim metodom sistema sa istom matricom i različitim desnim stranama, koje su, respektivno, vrijednosti i , se razlikuju ne u velikom broju puta.

Drugi metod za dobijanje suda o stvarnoj vrednosti greške koja nastaje usled zaokruživanja u proračunima je promena skale, čime se menja slika akumulacije računske greške.

Zajedno sa originalnim sistemom, sistem je riješen istom metodom

Za i , koji nisu cjelobrojne potencije dvojke, poređenje vektora daje predstavu o veličini računske greške. Na primjer, možete uzeti .

Proučavanje mnogih problema dovodi do potrebe rješavanja sistema linearnih jednačina sa simetričnom pozitivno određenom matricom. Takvi sistemi nastaju, na primjer, pri rješavanju diferencijalnih jednadžbi metodom konačnih elemenata ili metodom konačnih razlika. U ovim slučajevima, matrica sistema takođe ima trakastu strukturu.

Za rješavanje ovakvih sistema, kao i sistema jednačina općenitijeg oblika sa hermitovskom ne nužno pozitivno određenom matricom, koristi se metoda kvadratnog korijena (metoda Choleskyja). Matrica A je predstavljena kao

gdje je S prava trouglasta matrica, njen konjugat, tj.

pri čemu je sve dijagonalna matrica sa elementima jednakim ili -1. Matrična jednakost (6) formira sistem jednačina

Slične jednačine za se odbacuju, jer su jednačine koje odgovaraju parovima i ekvivalentne. Odavde dobijamo rekurentne formule za određivanje elemenata i :

Matrica S je pravotrouglasta, pa se, nakon dobijanja reprezentacije (6), rješenje originalnog sistema također svodi na Sekvencijalno rješenje dva sistema sa trouglastim matricama. Imajte na umu da u slučaju svih i .

Zadatak 3. Procijenite broj aritmetičkih operacija i opterećenje memorije računara (pod pretpostavkom da se količina memorije potrebne za pohranjivanje matrice A smanjuje) pri rješavanju sistema sa realnom pozitivno određenom matricom A metodom kvadratnog korijena.

Mnogi paketi aplikacija za rješavanje graničnih problema matematičke fizike metodom konačnih elemenata organizirani su prema sljedećoj shemi. Nakon što se matrica sistema A formira permutacijom redova i kolona (i redovi i kolone se istovremeno permutiraju), sistem se konvertuje u oblik sa najmanjom širinom trake. Zatim se primjenjuje metoda kvadratnog korijena. Istovremeno, kako bi se smanjila količina proračuna pri rješavanju sistema sa drugim desnim stranama, matrica S se memoriše.

U ovom članku metoda se razmatra kao način rješavanja sistema linearnih jednačina (SLAE). Metoda je analitička, odnosno omogućava vam da napišete algoritam rješenja u općem obliku, a zatim tamo zamijenite vrijednosti iz konkretnih primjera. Za razliku od matrične metode ili Cramerovih formula, pri rješavanju sistema linearnih jednadžbi pomoću Gaussove metode možete raditi i sa onima koje imaju beskonačno mnogo rješenja. Ili ga uopšte nemaju.

Šta znači Gauss?

Prvo treba da zapišete naš sistem jednačina u To izgleda ovako. Sistem se uzima:

Koeficijenti su upisani u obliku tabele, a desno u posebnoj koloni - slobodni članovi. Stupac sa slobodnim članovima je odvojen radi pogodnosti.Matrica koja uključuje ovaj stupac naziva se proširena.

Nadalje, glavna matrica s koeficijentima mora se svesti na gornji trokutast oblik. Ovo je glavna poenta rješavanja sistema Gaussovom metodom. Jednostavno rečeno, nakon određenih manipulacija, matrica bi trebala izgledati ovako, tako da u njenom donjem lijevom dijelu postoje samo nule:

Zatim, ako novu matricu ponovo napišete kao sistem jednačina, primijetit ćete da posljednji red već sadrži vrijednost jednog od korijena, koji se zatim zamjenjuje u gornju jednačinu, nalazi se drugi korijen i tako dalje.

Ovo je opis rješenja Gaussovom metodom u najopštijim terminima. A šta se dešava ako sistem odjednom nema rešenje? Ili ih ima beskonačan broj? Da bismo odgovorili na ova i mnoga druga pitanja, potrebno je posebno razmotriti sve elemente korištene u rješenju Gaussovom metodom.

Matrice, njihova svojstva

U matrici nema skrivenog značenja. To je samo zgodan način za snimanje podataka za kasnije operacije. Ni školarci ih se ne bi trebali bojati.

Matrica je uvijek pravokutna, jer je praktičnija. Čak i kod Gaussove metode, gdje se sve svodi na pravljenje trouglaste matrice, u unosu se pojavljuje pravougaonik, samo sa nulama na mjestu gdje nema brojeva. Nule se mogu izostaviti, ali se podrazumijevaju.

Matrica ima veličinu. Njegova "širina" je broj redova (m), njegova "dužina" je broj kolona (n). Tada će se veličina matrice A (za njihovo označavanje obično koriste velika latinična slova) biti označena kao A m×n . Ako je m=n, onda je ova matrica kvadratna, a m=n je njen red. Prema tome, bilo koji element matrice A može se označiti brojem njegovog reda i stupca: a xy ; x - broj reda, promjene, y - broj kolone, promjene.

B nije glavna poenta rješenja. U principu, sve operacije se mogu izvoditi direktno sa samim jednadžbama, ali će se notacija pokazati mnogo glomaznijom i bit će mnogo lakše zabuniti se u njoj.

Odrednica

Matrica takođe ima determinantu. Ovo je veoma važna karakteristika. Sada se ne isplati saznati njegovo značenje, možete jednostavno pokazati kako se izračunava, a zatim reći koja svojstva matrice određuje. Najlakši način za pronalaženje determinante je dijagonala. Imaginarne dijagonale su nacrtane u matrici; elementi koji se nalaze na svakom od njih se množe, a zatim se dodaju rezultirajući proizvodi: dijagonale s nagibom udesno - sa znakom "plus", s nagibom ulijevo - sa znakom "minus".

Izuzetno je važno napomenuti da se determinanta može izračunati samo za kvadratnu matricu. Za pravougaonu matricu možete učiniti sljedeće: odabrati najmanji od broja redova i broja stupaca (neka bude k), a zatim nasumično označiti k kolona i k redova u matrici. Elementi koji se nalaze na sjecištu odabranih stupaca i redova formirat će novu kvadratnu matricu. Ako je determinanta takve matrice broj različit od nule, onda se naziva bazni minor originalne pravokutne matrice.

Prije nego što pređemo na rješavanje sistema jednačina Gaussovom metodom, ne škodi izračunavanje determinante. Ako se pokaže da je nula, onda možemo odmah reći da matrica ima ili beskonačan broj rješenja, ili ih uopće nema. U ovako tužnom slučaju, morate ići dalje i saznati o rangu matrice.

Klasifikacija sistema

Postoji takva stvar kao što je rang matrice. Ovo je maksimalni red njene determinante koja nije nula (sjetimo se baznog minora, možemo reći da je rang matrice red baznog minora).

Prema tome kako stoje stvari sa rangom, SLAE se može podijeliti na:

Joint. At zajedničkih sistema, rang glavne matrice (koja se sastoji samo od koeficijenata) poklapa se sa rangom proširene (sa kolonom slobodnih pojmova). Takvi sistemi imaju rješenje, ali ne nužno jedno, stoga se zglobni sistemi dodatno dijele na:
- siguran- ima jedinstveno rješenje. U određenim sistemima, rang matrice i broj nepoznatih (ili broj kolona, što je ista stvar) su jednaki;
- neodređeno - sa beskonačnim brojem rješenja. Rang matrica za takve sisteme je manji od broja nepoznatih.
Nekompatibilno. At u takvim sistemima, rangovi glavne i proširene matrice se ne poklapaju. Nekompatibilni sistemi nemaju rješenja.

Gaussova metoda je dobra po tome što omogućava da se dobije ili nedvosmislen dokaz nekonzistentnosti sistema (bez izračunavanja determinanti velikih matrica) ili opšte rešenje za sistem sa beskonačnim brojem rešenja tokom rešavanja.

Elementarne transformacije

Pre nego što pređete direktno na rešenje sistema, moguće ga je učiniti manje glomaznim i pogodnijim za proračune. To se postiže elementarnim transformacijama - tako da njihova implementacija ni na koji način ne mijenja konačni odgovor. Treba napomenuti da neke od navedenih elementarnih transformacija vrijede samo za matrice čiji je izvor bio upravo SLAE. Evo liste ovih transformacija:

Permutacija nizova. Očigledno je da ako promijenimo redoslijed jednačina u zapisu sistema, onda to ni na koji način neće utjecati na rješenje. Posljedično, također je moguće zamijeniti redove u matrici ovog sistema, ne zaboravljajući, naravno, na kolonu slobodnih članova.
Množenje svih elemenata niza nekim faktorom. Veoma korisno! Pomoću njega možete smanjiti velike brojeve u matrici ili ukloniti nule. Skup rješenja, kao i obično, neće se mijenjati, a postat će prikladnije obavljati daljnje operacije. Glavna stvar je da koeficijent nije jednak nuli.
Izbrišite redove sa proporcionalnim koeficijentima. Ovo djelimično proizilazi iz prethodnog stava. Ako dva ili više redaka u matrici imaju proporcionalne koeficijente, tada se pri množenju / dijeljenju jednog od reda s koeficijentom proporcionalnosti dobivaju dva (ili, opet, više) apsolutno identična reda, a možete ukloniti dodatne, ostavljajući samo jedan.
Uklanjanje nulte linije. Ako se u toku transformacije negdje dobije niz u kojem su svi elementi, uključujući i slobodni član, jednaki nuli, onda se takav niz može nazvati nula i izbaciti iz matrice.
Dodavanje elementima jednog reda elemenata drugog (u odgovarajućim kolonama), pomnoženo određenim koeficijentom. Najnejasnija i najvažnija transformacija od svih. Vrijedi se detaljnije zadržati na tome.

Dodavanje niza pomnoženog faktorom

Radi lakšeg razumijevanja, vrijedno je rastaviti ovaj proces korak po korak. Dva reda su uzeta iz matrice:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Pretpostavimo da morate prvo dodati drugom, pomnoženo sa koeficijentom "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Zatim se u matrici drugi red zamjenjuje novim, a prvi ostaje nepromijenjen.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Treba napomenuti da se faktor množenja može odabrati na način da, kao rezultat sabiranja dva niza, jedan od elemenata novog niza bude jednak nuli. Stoga je moguće dobiti jednačinu u sistemu, gdje će biti jedna nepoznata manje. A ako dobijete dvije takve jednadžbe, onda se operacija može ponoviti i dobiti jednačinu koja će već sadržavati dvije manje nepoznanice. A ako svaki put okrenemo nulu jedan koeficijent za sve redove koji su niži od originalnog, onda se možemo, poput koraka, spustiti do samog dna matrice i dobiti jednadžbu s jednom nepoznatom. To se zove rješavanje sistema korištenjem Gausove metode.

Uglavnom

Neka postoji sistem. Ima m jednačina i n nepoznatih korijena. Možete to zapisati ovako:

Glavna matrica je sastavljena od koeficijenata sistema. Stupac slobodnih članova se dodaje proširenoj matrici i odvaja prečkom radi praktičnosti.

prvi red matrice se množi sa koeficijentom k = (-a 21 / a 11);
dodaju se prvi modificirani red i drugi red matrice;
umjesto drugog reda u matricu se ubacuje rezultat dodavanja iz prethodnog stava;
sada je prvi koeficijent u novom drugom redu a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Sada se izvodi ista serija transformacija, samo prvi i treći red su uključeni. Shodno tome, u svakom koraku algoritma, element a 21 se zamjenjuje sa 31 . Zatim se sve ponavlja za 41, ... a m1. Rezultat je matrica u kojoj je prvi element u redovima jednak nuli. Sada moramo zaboraviti na red broj jedan i izvršiti isti algoritam počevši od drugog reda:

koeficijent k \u003d (-a 32 / a 22);
drugi modifikovani red se dodaje u "trenutni" red;
rezultat sabiranja se zamjenjuje u trećem, četvrtom i tako daljem redu, dok prvi i drugi ostaju nepromijenjeni;
u redovima matrice, prva dva elementa su već jednaka nuli.

Algoritam se mora ponavljati dok se ne pojavi koeficijent k = (-a m,m-1 /a mm). To znači da je posljednji put algoritam izvršen samo za nižu jednačinu. Sada matrica izgleda kao trokut, ili ima stepenasti oblik. Donja linija sadrži jednakost a mn × x n = b m . Koeficijent i slobodni član su poznati, a korijen se izražava kroz njih: x n = b m /a mn. Dobijeni korijen se zamjenjuje u gornji red kako bi se pronašlo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . I tako dalje po analogiji: u svakom sljedećem redu nalazi se novi korijen, a kada ste dosegnuli "vrh" sistema, možete pronaći mnoga rješenja. To će biti jedini.

Kad nema rješenja

Ako su u jednom od redova matrice svi elementi, osim slobodnog člana, jednaki nuli, tada jednačina koja odgovara ovom redu izgleda kao 0 = b. Nema rješenja. A pošto je takva jednačina uključena u sistem, onda je skup rješenja cijelog sistema prazan, odnosno degeneriran.

Kada postoji beskonačan broj rješenja

Može se ispostaviti da u reduciranoj trokutastoj matrici nema reda sa jednim elementom - koeficijentom jednačine, i jednim - slobodnim članom. Postoje samo nizovi koji bi, kada se ponovo napišu, izgledali kao jednadžba sa dvije ili više varijabli. To znači da sistem ima beskonačan broj rješenja. U ovom slučaju, odgovor se može dati u obliku generalnog rješenja. Kako uraditi?

Sve varijable u matrici su podijeljene na osnovne i slobodne. Osnovni - to su oni koji stoje "na rubu" redova u stepenastoj matrici. Ostalo je besplatno. U opštem rešenju osnovne varijable su zapisane u terminima slobodnih.

Radi praktičnosti, matrica se prvo prepisuje nazad u sistem jednačina. Zatim u posljednjoj od njih, gdje je ostala samo jedna osnovna varijabla, ona ostaje na jednoj strani, a sve ostalo se prenosi na drugu. Ovo se radi za svaku jednačinu sa jednom osnovnom varijablom. Zatim se u ostalim jednačinama, gdje je to moguće, umjesto osnovne varijable, zamjenjuje dobijeni izraz za nju. Ako se kao rezultat toga ponovo pojavi izraz koji sadrži samo jednu osnovnu varijablu, on se ponovo izražava odatle, i tako dalje, sve dok se svaka osnovna varijabla ne zapiše kao izraz sa slobodnim varijablama. Ovo je generalno rješenje SLAE.

Možete pronaći i osnovno rješenje sistema - dajte slobodnim varijablama bilo koje vrijednosti, a zatim za ovaj konkretan slučaj izračunajte vrijednosti osnovnih varijabli. Postoji beskonačno mnogo konkretnih rješenja.

Rješenje sa konkretnim primjerima

Evo sistema jednačina.

Radi praktičnosti, bolje je odmah kreirati njegovu matricu

Poznato je da će pri rješavanju Gaussovom metodom jednačina koja odgovara prvom redu ostati nepromijenjena na kraju transformacija. Stoga će biti isplativije ako je gornji lijevi element matrice najmanji - tada će se prvi elementi preostalih redova nakon operacija okrenuti na nulu. To znači da će u kompajliranoj matrici biti korisno staviti drugi umjesto prvog reda.

drugi red: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 = 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 = 12 + (-3) × 12 = -24

treći red: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 = 3 + (-5) × 12 \u003d -57

Sada, da ne bi došlo do zabune, potrebno je zapisati matricu sa međurezultatima transformacija.

Očigledno je da se takva matrica može učiniti pogodnijom za percepciju uz pomoć nekih operacija. Na primjer, možete ukloniti sve "minuse" iz drugog reda množenjem svakog elementa sa "-1".

Također je vrijedno napomenuti da su u trećem redu svi elementi višestruki od tri. Zatim možete smanjiti niz za ovaj broj, množeći svaki element sa "-1/3" (minus - istovremeno da uklonite negativne vrijednosti).

Izgleda mnogo ljepše. Sada moramo ostaviti na miru prvu liniju i raditi sa drugom i trećom. Zadatak je dodati drugi red trećem redu, pomnožen sa takvim koeficijentom da element a 32 postane jednak nuli.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 razlomaka, a tek onda, kada se dobiju odgovori, odlučite hoćete li zaokružiti i prevesti u drugi oblik zapisa)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k × a 23 = 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matrica se ponovo upisuje s novim vrijednostima.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Kao što vidite, rezultirajuća matrica već ima stepenasti oblik. Stoga nisu potrebne dalje transformacije sistema Gaussovom metodom. Ono što se ovdje može učiniti je ukloniti ukupni koeficijent "-1/7" iz trećeg reda.

Sada je sve prelepo. Poenta je mala - ponovo napišite matricu u obliku sistema jednačina i izračunajte korijene

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritam pomoću kojeg će se sada pronaći korijeni naziva se obrnuti potez u Gaussovom metodu. Jednačina (3) sadrži vrijednost z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

I prva jednadžba vam omogućava da pronađete x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3

Imamo pravo da takav sistem nazivamo zajedničkim, pa čak i definitivnim, odnosno da ima jedinstveno rješenje. Odgovor je napisan u sljedećem obliku:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Primjer neodređenog sistema

Analizirana je varijanta rješavanja određenog sistema Gaussovom metodom, sada je potrebno razmotriti slučaj da je sistem neodređen, odnosno da se za njega može naći beskonačno mnogo rješenja.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Sam oblik sistema je već alarmantan, jer je broj nepoznatih n = 5, a rang matrice sistema je već tačno manji od ovog broja, jer je broj redova m = 4, tj. najveći red kvadratne determinante je 4. To znači da postoji beskonačan broj rješenja, te je potrebno tražiti njen opći oblik. Gaussova metoda za linearne jednačine to omogućava.

Prvo, kao i obično, kompajlira se proširena matrica.

Drugi red: koeficijent k = (-a 21 / a 11) = -3. U trećem redu, prvi element je prije transformacija, tako da ne morate ništa dirati, morate ostaviti kako jeste. Četvrti red: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Množenjem elemenata prvog reda svakim od njihovih koeficijenata naizmjence i dodavanjem željenih redova, dobivamo matricu sljedećeg oblika:

Kao što vidite, drugi, treći i četvrti red se sastoje od elemenata koji su međusobno proporcionalni. Drugi i četvrti su uglavnom isti, tako da se jedan od njih može odmah ukloniti, a ostatak pomnožiti sa koeficijentom "-1" i dobiti red broj 3. I opet ostaviti jednu od dvije identične linije.

Ispostavilo se da je takva matrica. Sistem još nije zapisan, ovdje je potrebno odrediti osnovne varijable - stoje na koeficijentima a 11 = 1 i a 22 = 1, a slobodno - sve ostalo.

Druga jednačina ima samo jednu osnovnu varijablu - x 2 . Dakle, može se izraziti odatle, pisanjem kroz varijable x 3 , x 4 , x 5 , koje su slobodne.

Dobijeni izraz zamjenjujemo u prvu jednačinu.

Ispostavila se jednačina u kojoj je jedina osnovna varijabla x 1. Uradimo s njim isto kao i sa x 2 .

Sve osnovne varijable, kojih ima dvije, izražene su u terminima tri slobodne, sada možete napisati odgovor u opštem obliku.

Također možete odrediti jedno od posebnih rješenja sistema. U takvim slučajevima, u pravilu, nule se biraju kao vrijednosti za slobodne varijable. Tada će odgovor biti:

16, 23, 0, 0, 0.

Primjer nekompatibilnog sistema

Najbrže je rješenje nekonzistentnih sistema jednačina Gaussovom metodom. Završava se čim se u jednoj od faza dobije jednačina koja nema rješenja. Odnosno, faza sa izračunavanjem korijena, koja je prilično duga i turobna, nestaje. Razmatra se sledeći sistem:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kao i obično, matrica se sastavlja:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

I svodi se na stepenasti oblik:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Nakon prve transformacije, treći red sadrži jednačinu oblika

bez rješenja. Dakle, sistem je nekonzistentan, a odgovor je prazan skup.

Prednosti i nedostaci metode

Ako odaberete metodu rješavanja SLAE na papiru olovkom, onda metoda koja je razmatrana u ovom članku izgleda najatraktivnije. U elementarnim transformacijama mnogo je teže doći do zabune nego ako morate ručno tražiti determinantu ili neku lukavu inverznu matricu. Međutim, ako koristite programe za rad s podacima ove vrste, na primjer, proračunske tablice, onda se ispostavlja da takvi programi već sadrže algoritme za izračunavanje glavnih parametara matrica - determinante, minore, inverzne i tako dalje. A ako ste sigurni da će mašina sama izračunati ove vrijednosti i da neće pogriješiti, svrsishodnije je koristiti matričnu metodu ili Cramerove formule, jer njihova primjena počinje i završava izračunavanjem determinanti i inverznih matrica.

Aplikacija

Kako je Gausovo rješenje algoritam, a matrica je, u stvari, dvodimenzionalni niz, može se koristiti u programiranju. Ali budući da se članak pozicionira kao vodič "za lutke", treba reći da je najlakše mjesto za postavljanje metode proračunske tablice, na primjer, Excel. Opet, bilo koji SLAE unesen u tabelu u obliku matrice Excel će smatrati dvodimenzionalnim nizom. A za operacije s njima postoji mnogo lijepih naredbi: zbrajanje (možete dodati samo matrice iste veličine!), množenje brojem, množenje matrice (također uz određena ograničenja), pronalaženje inverzne i transponirane matrice i, što je najvažnije , računajući determinantu. Ako se ovaj dugotrajni zadatak zamijeni jednom naredbom, mnogo je brže odrediti rang matrice i stoga utvrditi njenu kompatibilnost ili nedosljednost.

Neka je sistem zadan, ∆≠0. (jedan)
Gaussova metoda je metoda sukcesivnog uklanjanja nepoznatih.

Suština Gaussove metode je transformacija (1) u sistem sa trouglastom matricom, iz koje se zatim sekvencijalno (obrnuto) dobijaju vrijednosti svih nepoznatih. Razmotrimo jednu od računskih shema. Ovo kolo se naziva jednodijelno kolo. Pa pogledajmo ovaj dijagram. Neka 11 ≠0 (vodeći element) podijeli sa 11 prvu jednačinu. Get
(2)
Koristeći jednačinu (2), lako je isključiti nepoznanice x 1 iz preostalih jednačina sistema (za to je dovoljno oduzeti jednačinu (2) od svake jednačine prethodno pomnožene odgovarajućim koeficijentom na x 1), da je, u prvom koraku dobijemo
.
Drugim riječima, u koraku 1, svaki element sljedećih redova, počevši od drugog, jednak je razlici između originalnog elementa i proizvoda njegove “projekcije” na prvi stupac i prvi (transformirani) red.
Nakon toga, ostavljajući prvu jednačinu na miru, preko ostalih jednačina sistema dobijenih u prvom koraku, izvršićemo sličnu transformaciju: između njih biramo jednačinu sa vodećim elementom i koristimo je da isključimo x 2 iz preostale jednačine (korak 2).
Nakon n koraka, umjesto (1) dobijamo ekvivalentni sistem
(3)
Tako ćemo u prvoj fazi dobiti trouglasti sistem (3). Ovaj korak se zove naprijed.
U drugoj fazi (obrnuti pokret) iz (3) sekvencijalno nalazimo vrijednosti x n , x n -1 , …, x 1 .
Označimo dobijeno rješenje sa x 0 . Tada je razlika ε=b-A x 0 se naziva rezidualnim.
Ako je ε=0, tada je pronađeno rješenje x 0 tačno.

Proračuni Gaussovom metodom se izvode u dvije faze:

Prva faza se zove direktni tok metode. U prvoj fazi, originalni sistem se pretvara u trouglasti oblik.
Druga faza se zove reverzna. U drugoj fazi rješava se trouglasti sistem ekvivalentan originalnom.

Koeficijenti a 11 , a 22 , ..., nazivaju se vodeći elementi.
U svakom koraku se pretpostavljalo da je vodeći element različit od nule. Ako to nije slučaj, onda se bilo koji drugi element može koristiti kao vodeći, kao da preuređuje jednačine sistema.

Svrha Gaussove metode

Gaussova metoda je namijenjena rješavanju sistema linearnih jednačina. Odnosi se na direktne metode rješenja.

Vrste Gaussove metode

Klasična Gaussova metoda;
Modifikacije Gaussove metode. Jedna od modifikacija Gausove metode je kolo sa izborom glavnog elementa. Karakteristika Gaussove metode kod izbora glavnog elementa je takva permutacija jednadžbi tako da je u k-tom koraku vodeći element najveći element u k-tom stupcu.
Jordan-Gaussova metoda;

Razlika između Jordan-Gaussove metode i klasične Gaussova metoda sastoji se u primjeni pravila pravokutnika kada je smjer traženja rješenja duž glavne dijagonale (transformacija u matricu identiteta). Kod Gaussove metode, smjer traženja rješenja odvija se duž kolona (transformacija u sistem sa trouglastom matricom).
Ilustrujte razliku Jordan-Gaussova metoda iz Gaussove metode na primjerima.

Primjer Gaussovog rješenja
Rešimo sistem:

Radi lakšeg izračunavanja, mijenjamo redove:

Pomnožite 2. red sa (2). Dodajte 3. red u 2.

Pomnožite 2. red sa (-1). Dodajte 2. red u prvi

Iz 1. reda izražavamo x 3:
Iz 2. reda izražavamo x 2:
Iz 3. reda izražavamo x 1:

Primjer rješenja po Jordan-Gauss metodi
Isti SLAE ćemo riješiti korištenjem Jordano-Gaussove metode.

Mi ćemo sekvencijalno birati razlučujući element RE, koji leži na glavnoj dijagonali matrice.
Element omogućavanja je jednak (1).

NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - omogućavajući element (1), A i B - matrični elementi koji formiraju pravougaonik sa elementima STE i RE.
Predstavimo proračun svakog elementa u obliku tabele:

x 1	x2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Element omogućavanja je jednak (3).
Umjesto elementa za rješavanje, dobijamo 1, au samom stupcu upisujemo nule.
Svi ostali elementi matrice, uključujući elemente kolone B, određeni su pravilom pravokutnika.
Da biste to učinili, odaberite četiri broja koji se nalaze na vrhovima pravokutnika i uvijek uključuju element koji omogućava RE.

x 1	x2	x 3	B

0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Element omogućavanja je (-4).
Umjesto elementa za rješavanje, dobijamo 1, au samom stupcu upisujemo nule.
Svi ostali elementi matrice, uključujući elemente kolone B, određeni su pravilom pravokutnika.
Da biste to učinili, odaberite četiri broja koji se nalaze na vrhovima pravokutnika i uvijek uključuju element koji omogućava RE.
Predstavimo proračun svakog elementa u obliku tabele:

x 1	x2	x 3	B


0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Odgovori: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Implementacija Gaussove metode

Gaussova metoda je implementirana u mnogim programskim jezicima, posebno: Pascal, C++, php, Delphi, a postoji i online implementacija Gaussove metode.

Korištenje Gaussove metode

Primjena Gaussove metode u teoriji igara

U teoriji igara, pri pronalaženju maksimalne optimalne strategije igrača sastavlja se sistem jednačina koji se rješava Gaussovom metodom.

Primjena Gaussove metode u rješavanju diferencijalnih jednadžbi

Za traženje određenog rješenja diferencijalne jednadžbe, prvo pronađite izvode odgovarajućeg stepena za napisano određeno rješenje (y=f(A,B,C,D)), koji se zamjenjuju u originalnu jednačinu. Dalje, za pronalaženje varijabli A, B, C, D, sastavlja se sistem jednačina koji se rješava Gaussovom metodom.

Primjena Jordano-Gaussove metode u linearnom programiranju

U linearnom programiranju, posebno u simpleks metodi, za transformaciju simpleks tabele na svakoj iteraciji, koristi se pravilo pravokutnika, koje koristi Jordan-Gaussovu metodu.

Gaussova metoda odličan za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (SLAE). Ima nekoliko prednosti u odnosu na druge metode:

prvo, nema potrebe da se prethodno istražuje sistem jednačina radi kompatibilnosti;
drugo, Gaussova metoda se može koristiti za rješavanje ne samo SLAE u kojima se broj jednačina poklapa sa brojem nepoznatih varijabli i glavna matrica sistema nije degenerirana, već i za sisteme jednačina u kojima je broj jednačina jednak. ne podudara se s brojem nepoznatih varijabli ili je determinanta glavne matrice jednaka nuli;
treće, Gaussova metoda dovodi do rezultata sa relativno malim brojem računskih operacija.

Kratak osvrt na članak.

Prvo dajemo potrebne definicije i uvodimo neke oznake.

Zatim opisujemo algoritam Gaussove metode za najjednostavniji slučaj, odnosno za sisteme linearnih algebarskih jednadžbi, broj jednačina u kojima se poklapa sa brojem nepoznatih varijabli i determinanta glavne matrice sistema nije jednak nuli. Prilikom rješavanja ovakvih sistema jednačina najjasnije je vidljiva suština Gaussove metode koja se sastoji u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih varijabli. Stoga se Gausova metoda naziva i metodom sukcesivnog eliminisanja nepoznatih. Pokažimo detaljna rješenja nekoliko primjera.

U zaključku, razmatramo Gausovo rješenje sistema linearnih algebarskih jednadžbi čija je glavna matrica pravokutna ili degenerirana. Rješenje ovakvih sistema ima neke karakteristike, koje ćemo detaljno analizirati na primjerima.

Navigacija po stranici.

Osnovne definicije i notacije.

Razmotrimo sistem p linearnih jednačina sa n nepoznatih (p može biti jednako n):

Gdje su nepoznate varijable, su brojevi (realni ili kompleksni), slobodni su članovi.

Ako a , tada se sistem linearnih algebarskih jednadžbi zove homogena, inače - heterogena.

Skup vrijednosti nepoznatih varijabli, u kojem se sve jednadžbe sistema pretvaraju u identitete, naziva se SLAU odluka.

Ako postoji barem jedno rješenje za sistem linearnih algebarskih jednadžbi, onda se ono zove joint, inače - nekompatibilno.

Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, onda se ono zove siguran. Ako postoji više od jednog rješenja, onda se sistem poziva neizvjesno.

Kaže se da je sistem upisan koordinatni oblik ako ima formu
.

Ovaj sistem u matrični oblik evidencija ima oblik , gdje - glavna matrica SLAE, - matrica kolone nepoznatih varijabli, - matrica slobodnih članova.

Ako matrici A kao (n + 1)-ti stupac dodamo matricu-kolona slobodnih termina, onda dobijamo tzv. proširena matrica sistemi linearnih jednačina. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih članova odvojen je okomitom linijom od ostalih kolona, tj.

Kvadratna matrica A se naziva degenerisati ako je njegova determinanta nula. Ako je , tada se poziva matrica A nedegenerisan.

Treba napomenuti sljedeću tačku.

Ako se sljedeće radnje izvode sa sistemom linearnih algebarskih jednačina

zamijeniti dvije jednadžbe,
pomnožite obje strane bilo koje jednadžbe proizvoljnim realnim (ili kompleksnim) brojem k, različitom od nule,
oba dijela bilo koje jednačine dodajte odgovarajuće dijelove druge jednačine, pomnožene proizvoljnim brojem k,

tada dobijamo ekvivalentni sistem koji ima ista rješenja (ili, kao i originalni, nema rješenja).

Za proširenu matricu sistema linearnih algebarskih jednadžbi, ove akcije će značiti elementarne transformacije sa redovima:

zamena dve žice
množenje svih elemenata bilo kojeg reda matrice T brojem k koji nije nula,
dodajući elementima bilo kojeg reda matrice odgovarajuće elemente drugog reda, pomnožene proizvoljnim brojem k .

Sada možemo preći na opis Gaussove metode.

Rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina, u kojima je broj jednačina jednak broju nepoznatih, a glavna matrica sistema je nedegenerisana, Gaussovom metodom.

Šta bismo radili u školi kada bismo dobili zadatak da pronađemo rješenje sistema jednačina .

Neki bi to uradili.

Imajte na umu da dodavanjem lijeve strane prve jednačine na lijevu stranu druge jednačine, a desnu na desnu stranu, možete se riješiti nepoznatih varijabli x 2 i x 3 i odmah pronaći x 1:

Pronađenu vrijednost x 1 \u003d 1 zamjenjujemo u prvu i treću jednadžbu sistema:

Ako oba dijela treće jednačine sistema pomnožimo sa -1 i dodamo ih odgovarajućim dijelovima prve jednačine, tada se riješimo nepoznate varijable x 3 i možemo pronaći x 2:

Dobivenu vrijednost x 2 \u003d 2 zamjenjujemo u treću jednačinu i nalazimo preostalu nepoznatu varijablu x 3:

Drugi bi uradili drugačije.

Rešimo prvu jednačinu sistema u odnosu na nepoznatu promenljivu x 1 i zamenimo rezultujući izraz u drugu i treću jednačinu sistema kako bismo ovu varijablu isključili iz njih:

Sada riješimo drugu jednačinu sistema u odnosu na x 2 i zamenimo dobijeni rezultat u treću jednačinu kako bismo iz nje isključili nepoznatu varijablu x 2:

Iz treće jednačine sistema se vidi da je x 3 =3. Iz druge jednačine nalazimo , a iz prve jednadžbe dobijamo .

Poznata rješenja, zar ne?

Ovdje je najzanimljivije da je druga metoda rješenja u suštini metoda sekvencijalne eliminacije nepoznanica, odnosno Gaussova metoda. Kada smo izrazili nepoznate varijable (prvi x 1, sljedeći x 2) i supstituirali ih u ostale jednačine sistema, time smo ih isključili. Izuzetak smo radili do trenutka kada je posljednja jednadžba ostavila samo jednu nepoznatu varijablu. Proces sekvencijalne eliminacije nepoznatih naziva se direktna Gaussova metoda. Nakon što je pomak naprijed završen, imamo priliku izračunati nepoznatu varijablu u posljednjoj jednačini. Uz njegovu pomoć, iz pretposljednje jednadžbe, nalazimo sljedeću nepoznatu varijablu i tako dalje. Proces uzastopnog pronalaženja nepoznatih varijabli pri kretanju od posljednje jednadžbe do prve se naziva reverzna Gaussova metoda.

Treba napomenuti da kada izrazimo x 1 u terminima x 2 i x 3 u prvoj jednačini, a zatim zamenimo rezultirajući izraz u drugu i treću jednačinu, sljedeće radnje dovode do istog rezultata:

Zaista, takav postupak nam takođe omogućava da isključimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednačine sistema:

Nijanse sa eliminacijom nepoznatih varijabli Gaussovom metodom nastaju kada jednačine sistema ne sadrže neke varijable.

Na primjer, u SLAU u prvoj jednačini ne postoji nepoznata varijabla x 1 (drugim riječima, koeficijent ispred nje je nula). Dakle, ne možemo riješiti prvu jednačinu sistema u odnosu na x 1 da bismo ovu nepoznatu varijablu isključili iz ostalih jednačina. Izlaz iz ove situacije je zamjena jednačina sistema. Budući da razmatramo sisteme linearnih jednačina čije su determinante glavnih matrica različite od nule, uvijek postoji jednačina u kojoj je prisutna varijabla koja nam je potrebna, a ovu jednačinu možemo preurediti na poziciju koja nam je potrebna. Za naš primjer, dovoljno je zamijeniti prvu i drugu jednačinu sistema , tada možete riješiti prvu jednačinu za x 1 i isključiti je iz ostalih jednačina sistema (iako je x 1 već odsutan u drugoj jednačini).

Nadamo se da ste shvatili suštinu.

Hajde da opišemo Algoritam Gaussove metode.

Trebamo riješiti sistem od n linearnih algebarskih jednadžbi sa n nepoznatih varijabli oblika , i neka je determinanta njene glavne matrice različita od nule.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednačina sistema. Nepoznatu varijablu x 1 izuzimamo iz svih jednačina sistema, počevši od druge. Da biste to uradili, dodajte prvu jednačinu pomnoženu sa drugoj jednačini sistema, dodajte prvu pomnoženu sa trećoj jednačini, i tako dalje, dodajte prvu pomnoženu sa n-toj jednačini. Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje , a .

Do istog rezultata bismo došli ako bismo izrazili x 1 u terminima drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednačini sistema i zamenili rezultujući izraz u sve ostale jednačine. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednačina, počevši od druge.

Zatim postupamo slično, ali samo s dijelom rezultirajućeg sistema koji je označen na slici

Da biste to uradili, dodajte drugu jednačinu pomnoženu sa trećoj jednačini sistema, dodajte drugu pomnoženu sa četvrtoj jednačini, i tako dalje, dodajte drugu pomnoženu sa n-toj jednačini. Sistem jednačina nakon takvih transformacija će poprimiti oblik

gdje , a . Dakle, varijabla x 2 je isključena iz svih jednačina, počevši od treće.

Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznatog x 3, dok slično postupamo sa dijelom sistema označenim na slici

Dakle, nastavljamo direktni tok Gaussove metode sve dok sistem ne poprimi oblik

Od ovog trenutka počinjemo obrnutim tokom Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednačine kao , koristeći dobivenu vrijednost x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednačine, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednačina.

Analizirajmo algoritam na primjeru.

Primjer.

Gausova metoda.

Odluka.

Koeficijent a 11 je različit od nule, pa pređimo na direktan tok Gaussove metode, odnosno na eliminaciju nepoznate varijable x 1 iz svih jednačina sistema, osim iz prve. Da biste to učinili, lijevom i desnom dijelu druge, treće i četvrte jednadžbe dodajte lijevi i desni dio prve jednačine, pomnožene sa , respektivno, i :

Nepoznata varijabla x 1 je eliminirana, idemo na isključenje x 2 . Lijevi i desni dio treće i četvrte jednačine sistema dodajemo lijevi i desni dio druge jednačine, pomnožene sa i :

Da bismo završili napredni kurs Gaussove metode, moramo isključiti nepoznatu varijablu x 3 iz posljednje jednačine sistema. Dodajte lijevoj i desnoj strani četvrte jednačine, redom, lijevu i desnu stranu treće jednačine, pomnoženu sa :

Možete započeti obrnuti kurs Gaussove metode.

Iz posljednje jednačine imamo ,
iz treće jednačine dobijamo ,
od drugog
od prve.

Da biste provjerili, možete zamijeniti dobivene vrijednosti nepoznatih varijabli u originalni sistem jednadžbi. Sve jednadžbe se pretvaraju u identitete, što znači da je rješenje Gaussovom metodom pronađeno ispravno.

odgovor:

A sada ćemo dati rješenje istog primjera Gaussovom metodom u matričnom obliku.

Primjer.

Pronađite rješenje za sistem jednačina Gausova metoda.

Odluka.

Proširena matrica sistema ima oblik . Iznad svake kolone su upisane nepoznate varijable koje odgovaraju elementima matrice.

Direktan tok Gaussove metode ovdje uključuje dovođenje proširene matrice sistema u trapezoidni oblik pomoću elementarnih transformacija. Ovaj proces je sličan isključivanju nepoznatih varijabli koje smo radili sa sistemom u koordinatnom obliku. Sada ćete se u to uvjeriti.

Transformirajmo matricu tako da svi elementi u prvom stupcu, počevši od drugog, postanu nula. Da biste to učinili, elementima drugog, trećeg i četvrtog reda dodajte odgovarajuće elemente prvog reda pomnožene sa , i na:

Zatim transformiramo rezultirajuću matricu tako da u drugom stupcu svi elementi, počevši od treće, postanu nula. Ovo bi odgovaralo isključivanju nepoznate varijable x 2 . Da biste to učinili, dodajte elementima trećeg i četvrtog reda odgovarajuće elemente prvog reda matrice, pomnožene sa i :

Ostaje da se isključi nepoznata varijabla x 3 iz posljednje jednačine sistema. Da bismo to učinili, elementima posljednjeg reda rezultirajuće matrice dodajemo odgovarajuće elemente pretposljednjeg reda, pomnožene sa :

Treba napomenuti da ova matrica odgovara sistemu linearnih jednačina

koji je dobijen ranije nakon direktnog poteza.

Vrijeme je da se vratimo. U matričnom obliku notacije, obrnuti tok Gaussove metode uključuje takvu transformaciju rezultirajuće matrice tako da matrica označena na slici

postala dijagonalna, odnosno poprimila oblik

gdje su neki brojevi.

Ove transformacije su slične onima kod Gaussove metode, ali se ne izvode od prvog reda do posljednjeg, već od posljednjeg do prvog.

Dodajte elementima trećeg, drugog i prvog reda odgovarajuće elemente posljednjeg reda, pomnožene sa , bez prestanka odnosno:

Sada dodajmo elementima drugog i prvog reda odgovarajuće elemente trećeg reda, pomnožene sa i po:

U posljednjem koraku obrnutog kretanja Gaussove metode dodajemo odgovarajuće elemente drugog reda, pomnožene sa , elementima prvog reda:

Rezultirajuća matrica odgovara sistemu jednačina , iz koje nalazimo nepoznate varijable.

odgovor:

BILJEŠKA.

Kada se koristi Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina, treba izbjegavati približne proračune, jer to može dovesti do apsolutno netačnih rezultata. Preporučujemo da ne zaokružujete decimale. Bolje je prijeći s decimalnih razlomaka na obične razlomke.

Primjer.

Riješi sistem od tri jednačine Gausovom metodom .

Odluka.

Imajte na umu da u ovom primjeru nepoznate varijable imaju drugačiju oznaku (ne x 1 , x 2 , x 3 , već x, y, z). Pređimo na obične razlomke:

Eliminišite nepoznato x iz druge i treće jednačine sistema:

U rezultirajućem sistemu ne postoji nepoznata varijabla y u drugoj jednačini, a y je prisutno u trećoj jednačini, stoga mijenjamo drugu i treću jednačinu:

U ovom trenutku, direktni tok Gaussove metode je završen (ne morate isključiti y iz treće jednačine, pošto ova nepoznata varijabla više ne postoji).

Hajdemo nazad.

Iz posljednje jednačine nalazimo ,
od pretposljednjeg

iz prve jednačine koju imamo

odgovor:

X=10, y=5, z=-20.

Rešenje sistema linearnih algebarskih jednačina, u kojima se broj jednačina ne poklapa sa brojem nepoznatih, ili je glavna matrica sistema degenerisana, Gaussovom metodom.

Sistemi jednadžbi čija je glavna matrica pravokutna ili kvadratna degenerirana mogu imati bez rješenja, mogu imati jedno rješenje ili mogu imati beskonačan broj rješenja.

Sada ćemo razumjeti kako nam Gaussova metoda omogućava da ustanovimo kompatibilnost ili nekonzistentnost sistema linearnih jednačina, iu slučaju njegove kompatibilnosti, odredimo sva rješenja (ili jedno jedino rješenje).

U principu, proces eliminacije nepoznatih varijabli u slučaju takvih SLAE ostaje isti. Međutim, vrijedi se detaljno zadržati na nekim situacijama koje se mogu pojaviti.

Pređimo na najvažniji korak.

Dakle, pretpostavimo da sistem linearnih algebarskih jednadžbi nakon završetka napredovanja Gaussove metode ima oblik i nijedna od jednačina nije svedena na (u ovom slučaju, zaključili bismo da je sistem nekonzistentan). Postavlja se logično pitanje: "Šta dalje"?

Zapisujemo nepoznate varijable koje se nalaze na prvom mjestu svih jednačina rezultujućeg sistema:

U našem primjeru, to su x 1 , x 4 i x 5 . U levim delovima jednadžbi sistema ostavljamo samo one članove koji sadrže ispisane nepoznate varijable x 1, x 4 i x 5, a preostale članove prenosimo na desnu stranu jednačine sa suprotnim predznakom:

Dodijelimo proizvoljne vrijednosti nepoznatim varijablama koje se nalaze na desnoj strani jednadžbe, gdje je - proizvoljni brojevi:

Nakon toga, brojevi se nalaze u pravim dijelovima svih jednadžbi naše SLAE i možemo preći na obrnuti tok Gaussove metode.

Iz zadnje jednačine sistema imamo , iz pretposljednje jednačine nalazimo , iz prve jednačine dobijamo

Rješenje sistema jednačina je skup vrijednosti nepoznatih varijabli

Davanje brojeva različite vrijednosti, dobićemo različita rješenja sistema jednačina. To jest, naš sistem jednačina ima beskonačno mnogo rješenja.

odgovor:

gdje - proizvoljni brojevi.

Da bismo konsolidirali materijal, detaljno ćemo analizirati rješenja još nekoliko primjera.

Primjer.

Rješavanje homogenog sistema linearnih algebarskih jednačina Gausova metoda.

Odluka.

Isključimo nepoznatu varijablu x iz druge i treće jednačine sistema. Da biste to učinili, dodajte lijevi i desni dio prve jednačine, redom, lijevom i desnom dijelu druge jednačine, pomnoženoj sa , i lijevom i desnom dijelu treće jednačine, lijevi i desni dio prva jednačina, pomnožena sa:

Sada isključujemo y iz treće jednačine rezultirajućeg sistema jednačina:

Rezultirajući SLAE je ekvivalentan sistemu .

Ostavljamo samo članove koji sadrže nepoznate varijable x i y na lijevoj strani jednadžbi sistema, a članove sa nepoznatom varijablom z prenosimo na desnu stranu: