Pronađite dekompoziciju vektora po bazi online kalkulator. Linearna zavisnost i linearna nezavisnost vektora. Osnova vektora

Osnova(starogrčki βασις, osnova) - skup vektora u vektorskom prostoru tako da se bilo koji vektor u ovom prostoru može jedinstveno predstaviti kao linearna kombinacija vektora iz ovog skupa - baznih vektora

Osnova u prostoru Rn je bilo koji sistem iz n-linearno nezavisni vektori. Svaki vektor iz R n koji nije uključen u bazu može se predstaviti kao linearna kombinacija baznih vektora, tj. rasporediti preko osnove.
Neka je baza prostora R n i . Tada postoje brojevi λ 1, λ 2, …, λ n takvi da .
Koeficijenti proširenja λ 1, λ 2, ..., λ n nazivaju se vektorskim koordinatama u bazi B. Ako je baza data, tada se vektorski koeficijenti određuju jednoznačno.

Komentar. U svakom n-dimenzionalni vektorski prostor koji možete izabrati bezbroj različite baze. U različitim bazama, isti vektor ima različite koordinate, ali jedini u odabranoj osnovi. Primjer. Proširite vektor u njegovu osnovu.
Rješenje. . Zamijenimo koordinate svih vektora i izvršimo radnje na njima:

Izjednačavanjem koordinata dobijamo sistem jednačina:

Hajde da to riješimo: .
Tako dobijamo dekompoziciju: .
U osnovi vektor ima koordinate .

Kraj rada -

Ova tema pripada sekciji:

Vektorski koncept. Linearne operacije nad vektorima

Vektor je usmjereni segment određene dužine, odnosno segment određene dužine koji ima jednu od svojih graničnih tačaka.. dužina vektora se naziva njegovim modulom i označava se simbolom modula vektora.. vektor se naziva nula, označava se ako se njegov početak i kraj poklapaju, nulti vektor nema specifičnosti vrijednost..

Ako trebaš dodatni materijal na ovu temu, ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučujemo da koristite pretragu u našoj bazi radova:

Šta ćemo sa primljenim materijalom:

Ako vam je ovaj materijal bio koristan, možete ga sačuvati na svojoj stranici na društvenim mrežama:

Osnova prostora oni nazivaju takav sistem vektora u kojem se svi ostali vektori u prostoru mogu predstaviti kao linearna kombinacija vektora uključenih u bazu.
U praksi se sve to vrlo jednostavno provodi. Osnova se po pravilu provjerava na ravni ili u prostoru, a za to je potrebno pronaći determinantu matrice drugog, trećeg reda sastavljene od vektorskih koordinata. Ispod su šematski napisane uslovi pod kojima vektori čine osnovu

To proširiti vektor b u bazne vektore
e,e...,e[n] potrebno je pronaći koeficijente x, ..., x[n] za koje je linearna kombinacija vektora e,e...,e[n] jednaka vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Da biste to učinili, vektorsku jednačinu treba pretvoriti u sistem linearne jednačine i pronađite rješenja. Ovo je također prilično jednostavno za implementaciju.
Pronađeni koeficijenti x, ..., x[n] se pozivaju koordinate vektora b u bazi e,e...,e[n].
Pređimo na praktičnu stranu teme.

Dekompozicija vektora na bazne vektore

Zadatak 1. Provjerite da li vektori a1, a2 čine osnovu na ravni

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Rješenje: Od koordinata vektora sastavimo determinantu i izračunamo je

Determinanta nije nula, dakle vektori su linearno nezavisni, što znači da čine osnovu.

2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Rješenje: Izračunavamo determinantu koju čine vektori

Determinanta je jednaka 13 (nije jednaka nuli) - iz ovoga slijedi da su vektori a1, a2 baza na ravni.

---=================---

Hajde da razmotrimo tipični primjeri sa programa MAUP u disciplini "Viša matematika".

Zadatak 2. Pokazati da vektori a1, a2, a3 čine osnovu trodimenzionalne vektorski prostor, i proširiti vektor b preko ove baze (prilikom rješavanja sistema linearnih algebarske jednačine koristiti Cramerovu metodu).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Rješenje: Prvo razmotrite sistem vektora a1, a2, a3 i provjerite determinantu matrice A

izgrađen na vektorima koji nisu nula. Matrica sadrži jedan nulti element, pa je prikladnije izračunati determinantu kao raspored u prvoj koloni ili trećem redu.

Kao rezultat proračuna, ustanovili smo da je determinanta različita od nule vektori a1, a2, a3 su linearno nezavisni.
Po definiciji, vektori čine osnovu u R3. Zapišimo raspored vektora b na osnovu

Vektori su jednaki kada su im odgovarajuće koordinate jednake.
Dakle, iz vektorske jednačine dobijamo sistem linearnih jednačina

Rešimo SLAE Cramerova metoda. Da bismo to učinili, zapisujemo sistem jednačina u obliku

Glavna determinanta SLAE je uvijek jednaka determinanti sastavljenoj od baznih vektora

Stoga se u praksi ne računa dvaput. Da bismo pronašli pomoćne determinante, stavljamo kolonu slobodnih pojmova na mjesto svake kolone glavne determinante. Determinante se računaju pomoću pravila trougla



Zamijenimo pronađene determinante u Cramerovu formulu



Dakle, proširenje vektora b u smislu baze ima oblik b=-4a1+3a2-a3. Koordinate vektora b u bazi a1, a2, a3 će biti (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Rješenje: Provjeravamo vektore za osnovu - sastavljamo determinantu iz koordinata vektora i izračunavamo je

Dakle, determinanta nije jednaka nuli vektori čine osnovu u prostoru. Ostaje da pronađemo raspored vektora b kroz ovu bazu. Da bismo to učinili, pišemo vektorsku jednačinu

i transformisati u sistem linearnih jednačina

Snimanje matrična jednačina

Zatim, za Cramerove formule nalazimo pomoćne determinante



Primjenjujemo Cramerove formule



Dakle, dati vektor b ima raspored kroz dva bazna vektora b=-2a1+5a3, a njegove koordinate u bazi su jednake b(-2,0, 5).

L. 2-1 Osnovni pojmovi vektorske algebre. Linearne operacije nad vektorima.

Dekompozicija vektora po bazi.

Osnovni pojmovi vektorske algebre

Vektor je skup svih usmjerenih segmenata koji imaju iste dužine i smjer
.

Svojstva:

Linearne operacije preko vektora

1.

Pravilo paralelograma:

WITH ummet dva vektora I zove se vektor , koji dolaze iz njihovog zajedničkog porijekla i predstavljaju dijagonala paralelograma izgrađenog na vektorima I oba sa strane.

Pravilo poligona:

Da biste konstruirali zbir bilo kojeg broja vektora, trebate staviti početak 2. na kraj 1. člana vektora, na kraj 2. - početak 3. itd. Vektor koji zatvara rezultat slomljena linija, je zbir. Njegov početak se poklapa s početkom prvog, a kraj s krajem posljednjeg.

Svojstva:

2.

Proizvod vektora po broju , je vektor koji zadovoljava uslove:
.

Svojstva:

3.

Po razlici vektori I zove se vektor , jednako zbroju vektora i vektor suprotan vektoru , tj.
.

- zakon suprotnog elementa (vektora).

Dekompozicija vektora u bazu

Zbir vektora je određen na jedinstven način
(ali samo ). Obrnuta operacija, dekompozicija vektora na nekoliko komponenti, je dvosmislena: Da bi to bilo nedvosmisleno, potrebno je naznačiti pravce po kojima se dotični vektor razlaže, odnosno, kako kažu, potrebno je naznačiti osnovu.

Prilikom određivanja osnove, zahtjev nekoplanarnosti i nekolinearnosti vektora je bitan. Da bi se razumjelo značenje ovog zahtjeva, potrebno je razmotriti koncept linearne zavisnosti i linearne nezavisnosti vektora.

Poziva se proizvoljan izraz oblika: , linearna kombinacija vektori
.

Linearna kombinacija nekoliko vektora naziva se trivijalan, ako su svi njegovi koeficijenti jednaki nuli.

Vektori
su pozvani linearno zavisna, ako postoji netrivijalna linearna kombinacija ovih vektora jednaka nuli:
(1), pod uslovom
. Ako jednakost (1) vrijedi samo za sve
istovremeno jednak nuli, zatim vektori različiti od nule
će linearno nezavisna.

Lako dokazati: bilo koja dva kolinearna vektora su linearno zavisna, a bilo koja dva nekolinearna vektora su linearno nezavisna.

Počnimo dokaz s prvom tvrdnjom.

Neka vektori I kolinearno. Pokažimo da su one linearno zavisne. Zaista, ako su kolinearni, onda se međusobno razlikuju samo po brojčanom faktoru, tj.
, dakle
. Pošto je rezultirajuća linearna kombinacija očigledno netrivijalna i jednaka „0“, onda su vektori I linearno zavisna.

Razmotrimo sada dva nekolinearna vektora I . Dokažimo da su oni linearno nezavisni. Dokaz konstruišemo kontradikcijom.

Pretpostavimo da su one linearno zavisne. Tada mora postojati netrivijalna linearna kombinacija
. Pretvarajmo se to
, Onda
. Rezultirajuća jednakost znači da su vektori I su kolinearni, suprotno našoj početnoj pretpostavci.

Slično možemo dokazati: bilo koja tri koplanarna vektora su linearno zavisna, a bilo koja dva nekoplanarna vektora su linearno nezavisna.

Vraćajući se konceptu baze i problemu dekompozicije vektora u određenoj bazi, možemo reći da osnova na ravni i u prostoru se formira iz skupa linearno nezavisnih vektora. Ovaj koncept osnove je opšti, jer odnosi se na prostor bilo kojeg broja dimenzija.

Izraz kao:
, naziva se vektorska dekompozicija po vektorima ,…,.

Ako uzmemo u obzir bazu u trodimenzionalnom prostoru, onda je dekompozicija vektora po osnovu
će
, Gdje
-vektorske koordinate.

U problemu dekompozicije proizvoljnog vektora u određenoj bazi vrlo je važna sljedeća izjava: bilo koji vektormože se jedinstveno proširiti u datoj bazi
. Drugim riječima, koordinate
za bilo koji vektor u odnosu na osnovu
određuje se nedvosmisleno.

Uvođenje baze u prostor i na ravan nam omogućava da dodijelimo svaki vektor uređena trojka (par) brojeva – njene koordinate. Ovaj vrlo važan rezultat, koji nam omogućava da uspostavimo vezu između geometrijskih objekata i brojeva, omogućava analitički opis i proučavanje položaja i kretanja fizičkih objekata.

Skup tačke i baze se zove koordinatni sistem.

Ako su vektori koji formiraju bazu jedinični i po paru okomiti, tada se zove koordinatni sistem pravougaona, i osnovu ortonormalno.

L. 2-2 Proizvod vektora

Dekompozicija vektora u bazu

Razmotrimo vektor
, dat svojim koordinatama:
.

- vektorske komponente duž pravca baznih vektora
.

Izražavanje forme
zove se vektorska dekompozicija po osnovu
.

Na sličan način možemo razložiti po osnovu
vektor
:

.

Kosinusi uglova formiranih dotičnim vektorom sa baznim vektorima
su pozvani kosinus smjera

;
;
.

Tačkasti proizvod vektora.

Tačkasti proizvod dva vektora I je broj jednak proizvodu modula ovih vektora i kosinusa ugla između njih

Skalarni proizvod dva vektora može se smatrati proizvodom modula jednog od ovih vektora i ortogonalne projekcije drugog vektora na smjer prvog vektora.
.

Svojstva:

Ako su koordinate vektora poznate
I
, zatim, razloživši vektore u bazu
:
I
, hajde da nađemo

, jer
,
, To

.

.

Uslov da vektori budu okomiti:
.

Uslov za kolinearnost rektora:
.

Vektorski proizvod vektora

ili

Vektorski proizvod po vektor na vektor takav vektor se zove
, koji zadovoljava uslove:

Svojstva:

Razmatrana algebarska svojstva nam omogućavaju da pronađemo analitički izraz za vektorski proizvod kroz koordinate komponentnih vektora u ortonormalnoj bazi.

Dato:
I
.

jer ,
,
,
,
,
,
, To

. Ova formula se može ukratko napisati, u obliku determinante trećeg reda:

.

Mješoviti proizvod vektora

Mješoviti proizvod tri vektora ,I je broj jednak vektorskom proizvodu
, pomnožen skalar vektorom .

Tačna je sljedeća jednakost:
, pa je napisan mješoviti proizvod
.

Kao što slijedi iz definicije, rezultat je miješan proizvoda od tri vektori je broj. Ovaj broj ima jasno geometrijsko značenje:

Modul mješovitih proizvoda
jednak volumenu paralelepipeda izgrađenog na smanjenom na opšti početak vektori ,I .

Osobine mješovitog proizvoda:

Ako vektori ,,specificirano na ortonormalnoj osnovi
njegove koordinate, izračunavanje mješovitog proizvoda vrši se prema formuli

.

Zaista, ako
, To

;
;
, Onda
.

Ako vektori ,,su komplanarni, onda vektorski proizvod
okomito na vektor . I obrnuto, ako
, tada je volumen paralelepipeda nula, a to je moguće samo ako su vektori koplanarni (linearno zavisni).

Dakle, tri vektora su koplanarna ako i samo ako je njihov mješoviti proizvod nula.

Vektorski račun i njegove primjene veliki značaj ima zadatak dekompozicije koji se sastoji u predstavljanju datog vektora kao sume nekoliko vektora koji se nazivaju komponente datog

vektor. Ovaj zadatak, koji ima opšti slučaj beskonačan broj rješenja, postaje sasvim određen ako specificirate neke elemente komponentnih vektora.

2. Primjeri razlaganja.

Razmotrimo nekoliko vrlo čestih slučajeva raspadanja.

1. Rastaviti dati vektor c na dva komponentna vektora od kojih je jedan, na primjer a, dat po veličini i smjeru.

Problem se svodi na određivanje razlike između dva vektora. Zaista, ako su vektori komponente vektora c, tada mora biti zadovoljena jednakost

Odavde se određuje drugi komponentni vektor

2. Rastaviti dati vektor c na dvije komponente, od kojih jedna mora ležati u dati avion a drugi mora ležati na datoj pravoj a.

Da bismo odredili sastavne vektore, pomeramo vektor c tako da se njegov početak poklopi sa tačkom preseka date prave linije sa ravninom (tačka O - vidi sliku 18). Od kraja vektora c (tačka C) povlačimo pravu liniju do

presek sa ravninom (B je tačka preseka), a zatim iz tačke C povučemo paralelnu pravu liniju

Vektori i će biti željeni, tj. naravno, naznačeno proširenje je moguće ako prava a i ravan nisu paralelne.

3. Data su tri koplanarna vektora a, b i c, a vektori nisu kolinearni. Potrebno je dekomponovati vektor c na vektore

Nabrojimo sva tri dati vektori do jedne tačke O. Tada će se, zbog svoje komplanarnosti, nalaziti u istoj ravni. On dati vektor s tim kako ćemo na dijagonali konstruirati paralelogram čije su stranice paralelne sa linijama djelovanja vektora (slika 19). Ova konstrukcija je uvijek moguća (osim ako su vektori kolinearni) i jedinstvena. Od sl. 19 to je jasno