Čitava istorija geometrije i nekih drugih grana matematike usko je povezana sa razvojem teorije geometrijskih konstrukcija. Najvažniji aksiomi geometrije, koje je formirao Euklid oko 300. godine prije Krista, jasno pokazuju ulogu koju su geometrijske konstrukcije imale u formiranju geometrije.

Dostupno u školskoj geometriji posebne teme, kojoj se radujete, očekujući susret sa nevjerovatno lijepim materijalom. Takve teme uključuju "Poliedre i konstrukciju njihovih presjeka." Ovdje se ne samo otvara neverovatan svet geometrijska tijela sa jedinstvenim svojstvima, ali i zanimljiva naučne hipoteze. I tada lekcija geometrije postaje neka vrsta proučavanja neočekivanih aspekata poznatog školskog predmeta.

Na časovima geometrije ove godine smo obrađivali temu „Konstrukcija presjeka poliedara“. U okviru programa proučavali smo jednu metodu za konstruisanje preseka, ali me je zainteresovalo koje druge metode postoje.

Svrha mog rada: Naučite sve metode za konstrukciju presjeka poliedara.

Nijedno geometrijsko tijelo nema takvo savršenstvo i ljepotu kao poliedri. “Postoji šokantno mali broj poliedara”, napisao je jednom L. Carroll, “ali ovaj vrlo skroman brojčano odvajanje uspio je ući u same dubine raznih nauka.”

Trenutno teorija geometrijskih konstrukcija predstavlja ogromno i duboko razvijeno područje matematike povezano s rješavanjem različitih temeljnih pitanja koja idu u druge grane matematike.

1. Istorija deskriptivne geometrije

Čak iu davna vremena ljudi su crtali i crtali slike stvari, drveća, životinja i ljudi na stijenama, kamenju, zidovima i kućnim predmetima. To je učinio da zadovolji svoje potrebe, uključujući i estetske. Štoviše, glavni zahtjev za takve slike bio je da slika izaziva ispravnu vizualnu ideju o obliku prikazanog objekta.

S porastom praktične i tehničke primjene slika (u izgradnji zgrada i drugih civilnih i vojnih objekata, itd.), počeli su se postavljati zahtjevi prema njima da se slika može koristiti za prosuđivanje geometrijska svojstva, veličine i relativne pozicije pojedinih elemenata određenog objekta. O takvim zahtjevima mogu se suditi mnogi antički spomenici koji su preživjeli do danas. Međutim, stroga geometrijski zasnovana pravila i metode za prikazivanje prostornih figura (s obzirom na perspektivu) počeli su sustavno razvijati umjetnici, arhitekti i vajari tek u renesansi: Leonardo da Vinci, Durer, Raphael, Michelangelo, Tizian i drugi.

Nacrtnu geometriju kao nauku stvorio je krajem 18. stoljeća veliki francuski geometar i inženjer Gaspard Monge (1746 – 1818). Godine 1637. francuski geometar i filozof Rene Descartes (1596. - 1650.) stvorio je koordinatnu metodu i postavio temelje analitičke geometrije, a njegov sunarodnik, inženjer i matematičar Girard Desages (1593. - 1662.), koristio je ovu koordinatnu metodu za konstruiranje perspektivne projekcije i potkrijepio teoriju aksonometrijskih projekcija.

U 17. veku u Rusiji se uspešno razvijaju tehnički crteži, rađeni u obliku planova i profila u razmeri. Ovdje, prije svega, treba spomenuti crteže izuzetnog ruskog mehaničara i pronalazača I.P. Kulibin (1735 – 1818). Njegov dizajn za drveni lučni most prvi put koristi ortogonalne projekcije (1773.). (Ortogonalna projekcija ravni na pravu koja leži u njoj ili prostora na ravan je poseban slučaj paralelna projekcija, u kojoj je smjer projekcije okomit na pravu liniju ili ravan na koju se projektuju.)

Veliki doprinos razvoju ortogonalnih projekcija dao je francuski inženjer A. Frezier (1682–1773), koji je prvi razmatrao projektovanje objekta na dve ravni - horizontalnu i frontalnu.

Najveća zasluga G. Mongea bila je generalizacija svega naučni radovi njegovih prethodnika, čitava teorija metoda za prikazivanje prostornih figura i stvaranje jedne matematičke nauke o ortogonalnoj projekciji – deskriptivna geometrija.

Rođenje ovoga nova nauka skoro se poklopio sa osnivanjem u Sankt Peterburgu prvog ruskog višeg transporta obrazovne ustanove– Institut korpusa željezničkih inženjera (2.12.1809.)

Diplomci ovog instituta, njegovi profesori i naučnici dali su značajan doprinos razvoju geometrijskih metoda predstavljanja, teoriji i praksi deskriptivne geometrije.

1. Definicije poliedara

U stereometriji se proučavaju figure u prostoru, tzv tijela . Vizuelno (geometrijsko) tijelo se mora zamisliti kao dio zauzetog prostora fizičko tijelo i ograničena površinom.

Poliedar - ovo je tijelo čija se površina sastoji od nekoliko ravnih poligona. Poliedar se zove konveksan , ako se nalazi na jednoj strani ravni svakog planarnog poligona na njegovoj površini. zajednički dio takva ravan i površina konveksni poliedar pozvao rub . Lica konveksnog poliedra su ravni konveksni poligoni. Strane lica se nazivajuivice poliedra, a vrhovi su vrhovima poliedra.

Odjeljak poliedar se zove ravan geometrijska figura, koji je skup svih tačaka u prostoru koje istovremeno pripadaju datom poliedru i ravni; ravan se zove rezna ravan.

Površina poliedra sastoji se od ivica, segmenata i lica ravnih poligona. Kako se prava i ravan sijeku u tački, a dvije ravni se seku duž prave, tada je presjek poliedra ravninomplanarni poligon; vrhovi ovog poligona su tačke preseka presečne ravni sa ivicama poliedra, a stranice su segmenti duž kojih sečna ravan seče svoje strane. To znači da je za konstruisanje željenog preseka datog poliedra sa ravninom α dovoljno konstruisati tačke njegovog preseka sa ivicama poliedra. Zatim povežite ove tačke uzastopno sa segmentima, naglašavajući punim linijama, vidljivim i isprekidanim nevidljive strane rezultujuća poligonalna sekcija.

III. Metode konstruisanja presjeka poliedara

Metoda presjeka poliedara u stereometriji se koristi u konstrukcijskim problemima. Zasniva se na sposobnosti konstruisanja presjeka poliedra i određivanja vrste presjeka.

Ovaj materijal karakteriziraju sljedeće karakteristike:

• Metoda presjeka se koristi samo za poliedre, jer različiti složeni (kosi) tipovi presjeka tijela rotacije nisu uključeni u nastavni plan i program srednjih škola.
• Zadaci uglavnom koriste najjednostavnije poliedre.
• Problemi su prikazani uglavnom bez numeričkih podataka kako bi se stvorila mogućnost njihove višestruke upotrebe.

Da bi riješio zadatak konstruisanja presjeka poliedra, učenik mora znati:

• Šta znači konstruisati presek poliedra sa ravni;
• Kako se poliedar i ravan mogu postaviti relativno jedan prema drugom?
• Kako je ravan definisana;
• Kada se problem konstruisanja presjeka poliedra ravninom smatra riješenim.

Zato što je ravan definisana:

• Tri boda;
• Ravno i točkasto;
• Dvije paralelne linije;
• Dvije linije koje se seku

Konstrukcija presečne ravni zavisi od specifikacije ove ravni. Stoga se sve metode za konstruisanje presjeka poliedara mogu podijeliti na metode.

3.1 Konstrukcija presjeka poliedara na osnovu sistema aksioma stereometrije

Problem 1 . Konstruisati presek piramide RABC sa ravninom α = (MKH), gde su M, K i H unutrašnje tačke ivica RS, PB i AB, respektivno (sl. 1, a).

Rješenje .

1. korak . Tačke M i K leže u svakoj od dvije ravni α i RVS. Dakle, prema aksiomu preseka dve ravni, α ravan seče ravan RVS duž prave MK. Posljedično, segment MK je jedna od stranica željenog presjeka (slika 1, b).

2. korak . Slično, segment KN je druga strana željenog preseka (slika 1, c).

3rd step . Tačke M i H ne leže istovremeno ni na jednoj strani piramide RABC, stoga segment MH nije stranica presjeka ove piramide. Prave KN i RA leže u ravni AVR lica i seku. Konstruirajmo tačku T= KH ∩AP (slika 1, d).

Pošto prava KN leži u α ravni, onda tačka T leži u α ravni. Sada vidimo da avioni α i APC imaju zajedničke tačke M i T. Prema tome, prema aksiomu presjeka dvije ravni, ravan α i ravan APC seku se duž prave linije MT, koja zauzvrat siječe rub AC u tački R (slika 1, e) .

4. korak . Sada, na isti način kao u koraku 1, utvrđujemo da ravan α seče lica ACP i ABC duž segmenata MR i HR, respektivno. Prema tome, traženi presjek je četverougao MKHR (slika 1, f).

Rice. 2

Zadatak 2. Konstruisati presek piramide MABCD sa ravninom α = (CN), gde su K, H i P unutrašnje tačke ivica MA, MV i MD, respektivno (slika 2, a).

Rješenje. Prva dva koraka slična su koracima 1 i 2 prethodnog problema. Kao rezultat, dobijamo stranice KR i KN (slika 2, b) željenog presjeka. Konstruirajmo preostale vrhove i stranice poligona - presjeke.

3rd step . Nastavimo odsječak KR sve dok se ne siječe sa pravom AD u tački F (slika 2, c). Kako pravac KR leži u ravni sečenja α, tačka F= KR ∩ AD = KR ∩ (ABC) zajednička je ravnima α i ABC.

4. korak . Nastavimo odsječak KH sve dok se ne siječe sa pravom linijom AB u tački L (slika 2, d). Kako prava linija KN leži u ravni sečenja α, tačka L = KN ∩ AV = KN ∩ (AVS) je zajednička za ravnine α i AVS.

Dakle , tačke F i L su zajedničke ravninama α i ABC. To znači da ravan α seče ravan ABC osnove piramide duž prave FL.

5. korak . Nacrtajmo pravu liniju FL. Ova prava linija seče ivice BC i DC, respektivno, u tačkama R i T (slika 2, e), koje služe kao vrhovi željenog preseka. To znači da ravan α siječe lice baze ABCD duž segmenta RT - stranice željenog presjeka.

6. korak . Sada crtamo segmente RH i PT (slika 2, f), duž kojih ravan α seče lica BMC i MCD ove piramide. Dobijamo petougao PKHRT - željeni presek MABCD piramide (slika 2, f).

Hajde da razmotrimo složeniji problem.

Problem 3 . Konstruisati presek pentagonalne piramide PABCDE sa ravninom α = (KQR), gde su K, Q unutrašnje tačke ivica RA i RS, respektivno, a tačka R leži unutar lica DPE (slika 3, a).

Rješenje . Prave (QK i AC leže u istoj ravni ACP (prema aksiomu prave i ravni) i seku se u nekoj tački T1, (slika 3b), dok je T1 ê α, pošto je QK ê α.

Prava PR seče DE u nekoj tački F (slika 3, c), koja je tačka preseka ravni ARR i stranice DE osnove piramide. Tada prave KR i AF leže u istoj ravni APR i seku se u nekoj tački T2 (sl. 3, d), dok je T2 ê α, kao tačka prave KR ê α (prema aksiomu prave linija i ravan).

dobio: prava T1 T2 leži u sekantnoj ravni α i u ravni osnove piramide (prema aksiomu prave i ravni), dok prava siječe stranice DE i AE osnove ABCDE piramide, redom, u tačkama M i N (slika 3, e), koje su presečne tačke ravni α sa ivicama DE i AE piramide i služe kao vrhovi željenog preseka.

Dalje , prava linija MR leži u ravni lica DPE i u ravni sečenja α (prema aksiomu prave i ravni), dok siječe ivicu PD u nekoj tački H - drugom vrhu željenog preseka (slika 3. , f).

dalje, Konstruirajmo tačku T3 - T1T2 ∩ AB (slika 3, g), koja, kao tačka prave T1T2 ê α, leži u ravni a (prema aksiomu prave i ravni). Sada ravan lica RAB pripada dvema tačkama T3 i K presečnoj ravni α, što znači da je prava T3K prava linija preseka ovih ravni. Prava T3K seče ivicu PB u tački L (slika 3, h), koja služi kao sledeći vrh željenog preseka.

Rice. 3

Dakle, "lanac" sekvence za konstruisanje željene sekcije je sljedeći:

1 . T1 = QK ∩AC;

2. F = PR ∩ DE;

3. T2 = KR ∩ AF;

4 . M = T1T2 ∩ DE;

5 . N = T1T2 ∩ AE;

6. N = MR ∩ PD;

7. T3 = T1T2 ∩ AB;

8 . L = T3K ∩ PB.

Šestougao MNKLQH je obavezna sekcija.

Presjek piramide na sl. 1 i presjek kocke na sl. 2 su konstruisane samo na osnovu aksioma stereometrije.

U isto vrijeme, presjek poliedra s paralelnim plohama (prizma, paralelepiped, kocka) može se konstruirati koristeći svojstva paralelnih ravnina.

3.2 Metoda praćenja u konstruisanju ravnih presjeka poliedara

Prava linija duž koje seče ravan α seče ravan osnove poliedra naziva se trag ravni α u ravni ove osnove.

Iz definicije traga dobijamo: u svakoj od njegovih tačaka seku se prave linije, od kojih jedna leži u ravni sekansa, a druga u ravni baze. Ovo svojstvo traga se koristi kada se konstruišu ravni presjeci poliedra metodom traga. Štoviše, u sekantnoj ravnini prikladno je koristiti ravne linije koje sijeku rubove poliedra.

Najprije definiramo sekansnu ravan njenim tragom u ravni osnove prizme (piramide) i tačkom koja pripada površini prizme (piramide).

Problem 1 . Konstruisati presek prizme AVSVÉA1V1S1D1É1 ravninom α, koja je određena tragom l u ravni ABC osnove prizme i tačkom M koja pripada ivici DD1.

Rješenje. Analiza . Pretpostavimo da je petougao MNPQR željeni presek (slika 4). Za konstruisanje ovog ravnog petougla dovoljno je konstruisati njegove vrhove N, P, Q, R (data je tačka M) - tačke preseka presečne ravni α sa ivicama CC1, BB1, AA1, EE1 date prizme, respektivno.

E1 D1

Za konstruisanje tačke N =α ∩ CC1, dovoljno je konstruisati pravu liniju preseka presečne ravni α sa ravninom lica CDD1C1. Da biste to učinili, dovoljno je konstruirati još jednu tačku u ravni ove površine, koja pripada reznoj ravni α. Kako konstruisati takvu tačku?

Kako prava l leži u ravni osnove prizme, ona može preseći ravan lica SDD1C1 samo u tački koja pripada pravoj liniji CD = (CDD1) ∩ (AVS), tj. tačka X = l ∩ SD = l ∩ (CDD1) pripada reznoj ravni α. Dakle, za konstruisanje tačke N = α ∩ CC1, dovoljno je konstruisati tačku X = l ∩ CD.

Slično, za konstruisanje tačaka P = α ∩ BB1, Q = α ∩ AA1 i R = α ∩ EE1, dovoljno je konstruisati tačke redom: Y = l ∩ BC, Z = 1 ∩ AB i T =1 ∩ AE .

Izgradnja. Gradimo (slika 5):

1. X = l ∩ CD (sl. 5, b);

2. N = MX ∩ CC1 (slika 5, c);

3. U = l ∩ VS (sl. 5, d);

4. P = NY ∩ BB1 (slika 5, e);

5. Z = 1 ∩ AB (slika 5, f);

6. Q= PZ ∩ AA1 (sl. 5, g);

7. T= l ∩ AE (sl. 5, h);

8. R= QT ∩ EE1 (slika 5, i).

Pentagon MNPQR je traženi presek (sl. 5, j).

Dokaz. Pošto je prava l trag presečne ravni α, tada tačke X = l ∩ CD, Y = l ∩ BC, Z = 1 ∩ AB i T= l ∩ AE pripadaju ovoj ravni.

Stoga imamo:

M Ê α, X Ê α => MH ê α, zatim MH ∩ SS1 = N ê α, što znači N = α ∩ SS1;

N Ê α, Y Ê α => NY Ê α, zatim NY ∩ BB1= P Ê α, što znači P = α ∩ BB1;

R Ê α, Z Ê α => RZ Ê α, zatim PZ ∩ AA1 = Q Ê α, što znači Q = α ∩ AA1;

Q Ê α, T Ê α => QT Ê α, zatim QT ∩ EE1 =R Ê α, što znači R = α ∩ EE1.

Stoga je MNPQR potreban odjeljak.

Studija. Trag l presečne ravni α ne seče bazu prizme, a tačka M presečne ravni pripada bočnoj ivici DD1 prizme. Dakle, rezna ravan α nije paralelna sa bočnim ivicama. Prema tome, tačke N, P, Q i R preseka ove ravni sa bočnim ivicama prizme (ili produžecima ovih ivica) uvek postoje. A pošto, pored toga, tačka M ne pripada tragu l, onda je ravan α definisana njima jedinstvena. To znači da problem (uvijek) ima jedinstveno rješenje.

3.3 Metoda unutrašnjeg projektovanja za konstruisanje ravnih presjeka poliedara

U nekim udžbenicima metoda konstruisanja presjeka poliedara, koju ćemo sada razmotriti, naziva se metodom unutrašnje projekcije ili metodom korespondencija, ili metodom dijagonalnih presjeka.

Problem 1 . Konstruisati presek piramide PABCDE sa ravninom α = (MFR), ako su tačke M, F i R unutrašnje tačke ivica RA, RS i PE, redom. (sl. 6)

Rješenje . Označimo ravan osnove piramide sa β. Da bismo konstruisali željeni presek, konstruisaćemo tačke preseka presečne ravni α sa ivicama piramide.

Konstruirajmo tačku preseka sečne ravni sa ivicom PD ove piramide.

Ravnine APD i CPE seku ravan β duž pravih AD i CE, respektivno, koje se seku u nekoj tački K. Prava RK = (ARD) ∩(SPE) seče pravu liniju FR ê α u nekoj tački K1: K1 = RK ∩ FR, na ovom K1 ê α. Tada: M ê α, K1 ê α => prava MK ê a. Dakle, tačka Q = MK1 ∩ PD je tačka preseka ivice PD i ravni sečenja: Q =α ∩ PD. Tačka Q je vrh željenog preseka. Slično, konstruišemo presečnu tačku ravni α i ivice PB. Ravnine BPE i AD seku ravan β duž pravih BE i AD, koje se seku u tački H. Prava RN = (VRÉ) ∩ (ARD) seče pravu liniju MQ u tački N1. Tada prava RN1 seče ivicu RV u tački N = α ∩ RV - vrh preseka.

Dakle , redoslijed koraka za izradu željenog dijela je sljedeći:

1 . K = AD ∩ EC; 2. K1 = RK ∩ RF;

3. Q = MK1 ∩ RD; 4. H = BE ∩ AD;

5 . N1 = RN ∩ MQ; 6. N = RN1 ∩ RV.

Pentagon MNFQR je obavezna sekcija.

3.4 Kombinovani metod u konstruisanju ravnih preseka poliedara

Essence kombinovana metoda Konstrukcija presjeka poliedara je sljedeća. U nekim fazama konstruisanja preseka koristi se ili metoda tragova ili metoda internog projektovanja, au drugim fazama konstruisanja istog preseka se koriste proučavane teoreme o paralelizmu, okomitosti pravih i ravni.

Da biste ilustrirali primjenu ove metode, razmotrite sljedeći problem.

Zadatak 1.

Konstruirajte presjek paralelepipeda ABCDA1B1C1D1 ravninom α određenom točkama P, Q i R, ako tačka P leži na dijagonali A1C1, tačka Q na ivici BB1 i tačka R na ivici DD1. (sl. 7)

Rješenje

Rešimo ovaj problem koristeći metodu tragova i teoreme o paralelizmu pravih i ravni.

Prije svega, konstruirajmo trag rezne ravni α = (RQR) na ravni ABC.Da bismo to učinili, konstruiramo tačke T1 = RQ ∩ R1V (gdje je PP1 ║AA1,P1ê AC) i T2 = RQ ∩ VD. Nakon što smo konstruisali trag T1T2, uočavamo da tačka P leži u ravni A1B1C1, koja je paralelna sa ravninom ABC. To znači da ravan α seče ravan A1B1C1 duž prave linije koja prolazi kroz tačku P i paralelna je sa pravom T1T2. Nacrtajmo ovu pravu i označimo sa M i E tačke njenog preseka sa ivicama A1B1 i A1D1. Dobijamo: M = α ∩ A1B1, E = α∩ A1D1. Tada su segmenti ER i QM stranice željenog presjeka.

Dalje, pošto je ravan BCC1 paralelna sa ravninom lica ADD1A1, tada ravan α seče lice BCC1B1 duž segmenta QF (F= α ∩ CC1), paralelno sa pravom ER. Dakle, petougao ERFQM je traženi presek. (Tačka F se može dobiti izvođenjem RF║ MQ)

Rešimo ovaj problem koristeći metodu interne projekcije i teoreme o paralelizmu pravih i ravni.(sl. 8)

Rice. 8

Neka je H=AC ∩ BD. Povlačeći pravu liniju NN1 paralelnu ivici VV1 (N1 ê RQ), konstruišemo tačku F: F=RN1 ∩ CC1 Tačka F je tačka preseka ravni α sa ivicom CC1, pošto je RN1 ê α. Tada su segmenti RF i QF duž kojih ravan α seče lica CC1D1D i VSS1V1 ovog paralelepipeda, respektivno, stranice njegovog željenog preseka.

Pošto je ravan ABB1 paralelna ravni CDD1, presek ravni α i lica ABB1A1 je segment QM (M Ê A1B1), paralelan sa segmentom FR; segment QM - strana preseka. Dalje, tačka E = MP ∩ A1D1 je tačka preseka ravni α i ivice A1D1, pošto je MP ê α. Dakle, tačka E je još jedan vrh željenog preseka. Dakle, petougao ERFQM je traženi presek. (Tačka E se može konstruisati povlačenjem prave linije RE ║ FQ. Tada je M = PE ∩ A1B1).

IV. Zaključak

Zahvaljujući ovom radu, sumirao sam i sistematizovao znanja stečena tokom ovogodišnjeg kursa geometrije, upoznao se sa pravilima izvođenja kreativni rad, stekli nova znanja i primenili ih u praksi.

Voleo bih da svoje novo stečeno znanje češće primenjujem u praksi.

Nažalost, nisam uzeo u obzir sve metode za konstruisanje presjeka poliedara. Postoji još mnogo posebnih slučajeva:

• konstruisanje preseka poliedra sa ravni koja prolazi kroz datu tačku paralelnu datoj ravni;
• konstruisanje preseka koji prolazi kroz datu pravu paralelno sa drugom datom pravom;
• konstruisanje preseka koji prolazi kroz datu tačku paralelno sa dve date prave koje se seku;
• konstruisanje preseka poliedra sa ravninom koja prolazi kroz datu pravu okomitu na datu ravan;
• konstruisanje preseka poliedra sa ravni koja prolazi kroz datu tačku okomitu na datu pravu, itd.

U budućnosti planiram proširiti svoje istraživanje i dopuniti svoj rad analizom gore navedenih posebnih slučajeva.

Smatram da je moj rad relevantan jer ga mogu koristiti učenici srednjih i srednjih škola samostalno učenje za Jedinstveni državni ispit iz matematike, za dubinska studija materijal za izborne predmete i za samoobrazovanje mladih nastavnika. Srednjoškolci ne moraju samo da savladaju gradivo školski programi, ali i biti u stanju da ga kreativno primenite i nađete rešenje za bilo koji problem.

V. Literatura

1. Potoskuev E.V., Zvavich L.I. Geometrija. 10. razred: Udžbenik za obrazovne institucije sa dubinskim i specijalizovanim studijama matematike. - M.: Drfa, 2008.
2. Potoskuev E.V., Zvavich L.I. Geometrija. 10. razred: Zadatnik za opšteobrazovne ustanove sa dubljim i specijalizovanim proučavanjem matematike. - M.: Drfa, 2008.
3. Potoskuev E.V. Slika prostornih figura na ravni. Konstrukcija presjeka poliedara. Tutorial za studente Fizičko-matematičkog fakulteta Pedagoškog univerziteta. - Toljati: TSU, 2004.
4. Naučno-praktični časopis za srednjoškolce „Matematika za školarce“, 2009, br. 2/br.3, 1-64.
5. Geometrija u tabelama - Udžbenik za srednjoškolce - Nelin E.P.
6. geometrija, 7-11 razred, Referentni materijali, Bezrukova G.K., Litvinenko V.N., 2008.
7. Matematika, Referentni vodič, Za srednjoškolce i one koji ulaze na univerzitete, Ryvkin A.A., Ryvkin A.Z., 2003.
8. Algebra i geometrija u tabelama i dijagramima, Roganin A.N., Dergachev V.A., 2006.

Ciljevi lekcije: razmotriti rješavanje zadataka o konstruiranju presjeka ako dvije tačke presjeka pripadaju istoj površini.

Tokom nastave

Učenje novih koncepata
Definicija 1. Sečna ravan poliedra je bilo koja ravan na čijoj se obe strane nalaze tačke datog poliedra.
Definicija 2. Presjek poliedra je mnogokut čije su stranice segmenti duž kojih sečna ravan siječe površine poliedra.
Vježbajte. Imenujte segmente duž kojih sečna ravan siječe strane paralelepipeda (slika 1). Imenujte presek paralelepipeda.

Osnovne radnje pri izradi presjeka

	Teorijska osnova	Odgovori
1. Kako provjeriti da li je dionica izgrađena ili ne	Definicija odjeljka	To mora biti mnogougao čije stranice pripadaju stranama poliedra
2. Prije početka rada utvrdite da li je moguće konstruirati dio na osnovu podataka zadatka	Metode za definisanje ravni	Moguće je ako ovi elementi jednoznačno definiraju ravan, odnosno date su tri tačke koje ne leže na istoj pravoj, tačka i prava, itd.
3. U ravni nekog lica nalaze se dvije tačke sečne ravni	Ako dvije tačke pripadaju ravni, onda cijela prava pripada ravni	Nacrtajte pravu liniju kroz ove tačke
4. Na jednoj od paralelnih strana nalazi se stranica preseka, a na drugoj je tačka preseka	Svojstvo paralelnih ravni	Kroz ovu tačku povucite liniju paralelnu ovoj tački
5. Na jednoj strani postoji tačka preseka i poznato je da sečna ravan prolazi kroz pravu paralelnu sa ovom površinom	Znak paralelizma između prave i ravni. Svojstvo paralelnih ravni	Konstruirajte liniju presjeka ravnina paralelnih datoj pravoj
6. Dve tačke preseka pripadaju jednoj strani, a treća tačka leži u susednoj	Aksiomi stereometrije	Sečna ravan siječe strane duž segmenata OC i AB, koji se nazivaju trag ravnine sečenja na stranama

Rješavanje problema

Zadatak 1. Koji od četverouglova, EFKM ili EFKL, može biti presjek ovog poliedra (slika 2)? Zašto?

Zadatak 2. Učenik je nacrtao poprečni presjek tetraedra (slika 3). Da li je moguća takva sekcija?

Rješenje. Potrebno je dokazati da N, M i H, L leže u istoj ravni. Neka tačke N i M pripadaju zadnjoj strani, H i L donjoj strani, to jest, tačka preseka NM i HL mora ležati na pravoj koja pripada obema stranama, odnosno AC. Produžimo prave NM i HL i pronađemo tačku njihovog preseka. Ova tačka neće pripadati liniji AC. To znači da tačke N, M, L, H ne čine ravan poligon. Nemoguće.

Zadatak 3. Konstruisati presek ABCS tetraedra sa ravninom koja prolazi kroz tačke K, L, N, gde su K i N sredine ivica SA i SB, respektivno (slika 4).

1. U kojoj strani se mogu konstruisati stranice presjeka?

2. Odaberite jednu od tačaka na kojima se sekcija prekida.
Rješenje. Metoda I. Odaberite tačku L.
Određujemo lice u kojem leži odabrana tačka i u kojoj je potrebno konstruirati presjek.

Određujemo lice u kojem leži prava linija KN, koja ne prolazi kroz odabranu tačku L.

Pronađite liniju preseka lica ABC i ASB.

Koliki je relativni položaj pravih KN i AB (slika 5)?
[Paralelno.]

Šta treba konstruisati ako rezna ravan prolazi kroz pravu liniju, paralelno sa linijom presek ravni?
[Kroz tačku L povucite pravu paralelnu sa AB. Ova prava seče ivicu CB u tački P.]
Povezujemo tačke koje pripadaju istom licu. KLPN - potrebna sekcija.
Metoda II. Odaberite tačku N (slika 6).

Određujemo lica u kojima leže tačka N i prava KL.

Linija preseka ovih ravni će biti prava linija SC. Naći točku presjeka pravih KL i SC. Označimo ga Y.
Povežite tačke N i Y. Prava NY seče ivicu CB u tački P.
Povezujemo tačke koje pripadaju istom licu.
KLNP - potrebna sekcija.
Objasnite ovu odluku.
Jedan učenik radi za tablom, ostali u sveskama.

Problem 4. Konstruisati presek paralelepipeda koji prolazi kroz tačke M, P i H, H ` (A1B1C1) (slika 7).

Rješenje. 1. Povežite tačke koje pripadaju istom licu.
2. Koju liniju i tačku biramo za konstruiranje presjeka?
3. Šta dalje određujemo?
4. Koja je relativna pozicija odabrane prave i linije preseka lica (slika 8)?

5. Kako konstruisati trag presečne ravni na površini B1C1D1A1 koja prolazi kroz tačku H?
6. Povežite tačke koje pripadaju istom licu.
7. Koju liniju i tačku treba izabrati za konstruisanje traga sečne ravni na površini AA1D1D?
8. Koji je relativni položaj lica BB1C1C i AA1D1D?
9. Koje se svojstvo mora koristiti za konstruiranje traga rezne ravni na površini AA1D1D?
10. Imenujte traženu sekciju.

Zadatak 5. Konstruišite presek SABCD piramide koji prolazi kroz tačke M, P i H,
H` (ABC) (slika 9).

Odgovor: Vidi sliku 10.

Domaći zadatak

Zadatak. Kako će se konstrukcije promijeniti ako tačno
Kako će H promijeniti svoju poziciju? Konstruirajte sekcije koristeći različite varijante(Sl. 11).

Metoda presjeka poliedara u stereometriji se koristi u konstrukcijskim problemima. Zasniva se na sposobnosti konstruisanja presjeka poliedra i određivanja vrste presjeka.

Ovaj materijal karakteriziraju sljedeće karakteristike:

1. Metoda presjeka se koristi samo za poliedre, jer različiti složeni (kosi) tipovi presjeka tijela rotacije nisu uključeni u nastavni plan i program srednjih škola.
2. Zadaci uglavnom koriste najjednostavnije poliedre.
3. Problemi su prikazani uglavnom bez numeričkih podataka kako bi se stvorila mogućnost njihove višestruke upotrebe.

Da bi riješio zadatak konstruisanja presjeka poliedra, učenik mora znati:

• šta znači konstruisati presek poliedra sa ravni;
• kako se poliedar i ravan mogu postaviti relativno jedan prema drugom;
• kako je ravan definisana;
• kada se problem konstruisanja presjeka poliedra ravninom smatra riješenim.

Zato što je ravan definisana:

• tri boda;
• prava linija i tačka;
• dvije paralelne prave;
• dve linije koje se seku,

Konstrukcija presečne ravni zavisi od specifikacije ove ravni. Stoga se sve metode za konstruisanje presjeka poliedara mogu podijeliti na metode.

Postoji tri glavne metode konstruisanje preseka poliedara:

1. Metoda praćenja.
2. Metoda pomoćnih sekcija.
3. Kombinovana metoda.

Prve dvije metode su varijacije Aksiomatska metoda izgradnja sekcija.

Također možemo razlikovati sljedeće metode za konstrukciju presjeka poliedara:

• konstruisanje preseka poliedra sa ravni koja prolazi kroz datu tačku paralelnu datoj ravni;
• konstruisanje preseka koji prolazi kroz datu pravu paralelno sa drugom datom pravom;
• konstruisanje preseka koji prolazi kroz datu tačku paralelno sa dve date prave koje se seku;
• konstruisanje preseka poliedra sa ravninom koja prolazi kroz datu pravu okomitu na datu ravan;
• konstruisanje preseka poliedra sa ravni koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu pravu liniju.

Savezna lista udžbenika geometrije za 10-11 razred uključuje udžbenike sljedećih autora:

• Atanasyan L.S., Butuzova V.F., Kadomtseva S.B. i drugi (Geometrija, 10-11);
• Pogorelova A.V. (Geometrija, 7-11);
• Alexandrova A.D., Vernera A.L., Ryzhik V.I. (Geometrija, 10-11);
• Smirnova I.M. (Geometrija, 10-11);
• Sharygina I.F. (Geometrija, 10-11).

Pogledajmo bliže udžbenike L.S., Atanasyana i A.V. Pogorelova.

U udžbeniku L.S. Atanasyanu na temu „Konstrukcija presjeka poliedara“ dodijeljena su dva sata. U 10. razredu, na temu „Paralelnost pravih i ravni“, nakon proučavanja tetraedra i paralelepipeda, jedan sat se izdvaja za izlaganje paragrafa „Zadaci o građenju presjeka“. Razmatraju se presjeci tetraedra i paralelepipeda. A tema „Paralelnost pravih i ravnina“ završava se rješavanjem zadataka za jedan ili dva sata (u udžbeniku je ukupno osam zadataka za građenje dijelova).

U udžbeniku Pogorelov A.V. Za konstruisanje presjeka u poglavlju „Poliedri“ predviđeno je oko tri sata: jedan za proučavanje teme „Slika prizme i konstruisanje njenih presjeka“, drugi za proučavanje teme „Konstrukcija piramide i njenih ravnih presjeka“, a treći za rešavanje problema. Na listi zadataka koja se nalazi iza teme nalazi se samo desetak zadataka poprečnog presjeka.

Nudimo sistem lekcija na temu „Konstrukcija presjeka poliedara“ za udžbenik Pogorelova A.V.

Predlaže se da se gradivo rasporedi onim redoslijedom kojim se može koristiti za podučavanje učenika. Iz prezentacije teme “Poliedri” predlaže se da se izuzmu sljedeći paragrafi: “Konstrukcija presjeka prizme” i “Konstrukcija presjeka piramide” kako bi se sistematizirali ovog materijala na kraju ove teme “Poliedri”. Može se klasifikovati prema materiji zadataka uz približno poštovanje principa „od jednostavnog do složenog“ na sledeći način:

1. Određivanje presjeka poliedara.
2. Konstrukcija presjeka prizme, paralelepipeda, piramide metodom traga. (Po pravilu se u školskom kursu stereometrije koriste zadaci za konstruisanje preseka poliedara, koji se rešavaju osnovnim metodama. Ostale metode, zbog više visoki nivo složenosti, nastavnik može ostaviti za razmatranje na izbornoj nastavi ili za samostalno učenje. U konstrukcijskim problemima osnovne metode zahtijevaju konstruiranje presječne ravni koja prolazi kroz tri tačke).
3. Pronalaženje površine poprečnog presjeka u poliedrima (bez korištenja teoreme o površini ortogonalne projekcije poligona).
4. Pronalaženje površine poprečnog presjeka u poliedrima (pomoću teoreme o površini ortogonalne projekcije poligona).

STEREOMETRIJSKI ZADACI ZA KONSTRUKCIJU PRESEKA POLIEDRA I METODE ZA NJIHOVO KORIŠĆENJE NA ČASU 10-11.

(sistem nastave i izborne nastave na temu „Konstrukcija presjeka poliedara“)

LEKCIJA 1.

Tema lekcije: "Konstrukcija presjeka poliedara."

Svrha časa: upoznavanje sa metodama konstruisanja presjeka poliedara.

Koraci lekcije:

1. Ažuriranje osnovnih znanja.
2. Formulacija problema.
3. Učenje novog materijala:

A) Definicija sekcije.

B) Metode za izradu presjeka:

a) metoda praćenja;

b) način pomoćnih sekcija;

c) kombinovana metoda.

1. Učvršćivanje materijala.

Primjeri konstrukcije presjeka metodom traga.

1. Sumiranje lekcije.

Tokom nastave.

1. Ažuriranje osnovnih znanja.

prisjetimo se:
- presek prave sa ravninom;
- ukrštanje ravnina;
- svojstva paralelnih ravni.

2. Formulacija problema.

Pitanja za razred:
- Šta znači konstruisati presek poliedra sa ravni?
- Kako se poliedar i ravan mogu postaviti relativno jedan prema drugom?
- Kako je avion definisan?
- Kada se problem konstruisanja presjeka poliedra ravninom smatra riješenim?

3. Učenje novog gradiva.

A) Dakle, zadatak je konstruisati presek dve figure: poliedra i ravni (slika 1). To mogu biti: prazna figura (a), tačka (b), segment (c), poligon (d). Ako je sjecište poliedra i ravni mnogokut, onda se taj poligon naziva presjek poliedra ravninom.

Razmotrićemo samo slučaj kada ravan siječe poliedar duž njegove unutrašnjosti. U ovom slučaju, presjek ove ravni sa svakim licem poliedra bit će određeni segment. Dakle, problem se smatra riješenim ako se pronađu svi segmenti duž kojih ravan siječe lica poliedra.

Pregledajte dijelove kocke (slika 2) i odgovorite na sljedeća pitanja:

Koji se poligoni dobijaju kada se kocka preseče ravninom? (Broj strana poligona je važan);

[Predloženi odgovori: trougao, četvorougao, petougao, šestougao.]

Da li se kocka može preseći avionom u sedmougao? Šta je sa oktogonom itd.? Zašto?

Pogledajmo prizmu i njene moguće presjeke ravninom (na modelu). Kakvi se poligoni dobijaju?

Šta se može zaključiti? Koliki je najveći broj stranica mnogougla koji se dobije rezanjem poliedra ravninom?

[ Najveći broj stranice mnogougla dobijene rezanjem poliedra ravninom jednake su broju strana poliedra.]

B) a) Metoda praćenja sastoji se u konstruisanju tragova rezne ravni na ravni svake strane poliedra. Konstrukcija presjeka poliedra metodom traga obično počinje izgradnjom takozvanog glavnog traga rezne ravni, tj. trag rezne ravni na ravni osnove poliedra.

b) Metoda pomoćnih sekcija konstruiranje presjeka poliedara je prilično univerzalno. U slučajevima kada je željeni trag (ili tragovi) rezne ravni izvan crteža, ova metoda ima čak i određene prednosti. Istodobno, treba imati na umu da se konstrukcije izvedene ovom metodom često ispostavljaju kao "prepune". Ipak, u nekim slučajevima metoda pomoćnih sekcija se pokazuje najracionalnijom.

Metoda praćenja i metoda pomoćnog presjeka su varijacije aksiomatska metoda konstruisanje preseka poliedara sa ravninom.

c) Suština kombinovana metoda konstruisanje presjeka poliedara sastoji se od primjene teorema o paralelizmu pravih i ravnina u prostoru u kombinaciji sa aksiomatskom metodom.

Sada, koristeći primjer rješavanja problema, pogledajmo metoda praćenja

4. Učvršćivanje materijala.

Zadatak 1.

Konstruisati presek prizme ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ravninom koja prolazi kroz tačke P, Q, R (tačke su naznačene na crtežu (slika 3)).

Rješenje.

Rice. 3

1. Napravimo trag rezne ravni na ravni donje osnove prizme. Posmatrajmo lice AA 1 B 1 B. Na ovoj površini leže tačke preseka P i Q. Nacrtajmo pravu liniju PQ.
2. Nastavimo pravu PQ, koja pripada presjeku, sve dok ne presječe pravu AB. Dobijamo tačku S 1 koja pripada tragu.
3. Slično, dobijamo tačku S 2 presekom pravih QR i BC.
4. Prava linija S 1 S 2 - trag rezne ravni na ravan donje osnove prizme.
5. Prava S 1 S 2 seče stranu AD u tački U, stranu CD u tački T. Povežimo tačke P i U, pošto leže u istoj ravni lica AA 1 D 1 D. Slično dobijamo TU i RT.
6. PQRTU je obavezna sekcija.

Konstruisati presek paralelepipeda ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sa ravninom koja prolazi kroz tačke M, N, P (tačke su označene na crtežu (slika 4)).

Rješenje.

1. Tačke N i P leže u ravnini preseka i u ravni donje osnove paralelepipeda. Konstruirajmo pravu liniju kroz ove tačke. Ova ravna linija je trag presečne ravni na ravan osnove paralelepipeda.
2. Nastavimo pravu liniju na kojoj strani paralelepipeda leži AB. Prave AB i NP seku se u nekoj tački S. Ova tačka pripada presečnoj ravni.
3. Pošto tačka M takođe pripada presečnoj ravni i siječe pravu AA 1 u nekoj tački X.
4. Tačke X i N leže u istoj ravni lica AA 1 D 1 D, spojite ih i dobijete pravu liniju XN.
5. Kako su ravni lica paralelepipeda paralelne, onda kroz tačku M možemo povući pravu u licu A 1 B 1 C 1 D 1 paralelnu pravoj NP. Ova prava linija će preseći stranu B 1 C 1 u tački Y.
6. Slično, crtamo pravu liniju YZ, paralelnu pravoj liniji XN. Povezujemo Z sa P i dobijamo željenu sekciju - MYZPNX.

Zadatak 3 (za samostalno rješenje).

Konstruisati presek tetraedra DACB sa ravninom koja prolazi kroz tačke M, N, P (tačke su označene na crtežu (slika 5)).

5. Sumiranje lekcije.

Odgovorite na pitanje: da li su osjenčani dijelovi prikazanih poliedara PQR ravninom? I dovršite ispravnu konstrukciju (slika 6).

Opcija 1.

Opcija 2.

Tema lekcije: PRONALAŽENJE PODRUČJA PRESJEKA.

Svrha lekcije: upoznati metode za pronalaženje površine poprečnog presjeka poliedra.

Koraci lekcije:

1. Ažuriranje osnovnih znanja.

Prisjetimo se teoreme o površini ortogonalne projekcije poligona.

2. Rješavanje problema za pronalaženje površine poprečnog presjeka:

Bez upotrebe teoreme o površini ortogonalne projekcije poligona;

Koristeći teoremu o površini ortogonalne projekcije poligona.

3. Sumiranje lekcije.

Tokom nastave.

1. Ažuriranje osnovnih znanja.

Podsjetimo se teorema o površini ortogonalne projekcije poligona: Površina ortogonalne projekcije poligona na ravan jednaka je umnošku njegove površine i kosinusa ugla između ravnine poligona i ravnine projekcije.

2. Rješavanje problema.

ABCD - tačno trouglasta piramida sa osnovnom stranom AB jednakom A i visina DH jednaka h. Konstruišite presek piramide ravninom koja prolazi kroz tačke D, C i M, gde je M sredina stranice AB, i pronađite njenu površinu (slika 7).

Poprečni presjek piramide je trokut MCD. Nađimo njegovu oblast.

S = 1/2 DH CM = 1/2 =

Nađite površinu poprečnog presjeka kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sa rubom A ravan koja prolazi kroz vrh D i tačke E i F na ivicama A 1 D 1 i C 1 D 1, respektivno, ako je A 1 E = k D 1 E i C 1 F = k D 1 F.

Izgradnja dionice:

1. Kako tačke E i F pripadaju ravnini preseka i ravni lica A 1 B 1 C 1 D 1, a dve ravni se seku duž prave, tada će prava EF biti trag presečne ravni na ravni lica A 1 B 1 C 1 D 1 (slika 8).
2. Direktni ED i FD se dobijaju na isti način.
3. EDF je obavezna sekcija.

Zadatak 3 (za samostalno rješenje).

Konstruiraj presjek kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 sa stranicom A ravan koja prolazi kroz tačke B, M i N, gde je L sredina ivice AA 1, a N sredina ivice CC 1.

Odsjek konstruiramo metodom praćenja.

Površinu poprečnog presjeka nalazimo pomoću teoreme o površini ortogonalne projekcije poligona. Odgovor: S = 1/2 · a 2.

Znate li kako se zove presjek poliedra ravninom? Ako i dalje sumnjate u tačnost svog odgovora na ovo pitanje, možete se jednostavno provjeriti. Predlažemo da uradite kratak test u nastavku.

Pitanje. Koliki je broj slike koja pokazuje presjek paralelepipeda ravninom?

Dakle, tačan odgovor je na slici 3.

Ako odgovorite tačno, to potvrđuje da razumete sa čime imate posla. Ali, nažalost, čak ni tačan odgovor na testno pitanje ne garantuje vam najviše ocjene u lekcijama na temu "Presjeci poliedara". Uostalom, najteže je ne prepoznati sekcije na gotovim crtežima, iako je i to vrlo važno, već njihova konstrukcija.

Za početak, formulirajmo definiciju presjeka poliedra. Dakle, presjek poliedra je mnogokut čiji vrhovi leže na ivicama poliedra, a čije stranice leže na njegovim stranama.

Sada vježbajmo brzo i precizno konstruiranje raskrsnica data linija sa dati avion. Da bismo to učinili, riješimo sljedeći problem.

Konstruisati tačke preseka prave MN sa ravnima donje i gornje osnove trouglasta prizma ABCA 1 B 1 C 1, pod uslovom da tačka M pripada bočnoj ivici CC 1, a tačka N ivici BB 1.

Počnimo sa produženjem prave linije MN u oba smjera na crtežu (slika 1). Zatim, da bismo dobili tačke preseka koje zahteva problem, produžavamo linije koje leže u gornjoj i donjoj osnovici. I sada dolazi najteži trenutak u rješavanju problema: koje linije u obje baze treba produžiti, budući da svaka od njih ima tri reda.

Da bismo ispravno završili završni korak konstrukcije, potrebno je odrediti koje su od direktnih baza u istoj ravni kao prava linija MN koja nas zanima. U našem slučaju, to je ravan CB u donjoj i C 1 B 1 u gornjim bazama. I upravo njih produžavamo dok se ne ukrste sa pravom NM (slika 2).

Rezultirajuće tačke P i P 1 su tačke preseka prave MN sa ravnima gornje i donje osnove trouglaste prizme ABCA 1 B 1 C 1 .

Nakon analize prikazanog problema, možete preći direktno na konstruisanje preseka poliedara. Ključna stvar ovdje će biti obrazloženje koje će vam pomoći da dođete do željenog rezultata. Kao rezultat toga, na kraju ćemo pokušati stvoriti predložak koji će odražavati slijed radnji prilikom rješavanja problema ove vrste.

Dakle, razmotrimo sljedeći problem. Konstruišite presek trouglaste prizme ABCA 1 B 1 C 1 ravninom koja prolazi kroz tačke X, Y, Z koje pripadaju ivicama AA 1, AC i BB 1, redom.

Rješenje: Nacrtajmo crtež i odredimo koji parovi tačaka leže u istoj ravni.

Parovi tačaka X i Y, X i Z mogu biti povezani, jer leže u istoj ravni.

Konstruirajmo dodatnu tačku koja će ležati na istoj strani kao tačka Z. Da bismo to učinili, produžit ćemo prave XY i CC 1, jer leže u ravni lica AA 1 C 1 C. Nazovimo rezultujuću tačku P.

Tačke P i Z leže u istoj ravni - u ravni lica CC 1 B 1 B. Dakle, možemo ih povezati. Prava linija PZ siječe ivicu CB u određenoj tački, nazovimo je T. Tačke Y i T leže u donjoj ravni prizme, spojite ih. Tako je formiran četvorougao YXZT, a ovo je željeni presek.

Sažmite. Da biste konstruirali presjek poliedra s ravninom, morate:

1) povući prave kroz parove tačaka koje leže u istoj ravni.

2) pronaći prave duž kojih se seku ravni preseka i lica poliedra. Da biste to učinili, morate pronaći točke presjeka prave linije koja pripada ravnini presjeka s pravom linijom koja leži u jednoj od strana.

Proces izgradnje presjeka poliedara je komplikovan jer je u svakom konkretnom slučaju različit. I nijedna teorija to ne opisuje od početka do kraja. Zaista postoji samo jedan na pravi način učenje da se brzo i precizno konstruišu preseci bilo kojeg poliedra je stalna praksa. Što više sekcija izgradite, to će vam biti lakše da to radite u budućnosti.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

U ovoj lekciji ćemo pogledati tetraedar i njegove elemente (ivica tetraedra, površina, lica, vrhovi). I riješit ćemo nekoliko zadataka o konstruiranju presjeka u tetraedru pomoću opšta metoda za izgradnju sekcija.

Tema: Paralelizam pravih i ravni

Lekcija: Tetraedar. Problemi konstruisanja presjeka u tetraedru

Kako izgraditi tetraedar? Uzmimo proizvoljan trougao ABC. Bilo koja tačka D, ne leži u ravni ovog trougla. Dobijamo 4 trougla. Površina koju čine ova 4 trokuta naziva se tetraedar (slika 1.). Unutrašnje tačke ograničene ovom površinom takođe su deo tetraedra.

Rice. 1. Tetraedar ABCD

Elementi tetraedra
A,B, C, D - vrhovi tetraedra.
AB, A.C., AD, B.C., BD, CD - ivice tetraedra.
ABC, ABD, BDC, ADC - lica tetraedra.

komentar: može se uzeti ravno ABC iza baza tetraedra, a zatim pokažite D je vrh tetraedra. Svaka ivica tetraedra je presek dve ravni. Na primjer, rebro AB- ovo je presek ravnina ABD I ABC. Svaki vrh tetraedra je presek tri ravni. Vertex A leži u avionima ABC, ABD, ADWITH. Dot A je presek tri označene ravni. Ova činjenica je napisana na sljedeći način: A= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Definicija tetraedra

dakle, tetraedar je površina koju čine četiri trokuta.

Tetrahedron edge- linija preseka dve ravni tetraedra.

Napravite 4 jednaka trougla od 6 šibica. Problem je nemoguće riješiti u avionu. A to je lako učiniti u svemiru. Uzmimo tetraedar. 6 šibica su njegove ivice, četiri lica tetraedra i biće četiri jednakih trouglova. Problem je riješen.

Dat je tetraedar ABCD. Dot M pripada ivici tetraedra AB, tačka N pripada ivici tetraedra IND i tačka R pripada ivici DWITH(Sl. 2.). Konstruišite presek tetraedra sa ravninom MNP.

Rice. 2. Crtež za zadatak 2 - Konstruisati presek tetraedra sa ravninom

Rješenje:
Razmotrimo lice tetraedra DNed. Na ovoj strani stvari N I P pripadaju licima DNed, a samim tim i tetraedar. Ali prema stanju tačke N, P pripadaju reznoj ravni. znači, NP- ovo je linija preseka dve ravni: ravan lica DNed i reznu ravninu. Pretpostavimo da su to prave linije NP I Ned ne paralelno. Leže u istoj ravni DNed. Nađimo tačku preseka pravih NP I Ned. Označimo ga E(Sl. 3.).

Rice. 3. Crtež za zadatak 2. Pronalaženje tačke E

Dot E pripada ravnini preseka MNP, budući da leži na liniji NP, i prava linija NP u potpunosti leži u ravnini preseka MNP.

Također tačka E leži u avionu ABC, jer leži na pravoj liniji Ned van aviona ABC.

Shvatili smo to JEDI- linija preseka ravnina ABC I MNP, od bodova E I M leže istovremeno u dve ravni - ABC I MNP. Hajde da povežemo tačke M I E, i nastavite pravo JEDI do raskrsnice sa linijom AC. Tačka preseka linija JEDI I AC označimo Q.

Dakle, u ovom slučaju NPQM- traženi dio.

Rice. 4. Crtež za zadatak 2. Rješenje zadatka 2

Razmotrimo sada slučaj kada NP paralelno B.C.. Ako je ravno NP paralelno nekoj liniji, na primjer, pravoj liniji Ned van aviona ABC, zatim ravno NP paralelno sa čitavom ravninom ABC.

Željena presečna ravnina prolazi kroz pravu liniju NP, paralelno sa ravninom ABC, i siječe ravan u pravoj liniji MQ. Dakle, linija raskrsnice MQ paralelno sa linijom NP. Dobijamo NPQM- traženi dio.

Dot M leži sa strane ADIN tetraedar ABCD. Konstruišite presek tetraedra sa ravninom koja prolazi kroz tačku M paralelno sa bazom ABC.

Rice. 5. Crtež za zadatak 3 Konstruišite presek tetraedra sa ravninom

Rješenje:
Ravan za sečenje φ paralelno sa ravninom ABC prema uslovu, to znači da ova ravan φ paralelno sa linijama AB, AC, Ned.
U avionu ABD kroz tačku M napravimo direktan PQ paralelno AB(Sl. 5). Pravo PQ leži u avionu ABD. Slično i u avionu ACD kroz tačku R napravimo direktan PR paralelno AC. Imam poentu R. Dvije linije koje se seku PQ I PR avion PQR odnosno paralelno sa dve prave koje se seku AB I AC avion ABC, što znači avioni ABC I PQR paralelno. PQR- traženi dio. Problem je riješen.

Dat je tetraedar ABCD. Dot M- unutrašnja tačka, tačka na licu tetraedra ABD. N - unutrašnja tačka segment DWITH(Sl. 6.). Konstruirajte presek prave N.M. i avioni ABC.

Rice. 6. Crtež za zadatak 4

Rješenje:
Da bismo to riješili, konstruisaćemo pomoćnu ravan DMN. Neka bude pravo DM seče pravu AB u tački TO(Sl. 7.). onda, SKD- ovo je deo aviona DMN i tetraedar. U avionu DMN laže i ravna N.M., i rezultirajuća ravna linija SK. Sta ako N.M. ne paralelno SK, onda će se u nekom trenutku preseći R. Dot R i biće željenu tačku presek prave linije N.M. i avioni ABC.

Rice. 7. Crtež za zadatak 4. Rješenje zadatka 4

Dat je tetraedar ABCD. M- unutrašnja tačka lica ABD. R- unutrašnja tačka lica ABC. N- unutrašnja tačka ivice DWITH(Sl. 8.). Konstruišite presek tetraedra sa ravninom koja prolazi kroz tačke M, N I R.

Rice. 8. Crtež za zadatak 5 Konstruirajte presjek tetraedra sa ravninom

Rješenje:
Razmotrimo prvi slučaj, kada je prava linija MN nije paralelno sa ravninom ABC. U prethodnom zadatku smo pronašli tačku preseka prave MN i avioni ABC. Ovo je poenta TO, dobija se pomoću pomoćne ravni DMN, tj. mi radimo DM i dobijamo poen F. Izvodimo CF i na raskrsnici MN dobili smo poen TO.

Rice. 9. Crtež za zadatak 5. Pronalaženje tačke K

Hajde da napravimo direktan KR. Pravo KR leži i u ravnini preseka i u ravni ABC. Dobivanje bodova P 1 I R 2. Povezivanje P 1 I M i kao nastavak dobijamo poentu M 1. Povezivanje tačke R 2 I N. Kao rezultat, dobijamo željeni dio R 1 R 2 NM 1. Problem u prvom slučaju je riješen.
Razmotrimo drugi slučaj, kada je prava linija MN paralelno sa ravninom ABC. Avion MNP prolazi kroz pravu liniju MN paralelno sa ravninom ABC i seče ravan ABC duž neke prave linije R 1 R 2, zatim ravno R 1 R 2 paralelno sa datom linijom MN(Sl. 10.).

Rice. 10. Crtež za zadatak 5. Traženi dio

Sada nacrtajmo pravu liniju R 1 M i dobijamo poen M 1.R 1 R 2 NM 1- traženi dio.

Dakle, pogledali smo tetraedar, riješili neke tipični zadaci do tetraedra. U sljedećoj lekciji ćemo gledati paralelepiped.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, ispravljeno i prošireno - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str. : ill. Geometrija. 10-11 razred: udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova (osnovni i nivoi profila)

2. Sharygin I.F. - M.: Drfa, 1999. - 208 str.: ilustr. Geometrija. 10-11 razred: Udžbenik za opšteobrazovne ustanove

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. izdanje, stereotip. - M.: Drfa, 008. - 233 str. :il. Geometrija. 10. razred: Udžbenik za opšteobrazovne ustanove sa dubljim i specijalizovanim proučavanjem matematike

Dodatni web resursi

2. Kako konstruisati poprečni presek tetraedra. Matematika ().

3. Festival pedagoške ideje ().

Radite zadatke kod kuće na temu "Tetraedar", kako pronaći ivicu tetraedra, lica tetraedra, vrhove i površinu tetraedra

1. Geometrija. 10-11 razred: udžbenik za učenike opšteobrazovnih ustanova (osnovni i specijalizovani nivoi) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. izdanje, ispravljeno i prošireno - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. Zadaci 18, 19, 20 str

2. Tačka E srednjeg rebra MA tetraedar MAVS. Konstruišite presek tetraedra sa ravninom koja prolazi kroz tačke B, C I E.

3. U tetraedru MABC, tačka M pripada licu AMV, tačka P pripada licu BMC, tačka K pripada ivici AC. Konstruišite presek tetraedra sa ravninom koja prolazi kroz tačke M, R, K.

4. Koji se oblici mogu dobiti kao rezultat preseka tetraedra sa ravni?