Primjene elementarnih funkcija if. Elementarna funkcija

1) Domen funkcije i opseg funkcije.

Domena funkcije je skup svih valjanih vrijednosti argumenata x(promenljiva x), za koje je funkcija y = f(x) odlučan. Opseg funkcije je skup svih realnih vrijednosti y, što funkcija prihvata.

U osnovnoj matematici, funkcije se proučavaju samo na skupu realnih brojeva.

2) Nule funkcije.

Funkcija nula je vrijednost argumenta pri kojoj je vrijednost funkcije jednaka nuli.

3) Intervali konstantnog predznaka funkcije.

Intervali konstantnog predznaka funkcije su skupovi vrijednosti argumenata na kojima su vrijednosti funkcije samo pozitivne ili samo negativne.

4) Monotonost funkcije.

Povećana funkcija (u određenom intervalu) je funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.

Opadajuća funkcija (u određenom intervalu) je funkcija u kojoj veća vrijednost argumenta iz ovog intervala odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

5) Parna (neparna) funkcija.

Parna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost f(-x) = f(x). Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na ordinatu.

Neparna funkcija je funkcija čija je domena definicije simetrična u odnosu na ishodište i za bilo koje X iz domena definicije jednakost je tačna f(-x) = - f(x). Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

6) Ograničene i neograničene funkcije.

Funkcija se naziva ograničenom ako postoji pozitivan broj M takav da je |f(x)| ≤ M za sve vrijednosti x. Ako takav broj ne postoji, funkcija je neograničena.

7) Periodičnost funkcije.

Funkcija f(x) je periodična ako postoji broj T koji nije nula takav da za bilo koji x iz domena definicije funkcije vrijedi sljedeće: f(x+T) = f(x). Ovaj najmanji broj naziva se period funkcije. Sve trigonometrijske funkcije su periodične. (Trigonometrijske formule).

19. Osnovne elementarne funkcije, njihova svojstva i grafovi. Primjena funkcija u ekonomiji.

Osnovne elementarne funkcije. Njihova svojstva i grafovi

1. Linearna funkcija.

Linearna funkcija naziva se funkcija oblika , gdje je x varijabla, a i b su realni brojevi.

Broj A nazvana nagibom prave, jednaka je tangenti ugla nagiba ove linije prema pozitivnom smjeru x-ose. Grafikon linearne funkcije je prava linija. Definisano je sa dve tačke.

Svojstva linearne funkcije

1. Domen definicije - skup svih realnih brojeva: D(y)=R

2. Skup vrijednosti je skup svih realnih brojeva: E(y)=R

3. Funkcija uzima nultu vrijednost kada ili.

4. Funkcija raste (opada) u cijelom domenu definicije.

5. Linearna funkcija je kontinuirana u cijelom domenu definicije, diferencibilna i .

2. Kvadratna funkcija.

Funkcija oblika, gdje je x varijabla, koeficijenti a, b, c su realni brojevi, naziva se kvadratni

Osnovne elementarne funkcije, njihova inherentna svojstva i odgovarajući grafovi su jedna od osnova matematičkog znanja, slična po važnosti tablici množenja. Elementarne funkcije su osnova, oslonac za proučavanje svih teorijskih pitanja.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Članak u nastavku pruža ključni materijal na temu osnovnih elementarnih funkcija. Uvest ćemo pojmove, dati im definicije; Proučimo detaljno svaku vrstu elementarnih funkcija i analizirajmo njihova svojstva.

Razlikuju se sljedeće vrste osnovnih elementarnih funkcija:

Definicija 1

konstantna funkcija (konstanta);
n-ti korijen;
funkcija snage;
eksponencijalna funkcija;
logaritamska funkcija;
trigonometrijske funkcije;
bratske trigonometrijske funkcije.

Konstantna funkcija je definirana formulom: y = C (C je određeni realni broj) i također ima ime: konstanta. Ova funkcija određuje korespondenciju bilo koje realne vrijednosti nezavisne varijable x istoj vrijednosti varijable y - vrijednosti C.

Grafikon konstante je prava linija koja je paralelna sa apscisnom osom i prolazi kroz tačku koja ima koordinate (0, C). Radi jasnoće, predstavljamo grafikone konstantnih funkcija y = 5, y = - 2, y = 3, y = 3 (na crtežu su označene crnom, crvenom i plavom bojom).

Definicija 2

Ova elementarna funkcija je definirana formulom y = x n (n je prirodni broj veći od jedan).

Razmotrimo dvije varijacije funkcije.

n-ti korijen, n – paran broj

Radi jasnoće, ukazujemo na crtež koji prikazuje grafikone takvih funkcija: y = x, y = x 4 i y = x8. Ove karakteristike su označene bojama: crna, crvena i plava.

Grafovi funkcije parnog stepena imaju sličan izgled za druge vrijednosti eksponenta.

Definicija 3

Svojstva n-te korijenske funkcije, n je paran broj

domen definicije – skup svih nenegativnih realnih brojeva [ 0 , + ∞) ;
kada je x = 0, funkcija y = x n ima vrijednost jednaku nuli;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni parna ni neparna);
raspon: [ 0 , + ∞) ;
ova funkcija y = x n sa parnim korijenskim eksponentima se povećava u cijeloj domeni definicije;
funkcija ima konveksnost sa smjerom prema gore u cijeloj domeni definicije;
nema pregibnih tačaka;
nema asimptota;
graf funkcije za parno n prolazi kroz tačke (0; 0) i (1; 1).

n-ti korijen, n – neparan broj

Takva funkcija je definirana na cijelom skupu realnih brojeva. Radi jasnoće, razmotrite grafove funkcija y = x 3 , y = x 5 i x 9 . Na crtežu su označene bojama: crna, crvena i plava su boje krivulja, respektivno.

Druge neparne vrijednosti korijenskog eksponenta funkcije y = x n dat će graf sličnog tipa.

Definicija 4

Svojstva n-te korijenske funkcije, n je neparan broj

domen definicije – skup svih realnih brojeva;
ova funkcija je neparna;
raspon vrijednosti – skup svih realnih brojeva;
funkcija y = x n za neparne korijenske eksponente raste u cijelom domenu definicije;
funkcija ima konkavnost na intervalu (- ∞ ; 0 ] i konveksnost na intervalu [ 0 , + ∞);
tačka pregiba ima koordinate (0; 0);
nema asimptota;
Graf funkcije za neparan n prolazi kroz tačke (- 1 ; - 1), (0 ; 0) i (1 ; 1).

Funkcija napajanja

Definicija 5

Funkcija snage je definirana formulom y = x a.

Izgled grafova i svojstva funkcije zavise od vrijednosti eksponenta.

kada funkcija stepena ima celobrojni eksponent a, tada tip grafa funkcije stepena i njena svojstva zavise od toga da li je eksponent paran ili neparan, kao i koji predznak ima eksponent. Razmotrimo sve ove posebne slučajeve detaljnije u nastavku;
eksponent može biti razlomačan ili iracionalan - ovisno o tome, tip grafova i svojstva funkcije također variraju. Posebne slučajeve ćemo analizirati postavljanjem nekoliko uslova: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
funkcija stepena može imati nulti eksponent; u nastavku ćemo također detaljnije analizirati ovaj slučaj.

Analizirajmo funkciju snage y = x a, kada je a neparan pozitivan broj, na primjer, a = 1, 3, 5...

Radi jasnoće, ukazujemo na grafikone takvih funkcija stepena: y = x (crna grafička boja), y = x 3 (plava boja grafikona), y = x 5 (crvena boja grafikona), y = x 7 (grafička boja zelena). Kada je a = 1, dobijamo linearnu funkciju y = x.

Definicija 6

Svojstva stepena funkcije kada je eksponent neparno pozitivan

funkcija raste za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
funkcija ima konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] i konkavnost za x ∈ [ 0 ; + ∞) (isključujući linearnu funkciju);
tačka pregiba ima koordinate (0 ; 0) (isključujući linearnu funkciju);
nema asimptota;
tačke prolaza funkcije: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analizirajmo funkciju snage y = x a, kada je a paran pozitivan broj, na primjer, a = 2, 4, 6...

Radi jasnoće, ukazujemo na grafikone takvih funkcija snage: y = x 2 (grafička boja crna), y = x 4 (plava boja grafikona), y = x 8 (crvena boja grafikona). Kada je a = 2, dobijamo kvadratnu funkciju čiji je graf kvadratna parabola.

Definicija 7

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent čak pozitivan:

domen definicije: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
opadajuće za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
funkcija ima konkavnost za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
nema pregibnih tačaka;
nema asimptota;
tačke prolaza funkcije: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Na slici ispod prikazani su primjeri grafova funkcije snage y = x a kada je a neparan negativan broj: y = x - 9 (grafička boja crna); y = x - 5 (plava boja grafikona); y = x - 3 (crvena boja grafikona); y = x - 1 (grafička boja zelena). Kada je a = - 1, dobijamo inverznu proporcionalnost, čiji je graf hiperbola.

Definicija 8

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent neparno negativan:

Kada je x = 0, dobijamo diskontinuitet druge vrste, pošto je lim x → 0 - 0 x a = - ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ za a = - 1, - 3, - 5, …. Dakle, prava linija x = 0 je vertikalna asimptota;

raspon: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
funkcija je neparna jer je y (- x) = - y (x);
funkcija je opadajuća za x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
funkcija ima konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0) i konkavnost za x ∈ (0 ; + ∞) ;
nema pregibnih tačaka;

k = lim x → ∞ x a x = 0, b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0, kada je a = - 1, - 3, - 5, . . . .

tačke prolaza funkcije: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Na slici ispod prikazani su primjeri grafika funkcije stepena y = x a kada je a paran negativan broj: y = x - 8 (grafička boja crna); y = x - 4 (plava boja grafikona); y = x - 2 (crvena boja grafikona).

Definicija 9

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent čak negativan:

domen definicije: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Kada je x = 0, dobijamo diskontinuitet druge vrste, pošto je lim x → 0 - 0 x a = + ∞, lim x → 0 + 0 x a = + ∞ za a = - 2, - 4, - 6, …. Dakle, prava linija x = 0 je vertikalna asimptota;

funkcija je parna jer je y(-x) = y(x);
funkcija raste za x ∈ (- ∞ ; 0) i opada za x ∈ 0; + ∞ ;
funkcija ima konkavnost na x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
nema pregibnih tačaka;
horizontalna asimptota – prava y = 0, jer:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 kada je a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

tačke prolaza funkcije: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Od samog početka obratite pažnju na sledeći aspekt: u slučaju kada je a pozitivan razlomak sa neparnim nazivnikom, neki autori uzimaju interval - ∞ kao domen definicije ove funkcije stepena; + ∞ , uvjetujući da je eksponent a nesvodljiv razlomak. Trenutno, autori mnogih edukativnih publikacija o algebri i principima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena, gdje je eksponent razlomak s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. U nastavku ćemo se pridržavati upravo ove pozicije: uzet ćemo skup [ 0 ; + ∞) . Preporuka za učenike: saznajte stav nastavnika o ovom pitanju kako biste izbjegli nesuglasice.

Dakle, pogledajmo funkciju snage y = x a , kada je eksponent racionalan ili iracionalan broj, pod uslovom da je 0< a < 1 .

Ilustrujmo funkcije stepena grafovima y = x a kada je a = 11 12 (grafička boja crna); a = 5 7 (crvena boja grafikona); a = 1 3 (plava boja grafikona); a = 2 5 (zelena boja grafikona).

Ostale vrijednosti eksponenta a (pod uvjetom da je 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definicija 10

Svojstva funkcije snage na 0< a < 1:

raspon: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funkcija raste za x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funkcija je konveksna za x ∈ (0 ; + ∞);
nema pregibnih tačaka;
nema asimptota;

Analizirajmo funkciju snage y = x a, kada je eksponent necijeli racionalan ili iracionalan broj, pod uslovom da je a > 1.

Ilustrirajmo grafovima funkciju snage y = x a pod datim uslovima koristeći sljedeće funkcije kao primjer: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (crna, crvena, plava, zelena boja grafikona, odnosno).

Druge vrijednosti eksponenta a, pod uvjetom da je a > 1, dat će sličan grafikon.

Definicija 11

Svojstva funkcije snage za a > 1:

domen definicije: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
raspon: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
funkcija raste za x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
funkcija ima konkavnost za x ∈ (0 ; + ∞) (kada je 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
nema pregibnih tačaka;
nema asimptota;
prolazne tačke funkcije: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Napomena: Kada je a negativan razlomak sa neparnim nazivnikom, u radovima nekih autora postoji mišljenje da je domen definicije u ovom slučaju interval - ∞; 0 ∪ (0 ; + ∞) uz upozorenje da je eksponent a nesvodljiv razlomak. Trenutno, autori edukativnih materijala o algebri i principima analize NE DEFINIRAJU funkcije stepena s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Dalje, pridržavamo se upravo ovog gledišta: uzimamo skup (0 ; + ∞) kao domenu definicije funkcija stepena sa razlomkom negativnih eksponenta. Preporuka za učenike: U ovom trenutku razjasnite viziju svog nastavnika kako biste izbjegli nesuglasice.

Nastavimo temu i analizirajmo funkciju snage y = x a predviđeno: - 1< a < 0 .

Predstavimo crtež grafova sljedećih funkcija: y = x - 5 6, y = x - 2 3, y = x - 1 2 2, y = x - 1 7 (crna, crvena, plava, zelena boja linije, respektivno).

Definicija 12

Svojstva funkcije snage na -1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kada je - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

raspon: y ∈ 0 ; + ∞ ;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
nema pregibnih tačaka;

Na donjem crtežu su prikazani grafovi funkcija stepena y = x - 5 4, y = x - 5 3, y = x - 6, y = x - 24 7 (crna, crvena, plava, zelena boja krive, respektivno).

Definicija 13

Svojstva funkcije snage za a< - 1:

domen definicije: x ∈ 0 ; + ∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kada je a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
funkcija se smanjuje za x ∈ 0; + ∞ ;
funkcija ima konkavnost za x ∈ 0; + ∞ ;
nema pregibnih tačaka;
horizontalna asimptota – prava y = 0;
točka prijelaza funkcije: (1; 1) .

Kada je a = 0 i x ≠ 0, dobijamo funkciju y = x 0 = 1, koja definiše liniju iz koje je isključena tačka (0; 1) (dogovoreno je da izraz 0 0 neće dobiti nikakvo značenje ).

Eksponencijalna funkcija ima oblik y = a x, gdje je a > 0 i a ≠ 1, a grafik ove funkcije izgleda drugačije na osnovu vrijednosti baze a. Razmotrimo posebne slučajeve.

Prvo, pogledajmo situaciju kada baza eksponencijalne funkcije ima vrijednost od nule do jedan (0< a < 1) . Dobar primjer su grafovi funkcija za a = 1 2 (plava boja krive) i a = 5 6 (crvena boja krive).

Grafovi eksponencijalne funkcije će imati sličan izgled za druge vrijednosti baze pod uvjetom 0< a < 1 .

Definicija 14

Svojstva eksponencijalne funkcije kada je baza manja od jedan:

raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
eksponencijalna funkcija čija je baza manja od jedan opada u cijelom domenu definicije;
nema pregibnih tačaka;
horizontalna asimptota – prava linija y = 0 sa promenljivom x koja teži + ∞;

Sada razmotrite slučaj kada je baza eksponencijalne funkcije veća od jedan (a > 1).

Ilustrujmo ovaj poseban slučaj sa grafikom eksponencijalnih funkcija y = 3 2 x (plava boja krive) i y = e x (crvena boja grafika).

Druge vrijednosti baze, veće jedinice, dat će sličan izgled grafu eksponencijalne funkcije.

Definicija 15

Svojstva eksponencijalne funkcije kada je baza veća od jedan:

domen definicije – cijeli skup realnih brojeva;
raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
eksponencijalna funkcija čija je baza veća od jedan raste kao x ∈ - ∞; + ∞ ;
funkcija ima konkavnost na x ∈ - ∞; + ∞ ;
nema pregibnih tačaka;
horizontalna asimptota – prava linija y = 0 sa promenljivom x koja teži - ∞;
tačka prijelaza funkcije: (0; 1) .

Logaritamska funkcija ima oblik y = log a (x), gdje je a > 0, a ≠ 1.

Takva funkcija je definirana samo za pozitivne vrijednosti argumenta: za x ∈ 0; + ∞ .

Graf logaritamske funkcije ima drugačiji izgled, na osnovu vrijednosti baze a.

Razmotrimo prvo situaciju kada je 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Druge vrijednosti baze, a ne veće jedinice, dat će sličan tip grafikona.

Definicija 16

Svojstva logaritamske funkcije kada je baza manja od jedan:

domen definicije: x ∈ 0 ; + ∞ . Kako x teži nuli s desne strane, vrijednosti funkcije teže +∞;
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
logaritamski
funkcija ima konkavnost za x ∈ 0; + ∞ ;
nema pregibnih tačaka;
nema asimptota;

Pogledajmo sada poseban slučaj kada je baza logaritamske funkcije veća od jedan: a > 1 . Crtež ispod prikazuje grafikone logaritamskih funkcija y = log 3 2 x i y = ln x (plava i crvena boja grafika, respektivno).

Druge vrijednosti baze veće od jedan će dati sličan tip grafa.

Definicija 17

Svojstva logaritamske funkcije kada je baza veća od jedan:

domen definicije: x ∈ 0 ; + ∞ . Kako x teži nuli s desne strane, vrijednosti funkcije teže - ∞ ;
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ (cijeli skup realnih brojeva);
ova funkcija je funkcija opšteg oblika (nije ni neparna ni parna);
logaritamska funkcija raste za x ∈ 0; + ∞ ;
funkcija je konveksna za x ∈ 0; + ∞ ;
nema pregibnih tačaka;
nema asimptota;
tačka prolaska funkcije: (1; 0) .

Trigonometrijske funkcije su sinus, kosinus, tangent i kotangens. Pogledajmo svojstva svakog od njih i odgovarajuću grafiku.

Općenito, sve trigonometrijske funkcije karakterizira svojstvo periodičnosti, tj. kada se vrijednosti funkcija ponavljaju za različite vrijednosti argumenta, međusobno se razlikuju po periodu f (x + T) = f (x) (T je period). Tako se na listu svojstava trigonometrijskih funkcija dodaje stavka „najmanji pozitivni period“. Osim toga, naznačit ćemo vrijednosti argumenta pri kojima odgovarajuća funkcija postaje nula.

Sinusna funkcija: y = sin(x)

Graf ove funkcije naziva se sinusni val.

Definicija 18

Svojstva sinusne funkcije:

domen definicije: cijeli skup realnih brojeva x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
funkcija nestaje kada je x = π · k, gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
funkcija raste za x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z i opadajući za x ∈ π 2 + 2 π · k; 3 π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
sinusna funkcija ima lokalne maksimume u tačkama π 2 + 2 π · k; 1 i lokalni minimumi u tačkama - π 2 + 2 π · k; - 1, k ∈ Z;
sinusna funkcija je konkavna kada je x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z i konveksan kada je x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
nema asimptota.

kosinusna funkcija: y = cos(x)

Graf ove funkcije naziva se kosinusni val.

Definicija 19

Svojstva kosinusne funkcije:

domen definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
najmanji pozitivni period: T = 2 π;
raspon vrijednosti: y ∈ - 1 ; 1 ;
ova funkcija je parna, budući da je y (- x) = y (x);
funkcija raste za x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k, k ∈ Z i opadajući za x ∈ 2 π · k; π + 2 π k, k ∈ Z;
kosinusna funkcija ima lokalne maksimume u tačkama 2 π · k ; 1, k ∈ Z i lokalni minimumi u tačkama π + 2 π · k; - 1, k ∈ z;
kosinusna funkcija je konkavna kada je x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z i konveksan kada je x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k, k ∈ Z;
tačke pregiba imaju koordinate π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z
nema asimptota.

Tangentna funkcija: y = t g (x)

Poziva se graf ove funkcije tangenta.

Definicija 20

Svojstva tangentne funkcije:

domen definicije: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
Ponašanje tangentne funkcije na granici domene definicije lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Dakle, prave x = π 2 + π · k k ∈ Z su vertikalne asimptote;
funkcija nestaje kada je x = π · k za k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
ova funkcija je neparna, budući da je y (- x) = - y (x) ;
funkcija raste kao - π 2 + π · k ; π 2 + π · k, k ∈ Z;
tangentna funkcija je konkavna za x ∈ [π · k; π 2 + π · k) , k ∈ Z i konveksan za x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
tačke pregiba imaju koordinate π · k ; 0 , k ∈ Z ;

Kotangens funkcija: y = c t g (x)

Graf ove funkcije naziva se kotangentoid. .

Definicija 21

Svojstva kotangens funkcije:

domen definicije: x ∈ (π · k ; π + π · k) , gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);

Ponašanje kotangens funkcije na granici domene definicije lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Dakle, prave x = π · k k ∈ Z su vertikalne asimptote;

najmanji pozitivni period: T = π;
funkcija nestaje kada je x = π 2 + π · k za k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
raspon vrijednosti: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
ova funkcija je neparna, budući da je y (- x) = - y (x) ;
funkcija je opadajuća za x ∈ π · k ; π + π k, k ∈ Z;
kotangens funkcija je konkavna za x ∈ (π · k; π 2 + π · k ], k ∈ Z i konveksna za x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k), k ∈ Z ;
tačke pregiba imaju koordinate π 2 + π · k; 0 , k ∈ Z ;
Nema kosih ili horizontalnih asimptota.

Inverzne trigonometrijske funkcije su arksinus, arkosinus, arktangens i arkkotangens. Često, zbog prisutnosti prefiksa "luk" u nazivu, inverzne trigonometrijske funkcije nazivaju se lučne funkcije .

Funkcija arc sinusa: y = a r c sin (x)

Definicija 22

Svojstva arcsinusne funkcije:

ova funkcija je neparna, budući da je y (- x) = - y (x) ;
arcsinusna funkcija ima konkavnost za x ∈ 0; 1 i konveksnost za x ∈ - 1 ; 0 ;
tačke pregiba imaju koordinate (0; 0), što je ujedno i nula funkcije;
nema asimptota.

Arc kosinus funkcija: y = a r c cos (x)

Definicija 23

Svojstva arc kosinus funkcije:

domen definicije: x ∈ - 1 ; 1 ;
raspon: y ∈ 0 ; π;
ova funkcija je opšteg oblika (ni parna ni neparna);
funkcija opada u cijelom domenu definicije;
arc kosinus funkcija ima konkavnost na x ∈ - 1; 0 i konveksnost za x ∈ 0; 1 ;
tačke pregiba imaju koordinate 0; π 2;
nema asimptota.

Arktangentna funkcija: y = a r c t g (x)

Definicija 24

Svojstva arktangentne funkcije:

domen definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
raspon vrijednosti: y ∈ - π 2 ; π 2;
ova funkcija je neparna, budući da je y (- x) = - y (x) ;
funkcija se povećava u cijelom domenu definicije;
arktangentna funkcija ima konkavnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] i konveksnost za x ∈ [ 0 ; + ∞);
tačka pregiba ima koordinate (0; 0), što je ujedno i nula funkcije;
horizontalne asimptote su prave linije y = - π 2 kao x → - ∞ i y = π 2 kao x → + ∞ (na slici su asimptote zelene linije).

Funkcija tangente luka: y = a r c c t g (x)

Definicija 25

Svojstva arkkotangentne funkcije:

domen definicije: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
raspon: y ∈ (0; π) ;
ova funkcija je opšteg oblika;
funkcija opada u cijelom domenu definicije;
arc kotangens funkcija ima konkavnost za x ∈ [ 0 ; + ∞) i konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
tačka pregiba ima koordinate 0; π 2;
horizontalne asimptote su prave linije y = π na x → - ∞ (zelena linija na crtežu) i y = 0 na x → + ∞.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Potpuna lista osnovnih elementarnih funkcija

Klasa osnovnih elementarnih funkcija uključuje sljedeće:

Konstantna funkcija $y=C$, gdje je $C$ konstanta. Takva funkcija uzima istu vrijednost $C$ za bilo koji $x$.
Funkcija stepena $y=x^(a) $, gdje je eksponent $a$ realan broj.
Eksponencijalna funkcija $y=a^(x) $, gdje je baza stepen $a>0$, $a\ne 1$.
Logaritamska funkcija $y=\log _(a) x$, gdje je osnova logaritma $a>0$, $a\ne 1$.
Trigonometrijske funkcije $y=\sin x$, $y=\cos x$, $y=tg\, x$, $y=ctg\, x$, $y=\sec x$, $y=A>\ sec\,x$.
Inverzne trigonometrijske funkcije $y=\arcsin x$, $y=\arccos x$, $y=arctgx$, $y=arctgx$, $y=arc\sec x$, $y=arc\, \cos ec\ , x$.

Funkcije napajanja

Razmotrićemo ponašanje funkcije stepena $y=x^(a) $ za one najjednostavnije slučajeve kada njen eksponent određuje celobrojnu eksponencijaciju i ekstrakciju korena.

Slučaj 1

Eksponent funkcije $y=x^(a) $ je prirodan broj, to jest, $y=x^(n) $, $n\u N$.

Ako je $n=2\cdot k$ paran broj, tada je funkcija $y=x^(2\cdot k) $ paran i neograničeno raste kao da je argument $\left(x\to +\infty \ desno) )$, i sa svojim neograničenim smanjenjem $\left(x\to -\infty \right)$. Ovo ponašanje funkcije može se opisati izrazima $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $ i $\mathop(\lim )\ limits_(x\to -\infty ) x^(2\cdot k) =+\infty $, što znači da se funkcija u oba slučaja povećava bez ograničenja ($\lim $ je granica). Primjer: graf funkcije $y=x^(2) $.

Ako je $n=2\cdot k-1$ neparan broj, tada je funkcija $y=x^(2\cdot k-1) $ neparna, neograničeno raste kako se argument neograničeno povećava, a opada neograničeno kao argument opada na neodređeno vreme. Ovo ponašanje funkcije može se opisati izrazima $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) x^(2\cdot k-1) =+\infty $ i $\mathop(\lim )\limits_(x \to -\infty ) x^(2\cdot k-1) =-\infty $. Primjer: graf funkcije $y=x^(3) $.

Slučaj 2

Eksponent funkcije $y=x^(a) $ je negativan cijeli broj, to jest, $y=\frac(1)(x^(n) ) $, $n\in N$.

Ako je $n=2\cdot k$ paran broj, tada je funkcija $y=\frac(1)(x^(2\cdot k) ) $ paran broj i asimptotski (postepeno) se približava nuli kao sa neograničenim argumentom povećanja , i sa svojim neograničenim smanjenjem. Ovo ponašanje funkcije može se opisati jednim izrazom $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =0$, što znači da uz neograničeno povećanje argumenta u apsolutnoj vrijednosti, granica funkcije je nula. Osim toga, kako argument teži nuli i na lijevoj strani $\left(x\to 0-0\right)$ i na desnoj strani $\left(x\to 0+0\right)$, funkcija raste bez limit. Stoga su izrazi $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $ i $\mathop(\lim )\ granice_ su važeće (x\do 0+0) \frac(1)(x^(2\cdot k) ) =+\infty $, što znači da je funkcija $y=\frac(1)(x^(2) \cdot k ) ) $ u oba slučaja ima beskonačnu granicu jednaku $+\infty $. Primjer: graf funkcije $y=\frac(1)(x^(2) ) $.

Ako je $n=2\cdot k-1$ neparan broj, tada je funkcija $y=\frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) $ neparna i asimptotski se približava nuli kao da obje kada argument se povećava, a kada se smanjuje neograničeno. Ovo ponašanje funkcije može se opisati jednim izrazom $\mathop(\lim )\limits_(x\to \infty) \frac(1)(x^(2\cdot k-1) ) =0$. Osim toga, kako se argument približava nuli s lijeve strane, funkcija se smanjuje bez ograničenja, a kako se argument približava nuli s desne strane, funkcija raste bez ograničenja, to jest, $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0-0) \frac(1)(x ^(2\cdot k-1) ) =-\infty $ i $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \frac(1)( x^(2\cdot k-1) ) =+\infty $. Primjer: graf funkcije $y=\frac(1)(x) $.

Slučaj 3

Eksponent funkcije $y=x^(a) $ je inverz od prirodnog broja, to jest, $y=\sqrt[(n)](x) $, $n\in N$.

Ako je $n=2\cdot k$ paran broj, tada je funkcija $y=\pm \sqrt[(2\cdot k)](x) $ dvovrijedna i definirana je samo za $x\ge 0 $. Sa neograničenim povećanjem argumenta, vrijednost funkcije $y=+\sqrt[(2\cdot k)](x) $ neograničeno raste, a vrijednost funkcije $y=-\sqrt[(2\ cdot k)](x) $ se neograničeno smanjuje, odnosno $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty) \left(+\sqrt[(2\cdot k)](x) \right )=+\infty $ i $\mathop( \lim )\limits_(x\to +\infty ) \left(-\sqrt[(2\cdot k)](x) \right)=-\infty $. Primjer: graf funkcije $y=\pm \sqrt(x) $.

Ako je $n=2\cdot k-1$ neparan broj, tada je funkcija $y=\sqrt[(2\cdot k-1)](x) $ neparna, neograničeno raste s neograničenim povećanjem argumenta i neograničeno se smanjuje kada je neograničen, smanjuje se, to jest, $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =+\infty $ i $\mathop(\ lim )\limits_(x\to -\infty ) \sqrt[(2\cdot k-1)](x) =-\infty $. Primjer: graf funkcije $y=\sqrt[(3)](x) $.

Eksponencijalne i logaritamske funkcije

Eksponencijalna $y=a^(x) $ i logaritamska $y=\log _(a) x$ funkcije su međusobno inverzne. Njihovi grafovi su simetrični u odnosu na zajedničku simetralu prvog i trećeg koordinatnog ugla.

Kako se argument $\left(x\to +\infty \right)$ neograničeno povećava, eksponencijalna funkcija ili $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =+\infty $ raste beskonačno, ako se $a>1$, ili asimptotski približava nuli $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) a^(x) =0$, ako je $a1$, ili $\mathop raste bez ograničenja (\lim )\limits_(x\to -\infty ) a^(x) =+\infty $, ako je $a

Karakteristična vrijednost za funkciju $y=a^(x) $ je vrijednost $x=0$. U ovom slučaju, sve eksponencijalne funkcije, bez obzira na $a$, nužno sijeku osu $Oy$ na $y=1$. Primjeri: grafovi funkcija $y=2^(x) $ i $y = \left (\frac(1)(2) \right)^(x) $.

Logaritamska funkcija $y=\log _(a) x$ definirana je samo za $x > 0$.

Kako se argument $\left(x\to +\infty \right)$ neograničeno povećava, logaritamska funkcija ili $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=+ \ neograničeno povećava infty $, ako $a>1$, ili se smanjuje bez ograničenja $\mathop(\lim )\limits_(x\to +\infty ) \log _(a) x=-\infty $, ako je $a1 $, ili bez ograničenja $\mathop(\lim )\limits_(x\to 0+0) \log _(a) x=+\infty $ se povećava ako $a

Karakteristična vrijednost za funkciju $y=\log _(a) x$ je vrijednost $y=0$. U ovom slučaju, sve logaritamske funkcije, bez obzira na $a$, nužno sijeku osu $Ox$ na $x=1$. Primjeri: grafovi funkcija $y=\log _(2) x$ i $y=\log _(1/2) x$.

Neke logaritamske funkcije imaju posebnu notaciju. Konkretno, ako je osnova logaritma $a=10$, onda se takav logaritam naziva decimalnim, a odgovarajuća funkcija se piše kao $y=\lg x$. A ako je iracionalni broj $e=2.7182818\ldots $ odabran kao osnova logaritma, onda se takav logaritam naziva prirodnim, a odgovarajuća funkcija se piše kao $y=\ln x$. Njena inverzna je funkcija $y=e^(x) $, nazvana eksponent.

Odjeljak sadrži referentni materijal o glavnim elementarnim funkcijama i njihovim svojstvima. Dana je klasifikacija elementarnih funkcija. Ispod su linkovi na pododjeljke koji raspravljaju o svojstvima specifičnih funkcija - grafovi, formule, izvodnice, antiderivati (integrali), proširenja nizova, izrazi kroz kompleksne varijable.

Sadržaj

Referentne stranice za osnovne funkcije

Klasifikacija elementarnih funkcija

Algebarska funkcija je funkcija koja zadovoljava jednadžbu:
,
gdje je polinom zavisne varijable y i nezavisne varijable x. Može se napisati kao:
,
gdje su polinomi.

Algebarske funkcije se dijele na polinome (cijele racionalne funkcije), racionalne funkcije i iracionalne funkcije.

Cjelokupna racionalna funkcija, koji se još naziva polinom ili polinom, dobija se iz varijable x i konačnog broja brojeva pomoću aritmetičkih operacija sabiranja (oduzimanja) i množenja. Nakon otvaranja zagrada, polinom se svodi na kanonski oblik:
.

Razlomka racionalna funkcija, ili jednostavno racionalna funkcija, dobija se iz varijable x i konačnog broja brojeva pomoću aritmetičkih operacija sabiranja (oduzimanja), množenja i dijeljenja. Racionalna funkcija se može svesti na oblik
,
gdje su i polinomi.

Iracionalna funkcija je algebarska funkcija koja nije racionalna. Pod iracionalnom funkcijom u pravilu se podrazumijevaju korijeni i njihove kompozicije s racionalnim funkcijama. Koren stepena n je definisan kao rešenje jednačine
.
Označava se na sljedeći način:
.

Transcendentalne funkcije nazivaju se nealgebarskim funkcijama. To su eksponencijalne, trigonometrijske, hiperboličke i njihove inverzne funkcije.

Pregled osnovnih elementarnih funkcija

Sve elementarne funkcije mogu se predstaviti kao konačan broj operacija sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja izvršenih na izrazu oblika:
z t .
Inverzne funkcije se također mogu izraziti logaritmima. Osnovne osnovne funkcije navedene su u nastavku.

Funkcija napajanja:
y(x) = x p ,
gdje je p eksponent. Zavisi od baze stepena x.
Inverzna funkcija snage je također funkcija snage:
.
Za cjelobrojnu nenegativnu vrijednost eksponenta p, to je polinom. Za cjelobrojnu vrijednost p - racionalna funkcija. Sa racionalnim značenjem - iracionalna funkcija.

Transcendentalne funkcije

Eksponencijalna funkcija:
y(x) = a x ,
gdje je a osnova stepena. Zavisi od eksponenta x.
Inverzna funkcija je logaritam bazi a:
x = log a y.

Eksponent, e na x stepen:
y(x) = e x ,
Ovo je eksponencijalna funkcija čiji je izvod jednak samoj funkciji:
.
Osnova eksponenta je broj e:
≈ 2,718281828459045... .
Inverzna funkcija je prirodni logaritam - logaritam osnovice broja e:
x = ln y ≡ log e y.

Trigonometrijske funkcije:
Sinus: ;
Kosinus: ;
Tangenta: ;
Kotangens: ;
Ovdje je i imaginarna jedinica, i 2 = -1.

Inverzne trigonometrijske funkcije:
Arksinus: x = arcsin y, ;
Arc kosinus: x = arccos y, ;
Arktangent: x = arctan y, ;
Arc tangenta: x = arcctg y, .