n Primjer 2.3. Pronađite korijene jednadžbe

x- tg (x)= 0. (2.18)

Prva faza rješenja (faza odvajanje korena) implementiran je u Odjeljku 2.1 (Primjer 2.2). Željeni korijen jednačine nalazi se na segmentu x O, što se može vidjeti na grafikonu (sl. 2.9).

Sl.2.9. Korak odvajanja korijena

Faza rafiniranja korijena implementiran pomoću Excel-a. Pokažimo to na primjeru metoda pola divizije . Šeme proračuna za tangentne metode i akord malo drugačiji od dijagrama ispod.

Slijed:

1. Pripremite tabelu kao što je prikazano na slici 2.10 i unesite vrijednosti a, b, ε u ćelije V3, V4, V5, respektivno.

2. Popunite prvi red tabele:

D4=0 broj iteracije;

E4=B3, F4=B4, izračunati f(a): G4=E4-TAN(E4),

Slično tome, u ćelije H4, I4, J4 uvest ćemo formule za izračunavanje, odnosno f(b), x n=(a+b)/2 i f(x n);

U ćeliji K4 izračunajte dužinu segmenta [ a, b]: K4=ABS(E4-F4).

3. D5=D4+1, da se formira broj iteracije.

4. U ćelije E5, F5 uvodimo formule za formiranje krajeva ugniježđenih segmenata u skladu sa algoritmom opisanim u odjeljku 2.2.1:

E5=IF(J4*H4<0;I4;E4);

F5=IF(J4*H4>0;I4;F4).

5. Odaberite ćelije G4:K4 i kopirajte ih jedan red.

6. Odaberite ćelije D5:K5 i kopirajte ih na kraj tabele.

Sl.2.10. Šema za rješavanje nelinearne jednadžbe metodom bisekcije

Nastavljamo dijeljenje odsječaka sve dok dužina potonjeg ne postane manja od datog ε, tj. dok se ne ispuni uslov.

Za vizualizaciju kraja iterativnog procesa koristimo se uslovno formatiranje

Uvjetno formatiranje - ovo je formatiranje odabranih ćelija na osnovu nekog kriterijuma, usled čega će biti obojene ćelije čiji sadržaj zadovoljava zadati uslov (u našem slučaju, ).

Da biste to učinili, izvršite sljedeće korake:

Odaberimo ćelije poslednje kolone (K) računske šeme (slika 2.10), gde će biti postavljen kriterijum za kraj iterativnog procesa;

Izvršite naredbu

Home\Styles\ Conditional Formatting;

Sl.2.11. Prozor u formatiranje riječi

U prozoru koji se pojavi (slika 2.11) odaberite liniju:

Pravila odabira ćelije \ Manje od;

Na lijevoj strani dijaloškog okvira koji se pojavljuje Manje (Sl. 2.12) postavite vrijednost koja će se koristiti kao kriterij (u našem primjeru, ovo je adresa ćelije B5, gdje se nalazi vrijednost ε ).

Sl.2.12. Prozor dijaloga Manje

Na desnoj strani prozora Manje odaberite boju koja će se koristiti za bojenje ćelija koje ispunjavaju navedeni uvjet; i pritisnite dugme UREDU.

Kao rezultat ovog oblikovanja, ćelije kolone K , čije vrednosti manje od 0,1, tonirana, sl.2.10.

Dakle, za približnu vrijednost korijena jednadžbe x- tg (x)= 0 sa tačnošću e=0,1, prihvata se 3. iteracija, tj. x*" 4.46875. Za e=0,01 - x * » 4.49609(6. iteracija).

Odluka ne linearne jednačine pomoću dodatka "Odaberi parametar".

Rješenje nelinearnih jednačina može se implementirati u MS aplikaciji excel koristeći dodaci Odabir parametara, gdje se implementira neki iterativni proces.

Nađimo korijene gornje jednadžbe (2.18).

Za nultu aproksimaciju rješenja jednačine, kao što se može vidjeti sa slike 2.13, možemo uzeti X 0 =4 ili X 0 =4,5.

Sekvenciranje

1. Pripremite tabelu, kao što je prikazano na slici 2.13. Na ćeliju A2 unesite neku vrijednost x 0 (npr X 0 =4) iz ODZ funkcije y=f(x). Ovo će biti početna aproksimacija za iterativni proces koji implementira aplikacija Odabir parametara.

2. Cell U 2 je promenljiva ćelija dok je dodatak pokrenut. Stavimo ovu vrijednost u to. x 0 , i u ćeliji C3 izračunati vrijednost funkcije f(xn) za ovu aproksimaciju.

3. Odaberite naredbu:

Podaci \ Rad s podacima \ Analiza "šta ako" \ Izbor parametra.

4. U prozoru "Izbor parametara" izvršite podešavanja kao što je prikazano na slici 2.13 i pritisnite dugme OK.

Sl.2.13. Rješavanje nelinearne jednačine pomoću dodatka za traženje parametara

Ako je sve urađeno ispravno, tada će se u ćeliji B2 (slika 2.13) dobiti približna vrijednost korijena naše jednadžbe.

Na primjer, ponovite sve ove operacije s drugom vrijednošću početne aproksimacije x 0 \u003d 4.5.

Kontrolna pitanja

1. Koja se jednačina naziva nelinearnom. Koje je rješenje nelinearne jednačine.

2. Geometrijska interpretacija rješenja nelinearne jednačine.

3. Metode rješavanja nelinearne jednačine (direktne i iterativne), u čemu je razlika.

4. Dvije faze numeričko rešenje nelinearna jednačina. Koji su zadaci u prvoj i drugoj fazi.

5. Prva faza rješavanja nelinearne jednačine. Kako se bira nulta aproksimacija (nulta iteracija).

6. Konstrukcija iterativnog niza. Koncept konvergencije iterativnog niza. Pronalaženje približne vrijednosti korijena nelinearne jednadžbe s točnošću ε.

7. Geometrijska interpretacija numeričkih metoda za rješavanje nelinearne jednadžbe: polupodjela, Njutn (tangenta), tetive.

Poglavlje 3

Zadata je jednadžba F(x)=0. Ovo - opšti oblik nelinearna jednačina sa jednom nepoznatom. U pravilu, algoritam za pronalaženje korijena sastoji se od dvije faze:

1. Pronalaženje približne vrijednosti korijena ili segmenta na x-osi koja ga sadrži.

2. Rafiniranje približne vrijednosti korijena do određene preciznosti.

U prvoj fazi se primenjuje korak metoda razdvajanja korena, u drugoj - jedna od metoda rafiniranja (metoda poludeljenja, Njutnova metoda, metoda akorda ili metoda jednostavne iteracije).

korak metoda

Kao primjer, razmotrite jednačinu x 2 - 11x + 30 = 0. Interval pretrage, korak h = 0,3. Rešimo to koristeći posebne sposobnosti Excel paket. Redoslijed radnji (vidi sliku 1):

1. Stilizirajte zaglavlje na liniji 1 " Numeričke metode rješenja nelinearnih jednačina”.

2. Dizajnirajte naslov u liniji 3 "Metoda koraka".

3. U ćelije A6 i C6 i B6 upišite podatke o zadatku.

4. U ćelije B9 i C9 upišite naslove redova - respektivno x i F(x).

5. U ćelije B10 i B11 unesite prve dvije vrijednosti argumenta - 3 i 3.3.

6. Odaberite ćelije B5-B6 i povucite niz podataka do konačne vrijednosti (3.3), pazeći da je aritmetička progresija ispravno poravnata.

7. Unesite formulu u ćeliju C10"=B10*B10-11*B10+30".

8. Kopirajte formulu u ostatak reda koristeći povlačenje i ispuštanje. U intervalu C10:C18 dobija se niz rezultata izračunavanja funkcije F(x). Može se vidjeti da funkcija jednom mijenja predznak. Korijen jednadžbe nalazi se u intervalu.

9. Za izgradnju grafa zavisnosti F(x) koristite Insert - Diagram (tip "Spot", markeri su povezani glatkim krivinama).

Metoda bisekcije

Kao primjer, razmotrite jednačinu x 2 - 11x + 30 = 0. Interval pretraživanja, sa tačnošću ε=0,01. Hajde da to riješimo koristeći posebne mogućnosti Excel paketa.

1. Unesite u ćeliju B21 naslov "Način podjele segmenata na pola."

2. Unesite podatke zadatka u ćeliju A23, C23, E23.

3. U području B25:H25 nacrtajte naslov tabele (red B - lijeva ivica segmenta "a", red C - sredina segmenta "x", red D - desna ivica segmenta "b" ", red E - vrijednost funkcije na lijevoj ivici segmenta "F(a)", serija F - vrijednost funkcije u sredini segmenta "F(x)", serija G - proizvod "F(a) * F(x)", serija H - provjera postizanja tačnosti "ê F(x)ê<е».

4. Unesite početne vrijednosti krajeva segmenta: u ćeliju B26 "4.8", u ćeliju D26 "5.1".

5. Unesite formulu "=(B26+D26)/2" u ćeliju C26.

6. Unesite formulu u ćeliju E26"=B26*B26-11*B26+30".

7. Unesite formulu u ćeliju F26"=C26*C26-11*C26+30".

8. Unesite formulu "=E26*F26" u ćeliju G26.

9. Unesite u ćeliju H26 formulu "=IF(ABS(F26)<0.01; ² korijen² )".

1 0. Odaberite područje B21:H21 i povucite ga okomito dok se u redu H ne pojavi poruka “root” (ćelija H29, H30).

Metoda tangente (njutn)

1. Unesite u ćeliju J23 naslov "Tangent metod (njutn)".

2. Unesite tekst “e=” u ćeliju L23, a vrijednost tačnosti “0,00001” u ćeliju M23.

3. U području K25:N25 nacrtajte naslov tabele (red K - vrijednost argumenta "x", red L - vrijednost funkcije "F (x)", red M - izvod funkcije " F¢ (x)", serija N - provjera postizanja tačnosti "ê F(x)ê<е».

4. U ćeliju K26 unesite prvu početna vrijednost argument"-2".

5. Unesite formulu "=K26*K26*K26+2*K26*K26+3*K26+5" u ćeliju L26.

6. Unesite formulu "=3*K26*K26+4*K26+3" u ćeliju M26.

7. Unesite u ćeliju N26 formulu "=IF(ABS(L26)<$M$23;"корень")».

8. Unesite formulu u ćeliju K27"=K26-L26/M26".

9. Odaberite područje L27:N27 i povucite ga okomito dok se u redu N (ćelija N30) ne pojavi poruka “root”.

metoda akorda

Kao primjer, razmotrite jednačinu x 3 +2x 2 +3x+5= 0. Tačnost ε=0,01. Hajde da to riješimo koristeći posebne mogućnosti Excel paketa.

1. Unesite naslov “Metoda akorda” u ćeliju B32.

2. Unesite tekst "e=" u ćeliju C34, a vrijednost "0,00001" u ćeliju E34.

3. U području B36:D36 nacrtajte naslov tabele (red B - vrijednost argumenta "x", red C - vrijednost funkcije "F (x)", red D - provjera postizanja tačnosti "ê F(x)ê<е».

4. U ćelije B37 i B38 unesite početnu vrijednost argumenta"-2" i. "-jedan"

5. Unesite u ćeliju C37 formulu "=B37*B37*B37+2*B37*B37+3*B37+5".

6. Unesite formulu u ćeliju D37"=IF(ABS(B38-B37)<$D$34;"корень")».

7. Unesite formulu u ćeliju B39"=B38-C38*(B38-B37)/(C38-C37)".

8. Odaberite područje C39:D39 i povucite ga okomito dok se u redu D (ćelija D43) ne pojavi poruka “root”.

Jednostavna metoda iteracije

Kao primjer, razmotrite jednačinu x 2 - 11x + 30 = 0. Interval pretrage je , s preciznošću od e = 0,05.

1. Unesite u ćeliju K32 naslov "Metoda jednostavne iteracije"

2. Unesite tekst “e =” u ćeliju N34, a vrijednost tačnosti “0,05” u ćeliju O34.

3. Odaberite funkciju j (x) koja zadovoljava uvjet konvergencije. U našem slučaju, takva funkcija je funkcija S(x)=(x*x+30)/11.

4. U području K38:N38 nacrtajte zaglavlje tablice (red K - vrijednost argumenta "x", red L - vrijednost funkcije "F (x)", red M - vrijednost pomoćne funkcije " S (x)", red N - provjera postizanja tačnosti"ê F(x)ê<е».

5. U ćeliju K39 unesite početnu vrijednost argumenta "4.8".

6. Unesite formulu u ćeliju L39"=K39*K39-11*K39+30".

7. Unesite formulu "=(K39*K39+30)/11" u ćeliju M39.

8. Unesite u ćeliju N39 formulu "=IF(ABS(L39)<$O$34;"корень")».

9. Unesite formulu "=M39" u ćeliju K40.

1 0. Kopirajte ćelije L39:N39 u ćelije L40:N40.

jedanaest . Odaberite područje L40:N40 i povucite ga okomito dok se u redu N (ćelija N53) ne pojavi poruka “root”.

Sl.1 Rješavanje nelinearnih jednačina u Excelu

MINISTARSTVO PROSVETE I NAUKE RUJSKE FEDERACIJE

SAVEZNI DRŽAVNI BUDŽET

OBRAZOVNE USTANOVE

VISOKO STRUČNO OBRAZOVANJE

«SAMARSKA DRŽAVA

ARHITEKTONSKO-GRAĐEVINSKI UNIVERZITET»

Katedra za primijenjenu matematiku i računarsko inženjerstvo

exceliMathcad

METODOLOŠKA UPUTSTVA

za laboratorijske radove

u disciplini "Računarska matematika"

Rješenje nelinearnih jednačina uExcel iMathcad: Metoda. dekret. / Comp. , - Samara: SGASU, 20 str.

Metodičko uputstvo izrađeno je u skladu sa Državnim obrazovnim standardom za izučavanje discipline "Računarska matematika".

Razmatrana je implementacija numeričkih metoda za rješavanje nelinearnih jednačina i sistema jednačina u Excel i MathCad. Date su varijante zadataka za individualni rad i pitanja za samokontrolu i testiranje.

Dizajniran za studente specijalnosti 230201 - "Informacioni sistemi i tehnologije" svih oblika obrazovanja.

Recenzent Ph.D. n.

Ó , kompilacija, 2012

ã SGASU, 2012

1.2 Odvajanje korijena
1.5 Metoda akorda
1.6 Njutnova metoda (tangente)
1.7 Kombinovana metoda
1.8 Metoda iteracije
2.2 Rješavanje sistema nelinearnih jednačina Newtonovom metodom
3 Zadaci za laboratorijski rad
Laboratorij br. 1. Odvajanje korijena i standardni alati za rješavanje nelinearne jednačine
Laboratorij br. 2. Poređenje metoda za pročišćavanje korijena nelinearne jednačine
Laboratorij br. 3. Rješavanje sistema nelinearnih jednačina
Laboratorij br. 4. Metode programiranja za rješavanje nelinearnih jednačina i sistema
4 Pitanja i testovi za samokontrolu

1 Rješavanje nelinearne jednačine

1.1 Opće informacije o rješenju nelinearne jednačine

Po pravilu, nelinearne jednačine opšteg oblika f(x)=0 ne može se riješiti analitički. Za praktične probleme, dovoljno je pronaći približnu vrijednost x, što je u određenom smislu blisko tačnom rješenju jednačine khtochn.

U većini slučajeva potraga za približnim rješenjem uključuje dvije faze. On prva faza odvojeno korijene, tj. pronaći takve segmente unutar kojih se nalazi tačno jedan korijen. On druga faza razjasniti korijen na jednom od ovih segmenata, tj. pronaći njegovu vrijednost sa potrebnom tačnošću.

Postignuta tačnost se može procijeniti ili "po funkciji" (u pronađenoj tački x, funkcija je dovoljno blizu 0, tj. uslov | f(x)|≤ef, gdje ef traženu tačnost duž y-ose), ili "argumentom" (nađen je dovoljno mali segment [ a,b], unutar kojeg se nalazi korijen, tj. | b–a|≤ex, gdje ex potrebna tačnost na x-osi).

1.2 Odvajanje korijena

Odvajanje korijena može se izvršiti kombinacijom grafički i analitički istraživanje funkcije. Ovakva studija je zasnovana na Weierstrassovoj teoremi, prema kojoj je za kontinuitet na segmentu [ a,b] funkcije f(x) i bilo koji broj y, koji ispunjava uslov f(a)≤y≤f(b), postoji tačka na ovom segmentu x, u kojoj je funkcija jednaka y. Stoga je za kontinuiranu funkciju dovoljno pronaći segment na čijim krajevima funkcija ima različite predznake i možete biti sigurni da ovaj segment ima korijen jednadžbe f(x)=0.

Za brojne metode preciziranja, poželjno je da segment pronađen u prvoj fazi sadrži samo jedan korijen jednačine. Ovaj uslov je zadovoljen ako je funkcija na intervalu monotona. Monotoničnost se može provjeriti ili grafom funkcije, ili predznakom izvoda.

Primjer Pronađite do cijelih brojeva Svi korijene nelinearne jednadžbe y(x)=x3-10x+7=0 a) konstruisanjem tabele i b) konstruisanjem grafa. Pronađite korijen jednadžbe na odabranom segmentu koristeći opcije "Odabir parametra" i "Traži rješenje".

Odluka Kreirajmo tablicu u Excelu koja sadrži argumente i vrijednosti funkcije i gradimo na njoj Scatter plot . Slika 1 je snimak rješenja.

Grafikon pokazuje da jednačina ima tri korijena koji pripadaju segmentima [-4, -3] i . Ovi segmenti se takođe mogu identifikovati posmatranjem promene predznaka funkcije u tabeli. Prema konstruisanom grafu možemo zaključiti da je na naznačenim segmentima funkcija f(x) je monotona i stoga svaki od njih sadrži samo jedan korijen.

Ista analiza se može izvesti u Mathcad paketu. Da biste to učinili, dovoljno je upisati definiciju funkcije f(x) , koristeći operator dodjeljivanja (:=) i prirodne konvencije matematičkih operacija i standardnih funkcija, postavite petlju za promjenu argumenta, na primjer, a zatim prikažite tablicu vrijednosti funkcije​​(nalazi se u istom redu sa komandama x= f(x)= ) i graf. Ciklus se može specificirati, na primjer, naredbom x:=-5,-4.5…5 . Korak ciklusa se formira postavljanjem početne i sljedeće vrijednosti varijable, a prije konačne vrijednosti varijable stavlja se tačka i zarez, koja će se vizuelno prikazati na ekranu kao elipsa.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image002_56.jpg" width="640" height="334">

Slika 1 – Tabela i grafikon za odvajanje korijena nelinearne jednačine

1.3 Prečišćavanje korijena korištenjem standardnih Excel i Mathcad alata

U svim metodama pročišćavanja korijena potrebno je postaviti početnu aproksimaciju koja će se zatim rafinirati. Ako jednadžba ima nekoliko korijena, jedan od njih će se naći ovisno o odabranoj početnoj aproksimaciji. Uz neuspješno odabranu početnu aproksimaciju rješenje se možda neće naći. Ako je kao rezultat prve faze proračuna već odabran segment koji sadrži jedan korijen jednačine, bilo koja tačka ovog segmenta može se uzeti kao početna aproksimacija.

U Excelu, da biste precizirali vrijednosti korijena, možete koristiti opcije "Odabir parametara" i "Traži rješenje". Primjer dizajniranja rješenja prikazan je na slikama 2 i 3.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image004_31.jpg" width="501" height="175 src=">

Slika 3 – Rezultati korišćenja sredstava za rešavanje jednačine uexcel

U Mathcadu, da biste precizirali korijene jednadžbe, možete koristiti funkciju root(….) ili blok odlučivanja. Primjer korištenja root(…) funkcije prikazan je na slici 4, a bloka odlučivanja na slici 5. Imajte na umu da u bloku odlučivanja (nakon zaglavlja bloka Dato) između lijeve i desne strane jednačine treba biti podebljan znak jednakosti(identitete), koji se mogu dobiti odabirom iz odgovarajuće palete alata, ili istovremenim pritiskom na tipku ctrl i = .

243" visina="31">

Slika 5 - Rješavanje jednadžbe pomoću bloka rješavanja uMathcad

Kao što vidite, svaki standardni alat pronalazi rješenje jednačine sa određenom tačnošću. Ova tačnost zavisi od metode koja se koristi u paketu i, donekle, od postavki paketa. Kontrolirati tačnost rezultata ovdje je prilično teško, a često i nemoguće.

U isto vrijeme, vrlo je lako napraviti vlastitu tablicu ili napisati program koji implementira jednu od osnovnih metoda preciziranja. Ovdje možete koristiti kriterije tačnosti izračuna koje je odredio korisnik. Istovremeno se postiže i razumevanje procesa izračunavanja bez oslanjanja na princip Mitrofanuške: "Postoji vozač, on će vas odvesti."

Ispod su neke od najčešćih metoda. Obratite pažnju na očiglednu tačku: za druge jednaki uslovi taj metod preciziranje korijena će biti efikasnije, u kojem se nalazi rezultat sa istom greškom s manji broj evaluacija funkcije f(x)(ovo takođe postiže maksimalnu preciznost pri isti broj proračuni funkcije).

1.4 Metoda bisekcije

U ovoj metodi, u svakom koraku segment se dijeli na dva jednaka dijela. Zatim upoređuju znakove funkcije na krajevima svake od dvije polovice (na primjer, predznakom proizvoda vrijednosti funkcija na krajevima), određuju onaj koji sadrži rješenje (znake funkcije na krajevima moraju biti različite), i. suziti segment, prenoseći njegovu granicu na pronađenu tačku ( a ili b). Uslov završetka je malenost segmenta koji sadrži korijen („preciznost u x”), ili blizina 0 vrijednosti funkcije u sredini segmenta („preciznost u y”). Rješenje jednadžbe je sredina segmenta pronađenog u posljednjem koraku.

Primjer. Napravite tabelu da biste precizirali koren jednačine x3 –10 x+7=0 na segmentu [-4, -3] dijeljenjem segmenta na pola. Odredite koliko koraka treba poduzeti dijeljenjem segmenta na pola i koja se točnost postiže u ovom slučaju. X, kako bi se postigla tačnost u y jednako 0,1; 0,01; 0,001.

Odluka Za rješavanje možete koristiti tabelu Excel procesor, što omogućava da se linije automatski nastave. U prvom koraku unosimo vrijednosti lijevog i desnog kraja odabranog početnog segmenta u tablicu i izračunavamo vrijednost sredine segmenta sa=(a+b)/2, a zatim uvodimo formulu za izračunavanje funkcije u tački a (f(a)) i rastegnite (kopirajte) da biste izračunali f(c) i f(b). U posljednjoj koloni izračunavamo izraz ( b-a)/2 koji karakteriše stepen tačnosti proračuna. Sve upisane formule mogu se kopirati u drugi red tabele.

U drugom koraku, morate automatizirati proces pronalaženja one polovine segmenta koji sadrži korijen. Da biste to učinili, koristite logičku funkciju IF ( Meni: InsertFunctionBoolean). Za novu lijevu ivicu segmenta provjeravamo istinitost uvjeta f(a)*f(c)>0, ako je tačno, onda uzimamo broj kao novu vrijednost lijevog kraja segmenta c a, c a. Slično, za novu desnu ivicu segmenta provjeravamo istinitost uvjeta f(c)* f(b)>0, ako je tačno, onda uzimamo broj kao novu vrijednost desnog kraja segmenta c(jer ovaj uslov pokazuje da je korijen na intervalu [ c, b] ne), u suprotnom ostavite vrijednost b.

Drugi red tabele se može nastaviti (kopirati) za potreban broj narednih redova.

Iterativni proces se završava kada sljedeća vrijednost u posljednjoj koloni postane manja od specificirane točnosti npr. U ovom slučaju, vrijednost sredine segmenta u posljednjoj aproksimaciji uzima se kao približna vrijednost željenog korijena nelinearne jednačine. Slika 6 prikazuje snimak rješenja. Da biste izgradili sličan proces u Mathcadu, možete koristiti obrazac sličan onom prikazanom na slici 7. Broj koraka N može varirati sve dok se ne postigne potrebna tačnost u tabeli rezultata. Tabela će se automatski produžiti ili skratiti.

Dakle, jedan od tri korijena nelinearne jednačine x 3 – 10x+ 7=0 pronađeno sa preciznošću e=0,0001 je x= - 3,46686. Kao što vidimo, zaista pripada segmentu [-4; -3].

https://pandia.ru/text/78/157/images/image018_6.jpg" width="563" height="552 src=">

Slika 7 - Rafiniranje korijena dijeljenjem segmenta na polaMathcad

1.5 Metoda akorda

U ovoj metodi nelinearna funkcija f(x) na odvojenom intervalu [ a, b] se zamjenjuje linearnom - jednadžbom tetive, odnosno prave linije koja povezuje granične točke grafa na segmentu. Uslov za primenljivost metode je monotonost funkcije na početnom segmentu, čime se obezbeđuje jedinstvenost korena na ovom segmentu. Izračun metodom akorda sličan je proračunu metodom dijeljenja segmenta na pola, ali sada na svakom koraku nova tačka x unutar segmenta [ a, b] se izračunava pomoću bilo koje od sljedećih formula:

(x) > 0 ), ili njegova desna granica: x0 = b(ako f (b) f "(x)> 0). Proračun nove aproksimacije u sljedećem koraku i+1 proizveden po formuli:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image021_4.jpg" width="596" height="265 src=">

Slika 8 - Rafiniranje korijena tangentnom metodom u Excel

Proračuni u Mathcadu se izvode na sličan način. Istovremeno, značajno olakšanje pruža prisustvo u ovom paketu operatora koji automatski izračunava izvod funkcije.

Element Newtonovih proračuna koji oduzima najviše vremena je izračunavanje derivacije u svakom koraku.

Može se koristiti pod određenim uslovima pojednostavljen Newtonov metod, u kojem se izvod izračunava samo jednom - u početnoj tački. U ovom slučaju se koristi modificirana formula

.

Naravno, pojednostavljena metoda, po pravilu, zahtijeva više stepenice.

Ako je izračunavanje derivacije povezano s ozbiljnim poteškoćama (na primjer, ako funkcija nije data analitičkim izrazom, već programom koji izračunava njene vrijednosti), koristi se modifikovana metoda Newton, zvao sekantna metoda. Ovdje se izvod približno izračunava iz vrijednosti funkcije u dvije uzastopne točke, odnosno koristi se formula

.

U metodi sekante potrebno je navesti ne jednu, već dvije početne tačke - x0 i x1 . Dot x1 obično se daje smjenom x0 na drugu granicu segmenta za mali iznos, na primjer, za 0,01.

1.7 Kombinovana metoda

Može se pokazati da ako je na početnom segmentu funkcije f(x) predznaci prve i druge derivacije ostaju nepromijenjeni, zatim metode akorda i Newtona prilaze korijenu iz različitih tačaka. Kombinirana metoda koristi oba algoritma u isto vrijeme kako bi povećala efikasnost na svakom koraku. U ovom slučaju, interval koji sadrži korijen se smanjuje s obje strane, što dovodi do drugog uvjeta za prekid pretraživanja. Pretraživanje se može zaustaviti čim u sredini intervala dobijenog u sljedećem koraku vrijednost funkcije postane modulo manja od unaprijed određene greške ef.

Ako se, u skladu sa gore formuliranim pravilom, Newtonova metoda primjenjuje na desnu granicu segmenta, za proračune se koriste sljedeće formule:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image025_10.gif" width="107" height="45 src=">.

Ako se Newtonova metoda primjenjuje na lijevu granicu, - u prethodnim formulama, oznake su obrnute a i b.

1.8 Metoda iteracije

Za primjenu ove metode, originalna jednačina f(x)=0 pretvoren u oblik: x=y(X). Zatim odaberite početnu vrijednost x0 i zamijeni ga na lijevoj strani jednačine, dobivši, in opšti slučaj, x1 = y(x0)¹ x0¹ y(x1), zbog x0 uzet proizvoljno i nije korijen jednadžbe. Primljena vrijednost x1 smatra se još jednom aproksimacijom korijenu. Ponovo mu je umetnuto desna strana jednačine i dobiti sljedeća vrijednost x2=y(x1)). Računanje se nastavlja prema formuli xi+1=y(xi). Rezultirajući niz je: x0, x1, x2, x3 x4,... konvergiraju u korijen pod određenim uvjetima khtochn.

Može se pokazati da iterativni proces konvergira pod uslovom
|y’ (x) | < 1 на [a, b].

Postoji razne načine transformacije jednadžbi f(x)= 0 na vrstu y(X) = X, a u konkretnom slučaju, neki od njih će dovesti do konvergentnog, a drugi do divergentnog procesa izračunavanja.

Jedan od načina je primjena formule

https://pandia.ru/text/78/157/images/image027_10.gif" width="188" height="44 src=">

gdje M= max | y’ (x)| na [ a, b].

2 Rješavanje sistema nelinearnih jednačina

2.1 Opće informacije o rješavanju sistema nelinearnih jednačina

sistem n nelinearne jednačine sa n nepoznato x1, x2, ..., xn su napisani u obliku:

gdje F1, F2,…, fn su funkcije nezavisnih varijabli, među kojima ima i nelinearnih.

Kao iu slučaju sistema linearnih jednačina, rješenje sistema je takav vektor X*, koji, kada se zameni, istovremeno pretvara sve jednačine sistema u identitete.

https://pandia.ru/text/78/157/images/image030_8.gif" width="191" height="56">

Početne vrijednosti x0 i y0 definisan grafički. Za pronalaženje svake uzastopne aproksimacije (xi+1 , yi+1 ) koristiti vektor vrijednosti funkcija i matricu vrijednosti njihovih prvih derivata izračunatih u prethodnoj točki (xi, yi) .

https://pandia.ru/text/78/157/images/image032_5.gif" width="276" height="63 src=">

Za izračunavanje novih aproksimacija u koraku i+1 koristi se matrična formula

https://pandia.ru/text/78/157/images/image034_4.gif" width="303" height="59 src=">.

Navedene formule posebno je lako napisati u Mathcadu, gdje postoje operatori za izračunavanje izvoda i operacije sa matricama. Međutim, kada pravilnu upotrebu matrične operacije ove formule su jednostavno napisane u Excelu. Istina, ovdje je potrebno unaprijed dobiti formule za izračunavanje derivata. Mathcad se također može koristiti za analitički proračun derivata.

2.3 Rješavanje sistema nelinearnih jednačina iteracijskim metodama

Za implementaciju ovih metoda, originalni sistem jednačina mora biti algebarske transformacije eksplicitno izraziti svaku varijablu u terminima ostalih. Za slučaj dvije jednačine sa dvije nepoznate novi sistemće izgledati

https://pandia.ru/text/78/157/images/image036_5.gif" width="114" height="57 src=">.

Ako je jedno od rješenja sistema i početne vrijednosti x0 i y0 lezi u okolini D dato nejednačinama: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, zatim obračun po metodi jednostavne iteracije konvergira kada se izvrši u regionu D omjeri:

https://pandia.ru/text/78/157/images/image038_5.gif" width="75 height=48" height="48">< 1.

AT Seidelova metoda iteracije za svaki proračun koriste se najpreciznije vrijednosti koje su već pronađene za svaku varijablu. Za razmatrani slučaj dvije varijable, takva logika vodi do formula

0 "style="border-collapse:collapse;border:none">

Alat (opcija)

Početna aproksimacija

Rootx

f(x)

3. Sortirajte rezultate prema tačnosti rješenja.

Neka se nađe približna vrijednost korijena jednadžbe f(x) = 0, označimo ga x n. Formula za izračun Newtonova metoda za određivanje sljedeće aproksimacije x n+1 se može dobiti na dva načina.

Prvi način izražava geometrijskog smisla Newtonovom metodom i sastoji se u činjenici da umjesto točke presjeka grafa funkcije y = f(x) sa osovinom OX, tražimo tačku preseka sa osom OX tangenta nacrtana na graf funkcije u tački ( x n, f(x n)) kao što je prikazano na sl. 2.6. Tangentna jednadžba ima oblik .

Rice. 2.7. Newtonova metoda (tangenta)

U tački preseka tangente sa osom OX varijabla y= 0. Izjednačavanje y nula, izražavamo x i dobijete formulu tangentna metoda:

(2.6)

Drugi način. Proširite funkciju f(x) u Tejlorov niz u blizini tačke x = x n:

Ograničavamo se na linearno u odnosu na ( x-xn) izjednačavamo sa nulom f(x) i, izražavajući nepoznatu iz rezultirajuće jednačine x i označavajući ga kroz x n+1 , dobijamo formulu (2.6).

Predstavimo dovoljne uslove za konvergenciju Njutnove metode.

Teorema 2.3. Neka su na segmentu ispunjeni sljedeći uslovi:

1) funkcija i njeni derivati ​​su kontinuirani;

2) derivati ​​i različiti su od nule i zadržavaju određene konstantne predznake;

3) (funkcija mijenja predznak na segmentu).

Zatim postoji segment koji sadrži traženi korijen jednadžbe , na kojem konvergira iterativni niz. Ako kao nultu aproksimaciju odaberemo graničnu tačku u kojoj se predznak funkcije poklapa sa predznakom drugog izvoda, tj. , tada iterativni niz konvergira monotono (slika 2.8).

Dokaz. Budući da je kontinuirana, mijenja predznak i monotona je na , tada je interval izolacije korijena. Označimo željeni korijen sa . Razmotrite funkciju i pronađite njegov derivat. Dakle, je kontinuirano na , nestaje u točki , budući da funkcija nestaje u ovoj točki. Dakle, postoji takav segment () koji . Ako uzmemo onaj dio segmenta gdje , tada , dakle, funkcija raste, ali tada je niz monoton.

Rice. 2.8. Dovoljni uslovi konvergenciju Newtonove metode

Komentar. Imajte na umu da metoda akorda dolazi sa Suprotna strana, i obje ove metode na taj način mogu se nadopunjavati, a moguća je i kombinacija metoda akord-tangente.

Primjer 2.7. Precizirajte na 0,000001 Newtonovom metodom korijen jednadžbe
grijeh 5 x+ x 2 – 1 = 0. Uzmite kao početnu vrijednost x 0 = – 0,7.

Odluka. Nađimo derivat .

AT Excel program uvesti formule za izračunavanje:

1) Hajde da uvedemo formule i zapise u ćelije opsega A 1:D 3 i kopirajte ga dolje pomoću markera za popunjavanje ćelije sa formulama: B 3 - prije B 5,
C 2 - prije C 5, D 2 - prije D 5;

Tabela 2.9

	A	B	C	D
	k	x	f(x)	f"(x)
		–0,7	=SIN(5*B2)+B2^2–1	=5*COS(5*B2)+2*B2
		=B2–C2/D2

Rezultati proračuna prikazani su u tabeli 2.10. Dobijena je vrijednost korijena - 0,726631609 ≈ - 0,726632 sa greškom od 0,000001.

Tabela 2.10

	A	B	C	D	A
	k	x	f(x)	f"(x)
		-0,7	-0,159216772	-6,082283436
		-0,726177138	-0,002664771	-5,865681044	0,026177138
		-0,726631437	-1.00787E-06	-5,861240228	0,000454299
		-0,726631609	-1.45328E-13	-5,861238543	1.71955E-07

Kreirajmo funkcije u Excelu da riješimo jednačinu iz primjera 2.7 Newtonovom metodom.

„Za razliku od metode tetiva, u metodi tangenta, umjesto tetive, na svakom koraku se povlači tangenta na krivu y=F(x) at x=x n i traži se točka presjeka tangente sa osom apscisa:

Formula za (n+1) aproksimaciju je:

Ako F(a)*F"(a)>0, x 0 =a, inače x 0 =b.

Iterativni proces se nastavlja sve dok se ne utvrdi da:

primjer:

Neka se zada sljedeći zadatak: Pročistite korijene jednadžbe cos(2x)+x-5=0 tangentna metoda sa tačnošću od 0,00001.

U početku morate odlučiti čemu je x0 jednako: ili a ili b. Da biste to učinili, morate izvršiti sljedeće korake:

Pronađite izvod prvog reda funkcije f(x)=cos(2x)+x-5. To će izgledati ovako: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Pronađite izvod drugog reda funkcije f(x)=cos(2x)+x-5. To će izgledati ovako: f2(x)=-4cos(2x).

Rezultat je sljedeći:

Pošto je x0=b, potrebno je da uradite sledeće:

Popunite ćelije na sledeći način (obratite pažnju na nazive i brojeve kolona prilikom popunjavanja - moraju biti isti kao na slici):

U ćeliju A6 unesite formulu =D5.

Odaberite raspon ćelija B5:E5 i popunite raspon ćelija B6:E6 prevlačenjem.

Odaberite raspon ćelija A6:E5 i popunite raspon ćelija niže ležećih povlačenjem dok se ne dobije rezultat u jednoj od ćelija kolone E (opseg ćelija A6:E9).

Kao rezultat, dobijamo sljedeće:

4. Kombinirana metoda tetiva i tangenta

Da bi se postigla što preciznija greška, potrebno je istovremeno koristiti metode tetiva i tangente. „Prema formuli akorda, nalaze x n+1, a prema tangentnoj formuli - z n+1. Proces pronalaženja približnog korijena se zaustavlja čim:

Kao približni korijen, uzmite vrijednost jednaku (11) :"[2 ]

Neka je potrebno precizirati korijene jednadžbe cos(2x)+x-5=0 kombinovanom metodom sa tačnošću od 0,00001.

Da biste riješili takav problem koristeći Excel, morate izvršiti sljedeće korake:

Budući da je u kombinovanoj metodi potrebno koristiti jednu od formula tetiva i formulu tangenti, radi jednostavnosti treba uvesti sljedeću notaciju:

Za formule akorda, označite:

Varijabla c će igrati ulogu a ili b ovisno o situaciji.

Preostale oznake su slične onima koje su date u formulama akorda, samo uzimajući u obzir varijable uvedene gore.

Za tangentnu formulu, označite:

Preostale oznake su slične onima datim u formuli tangente, samo uzimajući u obzir varijable koje su uvedene iznad.

Pronađite izvod prvog reda funkcije f(x)=cos(2x)+x-5. To će izgledati ovako: f1(x)=-2sin(2x)+1.

Pronađite izvod drugog reda funkcije f(x)=cos(2x)+x-5. To će izgledati ovako: f2(x)=-4cos(2x).

Popunite ćelije na sledeći način (obratite pažnju na nazive i brojeve kolona prilikom popunjavanja - moraju biti isti kao na slici):

Rezultat je sljedeći:

U ćeliju G1 unesite e, au G2 unesite broj 0,00001.

U ćeliju H1 unesite c, au H2 unesite broj 6, pošto je c=b (pogledajte ćeliju F2).

U ćeliju I1 unesite f(c), au I2 unesite formulu =COS(2*H2)+H2-5.

Popunite ćelije redom na sledeći način (obratite pažnju na nazive i brojeve kolona prilikom popunjavanja - moraju biti isti kao na slici):

U ćeliju A6 unesite formulu =E5.

U ćeliju F6 unesite formulu =I5.

Odaberite raspon ćelija B5:E5 i koristite marker za automatsko popunjavanje da popunite raspon ćelija B6:E6.

Odaberite raspon ćelija G5:K5 i popunite raspon ćelija G6:K6 markerom za automatsko popunjavanje.

Odaberite raspon ćelija A6:K6 i popunite sve donje ćelije prevlačenjem dok se ne dobije odgovor u jednoj od ćelija kolone K (opseg ćelija A6:K9).

Kao rezultat, dobijamo sljedeće:

Odgovor: Koren jednačine cos(2x)+x-5=0 je 5,32976.