Za rješavanje geometrijskog problema koordinatnom metodom potrebna je točka presjeka čije se koordinate koriste u rješenju. Situacija nastaje kada je potrebno tražiti koordinate sjecišta dvije prave na ravni ili odrediti koordinate istih pravih u prostoru. Ovaj članak razmatra slučajeve nalaženja koordinata tačaka u kojima se date prave seku.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Potrebno je definisati tačke preseka dve prave.

Odjeljak o relativnom položaju pravih na ravni pokazuje da se one mogu poklapati, biti paralelne, seći u jednoj zajedničkoj tački ili seći. Dvije prave u prostoru nazivaju se ukrštanjem ako imaju jednu zajedničku tačku.

Definicija tačke presjeka linija zvuči ovako:

Definicija 1

Tačka u kojoj se dvije prave seku naziva se njihova tačka preseka. Drugim rečima, tačka preseka linija je tačka preseka.

Razmotrite sliku ispod.

Prije pronalaženja koordinata točke presjeka dviju pravih, potrebno je razmotriti primjer u nastavku.

Ako na ravni postoji koordinatni sistem O x y, tada su date dvije prave a i b. Direktno odgovara opšta jednačina oblika A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, za pravu liniju b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tada je M 0 (x 0 , y 0) neka tačka ravni, potrebno je odrediti da li će tačka M 0 biti tačka preseka ovih pravih.

Da biste riješili problem, potrebno je pridržavati se definicije. Tada se prave moraju seći u tački čije su koordinate rješenje datih jednačina A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . To znači da se koordinate tačke preseka zamenjuju u sve date jednačine. Ako daju ispravan identitet prilikom zamjene, tada se M 0 (x 0 , y 0) smatra njihovom presječnom točkom.

Primjer 1

Date su dvije prave koje se sijeku 5 x - 2 y - 16 = 0 i 2 x - 5 y - 19 = 0 . Da li će tačka M 0 sa koordinatama (2, - 3) biti tačka preseka.

Odluka

Da bi presek pravih bio realan, potrebno je da koordinate tačke M 0 zadovoljavaju jednačine pravih. To se potvrđuje njihovim zamjenom. Shvatili smo to

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Obe jednakosti su tačne, što znači da je M 0 (2, - 3) tačka preseka datih pravih.

Hajde da prikažemo ovu odluku na koordinatnoj liniji na slici ispod.

odgovor:dati poen sa koordinatama (2, - 3) će biti tačka preseka datih linija.

Primjer 2

Hoće li se prave 5 x + 3 y - 1 = 0 i 7 x - 2 y + 11 = 0 sjeći u tački M 0 (2 , - 3) ?

Odluka

Za rješavanje problema potrebno je zamijeniti koordinate tačke u svim jednačinama. Shvatili smo to

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Druga jednakost nije tačna, što znači da data tačka ne pripada pravoj 7 x - 2 y + 11 = 0 . Otuda imamo da tačka M 0 nije tačka preseka pravih.

Crtež jasno pokazuje da M 0 nije tačka preseka pravih. Imaju zajedničku tačku sa koordinatama (- 1, 2).

odgovor: tačka sa koordinatama (2, - 3) nije tačka preseka datih pravih.

Prelazimo na pronalaženje koordinata tačaka preseka dve prave koristeći date jednačine na ravni.

Dvije linije a i b koje se sijeku date su jednadžbama oblika A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 koje se nalaze u O x y. Prilikom označavanja presečne tačke M 0 dobijamo da treba nastaviti traženje koordinata prema jednačinama A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Iz definicije je očigledno da je M 0 zajednička tačka preseka pravih. U ovom slučaju, njegove koordinate moraju zadovoljiti jednačine A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 . Drugim riječima, ovo je rješenje rezultirajućeg sistema A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 .

To znači da je za pronalaženje koordinata tačke presjeka potrebno sistemu dodati sve jednačine i riješiti ga.

Primjer 3

Date su dvije prave x - 9 y + 14 = 0 i 5 x - 2 y - 16 = 0 na ravni. morate pronaći njihovu raskrsnicu.

Odluka

Podaci o stanju jednadžbe moraju se prikupiti u sistem, nakon čega dobijamo x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0. Da bi se to riješilo, prva jednačina se rješava za x, izraz se zamjenjuje u drugi:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Rezultirajući brojevi su koordinate koje je trebalo pronaći.

odgovor: M 0 (4 , 2) je presjek pravih x - 9 y + 14 = 0 i 5 x - 2 y - 16 = 0 .

Potraga za koordinatama svodi se na rješavanje sistema linearnih jednačina. Ako je, prema uslovu, dat drugi oblik jednačine, onda je treba svesti na normalni oblik.

Primjer 4

Odrediti koordinate tačaka preseka pravih x - 5 = y - 4 - 3 i x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R .

Odluka

Za početak, potrebno je jednadžbe dovesti u opći oblik. Tada dobijamo da se x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R transformira na ovaj način:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Zatim uzimamo jednačinu kanonskog oblika x - 5 = y - 4 - 3 i transformiramo. Shvatili smo to

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Dakle, imamo da su koordinate tačka preseka

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Primijenimo Cramerovu metodu da pronađemo koordinate:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 212 .

odgovor: M 0 (- 5 , 1) .

Postoji još jedan način da pronađete koordinate tačke preseka linija koje se nalaze na ravni. Primjenjivo je kada je jedna od linija data parametarskim jednačinama oblika x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Tada se x = x 1 + a x λ i y = y 1 + a y λ zamjenjuju za x, gdje dobijamo λ = λ 0 koja odgovara tački presjeka koja ima koordinate x 1 + a x λ 0, y 1 + a y λ 0 .

Primjer 5

Odredite koordinate tačke preseka prave x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ , λ ∈ R i x - 5 = y - 4 - 3 .

Odluka

Potrebno je izvršiti zamjenu u x - 5 \u003d y - 4 - 3 izrazom x = 4 + 9 λ, y = 2 + λ, tada dobijamo:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Prilikom rješavanja dobijamo da je λ = - 1 . Ovo implicira da postoji tačka preseka između pravih x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R i x - 5 = y - 4 - 3 . Za izračunavanje koordinata potrebno je u parametarsku jednačinu zamijeniti izraz λ = - 1. Tada dobijamo da je x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 .

odgovor: M 0 (- 5 , 1) .

Da biste u potpunosti razumjeli temu, morate znati neke od nijansi.

Prvo morate razumjeti lokaciju linija. Kada se ukrste, naći ćemo koordinate, u drugim slučajevima neće biti rješenja. Da bismo izbjegli ovu provjeru, možemo sastaviti sistem oblika A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 \u003d 0 Ako postoji rješenje, zaključujemo da se prave sijeku . Ako nema rješenja, onda su paralelne. Kada sistem ima beskonačan skup rješenja, onda se kaže da su ista.

Primjer 6

Zadane linije x 3 + y - 4 = 1 i y = 4 3 x - 4 . Odredite da li imaju zajedničku tačku.

Odluka

Pojednostavljujući date jednačine, dobijamo 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 i 4 3 x - y - 4 = 0 .

Potrebno je sakupiti jednačine u sistem za naknadno rješavanje:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Ovo pokazuje da su jednadžbe izražene jedna kroz drugu, tada dobijamo beskonačan broj rješenja. Tada jednačine x 3 + y - 4 = 1 i y = 4 3 x - 4 definiraju istu pravu liniju. Dakle, nema raskrsnica.

odgovor: date jednačine definišu istu pravu liniju.

Primjer 7

Naći koordinate tačke preseka pravih 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 i 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Odluka

Pod uslovom, moguće je da se prave neće preseći. Napišite sistem jednačina i riješite ga. Za rješenje je potrebno koristiti Gaussovu metodu, jer je uz njenu pomoć moguće provjeriti kompatibilnost jednačine. Dobijamo sistem oblika:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Dobili smo pogrešnu jednakost, tako da sistem nema rješenja. Zaključujemo da su prave paralelne. Ne postoje raskrsnice.

Drugo rješenje.

Prvo morate odrediti prisutnost sjecišta linija.

n 1 → = (2 , 2 - 3) je normalni vektor prave 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 , tada je vektor n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 - normalni vektor za pravu liniju 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Potrebno je provjeriti kolinearnost vektora n 1 → = (2, 2 - 3) i n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) . Dobijamo jednakost oblika 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 . Tačno je jer je 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0 . Iz toga slijedi da su vektori kolinearni. To znači da su prave paralelne i da nemaju presečne tačke.

odgovor: nema tačaka preseka, prave su paralelne.

Primjer 8

Naći koordinate presjeka zadanih pravih 2 x - 1 = 0 i y = 5 4 x - 2 .

Odluka

Za rješavanje sastavljamo sistem jednačina. Dobijamo

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Naći determinantu glavne matrice. Za ovo, 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2 . Pošto je različit od nule, sistem ima 1 rješenje. Iz toga slijedi da se prave sijeku. Rešimo sistem za pronalaženje koordinata tačaka preseka:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Dobili smo da tačka preseka datih pravih ima koordinate M 0 (1 2 , - 11 8) .

odgovor: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Pronalaženje koordinata tačke preseka dve prave u prostoru

Na isti način se nalaze tačke preseka linija prostora.

Kada su date linije a i b koordinatnu ravan Oko x y z jednadžbama ravnina koje se sijeku, tada postoji prava linija a, koja se može odrediti pomoću dati sistem A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 i prava linija b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 .

Kada je tačka M 0 tačka preseka pravih, tada njene koordinate moraju biti rešenja obe jednačine. Dobijamo linearne jednačine u sistemu:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Razmotrimo takve zadatke s primjerima.

Primjer 9

Pronađite koordinate tačke preseka datih pravih x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 i 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Odluka

Sastavljamo sistem x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 i rješavamo ga. Da biste pronašli koordinate, potrebno je riješiti kroz matricu. Tada dobijamo glavnu matricu oblika   A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 i proširenu matricu T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Određujemo rang matrice prema Gaussu.

Shvatili smo to

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Iz toga slijedi da je rang proširene matrice 3. Tada sistem jednačina x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 rezultira samo jednim rješenjem.

Osnovni minor ima determinantu 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , tada posljednja jednačina ne odgovara. Dobijamo da je x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3 . Sistemsko rješenje x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

Dakle, imamo da tačka preseka x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 i 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ima koordinate (1 , - 3 , 0) .

odgovor: (1 , - 3 , 0) .

Sistem oblika A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 ima samo jedno rješenje. Dakle, prave a i b se sijeku.

U drugim slučajevima, jednačina nema rješenja, tj. zajedničke tačke također. Odnosno, nemoguće je pronaći tačku sa koordinatama, jer ona ne postoji.

Dakle, sistem oblika A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 rješava se Gaussovom metodom. Zbog svoje nekompatibilnosti, linije se ne sijeku. Ako postoji beskonačan broj rješenja, onda se ona poklapaju.

Možete donijeti odluku tako što ćete izračunati glavni i prošireni rang matrice, a zatim primijeniti Kronecker-Capelli teorem. Dobijamo jedno, mnogo ili potpuno odsustvo rješenja.

Primjer 10

Date su jednadžbe pravih x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 i x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Pronađite tačku raskrsnice.

Odluka

Prvo, postavimo sistem jednačina. Dobijamo da je x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 . Rješavamo ga Gaussovom metodom:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Očigledno, sistem nema rješenja, što znači da se prave ne seku. Ne postoji raskrsnica.

odgovor: nema raskrsnice.

Ako su linije definirane pomoću kononika ili parametarske jednačine, potrebno je dovesti u oblik jednadžbi ravnina koje se sijeku, a zatim pronaći koordinate.

Primjer 11

Date su dvije linije x = - 3 - λ y = - 3 · λ z = - 2 + 3 · λ , λ ∈ R i x 2 = y - 3 0 = z 5 u O x y z . Pronađite tačku raskrsnice.

Odluka

Prave postavljamo jednadžbama dvije ravnine koje se sijeku. Shvatili smo to

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Nalazimo koordinate 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 , za to izračunavamo rangove matrice. Rang matrice je 3 i osnovni mol 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 \u003d - 3 ≠ 0, što znači da posljednja jednačina mora biti isključena iz sistema. Shvatili smo to

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Rešimo sistem Cramerovom metodom. Dobijamo da je x = - 2 y = 3 z = - 5 . Odavde dobijamo da presek datih pravih daje tačku sa koordinatama (- 2 , 3 , - 5).

odgovor: (- 2 , 3 , - 5) .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Oh-oh-oh-oh-oh ... pa, sitno je, kao da ste pročitali rečenicu u sebi =) Međutim, onda će opuštanje pomoći, pogotovo što sam danas kupio odgovarajući pribor. Stoga, pređimo na prvi odjeljak, nadam se da ću do kraja članka zadržati veselo raspoloženje.

Međusobni raspored dvije prave linije

Slučaj kada sala peva u horu. Dva reda mogu:

1) podudaranje;

2) biti paralelan: ;

3) ili se sijeku u jednoj tački: .

Pomoć za lutke : molim vas zapamtite matematički znak raskrsnice, to će se dešavati vrlo često. Unos znači da se prava siječe s pravom u tački.

Kako odrediti relativni položaj dvije linije?

Počnimo s prvim slučajem:

Dvije linije se poklapaju ako i samo ako su njihovi odgovarajući koeficijenti proporcionalni, odnosno postoji takav broj "lambda" da su jednakosti

Razmotrimo prave i sastavimo tri jednačine od odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednačine slijedi da se, dakle, ove prave poklapaju.

Zaista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite sa -1 (promijenite predznake) i sve koeficijente jednačine smanjite za 2, dobit ćete istu jednačinu: .

Drugi slučaj kada su prave paralelne:

Dvije prave su paralelne ako i samo ako su njihovi koeficijenti na varijablama proporcionalni: , ali.

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, jasno je da .

I treći slučaj, kada se prave sijeku:

Dvije prave se sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti varijabli NISU proporcionalni, odnosno NE postoji takva vrijednost "lambda" da su jednakosti ispunjene

Dakle, za prave linije sastavit ćemo sistem:

Iz prve jednadžbe slijedi da , a iz druge jednadžbe: , dakle, sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, koeficijenti na varijablama nisu proporcionalni.

Zaključak: prave se sijeku

U praktičnim problemima može se koristiti upravo razmatrana šema rješenja. Inače, vrlo je sličan algoritmu za provjeru kolinearnosti vektora, koji smo razmatrali u lekciji. Koncept linearne (ne)zavisnosti vektora. Vektorska osnova. Ali postoji civilizovaniji paket:

Primjer 1

Da shvatim međusobnog dogovora direktno:

Odluka na osnovu proučavanja usmjeravajućih vektora pravih linija:

a) Iz jednadžbi nalazimo vektore pravca linija: .

, tako da vektori nisu kolinearni i prave se sijeku.

Za svaki slucaj stavicu kamen sa pokazivacima na raskrsnicu:

Ostali skaču preko kamena i slijede, pravo do Kaščeja Besmrtnog =)

b) Pronađite vektore pravca pravih:

Prave imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelne ili iste. Ovdje determinanta nije potrebna.

Očigledno, koeficijenti nepoznanica su proporcionalni, dok .

Hajde da saznamo da li je jednakost tačna:

dakle,

c) Pronađite vektore pravca pravih:

Izračunajmo determinantu, sastavljenu od koordinata ovih vektora:
, dakle, vektori smjera su kolinearni. Prave su ili paralelne ili se poklapaju.

Faktor proporcionalnosti "lambda" je lako vidjeti direktno iz omjera vektora kolinearnog smjera. Međutim, može se naći i kroz koeficijente samih jednačina: .

Sada hajde da saznamo da li je ta jednakost tačna. Oba slobodna člana su nula, dakle:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednačinu(općenito odgovara svakom broju).

Dakle, linije se poklapaju.

Odgovori:

Vrlo brzo ćete naučiti (ili ste već naučili) rješavati razmatrani problem usmeno doslovno u nekoliko sekundi. S tim u vezi, ne vidim razlog da se bilo šta nudi nezavisna odluka, bolje je postaviti još jednu važnu ciglu u geometrijski temelj:

Kako nacrtati pravu paralelnu sa datom?

Zbog neznanja o ovome najjednostavniji zadatak strogo kažnjava Slavuja razbojnika.

Primjer 2

Prava linija je data jednadžbom . Napišite jednačinu za paralelnu pravu koja prolazi kroz tačku.

Odluka: Označite nepoznatu liniju slovom. Šta stanje govori o tome? Prava prolazi kroz tačku. A ako su linije paralelne, onda je očito da je usmjeravajući vektor prave "ce" također pogodan za konstruiranje prave "de".

Izvlačimo vektor smjera iz jednačine:

Odgovori:

Geometrija primjera izgleda jednostavno:

Analitička verifikacija se sastoji od sljedećih koraka:

1) Provjeravamo da li prave imaju isti vektor smjera (ako jednačina prave nije pravilno pojednostavljena, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu.

Analitičku provjeru u većini slučajeva je lako izvesti usmeno. Pogledajte dvije jednačine i mnogi od vas će brzo shvatiti koliko su prave paralelne bez ikakvog crteža.

Primjeri za samostalno rješavanje danas će biti kreativni. Jer još uvijek morate da se takmičite sa Baba Yagom, a ona je, znate, ljubitelj svih vrsta zagonetki.

Primjer 3

Napišite jednadžbu za pravu koja prolazi kroz tačku paralelnu sa pravom if

Postoji racionalan i ne baš racionalan način rješavanja. Najkraći put je na kraju lekcije.

Malo smo radili sa paralelnim linijama i vratit ćemo se na njih kasnije. Slučaj poklapanja linija je malo zanimljiv, pa razmotrite problem koji vam je dobro poznat školski program:

Kako pronaći tačku preseka dve prave?

Ako je ravno seku u tački , tada su njene koordinate rješenje sistemi linearnih jednačina

Kako pronaći tačku preseka linija? Riješite sistem.

Za tebe geometrijskog smisla sisteme dve linearne jednačine sa dve nepoznate su dvije koje se ukrštaju (najčešće) prave na ravni.

Primjer 4

Pronađite tačku preseka pravih

Odluka: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafički način je jednostavno nacrtati date linije i saznati tačku presjeka direktno sa crteža:

Evo naše poente: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu prave linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate tačke su rješenje sistema . U stvari, razmatrali smo grafički način rješavanja sistemi linearnih jednačina sa dvije jednačine, dvije nepoznate.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali postoje uočljivi nedostaci. Ne, nije poenta u tome da sedmaci odlučuju na ovaj način, stvar je u tome da će trebati vremena da se napravi tačan i TAČAN crtež. Osim toga, neke linije nije tako lako konstruirati, a sama tačka presjeka može biti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista sveske.

Stoga je svrsishodnije tražiti točku presjeka analitičkom metodom. Rešimo sistem:

Za rješavanje sistema korištena je metoda terminskog sabiranja jednačina. Da biste razvili relevantne vještine, posjetite lekciju Kako riješiti sistem jednačina?

Odgovori:

Provera je trivijalna - koordinate tačke preseka moraju da zadovolje svaku jednačinu sistema.

Primjer 5

Pronađite točku sjecišta pravih ako se sijeku.

Ovo je "uradi sam" primjer. Zadatak se zgodno može podijeliti u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Napišite jednačinu prave linije.
2) Napišite jednačinu prave.
3) Saznajte relativni položaj linija.
4) Ako se prave seku, onda pronađite tačku preseka.

Razvoj algoritma akcije tipičan je za mnoge geometrijski problemi, i na to ću se više puta fokusirati.

Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije:

Par cipela još nije iznošen, jer smo došli do drugog dijela lekcije:

Okomite linije. Udaljenost od tačke do prave.
Ugao između linija

Počnimo s tipičnim i vrlo važan zadatak. U prvom dijelu naučili smo kako da napravimo pravu liniju paralelnu sa datom, a sada će se koliba na pilećim nogama okrenuti za 90 stepeni:

Kako nacrtati pravu okomitu na datu?

Primjer 6

Prava linija je data jednadžbom . Napišite jednačinu za okomitu pravu koja prolazi kroz tačku.

Odluka: Poznato je po pretpostavci da . Bilo bi lijepo pronaći vektor smjera prave linije. Budući da su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednačine „uklanjamo“ vektor normale: , koji će biti usmjeravajući vektor prave linije.

Sastavljamo jednadžbu prave linije po tački i usmjeravajući vektor:

Odgovori:

Rasklopimo geometrijsku skicu:

Hmmm... Narandžasto nebo, narandžasto more, narandžasta kamila.

Analitička verifikacija rješenja:

1) Izdvojite vektore smjera iz jednačina i uz pomoć tačkasti proizvod vektora zaključujemo da su prave zaista okomite: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, još je lakše.

2) Provjerite da li tačka zadovoljava rezultirajuću jednačinu .

Provjeru je, opet, lako izvesti usmeno.

Primjer 7

Pronađite tačku presjeka okomitih linija, ako je jednadžba poznata i tačka.

Ovo je "uradi sam" primjer. U zadatku postoji nekoliko radnji, pa je zgodno rasporediti rješenje tačku po tačku.

Je li naš zabavno putovanje nastavlja:

Udaljenost od tačke do linije

Pred nama je prava traka rijeke i naš zadatak je da do nje stignemo najkraćim putem. Nema prepreka, a najoptimalnija ruta će biti kretanje duž okomice. Odnosno, udaljenost od tačke do prave je dužina okomitog segmenta.

Udaljenost u geometriji tradicionalno se označava grčkim slovom "ro", na primjer: - udaljenost od tačke "em" do prave linije "de".

Udaljenost od tačke do linije izražava se formulom

Primjer 8

Pronađite udaljenost od tačke do prave

Odluka: sve što trebate je da pažljivo zamijenite brojeve u formulu i izvršite izračune:

Odgovori:

Izradimo crtež:

Udaljenost pronađena od tačke do prave je tačno dužina crvenog segmenta. Ako napravite crtež na kariranom papiru u mjerilu od 1 jedinice. \u003d 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrite još jedan zadatak prema istom crtežu:

Zadatak je pronaći koordinate tačke , koja je simetrična tački u odnosu na pravu . Predlažem da sami izvršite radnje, međutim, odredit ću algoritam rješenja sa srednji rezultati:

1) Pronađite pravu koja je okomita na pravu.

2) Pronađite tačku preseka pravih: .

Obje akcije su detaljno razmotrene u ovoj lekciji.

3) Tačka je sredina segmenta. Znamo koordinate sredine i jednog od krajeva. By formule za koordinate sredine segmenta naći .

Neće biti suvišno provjeriti je li udaljenost također jednaka 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u proračunima, ali u tornju mikrokalkulator puno pomaže, omogućavajući vam da brojite obični razlomci. Više puta savjetovali i preporučit ću ponovo.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne prave?

Primjer 9

Nađite razmak između dvije paralelne prave

Ovo je još jedan primjer za nezavisno rješenje. Mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina za rješavanje. Razmatranje na kraju lekcije, ali bolje pokušajte sami da pogodite, mislim da ste uspjeli dobro raspršiti svoju domišljatost.

Ugao između dvije linije

Koji god ugao, onda dovratak:


U geometriji se ugao između dvije prave uzima kao MANJI ugao, iz čega automatski slijedi da ne može biti tup. Na slici se ugao označen crvenim lukom ne smatra uglom između linija koje se seku. I njegov “zeleni” susjed ili suprotno orijentisan grimizni kutak.

Ako su linije okomite, tada se za ugao između njih može uzeti bilo koji od 4 ugla.

Kako se uglovi razlikuju? Orijentacija. Prvo, smjer "pomicanja" ugla je fundamentalno važan. Drugo, negativno orijentirani kut piše se sa znakom minus, na primjer, ako .

Zašto sam ovo rekao? Čini se da možete proći sa uobičajenim konceptom ugla. Činjenica je da se u formulama po kojima ćemo pronaći uglove lako može ispostaviti negativan rezultat i ne bi trebalo da vas iznenadi. Ugao sa predznakom minus nije ništa lošiji i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu za negativan ugao, neophodno je strelicom označiti njegovu orijentaciju (u smjeru kazaljke na satu).

Kako pronaći ugao između dvije prave? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite ugao između linija

Odluka i Prvi metod

Razmotrite dvije linije dato jednačinama in opšti pogled:

Ako je ravno nije okomito, onda orijentisan ugao između njih može se izračunati pomoću formule:

Većina veliku pažnju okrenite se nazivniku - to je tačno skalarni proizvod vektori pravca pravih linija:

Ako je , tada nazivnik formule nestaje, a vektori će biti ortogonalni i linije će biti okomite. Zbog toga je stavljena rezerva na neupravnost linija u formulaciji.

Na osnovu prethodno navedenog, rješenje je prikladno formalizirano u dva koraka:

1) Izračunajte skalarni proizvod vektori pravca pravih linija:
tako da linije nisu okomite.

2) Ugao između linija nalazimo po formuli:

Via inverzna funkcija lako pronaći sam ugao. U ovom slučaju koristimo neparnost tangente luka (vidi Sl. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovori:

U odgovoru navodimo tačnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti iu stepenima i radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa, minus, pa minus, u redu je. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće što se ugao pokazao negativno orijentisan, jer je u uslovu zadatka prvi broj prava linija i „uvijanje“ ugla je počelo upravo od nje.

Ako zaista želite da dobijete pozitivan ugao, trebate zamijeniti linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednačine , i uzeti koeficijente iz prve jednadžbe . Ukratko, morate početi s direktnim .

Presjeci na x-osi moraju riješiti jednačinu y₁=y₂, tj. k₁x+b₁=k₂x+b₂.

Transformirajte ovu nejednakost da dobijete k₁x-k₂x=b₂-b₁. Sada izrazite x: x=(b₂-b₁)/(k₁-k₂). Na ovaj način ćete pronaći tačku preseka grafika, koja se nalazi duž ose OX. Pronađite točku presjeka na y-osi. Samo zamijenite u bilo kojoj funkciji vrijednost x koju ste ranije pronašli.

Prethodna opcija je pogodna za grafikone. Ako je funkcija , koristite slijedeća uputstva. Na isti način kao i sa linearna funkcija, pronađite vrijednost x. Da biste to učinili, riješite kvadratnu jednačinu. U jednačini 2x² + 2x - 4=0 pronađite (jednačina je data kao primjer). Da biste to učinili, koristite formulu: D= b² - 4ac, gdje je b vrijednost prije X, a c je numerička vrijednost.

Zamena numeričke vrijednosti, dobiti izraz kao što je D= 4 + 4*4= 4+16= 20. Jednačine zavise od vrijednosti diskriminanta. Sada dodajte ili oduzmite (zauzvrat) korijen od rezultirajućeg diskriminanta vrijednosti varijable b sa znakom “-” i podijelite sa dvostruki proizvod koeficijent a. Tako ćete pronaći korijene jednadžbe, odnosno koordinate presječnih tačaka.

Funkcijski grafovi imaju značajku: osa OX će se preseći dva puta, odnosno naći ćete dve koordinate x-ose. Ako primite periodična vrijednost zavisnost X od Y, tada znajte da graf seče u beskonačnom broju tačaka sa x-osom. Provjerite jeste li pronašli raskrsnice. Da biste to učinili, zamijenite X vrijednosti u jednadžbu f(x)=0.

Izvori:

• Pronalaženje tačaka preseka pravih

Ako znate vrijednost a, onda možete reći da ste riješili kvadratnu jednačinu, jer će se njeni korijeni vrlo lako pronaći.

Trebaće ti

• -formula diskriminanta kvadratne jednačine;
• -Poznavanje tablice množenja

Uputstvo

Povezani video zapisi

Koristan savjet

Diskriminant kvadratne jednadžbe može biti pozitivan, negativan ili jednak 0.

Izvori:

• Odluka kvadratne jednačine
• diskriminatorno je parno

Savjet 3: Kako pronaći koordinate presječnih tačaka grafa funkcija

Graf funkcije y = f (x) je skup svih tačaka u ravnini, koordinate x, za koje one zadovoljavaju odnos y = f (x). Funkcijski graf vizualno ilustrira ponašanje i svojstva funkcije. Za izgradnju grafa obično se odabire nekoliko vrijednosti argumenta x i za njih se izračunavaju odgovarajuće vrijednosti funkcije y=f(x). Za precizniju i vizuelniju konstrukciju grafa, korisno je pronaći njegove presečne tačke sa koordinatnim osa.

Uputstvo

Prilikom prelaska x-ose (X-osa) vrijednost funkcije je 0, tj. y=f(x)=0. Da biste izračunali x, morate riješiti jednačinu f(x)=0. U slučaju funkcije dobijamo jednačinu ax+b=0, i nalazimo x=-b/a.

Dakle, X-osa se siječe u tački (-b/a,0).

U više teški slučajevi, na primjer, u slučaju kvadratne ovisnosti y na x, jednadžba f (x) = 0 ima dva korijena, dakle, x-osa se dvaput siječe. U slučaju zavisnosti y od x, na primer y=sin(x), ima beskonačan broj tačaka preseka sa x-osom.

Da biste provjerili ispravnost pronalaženja koordinata točaka presjeka grafa funkcije sa X osom, potrebno je zamijeniti pronađene vrijednosti x f (x). Vrijednost izraza za bilo koji od izračunatih x mora biti jednaka 0.

Uputstvo

Prvo, potrebno je razgovarati o izboru koordinatnog sistema pogodnog za rješavanje problema. Tipično, u problemima ove vrste, jedan od trouglova se postavlja na osu 0X tako da se jedna tačka poklapa sa ishodištem. Stoga ne biste trebali odstupiti od općeprihvaćenih kanona odluke i učiniti isto (vidi sliku 1). Metoda specificiranja trougla sama po sebi ne igra fundamentalnu ulogu, jer uvijek možete prijeći od jednog od njih do (što možete vidjeti kasnije).

Neka je željeni trougao zadan sa dva vektora njegovih stranica AC i AB a(x1, y1) i b(x2, y2), redom. Štaviše, konstrukcijom y1=0. Treća strana BC-a odgovara c=a-b, c(x1-x2,y1 -y2), prema ovoj ilustraciji. Tačka A se nalazi u početku koordinata, odnosno njenoj koordinate A(0, 0). To je takođe lako uočiti koordinate B (x2, y2), a C (x1, 0). Iz ovoga možemo zaključiti da se definicija trougla pomoću dva vektora automatski poklapala sa njegovom definicijom sa tri tačke.

Zatim, trebate dovršiti željeni trokut do paralelograma ABDC koji mu odgovara po veličini. Štaviše, to u trenutku raskrsnice dijagonale paralelograma, one su podijeljene, tako da je AQ medijan trougla ABC, spušta se od A do stranice BC. Dijagonalni vektor s sadrži ovaj vektor i, prema pravilu paralelograma, geometrijski zbir a i b. Tada je s = a + b, i njegov koordinate s(x1+x2, y1+y2)= s(x1+x2, y2). Isto koordinateće također biti u tački D(x1+x2, y2).

Sada možete nastaviti sa sastavljanjem jednadžbe ravne linije koja sadrži s, medijan AQ i, što je najvažnije, željenu tačku raskrsnice medijana H. Pošto je sam vektor s vodič za ovu pravu, a poznata je i tačka A (0, 0) koja joj pripada, najjednostavnije je koristiti jednadžbu ravne prave u kanonskom obliku: (x -x0) / m =(y-y0)/n Ovdje (x0, y0) koordinate proizvoljna tačka prava linija (tačka A(0, 0)), i (m, n) – koordinate s (vektor (x1+x2, y2). Dakle, željena linija l1 će izgledati ovako: x/(x1+x2)=y/ y2.

Sam način da ga pronađete je na raskrsnici. Stoga treba pronaći još jednu pravu liniju koja sadrži tzv. 1 konstrukcija drugog paralelograma APBC, čija dijagonala g=a+c =g(2x1-x2, -y2) sadrži drugu medijanu CW, spuštenu od C na stranu AB. Ova dijagonala sadrži tačku C(x1, 0), koordinate koji će igrati ulogu (x0, y0), a vektor smjera će ovdje biti g(m, n)=g(2x1-x2, -y2). Odavde je l2 dato jednačinom: (x-x1)/(2 x1-x2)=y/(- y2).

AT stari dani Volio sam kompjutersku grafiku, 2D i 3D, uključujući matematičke vizualizacije. Ono što se zove samo iz zabave, kao student sam napisao program koji vizualizuje N-dimenzionalne figure koje se rotiraju u bilo kojoj dimenziji, iako mi je u praksi bilo dovoljno samo da odredim tačke za 4-D hiperkocku. Ali ovo je samo nagoveštaj. Ljubav prema geometriji ostala je u meni od tada pa do danas, a i dalje volim da rješavam zanimljivih zadataka zanimljive načine.
Jedan od ovih zadataka naišao sam na mene 2010. godine. Sam zadatak je prilično trivijalan: potrebno je pronaći da li se dva 2-D segmenta sijeku, a ako se sijeku, pronaći tačku njihovog sjecišta. Zanimljivije je rješenje koje se, čini mi se, pokazalo prilično elegantnim i koje želim da predložim čitaocu. Ne pretvaram se da sam originalan u algoritmu (iako bih to volio), ali nisam mogao naći slična rješenja na netu.

Zadatak

Data su dva segmenta, od kojih je svaki dan sa dvije tačke: (v11, v12), (v21, v22). Potrebno je utvrditi da li se sijeku, a ako se sijeku, pronaći tačku njihovog ukrštanja.

Odluka

Prvo morate odrediti da li se segmenti sijeku. Neophodan i dovoljno stanje presek koji se mora posmatrati za oba segmenta je sledeći: krajnje tačke jednog od segmenata moraju ležati u različitim poluravninama, ako je ravan podeljena linijom na kojoj leži drugi segment. Pokažimo to crtežom.

Na lijevoj slici (1) prikazana su dva segmenta, za oba je ispunjen uslov, a segmenti se sijeku. Na desnoj (2) slici uslov je ispunjen za segment b, ali za segment a nije ispunjen, odnosno segmenti se ne seku.
Možda se čini da određivanje na kojoj strani linije leži tačka nije trivijalan zadatak, ali strah ima velike oči i sve nije tako teško. Znamo da nam vektorsko množenje dva vektora daje treći vektor, čiji smjer zavisi od toga da li je ugao između prvog i drugog vektora pozitivan ili negativan, respektivno, takva operacija je antikomutativna. Pošto svi vektori leže na X-Y avioni, tada će njihov vektorski proizvod (koji mora biti okomit na pomnožene vektore) imati samo komponentu Z različitu od nule, a razlika u proizvodima vektora će biti samo u ovoj komponenti. Štaviše, pri promeni redosleda množenja vektora (čitaj: ugla između pomnoženih vektora), to će se sastojati isključivo od promene predznaka ove komponente.
Zbog toga možemo vektorski pomnožiti vektor odvajajućeg segmenta u parovima vektorima usmjerenim od početka odvajajućeg segmenta na obje točke provjerenog segmenta.

Ako će Z komponente oba proizvoda imati drugačiji znak, tada je jedan od uglova manji od 0, ali veći od -180, a drugi je veći od 0, odnosno manji od 180, tačke leže duž različite strane sa prave linije. Ako Z komponente oba proizvoda imaju isti znak, tako da leže na istoj strani linije.
Ako je jedna od Z komponenti nula, onda imamo granični slučaj kada tačka leži tačno na liniji koja se provjerava. Ostavimo korisniku da odluči da li želi ovo smatrati raskrsnicom.
Zatim moramo ponoviti operaciju za još jedan segment i pravu liniju, i osigurati da lokacija njegovih krajnjih tačaka također zadovoljava uvjet.
Dakle, ako je sve u redu i oba segmenta zadovoljavaju uslov, onda raskrsnica postoji. Hajde da ga pronađemo, a vektorski proizvod će nam takođe pomoći u tome.
Pošto u vektorskom proizvodu imamo samo Z komponentu različitu od nule, njen modul (dužina vektora) će biti numerički jednak ovoj komponenti. Hajde da vidimo kako pronaći tačku raskrsnice.

Dužina vektorskog proizvoda vektora a i b (kako smo saznali, numerički jednaka njegovoj Z komponenti) jednaka je proizvodu modula ovih vektora i sinusa ugla između njih (|a| |b | sin(ab)). Prema tome, za konfiguraciju na slici imamo sljedeće: |AB x AC| = |AB||AC|sin(α), i |AB x AD| = |AB||AD| sin(β). |AC|sin(α) je okomita iz tačke C na segment AB, a |AD|sin(β) je okomita iz tačke D na segment AB (kraka ADD"). Pošto su uglovi γ i δ vertikalni uglovi, onda su jednaki, što znači da su trouglovi PCC" i PDD" slični i, shodno tome, dužine svih njihovih stranica su jednako proporcionalne.
S obzirom na Z1 (AB x AC, dakle |AB||AC|sin(α)) i Z2 (AB x AD, dakle |AB||AD|sin(β)), možemo izračunati CC"/DD" (što će biti jednak Z1 / Z2), a znajući da je CC "/DD" = CP / DP, lako možete izračunati lokaciju tačke P. Lično, ja to radim ovako:

Px = Cx + (Dx-Cx)*|Z1|/|Z2-Z1|;
Py = Cy + (Dy-Cy)*|Z1|/|Z2-Z1|;

To je sve. Čini mi se da je zaista vrlo jednostavno i elegantno. U zaključku, želim dati kod funkcije koji implementira ovaj algoritam. Funkcija koristi vektor šablona koji je sam napravio , koji je vektorski predložak dimenzije int sa komponentama tipa name. Oni koji žele mogu lako prilagoditi funkciju svojim tipovima vektora.

1 šablon bool are_crossing(vektor const &v11, vektor const &v12, vektor const &v21, vektor const &v22, vektor *ukrštanje) 3 ( 4 vektora cut1(v12-v11), cut2(v22-v21); 5 vektor prod1, prod2; 6 7 prod1 = križ(izrez1 * (v21-v11)); 8 prod2 = križ(izrez1 * (v22-v11)); 9 10 if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // Obrezivanje ivica kućišta također 11 vrati false; 12 13 prod1 = križ(izrez2 * (v11-v21)); 14 prod2 = križ(izrez2 * (v12-v21)); 15 16 if(sign(prod1[Z]) == sign(prod2[Z]) || (prod1[Z] == 0) || (prod2[Z] == 0)) // Obrezivanje ivica kućišta također 17 return false; 18 19 if(crossing) ( // Provjeravamo da li trebamo odrediti točku presjeka 20 (*križanje)[X] = v11[X] + cut1[X]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z ]- prod1[Z]); 21 (*ukrštanje)[Y] = v11[Y] + cut1[Y]*fabs(prod1[Z])/fabs(prod2[Z]-prod1[Z]); 22 ) 23 24 return true; 25)

Lekcija iz serije "Geometrijski algoritmi"

Zdravo dragi čitaoče!

Nastavimo sa upoznavanjem geometrijski algoritmi. U prošloj lekciji smo pronašli jednačinu prave u koordinatama dvije tačke. Imamo jednačinu oblika:

Danas ćemo napisati funkciju koja će, koristeći jednačine dvije prave, pronaći koordinate njihove točke presjeka (ako ih ima). Za provjeru jednakosti realnih brojeva koristit ćemo specijalnu funkciju RealEq().

Tačke na ravni su opisane parom realnih brojeva. Kada koristite realni tip, bolje je organizirati operacije poređenja sa posebnim funkcijama.

Razlog je poznat: ne postoji relacija poretka na tipu Real u Pascal programskom sistemu, pa su unosi oblika a = b, gdje su a i b realni brojevi, bolje je ne koristiti.
Danas ćemo predstaviti funkciju RealEq() za implementaciju “=” (strogo jednake) operacije:

Funkcija RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (strogo jednako) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Zadatak. Date su jednadžbe dvije prave: i . Pronađite njihovu tačku preseka.

Odluka. Očigledno rješenje je riješiti sistem jednadžbi linija: Hajde da prepišemo ovaj sistem malo drugačije:
(1)

Uvodimo notaciju: , , . Ovdje je D determinanta sistema, a predstavljaju determinante dobijene zamjenom stupca koeficijenata za odgovarajuću nepoznatu kolonom slobodnih članova. Ako je , tada je sistem (1) određen, odnosno ima jedinstveno rješenje. Ovo rješenje se može naći pomoću sljedećih formula: , , koje se nazivaju Cramerove formule. Dozvolite mi da vas podsjetim kako se izračunava determinanta drugog reda. Odrednica razlikuje dvije dijagonale: glavnu i sekundarnu. Glavna dijagonala se sastoji od elemenata uzetih u smjeru od gornjeg lijevog ugla determinante prema donjem desnom kutu. Bočna dijagonala - od gornjeg desnog do donjeg lijevog. Determinanta drugog reda jednaka je umnošku elemenata glavne dijagonale minus proizvod elemenata sekundarne dijagonale.

Kod koristi funkciju RealEq() za provjeru jednakosti. Proračuni preko realnih brojeva se vrše sa tačnošću do _Eps=1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real=1e-7;(preciznost proračuna) var a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y,d,dx,dy:Real; Funkcija RealEq(Const a, b:Real):Boolean; (strogo jednako) begin RealEq:=Abs(a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Sastavili smo program pomoću kojeg možete, znajući jednačine pravih, pronaći koordinate njihove točke presjeka.