Interpolacija. Uvod. Opća izjava o problemu

Prilikom rješavanja različitih praktičnih zadataka, rezultati istraživanja se sastavljaju u obliku tabela koje pokazuju ovisnost jedne ili više mjerenih veličina od jednog definirajućeg parametra (argumenta). Takve tabele se obično prikazuju u obliku dva ili više reda (kolona) i koriste se za formiranje matematičkih modela.

Tabelarno u matematički modeli funkcije se obično pišu u tablicama oblika:

Y1(X)	Y(X0)	Y(X1)		Y(Xn)
Ym(X)	Y(X0)	Y(X1)		Y(Xn)

Ograničene informacije koje pružaju takve tabele, u nekim slučajevima zahtevaju dobijanje vrednosti funkcija Y j (X) (j=1,2,…,m) u tačkama X koje se ne poklapaju sa čvornim tačkama tabele X i (i=0,1,2,… ,n). U takvim slučajevima potrebno je odrediti neki analitički izraz φ j (X) za izračunavanje približnih vrijednosti istraživane funkcije Y j (X) u proizvoljno određenim tačkama X . Funkcija φ j (X) koja se koristi za određivanje približnih vrijednosti funkcije Y j (X) naziva se aproksimirajuća funkcija (od latinskog approximo - približavanje). Blizina aproksimirajuće funkcije φ j (X) aproksimiranoj funkciji Y j (X) osigurava se izborom odgovarajućeg algoritma aproksimacije.

Sve dalja razmatranja i izvući ćemo zaključke za tabele koje sadrže početne podatke jedne istraživane funkcije (tj. za tabele sa m=1).

1. Metode interpolacije

1.1 Izjava o problemu interpolacije

Najčešće se za određivanje funkcije φ(X) koristi iskaz koji se naziva iskaz interpolacionog problema.

U ovoj klasičnoj formulaciji interpolacionog problema potrebno je odrediti približnu analitičku funkciju φ(X) čije vrijednosti u čvornim točkama X i odgovaraju vrijednostima Y(X i ) originalne tabele, tj. uslovima

ϕ (X i )= Y i (i = 0,1,2,...,n )

Ovako konstruirana aproksimirajuća funkcija φ(X) omogućava da se dobije dovoljno bliska aproksimacija interpoliranoj funkciji Y(X) unutar raspona vrijednosti argumenta [X 0 ; X n ], definisano tabelom. Prilikom postavljanja vrijednosti argumenta X, nije u vlasništvu u ovom intervalu, zadatak interpolacije se pretvara u zadatak ekstrapolacije. U ovim slučajevima, tačnost

vrijednosti dobivene pri izračunavanju vrijednosti funkcije φ(X) zavise od udaljenosti vrijednosti argumenta X od X 0 ako je X<Х 0 , или отХ n , еслиХ >Xn.

At matematičko modeliranje interpolirajuća funkcija se može koristiti za izračunavanje približnih vrijednosti funkcije koja se proučava u srednjim točkama podintervala [H i ; Xi+1]. Takav postupak se zove pečat stola.

Algoritam interpolacije određen je metodom izračunavanja vrijednosti funkcije φ(X). Najjednostavnija i najočitija implementacija interpolacijske funkcije je zamjena istraživane funkcije Y(X) na intervalu [X i ; H i+1 ] segmentom koji povezuje tačke Y i , Y i+1 . Ova metoda se naziva metodom linearne interpolacije.

1.2 Linearna interpolacija

Linearnom interpolacijom, vrijednost funkcije u tački X, koja se nalazi između čvorova X i i X i+1, određena je formulom prave linije koja povezuje dvije susjedne tačke tabele

Y(X) = Y(Xi )+	Y(Xi + 1 ) − Y(Xi )	(X − Xi ) (i= 0,1,2, ...,n),
	Xi+ 1−Xi

Na sl. 1 prikazan je primjer tabele dobijene kao rezultat mjerenja određene vrijednosti Y(X) . Redovi izvorne tabele su istaknuti. Desno od tabele nalazi se dijagram raspršenosti koji odgovara ovoj tabeli. Sažimanje tablice se vrši računanjem po formuli

(3) vrijednosti funkcije koja se aproksimira u tačkama H koje odgovaraju sredinama podintervala (i=0, 1, 2, …, n).

Fig.1. Zbijena tablica funkcije Y(X) i njen odgovarajući dijagram

Kada se uzme u obzir graf na sl. 1 se vidi da tačke dobijene kao rezultat sažimanja tabele metodom linearne interpolacije leže na segmentima pravih linija koje spajaju tačke originalne tabele. Linearna tačnost

interpolacije, bitno zavisi od prirode interpolirane funkcije i od udaljenosti između čvorova tablice X i, , X i+1 .

Očigledno, ako je funkcija glatka, onda, čak i uz relativno veliku udaljenost između čvorova, graf konstruiran spajanjem tačaka s ravnim segmentima omogućava prilično preciznu procjenu prirode funkcije Y(X). Ako se funkcija mijenja dovoljno brzo, a udaljenosti između čvorova su velike, tada linearna interpolirajuća funkcija ne dozvoljava dobivanje dovoljno precizne aproksimacije realnoj funkciji.

Funkcija linearne interpolacije može se koristiti za opću preliminarnu analizu i ocjenu ispravnosti rezultata interpolacije, koji se zatim dobijaju drugim više preciznim metodama. Takva procjena postaje posebno relevantna u slučajevima kada se proračuni izvode ručno.

1.3 Interpolacija kanonskim polinomom

Metoda interpolacije funkcije kanonskim polinomom temelji se na konstruiranju interpolacijske funkcije kao polinoma u obliku [1]

ϕ (x) = Pn (x) = c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn

Koeficijenti sa i polinoma (4) su slobodni interpolacijski parametri, koji se određuju iz Lagrangeovih uslova:

Pn (xi )= Yi , (i= 0 , 1 , ... , n)

Koristeći (4) i (5), zapisujemo sistem jednačina

	Cx+ cx2				C xn = Y
	Cx+ cx2				Cxn
			Cx2			C xn = Y

Vektor rješenja sa i (i = 0, 1, 2, …, n ) sistema linearnih algebarske jednačine(6) postoji i može se naći ako među i čvorovima nema odgovarajućih čvorova. Determinanta sistema (6) naziva se Vandermondeova determinanta1 i ima analitički izraz [2].

1 Vandermondeova determinanta zove se determinanta

Ona je nula ako i samo ako je xi = xj za neke. (Materijal sa Wikipedije - slobodne enciklopedije)

Odrediti vrijednosti koeficijenata sa i (i = 0, 1, 2, …, n)

jednadžbe (5) se mogu napisati u vektorsko-matričnom obliku

A* C=Y,

gdje je A matrica koeficijenata određena tablicom snaga vektora argumenata X= (x i 0 , x i , x i 2 , … , x i n ) T (i = 0, 1, 2, … , n)

				x0 2		x0 n
				xn 2		xn n

C je vektor stupac koeficijenata i (i = 0, 1, 2, …, n), a Y je vektor stupac vrijednosti Y i (i = 0, 1, 2, …, n) interpolirane funkcija na interpolacijskim čvorovima.

Rješenje ovog sistema linearnih algebarskih jednadžbi može se dobiti jednom od metoda opisanih u [3]. Na primjer, prema formuli

S = A− 1 Y,

gdje je A -1 matrica inverzna matrici A. Primiti inverzna matrica I -1, možete koristiti MOBR() funkciju uključenu u set standardne karakteristike programe Microsoft Excel.

Nakon što se utvrde vrijednosti koeficijenata sa i, pomoću funkcije (4), vrijednosti interpolirane funkcije mogu se izračunati za bilo koju vrijednost argumenata.

Napišimo matricu A za tabelu prikazanu na slici 1, ne uzimajući u obzir redove koji sažimaju tabelu.

Slika 2 Matrica sistema jednadžbi za izračunavanje koeficijenata kanonskog polinoma

Koristeći MOBR() funkciju, dobijamo matricu A -1 inverznu matrici A (slika 3). Zatim, prema formuli (9), dobijamo vektor koeficijenata S=(c 0 , c 1 , c 2 , …, c n ) T prikazan na sl. 4.

Da bismo izračunali vrijednosti kanonskog polinoma u ćeliji kanonskog stupca Y koji odgovara vrijednostima 0, uvodimo pretvorenu u sledeća vrsta formula koja odgovara nultoj liniji sistema (6)

=((((c 5	* x 0 + c 4 ) * x 0 + c 3 ) * x 0 + c 2 ) * x 0 + c 1 ) * x 0 + c 0

C0 +x *(c1 + x *(c2 + x*(c3 + x*(c4 + x* c5 ))))

Umjesto pisanja " c i " u formulu se unosi u ćeliju Excel tabele, mora postojati apsolutna referenca na odgovarajuću ćeliju koja sadrži ovaj koeficijent (vidi sliku 4). Umjesto "x 0" - relativna referenca na kolonu X (vidi sliku 5).

Y kanonski (0) vrijednosti koja odgovara vrijednosti u ćeliji Y lin (0) . Kada prevlačite formulu napisanu u ćeliji Y canonical (0), vrijednosti Y canonical (i) također se moraju podudarati, što odgovara točkama čvora originala

tabele (vidi sliku 5).

Rice. 5. Dijagrami građeni prema tablicama linearne i kanonske interpolacije

Poređenjem grafova funkcija izgrađenih prema tablicama izračunatim korištenjem formula linearne i kanonske interpolacije, vidimo u nizu međučvorova značajno odstupanje vrijednosti dobivenih formulama linearne i kanonske interpolacije. Moguće je razumnije suditi o tačnosti interpolacije na osnovu dobijanja Dodatne informacije o prirodi procesa koji se modelira.

Interpolacija je vrsta aproksimacije u kojoj kriva konstruisane funkcije prolazi tačno kroz dostupne tačke podataka.

Postoji i problem blizak interpolaciji, koji se sastoji u aproksimaciji nekih složena funkcija druga, jednostavnija funkcija. Ako je određena funkcija previše složena za produktivne proračune, možete pokušati izračunati njenu vrijednost u nekoliko tačaka i od njih izgraditi, odnosno interpolirati, više jednostavna funkcija. Naravno, upotreba pojednostavljene funkcije ne dozvoljava vam da dobijete iste točne rezultate kao što bi dala originalna funkcija. Ali u nekim klasama problema, dobitak u jednostavnosti i brzini proračuna može nadmašiti rezultirajuću grešku u rezultatima.

Treba spomenuti i potpuno drugačiju vrstu matematičke interpolacije, poznatu kao "interpolacija operatora". Klasični radovi na interpolaciji operatora uključuju Riesz-Thorinov teorem i Marcinkiewiczovu teoremu, koji su osnova za mnoge druge radove.

Definicije

Razmotrimo sistem nepodudarnih tačaka () iz neke oblasti. Neka su vrijednosti funkcije poznate samo u ovim točkama:

Problem interpolacije je pronaći takvu funkciju iz date klase funkcija koja

Primjer

1. Neka imamo funkcija tablice, poput onog ispod, koji, za više vrijednosti, definira odgovarajuće vrijednosti:

0	0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolacija nam pomaže da saznamo koju vrijednost takva funkcija može imati u točki koja nije navedena (na primjer, kada x = 2,5).

Do danas ih ima mnogo razne načine interpolacija. Izbor najpogodnijeg algoritma zavisi od odgovora na pitanja: koliko je odabrana metoda tačna, kolika je cena njenog korišćenja, koliko je glatka interpolaciona funkcija, koliko podataka zahteva, itd.

2. Pronađite međuvrijednost (linearnom interpolacijom).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

Metode interpolacije

Interpolacija najbližeg susjeda

Najjednostavniji metod interpolacije je interpolacija najbližeg susjeda.

Interpolacija polinomima

U praksi se najčešće koristi interpolacija polinomima. To je prvenstveno zbog činjenice da je polinome lako izračunati, da je lako analitički pronaći njihove derivate, a skup polinoma je gust u prostoru kontinuirane funkcije(Weierstrassov teorem).

• IMN-1 i IMN-2
• Lagrangeov polinom (interpolacijski polinom)
• Aitkenova šema

Reverzna interpolacija (izračunavanje x datog y)

• Inverzna interpolacija Newtonovom formulom

Interpolacija multi-varijabilne funkcije

Druge metode interpolacije

• Trigonometrijska interpolacija

Povezani koncepti

• Ekstrapolacija - metode za pronalaženje tačaka izvana specificirani interval(proširenje krivulje)
• Aproksimacija - metode za konstruisanje približnih krivulja

vidi takođe

• Izglađivanje podataka eksperimenta

Wikimedia fondacija. 2010 .

Sinonimi:

Pogledajte šta je "Interpolacija" u drugim rječnicima:

1) način da se iz niza datih vrednosti bilo kog matematičkog izraza odrede njegove međuvrednosti; pa se, na primjer, prema dometu topovskog đula pod uglom elevacije ose topovskog kanala od 1°, 2°, 3°, 4°, itd., može odrediti pomoću ... ... Vokabular strane reči ruski jezik

Umetanje, interpolacija, uključivanje, pretraživanje Rječnik ruskih sinonima. interpolacija vidi umetak Rječnik sinonima ruskog jezika. Praktični vodič. M.: Ruski jezik. Z. E. Aleksandrova. 2… Rečnik sinonima

interpolacija- Izračunavanje međuvrijednosti između dvije poznate tačke. Na primjer: linearna linearna interpolacija eksponencijalna interpolacija Proces izlaza slike u boji kada pikseli pripadaju području između dvije boje ... ... Priručnik tehničkog prevodioca

- (interpolacija) Procjena vrijednosti nepoznate vrijednosti između dvije tačke niza poznatih vrijednosti. Na primjer, znajući pokazatelje stanovništva zemlje, dobijene tokom popisa, koji se sprovodi u intervalima od 10 godina, možete ... ... Pojmovnik poslovnih pojmova

Od latinskog zapravo "lažna". Ovo je naziv dat pogrešnim ispravkama ili kasnijim umetanjima u rukopise koje su napravili pisari ili čitaoci. Posebno se često ovaj izraz koristi u kritici rukopisa antičkih pisaca. U ovim rukopisima... Literary Encyclopedia

Pronalaženje međuvrijednosti neke pravilnosti (funkcije) po broju njenih poznatih vrijednosti. Na engleskom: Interpolation Vidi također: Transformacije podataka Finam Financial Dictionary... Finansijski vokabular

interpolacija- i dobro. interpolacija f. lat. promjena interpolacije; izmjena, izobličenje. 1. Umetak kasnijeg porijekla u kojem l. tekst koji ne pripada originalu. ALS 1. Postoje mnoge interpolacije koje su napravili pisari u drevnim rukopisima. Ush. 1934. 2 ... Historical dictionary galicizmi ruskog jezika

INTERPOLACIJA- (interpolatio), završetak empiricha. niz vrijednosti bilo koje veličine prema njenim nedostajućim međuvrijednostima. Interpolacija se može izvršiti na tri načina: matematički, grafički. i logično. Oni se zasnivaju na opštoj hipotezi da ... Veliki medicinska enciklopedija

- (od latinskog interpolatio promjena, izmjena), traženje međuvrijednosti veličine prema nekoj od njenih poznatih vrijednosti. Na primjer, pronalaženje vrijednosti funkcije y = f(x) u tačkama x koje leže između tačaka x0 i xn, x0 ... Moderna enciklopedija

- (od lat. interpolatio promjena promjene), u matematici i statistici, traženje međuvrijednosti ​​veličine prema nekoj od njenih poznatih vrijednosti. Na primjer, pronalaženje vrijednosti funkcije f (x) u tačkama x koje leže između tačaka xo x1 ... xn, prema ... ... Veliki enciklopedijski rječnik

Ovaj izraz ima druga značenja, vidi Interpolacija. O funkciji pogledajte: Interpolant.

Interpolacija, interpolacija (od lat. interpolis - « izglađen, obnovljen, obnovljen; konvertovan"") - u računarskoj matematici, način za pronalaženje međuvrijednosti veličine iz postojećeg diskretnog skupa poznate vrednosti. Termin "interpolacija" prvi je upotrijebio John Vallis u svojoj raspravi Aritmetika beskonačnog (1656.).

U funkcionalnoj analizi, interpolacija linearnih operatora je dio koji Banahove prostore smatra elementima određene kategorije.

Mnogi od onih koji se bave naučnim i inženjerskim proračunima često moraju da rade na skupovima vrednosti ​​dobijenih iskustvom ili metodom. slučajni uzorak. Po pravilu, na osnovu ovih skupova potrebno je konstruisati funkciju na kojoj bi se mogla visoka preciznost da dobijete druge primljene vrijednosti. Takav zadatak se naziva aproksimacija. Interpolacija je vrsta aproksimacije u kojoj kriva konstruisane funkcije prolazi tačno kroz dostupne tačke podataka.

Postoji i problem blizak interpolaciji, koji se sastoji u aproksimaciji neke složene funkcije drugom, jednostavnijom funkcijom. Ako je određena funkcija previše složena za produktivne proračune, možete pokušati izračunati njenu vrijednost u nekoliko tačaka i od njih izgraditi, odnosno interpolirati, jednostavniju funkciju. Naravno, upotreba pojednostavljene funkcije ne dozvoljava da se dobije ista tačne rezultate, što bi dalo originalnu funkciju. Ali u nekim klasama problema, dobitak u jednostavnosti i brzini proračuna može nadmašiti rezultirajuću grešku u rezultatima.

Treba spomenuti i potpuno drugačiju vrstu matematičke interpolacije, poznatu kao "interpolacija operatora". Klasični radovi na interpolaciji operatora uključuju Riesz-Thorinov teorem i Marcinkiewiczovu teoremu, koji su osnova za mnoge druge radove.

Definicije

Razmotrimo sistem nepodudarnih tačaka x i (\displaystyle x_(i)) (i ∈ 0 , 1 , … , N (\displaystyle i\in (0,1,\dots ,N))) iz neke domene D ( \displaystyle D) . Neka su vrijednosti funkcije f (\displaystyle f) poznate samo u ovim točkama:

Y i = f (x i) , i = 1 , … , N . (\displaystyle y_(i)=f(x_(i)),\quad i=1,\ldots ,N.)

Problem interpolacije je pronaći funkciju F (\displaystyle F) iz date klase funkcija tako da

F (x i) = y i , i = 1 , … , N . (\displaystyle F(x_(i))=y_(i),\quad i=1,\ldots ,N.)

• Pozivaju se tačke x i (\displaystyle x_(i)). interpolacijski čvorovi, a njihova ukupnost je interpolaciona mreža.
• Parovi (x i , y i) (\displaystyle (x_(i),y_(i))) se nazivaju tačke podataka ili bazne tačke.
• Razlika između "susednih" vrednosti Δ x i = x i − x i − 1 (\displaystyle \Delta x_(i)=x_(i)-x_(i-1)) - korak interpolacijske mreže. Može biti i varijabilna i konstantna.
• Funkcija F (x) (\displaystyle F(x)) - interpolirajuća funkcija ili interpolant.

Primjer

1. Recimo da imamo tabličnu funkciju poput one ispod koja, za višestruke vrijednosti x (\displaystyle x), određuje odgovarajuće vrijednosti f (\displaystyle f):

X (\displaystyle x) f (x) (\displaystyle f(x))

0
1	0,8415
2	0,9093
3	0,1411
4	−0,7568
5	−0,9589
6	−0,2794

Interpolacija nam pomaže da znamo koju vrijednost takva funkcija može imati u tački koja nije navedena (na primjer, kada x = 2,5).

Do danas postoji mnogo različitih metoda interpolacije. Izbor najpogodnijeg algoritma zavisi od odgovora na pitanja: koliko je odabrana metoda tačna, kolika je cena njenog korišćenja, koliko je glatka interpolaciona funkcija, koliko podataka zahteva, itd.

2. Pronađite međuvrijednost (linearnom interpolacijom).

6000	15.5
6378	?
8000	19.2

15,5 + (6378 − 6000) 8000 − 6000 ∗ (19,2 − 15,5) 1 = 16,1993 (\displaystyle ?=15,5+(\frac ((6378-6000))(8000-6000)(8000-6000) (1993) 15.5))(1))=16.1993)

U programskim jezicima

Primjer linearne interpolacije za funkciju y = 3 x + x 2 (\displaystyle y=3x+x^(2)) . Korisnik može unijeti broj između 1 i 10.

Fortran

program interpol cijeli broj i realni x, y, xv, yv, yv2 dimenzija x(10) dimenzija y(10) poziv prisv(x, i) poziv func(x, y, i) write(*,*) "unesite broj: " pročitaj(*,*) xv ako ((xv >= 1).i.(xv xv)) onda je yv2 = ((xv - x(i)) * (y(i+1) - y(i)) / (x(i+1) - x(i))) + y(i) kraj ako end do kraj podrutine

C++

int main() ( system("COLOR 0A"); dupli ob, x1, x2, y1, y2, p1, p2, pi, skolko, status; system("echo Interpoliraj X1 - X2 "); system("echo Enter broj: "); cin >> ob; system("echo Na primjer 62, C1 = 60, L1 = 1,31, C2 = 80, L2 = 1,29"); cout > x1; cout > x2; cout > y1; cout > y2 ; p1 = y1 - x1; p2 = y2 - x2; pi = p2 / p1; skolko = ob - x1; status = x2 + (pi * skolko); cout

Metode interpolacije

Interpolacija najbližeg susjeda

Najjednostavniji metod interpolacije je interpolacija najbližeg susjeda.

Interpolacija polinomima

U praksi se najčešće koristi interpolacija polinomima. To je prvenstveno zbog činjenice da je polinome lako izračunati, da je lako analitički pronaći njihove derivate, a skup polinoma je gust u prostoru kontinuiranih funkcija (Weierstrassov teorem).

• Linearna interpolacija
• Njutnova formula za interpolaciju
• Metoda konačnih razlika
• IMN-1 i IMN-2
• Lagrangeov polinom (interpolacijski polinom)
• Aitkenova šema
• spline funkcija
• kubni spline

Reverzna interpolacija (izračunavanje x datog y)

• Lagrangeov polinom
• Inverzna interpolacija Newtonovom formulom
• Inverzna Gausova interpolacija

Interpolacija multi-varijabilne funkcije

• Bilinearna interpolacija
• Bikubna interpolacija

Druge metode interpolacije

• Rational Interpolation
• Trigonometrijska interpolacija

Povezani koncepti

• Ekstrapolacija - metode za pronalaženje tačaka izvan datog intervala (proširenje krivulje)
• Aproksimacija - metode za konstruisanje približnih krivulja

Reverzna interpolacija

na klasi funkcija iz prostora C2 čiji grafovi prolaze kroz tačke niza (xi, yi), i = 0, 1, . . . , m.

Odluka. Među svim funkcijama koje prolaze kroz referentne tačke (xi, f(xi)) i pripadaju pomenutom prostoru, kubni splajn S(x) zadovoljava granične uslove S00(a) = S00(b) = 0 koji obezbeđuje ekstremni (minimalni) funkcionalni I(f).

Često se u praksi javlja problem traženja date vrijednosti funkcije vrijednosti argumenta. Ovaj problem se rješava metodama reverzne interpolacije. Ako a datu funkciju je monotona, tada se obrnuta interpolacija najlakše izvodi zamjenom funkcije argumentom i obrnuto, a zatim interpolacijom. Ako data funkcija nije monotona, onda se ova tehnika ne može koristiti. Zatim, bez mijenjanja uloga funkcije i argumenta, zapisujemo ovu ili onu formulu interpolacije; koristeći poznate vrijednosti argumenta i, pod pretpostavkom da je funkcija poznata, rješavamo rezultirajuću jednadžbu u odnosu na argument.

Procjena ostatka člana pri korištenju prvog trika bit će ista kao kod direktne interpolacije, samo se derivati ​​direktne funkcije moraju zamijeniti derivatima od inverzna funkcija. Procijenimo grešku druge metode. Ako nam je data funkcija f(x) i Ln (x) je Lagrangeov interpolacijski polinom konstruiran za ovu funkciju preko čvorova x0, x1, x2, . . . , xn, onda

f (x) − Ln (x) =(n + 1)! (x − x0) . . . (x − xn) .

Pretpostavimo da trebamo pronaći vrijednost x¯ takvu da je f (¯x) = y¯ (y¯ je dato). Riješit ćemo jednačinu Ln (x) = y¯ . Hajde da dobijemo neku vrednost x¯. Zamjenom prethodne jednačine dobijamo:

Mn+1

f (x¯) − Ln (x¯) = f (x¯) − y¯ = f (x¯) − f (¯x) =
Primjenom Langrangeove formule dobijamo
(x¯ − x¯) f0 (η) =
gdje je η između x¯ i x¯. If je interval koji sadrži x¯ i x¯ i min

iz posljednjeg izraza slijedi:

|x¯ − x¯| 6m1(n+1)! |$n (x¯)| .

U ovom slučaju, naravno, pretpostavlja se da smo tačno riješili jednačinu Ln (x) = y¯.

Korištenje interpolacije za tabeliranje

Teorija interpolacije ima primjenu u sastavljanju tablica funkcija. Nakon što dobije takav problem, matematičar mora riješiti niz pitanja prije nego što započne proračune. Mora se odabrati formula po kojoj će se izvršiti proračuni. Ova formula se može razlikovati od lokacije do stranice. Obično su formule za izračunavanje vrijednosti funkcije glomazne i stoga se koriste za dobivanje nekih referentnih vrijednosti, a zatim, podtabulacijom, zgušnjavaju tablicu. Formula koja daje referentne vrijednosti funkcije mora osigurati potrebnu točnost tabela, uzimajući u obzir sljedeću podtabulaciju. Ako želite da sastavite tabele sa konstantnim korakom, prvo morate odrediti njegov korak.

Natrag Prvi Prethodni Sljedeći Zadnji Preskoči indeks

Najčešće se tablice funkcija sastavljaju tako da je moguća linearna interpolacija (tj. interpolacija korištenjem prva dva člana Taylorove formule). U ovom slučaju, preostali termin će izgledati ovako

R1 (x) =f00 (ξ)h2t(t − 1).

Ovdje ξ pripada intervalu između dvije susjedne tablične vrijednosti argumenta u kojem se nalazi x, a t je između 0 i 1. Proizvod t(t − 1) uzima najveći modul

vrijednost na t = 12. Ova vrijednost je jednaka 14. dakle,

Mora se imati na umu da će se pored ove greške - greške metode, u praktičnom izračunavanju međuvrijednosti, i dalje pojaviti nepopravljiva greška i greška zaokruživanja. Kao što smo ranije vidjeli, fatalna greška u linearnoj interpolaciji bit će jednaka pogrešci tabeliranih vrijednosti funkcije. Greška zaokruživanja će zavisiti od računskih sredstava i od programa za proračun.

Natrag Prvi Prethodni Sljedeći Zadnji Preskoči indeks

Predmetni indeks

podijeljene razlike drugog reda, 8 prvog reda, 8

spline, 15

interpolacijski čvorovi, 4

Natrag Prvi Prethodni Sljedeći Zadnji Preskoči indeks

/ Material_studentam_po_RGR_BZhD / Kako napraviti interpolaciju

Formula za interpolaciju tabelarnih podataka

Koristi se u 2. koraku, kada je količina NXR (Q, t) iz stanja je između 100 t i 300 t.

(Izuzetak: ako je Q jednako 100 ili 300 po uslovu, tada interpolacija nije potrebna).

y o- Vaša početna količina NHR-a iz stanja, u tonama

(odgovara slovu Q)

y 1 – manje

(iz tabela 11-16, obično 100).

y 2 – više najbliže vašoj vrijednosti količine NCR, u tonama

(iz tabela 11-16, obično 300).

x 1 y 1 (x 1 nalazi se nasuprot y 1 ), km.

x 2 - tabelarna vrijednost dubine širenja oblaka kontaminiranog zraka (G t), odn. y 2 (x 2 nalazi se nasuprot y 2 ), km.

x 0 - željena vrijednost G t odgovarajući y o(prema formuli).

Primjer.

NCR - hlor; Q = 120 t;

Tip SVSP (stepen vertikalnog otpora vazduha) - inverzija.

Naći G t- tabelarna vrijednost dubine širenja oblaka kontaminiranog zraka.

Pregledamo tabele 11-16 i pronađemo podatke koji odgovaraju vašem stanju (hlor, inverzija).

Pogodan sto 11.

Odabir vrijednosti y 1 , y 2, x 1 , x 2 . Bitan - uzimamo brzinu vjetra 1 m / s., uzimamo temperaturu - 20 ° C.

Zamijenite odabrane vrijednosti u formuli i pronađite x 0 .

Bitan - proračun je tačan ako x 0 imaće vrednost negde između x 1 , x 2 .

1.4. Lagrangeova interpolaciona formula

Algoritam koji je predložio Lagrange za konstruisanje interpolacije

funkcije prema tabelama (1) omogućavaju konstrukciju interpolacionog polinoma Ln(x) u obliku

Očigledno, ispunjenje uslova (11) za (10) određuje ispunjenost uslova (2) iskaza interpolacionog problema.

Polinomi li(x) zapisuju se na sljedeći način

Imajte na umu da nijedan faktor u nazivniku formule (14) nije jednak nuli. Nakon što ste izračunali vrijednosti konstanti ci, možete ih koristiti za izračunavanje vrijednosti interpolirane funkcije u datim tačkama.

Lagranževa interpolaciona polinomska formula (11), uzimajući u obzir formule (13) i (14), može se napisati kao

qi (x − x0)(x − x1) K (x − xi −1)(x − xi +1) K (x − xn)

1.4.1.Organizacija ručnih proračuna prema Lagrangeovoj formuli

Direktna primjena Lagrangeove formule dovodi do velikog broja proračuna istog tipa. Za tablice malih dimenzija ovi proračuni se mogu izvoditi i ručno i u softverskom okruženju.

U prvoj fazi razmatramo algoritam proračuna koji se izvodi ručno. U budućnosti, iste proračune treba ponoviti u okruženju

Microsoft Excel ili OpenOffice.org Calc.

Na sl. 6 prikazuje primjer izvorne tablice interpolirane funkcije definirane sa četiri čvora.

Fig.6. Tabela koja sadrži početne podatke za četiri čvora interpolirane funkcije

U treću kolonu tabele upisujemo vrednosti koeficijenata qi izračunate po formulama (14). Ispod je zapis ovih formula za n=3.

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3)q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3)(16) q2=Y2/( x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3)q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

Sljedeći korak u implementaciji ručnih proračuna je izračunavanje vrijednosti li(x) (j=0,1,2,3), izvršeno po formulama (13).

Napišimo ove formule za verziju tabele koju razmatramo sa četiri čvora:

l0(x)=q0(x-x1) (x-x2) (x-x3),

l1(x)=q1(x-x0) (x-x2) (x-x3),

l2(x)=q2(x-x0)(x-x1)(x-x3),(17) l3(x)=q3(x-x0)(x-x1)(x-x2) .

Izračunajmo vrijednosti polinoma li(xj) (j=0,1,2,3) i zapišemo ih u ćelije tabele. Vrijednosti funkcije Ycalc(x), prema formuli (11), dobiće se kao rezultat zbrajanja vrijednosti li(xj) u redovima.

Format tabele, koja uključuje kolone izračunatih vrednosti li(xj) i kolonu vrednosti Ycalc(x), prikazan je na Sl.8.

Rice. 8. Tabela sa rezultatima ručnih proračuna izvedenih po formulama (16), (17) i (11) za sve vrijednosti argumenta xi

Nakon završetka formiranja tabele prikazane na sl. 8, po formulama (17) i (11) moguće je izračunati vrijednost interpolirane funkcije za bilo koju vrijednost argumenta X. Na primjer, za X=1 izračunavamo vrijednosti li(1) (i= 0,1,2,3):

l0(1)=0,7763; l1(1)= 3,5889; l2(1)=-1,5155;l3(1)=0,2966.

Zbrajanjem vrijednosti li(1) dobijamo vrijednost Yinterp(1)=3.1463.

1.4.2. Implementacija algoritma interpolacije po Lagrangeovim formulama u okruženju programa Microsoft Excel

Implementacija algoritma interpolacije počinje, kao i kod ručnih proračuna, pisanjem formula za izračunavanje koeficijenata qi. 9 prikazuje kolone tabele sa date vrijednosti argument, interpolirana funkcija i koeficijenti qi. Desno od ove tabele nalaze se formule koje su upisane u ćelije kolone C za izračunavanje vrednosti koeficijenata qi.

VS2: "=B2/((A2-A3)*(A2-A4)*(A2-A5))" Æ q0

c3: "=B3/((A3-A4)*(A3-A5)*(A3-A2))" Æ q1

c4: "=B4/((A4-A5)*(A4-A2)*(A4-A3))" Æ q2

vS5: "=B5/((A5-A2)*(A5-A3)*(A5-A4))" Æ q3

Rice. 9 Tabela koeficijenata qi i formule za proračun

Nakon unosa formule q0 u ćeliju C2, ona se provlači kroz ćelije od C3 do C5. Nakon toga, formule u ovim ćelijama se koriguju u skladu sa (16) na oblik prikazan na sl. devet.

Ycalc(xi),

Implementirajući formule (17), upisujemo formule za izračunavanje vrijednosti li(x) (i=0,1,2,3) u ćelije kolona D, E, F i G. U ćeliju D2 za izračunavanje vrijednosti l0(x0), pišemo formulu:

=$C$2*($A2-$A$3)*($A2-$A$4)*($A2-$A$5),

dobijamo vrednosti l0 (xi) (i=0,1,2,3).

Format veze $A2 omogućava vam da rastegnete formulu duž kolona E, F, G da biste formirali proračunske formule za izračunavanje li(x0) (i=1,2,3). Prevlačenje formule preko reda ne mijenja indeks stupca argumenata. Za izračunavanje li(x0) (i=1,2,3) nakon crtanja formule l0(x0) potrebno ih je ispraviti prema formulama (17).

U kolonu H staviti Excel formule za sabiranje li(x) po formuli

(11) algoritam.

Na sl. 10 prikazuje tabelu implementiranu u okruženju Microsoft programi Excel. Oznaka ispravnosti formula upisanih u ćelije tabele i izvršenih računskih operacija je rezultujuća dijagonalna matrica li(xj) (i=0,1,2,3),(j=0,1,2, 3), ponavljajući rezultate prikazane na sl. 8, i stupac vrijednosti koje se podudaraju s vrijednostima interpolirane funkcije u čvorovima originalne tablice.

Rice. 10. Tabela vrijednosti li(xj) (j=0,1,2,3) i Ycalc(xj)

Za izračunavanje vrijednosti u nekim međutočkama, dovoljno je

U ćelije kolone A, počevši od ćelije A6, unesite vrijednosti argumenta X za koji želite da odredite vrijednosti interpolirane funkcije. Istaknite

u posljednjem (5.) redu tablice ćelija od l0(xn) do Ycalc(xn) i rastegnite formule napisane u odabranim ćelijama na red koji sadrži posljednju

datu vrijednost argumenta x.

Na sl. 11 prikazuje tabelu u kojoj se izračunava vrijednost funkcije u tri boda: x=1, x=2 i x=3. Dodatna kolona sa brojevima redova tabele izvornih podataka je uvedena u tabelu.

Rice. 11. Proračun vrijednosti interpoliranih funkcija pomoću Lagrangeovih formula

Radi veće jasnoće prikaza rezultata interpolacije, konstruisaćemo tabelu koja uključuje kolonu vrednosti argumenta X poredanih u rastućem redosledu, kolonu početnih vrednosti funkcije Y(X) i kolonu

Reci mi kako da koristim interpolacionu formulu i koju u rješavanju problema iz termodinamike (toplinska tehnika)

Ivan Shestakovich

Najjednostavnija, ali često nedovoljno precizna interpolacija je linearna. Kada već imate dvije poznate točke (X1 Y1) i (X2 Y2) i trebate pronaći Y vrijednosti dana nekog X koji je između X1 i X2. Tada je formula jednostavna.
Y \u003d (Y2-Y1) * (X-X1) / (X2-X1) + Y1
Inače, ova formula radi i za vrijednosti X izvan intervala X1..X2, ali se to već zove ekstropolacija i, na značajnoj udaljenosti od ovog intervala, daje vrlo veliku grešku.
Postoje mnoge druge prostirke. metode interpolacije - savjetujem vam da pročitate udžbenik ili preturate po internetu.
Nije isključena ni metoda grafičke interpolacije - ručno nacrtajte graf kroz poznate tačke i nađite Y iz grafa za traženi X. ;)

roman

Imaš dva značenja. I otprilike zavisnost (linearna, kvadratna,..)
Graf ove funkcije prolazi kroz vaše dvije tačke. Potrebna vam je vrijednost negdje između. Pa, ekspresno!
Na primjer. U tabeli, na temperaturi od 22 stepena, pritisak zasićene pare je 120.000 Pa, a na 26. 124.000 Pa. Zatim na temperaturi od 23 stepena 121000 Pa.

interpolacija (koordinate)

Na karti se nalazi koordinatna mreža (slika).
Ima neke dobro poznate referentne tačke (n>3) sa dva x,y vrijednosti- koordinate u pikselima, a koordinate u metrima.
Potrebno je pronaći međuvrijednosti koordinata u metrima, znajući koordinate u pikselima.
Linearna interpolacija nije prikladna - previše greške izvan linije.
Ovako: (Xc - koordinata u metrima za x, Xp - koordinata u pikselima za x, Xc3 - željena vrijednost za x)
Xc3= (Xc1-Xc2)/(Xp1-Xp2)*(Xp3-Xp2)+Xc2
Yc3= (Yc1-Yc2)/(Yp1-Yp2)*(Yp3-Yp2)+Yc2

Kako pronaći istu formulu za pronalaženje Xc i Yc, s obzirom na ne dvije (kao ovdje), već N poznatih referentnih tačaka?

Joka fern lowd

Sudeći po napisanim formulama, da li se ose koordinatnog sistema u pikselima i metrima poklapaju?
To jest, Xp -> Xc je nezavisno interpoliran, a Yp -> Yc je nezavisno interpoliran. Ako ne, onda morate koristiti dvodimenzionalnu interpolaciju Xp,Yp->Xc i Xp,Yp->Yc, što donekle komplikuje zadatak.
Nadalje, pretpostavlja se da su koordinate Xp i Xc povezane nekom zavisnošću.
Ako je priroda zavisnosti poznata (ili se pretpostavlja, na primer, pretpostavljamo da je Xc=a*Xp^2+b*Xp+c), tada možete dobiti parametre ove zavisnosti (za datu zavisnost a , b, c) koristeći regresiona analiza(Metod najmanji kvadrati) . U ovoj metodi, ako se pita određena zavisnost Xc(Xp) možete dobiti formulu za parametre u zavisnosti od referentnih podataka. Ova metoda omogućava, posebno, pronalaženje i linearna zavisnost, najbolji način zadovoljavajući ovaj skup podataka.
Nedostatak: Kod ove metode, koordinate Xc dobijene iz podataka kontrolnih tačaka Xp mogu se razlikovati od datih. Na primjer, aproksimacijska ravna linija povučena kroz eksperimentalne tačke ne prolazi tačno kroz te same tačke.
Ako je potrebno tačno podudaranje, a priroda zavisnosti je nepoznata, treba koristiti metode interpolacije. Najjednostavniji matematički je Lagrangeov interpolacijski polinom, koji prolazi tačno kroz referentne tačke. Međutim, zbog visok stepen ovaj polinom na veliki brojevi referentne tačke i Loša kvaliteta interpolacije, bolje je ne koristiti je. Prednost je relativno jednostavna formula.
Bolje je koristiti spline interpolaciju. Suština ove metode je da se u svakom preseku između dve susedne tačke ispitivana zavisnost interpolira polinomom, a uslovi glatkoće se zapisuju u tačkama spajanja dva intervala. Prednost ove metode je kvalitet interpolacije. Nedostaci - gotovo nemoguće povući opšta formula, potrebno je algoritamski pronaći koeficijente polinoma u svakoj sekciji. Još jedan nedostatak je teškoća generalizacije na 2D interpolaciju.

Postoji situacija kada u nizu poznatih vrijednosti morate pronaći srednji rezultati. U matematici se to zove interpolacija. U Excelu ovu metodu može se koristiti i za tabelarne podatke i za crtanje grafova. Pogledajmo svaku od ovih metoda.

Glavni uslov pod kojim se interpolacija može primeniti je da željena vrednost mora biti unutar niza podataka, a ne da prelazi njegovu granicu. Na primjer, ako imamo skup argumenata 15, 21 i 29, onda kada pronađemo funkciju za argument 25, možemo koristiti interpolaciju. I pronaći odgovarajuću vrijednost za argument 30 - više ne. Ovo je glavna razlika između ove procedure i ekstrapolacije.

Metoda 1: Interpolacija za tabelarne podatke

Prije svega, razmotrite korištenje interpolacije za podatke koji se nalaze u tabeli. Na primjer, uzmimo niz argumenata i njihovih odgovarajućih funkcijskih vrijednosti, čiji se omjer može opisati linearna jednačina. Ovi podaci se nalaze u tabeli ispod. Moramo pronaći odgovarajuću funkciju za argument 28 . Najlakši način da to uradite je sa operaterom PROGNOZA.

Metoda 2: interpolacija grafa korištenjem njegovih postavki

Interpolacijski postupak se također može koristiti prilikom crtanja funkcije. Relevantno je u slučaju da u tabeli na osnovu koje se gradi graf, odgovarajuća vrijednost funkcije nije naznačena za jedan od argumenata, kao na slici ispod.

Kao što vidite, graf je ispravljen, a jaz je uklonjen interpolacijom.

Metoda 3: Interpolacija grafa sa funkcijom

Također možete interpolirati graf pomoću posebne ND funkcije. Vraća nulte vrijednosti u navedenoj ćeliji.

Možete to učiniti još lakšim bez trčanja Čarobnjak za funkcije, ali samo koristite tastaturu da unesete vrijednost u praznu ćeliju "#N / A" bez navodnika. Ali to već ovisi o tome kako je pogodnije za kojeg korisnika.

Kao što vidite, u programu Excel možete interpolirati kao tabelarne podatke pomoću funkcije PROGNOZA, kao i grafike. AT poslednji slučaj ovo se može učiniti pomoću postavki grafikona ili korištenjem funkcije ND, što uzrokuje grešku "#N / A". Izbor metode koja će se koristiti zavisi od iskaza problema, kao i od ličnih preferencija korisnika.

Ovo je poglavlje iz knjige Bila Jelena.

Izazov: Neki problemi inženjerskog dizajna zahtijevaju korištenje tabela za izračunavanje vrijednosti parametara. Budući da su tabele diskretne, dizajner koristi linearnu interpolaciju da dobije srednju vrijednost parametra. Tabela (slika 1) uključuje visinu iznad tla (kontrolni parametar) i brzinu vjetra (izračunati parametar). Na primjer, ako trebate pronaći brzinu vjetra koja odgovara visini od 47 metara, tada biste trebali primijeniti formulu: 130 + (180 - 130) * 7 / (50 - 40) = 165 m / s.

Preuzmite bilješku u formatu ili, primjere u formatu

Šta ako postoje dva kontrolna parametra? Da li je moguće izvršiti proračune pomoću jedne formule? Tabela (slika 2) prikazuje vrijednosti pritiska vjetra za razne visine i rasponi konstrukcija. Potrebno je izračunati pritisak vjetra na visini od 25 metara i rasponu od 300 metara.

Rješenje: Problem rješavamo proširenjem metode korištene za slučaj sa jednim kontrolnim parametrom. Uradite sledeće.

Počnite sa tabelom prikazanom na sl. 2. Dodajte izvorne ćelije za visinu i raspon na J1 i J2 respektivno (slika 3).

Rice. 3. Formule u ćelijama J3:J17 objašnjavaju kako funkcioniše mega formula

Za praktičnost korištenja formula, definirajte imena (slika 4).

Pratite rad formule uzastopno krećući se od ćelije J3 do ćelije J17.

Reverznom sekvencijalnom zamjenom sastavite mega formulu. Kopirajte tekst formule iz ćelije J17 u ćeliju J19. Zamijenite referencu na J15 u formuli vrijednošću u ćeliji J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. itd. Rezultat će biti formula koja se sastoji od 984 znaka, koja se ne može uočiti u ovom obliku. Možete ga vidjeti u priloženom excel datoteci. Nisam siguran da li je ova vrsta mega-formula korisna za korištenje.

Sažetak: Linearna interpolacija se koristi za dobivanje međuvrijednosti parametra if tablične vrijednosti postaviti samo za granice opsega; predložena je metoda proračuna zasnovana na dva kontrolna parametra.