Eksponencijalno izglađivanje - metoda izglađivanja vremenskih serija, čiji računski postupak uključuje obradu svih prethodnih zapažanja, uzimajući u obzir zastarelost informacija kako se udaljavaju od perioda prognoze. Drugim riječima, što je opservacija "starije", to bi manje trebalo da utiče na vrijednost prediktivne procjene. Ideja eksponencijalno izglađivanje je da su, kao odgovarajuća zapažanja "starost", priložene opadajuće težine.

Ova metoda predviđanja se smatra veoma efikasnom i pouzdanom. Glavne prednosti metode su mogućnost uzimanja u obzir težine pozadinske informacije, u jednostavnosti računskih operacija, u fleksibilnosti opisivanja različitih dinamičkih procesa. Metoda eksponencijalnog izglađivanja omogućava da se dobije procena parametara trenda koji karakterišu srednji nivo procesa, ali trend koji je preovladavao u vrijeme posljednjeg opažanja. Metoda je našla najveću primjenu za implementaciju srednjoročnih prognoza. Za metodu eksponencijalnog izglađivanja, glavna stvar je izbor parametra izglađivanja (konstanta izglađivanja) i početni uslovi.

Jednostavno eksponencijalno izglađivanje vremenskih serija koje sadrže trend vodi do sistematska greška povezano sa kašnjenjem izglađenih vrijednosti od stvarnih nivoa vremenske serije. Da bi se uzeo u obzir trend u nestacionarnim serijama, koristi se posebno dvoparametarsko linearno eksponencijalno izglađivanje. Za razliku od jednostavnog eksponencijalnog izglađivanja sa jednom konstantom (parametrom), ovaj postupak istovremeno izglađuje i slučajne poremećaje i trend koristeći dvije različite konstante (parametra). Dvoparametarska metoda izglađivanja (Holtova metoda) uključuje dvije jednačine. Prvi je za izglađivanje uočenih vrijednosti, a drugi za izglađivanje trenda:

gdje I - 2, 3, 4 - periodi zaglađivanja; 5, - izglađena vrijednost za period £; U, - stvarna vrijednost nivoa za period 1 5, 1 - izglađena vrijednost za period b-b- izglađena vrijednost trenda za period 1 - izglađena vrijednost za period ja- 1; ALI i B su konstante izglađivanja (brojevi između 0 i 1).

Konstante izglađivanja A i B karakterizira težinski faktor zapažanja. Obično L. AT< 0.3. Od (1 - ALI)< 1, (1 - AT)< 1, onda se eksponencijalno smanjuju kako se posmatranje udaljava od trenutnog perioda I. Stoga se ovaj postupak naziva eksponencijalno izglađivanje.

Jednačina se dodaje općoj proceduri kako bi se izgladio trend. Svaka nova procjena trenda dobiva se kao ponderirani zbir razlike između posljednje dvije izglađene vrijednosti (trenutne procjene trenda) i prethodne izglađene procjene. Ova jednačina omogućava značajno smanjenje uticaja slučajnih poremećaja na trend tokom vremena.

Predviđanje korištenjem eksponencijalnog izglađivanja je slično "naivnom" postupku predviđanja, kada se pretpostavlja da je procjena prognoze za sutra jednaka današnjoj vrijednosti. AT ovaj slučaj kao prognoza za jedan period unapred, uzima se u obzir izglađena vrednost za tekući period plus trenutna izglađena vrednost trenda:

Ovaj postupak se može koristiti za predviđanje za bilo koji broj perioda, na primjer, t periodi:

Procedura predviđanja počinje činjenicom da se izglađena vrijednost 51 pretpostavlja da je jednaka prvom opažanju Y, tj. 5, = Y,.

Postoji problem određivanja početne vrijednosti trenda 6]. Postoje dva načina za procjenu bx.

Metoda 1. Hajde da stavimo bx = 0. Ovaj pristup dobro funkcionira u slučaju dugih početnih vremenskih serija. Onda izglađeni trend za ne veliki broj periodi će se približiti stvarnoj vrijednosti trenda.

Metoda 2. Može dobiti više tačna procjena 6 koristeći prvih pet (ili više) zapažanja vremenske serije. Na osnovu njih, gyu metoda najmanjih kvadrata jednačina je riješena Y(= a + b x g. Vrijednost b uzima se kao početna vrijednost trenda.

Koliko Prognoza SADA! bolji model Eksponencijalno izglađivanje (ES) možete vidjeti na grafikonu ispod. Na osi X - broj stavke, na osi Y - postotak poboljšanja kvaliteta prognoze. Opis modela, detaljna studija, rezultati eksperimenata, pročitajte u nastavku.

Opis modela

Predviđanje eksponencijalnog izglađivanja je jedno od najčešćih jednostavne načine prognoziranje. Prognoza se može dobiti samo za jedan period unaprijed. Ako se predviđanje vrši u danima, onda samo jedan dan unaprijed, ako sedmicama, onda jedna sedmica.

Poređenja radi, predviđanje je rađeno nedelju dana unapred za 8 nedelja.

Šta je eksponencijalno izglađivanje?

Pustite red With predstavlja originalnu seriju prodaje za predviđanje

C(1)- prodaja prve sedmice With(2) u drugom i tako dalje.

Slika 1. Prodaja po sedmicama, serija With

Isto tako, red S predstavlja eksponencijalno izglađenu seriju prodaja. Koeficijent α je od nula do jedan. Ispada kako slijedi, ovdje je t tačka u vremenu (dan, sedmica)

S (t+1) = S(t) + α *(S(t) - S(t))

Velike vrijednosti konstante izglađivanja α ubrzavaju reakciju prognoze na skok u posmatranom procesu, ali mogu dovesti do nepredvidivih odstupanja, jer će izglađivanje gotovo izostati.

Prvi put nakon početka posmatranja, imajući samo jedan rezultat posmatranja C (1) kada je prognoza S (1) ne, i dalje je nemoguće koristiti formulu (1), kao prognozu S (2) treba uzeti C (1) .

Formula se lako može prepisati u drugačijem obliku:

S (t+1) = (1 -α )* S (t) +α * With (t).

Dakle, s povećanjem konstante glađenja, udio nedavne prodaje raste, a udio izglađenih prethodnih prodaja opada.

Konstanta α se bira empirijski. Obično se radi nekoliko prognoza za različite konstante i odabire se najoptimalnija konstanta u smislu odabranog kriterija.

Kriterijum može biti tačnost prognoze za prethodne periode.

U našem istraživanju razmatrali smo eksponencijalne modele glađenja u kojima α uzima vrijednosti (0,2, 0,4, 0,6, 0,8). Za poređenje sa Prognozom SADA! za svaki proizvod su napravljene prognoze za svaki α i odabrana je najpreciznija prognoza. U stvarnosti, situacija bi bila mnogo komplikovanija, korisnik, ne znajući unapred tačnost prognoze, treba da se odluči za koeficijent α, od kojeg u velikoj meri zavisi kvalitet prognoze. Evo tako začaranog kruga.

jasno

Slika 2. α =0,2, stepen eksponencijalnog izglađivanja je visok, realna prodaja se slabo uzima u obzir

Slika 3. α =0.4, stepen eksponencijalnog izglađivanja je prosečan, stvarna prodaja se uzima u obzir u prosečnom stepenu

Možete vidjeti kako se konstanta α povećava, izglađena serija sve više odgovara stvarnoj prodaji, a ako postoje odstupanja ili anomalije, dobićemo vrlo netačnu prognozu.

Slika 4. α =0,6, stepen eksponencijalnog izglađivanja je nizak, stvarna prodaja se značajno uzima u obzir

Vidimo da pri α=0,8 serija skoro potpuno ponavlja originalnu, što znači da prognoza teži pravilu „prodaće se isti iznos kao jučer“

Treba napomenuti da je ovdje apsolutno nemoguće fokusirati se na grešku aproksimacije izvornim podacima. Možete postići savršenu utakmicu, ali dobiti neprihvatljivo predviđanje.

Slika 5. α = 0,8, stepen eksponencijalnog izglađivanja je izuzetno nizak, stvarna prodaja se uzima u obzir jako

Primjeri prognoza

Pogledajmo sada predviđanja koja se koriste različita značenja a. Kao što se može vidjeti na slikama 6 i 7, što je veći koeficijent izravnavanja, to tačnije ponavlja stvarnu prodaju sa zakašnjenjem od jednog koraka, prognozu. Takvo kašnjenje zapravo može biti kritično, tako da ne možete jednostavno birati maksimalna vrijednost a. U suprotnom ćemo doći u situaciju da kažemo da će se prodati tačno onoliko koliko je prodato u prethodnom periodu.

Slika 6. Predviđanje metode eksponencijalnog izglađivanja za α=0,2

Slika 7. Predviđanje metode eksponencijalnog izglađivanja za α=0,6

Hajde da vidimo šta se dešava kada je α = 1.0. Podsjetimo da je S - predviđena (izglađena) prodaja, C - stvarna prodaja.

S (t+1) = (1 -α )* S (t) +α * With (t).

S (t+1) = With (t).

Predviđa se da će prodaja na dan t+1 biti jednaka prodaji prethodnog dana. Stoga se izboru konstante mora pristupiti mudro.

Poređenje sa prognozom SADA!

Sada razmislite ovu metodu prognoziranje u odnosu na prognozu SADA!. Poređenje je obavljeno na 256 proizvoda koji imaju različitu prodaju, sa kratkoročnom i dugoročnom sezonskom dinamikom, sa „lošom“ prodajom i nestašicama, zalihama i drugim odstupnicima. Za svaki proizvod je napravljena prognoza korišćenjem modela eksponencijalnog izglađivanja, za različite α odabrana je najbolja i upoređena sa prognozom pomoću Forecast ODMAH!

U donjoj tabeli možete vidjeti vrijednost greške prognoze za svaki proizvod. Greška se ovdje smatra RMSE. Ovo je korijen standardna devijacija predviđanje iz stvarnosti. Grubo govoreći, to pokazuje za koliko jedinica robe smo odstupili u prognozi. Poboljšanje pokazuje za koji procenat je prognoza SADA! bolje je ako je broj pozitivan, a gore ako je negativan. Na slici 8, x-osa prikazuje robu, y-osa pokazuje koliko je Prognoza SADA! bolje od predviđanja eksponencijalnog izglađivanja. Kao što možete vidjeti iz ovog grafikona, prognozirajte SADA! skoro uvek duplo više i skoro nikad gore. U praksi, to znači da korištenjem Forecast ODMAH! omogućiće prepolovljenje zaliha ili smanjenje nestašice.

9 5. Metoda eksponencijalnog izglađivanja. Odabir konstante izravnavanja

Kada se koristi metoda najmanjih kvadrata za određivanje prediktivnog trenda (trenda), unaprijed se pretpostavlja da svi retrospektivni podaci (zapažanja) imaju isti sadržaj informacija. Očigledno, logičnije bi bilo uzeti u obzir proces diskontiranja početnih informacija, odnosno nejednaku vrijednost ovih podataka za izradu prognoze. Ovo se postiže metodom eksponencijalnog izglađivanja davanjem posljednjeg zapažanja dinamičke serije(odnosno vrijednosti koje neposredno prethode početnom periodu prognoze) značajnijih "težina" u odnosu na početna zapažanja. Prednosti metode eksponencijalnog izglađivanja trebale bi uključiti i jednostavnost računskih operacija i fleksibilnost opisivanja različitih dinamika procesa. Metoda je našla najveću primjenu za implementaciju srednjoročnih prognoza.

5.1. Suština metode eksponencijalnog izglađivanja

Suština metode je da se vremenske serije izglađuju korištenjem ponderiranog "pokretnog prosjeka", u kojem se ponderi pridržavaju eksponencijalnog zakona. Drugim riječima, što je udaljenija od kraja vremenske serije tačka za koju se izračunava ponderisani pokretni prosjek, to je manje "učestvovanje" u razvoju prognoze.

Neka se originalni dinamički niz sastoji od nivoa (komponenti serije) y t , t = 1 , 2 ,...,n . Za svaki m uzastopnih nivoa ove serije

(m

dinamički niz sa korakom jednakim jedan. Ako je m neparan broj, a poželjno je uzeti neparan broj nivoa, jer će u ovom slučaju izračunata vrijednost nivoa biti u središtu intervala izravnavanja i lako je njome zamijeniti stvarnu vrijednost, tada sljedeća formula se može napisati za određivanje pokretnog prosjeka:

			t+ ξ			t+ ξ
			∑ y i			∑ y i
			i= t−ξ			i= t−ξ
			2ξ + 1

gdje je y t vrijednost pokretnog prosjeka za trenutak t (t = 1 , 2 ,...,n ), y i je stvarna vrijednost nivoa u trenutku i ;

i je redni broj nivoa u intervalu izravnavanja.

Vrijednost ξ se određuje iz trajanja intervala ujednačavanja.

Ukoliko

m =2 ξ +1

za neparan m, onda

ξ = m 2 − 1 .

Izračunavanje pokretnog prosjeka za veliki broj nivoa može se pojednostaviti rekurzivnim definiranjem uzastopnih vrijednosti pokretnog prosjeka:

y t= y t− 1 +	yt + ξ	− y t − (ξ + 1 )
		2ξ + 1

Ali s obzirom na činjenicu da najnovijim zapažanjima treba dati više "težine", pokretni prosek treba drugačije tumačiti. Ona leži u činjenici da vrijednost dobijena usrednjavanjem ne zamjenjuje središnji član intervala usrednjavanja, već njegov posljednji član. Shodno tome, posljednji izraz se može prepisati kao

Mi = Mi + 1		y i− y i− m

Ovdje je pokretni prosjek, vezan za kraj intervala, označen novim simbolom M i . U suštini, M i je jednako y t pomaknutog ξ koraka udesno, odnosno M i = y t + ξ , gdje je i = t + ξ .

S obzirom da je M i − 1 procjena y i − m , izraz (5.1)

može se prepisati u formu

				y i+ 1				M i − 1 ,
	M i definisan izrazom (5.1).
gdje je M i procjena
Ako se proračuni (5.2) ponavljaju kako pristižu nove informacije
i prepišemo u drugom obliku, tada dobijamo izglađenu funkciju posmatranja:
	Q i= α y i+ (1 − α ) Q i− 1 ,
ili u ekvivalentnom obliku
	Q t= α y t+ (1 − α ) Q t− 1

Proračuni koji se izvode izrazom (5.3) sa svakim novim opažanjem nazivaju se eksponencijalno izglađivanje. U posljednjem izrazu, da bi se razlikovalo eksponencijalno izglađivanje od pokretnog prosjeka, uvedena je oznaka Q umjesto M. Vrijednost α , koja je

analog od m 1 naziva se konstanta glađenja. Vrijednosti α leže u

interval [ 0 , 1 ] . Ako je α predstavljen kao niz

α + α(1 − α) + α(1 − α) 2 + α(1 − α) 3 + ... + α(1 − α) n ,

lako je vidjeti da se "težine" eksponencijalno smanjuju tokom vremena. Na primjer, za α = 0 dobijamo 2

0,2 + 0,16 + 0,128 + 0,102 + 0,082 + …

Zbir niza teži jedinici, a članovi sume se s vremenom smanjuju.

Vrijednost Q t u izrazu (5.3) je eksponencijalni prosjek prvog reda, odnosno prosjek dobijen direktno iz

izglađivanje podataka posmatranja (primarno izglađivanje). Ponekad je pri razvoju statističkih modela korisno pribjeći izračunavanju eksponencijalnih prosjeka viših redova, odnosno prosjeka dobijenih ponovljenim eksponencijalnim izglađivanjem.

Opća notacija u rekurzivnom obliku eksponencijalne sredine reda k je

Q t (k)= α Q t (k− 1 )+ (1 − α ) Q t (− k1 ).

Vrijednost k varira unutar 1, 2, …, p ,p+1, gdje je p red prediktivnog polinoma (linearnog, kvadratnog i tako dalje).

Na osnovu ove formule, za eksponencijalni prosjek prvog, drugog i trećeg reda, daju se izrazi

Q t (1 )= α y t + (1 − α ) Q t (− 1 1 );

Q t (2 )= α Q t (1 )+ (1 − α ) Q t (− 2 1 ); Q t (3 )= α Q t (2 )+ (1 − α ) Q t (− 3 1 ).

5.2. Određivanje parametara prediktivnog modela korištenjem metode eksponencijalnog izglađivanja

Očigledno, da bi se razvile prediktivne vrijednosti bazirane na dinamičkom nizu korištenjem metode eksponencijalnog izglađivanja, potrebno je izračunati koeficijente jednadžbe trenda kroz eksponencijalne prosjeke. Procjene koeficijenata su određene temeljnom Brown-Meyerovom teoremom, koja povezuje koeficijente prediktivnog polinoma sa eksponencijalnim prosjekima odgovarajućih redova:

(− 1 )

aˆp

α (1 − α )∞

−α )

j (p − 1 + j ) !

∑j

p=0

p! (k− 1 ) !j = 0

gdje su aˆ p procjene koeficijenata polinoma stepena p.

Koeficijenti se nalaze rješavanjem sistema (p + 1 ) jednadžbi sp + 1

nepoznato.

Dakle, za linearni model

aˆ 0 = 2 Q t (1 ) − Q t (2 ) ; aˆ 1 = 1 − α α (Q t (1 )− Q t (2 )) ;

za kvadratni model

aˆ 0 = 3 (Q t (1 )− Q t (2 )) + Q t (3 );

aˆ 1 =1 − α α [ (6 −5 α ) Q t (1 ) −2 (5 −4 α ) Q t (2 ) +(4 −3 α ) Q t (3 ) ] ;

aˆ 2 = (1 − α α ) 2 [ Q t (1 )− 2 Q t (2 )+ Q t (3 )] .

Prognoza se implementira prema odabranom polinomu, odnosno za linearni model

ˆyt + τ = aˆ0 + aˆ1 τ ;

za kvadratni model

ˆyt + τ = aˆ0 + aˆ1 τ + aˆ 2 2 τ 2 ,

gdje je τ korak predviđanja.

Treba napomenuti da se eksponencijalni proseci Q t (k ) mogu izračunati samo sa poznatim (izabranim) parametrom, znajući početne uslove Q 0 (k ) .

Procjene početnih uslova, posebno za linearni model

Q(1)= a			1 − α
Q(2 ) = a − 2 (1 − α ) a

za kvadratni model

Q(1)= a

1 − α

+ (1 − α )(2 − α ) a

2(1−α )

(1− α )(3− 2α )

Q 0(2 ) = a 0−

2α 2

Q(3)=a

3(1−α )

(1 − α )(4 − 3 α ) a

gdje su koeficijenti a 0 i a 1 izračunati metodom najmanjih kvadrata.

Vrijednost parametra izglađivanja α se približno izračunava po formuli

α ≈ m 2 + 1,

gdje je m broj zapažanja (vrijednosti) u intervalu izravnavanja. Redoslijed izračunavanja prediktivnih vrijednosti je prikazan u

	Izračunavanje koeficijenata niza metodom najmanjih kvadrata
	Određivanje intervala zaglađivanja
	Proračun konstante glađenja
	Proračun početnih uslova
	Izračunavanje eksponencijalnih prosjeka
	Izračunavanje procjena a 0 , a 1 itd.
	Proračun prognostičkih vrijednosti serije
	Rice. 5.1. Redoslijed izračunavanja vrijednosti prognoze

Kao primjer, razmotrite proceduru za dobivanje prediktivne vrijednosti radnog vremena proizvoda, izraženu vremenom između kvarova.

Početni podaci su sažeti u tabeli. 5.1.

Biramo model linearnog predviđanja u obliku y t = a 0 + a 1 τ

Rješenje je izvodljivo sa sljedećim početnim vrijednostima:

a 0 , 0 = 64, 2; a 1 , 0 = 31,5; α = 0,305.

Tabela 5.1. Početni podaci

Broj zapažanja, t

Dužina koraka, predviđanje, τ

MTBF, y (sat)

Za ove vrijednosti, izračunati "izglađeni" koeficijenti za

y 2 vrijednosti će biti jednake

= α Q (1 )− Q (2 )= 97 , 9 ;

[ Q (1 ) − Q (2 )

31, 9 ,

1−α

pod početnim uslovima

1 − α

A 0 , 0 −

a 1, 0

= −7 , 6

1 − α

= −79 , 4

i eksponencijalni prosjeci

Q (1 )= α y + (1 − α ) Q (1 )

25, 2;

Q(2)

= α Q (1 )

+ (1 −α ) Q (2 ) = −47 , 5 .

“Izglađena” vrijednost y 2 se tada izračunava po formuli

Q i (1 )

Q i (2 )

a 0 ,i

a 1 ,i

ˆyt

Dakle (Tabela 5.2), linearni prediktivni model ima oblik

ˆy t + τ = 224,5+ 32τ .

Izračunajmo predviđene vrijednosti za olovne periode od 2 godine (τ = 1), 4 godine (τ = 2) i tako dalje, vrijeme između kvarova proizvoda (tabela 5.3).

Tabela 5.3. Vrijednosti prognozeˆy t

Jednačina	t+2	t+4	t+6		t+8		t+20
regresija	(τ = 1)	(τ=2)	(τ = 3)				(τ=5)
				τ =
ˆy t = 224,5+ 32τ

Treba napomenuti da se ukupna "težina" posljednjih m vrijednosti vremenske serije može izračunati po formuli

c = 1 − (m (− 1) m ) . m+ 1

Dakle, za posljednja dva opažanja serije (m = 2 ) vrijednost c = 1 − (2 2 − + 1 1 ) 2 = 0. 667 .

5.3. Izbor početnih uslova i određivanje konstante glađenja

Kao što slijedi iz izraza

Q t= α y t+ (1 − α ) Q t− 1 ,

pri izvođenju eksponencijalnog izglađivanja potrebno je znati početnu (prethodnu) vrijednost izglađene funkcije. U nekim slučajevima, za početna vrijednost može se uzeti prvo zapažanje, češće se početni uslovi određuju prema izrazima (5.4) i (5.5). U ovom slučaju, vrijednosti a 0 , 0 , a 1 , 0

i a 2 , 0 određuju se metodom najmanjih kvadrata.

Ako zaista ne vjerujemo odabranoj početnoj vrijednosti, tada ćemo uzimanjem velike vrijednosti konstante izravnavanja α kroz k opservacija donijeti

"težinu" početne vrijednosti do vrijednosti (1 − α ) k<< α , и оно будет практически забыто. Наоборот, если мы уверены в правильности выбранного начального значения и неизменности модели в течение определенного отрезка времени в будущем,α может быть выбрано малым (близким к 0).

Dakle, izbor konstante izglađivanja (ili broja posmatranja u pokretnom proseku) uključuje kompromis. Obično, kao što praksa pokazuje, vrijednost konstante izglađivanja leži u rasponu od 0,01 do 0,3.

Poznato je nekoliko prelaza koji omogućavaju pronalaženje približne procjene α . Prvi proizilazi iz uslova da su pokretni i eksponencijalni prosek jednaki

α \u003d m 2 + 1,

gdje je m broj opservacija u intervalu glađenja. Drugi pristupi su povezani sa tačnošću prognoze.

Dakle, moguće je odrediti α na osnovu Meyerove relacije:

α ≈ S y ,

gdje je S y standardna greška modela;

S 1 je srednja kvadratna greška originalne serije.

Međutim, korištenje posljednjeg omjera je komplikovano činjenicom da je vrlo teško pouzdano odrediti S y i S 1 iz početnih informacija.

Često parametar izglađivanja, a istovremeno i koeficijenti a 0 , 0 i a 0 , 1

se biraju kao optimalne u zavisnosti od kriterijuma

S 2 = α ∑ ∞ (1 − α ) j [ yij − ˆyij ] 2 → min

j=0

rješavanjem algebarskog sistema jednadžbi, koji se dobija izjednačavanjem izvoda sa nulom

∂S2		∂S2		∂S2
∂a0, 0		∂ a 1, 0		∂a2, 0

Dakle, za model linearnog predviđanja, početni kriterijum je jednak

S 2 = α ∑ ∞ (1 − α ) j [ yij − a0 , 0 − a1 , 0 τ ] 2 → min.

j=0

Rješenje ovog sistema uz pomoć kompjutera ne predstavlja poteškoće.

Za razuman izbor α, možete koristiti i generaliziranu proceduru izglađivanja, koja vam omogućava da dobijete sljedeće odnose koji se odnose na varijansu prognoze i parametar izglađivanja za linearni model:

S p 2 ≈[ 1 + α β ] 2 [ 1 +4 β +5 β 2 +2 α (1 +3 β ) τ +2 α 2 τ 3 ] S y 2

za kvadratni model

S p 2≈ [ 2 α + 3 α 3+ 3 α 2τ ] S y 2,

gdje je β = 1 − α ;Sy– RMS aproksimacija početne dinamičke serije.

Očigledno, u metodi ponderisanog pokretnog prosjeka, postoji mnogo načina da se ponderi postave tako da njihov zbir bude jednak 1. Jedna od ovih metoda se naziva eksponencijalno izglađivanje. U ovoj shemi ponderirane prosječne metode, za bilo koji t > 1, vrijednost prognoze u trenutku t+1 je ponderisani zbir stvarne prodaje, , u vremenskom periodu t, i prognozirane prodaje, , u vremenskom periodu t Drugim riječima,

Eksponencijalno izglađivanje ima računske prednosti u odnosu na pokretne proseke. Ovdje je za izračunavanje potrebno samo znati vrijednosti , i , (zajedno sa vrijednošću α). Na primjer, ako kompanija treba da predvidi potražnju za 5.000 artikala u svakom vremenskom periodu, tada treba pohraniti 10.001 vrijednost podataka (5.000 vrijednosti, 5.000 vrijednosti i α vrijednost), a da bi napravila prognozu na osnovu pokretnog prosjeka od 8 čvorova potrebno je 40.000 vrijednosti podataka. Ovisno o ponašanju podataka, možda će biti potrebno pohraniti različite vrijednosti α za svaki proizvod, ali čak i u ovom slučaju količina pohranjenih informacija je mnogo manja nego kada se koristi pokretni prosjek. Dobra stvar kod eksponencijalnog izglađivanja je da se zadržavanjem α i posljednjeg predviđanja implicitno čuvaju i sva prethodna predviđanja.

Razmotrimo neka svojstva modela eksponencijalnog izglađivanja. Za početak, napominjemo da ako je t > 2, tada se u formuli (1) t može zamijeniti sa t–1, tj. Zamjenom ovog izraza u originalnu formulu (1) dobijamo

Izvodeći sukcesivno slične zamjene, dobijamo sledeći izraz za

Pošto iz nejednakosti 0< α < 1 следует, что 0 < 1 – α < 1, то Другими словами, наблюдение , имеет больший вес, чем наблюдение , которое, в свою очередь, имеет больший вес, чем . Это иллюстрирует основное свойство модели экспоненциального сглаживания - коэффициенты при убывают при уменьшении номера k. Также можно показать, что сумма всех коэффициентов (включая коэффициент при ), равна 1.

Iz formule (2) se može vidjeti da je vrijednost ponderisani zbir svih prethodnih zapažanja (uključujući posljednju opservaciju). Posljednji član zbira (2) nije statističko posmatranje, ali po "pretpostavci" (možemo pretpostaviti, na primjer, da ). Očigledno, sa povećanjem t uticaj na prognozu opada, te se u određenom trenutku može zanemariti. Čak i ako je vrijednost α dovoljno mala (tako da je (1 - α) približno jednaka 1), vrijednost će se brzo smanjiti.

Vrijednost parametra α uvelike utječe na performanse modela predviđanja, budući da je α težina posljednjeg opažanja. To znači da treba dodijeliti veća vrijednostα u slučaju kada je najpredvidljiviji model zadnje opažanje. Ako je α blizu 0, to znači skoro potpuno povjerenje u prethodnu prognozu i zanemarivanje posljednjeg zapažanja.

Viktor je imao problem: kako najbolji način izaberite vrijednost α. Opet, alat Solver će vam pomoći u tome. Da biste pronašli optimalnu vrijednost α (to jest, onu pri kojoj će prediktivna kriva najmanje odstupati od krive vrijednosti vremenske serije), uradite sljedeće.

1. Odaberite naredbu Alati -> Traži rješenje.
2. U dijaloškom okviru Find Solution koji se otvara, postavite ciljnu ćeliju na G16 (pogledajte Expo list) i navedite da njena vrijednost treba biti minimalna.
3. Navedite da je ćelija koja se mijenja ćelija B1.
4. Unesite ograničenja B1 > 0 i B1< 1
5. Klikom na dugme Run dobićete rezultat prikazan na sl. osam.

Opet, kao iu metodi ponderisanog pokretnog prosjeka, najbolje predviđanje će se dobiti dodjeljivanjem pune težine posljednjem opažanju. Stoga je optimalna vrijednost α 1, sa srednjim apsolutnim odstupanjima 6,82 (ćelija G16). Viktor je dobio prognozu koju je već ranije vidio.

Metoda eksponencijalnog izglađivanja dobro funkcionira u situacijama kada se varijabla koja nas zanima ponaša stacionarno, a njena odstupanja od konstantne vrijednosti su uzrokovana slučajnim faktorima i nisu regularna. Ali: bez obzira na vrijednost parametra α, metoda eksponencijalnog izglađivanja neće moći predvidjeti monotono rastuće ili monotono opadajuće podatke (predviđene vrijednosti će uvijek biti manje, odnosno veće od posmatranih). Takođe se može pokazati da u modelu sa sezonskim varijacijama ovom metodom neće biti moguće dobiti zadovoljavajuće prognoze.

Ako se statistika monotono mijenja ili je podložna sezonskim promjenama, posebne metode predviđanja, o čemu će biti reči u nastavku.

Holt metoda (eksponencijalno izglađivanje sa trendom)

,

Holtova metoda omogućava predviđanje za k vremenskih perioda unaprijed. Metoda, kao što vidite, koristi dva parametra α i β. Vrijednosti ovih parametara su u rasponu od 0 do 1. Varijabla L, ukazuje na dugoročni nivo vrijednosti ili osnovnu vrijednost podataka vremenske serije. Varijabla T označava moguće povećanje ili smanjenje vrijednosti u jednom periodu.

Razmotrimo rad ove metode na novom primjeru. Svetlana radi kao analitičar u velikoj brokerskoj firmi. Na osnovu kvartalnih izvještaja koje ima za Startup Airlines, ona želi prognozirati zaradu te kompanije za sljedeći kvartal. Dostupni podaci i dijagram izgrađen na njihovoj osnovi nalaze se u radnoj svesci Startup.xls (slika 9). Vidi se da podaci imaju jasan trend (skoro monotono rastu). Svetlana želi da koristi Holt metod da predvidi zaradu po dionici za trinaesti kvartal. Da biste to učinili, morate postaviti početne vrijednosti za L i T. Postoji nekoliko izbora: 1) L je jednako vrijednosti zarade po dionici za prvi kvartal i T = 0; 2) L je jednako prosečnoj vrednosti zarade po akciji za 12 kvartala, a T je jednako prosečnoj promeni za svih 12 kvartala. Postoje i druge opcije za početne vrijednosti za L i T, ali Svetlana je odabrala prvu opciju.

Odlučila je da pomoću alata Find Solution pronađe optimalnu vrijednost parametara α i β, pri čemu je vrijednost srednje vrijednosti apsolutne greške postotak bi bio minimalan. Da biste to učinili, morate slijediti ove korake.

Odaberite naredbu Service -> Search for a solution.

U dijaloškom okviru Traži rješenje koji se otvori, postavite ćeliju F18 kao ciljnu ćeliju i naznačite da njena vrijednost treba biti minimizirana.

U polje Promjena ćelija unesite raspon ćelija B1:B2. Dodajte ograničenja B1:B2 > 0 i B1:B2< 1.

Kliknite na dugme Izvrši.

Rezultirajuća prognoza je prikazana na sl. deset.

Kao što se može vidjeti, optimalne vrijednosti su se pokazale kao α = 0,59 i β = 0,42, dok je prosječna apsolutna greška u procentima 38%.

Računovodstvo sezonske promjene

Sezonske promjene treba uzeti u obzir kada se predviđaju podaci iz vremenskih serija. Sezonske promjene su fluktuacije gore-dole sa konstantnim periodom vrijednosti varijable.

Na primjer, ako pogledate prodaju sladoleda po mjesecima, možete vidjeti u toplih mjeseci(od juna do avgusta na sjevernoj hemisferi). visoki nivo rasprodaje nego zimi, i tako svake godine. Ovdje sezonske fluktuacije imaju period od 12 mjeseci. Ako se koriste sedmični podaci, onda struktura sezonske fluktuacije ponavljat će se svake 52 sedmice Drugi primjer analizira nedjeljne izvještaje o broju gostiju koji su prenoćili u hotelu koji se nalazi u poslovnom centru grada.Pretpostavlja se da se u noći na utorak očekuje veliki broj gostiju. , srijeda i četvrtak, najmanje kupaca će biti u subotu i nedjelju navečer, a prosječan broj gostiju očekuje se u petak i ponedjeljak uveče. Takva struktura podataka koja prikazuje broj kupaca u različitim danima sedmicama, ponavljat će se svakih sedam dana.

Procedura izrade sezonski prilagođene prognoze sastoji se od sljedeća četiri koraka:

1) Na osnovu početnih podataka utvrđuje se struktura sezonskih fluktuacija i period ovih kolebanja.

3) Na osnovu podataka iz kojih je isključena sezonska komponenta, izrađuje se najbolja moguća prognoza.

4) Sezonska komponenta se dodaje primljenoj prognozi.

Ilustrujmo ovaj pristup podacima o prodaji uglja (izmjerenim u hiljadama tona) u SAD-u za devet godina kao menadžer u rudniku uglja Gillette, Frank treba da predvidi potražnju uglja za naredna dva kvartala. Podatke za cijelu industriju uglja unio je u radnu knjigu Coal.xls i ucrtao podatke (slika 11). Grafikon pokazuje da je obim prodaje iznad prosjeka u prvom i četvrtom kvartalu ( zimsko vrijeme godine) i ispod prosjeka u drugom i trećem kvartalu (proljetno-ljetni mjeseci).

Isključenje sezonske komponente

Najprije treba izračunati prosjek svih odstupanja za jedan period sezonskih promjena. Za isključivanje sezonske komponente unutar jedne godine koriste se podaci za četiri perioda (kvartala). A da bi se isključila sezonska komponenta iz čitave vremenske serije, izračunava se niz pokretnih prosjeka preko T čvorova, gdje je T trajanje sezonskih fluktuacija. Za izvođenje potrebnih proračuna Frank je koristio kolone C i D, kao što je prikazano na sl. ispod. Kolona C sadrži pokretni prosek sa 4 čvora na osnovu podataka u koloni B.

Sada moramo dodijeliti rezultirajuće vrijednosti pokretnog prosjeka srednjim tačkama niza podataka iz kojih su ove vrijednosti izračunate. Ova operacija se zove centriranje vrijednosti. Ako je T neparan, onda je prva vrijednost pokretnog prosjeka (prosjek vrijednosti od prvog do T-tačka) treba dodijeliti (T + 1)/2 tački (na primjer, ako je T = 7, tada će prvi pokretni prosjek biti dodijeljen četvrtoj tački). Slično, prosjek vrijednosti od druge do (T + 1) tačke je centriran na (T + 3)/2 tački, i tako dalje. Centar n-tog intervala je u tački (T+ (2n-1))/2.

Ako je T paran, kao u slučaju koji se razmatra, onda problem postaje nešto složeniji, jer se ovdje središnje (srednje) tačke nalaze između tačaka za koje je izračunata vrijednost pokretnog prosjeka. Stoga se centrirana vrijednost za treću tačku izračunava kao prosjek prve i druge vrijednosti pokretnog prosjeka. Na primjer, prvi broj u koloni D centriranih znači na sl. 12, lijevo je (1613 + 1594)/2 = 1603. Na sl. 13 prikazuje grafikone neobrađenih podataka i centriranih prosjeka.

Zatim nalazimo omjere vrijednosti tačaka podataka prema odgovarajućim vrijednostima središta. Budući da tačke na početku i na kraju niza podataka nemaju odgovarajuće centrirane sredine (vidi prvu i najnovije vrednosti u koloni D), ova radnja se ne odnosi na ove tačke. Ovi omjeri ukazuju na stepen do kojeg vrijednosti podataka odstupaju od tipičnog nivoa definiranog centriranim sredinama. Imajte na umu da su vrijednosti omjera za treće tromjesečje manje od 1, a one za četvrto tromjesečje veće od 1.

Ovi odnosi su osnova za kreiranje sezonskih indeksa. Da bi se izračunali, izračunati omjeri su grupisani po četvrtinama, kao što je prikazano na Sl. 15 u kolonama G-O.

Zatim se pronađu prosječne vrijednosti omjera za svaki kvartal (kolona E na slici 15). Na primjer, prosjek svih koeficijenata za prvi kvartal je 1,108. Ova vrijednost je sezonski indeks za prvi kvartal, iz čega se može zaključiti da obim prodaje uglja za prvi kvartal u prosjeku iznosi oko 110,8% relativne prosječne godišnje prodaje.

Sezonski indeks je prosječan omjer podataka koji se odnose na jednu sezonu (u ovom slučaju sezona je četvrtina) prema svim podacima. Ako je sezonski indeks veći od 1, onda je učinak ove sezone iznad prosjeka za godinu, slično, ako je sezonski indeks ispod 1, onda je učinak sezone ispod prosjeka za godinu.

Konačno, da biste isključili sezonsku komponentu iz originalnih podataka, vrijednosti izvornih podataka treba podijeliti s odgovarajućim sezonskim indeksom. Rezultati ove operacije prikazani su u kolonama F i G (slika 16). Grafikon podataka koji više ne sadrži sezonsku komponentu prikazan je na Sl. 17.

Predviđanje

Na osnovu podataka iz kojih je isključena sezonska komponenta, gradi se prognoza. Za to se koristi odgovarajuća metoda koja uzima u obzir prirodu ponašanja podataka (na primjer, podaci imaju trend ili su relativno konstantni). U ovom primjeru, prognoza je napravljena korištenjem jednostavnog eksponencijalnog izglađivanja. Optimalna vrijednost parametra α nalazi se pomoću alata Solver. Grafikon prognoze i stvarnih podataka sa isključenom sezonskom komponentom prikazan je na sl. osamnaest.

Računovodstvo sezonske strukture

Sada moramo uzeti u obzir sezonsku komponentu u prognozi (1726,5). Da biste to učinili, pomnožite 1726 sa sezonskim indeksom prvog kvartala od 1,108, što rezultira vrijednošću od 1912. Slična operacija (množenje 1726 sa sezonskim indeksom od 0,784) dat će prognozu za drugi kvartal, jednaku 1353. Rezultat dodavanja sezonske strukture rezultujućoj prognozi prikazan je na Sl. devetnaest.

Opcije zadatka:

Zadatak 1

Dati vremensku seriju

t
x

1. Nacrtajte zavisnost x = x(t).

1. Koristeći jednostavan pokretni prosjek preko 4 čvora, predvidite potražnju u 11. vremenskoj tački.
2. Je li ova metoda predviđanja prikladna za ove podatke ili ne? Zašto?
3. Pokupiti linearna funkcija aproksimacija podataka metodom najmanjih kvadrata.

Zadatak 2

Koristeći model predviđanja prihoda kompanije Startup Airlines (Startup.xls), učinite sljedeće:

Zadatak 3

Za vremenske serije

t
x

trci:

1. Koristeći ponderisani pokretni prosjek za 4 čvora i dodjeljivanje pondera 4/10, 3/10, 2/10, 1/10, predvidite potražnju u 11. vremenskoj tački. Veću težinu treba pripisati novijim zapažanjima.
2. Da li je ova aproksimacija bolja od jednostavnog pokretnog prosjeka preko 4 čvora? Zašto?
3. Pronađite srednju vrijednost apsolutnih odstupanja.
4. Koristite alat Solver da pronađete optimalne težine čvorova. Za koliko se smanjila greška aproksimacije?
5. Koristite eksponencijalno izglađivanje za predviđanje. Koja od korištenih metoda daje najbolje rezultate?

Zadatak 4

Analizirajte vremenske serije

Vrijeme

Potražnja

1. Koristite ponderisani pokretni prosek sa 4 čvora sa težinama 4/10, 3/10, 2/10, 1/10 da biste dobili prognozu u vremenima 5-13. Veću težinu treba pripisati novijim zapažanjima.
2. Pronađite srednju vrijednost apsolutnih odstupanja.
3. Mislite li da je ova aproksimacija bolja od modela jednostavnog pokretnog prosjeka sa 4 čvora? Zašto?
4. Koristite alat Solver da pronađete optimalne težine čvorova. Za koliko ste uspjeli smanjiti vrijednost greške?
5. Koristite eksponencijalno izglađivanje za predviđanje. Koja od korištenih metoda daje najbolji rezultat?

Zadatak 5

Dati vremensku seriju

Zadatak 7

Menadžer marketinga male kompanije u razvoju koja sadrži lanac prehrambenih prodavnica ima informacije o obimu prodaje za sve vreme postojanja najprofitabilnije prodavnice (vidi tabelu).

Koristeći jednostavan pokretni prosjek za 3 čvora, predvidite vrijednosti u čvorovima 4 do 11.

Koristeći ponderisani pokretni prosjek za 3 čvora, predvidite vrijednosti u čvorovima od 4 do 11. Koristite alat za rješavanje da odredite optimalne težine.

Koristite eksponencijalno izglađivanje da predvidite vrijednosti u čvorovima 2-11. Odredite optimalnu vrijednost parametra α pomoću alata Solver.

Koja od dobijenih prognoza je najtačnija i zašto?

Zadatak 8

Dati vremensku seriju

1. Zaplet ove vremenske serije. Povežite tačke pravim linijama.
2. Koristeći jednostavan pokretni prosjek za 4 čvora, predvidite potražnju za čvorovima 5-13.
3. Pronađite srednju vrijednost apsolutnih odstupanja.
4. Da li je razumno koristiti ovu metodu predviđanja za prikazane podatke?
5. Da li je ova aproksimacija bolja od jednostavnog pokretnog prosjeka preko 3 čvora? Zašto?
6. Nacrtajte linearni i kvadratni trend iz podataka.
7. Koristite eksponencijalno izglađivanje za predviđanje. Koja od korištenih metoda daje najbolje rezultate?

Zadatak 10

Business_Week.xls radna sveska prikazuje podatke iz Business Week-a za 43 mjeseca mjesečne prodaje automobila.

1. Uklonite sezonsku komponentu iz ovih podataka.
2. Odredite najbolja metoda predviđanje dostupnih podataka.
3. Kakva je prognoza za 44. period?

Zadatak 11

1. jednostavno kolo prognoziranje, kada se vrijednost za posljednju sedmicu uzima kao prognoza za narednu sedmicu.
2. Metoda pokretnog prosjeka (sa brojem čvorova po vašem izboru). Pokušajte koristiti nekoliko različitih vrijednosti čvora.

Zadatak 12

Bank.xls radna sveska prikazuje učinak banke. Razmislite sledećim metodama predviđanje vrijednosti ove vremenske serije.

Kao prognoza koristi se prosječna vrijednost indikatora za sve prethodne sedmice.

Metoda ponderisanog pokretnog prosjeka (sa brojem čvorova po vašem izboru). Pokušajte koristiti nekoliko različitih vrijednosti čvora. Koristite alatku Solver da odredite optimalne težine.

Metoda eksponencijalnog izglađivanja. Pronađite optimalnu vrijednost parametra α pomoću alata Solver.

Koju od gore predloženih metoda predviđanja biste preporučili za predviđanje vrijednosti ove vremenske serije?

Književnost

Slične informacije.

04/02/2011 - Čovekova želja da podigne veo budućnosti i predvidi tok događaja ima istu dugu istoriju kao i njegovi pokušaji da razume svijet. Očigledno je da su prilično jaki vitalni motivi (teorijski i praktični) u osnovi interesovanja za prognozu. Prognoza djeluje kao najvažnija metoda testiranje naučnih teorija i hipoteza. Sposobnost predviđanja budućnosti sastavni je dio svijesti, bez koje bi i sam ljudski život bio nemoguć.

Koncept "prognoza" (od grčkog prognosis - predviđanje, predviđanje) znači proces razvoja vjerovatnoćeg suda o stanju neke pojave ili procesa u budućnosti, to je znanje o onome što još nije, ali ono što može doći u bliskoj ili daljoj budućnosti.

Sadržaj prognoze je složeniji od predviđanja. S jedne strane, odražava najvjerovatnije stanje objekta, a s druge strane određuje načine i sredstva za postizanje željenog rezultata. Na osnovu informacija dobijenih na prediktivni način donose se određene odluke za postizanje željenog cilja.

Treba napomenuti da je dinamika ekonomskih procesa u savremeni uslovi karakteriziraju nestabilnost i neizvjesnost, što otežava korištenje tradicionalnih metoda predviđanja.

Eksponencijalno izglađivanje i modeli predviđanja pripadaju klasi adaptivnih metoda predviđanja, čija je glavna karakteristika sposobnost kontinuiranog uzimanja u obzir evolucije dinamičkih karakteristika procesa koji se proučavaju, prilagođavanja ovoj dinamici, dajući, posebno, veću težinu i veća je informativna vrijednost dostupnih zapažanja, to su ona bliža trenutni trenutak vrijeme. Značenje termina je da vam adaptivno predviđanje omogućava ažuriranje prognoza sa minimalnim kašnjenjem i korištenjem relativno jednostavnih matematičkih procedura.

Metoda eksponencijalnog izglađivanja je nezavisno otkrivena Brown(Brown R.G. Statistical forecasting for inventory control, 1959) i Holt(Holt C.C. Predviđanje sezonskih i trendova prema eksponencijalno ponderisanim pokretnim prosecima, 1957.). Eksponencijalno izglađivanje, poput metode pokretnog prosjeka, koristi prošle vrijednosti vremenske serije za predviđanje.

Suština metode eksponencijalnog izglađivanja je da se vremenska serija izglađuje korištenjem ponderiranog pokretnog prosjeka, u kojem se ponderi pridržavaju eksponencijalnog zakona. Ponderisani pokretni prosek sa eksponencijalno raspoređenim težinama karakteriše vrednost procesa na kraju intervala ujednačavanja, tj. prosečna karakteristika poslednji nivoi red. Ovo svojstvo se koristi za predviđanje.

Normalno eksponencijalno izglađivanje se primjenjuje kada nema trenda ili sezonalnosti u podacima. U ovom slučaju, predviđanje je ponderisani prosek svih dostupnih prethodnih vrednosti serije; u ovom slučaju, težine se geometrijski smanjuju s vremenom kako se krećemo u prošlost (unazad). Stoga (za razliku od metode pokretnog prosjeka) ne postoji tačka u kojoj se težine prekidaju, tj. nula. Pragmatično jasan model jednostavnog eksponencijalnog izglađivanja može se napisati na sljedeći način (sve formule članka možete preuzeti sa datog linka):

Pokažimo eksponencijalnu prirodu smanjenja pondera vrijednosti vremenske serije - od trenutnog do prethodnog, od prethodnog do prethodnog-prethodnog i tako dalje:

Ako se formula primjenjuje rekurzivno, onda se svaka nova izglađena vrijednost (koja je također predviđanje) izračunava kao ponderirani prosjek trenutnog opažanja i izglađene serije. Očigledno, rezultat izglađivanja zavisi od parametra prilagođavanja alfa. Može se tumačiti kao diskontni faktor koji karakteriše meru devalvacije podataka po jedinici vremena. Štaviše, uticaj podataka na prognozu opada eksponencijalno sa „starošću“ podataka. Zavisnost uticaja podataka na prognozu na različiti koeficijenti alfa prikazano na slici 1.

Slika 1. Zavisnost utjecaja podataka na prognozu za različite koeficijente adaptacije

Treba napomenuti da vrijednost parametra izglađivanja ne može biti jednaka 0 ili 1, jer se u ovom slučaju odbacuje sama ideja eksponencijalnog izglađivanja. Sta ako alfa jednako 1, tada je predviđena vrijednost F t+1 odgovara trenutnoj vrijednosti reda Xt, dok eksponencijalni model teži najjednostavnijem “naivnom” modelu, odnosno u ovom slučaju predviđanje je apsolutno trivijalan proces. Ako a alfa jednaka 0, tada je početna vrijednost prognoze F0 (početna vrijednost) će istovremeno biti prognoza za sve naredne trenutke serije, odnosno prognoza će u ovom slučaju izgledati kao redovna horizontalna linija.

Međutim, razmotrimo varijante parametra za izravnavanje koje su blizu 1 ili 0. Dakle, ako alfa blizu 1, tada su prethodna zapažanja vremenske serije skoro potpuno zanemarena. Ako alfa blizu 0, tada se trenutna zapažanja zanemaruju. Vrijednosti alfa između 0 i 1 daju između tačne rezultate. Prema nekim autorima, optimalna vrijednost alfa je u rasponu od 0,05 do 0,30. Međutim, ponekad alfa, veći od 0,30 daje bolje predviđanje.

Općenito, bolje je procijeniti optimalno alfa na osnovu sirovih podataka (koristeći pretragu mreže), a ne koristeći umjetne preporuke. Međutim, ako vrijednost alfa, veći od 0,3 minimizira brojne posebne kriterijume, to ukazuje da je druga tehnika predviđanja (koristeći trend ili sezonski karakter) u stanju da pruži još preciznije rezultate. Da biste pronašli optimalnu vrijednost alfa(odnosno minimiziranje posebnih kriterijuma). kvazi-njutnovski algoritam maksimizacije vjerovatnoće(vjerovatnost), što je efikasnije od uobičajenog nabrajanja na mreži.

Prepišimo jednačinu (1) u obliku alternativne verzije koja nam omogućava da procijenimo kako model eksponencijalnog izglađivanja „uči“ iz svojih prošlih grešaka:

Jednačina (3) jasno pokazuje da je prognoza za period t+1 podložan je promjeni u smjeru povećanja, u slučaju prekoračenja stvarne vrijednosti vremenske serije u periodu t preko prognozirane vrijednosti, i obrnuto, prognoze za period t+1 treba smanjiti ako X t manje od F t.

Imajte na umu da kada koristite metode eksponencijalnog izglađivanja važno pitanje uvijek je određivanje početnih uslova (početna prognozirana vrijednost F0). Proces odabira početne vrijednosti izglađene serije naziva se inicijalizacija ( inicijaliziranje), ili, drugim riječima, „zagrijavanje“ (“ zagrijavanje”) modeli. Stvar je u tome da početna vrijednost izglađenog procesa može značajno utjecati na prognozu za naredna promatranja. S druge strane, uticaj izbora opada sa dužinom serije i postaje nekritičan za veoma veliki broj posmatranja. Brown je bio prvi koji je predložio korištenje prosjeka vremenske serije kao početne vrijednosti. Drugi autori predlažu korištenje prve stvarne vrijednosti vremenske serije kao početne prognoze.

Sredinom prošlog stoljeća, Holt je predložio proširenje jednostavnog eksponencijalnog modela izglađivanja uključivanjem faktora rasta ( faktor rasta), ili inače trend ( faktor trenda). Kao rezultat toga, Holtov model se može napisati na sljedeći način:

Ova metoda vam omogućava da uzmete u obzir prisustvo linearnog trenda u podacima. Kasnije su predložene druge vrste trendova: eksponencijalni, prigušeni, itd.

Winters predložio poboljšanje Holt modela u smislu mogućnosti opisivanja uticaja sezonskih faktora (Winters P.R. predviđanje prodaje prema eksponencijalno ponderiranim pokretnim prosjecima, 1960.).

Konkretno, on je dalje proširio Holtov model uključivanjem dodatne jednačine koja opisuje ponašanje sezonska komponenta(komponenta). Sistem jednačina Wintersovog modela je sljedeći:

Razlomak u prvoj jednadžbi služi za isključivanje sezonalnosti iz originalne serije. Nakon isključenja sezonalnosti (prema metodi sezonske dekompozicije PopisI) algoritam radi sa „čistim“ podacima, u kojima nema sezonskih fluktuacija. Pojavljuju se već u konačnoj prognozi (15), kada se „čista“ prognoza, izračunata skoro po Holtovoj metodi, pomnoži sa sezonska komponenta (indeks sezonskosti).