Primjer paradoksa: ako se obala Velike Britanije mjeri u dijelovima od 100 km, tada je njena dužina otprilike 2.800 km. Ako se koriste dionice od 50 km, dužina je otprilike 3.400 km, što je 600 km duže.

Dužina obala zavisi kako se meri. Budući da se kopnena masa može okarakterizirati krivuljama bilo koje veličine, od stotina kilometara do djelića milimetra ili manje, ne postoji očigledan način za odabir veličine najmanjeg elementa koji treba uzeti za mjerenje. Shodno tome, nemoguće je jednoznačno odrediti obim ovog područja. Postoje različite matematičke aproksimacije za rješavanje ovog problema.

Glavna metoda za procjenu dužine granice ili obale bila je superponiranje N segmenti jednake dužine l na karti ili zračnoj fotografiji pomoću kompasa. Svaki kraj segmenta mora pripadati granici koja se mjeri. Ispitujući odstupanja u procjeni granica, Richardson je otkrio ono što se sada zove Richardsonov efekat: Mjerna skala je obrnuto proporcionalna ukupnoj dužini svih segmenata. Odnosno, što je ravnalo kraće, to je izmjerena granica duža. Tako su španski i portugalski geografi jednostavno bili vođeni mjerenjima na različitim skalama.

Ono što je najupečatljivije za Richardsona bilo je to kada je vrijednost l teži nuli, dužina obale teži beskonačnosti. Richardson je u početku vjerovao, na osnovu euklidske geometrije, da će ova dužina dostići fiksnu vrijednost, kao što je slučaj sa regularnim geometrijski oblici. Na primjer, perimetar pravilan poligon, upisan u krug, približava se dužini samog kruga kako se broj stranica povećava (a dužina svake strane se smanjuje). U teoriji geometrijskih mjerenja, glatka kriva kao što je kružnica, koja se može približno predstaviti u obliku malih segmenata sa datom granicom, naziva se kriva koja se može ispraviti.

Više od deset godina nakon što je Richardson završio svoj rad, Mandelbrot je razvio novu granu matematike, fraktalnu geometriju, kako bi opisao takve neispravljive komplekse koji postoje u prirodi, kao što je beskrajna obala. Njegovo vlastitu definiciju fraktal kao osnova njegovog istraživanja je kako slijedi:

Izmislio sam riječ fraktal, na osnovu Latinski pridjev fractus. Odgovarajući latinski glagol frangere znači break: Kreirajte nepravilne fragmente. Stoga je razumno da, pored „fragmentarnog“, fractus takođe mora značiti "nepravilan".

Ključno svojstvo fraktala je samosličnost, koja se sastoji u pojavi iste opšte figure u bilo kojoj skali. Obala se doživljava kao izmjena zaljeva i rtova. Hipotetički, ako određena obala ima svojstvo samosličnosti, tada će, bez obzira na to koliko je jedan ili drugi dio, i dalje postojati sličan obrazac manjih uvala i rtova koji se naslanjaju na veće uvale i rtove, sve do zrna pijesak. Na ovim razmjerima, čini se da je obala trenutno promjenjiva, potencijalno beskonačna nit sa stohastičkim rasporedom zaljeva i rtova. U takvim uslovima (za razliku od glatkih krivina), Mandelbrot kaže: „Dužina obale je neuhvatljiv pojam, koji klizi između prstiju onih koji pokušavaju da je razumeju.”

gdje je dužina obale L funkcija jedinice ε i aproksimirana je izrazom na desnoj strani. F je konstanta, D je Richardsonov parametar, ovisno o samoj obali (Richardson nije dao teorijsko objašnjenje ovu veličinu, međutim, Mandelbrot je definirao D kao necijeli oblik Hausdorffove dimenzije, kasnije fraktalne dimenzije. Drugim riječima, D je praktično izmjerena vrijednost “hrapavosti”). Pregrupisavši se desna strana izraze, dobijamo:

gdje Fε -D mora biti broj ε jedinica potrebnih za dobijanje L. Fraktalna dimenzija je broj dimenzija objekta koji se koristi za aproksimaciju fraktala: 0 za tačku, 1 za pravu, 2 za figure površine. Zbog slomljena linija, koji mjeri dužinu obale, ne pruža se u jednom smjeru i istovremeno ne predstavlja površinu, vrijednost D u izrazu zauzima međupoziciju između 1 i 2 (za obalu je obično manja od 1.5). Može se tumačiti kao debela linija ili pruga širine 2ε. Više „polomljenih“ obala ima veću vrijednost D i stoga se L ispostavlja dužim za isto ε. Mandelbrot je pokazao da D ne zavisi od ε.

Općenito, obale se razlikuju od matematičkih fraktala jer su formirane korištenjem brojnih malih detalja koji stvaraju obrasce samo statistički.

U stvarnosti, na obalama nema detalja manjih od 1 cm [ ] . To je zbog erozije i drugih morskih pojava. Na većini mjesta minimalna veličina je mnogo veća. Stoga, beskonačni fraktalni model nije prikladan za obale.

Iz praktičnih razloga, odaberite minimalnu veličinu dijelova jednaku redoslijedu mjernih jedinica. Dakle, ako se obala mjeri u kilometrima, onda manje promjene linije mnogo manje od jednog kilometra jednostavno se ne uzimaju u obzir. Za mjerenje obale u centimetrima, moraju se uzeti u obzir sve male varijacije oko jednog centimetra. Međutim, na skali od reda centimetara, moraju se napraviti različite proizvoljne nefraktalne pretpostavke, na primjer gdje se estuar spaja s morem, ili na mjestima gdje se mjerenja moraju vršiti na širokim vatima. Osim toga, upotreba razne metode mjerenja za različite mjerne jedinice ne dozvoljavaju konverziju ovih jedinica jednostavnim množenjem.

Za utvrđivanje stanja teritorijalne vode grade takozvane krivulje obale kanadske provincije Britanske Kolumbije; one čine više od 10% dužine kanadske obale (uzimajući u obzir sva ostrva kanadskog arktičkog arhipelaga) - 25.725 km od 243.042 km na linearnoj udaljenosti od samo 965 km

Dužina obale

Da li je to mjerljivo?
Imamo li pravo da navodimo dužinu u udžbenicima?
obala i zar nas neće biti neugodno,
tražeći ovu cifru od studenata?

K.S. LAZAREVICH

Na časovima geografije radimo sa mnogim statističkim pokazateljima. Većina njih izgleda vrlo jednostavno i jasno: toliko miliona ljudi, toliko miliona tona uglja, toliko kilometara. Ali to je ako ne razmišljate o tome. Ali samo morate kopati dublje u bilo koji broj i on prestaje biti jasan. Ponekad se raspadne u prah. Evo primjera.
Otvaramo nedavno objavljeni Atlas svijeta, koji je upravo pušten u prodaju (M.: Savezno državno jedinstveno preduzeće za proizvodnju kartografije, 2003.). U tabeli „Države i teritorije sveta“ nalazimo: „Glavni grad Francuske je Pariz (2.125,2 hiljade stanovnika). Ako student da takvu cifru na ispitu, da li će ispitivač biti zadovoljan? Na kraju krajeva, Pariz je jedan od njih najveći centri Evrope i ništa manje od Sankt Peterburga. Ali u navedenoj cifri nema greške: ovo je Pariz unutar administrativnih granica grada Pariza. A u granicama stvarno uspostavljenog urbanog klastera, to je grad od deset miliona dolara. Mnogo zavisi od toga kako računate. To ne znači da možemo prihvatiti bilo koji broj u rasponu od 2,2 do 10 od učenika kao odgovor; Prilikom citiranja ovog ili onog broja, učenik mora razumjeti šta je iza toga, šta se mjeri i kako.
Milion tona visokokalorijskog uglja i mrkog uglja su različiti milioni.
Ali izgledalo je kao kilometri. Kilometar je također kilometar u Africi. A šta se meri kilometrima može da se dovede u pitanje? Ali ispada da čak i kada daje dužine u kilometrima, autor udžbenika mora prvo da razmisli. Nastavnik, koristeći udžbenik, takođe mora podvrgnuti figuri kritička analiza, prije nego što ga emituju studentima i zahtijevaju od njih da ga zapamte. Čitamo udžbenik za 10. razred: „Kanada ima izlaz na tri okeana, i ukupna dužina njena obala (oko 250 hiljada km) nema premca u svijetu.” Kako je mjerena obala, šta je mjereno, kako je mjereno, čime je mjereno? Kako uopće možete izmjeriti obalu?

Nepravilne krivulje na karti mogu se izmjeriti pomoću curvimetra - točak ovog uređaja se kotrlja duž krivine, pažljivo bilježeći svaku krivu. Međutim, vijugavost obale je često toliko velika da ju je nemoguće pratiti curvimetrom. Morate hodati duž krivine sa mjernim kompasom. Najprikladnija dužina koraka je 2 mm. Na različitim skalama, ovaj korak odgovara, naravno, različitim udaljenostima; takvo mjerenje nikada neće dati tačnu dužinu, jer svaki korak ispravlja krivulju na malom segmentu, ali relativna greška manje-više očuvana.
Pokušajmo, radi primjera, izmjeriti dužinu obale Čukotskog autonomnog okruga. Uzmimo kartu iz školskog atlasa o geografiji Rusije (razmjera 1: 22 000 000) i prošetajmo cijelom čukčiskom obalom korakom kompasa od dva milimetra (44 km). Rezultat će biti 4300 km (98 koraka kompasa). Napravimo isto mjerenje pomoću karte razmjera
1: 7 500 000. Ovdje ćemo već izbrojati 345 koraka od dva milimetra (15 km), tj.
5.200 km. Logično je pretpostaviti da ako se u mjerenjima koristi karta još većeg razmjera, izmjerena obalna linija će postati još ekstenzivnija.
Uradimo još jedan eksperiment. Dužina obale Lenjingradske oblasti. na mapi
1: 22.000.000 - 300 km, prema karti 1: 2.500.000 - 555 km, a prema topografska karta
1: 500.000 - 670 km. Istovremeno, dužina same obale zaljeva Vyborg (gdje su obale posebno razvedene zaljevima i uvalama), mjerena na topografskoj karti, iznosi 338 km, dok je prema školskom atlasu 65 km (razlika od više od
5 puta!).
Dakle, dolazi do prirodnog povećanja dužine mjerene obalne linije sa povećanjem razmjera. Razlog nije samo u tome što korak kompasa od dva milimetra odgovara sve manjoj vrijednosti na tlu, već uglavnom zato što sama linija, čak i ako je vrlo precizno izmjerena i konvertirana u skladu sa skalom u kilometrima, zapravo postaje duži (sl. 1) . Na karti Rusije u blizini obale Lenjingradske oblasti. Vidljivi su samo zaljev Vyborg, zaljev Neva i male krivine južne obale Finskog zaljeva. Na karti razmjera 1: 2 500 000 obrisi zaljeva Vyborg već su prilično složeni, a na jugu su jasno vidljivi zaljevi Koporskaya i Luga. Na mapi staroj pola miliona godina postoji mnogo drugih malih zaliva unutar zaliva Viborg, od kojih neki imaju vlastita imena(Baltiets Bay, Klyuchevskaya Bay), a samo južna obala Finskog zaljeva izgleda malo promijenjena u odnosu na prethodnu ljestvicu; tamo je obala mnogo manje hrapava.

Kako odrediti tačnu dužinu obale?
Engleski meteorolog Richardson je sebi postavio ovaj cilj, odabravši svoje rodno ostrvo, Veliku Britaniju, kao poligon za testiranje. Došao je do zaključka da se dužina obalne linije povećava sa povećanjem razmjera karte kojom se ta dužina mjeri (sl. 2). Postoji li granica za ovo povećanje? Teško. Dužinu obale povećava svaki mali pješčani izljev koji strši u more, svaka udubljenja koja stvara maleni zaljev, svaki šljunak koji teče oko vode. Čak i na karti najvećeg razmjera nisu vidljivi, ali u stvarnosti sve ove nepravilnosti u obalnoj liniji postoje.

Postoji mnogo primjera kako se to koristi matematičke metode omogućava vam da geografsko istraživanje učinite uvjerljivijim, pouzdanijim. Ovdje se dogodilo suprotno: geografska istraživanja - proučavanje dužine obale - doprinijela su nastanku novog matematički koncept. engleski naziv Ovaj koncept je fraktalan, ali na ruskom još nije u potpunosti uspostavljen i nalazi se u tri verzije: fraktal(genitiv i instrumentalni slučajeviće fraktal, fraktal), fraktal u muškom rodu ( fraktal, fraktal) I fraktal u ženskom rodu ( fraktali, fraktal); iza U poslednje vreme izgleda da naginje fraktal.
Fraktal je linija čiji svaki fragment postaje beskonačno složeniji, dužina svakog fragmenta i cijele linije se stalno povećava. Primjer je figura koja se obično naziva Koch pahulja, iako je ovaj naziv netačan: ova pahulja je izgrađena početkom dvadesetog stoljeća. Helga von Koch, a njeno prezime ne treba odbiti.
Uzmimo jednakostranični trougao. Podijelimo svaku stranu na tri jednaka dijela i konstruirajmo jednakostranični trokut na srednjem segmentu svake strane. Rezultat je pravilna šestokraka zvijezda, figura sa šest konveksnih uglova i šest ulaznih uglova. Podijelimo svaku njegovu stranu (a ima ih 12) na tri jednaka dijela i ponovo konstruirajmo jednakostranični trokut na srednjem segmentu svake strane. Rezultat će biti figura sa 48 strana, sa 18 konveksnih i 30 ponavljajućih uglova. Ponavljajući ovu operaciju beskonačan broj puta (to se može učiniti, naravno, samo mentalno), dobićemo figuru čija se površina stalno povećava, ali sve sporije, postepeno približavajući se određenoj granici (slika 3). Opseg ove figure se neograničeno povećava, jer svaki put kada izgradimo novi jednakostranični trokut na strani figure, ma koliko ona bila mala, tri jednaka segmenta ove stranice zamjenjuju se četiri jednaka, a time i dužina svake stranice (a samim tim i cijeli perimetar) se povećava za 4/3 puta, a bilo koji broj veći od jedan na stepen jednak beskonačnosti (a mi radimo konstrukciju beskonačan broj puta) teži beskonačnosti.

Rice. 3 Pahulja Koch - različite faze izgradnje

Granica snježne pahulje bit će nešto poput široke, čupave linije, koja će ispuniti cijelo granično područje ove figure. Koncepti "široka linija", "debela površina", naizgled apsurdni sa stanovišta klasične matematike (linija nema širinu, a površina nema debljinu), stekli su državna prava razvojem teorije fraktala. . Vjeruje se da je linija jednodimenzionalna, da ima samo dužinu, položaj točke na njoj određen je jednom koordinatom; površina je dvodimenzionalna, ima površinu, položaj tačke na njoj određuju dvije koordinate; tijelo je trodimenzionalno, ima zapreminu, potrebne su tri koordinate. A teorija fraktala uvodi koncept frakcijske dimenzije: linija nije postala dvodimenzionalna, već je prestala biti jednodimenzionalna. Nespremnoj osobi je to prilično teško razumjeti (ne možete kihnuti jedan i po put), ali ako se sjetimo kako se obala ponaša - ne samo na karti, već i u prirodi, kako se mijenja ako pogledate to, čučeći, pa ustajati u punoj visini, pa se penjati na planinu, pa poletjeti avionom ili svemirskim brodom, nećemo toliko razumjeti koliko ćemo osjetiti šta složen sistem predstavlja ovu liniju; Njoj definitivno nije dovoljna jedna karakteristika - dužina.
A teorija fraktala, nastala iz geografskih istraživanja, sama po sebi dolazi u pomoć geografiji. Metoda za proučavanje reljefa kao fraktala još nije razvijena, ali definitivno obećava. Gledajući olakšanje unutra opšti pogled, crtajući ga na karti male veličine, vidimo planinske lance, visoravni, duboke doline. U prosjeku se već pojavljuju brda, male doline i jaruge. Još veći - i možete vidjeti humke i valove vjetra na pijesku. Ali to nije granica: postoje pojedinačni kamenčići i zrnca pijeska. U praktičnom smislu, sve je to važno jer morate naučiti kako pravilno odabrati objekte za prikaz na kartama različitih mjerila; Jedna od glavnih grešaka kompajlera karata je neslaganje između sadržaja karte i njene skale; mapa je ili podopterećena ili preopterećena.
Ali šta učiniti s dužinom obale? Odbiti da ga izmjerite jer je nemjerljiv?
Ne, ovo nije opcija. Jednostavno, kada dajete dužinu obale, uvijek treba naznačiti na kojim kartama je mjerila i na koji način. I obavezno navedite u isto vrijeme, da li je obala ostrva uzeta u obzir ili ne. Bez navođenja razmjera karata i da li su otoci uključeni ili ne, bilo kakav podatak o dužini obale postaje besmislen. Nažalost, čak i u izvorima koji tvrde da su potpuno pouzdani, mogu se pronaći strašni apsurdi. Na primjer, poznata web stranica CIA-e " Svijet Knjiga činjenica". Ovdje su dati podaci o obali za svaku zemlju i okean, ali metoda mjerenja nije navedena. Kao rezultat toga, obala Kanade je veća od 200 hiljada km, Arktički okean - 45,4 hiljade km, Atlantski okean - 111,9 hiljada km (podaci su dati - nemojte misliti pogrešno! - do najbliži kilometar). Kanada se smatrala uzimajući u obzir ostrva, to je sigurno; Kako su okeani smatrani je nepoznato, ali obala dva od tri okeana koja okružuju Kanadu zbrajaju manje od obale Kanade. Za Norvešku ta brojka iznosi 21.925 km i navodi se napomena: „Kopno 3419 km, velika ostrva 2413 km, dugi fjordovi, brojna mala ostrva i male zavoje [doslovno prevedeno zarezi] obala 16.093 km.” Zbir iznosi tačno naznačenu ukupnu dužinu obale. Ali zašto obale fjordova nisu dio obale kopna, zašto se dužina nazubljenih rubova dodaje dužini obale kopna, koja se ostrva smatraju velikim - o svemu tome možemo samo nagađati. Apsolutno neosporni podaci u ovoj tabeli dati su samo za Andoru, Austriju, Bocvanu, Mađarsku, Svazilend i slične zemlje koje nemaju izlaz na more - piše: „0 km“.

Dobro poznata činjenica:

Primjer paradoksa: ako se obala Velike Britanije mjeri u dijelovima od 100 km, tada je njena dužina otprilike 2.800 km. Ako se koriste dionice od 50 km, dužina je otprilike 3.400 km, što je 600 km duže.

Dužina obale ovisi o tome kako se mjeri. Budući da se kopnena masa može okarakterizirati krivuljama bilo koje veličine, od stotina kilometara do djelića milimetra ili manje, ne postoji očigledan način za odabir veličine najmanjeg elementa koji treba uzeti za mjerenje. Shodno tome, nemoguće je jednoznačno odrediti obim ovog područja. Postoje različite matematičke aproksimacije za rješavanje ovog problema.

Sličan efekat postoji i za tržišta, jer ono ima svojstva samosličnosti ili fraktalnosti, a promena u skali posmatranja procesa promene cena utiče na dužinu grafikona.
Kakve veze ima Tatar30 s tim? Uglavnom, nema veze s tim.Ova činjenica je dobro poznata i ne preferiraju je samo lijeni. Ali Tatar30 me je konačno natjerao da tu činjenicu koristim u svom djelovanju na tržištu. Tačnije, ne sam Tatarin30, već njegov intervju sa Timofejem Martynovim. Izvinite, ne dajem link jer se ne sjećam.
Šta je suština mojih zaključaka...
Dužina obale može se mjeriti na različitim skalama. I dužina kretanja tržišta također
Možete trgovati velikim pokretima, oni postoje, ali ih je malo. Oni mogu ostvariti veliki profit, ali mogu napraviti i prilično veliki gubitak ako tržište odbije slijediti smjer opklade.
Ali možete izmjeriti dužinu grafikona na maloj skali. Ne zamarajući se strateškim izgledima za kretanje tržišnih cijena i globalnim ciljevima i fiksirajući svoj profit na male podjele mjernog vladara /
Koje su prednosti takve strategije - stroga kontrola gubitaka ako tržište krene po zlu.
Koje su mane - nedostatak profita ako tržište ode tamo...
S obzirom na činjenicu da se veliki trendovi javljaju mnogo rjeđe od malih kretanja, te da će se veliko kretanje u bilo kojem smjeru realizirati u obliku mnogih impulsa i povlačenja u odnosu na strateški smjer tržišta, ovaj pristup bi trebao dati više u dugoročni prednosti nego mane.
Da, lijepo je ispravno procijeniti pravac i ostvariti profit. Ali cijena greške u dugoročnom trgovanju je također visoka. A putovanje od 1000 li počinje jednim korakom. Stoga je bolje reagovati na ovaj jedan korak i uzeti profit nego čekati zaokret u prethodnom smjeru dok se gubi gubitak.
I o fraktalima. Billy Williams i njegovi fraktali nemaju apsolutno nikakve veze s ovim.

Kada proučavate geografiju, vi, naravno, zapamtite da svaka zemlja ima svoje područje i dužinu granice, posebno, ako zemlju opere more ili okean, onda ima pomorsku granicu određene dužine. Jeste li se ikada zapitali kako se određuje dužina ove granice? Američki matematičar Benoit Mandelbrot je 1977. postavio sebe sljedeće pitanje: Kolika je dužina obale Velike Britanije? Ispostavilo se da je nemoguće tačno odgovoriti na ovo "djetinjasto pitanje". Godine 1988. norveški naučnik Jens Feder odlučio je da otkrije dužinu norveške obale. Imajte na umu da je obala Norveške jako razvedena fjordovima. Drugi naučnici su sebi postavljali slična pitanja o dužini obala australskih obala, Južna Afrika, Njemačku, Portugal i druge zemlje.

Dužinu obale možemo izmjeriti samo približno. Kako umanjujemo, moramo mjeriti sve više malih rtova i zaljeva - dužina obale se povećava, a jednostavno nema objektivnog ograničenja za smanjenje razmjera (a time i povećanje dužine obalne linije); prisiljeni smo priznati da ova linija ima beskonačna dužina. Znamo da je dimenzija prave linije jedan, kvadrata dva, a kocke tri. Mandelbrot je predložio korištenje frakcijskih dimenzija - Hausdorff - Besicovitch dimenzija - za mjerenje "monstruoznih" krivulja. Beskrajno isprekidane krivine poput obale nisu sasvim linije. Čini se da „mete“ dio aviona, poput površine. Ali ni one nisu površine. To znači da je razumno pretpostaviti da je njihova dimenzija veća od jedne, ali i manja od dvije, odnosno da se radi o objektima s razlomcima.

Norveški naučnik E. Feder predložio je drugi način mjerenja dužine obale. Mapa je bila prekrivena kvadratnom mrežom, čije ćelije imaju dimenzije e? e. Vidi se da je broj N(e) takvih ćelija koje pokrivaju obalu na karti približno jednak broju koraka u kojima se može obići obalu na karti pomoću kompasa sa rješenjem e. Ako se e smanji, tada će se broj N(e) povećati. Da je dužina obale Velike Britanije određene dužine L, zatim broj koraka kompasa s rješenjem (ili broj kvadratne ćelije N(e) koja pokriva obalu na karti) bila bi obrnuto proporcionalna e, a vrijednost Ln (e)=N(e) ? e bi težilo konstantnom L kako se k smanjuje. Nažalost, proračuni koje su sproveli mnogi naučnici su pokazali da to nije sasvim tačno. Kako se korak smanjuje, izmjerena dužina se povećava. Pokazalo se da se odnos između izmjerene dužine L(e) i koraka e može opisati približnom relacijom

Koeficijent D se naziva fraktalna dimenzija. Reč fraktal potiče od latinska reč fraktal - frakcijski, necijeli broj. Skup se naziva fraktalnim ako ima dimenziju koja nije cijeli broj. Za Norvešku D=1,52, a za Veliku Britaniju D=1,3. Dakle, obala Norveške i Velike Britanije je fraktal fraktalne dimenzije D. Proračuni su rađeni i za krug, a fraktalna dimenzija kruga je D=1, kako se i očekivalo. Dakle, fraktalna dimenzija je generalizacija obične dimenzije.

Kako ovo razumjeti i šta bi to moglo značiti? Matematičari su počeli da se prisećaju da li je tako nešto ranije postojalo u matematici ili ne? I setili su se! Razmotrimo dio određene prave AB na ravni (slika 3). Uzmimo kvadrat sa ivicom e i zapitamo se: koliko kvadrata N(e) sa dužinom ivice e je potrebno da pokrijemo pravu AB takvim kvadratima? Može se vidjeti da je N(e) proporcionalan

Slično, ako je zatvoreno ograničeno područje na ravni (slika 4) pokriveno kvadratnom mrežom sa stranom e, tada će minimalni broj kvadrata sa stranom e koji pokriva površinu biti jednak

Ako razmotrimo zatvoreno ograničeno područje u trodimenzionalnom prostoru i uzmemo kocku sa rubom e, tada je broj kocki koje ispunjavaju ovu regiju

Odredimo fraktalnu dimenziju na osnovu onoga što je gore navedeno u opšti slučaj na sljedeći način:

Uzmimo logaritam lijeve i desne strane

Prelaskom na granicu dok e teži nuli (N teži beskonačnosti), dobijamo

Ova jednakost je definicija dimenzije, koja se označava sa d.

Fraktali su geometrijski objekti: površinske linije, prostorna tijela koja imaju vrlo hrapav oblik i imaju svojstvo samosličnosti. Riječ fraktal dolazi od riječi fractus i prevodi se kao razlomak, slomljen. Samosličnost, kao osnovna karakteristika, znači da je raspoređena manje-više ujednačeno u širokom rasponu skala. Dakle, kada se uvećaju, mali fragmenti fraktala ispadaju vrlo slični velikim. U idealnom slučaju, takva samosličnost dovodi do činjenice da se fraktalni objekt pokazuje invarijantnim prema ekstenzijama, tj. kaže se da ima dilacijsku simetriju. Pretpostavlja se da osnovne geometrijske karakteristike fraktala ostaju nepromijenjene kada se skala promijeni.

Naravno, za pravi prirodni fraktal postoji određena minimalna skala dužine, tako da na udaljenostima njegovo glavno svojstvo - samosličnost - nestaje. Osim toga, na dovoljno velikim skalama dužine, gdje je karakteristika geometrijske veličine objekata, ovo svojstvo samosličnosti je takođe narušeno. Stoga se svojstva prirodnih fraktala razmatraju samo na skali l, zadovoljavajući odnos . Takva ograničenja su sasvim prirodna, jer kada kao primjer damo fraktal - izlomljenu, neglatku putanju Brownove čestice, onda razumijemo da je slika očigledna idealizacija. Poenta je da je na malim razmjerima vrijeme udara konačno. Kada se ove okolnosti uzmu u obzir, putanja Brownove čestice postaje glatka kriva.

Imajte na umu da je svojstvo samosličnosti karakteristično samo za regularne fraktale. Ako se umjesto determinističke metode konstrukcije u algoritam za njihovo kreiranje uključi neki element slučajnosti (kao što se, na primjer, događa u mnogim procesima difuzijskog rasta klastera, električni kvar itd.), tada nastaju takozvani slučajni fraktali. Njihova glavna razlika od uobičajenih je u tome što svojstva samosličnosti vrijede tek nakon odgovarajućeg usrednjavanja svih statistički nezavisnih realizacija objekta. U ovom slučaju, uvećani dio fraktala nije potpuno identičan originalnom fragmentu, ali oni statističke karakteristike podudaraju se. Ali fraktal koji proučavamo je jedan od klasičnih fraktala, pa samim tim i regularan.

Dužina obale

U početku je koncept fraktala nastao u fizici u vezi s problemom pronalaženja obale. Prilikom mjerenja na postojećoj karti područja, pojavio se zanimljiv detalj - što se karta većeg razmjera uzima, ispada da je ova obala duža.

Slika 1 – Mapa obale

Neka je, na primjer, udaljenost prave linije između tačaka koje se nalaze na obali A I B jednaki R(vidi sliku 1). Zatim, da izmjerimo dužinu obalne linije između ovih tačaka, postavićemo kruto duž obale srodni prijatelj jedan s drugim polovima tako da razmak između susjednih polova bude npr. l=10km. Dužina obalne linije u kilometrima između tačaka A I B onda ćemo to uzeti jednakim broju prekretnica minus jedan pomnožen sa deset. Sljedeće mjerenje ove dužine izvršit ćemo na sličan način, ali ćemo razmak između susjednih polova učiniti jednakim l=1km.

Ispostavilo se da će rezultati ovih mjerenja biti drugačiji. Kada se smanji l dobićemo sve velike vrijednosti dužina. Za razliku od glatke krivulje, linija morske obale često ispada toliko razvedena (do najmanjeg razmjera) da sa smanjenjem segmenta l magnitude L- dužina obale - ne teži konačna granica, i povećava se prema postepenom zakonu

Gdje D- određeni eksponent, koji se naziva fraktalna dimenzija obale. Što je vrijednost veća D, što je ova obala krševitija. Porijeklo ovisnosti (1) je intuitivno: što manji razmjer koristimo, manji detalji obalne linije će se uzeti u obzir i doprinijeti izmjerenoj dužini. Naprotiv, povećanjem razmjera ispravljamo obalu, smanjujući dužinu L.

Dakle, očigledno je da treba odrediti dužinu obale L koristeći čvrstu vagu l(na primjer, pomoću kompasa s fiksnim rješenjem), morate učiniti N=L/l korake i veličinu L promjene c l Dakle N zavisi od l u zakonu. Kao rezultat, kako se razmjer smanjuje, dužina obale se neograničeno povećava. Ova okolnost oštro razlikuje fraktalnu krivu od obične glatke krive (kao što je krug, elipsa), za koju je granica dužine aproksimirajuće izlomljene linije L pošto dužina njegove veze teži nuli l konačan. Kao rezultat, za glatku krivu njena fraktalna dimenzija je D=1, tj. poklapa se sa topološkim.

Predstavimo vrijednosti fraktalnih dimenzija D za različite obale. Na primjer, za Britanska ostrva D? 13 i za Norvešku D? 15. Fraktalna dimenzija australske obale D ? 1. 1. Fraktalne dimenzije ostalih obala također su bliske jedinici.

Iznad je uveden koncept fraktalne dimenzije obale. Hajdemo sada opšta definicija ovu vrijednost. Neka d- uobičajena euklidska dimenzija prostora u kojem se nalazi naš fraktalni objekt ( d=1- linija, d=2- avion, d=3- redovno trodimenzionalni prostor). Sada pokrijmo ovaj objekt u potpunosti d-dimenzionalne "loptice" radijusa l. Pretpostavimo da nam je za ovo trebalo ništa manje od N(l) lopte. Zatim, ako je za dovoljno male l magnitude N(l) mijenja se prema zakonu moći:

To D- naziva se Hausdorffova ili fraktalna dimenzija ovog objekta.