Dakle, dužina vektora se izračunava kao kvadratni korijen zbira kvadrata njegovih koordinata
. Dužina n-dimenzionalnog vektora se izračunava na sličan način
. Ako se sjetimo da je svaka koordinata vektora razlika između koordinata kraja i početka, onda ćemo dobiti formulu za dužinu segmenta, tj. Euklidska udaljenost između tačaka.

Skalarni proizvod dva vektora na ravni je proizvod dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih:
. Može se dokazati da je skalarni proizvod dva vektora = (x 1, x 2) i = (y 1 , y 2) jednak je zbroju proizvoda odgovarajućih koordinata ovih vektora:
= x 1 * y 1 + x 2 * y 2 .

U n-dimenzionalnom prostoru, skalarni proizvod vektora X= (x 1, x 2,...,x n) i Y= (y 1, y 2,...,y n) je definiran kao zbir proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata: X*Y = x 1 * y 1 + x 2 * y 2 + ... + x n * y n.

Operacija međusobnog množenja vektora je slična množenju matrice reda sa matricom stupaca. Naglašavamo da će rezultat biti broj, a ne vektor.

Skalarni proizvod vektora ima sljedeća svojstva (aksiome):

1) Komutativno svojstvo: X*Y=Y*X.

2) Distributivno svojstvo u odnosu na sabiranje: X(Y+Z) =X*Y+X*Z.

3) Za bilo koji realan broj 
.

4)
, ako X nije nulti vektor;
ifX je nulti vektor.

Linearni vektorski prostor u kojem je dat skalarni proizvod vektora koji zadovoljava četiri odgovarajuća aksioma naziva se Euklidski linearni vektorprostor.

Lako je vidjeti da kada pomnožimo bilo koji vektor sam po sebi, dobijemo kvadrat njegove dužine. Tako da je drugačije dužina vektor se može definirati kao kvadratni korijen njegovog skalarnog kvadrata:.

Dužina vektora ima sljedeća svojstva:

1) |X| = 0H = 0;

2) |X| = ||*|X|, gdje je  realan broj;

3) |X*Y||X|*|Y| ( Nejednakost Cauchy-Bunyakovsky);

4) |X+Y||X|+|Y| ( nejednakost trougla).

Ugao  između vektora u n-dimenzionalnom prostoru određen je na osnovu koncepta skalarnog proizvoda. U stvari, ako
, To
. Ovaj razlomak nije veći od jedan (prema nejednakosti Cauchy-Bunyakovsky), tako da odavde možemo pronaći .

Dva vektora se nazivaju ortogonalno ili okomito, ako je njihov skalarni proizvod jednak nuli. Iz definicije skalarnog proizvoda slijedi da je nulti vektor ortogonan na bilo koji vektor. Ako su oba ortogonalna vektora različita od nule, onda je cos= 0, tj.=/2 = 90 o.

Pogledajmo ponovo sliku 7.4. Iz slike se vidi da se kosinus ugla  nagiba vektora prema horizontalnoj osi može izračunati kao
, a kosinus uglanagib vektora prema vertikalnoj osi je kao
. Ovi brojevi se obično nazivaju kosinus smjera. Lako je provjeriti da je zbir kvadrata kosinusa smjera uvijek jednak jedan: cos 2 +cos 2 = 1. Slično, koncepti usmjerenih kosinusa mogu se uvesti za prostore viših dimenzija.

Vektorska prostorna osnova

Za vektore možemo definirati koncepte linearna kombinacija,linearna zavisnost I nezavisnost slično kao što su ovi koncepti uvedeni za matrične redove. Također je tačno da ako su vektori linearno zavisni, onda se barem jedan od njih može linearno izraziti u terminima ostalih (tj. to je njihova linearna kombinacija). Isto tako vrijedi i obrnuto: ako je jedan od vektora linearna kombinacija ostalih, onda su svi ovi vektori zajedno linearno zavisni.

Imajte na umu da ako među vektorima a l , a 2 ,...a m postoji nulti vektor, onda je ovaj skup vektora nužno linearno zavisan. U stvari, dobijamo  l a l + 2 a 2 +...+ m a m = 0 ako, na primjer, izjednačimo koeficijent  j na nultom vektoru sa jedan, a sve ostale koeficijente sa nulom. U ovom slučaju neće svi koeficijenti biti jednaki nuli ( j ≠ 0).

Osim toga, ako je neki dio vektora iz skupa vektora linearno zavisan, onda su svi ovi vektori linearno zavisni. U stvari, ako neki vektori daju nulti vektor u svojoj linearnoj kombinaciji sa koeficijentima koji nisu oba nula, tada se preostali vektori pomnoženi sa nultim koeficijentima mogu dodati ovom zbroju proizvoda, i on će i dalje biti nulti vektor.

Kako odrediti da li su vektori linearno zavisni?

Na primjer, uzmimo tri vektora: a 1 = (1, 0, 1, 5), a 2 = (2, 1, 3, -2) i a 3 = (3, 1, 4, 3). Kreirajmo od njih matricu u kojoj će oni biti stupci:

Tada će se pitanje linearne zavisnosti svesti na određivanje ranga ove matrice. Ako se pokaže da je jednako tri, tada su sva tri stupca linearno nezavisna, a ako se pokaže da je manje, to će ukazivati ​​na linearnu ovisnost vektora.

Pošto je rang 2, vektori su linearno zavisni.

Napominjemo da bi rješenje problema moglo početi i rasuđivanjem koje se zasniva na definiciji linearne nezavisnosti. Naime, kreirajte vektorsku jednačinu  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, koja će imati oblik  l *(1, 0, 1, 5) + 2 *(2, 1, 3, - 2) + 3 *(3, 1, 4, 3) = (0, 0, 0, 0). Tada dobijamo sistem jednačina:

Rešavanje ovog sistema Gaussovom metodom će se svesti na dobijanje iste matrice koraka, samo što će imati još jednu kolonu - slobodni termini. Svi će oni biti nula, budući da linearne transformacije nula ne mogu dovesti do drugačijeg rezultata. Transformisani sistem jednačina će imati oblik:

Rješenje ovog sistema će biti (-s;-s; s), gdje je s proizvoljan broj; na primjer, (-1;-1;1). To znači da ako uzmemo  l = -1; 2 =-1 i 3 = 1, onda je  l a l + 2 a 2 + 3 a 3 = 0, tj. vektori su zapravo linearno zavisni.

Iz riješenog primjera postaje jasno da ako uzmemo broj vektora veći od dimenzije prostora, onda će oni nužno biti linearno zavisni. U stvari, ako uzmemo pet vektora u ovom primjeru, dobili bismo matricu 4 x 5, čiji rang ne može biti veći od četiri. One. maksimalni broj linearno nezavisnih kolona i dalje ne bi bio veći od četiri. Dva, tri ili četiri četvorodimenzionalna vektora mogu biti linearno nezavisni, ali pet ili više ne mogu. Prema tome, najviše dva vektora ne mogu biti linearno nezavisna na ravni. Bilo koja tri vektora u dvodimenzionalnom prostoru su linearno zavisna. U trodimenzionalnom prostoru, bilo koja četiri (ili više) vektora su uvijek linearno zavisna. I tako dalje.

Zbog toga dimenzija prostor se može definirati kao maksimalni broj linearno nezavisnih vektora koji mogu biti u njemu.

Skup od n linearno nezavisnih vektora n-dimenzionalnog prostora R naziva se osnovu ovaj prostor.

Teorema. Svaki vektor linearnog prostora može se predstaviti kao linearna kombinacija baznih vektora, i to na jedinstven način.

Dokaz. Neka vektori e l , e 2 ,...e n formiraju bazično-dimenzionalni prostor R. Dokažimo da je bilo koji vektor X linearna kombinacija ovih vektora. Pošto će, zajedno sa vektorom X, broj vektora postati (n +1), ovi (n +1) vektori će biti linearno zavisni, tj. postoje brojevi l , 2 ,..., n ,, koji nisu istovremeno jednaki nuli, tako da

 l e l + 2 e 2 +...+ n e n +H = 0

U ovom slučaju, 0, jer inače bismo dobili  l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0, pri čemu nisu svi koeficijenti l , 2 ,..., n jednaki nuli. To znači da bi osnovni vektori bili linearno zavisni. Dakle, obje strane prve jednačine možemo podijeliti sa:

( l /)e l + ( 2 /)e 2 +...+ ( n /)e n + X = 0

H = -( l /)e l - ( 2 /)e 2 -...- ( n /)e n

H = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n,

gdje je x j = -( j /),
.

Sada dokazujemo da je takav prikaz u obliku linearne kombinacije jedinstven. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji još jedna reprezentacija:

X = y l e l +y 2 e 2 +...+y n e n

Oduzmimo od njega pojam po član prethodno dobijeni izraz:

0 = (y l – x 1)e l + (y 2 – x 2)e 2 +...+ (y n – x n)e n

Pošto su bazni vektori linearno nezavisni, dobijamo da je (y j - x j) = 0,
, tj. y j ​​= x j . Tako se pokazalo da je izraz isti. Teorema je dokazana.

Izraz X = x l e l +x 2 e 2 +...+x n e n naziva se raspadanje vektor X zasnovan na e l, e 2,...e n i brojevima x l, x 2,...x n - koordinate vektor x u odnosu na ovu bazu, ili u ovoj bazi.

Može se dokazati da ako su n nenulti vektori n-dimenzionalnog euklidskog prostora po paru ortogonalni, onda oni čine bazu. U stvari, pomnožimo obje strane jednakosti l e l + 2 e 2 +...+ n e n = 0 bilo kojim vektorom e i. Dobijamo  l (e l *e i) +  2 (e 2 *e i) +...+  n (e n *e i) = 0   i (e i *e i) = 0   i = 0 za  i.

Vektori e l , e 2 ,...e n n-dimenzionalnog euklidskog oblika prostora ortonormalna osnova, ako su ovi vektori po paru ortogonalni i norma svakog od njih jednaka je jedan, tj. ako je e i *e j = 0 za i≠j i |e i | = 1 zai.

Teorema (bez dokaza). U svakom n-dimenzionalnom euklidskom prostoru postoji ortonormalna baza.

Primjer ortonormalne baze je sistem od n jediničnih vektora e i , za koji je i-ta komponenta jednaka jedan, a preostale komponente jednake nuli. Svaki takav vektor se zove ort. Na primjer, vektorski vektori (1, 0, 0), (0, 1, 0) i (0, 0, 1) čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Predavanje: Vektorske koordinate; skalarni proizvod vektora; ugao između vektora

Vektorske koordinate

Dakle, kao što je ranije spomenuto, vektor je usmjereni segment koji ima svoj početak i kraj. Ako su početak i kraj predstavljeni određenim tačkama, onda imaju svoje koordinate na ravni ili u prostoru.

Ako svaka tačka ima svoje koordinate, onda možemo dobiti koordinate cijelog vektora.

Recimo da imamo vektor čiji početak i kraj imaju sljedeće oznake i koordinate: A(A x ; Ay) i B(B x ; By)

Da biste dobili koordinate datog vektora, potrebno je oduzeti odgovarajuće koordinate početka od koordinata kraja vektora:

Da biste odredili koordinate vektora u prostoru, koristite sljedeću formulu:

Tačkasti proizvod vektora

Postoje dva načina da se definiše koncept skalarnog proizvoda:

• Geometrijska metoda. Prema njemu, skalarni proizvod je jednak proizvodu vrijednosti ovih modula i kosinusa ugla između njih.

• Algebarsko značenje. Sa stanovišta algebre, skalarni proizvod dva vektora je određena veličina koja se dobija kao rezultat zbira proizvoda odgovarajućih vektora.

Ako su vektori dati u prostoru, onda biste trebali koristiti sličnu formulu:

Svojstva:

• Ako dva identična vektora pomnožite skalarno, onda njihov skalarni proizvod neće biti negativan:

• Ako se pokaže da je skalarni proizvod dva identična vektora jednak nuli, onda se ovi vektori smatraju nula:

• Ako se određeni vektor pomnoži sam sa sobom, tada će skalarni proizvod biti jednak kvadratu njegovog modula:

• Skalarni proizvod ima komunikativnu osobinu, to jest, skalarni proizvod se neće promijeniti ako se vektori preurede:

• Skalarni proizvod vektora koji nisu nula može biti jednak nuli samo ako su vektori jedan na drugi okomiti:

• Za skalarni proizvod vektora, komutativni zakon vrijedi u slučaju množenja jednog od vektora brojem:

• Sa skalarnim proizvodom možete koristiti i distributivno svojstvo množenja:

Ugao između vektora

U slučaju problema u ravnini, skalarni proizvod vektora a = (a x; a y) i b = (b x; b y) može se pronaći pomoću sljedeće formule:

a b = a x b x + a y b y

Formula za skalarni proizvod vektora za prostorne probleme

U slučaju prostornog problema, skalarni proizvod vektora a = (a x; a y; a z) i b = (b x; b y; b z) može se pronaći pomoću sljedeće formule:

a b = a x b x + a y b y + a z b z

Formula za skalarni proizvod n-dimenzionalnih vektora

U slučaju n-dimenzionalnog prostora, skalarni proizvod vektora a = (a 1; a 2; ...; a n) i b = (b 1; b 2; ...; b n) može se pronaći pomoću sljedeća formula:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Svojstva skalarnog proizvoda vektora

1. Skalarni proizvod vektora sa samim sobom je uvijek veći ili jednak nuli:

2. Skalarni proizvod vektora sa samim sobom jednak je nuli ako i samo ako je vektor jednak nultom vektoru:

a · a = 0<=>a = 0

3. Skalarni proizvod vektora sa samim sobom jednak je kvadratu njegovog modula:

4. Operacija skalarnog množenja je komunikativna:

5. Ako je skalarni proizvod dva vektora različita od nule jednak nuli, onda su ovi vektori ortogonalni:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b

6. (αa) b = α(a b)

7. Operacija skalarnog množenja je distributivna:

(a + b) c = a c + b c

Primjeri zadataka za izračunavanje skalarnog proizvoda vektora

Primjeri izračunavanja skalarnog proizvoda vektora za planske probleme

Pronađite skalarni proizvod vektora a = (1; 2) i b = (4; 8).

Rješenje: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Pronađite skalarni proizvod vektora a i b ako su njihove dužine |a| = 3, |b| = 6, a ugao između vektora je 60˚.

Rješenje: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Naći skalarni proizvod vektora p = a + 3b i q = 5a - 3 b ako su njihove dužine |a| = 3, |b| = 2, a ugao između vektora a i b je 60˚.

Rješenje:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 = 5 3 2 + 12 3 2 cos 60˚ - 9 2 2 = 45 +36 -36 = 45.

Primjer izračunavanja skalarnog proizvoda vektora za prostorne probleme

Pronađite skalarni proizvod vektora a = (1; 2; -5) i b = (4; 8; 1).

Rješenje: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

Primjer izračunavanja dot proizvoda za n-dimenzionalne vektore

Pronađite skalarni proizvod vektora a = (1; 2; -5; 2) i b = (4; 8; 1; -2).

Rješenje: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Unakrsni proizvod vektora i vektora se naziva treći vektor , definisan na sljedeći način:

2) okomito, okomito. (1"")

3) vektori su orijentisani na isti način kao i osnova čitavog prostora (pozitivna ili negativna).

Označiti: .

Fizičko značenje vektorskog proizvoda

— moment sile u odnosu na tačku O; - radijus - vektor tačke primene sile, tada

Štaviše, ako ga pomjerimo u tačku O, tada bi trojka trebala biti orijentirana kao bazni vektor.

Tačkasti proizvod vektora

Nastavljamo da se bavimo vektorima. Na prvoj lekciji Vektori za lutke Razmotrili smo koncept vektora, radnje s vektorima, vektorske koordinate i najjednostavnije probleme s vektorima. Ako ste prvi put došli na ovu stranicu iz tražilice, toplo preporučujem da pročitate gornji uvodni članak, jer da biste savladali gradivo morate biti upoznati s pojmovima i notama koje koristim, imati osnovna znanja o vektorima i biti u stanju da reši osnovne probleme. Ova lekcija je logičan nastavak teme iu njoj ću detaljno analizirati tipične zadatke koji koriste skalarni proizvod vektora. Ovo je VEOMA VAŽNA aktivnost.. Pokušajte da ne preskočite primjere s korisnim bonusom - praksa će vam pomoći da konsolidirate materijal koji ste pokrili i postanete bolji u rješavanju uobičajenih problema u analitičkoj geometriji.

Sabiranje vektora, množenje vektora brojem.... Bilo bi naivno misliti da matematičari nisu smislili nešto drugo. Pored radnji o kojima smo već govorili, postoji niz drugih operacija s vektorima, i to: tačkasti proizvod vektora, vektorski proizvod vektora I mješoviti proizvod vektora. Skalarni proizvod vektora poznat nam je iz škole. Druga dva proizvoda tradicionalno pripadaju predmetu više matematike. Teme su jednostavne, algoritam za rješavanje mnogih problema je jednostavan i razumljiv. Jedina stvar. Postoji pristojna količina informacija, pa je nepoželjno pokušavati savladati i riješiti SVE ODJEDNOM. Ovo posebno važi za lutke, vjerujte mi, autor se apsolutno ne želi osjećati kao Čikatilo iz matematike. Pa, ne iz matematike, naravno, =) Spremniji učenici mogu selektivno koristiti materijale, u određenom smislu, „dobiti“ nedostajuće znanje za vas ću biti bezopasni grof Drakula =)

Hajde da konačno otvorimo vrata i sa entuzijazmom gledamo šta se dešava kada se dva vektora sretnu...

Definicija skalarnog proizvoda vektora.
Svojstva skalarnog proizvoda. Tipični zadaci

Koncept tačkastog proizvoda

Prvo o ugao između vektora. Mislim da svi intuitivno razumiju koji je ugao između vektora, ali za svaki slučaj, malo više detalja. Razmotrimo slobodne vektore koji nisu nula i . Ako nacrtate ove vektore iz proizvoljne tačke, dobit ćete sliku koju su mnogi mentalno već zamislili:

Priznajem, ovdje sam opisao situaciju samo na nivou razumijevanja. Ako vam je potrebna striktna definicija ugla između vektora, pogledajte udžbenik za praktične probleme, u principu nam nije potrebna. Takođe OVDE I OVDE ću zanemariti nulte vektore na mestima zbog njihovog malog praktičnog značaja. Rezervisao sam posebno za napredne posetioce sajta koji bi mi mogli zameriti teoretsku nepotpunost nekih kasnijih izjava.

može uzeti vrijednosti od 0 do 180 stepeni (0 do radijana), uključujući. Analitički, ova činjenica je zapisana u obliku dvostruke nejednakosti: ili (u radijanima).

U literaturi se simbol ugla često preskače i jednostavno piše.

definicija: Skalarni proizvod dva vektora je BROJ jednak proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa ugla između njih:

Ovo je prilično stroga definicija.

Fokusiramo se na bitne informacije:

Oznaka: skalarni proizvod se označava sa ili jednostavno.

Rezultat operacije je BROJ: Vektor se množi vektorom, a rezultat je broj. Zaista, ako su dužine vektora brojevi, kosinus ugla je broj, tada je njihov proizvod takođe će biti broj.

Samo par primjera za zagrijavanje:

Primjer 1

Rješenje: Koristimo formulu . U ovom slučaju:

odgovor:

Vrijednosti kosinusa se mogu naći u trigonometrijska tabela. Preporučujem da ga odštampate - biće potreban u skoro svim delovima tornja i biće potreban mnogo puta.

Sa čisto matematičke tačke gledišta, skalarni proizvod je bezdimenzionalan, odnosno rezultat je u ovom slučaju samo broj i to je to. Sa stanovišta problema fizike, skalarni proizvod uvijek ima određeno fizičko značenje, odnosno nakon rezultata mora se navesti jedna ili druga fizička jedinica. Kanonski primjer izračunavanja rada sile može se naći u bilo kojem udžbeniku (formula je upravo skalarni proizvod). Rad sile se mjeri u džulima, stoga će odgovor biti napisan sasvim konkretno, na primjer, .

Primjer 2

Pronađite ako , a ugao između vektora je jednak .

Ovo je primjer koji možete sami riješiti, odgovor je na kraju lekcije.

Ugao između vektora i vrijednosti dot proizvoda

U primjeru 1 skalarni proizvod je bio pozitivan, au primjeru 2 negativan. Hajde da saznamo o čemu zavisi predznak skalarnog proizvoda. Pogledajmo našu formulu: . Dužine vektora koji nisu nula su uvijek pozitivne: , tako da predznak može ovisiti samo o vrijednosti kosinusa.

Bilješka: Da biste bolje razumjeli donje informacije, bolje je proučiti kosinusni graf u priručniku Grafovi funkcija i svojstva. Pogledajte kako se kosinus ponaša na segmentu.

Kao što je već napomenuto, ugao između vektora može varirati unutar , a mogući su sljedeći slučajevi:

1) Ako kutak između vektora ljuto: (od 0 do 90 stepeni), zatim , And tačkasti proizvod će biti pozitivan co-directed, tada se kut između njih smatra nula, a skalarni proizvod će također biti pozitivan. Budući da , formula pojednostavljuje: .

2) Ako kutak između vektora tup: (od 90 do 180 stepeni), zatim , i shodno tome, tačkasti proizvod je negativan: . Poseban slučaj: ako su vektori suprotnim pravcima, tada se razmatra ugao između njih proširena: (180 stepeni). Skalarni proizvod je također negativan, jer

Tačne su i suprotne tvrdnje:

1) Ako je , tada je ugao između ovih vektora oštar. Alternativno, vektori su kosmjerni.

2) Ako je , tada je ugao između ovih vektora tup. Alternativno, vektori su u suprotnim smjerovima.

Ali treći slučaj je od posebnog interesa:

3) Ako kutak između vektora ravno: (90 stepeni), onda skalarni proizvod je nula: . Obrnuto je također istinito: ako , onda . Izjava se može sažeto formulirati na sljedeći način: Skalarni proizvod dva vektora je nula ako i samo ako su vektori ortogonalni. Kratka matematička notacija:

! Bilješka : Ponovimo osnove matematičke logike: Ikona dvostrane logičke posljedice obično se čita "ako i samo ako", "ako i samo ako". Kao što vidite, strelice su usmjerene u oba smjera - "iz ovoga slijedi ovo, i obrnuto - iz ovoga slijedi ovo." Koja je, inače, razlika od ikone za jednosmjerno praćenje? Ikona navodi samo to, da „iz ovoga slijedi ovo“, a nije činjenica da je suprotno. Na primjer: , ali nije svaka životinja panter, tako da u ovom slučaju ne možete koristiti ikonu. Istovremeno, umjesto ikone Može koristite jednostranu ikonu. Na primjer, rješavajući problem, saznali smo da smo zaključili da su vektori ortogonalni: - takav unos će biti ispravan, pa čak i prikladniji od .

Treći slučaj ima veliki praktični značaj, jer vam omogućava da provjerite da li su vektori ortogonalni ili ne. Ovaj problem ćemo riješiti u drugom dijelu lekcije.

Svojstva tačkastog proizvoda

Vratimo se na situaciju kada su dva vektora co-directed. U ovom slučaju, kut između njih je nula, , a formula skalarnog proizvoda ima oblik: .

Šta se dešava ako se vektor pomnoži sam sa sobom? Jasno je da je vektor poravnat sam sa sobom, pa koristimo gornju pojednostavljenu formulu:

Broj je pozvan skalarni kvadrat vektor, i označeni su kao .

dakle, skalarni kvadrat vektora jednak je kvadratu dužine datog vektora:

Iz ove jednakosti možemo dobiti formulu za izračunavanje dužine vektora:

Za sada se čini nejasnim, ali ciljevi lekcije će sve staviti na svoje mjesto. Za rješavanje problema i nama su potrebni svojstva tačkastog proizvoda.

Za proizvoljne vektore i bilo koji broj, sljedeća svojstva su tačna:

1) – komutativno ili komutativno skalarni zakon proizvoda.

2) – distribucija ili distributivni skalarni zakon proizvoda. Jednostavno, možete otvoriti zagrade.

3) – asocijativni ili asocijativni skalarni zakon proizvoda. Konstanta se može izvesti iz skalarnog proizvoda.

Često, svakakva svojstva (koja takođe treba dokazati!) studenti doživljavaju kao nepotrebno smeće, koje samo treba zapamtiti i sigurno zaboraviti odmah nakon ispita. Čini se da ono što je ovdje bitno, svi već od prvog razreda znaju da preraspoređivanje faktora ne mijenja proizvod: . Moram vas upozoriti da je u višoj matematici lako zabrljati stvari takvim pristupom. Tako, na primjer, komutativno svojstvo nije tačno za algebarske matrice. To takođe nije tačno za vektorski proizvod vektora. Stoga je, u najmanju ruku, bolje proći kroz sva svojstva na koja naiđete na višem kursu matematike kako biste razumjeli šta možete, a šta ne.

Primjer 3

.

Rješenje: Prvo, razjasnimo situaciju s vektorom. Šta je ovo uopšte? Zbir vektora je dobro definiran vektor, koji se označava sa . Geometrijska interpretacija radnji s vektorima može se naći u članku Vektori za lutke. Isti peršun s vektorom je zbir vektora i .

Dakle, prema uslovu, potrebno je pronaći skalarni proizvod. U teoriji, morate primijeniti radnu formulu , ali problem je što ne znamo dužine vektora i ugao između njih. Ali uvjet daje slične parametre za vektore, pa ćemo krenuti drugim putem:

(1) Zamijenite izraze vektora.

(2) Otvaramo zagrade prema pravilu za množenje polinoma u članku; Kompleksni brojevi ili Integracija razlomno-racionalne funkcije. Neću se ponavljati =) Inače, distributivno svojstvo skalarnog proizvoda nam omogućava da otvorimo zagrade. Imamo pravo.

(3) U prvom i posljednjem pojmu kompaktno zapisujemo skalarne kvadrate vektora: . U drugom terminu koristimo komutabilnost skalarnog proizvoda: .

(4) Predstavljamo slične pojmove: .

(5) U prvom terminu koristimo formulu skalarnog kvadrata, koja je nedavno spomenuta. U zadnjem mandatu, shodno tome, radi ista stvar: . Proširujemo drugi član prema standardnoj formuli .

(6) Zamijenite ove uslove , i PAŽLJIVO izvršite završne proračune.

odgovor:

Negativna vrijednost skalarnog proizvoda navodi činjenicu da je ugao između vektora tup.

Problem je tipičan, evo primjera da ga sami riješite:

Primjer 4

Naći skalarni proizvod vektora i ako je to poznato .

Sada još jedan uobičajeni zadatak, samo za novu formulu za dužinu vektora. Ovdje će se notacija malo preklapati, pa ću je radi jasnoće prepisati drugim slovom:

Primjer 5

Pronađite dužinu vektora if .

Rješenje bit će kako slijedi:

(1) Dajemo izraz za vektor .

(2) Koristimo formulu dužine: , a cijeli izraz ve djeluje kao vektor “ve”.

(3) Za kvadrat zbira koristimo školsku formulu. Zapazite kako to ovdje funkcionira na čudan način: – u stvari, to je kvadrat razlike, i, zapravo, to je tako. Oni koji žele mogu da preurede vektore: - dešava se isto, do prestrojavanja pojmova.

(4) Ono što slijedi već je poznato iz dva prethodna problema.

odgovor:

Budući da govorimo o dužini, ne zaboravite navesti dimenziju - "jedinice".

Primjer 6

Pronađite dužinu vektora if .

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Nastavljamo da cijedimo korisne stvari iz točkastog proizvoda. Pogledajmo ponovo našu formulu . Koristeći pravilo proporcije, vraćamo dužine vektora na nazivnik lijeve strane:

Zamenimo delove:

Šta je značenje ove formule? Ako su poznate dužine dva vektora i njihov skalarni proizvod, onda možemo izračunati kosinus ugla između ovih vektora, a samim tim i sam ugao.

Da li je tačkasti proizvod broj? Broj. Da li su vektorske dužine brojevi? Brojevi. To znači da je i razlomak broj. A ako je poznat kosinus ugla: , tada je pomoću inverzne funkcije lako pronaći sam ugao: .

Primjer 7

Pronađite ugao između vektora i ako je poznato da je .

Rješenje: Koristimo formulu:

U završnoj fazi proračuna korišćena je tehnička tehnika - eliminisanje iracionalnosti u nazivniku. Da bih eliminisao iracionalnost, pomnožio sam brojilac i imenilac sa .

Sta ako , To:

Vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija mogu se pronaći pomoću trigonometrijska tabela. Iako se to retko dešava. U problemima analitičke geometrije mnogo češće neki nespretni medvjed poput , a vrijednost ugla se mora pronaći približno pomoću kalkulatora. Zapravo, takvu sliku ćemo vidjeti više puta.

odgovor:

Opet, ne zaboravite navesti dimenzije - radijane i stupnjeve. Lično, da bih očigledno „riješio sva pitanja“, radije naznačim oba (osim ako uslov, naravno, ne zahtijeva da se odgovor prikaže samo u radijanima ili samo u stepenima).

Sada se možete samostalno nositi sa složenijim zadatkom:

Primjer 7*

Date su dužine vektora i ugao između njih. Pronađite ugao između vektora , .

Zadatak nije toliko težak koliko je u više koraka.
Pogledajmo algoritam rješenja:

1) Prema uvjetu, trebate pronaći kut između vektora i , tako da trebate koristiti formulu .

2) Pronađite skalarni proizvod (vidi primjere br. 3, 4).

3) Odrediti dužinu vektora i dužinu vektora (vidi primjere br. 5, 6).

4) Završetak rješenja poklapa se s primjerom br. 7 - znamo broj, što znači da je lako pronaći sam ugao:

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Drugi dio lekcije posvećen je istom skalarnom proizvodu. Koordinate. Biće još lakše nego u prvom delu.

Tačkasti proizvod vektora,
dat koordinatama u ortonormalnoj bazi

odgovor:

Nepotrebno je reći da je rad s koordinatama mnogo ugodniji.

Primjer 14

Pronađite skalarni proizvod vektora i if

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Ovdje možete koristiti asocijativnost operacije, odnosno ne računajte, već odmah izvadite trojku izvan skalarnog proizvoda i pomnožite je s njom zadnji. Rješenje i odgovor nalaze se na kraju lekcije.

Na kraju odjeljka, provokativan primjer za izračunavanje dužine vektora:

Primjer 15

Pronađite dužine vektora , Ako

Rješenje: Metoda iz prethodnog odjeljka se ponovo sugerira: ali postoji još jedan način:

Nađimo vektor:

I njegova dužina prema trivijalnoj formuli :

Tačkasti proizvod ovdje uopće nije relevantan!

Također nije korisno kada se izračunava dužina vektora:
Stani. Zar ne bismo trebali iskoristiti prednost očigledne osobine dužine vektora? Šta možete reći o dužini vektora? Ovaj vektor je 5 puta duži od vektora. Smjer je suprotan, ali to nije bitno, jer govorimo o dužini. Očigledno, dužina vektora je jednaka proizvodu modul brojevi po dužini vektora:
– znak modula “jede” mogući minus broja.

ovako:

odgovor:

Formula za kosinus ugla između vektora koji su specificirani koordinatama

Sada imamo potpune informacije za korištenje prethodno izvedene formule za kosinus ugla između vektora izraziti kroz vektorske koordinate:

Kosinus ugla između ravnih vektora i , specificirano u ortonormalnoj bazi, izraženo formulom:
.

Kosinus ugla između vektora prostora, specificirano na ortonormalnoj osnovi, izraženo formulom:

Primjer 16

Zadana tri vrha trougla. Pronađite (ugao vrha).

Rješenje: Prema uslovima, crtež nije obavezan, ali ipak:

Potreban ugao je označen zelenim lukom. Sjetimo se odmah školske oznake ugla: – posebna pažnja na prosjek slovo - ovo je vrh ugla koji nam je potreban. Radi sažetosti, možete jednostavno napisati .

Iz crteža je sasvim očigledno da se ugao trokuta poklapa sa uglom između vektora i, drugim rečima: .

Preporučljivo je naučiti mentalno izvršiti analizu.

Nađimo vektore:

Izračunajmo skalarni proizvod:

I dužine vektora:

Kosinus ugla:

Upravo to je redoslijed izvršavanja zadatka koji preporučujem lutkama. Napredniji čitaoci mogu da napišu izračune "u jednom redu":

Evo primjera “loše” vrijednosti kosinusa. Dobijena vrijednost nije konačna, tako da nema smisla da se riješimo iracionalnosti u nazivniku.

Nađimo sam ugao:

Ako pogledate crtež, rezultat je prilično uvjerljiv. Za provjeru, ugao se također može izmjeriti kutomjerom. Nemojte oštetiti poklopac monitora =)

odgovor:

U odgovoru to ne zaboravljamo pitao o uglu trougla(a ne o kutu između vektora), ne zaboravite navesti tačan odgovor: i približnu vrijednost ugla: , pronađen pomoću kalkulatora.

Oni koji su uživali u procesu mogu izračunati uglove i provjeriti valjanost kanonske jednakosti

Primjer 17

Trokut je definiran u prostoru koordinatama njegovih vrhova. Pronađite ugao između stranica i

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije

Kratak završni dio bit će posvećen projekcijama, koje također uključuju skalarni proizvod:

Projekcija vektora na vektor. Projekcija vektora na koordinatne ose.
Kosinus smjera vektora

Razmotrimo vektore i :

Projicirajmo vektor na vektor da bismo to uradili, od početka i kraja vektora koje izostavljamo okomite u vektor (zelene isprekidane linije). Zamislite da zraci svjetlosti padaju okomito na vektor. Tada će segment (crvena linija) biti “sjena” vektora. U ovom slučaju, projekcija vektora na vektor je DUŽINA segmenta. To jest, PROJEKCIJA JE BROJ.

Ovaj BROJ se označava na sljedeći način: , “veliki vektor” označava vektor KOJI projekta, “mali indeksni vektor” označava vektor ON koji je projektovan.

Sam unos glasi ovako: "projekcija vektora "a" na vektor "be"."

Šta se dešava ako je vektor "be" "prekratak"? Crtamo pravu liniju koja sadrži vektor "be". I vektor “a” će već biti projektovan u smjeru vektora "biti", jednostavno - na pravu liniju koja sadrži vektor “be”. Ista stvar će se dogoditi ako se vektor “a” odloži u tridesetom kraljevstvu – i dalje će se lako projektovati na pravu liniju koja sadrži vektor “be”.

Ako je ugao između vektora ljuto(kao na slici), onda

Ako vektori ortogonalno, zatim (projekcija je tačka čije se dimenzije smatraju nultim).

Ako je ugao između vektora tup(na slici mentalno preuredite vektorsku strelicu), zatim (iste dužine, ali uzeto sa znakom minus).

Hajde da nacrtamo ove vektore iz jedne tačke:

Očigledno, kada se vektor kreće, njegova projekcija se ne mijenja