Poređenje običnih i decimalnih razlomaka. Poređenje konačnih i beskonačnih decimala: pravila, primjeri, rješenja

ODJELJAK 7 DECIMALNI RAZLOMCI I RADNJE S NJIMA

U sekciji ćete naučiti:

šta je decimalni razlomak i kakva je njegova struktura;

kako uporediti decimale;

koja su pravila za sabiranje i oduzimanje decimalnih razlomaka;

kako pronaći proizvod i količnik dva decimalna razlomka;

šta je zaokruživanje broja i kako zaokružiti brojeve;

kako primijeniti naučeno gradivo u praksi

§ 29. ŠTA JE DECIMALNI RAZLOMAK. POREĐENJE DECIMALNIH RAZLOMKA

Pogledajte sliku 220. Vidite da je dužina segmenta AB 7 mm, a dužina segmenta DC 18 mm. Da biste dali dužine ovih segmenata u centimetrima, trebate koristiti razlomke:

Znate mnogo drugih primjera gdje se koriste razlomci sa nazivnicima 10,100, 1000 i slično. dakle,

Takvi razlomci se nazivaju decimali. Za njihovo snimanje koriste prikladniji oblik, koji predlaže ravnalo iz vašeg pribora. Pogledajmo dotični primjer.

Znate da se dužina odsječka DC (Sl. 220) može izraziti kao mješoviti broj

Ako iza cijelog broja ovog broja stavimo zarez, a iza njega brojilac razlomaka, onda ćemo dobiti kompaktniji zapis: 1,8 cm. Za segment AB, onda dobijamo: 0,7 cm. Zaista, razlomak je tačno, manje je od jedan, dakle njegovo cijeli dio je 0. Brojevi 1,8 i 0,7 su primjeri decimalnih razlomaka.

Decimalni razlomak 1,8 čita se ovako: "jedan zarez osam", a razlomak 0,7 - "nula zarez sedam".

Kako napisati razlomke u decimalnom obliku? Da biste to učinili, morate znati strukturu decimalnog zapisa.

U decimalnom zapisu uvijek postoje cijeli broj i razlomak. odvajaju se zarezom. U cijelom dijelu, klase i činovi su isti kao za prirodni brojevi. Znate da su to klase jedinica, hiljade, milioni itd., a svaka od njih ima 3 cifre - jedinice, desetice i stotine. U razlomku decimalnog razlomka klase se ne razlikuju, a može biti bilo koji broj cifara, njihovi nazivi odgovaraju nazivima imenilaca razlomaka - desetinke, stotinke, tisućinke, desethiljaditi, stohiljaditi, milioniti, deseti milioniti, itd. Deseto mjesto je najstarije u razlomku decimale.

U tabeli 40 vidite nazive decimalnih mesta i broj "sto dvadeset i tri cela broja i četiri hiljade petsto šest stotina hiljada" ili

Naziv razlomka "stotiljaditih" u običnom razlomku određuje njegov nazivnik, au decimalnom - posljednju znamenku njegovog razlomka. To vidite u brojniku razlomka broja jedna cifra manje od nula u nazivniku. Ako se to ne uzme u obzir, dobit ćemo grešku u pisanju razlomka - umjesto 4506 stohiljaditih pisaćemo 4506 desethiljaditih, ali

Dakle, u unosu dati broj decimalni razlomak se mora staviti 0 iza decimalne zareze (na desetom mjestu): 123,04506.

Bilješka:

u decimalnom razlomku treba da ima onoliko cifara nakon decimalnog zareza koliko ima nula u nazivniku odgovarajućeg običnog razlomka.

Sada možemo pisati razlomke

u obliku decimala.

Decimale se mogu porediti na isti način kao i prirodni brojevi. Ako u decimalnom zapisu ima mnogo znamenki, onda se koriste posebna pravila. Razmotrite primjere.

Zadatak. Uporedi razlomke: 1) 96,234 i 830,123; 2) 3.574 i 3.547.

Rješenja. 1, Cjelobrojni dio prvog razlomka je dvocifreni broj 96, a cijeli dio razlomka drugog je trocifreni broj 830, pa:

96,234 < 830,123.

2. U unosima razlomaka 3.574 i 3.547 i cijeli dijelovi su jednaki. Zbog toga upoređujemo njihove razlomke malo po malo. Da bismo to učinili, zapisujemo ove razlomke jedan ispod drugog:

Svaki razlomak ima 5 desetina. Ali u prvom razlomku ima 7 stotinki, au drugom - samo 4 stotinke. Dakle, prvi razlomak je veći od drugog: 3,574 > 3,547.

Pravila za poređenje decimalnih razlomaka.

1. Od dva decimalna razlomka veći je onaj koji ima veći cijeli broj.

2. Ako su cijeli brojevi decimalnih razlomaka jednaki, tada se njihovi razlomci upoređuju bit po bit, počevši od najznačajnije cifre.

Kao i obični razlomci, decimalni razlomci se mogu postaviti koordinatni snop. Na slici 221 vidite da tačke A, B i C imaju koordinate: A (0,2), B (0,9), C (1,6).

Saznati više

Decimale su povezane sa decimalnim pozicionim brojevnim sistemom. Međutim, njihov izgled ima dužu istoriju i povezan je sa imenom izvanrednog matematičara i astronoma al-Kashija ( puno ime- Jamshid ibn-Masudal-Kashi). U svom djelu "Ključ aritmetike" (XV stoljeće) prvi je formulirao pravila za radnje s decimalnim razlomcima, dao primjere izvođenja radnji s njima. Ne znajući ništa o otkriću al-Kashija, flamanski matematičar i inženjer Simon Stevin je „otkrio“ decimalne razlomke po drugi put otprilike 150 godina kasnije. U djelu "Decimala" (1585 str.), S. Stevin je iznio teoriju decimalnih razlomaka. Promicao ih je na sve moguće načine, naglašavajući pogodnost decimalnih razlomaka za praktična izračunavanja.

Odvajanje cijelog broja od razlomka decimalnog razlomka predloženo je na različite načine. Dakle, al-Kashi je napisao cijeli broj i razlomak različitim mastilom ili stavio okomitu liniju između njih. S. Stevin je stavio nulu u krug da odvoji cijeli broj od razlomka. Zarez prihvaćen u naše vrijeme predložio je poznati njemački astronom Johannes Kepler (1571 - 1630).

REŠITE IZAZOVE

1173. Zapiši u centimetrima dužinu odsječka AB ako:

1)AB = 5mm; 2)AB = 8mm; 3)AB = 9mm; 4)AB = 2mm.

1174. Pročitaj razlomke:

1)12,5; 3)3,54; 5)19,345; 7)1,1254;

2)5,6; 4)12,03; 6)15,103; 8)12,1065.

Naziv: a) cijeli dio razlomka; b) razlomak razlomka; c) cifre razlomka.

1175. Navedite primjer decimalnog razlomka u kojem je decimalni zarez:

1) jedna cifra; 2) dvije cifre; 3) tri cifre.

1176. Koliko decimalnih mjesta ima decimalni razlomak ako je imenilac odgovarajućeg običnog razlomka jednak:

1)10; 2)100; 3)1000; 4) 10000?

1177. Koji od razlomaka ima veći cijeli broj:

1) 12,5 ili 115,2; 4) 789.154 ili 78.4569;

2) 5,25 ili 35,26; 5) 1258.00265 ili 125.0333;

3) 185,25 ili 56,325; 6) 1269.569 ili 16.12?

1178. U broju 1256897 odvojite posljednju cifru zarezom i pročitajte broj koji ste dobili. Zatim uzastopno preuredite zarez jednu cifru ulijevo i imenujte razlomke koje ste dobili.

1179. Pročitaj razlomke i zapiši ih kao decimalni razlomak:

1180 Pročitaj razlomke i zapiši ih kao decimalu:

1181. Napiši običnim razlomkom:

1) 2,5; 4)0,5; 7)315,89; 10)45,089;

2)125,5; 5)12,12; 8)0,15; 11)258,063;

3)0,9; 6)25,36; 9) 458;,025; 12)0,026.

1182. Napiši običnim razlomkom:

1)4,6; 2)34,45; 3)0,05; 4)185,342.

1183. Zapiši decimalnim razlomkom:

1) 8 celih 3 desetine; 5) 145 tačka 14;

2) 12 celih 5 desetina; 6) 125 tačka 19;

3) 0 celih 5 desetina; 7) 0 celih 12 stotinki;

4) 12 celih 34 stotinke; 8) 0 cijele 3 stotinke.

1184. Zapiši decimalnim razlomkom:

1) nula čak osam hiljaditih;

2) dvadeset i četiri stotinke;

3) trinaest zarez i pet stotinki;

4) sto četrdeset pet zarez i dve stotinke.

1185. Zapiši udio kao razlomak, a zatim kao decimalu:

1)33:100; 3)567:1000; 5)8:1000;

2)5:10; 4)56:1000; 6)5:100.

1186. Upišite u formular mješoviti broj, a zatim kao decimala:

1)188:100; 3)1567:1000; 5)12548:1000;

2)25:10; 4)1326:1000; 6)15485:100.

1187. Zapiši kao mješoviti broj, a zatim kao decimalu:

1)1165:100; 3)2546:1000; 5)26548:1000;

2) 69: 10; 4) 1269: 1000; 6) 3569: 100.

1188. Ekspresno u grivnama:

1) 35 k.; 2) 6 k.; 3) 12 UAH 35 kopejki; 4) 123k.

1189. Ekspresno u grivnama:

1) 58 k.; 2) 2 do.; 3) 56 UAH 55 kopejki; 4) 175k.

1190. Zapišite u grivnama i kopejkama:

1) 10,34 UAH; 2) 12,03 UAH; 3) 0,52 UAH; 4) 126,05 UAH

1191. Izrazite u metrima i zapišite odgovor kao decimalni razlomak: 1) 5 m 7 dm; 2) 15m 58cm; 3) 5 m 2 mm; 4) 12 m 4 dm 3 cm 2 mm.

1192. Izrazite u kilometrima i zapišite odgovor u decimalnim razlomcima: 1) 3 km 175 m; 2) 45 km 47 m; 3) 15 km 2 m.

1193. Zapiši u metrima i centimetrima:

1) 12,55 m; 2) 2,06 m; 3) 0,25 m; 4) 0,08 m.

1194. Najveća dubina Crnog mora iznosi 2.211 km. Izrazite dubinu mora u metrima.

1195. Uporedi razlomke:

1) 15,5 i 16,5; 5) 4.2 i 4.3; 9) 1,4 i 1,52;

2) 12.4 i 12.5; 6) 14,5 i 15,5; 10) 4.568 i 4.569;

3) 45,8 i 45,59; 7) 43.04 i 43.1; 11)78.45178.458;

4) 0,4 i 0,6; 8) 1,23 i 1,364; 12) 2,25 i 2,243.

1196. Uporedi razlomke:

1) 78,5 i 79,5; 3) 78,3 i 78,89; 5) 25.03 i 25.3;

2) 22.3 i 22.7; 4) 0,3 i 0,8; 6) 23.569 i 23.568.

1197. Zapišite decimalne razlomke uzlaznim redoslijedom:

1) 15,3; 6,9; 18,1; 9,3; 12,45; 36,85; 56,45; 36,2;

2) 21,35; 21,46; 21,22; 21,56; 21,59; 21,78; 21,23; 21,55.

1198. Zapišite decimalne razlomke u opadajućem redoslijedu:

15,6; 15,9; 15,5; 15,4; 15,45; 15,95; 15,2; 15,35.

1199. Express in kvadratnih metara i zapiši kao decimalu:

1) 5 dm2; 2) 15 cm2; 3)5dm212cm2.

1200 . Prostorija je u obliku pravougaonika. Dužina mu je 90 dm, a širina 40 dm. Pronađite površinu sobe. Odgovor napišite u kvadratnim metrima.

1201 . Uporedite razlomke:

1) 0,04 i 0,06; 5) 1,003 i 1,03; 9) 120.058 i 120.051;

2) 402.0022 i 40.003; 6) 1,05 i 1,005; 10) 78,05 i 78,58;

3) 104.05 i 105.05; 7) 4,0502 i 4,0503; 11) 2.205 i 2.253;

4) 40.04 i 40.01; 8) 60.4007í60.04007; 12) 20.12. i 25.012.

1202. Uporedi razlomke:

1) 0,03 i 0,3; 4) 6.4012 i 6.404;

2) 5.03 i 5.003; 5) 450.025 i 450.2054;

1203. Zapiši pet decimalnih razlomaka koji se nalaze između razlomaka na koordinatnoj gredi:

1) 6.2 i 6.3; 2) 9.2 i 9.3; 3) 5.8 i 5.9; 4) 0,4 i 0,5.

1204. Zapiši pet decimalnih razlomaka koji se nalaze između razlomaka na koordinatnoj gredi: 1) 3,1 i 3,2; 2) 7.4 i 7.5.

1205. Između koja dva susjedna prirodna broja nalazi se decimalni razlomak:

1)3,5; 2)12,45; 3)125,254; 4)125,012?

1206. Zapiši pet decimalnih razlomaka za koje je tačna nejednakost:

1)3,41 <х< 5,25; 3) 1,59 < х < 9,43;

2) 15,25 < х < 20,35; 4) 2,18 < х < 2,19.

1207. Zapiši pet decimalnih razlomaka za koje je tačna nejednakost:

1) 3 < х < 4; 2) 3,2 < х < 3,3; 3)5,22 <х< 5,23.

1208. Zapiši najveće decimalni:

1) sa dve cifre iza decimalnog zareza manje od 2;

2) sa jednom cifrom iza decimalnog zareza manjom od 3;

3) sa tri cifre iza decimalnog zareza manje od 4;

4) sa četiri cifre iza decimalnog zareza manje od 1.

1209. Zapiši najmanji decimalni razlomak:

1) sa dve cifre iza decimalnog zareza, što je veće od 2;

2) sa tri cifre iza decimalnog zareza, što je veće od 4.

1210. Zapišite sve brojeve koji se mogu staviti umjesto zvjezdice da dobijete tačnu nejednakost:

1) 0, *3 >0,13; 3) 3,75 > 3, *7; 5) 2,15 < 2,1 *;

2) 8,5* < 8,57; 4) 9,3* < 9,34; 6)9,*4>9,24.

1211. Koji broj se može staviti umjesto zvjezdice da se dobije tačna nejednakost:

1)0,*3 >0,1*; 2) 8,5* <8,*7; 3)3,7*>3,*7?

1212. Zapiši sve decimalne razlomke čiji je cijeli dio 6, a razlomak sadrži tri decimale, zapisane kao 7 i 8. Zapiši ove razlomke opadajućem redoslijedu.

1213. Zapiši šest decimalnih razlomaka od kojih je cijeli dio 45, a razlomak se sastoji od četiri razni brojevi: 1, 2, 3, 4. Napiši ove razlomke uzlaznim redoslijedom.

1214. Koliko se decimalnih razlomaka može formirati, čiji je cijeli dio jednak 86, a razlomak se sastoji od tri različite cifre: 1,2,3?

1215. Koliko se decimalnih razlomaka može formirati, čiji je cijeli dio jednak 5, a razlomak trocifreni, zapisan kao 6 i 7? Zapišite ove razlomke u opadajućem redoslijedu.

1216. Precrtaj tri nule u broju 50,004007 tako da nastane:

1) najveći broj; 2) najmanji broj.

PRIMJENITE U PRAKSI

1217. Izmjerite dužinu i širinu svoje sveske u milimetrima i svoj odgovor zapišite u decimetrima.

1218. Zapišite svoju visinu u metrima koristeći decimalni razlomak.

1219. Izmjerite dimenzije svoje sobe i izračunajte njen obim i površinu. Odgovor napišite u metrima i kvadratnim metrima.

ZADACI ZA PONAVLJANJE

1220. Za koje je vrijednosti x razlomak nepravilan?

1221. Riješite jednačinu:

1222. Radnja je morala prodati 714 kg jabuka. Prvi dan su prodate sve jabuke, a drugi - od onoga što je prodato prvog dana. Koliko je jabuka prodato za 2 dana?

1223. Ivica kocke je smanjena za 10 cm i dobijena je kocka čija je zapremina 8 dm3. Pronađite zapreminu prve kocke.

Svrha lekcije:

stvoriti uslove za izvođenje pravila za poređenje decimalnih razlomaka i mogućnost njegove primjene;
ponavljanje snimanja obične frakcije kao decimale, zaokruživanje decimala;
razvijati logičko razmišljanje, sposobnost generalizacije, istraživačke vještine, govor.

Tokom nastave

Momci, hajde da se prisetimo šta smo radili sa vama na prethodnim časovima?

odgovor: proučavao decimalne razlomke, pisao obične razlomke kao decimale i obrnuto, zaokružene decimalne razlomke.

Šta biste voljeli raditi danas?

(Odgovaraju učenici.)

Ali ipak, šta ćemo raditi na lekciji, saznaćete za nekoliko minuta. Otvorite sveske, zapišite datum. Učenik će izaći na ploču, sa kojim će raditi poleđina ploče. Ponudiću vam zadatke koje usmeno uradite. Odgovore zapišite u svesku u red odvojen tačkom i zarezom. Učenik za tablom piše u koloni.

Čitam zadatke koji su unaprijed napisani na tabli:

Hajde da proverimo. Ko ima druge odgovore? Zapamtite pravila.

dobio: 1,075; 2,175; 3,275; 4,375; 5,475; 6,575; 7,675.

Postavite uzorak i nastavite rezultirajući niz za još 2 broja. Hajde da proverimo.

Uzmite transkript i ispod svakog broja (osoba koja odgovara na tabli stavlja slovo pored broja) stavite odgovarajuće slovo. Pročitaj riječ.

Dešifriranje:

Pa šta ćemo raditi na času?

odgovor: poređenje.

Poređenja radi! Pa, na primjer, sada ću početi da poredim svoje ruke, 2 udžbenika, 3 lenjira. Šta želite da uporedite?

odgovor: decimalni razlomci.

Koja je tema lekcije?

Zapisujem temu časa na tabli, a učenici u svesku: „Poređenje decimalnih razlomaka“.

vježba: uporedi brojeve (napisane na tabli)

18.625 i 5.784		15.200 i 15.200
3.0251 i 21.02		7.65 i 7.8
23,0521 i 0,0521		0,089 i 0,0081

Prvo otvorite lijevu stranu. Cijeli dijelovi su različiti. Izvodimo zaključak o poređenju decimalnih razlomaka s različitim cijelim dijelovima. Otvaramo desna strana. cijeli dijelovi - isti brojevi. Kako uporediti?

Rečenica: zapišite decimalne razlomke kao obične razlomke i uporedite.

Napišite poređenje običnih razlomaka. Ako se svaka decimala pretvori u obični razlomak i 2 razlomka se uporede, to će potrajati mnogo vremena. Možemo li izvući pravilo poređenja? (Učenici predlažu.) Napisao sam pravilo za poređenje decimalnih razlomaka koje autor predlaže. Hajde da uporedimo.

Postoje 2 pravila odštampana na komadu papira:

Ako su cijeli brojevi decimalnih razlomaka različiti, onda je taj razlomak veći, koji ima veći cijeli broj.
Ako su cijeli brojevi decimalnih razlomaka isti, tada je veći razlomak onaj koji ima veću prvu od neusklađenih znamenki nakon decimalne točke.

Došli smo do otkrića. A ovo otkriće je pravilo za poređenje decimalnih razlomaka. To se poklopilo sa pravilom koje je predložio autor udžbenika.

Primijetio sam da pravila kažu koji je od 2 razlomka veći. Možete li mi reći koja je od 2 decimale manja.

Popuniti u svesci br. 785 (1, 2) na strani 172. Zadatak je zapisan na tabli. Učenici komentarišu, a nastavnik stavlja znakove.

vježba: uporedi

3.4208 i 3.4028

Dakle, šta smo danas naučili da radimo? Hajde da se proverimo. Radite na listovima papira sa karbonskim papirom.

Učenici upoređuju decimale koristeći > znakove.<, =. Когда ученики выполнят задание, то листок сверху оставляют себе, а листок снизу сдают учителю.

Samostalan rad.

(Provjerite odgovore na poleđini ploče.)

Uporedite

148.05 i 14.805

6.44806 i 6.44863

35.601 i 35.6010

Prvi koji to uradi dobija zadatak (izvodi sa zadnje strane table) br. 786 (1, 2):

Pronađite uzorak i zapišite sljedeći broj u nizu. U kojim nizovima su brojevi poređani rastućim, a kojim opadajućem?

odgovor:

0,1; 0,02; 0,003; 0,0004; 0,00005; (0,000006) - pada
0,1; 0,11; 0,111; 0,1111; 0,11111; (0,111111) - raste.

Nakon što posljednji student preda rad - provjerite.

Učenici upoređuju svoje odgovore.

Oni koji su sve uradili kako treba označiće se sa „5“, oni koji su napravili 1-2 greške – „4“, 3 greške – „3“. Saznajte u kojim poređenjima su napravljene greške, za koje pravilo.

Zapišite svoj domaći zadatak: br. 813, br. 814 (tačka 4, str. 171). Komentar. Ako ima vremena, izvršite br. 786(1, 3), br. 793(a).

Sažetak lekcije.

Šta ste naučili da radite na času?
Da li vam se svidjelo ili ne?
Koje su bile poteškoće?

Uzmite letke i ispunite ih, ukazujući na stepen vaše asimilacije materijala:

potpuno savladan, mogu izvoditi;
potpuno naučili, ali teško se primjenjuju;
stečeno djelomično;
nije stečeno.

Hvala na lekciji.

U ovom članku ćemo pokriti ovu temu decimalno poređenje". Prvo, razgovarajmo o opštem principu poređenja decimalnih razlomaka. Nakon toga ćemo shvatiti koji su decimalni razlomci jednaki, a koji nejednaki. Zatim ćemo naučiti kako odrediti koji je decimalni razlomak veći, a koji manji. Da bismo to učinili, proučit ćemo pravila za poređenje konačnih, beskonačnih periodičnih i beskonačnih neperiodičnih razlomaka. Cijelu teoriju opskrbit ćemo primjerima s detaljnim rješenjima. U zaključku, zadržimo se na usporedbi decimalnih razlomaka s prirodnim brojevima, običnim razlomcima i mješovitim brojevima.

Recimo odmah da ćemo ovdje govoriti samo o poređenju pozitivnih decimalnih razlomaka (vidi pozitivne i negativne brojeve). Preostali slučajevi analizirani su u člancima upoređujući racionalne brojeve i poređenje realnih brojeva.

Navigacija po stranici.

Opšti princip za poređenje decimalnih razlomaka

Na osnovu ovog principa poređenja izvedena su pravila za poređenje decimalnih razlomaka, koja omogućavaju da se uspoređeni decimalni razlomci ne pretvaraju u obične razlomke. Ova pravila, kao i primjere njihove primjene, analizirat ćemo u sljedećim paragrafima.

Po sličnom principu, konačni decimalni razlomci ili beskonačni periodični decimalni razlomci upoređuju se s prirodnim brojevima, običnim razlomcima i mješovitim brojevima: upoređeni brojevi se zamjenjuju odgovarajućim običnim razlomcima, nakon čega se upoređuju obični razlomci.

U vezi poređenja beskonačnih neponovljivih decimala, tada se obično svodi na poređenje konačnih decimalnih razlomaka. Da biste to učinili, razmotrite toliki broj znakova upoređenih beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka, koji vam omogućavaju da dobijete rezultat poređenja.

Jednake i nejednake decimale

Prvo se upoznajemo definicije jednakih i nejednakih završnih decimala.

Definicija.

Pozivaju se dvije zadnje decimale jednaka ako su im odgovarajući obični razlomci jednaki, inače se ti decimalni razlomci nazivaju nejednako.

Na osnovu ove definicije, lako je opravdati sljedeću tvrdnju: ako na kraju datog decimalnog razlomka pripišemo ili odbacimo nekoliko cifara 0, onda ćemo dobiti decimalni razlomak jednak tome. Na primjer, 0,3=0,30=0,300=… i 140,000=140,00=140,0=140 .

Doista, dodavanje ili odbacivanje nule na kraju decimalnog razlomka na desnoj strani odgovara množenju ili dijeljenju brojnika i nazivnika odgovarajućeg običnog razlomka sa 10. A znamo osnovno svojstvo razlomka, koje kaže da množenje ili dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka istim prirodnim brojem daje razlomak jednak izvornom. Ovo dokazuje da dodavanje ili odbacivanje nula desno u razlomku decimalnog razlomka daje razlomak jednak izvornom.

Na primjer, decimalni razlomak 0,5 odgovara običnom razlomku 5/10, nakon dodavanja nule desno, dobija se decimalni razlomak 0,50, što odgovara običnom razlomku 50/100, i. Dakle 0,5=0,50 . Obrnuto, ako u decimalnom razlomku 0,50 odbacimo 0 na desnoj strani, onda ćemo dobiti razlomak 0,5, pa ćemo od običnog razlomka 50/100 doći do razlomka 5/10, ali . Dakle, 0,50=0,5 .

Idemo dalje definicija jednakih i nejednakih beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka.

Definicija.

Dva beskonačna periodična razlomka jednaka, ako su obični razlomci koji im odgovaraju jednaki; ako obični razlomci koji im odgovaraju nisu jednaki, tada su i upoređeni periodični razlomci nije jednako.

Iz ove definicije slijede tri zaključka:

Ako su zapisi periodičnih decimalnih razlomaka potpuno isti, onda su takvi beskonačni periodični decimalni razlomci jednaki. Na primjer, periodične decimale 0,34(2987) i 0,34(2987) su jednake.
Ako periodi upoređenih decimalnih periodičnih razlomaka počinju sa iste pozicije, prvi razlomak ima period od 0, drugi ima period od 9, a vrijednost cifre koja prethodi periodu 0 je za jedan veći od vrijednosti cifre prethodni period 9 , tada su takvi beskonačni periodični decimalni razlomci jednaki. Na primjer, periodični razlomci 8.3(0) i 8.2(9) su jednaki, a razlomci 141,(0) i 140,(9) su također jednaki.
Bilo koja druga periodična razlomka nisu jednaka. Evo primjera nejednakih beskonačnih periodičnih decimalnih razlomaka: 9,0(4) i 7,(21) , 0,(12) i 0,(121) , 10,(0) i 9,8(9) .

Ostaje da se pozabavimo jednaki i nejednaki beskonačni neperiodični decimalni razlomci. Kao što znate, takvi decimalni razlomci ne mogu se pretvoriti u obične razlomke (takvi decimalni razlomci predstavljaju iracionalne brojeve), tako da se poređenje beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka ne može svesti na poređenje običnih razlomaka.

Definicija.

Dvije beskonačne neponavljajuće decimale jednaka ako se njihovi unosi tačno poklapaju.

Ali postoji jedna nijansa: nemoguće je vidjeti "gotovi" zapis beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka, stoga je nemoguće biti siguran u potpunu podudarnost njihovih zapisa. Kako biti?

Prilikom poređenja beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka uzima se u obzir samo konačan broj znakova upoređenih razlomaka, što nam omogućava da izvučemo potrebne zaključke. Stoga se poređenje beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka svodi na poređenje konačnih decimalnih razlomaka.

Ovim pristupom možemo govoriti o jednakosti beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka samo do razmatrane cifre. Navedimo primjere. Beskonačni neperiodični decimalni razlomci 5,45839 ... i 5,45839 ... jednaki su unutar stohiljaditih, pošto su konačni decimalni razlomci 5,45839 i 5,45839 jednaki; neponavljajući decimalni razlomci 19,54 ... i 19,54810375 ... jednaki su najbližoj stotini, jer su razlomci 19,54 i 19,54 jednaki.

Nejednakost beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka ovim pristupom je sasvim definitivno utvrđena. Na primjer, beskonačni neperiodični decimalni razlomci 5,6789… i 5,67732… nisu jednaki, jer su razlike u njihovim zapisima očigledne (konačni decimalni razlomci 5,6789 i 5,6773 nisu jednaki). Beskonačne decimale 6,49354... i 7,53789... takođe nisu jednake.

Pravila za poređenje decimalnih razlomaka, primjeri, rješenja

Nakon utvrđivanja činjenice da dva decimalna razlomka nisu jednaka, često je potrebno utvrditi koji je od tih razlomaka veći, a koji manji od drugog. Sada ćemo analizirati pravila za poređenje decimalnih razlomaka, što će nam omogućiti da odgovorimo na postavljeno pitanje.

U mnogim slučajevima, dovoljno je uporediti cijele dijelove upoređenih decimala. Istina je sljedeće pravilo decimalnog poređenja: veći od decimalnog razlomka čiji je cijeli broj veći i manji od decimalnog razlomka čiji je cijeli broj manji.

Ovo pravilo se primjenjuje i na konačne i na beskonačne decimale. Razmotrimo primjere.

Primjer.

Uporedite decimale 9,43 i 7,983023….

Rješenje.

Očigledno, ovi decimalni razlomci nisu jednaki. Cjelobrojni dio konačne decimale 9,43 je 9, a cijeli broj beskonačnog broja nije periodični razlomak 7,983023… je jednako 7 . Pošto je 9>7 (vidi poređenje prirodnih brojeva), onda je 9,43>7,983023.

odgovor:

9,43>7,983023 .

Primjer.

Koja od decimala 49,43(14) i 1,045,45029... je manja?

Rješenje.

Cjelobrojni dio periodičnog razlomka 49,43(14) manji je od cijelog broja beskonačnog neperiodičnog decimalnog razlomka 1 045,45029…, dakle, 49,43(14)<1 045,45029… .

odgovor:

49,43(14) .

Ako su cijeli brojevi upoređenih decimalnih razlomaka jednaki, onda da bismo saznali koji je od njih veći, a koji manji, potrebno je uporediti razlomke. Poređenje razlomaka decimalnih razlomaka vrši se bit po bit- iz kategorije desetinaca do mlađih.

Prvo, pogledajmo primjer poređenja dva konačna decimalna razlomka.

Primjer.

Uporedite krajnje decimale 0,87 i 0,8521.

Rješenje.

Cjelobrojni dijelovi ovih decimalnih razlomaka su jednaki (0=0), pa pređimo na poređenje razlomaka. Vrijednosti mjesta desetina su jednake (8=8), a vrijednost mjesta stotinki razlomka 0,87 veća je od vrijednosti mjesta stotinki razlomka 0,8521 (7>5). Dakle, 0,87>0,8521 .

odgovor:

0,87>0,8521 .

Ponekad, kako bi se uporedile zadnje decimale sa različit iznos decimalnih mjesta, razlomku s manje decimalnih mjesta treba dodati određeni broj nula na desnoj strani. Prilično je zgodno izjednačiti broj decimalnih mjesta prije nego što počnete upoređivati posljednje decimalne razlomke dodavanjem određenog broja nula desno od jednog od njih.

Primjer.

Uporedite zadnje decimale 18,00405 i 18,0040532.

Rješenje.

Očigledno je da su ovi razlomci nejednaki, jer su im zapisi različiti, ali u isto vrijeme imaju jednake cjelobrojne dijelove (18=18).

Prije pobitnog poređenja razlomaka ovih razlomaka, izjednačavamo broj decimalnih mjesta. Da bismo to učinili, dodijelimo dvije znamenke 0 na kraju razlomka 18,00405, dok dobijemo decimalni razlomak jednak njemu 18,0040500.

Vrijednosti decimalna mjesta razlomci 18,0040500 i 18,0040532 jednaki su stohiljaditim delima, a vrednost milionitog mesta je 18,0040500 manje vrijednosti odgovarajuća znamenka razlomka 18,0040532 (0<3 ), поэтому, 18,0040500<18,0040532 , следовательно, 18,00405<18,0040532 .

odgovor:

18,00405<18,0040532 .

Kada se uporedi konačni decimalni razlomak sa beskonačnim, konačni razlomak se zamjenjuje beskonačnim periodičnim razlomkom jednakim njemu s periodom od 0, nakon čega se vrši poređenje ciframa.

Primjer.

Uporedite završnu decimalu 5,27 sa beskonačnom neponovljivom decimalom 5,270013….

Rješenje.

Cjelobrojni dijelovi ovih decimala su jednaki. Vrijednosti cifara desetih i stotih dionica ovih razlomaka su jednake, a da bismo izvršili dalje poređenje, konačni decimalni razlomak zamjenjujemo beskonačnim periodičnim razlomkom jednakim s periodom od 0 oblika 5,270000 .... Pre petog decimalnog mesta, vrednosti decimalnih mesta 5,270000... i 5,270013... su jednake, a na petom decimalu imamo 0<1 . Таким образом, 5,270000…<5,270013… , откуда следует, что 5,27<5,270013… .

odgovor:

5,27<5,270013… .

Poređenje beskonačnih decimalnih razlomaka također se vrši bit po bit, i završava se čim se vrijednosti nekog bita razlikuju.

Primjer.

Uporedite beskonačne decimale 6,23(18) i 6,25181815….

Rješenje.

Cjelobrojni dijelovi ovih razlomaka su jednaki, vrijednosti desetog mjesta su također jednake. A vrijednost stotinke periodnog razlomka 6.23(18) manja je od mjesta stotinke beskonačnog neperiodnog decimalnog razlomka 6.25181815..., dakle, 6.23(18)<6,25181815… .

odgovor:

6,23(18)<6,25181815… .

Primjer.

Koja je od beskonačnih periodičnih decimala 3,(73) i 3,(737) veća?

Rješenje.

Jasno je da je 3,(73)=3,73737373… i 3,(737)=3,737737737… . Na četvrtoj decimali završava se pobitno poređenje, pošto imamo 3<7 . Таким образом, 3,73737373…<3,737737737… , то есть, десятичная дробь 3,(737) больше, чем дробь 3,(73) .

odgovor:

3,(737) .

Usporedite decimale s prirodnim brojevima, običnim razlomcima i mješovitim brojevima.

Da biste dobili rezultat poređenja decimalnog razlomka s prirodnim brojem, možete uporediti cijeli dio ovog razlomka sa datim prirodnim brojem. U ovom slučaju, periodični razlomci s periodima od 0 ili 9 moraju se prvo zamijeniti njihovim jednakim konačnim decimalnim razlomcima.

Istina je sljedeće pravilo za poređenje decimalnog razlomka i prirodnog broja: ako je cijeli broj decimalnog razlomka manji od datog prirodnog broja, tada je cijeli razlomak manji od ovog prirodnog broja; ako je cijeli dio razlomka veći ili jednak datom prirodnom broju, tada je razlomak veći od datog prirodnog broja.

Razmotrimo primjere primjene ovog pravila poređenja.

Primjer.

Uporedite prirodni broj 7 sa decimalnim razlomkom 8,8329….

Rješenje.

Pošto je dati prirodni broj manji od celog dela datog decimalnog razlomka, onda je ovaj broj manji od datog decimalnog razlomka.

odgovor:

7<8,8329… .

Primjer.

Uporedite prirodni broj 7 i decimalni broj 7.1.

Segment AB je 6 cm, odnosno 60 mm. Pošto je 1 cm = dm, onda je 6 cm = dm. Dakle, AB je 0,6 dm. Pošto je 1 mm = dm, onda je 60 mm = dm. Dakle, AB = 0,60 dm.
Dakle, AB = 0,6 dm = 0,60 dm. To znači da decimalni razlomci 0,6 i 0,60 izražavaju dužinu istog segmenta u decimetrima. Ovi razlomci su međusobno jednaki: 0,6 = 0,60.

Ako se nula doda na kraju decimalnog razlomka ili se nula odbaci, onda dobijamo frakcija, jednako datoj.
Na primjer,

0,87 = 0,870 = 0,8700; 141 = 141,0 = 141,00 = 141,000;
26,000 = 26,00 = 26,0 = 26; 60,00 = 60,0 = 60;
0,900 = 0,90 = 0,9.

Uporedimo dvije decimale 5,345 i 5,36. Izjednačimo broj decimalnih mjesta dodavanjem nule broju 5,36 desno. Dobijamo razlomke 5.345 i 5.360.

Zapisujemo ih kao nepravilne razlomke:

Ovi razlomci imaju iste nazivnike. To znači da je onaj sa većim brojnikom veći.
Od 5345< 5360, то što znači 5.345< 5,360, то есть 5,345 < 5,36.
Da biste uporedili dva decimalna razlomka, prvo morate izjednačiti njihov broj decimalnih mjesta tako što ćete jednom od njih na desnoj strani dodijeliti nule, a zatim, odbacivši zarez, uporediti rezultirajući cijeli brojevi.

Decimalni razlomci mogu biti predstavljeni na koordinatnoj zraci na isti način kao i obični razlomci.
Na primjer, da bismo prikazali decimalni razlomak 0,4 na koordinatnoj zraci, prvo ga predstavimo kao običan razlomak: 0,4 = Zatim odvajamo četiri desetine jediničnog segmenta od početka zraka. Dobijamo tačku A(0,4) (Sl. 141).

Jednaki decimalni razlomci su prikazani na koordinatnoj zraci istom tačkom.

Na primjer, razlomci 0,6 i 0,60 su predstavljeni jednom tačkom B (vidi sliku 141).

Najmanja decimala leži na koordinatni snop lijevo od većeg, a veći desno od manjeg.

Na primjer, 0,4< 0,6 < 0,8, поэтому точка A(0,4) лежит левее точки B(0,6), а точка С(0,8) лежит правее точки B(0,6) (см. рис. 141).

Hoće li se decimalni broj promijeniti ako se na kraj doda nula?
A6 nule?
Formulirajte pravilo poređenja decimalni razlomci.

1172. Napiši decimalni razlomak:

a) sa četiri decimale, jednako 0,87;
b) sa pet decimala, jednako 0,541;
c) sa tri cifre nakon zauzetosti, jednako 35;
d) sa dvije decimale, jednako 8,40000.

1173. Dodijelivši nule desno, izjednačiti broj decimalnih mjesta u decimalnim razlomcima: 1,8; 13,54 i 0,789.

1174. Napiši kraće razlomke: 2,5000; 3.02000; 20.010.

85,09 i 67,99; 55,7 i 55,7000; 0,5 i 0,724; 0,908 i 0,918; 7.6431 i 7.6429; 0,0025 i 0,00247.

1176. Rasporedite u rastućem redoslijedu brojeve:

3,456; 3,465; 8,149; 8,079; 0,453.

0,0082; 0,037; 0,0044; 0,08; 0,0091

rasporedite u opadajućem redosledu.

a) 1.41< х < 4,75; г) 2,99 < х < 3;
b) 0.1< х < 0,2; д) 7 < х < 7,01;
c) 2.7< х < 2,8; е) 0,12 < х < 0,13.

1184. Uporedite vrijednosti:

a) 98,52 m i 65,39 m; e) 0,605 t i 691,3 kg;
b) 149,63 kg i 150,08 kg; f) 4.572 km i 4671.3 m;
c) 3,55°C i 3,61°C; g) 3.835 ha i 383.7 a;
d) 6.781 h i 6.718 h; h) 7.521 l i 7538 cm3.

Da li je moguće porediti 3,5 kg i 8,12 m? Navedite neke primjere veličina koje se ne mogu porediti.

1185. Izračunaj usmeno:

1186. Vratiti lanac proračuna

1187. Može li se reći koliko cifara iza decimalnog zareza ima decimalni razlomak ako se njegov naziv završava riječju:

a) stotinke; b) deset hiljaditih; c) desetine; d) milione?

Sadržaj lekcije sažetak lekcije podrška okvir prezentacije lekcije akcelerativne metode interaktivne tehnologije Vježbajte zadaci i vježbe samoispitivanje radionice, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća diskusija pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video i multimedija fotografije, slike grafike, tabele, šeme humor, anegdote, vicevi, strip parabole, izreke, ukrštene reči, citati Dodaci sažetakačlanci čipovi za radoznale cheat sheets udžbenici osnovni i dodatni glosar pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjenom zastarjelih znanja novim Samo za nastavnike savršene lekcije kalendarski plan za godinu metodološke preporuke programa diskusije Integrisane lekcije