u totalnim diferencijalima. Jednačine u totalnim diferencijalima

Studenti univerziteta često traže informacije Kako pronaći rješenje jednačine u totalni diferencijali?". Od ove lekcije dobit ćete kompletna uputstva plus rješenja po sistemu ključ u ruke. Prvo kratak uvod - šta je totalna diferencijalna jednačina? Kako pronaći rješenje jednadžbe za totalni diferencijal?
Daljnja analiza gotovih primjera, nakon čega možda nećete imati pitanja o ovoj temi.

Jednadžba u totalnim diferencijalima

Definicija 1. Jednačina oblika M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 naziva se jednadžba u totalnim diferencijalima, ako je zavisnost ispred znaka jednakosti ukupni diferencijal neke funkcije dvije varijable u(x,y) , to jest, pravedna formula
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dx. (jedan)
Dakle, izvorna jednadžba u smislu sadržaja znači da je ukupni diferencijal funkcije jednak nuli
du(x,y)=0 .
Integracijom diferencijala dobijamo opšti integral DU u formi
u(x,y)=C. (2)
U proračunima se po pravilu konstanta postavlja jednaka nuli.
Uvijek postoji pitanje prije proračuna "Kako provjeriti da je dati DE jednadžba u totalnim diferencijalima?"
Na ovo pitanje odgovara sljedeći uslov.

Neophodan i dovoljan uslov za totalni diferencijal

Neophodan i dovoljan uslov za totalni diferencijal je jednakost među sobom parcijalnih derivata
(3)
Prilikom rješavanja diferencijalnih jednadžbi to se prije svega provjerava kako bi se utvrdilo da li imamo jednadžbu u totalnim diferencijalima ili je druga moguća.
U smislu sadržaja, ovaj uslov znači da su mješoviti derivati funkcije međusobno jednaki.
U formulama, uzimajući u obzir zavisnosti
(4)
neophodno i dovoljno stanje postojanje totalnog diferencijala možemo napisati u formi

Zadati kriterij se koristi pri provjeravanju usklađenosti jednačine sa totalnim diferencijalom, iako vam prilikom proučavanja ove teme nastavnici neće tražiti drugu vrstu jednačine.

Algoritam za rješavanje jednadžbe u totalnim diferencijalima

Iz zapisa (4) parcijalnih izvoda ukupnog diferencijala funkcije slijedi da u(x,y) možemo pronaći integracijom

Ove formule daju izbor u proračunima, pa se za integraciju bira parcijalni izvod čiji je integral lakše naći u praksi.
Dalje sekunda važna tačka - neodređeni integral je prototip tj. "+ C" treba definirati.
Stoga, ako integriramo parcijalni izvod M (x, y) s obzirom na "x", tada čelik ovisi o y i obrnuto - ako integriramo N (x, y) s obzirom na y, tada čelik ovisi o "x".
Dalje, da bi se odredila konstanta, derivacija u(x, y) se uzima u odnosu na varijablu koja nije ona nad kojom je izvršena integracija i izjednačava se sa drugom parcijalnim izvodom.
U formulama će to izgledati ovako

Po pravilu, neki pojmovi se pojednostavljuju i dobijamo jednačinu za izvod konstante. Za prvu od jednačina dobijamo

Konačno, opći integral nakon određivanja konstante ima oblik

U simetričnom obliku dobijamo odgovor za drugu jednačinu.
Snimanje je samo naizgled komplikovano, dapače, u praksi sve izgleda mnogo jednostavnije i jasnije. Analizirajte sljedeće probleme za totalne diferencijale.

Gotovi odgovori na jednadžbe u totalnim diferencijalima

Primjer 1

Rješenje: Lijeva strana jednačine je puni diferencijal neka funkcija , budući da je uvjet

Odavde napisati parcijalni izvod funkcije dvije varijable od "x"

a integracijom nalazimo njen oblik

Definirati konstantu pronaći parcijalni izvod funkcije u odnosu na"y" i izjednačiti sa vrijednošću u jednačini

Slični termini poništavamo na desnoj i lijevoj strani, nakon čega nalazimo konstantu integracijom

Sada imamo sve količine za pisanje zajedničko rešenje diferencijalna jednadžba as

Kako možete biti sigurni shema za rješavanje jednadžbi u totalnim diferencijalima Nije teško i svako to može naučiti. Faktori razlika su važni jer se moraju integrirati i diferencirati kako bi se pronašlo rješenje.

Primjer 2. (6.18) Naći integral diferencijalne jednadžbe

Rješenje: Prema teoriji, lijeva strana jednadžbe treba da bude ukupni diferencijal neke funkcije dvije varijable u(x,y), dok se provjerava da li je uvjet ispunjen

Odavde uzimamo parcijalni izvod i preko integrala nalazimo funkciju

Izračunavamo parcijalni izvod funkcije dvije varijable u odnosu na y i izjednačiti sa desnom stranom diferencijalne jednadžbe.

Izvod se izražava kao zavisnost

Uzimajući u obzir konstantu, dobili smo u obliku

Na ovoj računici ovaj primjer završeno.

Primjer 3 (6.20)Riješite diferencijalnu jednačinu

Rješenje: Lijeva strana jednadžbe će biti ukupni diferencijal neke funkcije dvije varijable u(x; y) ako je uvjet

Odavde počinjemo rješavati jednačine, odnosno integraciju jednog od parcijalnih izvoda

Zatim, nalazimo derivaciju rezultirajuće funkcije u odnosu na varijablu y i izjednačavamo je s desnom stranom diferencijalne zavisnosti

Ovo vam omogućava da pronađete konstantu kao funkciju od y. Ako počnemo da otkrivamo diferencijalnu zavisnost na desnoj strani, dobijamo da konstanta zavisi od x. dok se ne mijenja za zadata jednačina ima oblik

Ovaj primjer je riješen. Opće rješenje diferencijalne jednadžbe možemo napisati formulu

Da biste konsolidirali temu, molimo vas da samostalno provjerite jesu li ove jednadžbe jednadžbe u totalnim diferencijalima i riješite ih:
Ovdje imate korijenske funkcije, trigonometriju, eksponente, logaritme, jednom riječju – sve što se od vas može očekivati na modulima i ispitima.
Nakon toga, bit će vam mnogo lakše riješiti ovu vrstu jednadžbe.
U sljedećem članku ćete se upoznati sa jednadžbama oblika
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0
koje su dovoljno slične jednadžbi u totalnim diferencijalima, ali ne zadovoljavaju uslov jednakosti parcijalnih izvoda. Izračunavaju se traženjem faktora integracije, množenjem kojim data jednačina postaje jednačina u totalnim diferencijalima.

U ovoj temi ćemo razmotriti metodu za vraćanje funkcije iz njenog totalnog diferencijala, dati primjere problema sa potpunom analizom rješenja.

Dešava se da diferencijalne jednadžbe (DE) oblika P (x, y) d x + Q (x, y) d y \u003d 0 mogu sadržavati ukupne diferencijale nekih funkcija u lijevim dijelovima. Tada možemo pronaći opći integral DE ako prvo vratimo funkciju iz njenog ukupnog diferencijala.

Primjer 1

Razmotrimo jednačinu P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0. Zapis njegove lijeve strane sadrži diferencijal neke funkcije U(x, y) = 0. Za ovo mora biti zadovoljen uslov ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x.

Ukupni diferencijal funkcije U (x , y) = 0 ima oblik d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y . Uzimajući u obzir uslov ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x, dobijamo:

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

Transformacijom prve jednačine iz rezultirajućeg sistema jednačina možemo dobiti:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

Funkciju φ (y) možemo pronaći iz druge jednadžbe prethodno dobijenog sistema:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y "(y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y d y

Tako smo pronašli željenu funkciju U (x, y) = 0.

Primjer 2

Nađi za DN (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y = 0 zajednička odluka.

Odluka

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

Provjerimo da li je uvjet ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x zadovoljen:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 y

Naš uslov je ispunjen.

Na osnovu proračuna možemo zaključiti da je lijeva strana originalnog DE ukupni diferencijal neke funkcije U (x , y) = 0 . Moramo pronaći ovu funkciju.

Kako je (x 2 - y 2) d x - 2 x y d y ukupni diferencijal funkcije U (x, y) = 0, onda

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

Integriramo prvu jednačinu sistema u odnosu na x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y)

Sada razlikujemo rezultat s obzirom na y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y "(y)

Transformacijom druge jednačine sistema dobijamo: ∂ U ∂ y = - 2 x y . To znači da
- 2 x y + φ y "(y) = - 2 x y φ y" (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

gdje je C proizvoljna konstanta.

Dobijamo: U (x, y) \u003d x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C. Opšti integral originalne jednadžbe je x 3 3 - x y 2 + C = 0 .

Analizirajmo drugu metodu za pronalaženje funkcije iz poznatog totalnog diferencijala. Uključuje primenu krivolinijskog integrala od fiksne tačke (x 0, y 0) do tačke sa promenljivim koordinatama (x, y):

U (x, y) = ∫ (x 0, y 0) (x, y) P (x, y) d x + Q (x, y) d y + C

U takvim slučajevima, vrijednost integrala ni na koji način ne ovisi o putu integracije. Kao put integracije možemo uzeti izlomljenu liniju, čije su veze paralelne sa koordinatnim osa.

Primjer 3

Pronađite opšte rješenje diferencijalne jednadžbe (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0 .

Odluka

Provjerimo da li je uvjet ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x zadovoljen:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

Ispada da je lijeva strana diferencijalne jednadžbe predstavljena ukupnim diferencijalom neke funkcije U (x, y) = 0. Da bismo pronašli ovu funkciju, potrebno je izračunati krivolinijski integral sa tačke (1 ; 1) prije (x, y). Uzmimo kao put integracije izlomljenu liniju, čiji će dijelovi prolaziti duž prave linije y=1 od tačke (1, 1) do (x, 1), a zatim od tačke (x, 1) do (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x, 1) (x, y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2) x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

Dobili smo opšte rješenje diferencijalne jednadžbe oblika x y - x y 2 + C = 0 .

Primjer 4

Odrediti opšte rješenje diferencijalne jednadžbe y · cos x d x + sin 2 x d y = 0 .

Odluka

Provjerimo da li je uvjet ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x zadovoljen.

Pošto je ∂ (y cos x) ∂ y = cos x , ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x cos x , uslov neće biti zadovoljen. To znači da lijeva strana diferencijalne jednadžbe nije ukupni diferencijal funkcije. Ovo je odvojiva diferencijalna jednadžba i druga rješenja su pogodna za njeno rješavanje.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Definicija: Jednačina oblika

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

gdje je lijeva strana ukupni diferencijal neke funkcije dvije varijable, naziva se jednadžba u totalnim diferencijalima.

Označite ovu funkciju dvije varijable sa F(x,y). Tada se jednačina (9) može prepisati kao dF(x,y) = 0, a ova jednačina ima opšte rješenje F(x,y) = C.

Neka je data jednadžba oblika (9). Da biste saznali da li je to jednačina u totalnim diferencijalima, morate provjeriti da li je izraz

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

ukupni diferencijal neke funkcije dvije varijable. Da biste to učinili, potrebno je provjeriti ispunjenost jednakosti

Pretpostavimo da je za dati izraz (10) jednakost (11) zadovoljena u nekoj jednostavno povezanoj domeni (S) i stoga je izraz (10) ukupni diferencijal neke funkcije F(x,y) u (S) .

Razmislite sljedeći način pronalaženje ovog primitivnog. Potrebno je pronaći funkciju F(x,y) takvu da

gdje će funkcija (y) biti definirana u nastavku. Iz formule (12) onda slijedi da

na svim tačkama u području (S). Sada biramo funkciju (y) tako da se ostvari jednakost

Da bismo to učinili, prepisujemo jednakost (14) koja nam je potrebna, zamjenjujući umjesto F(x, y) njen izraz prema formuli (12):

Diferenciraćemo u odnosu na y pod predznakom integrala (ovo se može učiniti jer P (x, y) i - kontinuirane funkcije dvije varijable):

Pošto prema (11) , zamjenom sa pod predznakom integrala u (16), imamo:

Integracijom preko y nalazimo samu funkciju (y) koja je konstruisana na način da vrijedi jednakost (14). Koristeći jednakosti (13) i (14), vidimo da

u području (S). (osamnaest)

Primjer 5. Provjerite da li je data diferencijalna jednadžba jednačina u totalnim diferencijalima i riješite je.

Ovo je diferencijalna jednadžba u totalnim diferencijalima. Zaista, označavajući, u to se uvjeravamo

a to je neophodan i dovoljan uslov za izraz

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

je ukupni diferencijal neke funkcije U(x,y). Štaviše, kontinuirane su funkcije u R.

Stoga, da bi se integrirala data diferencijalna jednadžba, potrebno je pronaći funkciju za koju je lijeva strana diferencijalne jednadžbe totalni diferencijal. Neka je onda U(x,y) takva funkcija

Integracijom leve i desne strane preko x dobijamo:

Da bismo pronašli u(y), koristimo činjenicu da

Zamjenom pronađene vrijednosti u(y) u (*), konačno dobijamo funkciju U(x, y):

Opšti integral originalne jednačine ima oblik

Glavne vrste diferencijalnih jednadžbi prvog reda (nastavak).

Linearne diferencijalne jednadžbe

Definicija: Linearna jednačina prvog reda je jednačina oblika

y" + P(x)y = f(x), (21)

gdje su P(x) i f(x) kontinuirane funkcije.

Naziv jednačine objašnjava se činjenicom da je izvod y "- linearna funkcija od y, odnosno ako prepišemo jednačinu (21) kao y" = - P(x) + f(x), tada desni deo sadrži y samo do prvog stepena.

Ako je f(x) = 0, onda jednačina

yg+ P(x) y = 0 (22)

naziva se linearna homogena jednačina. Očigledno, homogena linearna jednačina je jednačina sa odvojivim varijablama:

y" + P(x)y = 0; ,

Ako je f(x) ? 0, zatim jednačina

yg+ P(x) y = f(x) (23)

naziva se linearna nehomogena jednačina.

AT opšti slučaj varijable u jednačini (21) se ne mogu odvojiti.

Jednadžba (21) se rješava na sljedeći način: tražit ćemo rješenje u obliku proizvoda dvije funkcije U(x) i V(x):

Nađimo derivat:

y" = U"V + UV" (25)

i zamijenimo ove izraze u jednačinu (1):

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Grupirajmo pojmove na lijevoj strani:

U "V + U \u003d f (x). (26)

Nametnimo uslov jednom od faktora (24), naime, pretpostavimo da je funkcija V(x) takva da isprazni izraz u uglaste zagrade u (26), tj. da je to rješenje diferencijalne jednadžbe

V" + P(x)V = 0. (27)

Ovo je jednadžba sa odvojivim varijablama, iz nje nalazimo V (x):

Sad pronađite funkciju U(x) takav da je, za već pronađenu funkciju V(x), proizvod U V rješenje jednačine (26). Za ovo, U(x) mora biti rješenje jednačine

Ovo je jednadžba varijable koja se može odvojiti, dakle

Zamjenom pronađenih funkcija (28) i (30) u formulu (4) dobivamo opće rješenje jednačine (21):

Dakle, razmatrana metoda (Bernulijeva metoda) reducira rješenje linearna jednačina(21) na rješenje dvije jednačine sa odvojivim varijablama.

Primjer 6. Naći opći integral jednačine.

Ova jednadžba nije linearna u odnosu na y i y", ali se ispostavlja da je linearna ako uzmemo u obzir traženu funkciju x i argument y. Zaista, prelazeći na, dobijamo

Za rješavanje rezultirajuće jednačine koristimo metodu zamjene (Bernoulli). Tada ćemo tražiti rješenje jednačine u obliku x(y)=U(y)V(y). Dobijamo jednačinu:

Funkciju V(y) biramo tako da. Onda

Lijevi dijelovi diferencijalnih jednadžbi oblika su ponekad totalni diferencijali nekih funkcija. Ako se funkcija rekonstruira iz njenog ukupnog diferencijala, tada će se naći opći integral diferencijalne jednadžbe. U ovom članku opisujemo metodu za oporavak funkcije iz njenog ukupnog diferencijala, teorijski materijal dati primjere i zadatke sa Detaljan opis rješenja.

Lijeva strana diferencijalne jednadžbe je ukupni diferencijal neke funkcije U(x, y) = 0 ako je uvjet zadovoljen.

Budući da je ukupni diferencijal funkcije U(x, y) = 0 , onda, ako je uslov zadovoljen, možemo to tvrditi . shodno tome, .

Iz prve jednačine sistema imamo . Funkcija se može naći pomoću druge jednadžbe sistema:

Ovo će pronaći željenu funkciju U(x, y) = 0.

Razmotrimo primjer.

Primjer.

Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe .

Odluka.

U ovom primjeru. Uslov je ispunjen jer

dakle, lijeva strana originalne diferencijalne jednadžbe je ukupni diferencijal neke funkcije U(x, y) = 0 . Naš zadatak je pronaći ovu funkciju.

Jer onda je ukupni diferencijal funkcije U(x, y) = 0 . Integriramo prvu jednačinu sistema s obzirom na x i diferenciramo rezultat dobiven s obzirom na y . S druge strane, iz druge jednačine sistema imamo . shodno tome,

gdje je C proizvoljna konstanta.

dakle, a opšti integral originalne jednačine je .

Postoji još jedna metoda za pronalaženje funkcije po njenom totalnom diferencijalu. Sastoji se od uzimanja krivolinijski integral od fiksne tačke (x 0 , y 0) do tačke sa promenljivim koordinatama (x, y): . U ovom slučaju, vrijednost integrala ne ovisi o putu integracije. Pogodno je uzeti kao put integracije izlomljenu liniju čije su veze paralelne sa koordinatnim osa.

Pogledajmo primjer.

Primjer.

Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe .

Odluka.

Provjerimo stanje:

Dakle, lijeva strana diferencijalne jednadžbe je ukupni diferencijal neke funkcije U(x, y) = 0 . Nađimo ovu funkciju izračunavanjem krivolinijskog integrala od tačke (1; 1) do (x, y) . Uzmimo poliliniju kao put integracije: prvi dio polilinije proći ćemo duž prave linije y = 1 od tačke (1, 1) do (x, 1) i uzeti drugi dio putanje od tačka (x, 1) do (x, y) .

Definicija 8.4. Diferencijalna jednadžba oblika

gdje
naziva se totalna diferencijalna jednadžba.

Imajte na umu da je lijeva strana takve jednadžbe ukupni diferencijal neke funkcije
.

U opštem slučaju, jednačina (8.4) se može predstaviti kao

Umjesto jednačine (8.5), može se uzeti u obzir jednačina

čije je rješenje opći integral jednačine (8.4). Dakle, za rješavanje jednačine (8.4) potrebno je pronaći funkciju
. U skladu sa definicijom jednačine (8.4), imamo

(8.6)

Funkcija
tražićemo, kao funkciju koja zadovoljava jedan od ovih uslova (8.6):

gdje - proizvoljna funkcija, nezavisno od .

Funkcija
je definisan tako da je zadovoljen drugi uslov izraza (8.6).

(8.7)

Iz izraza (8.7) određena je funkcija
. Zamjenjujući ga u izraz za
i dobiti opšti integral originalne jednačine.

Problem 8.3. Integrirajte jednačinu

Evo
.

Stoga ova jednadžba pripada tipu diferencijalnih jednadžbi u totalnim diferencijalima. Funkcija
tražićemo u formi

S druge strane,

U nekim slučajevima stanje
ne može se izvesti.

Tada se takve jednadžbe svode na tip koji se razmatra množenjem sa takozvanim integrirajućim faktorom, koji je, u općem slučaju, funkcija samo ili .

Ako neka jednadžba ima integrirajući faktor koji ovisi samo o , tada se određuje formulom

gdje je omjer treba biti samo funkcija .

Slično, integrirajući faktor koji ovisi samo o , određuje se formulom

gdje je omjer
treba biti samo funkcija .

Odsustvo u gornjim omjerima, u prvom slučaju, varijable , au drugom - varijabla , su znak postojanja integracionog faktora za datu jednačinu.

Problem 8.4. Dovedite ovu jednačinu u jednadžbu u totalnim diferencijalima.

Razmotrite odnos:

Tema 8.2. Linearne diferencijalne jednadžbe

Definicija 8.5. Diferencijalna jednadžba
naziva se linearnim ako je linearan u odnosu na željenu funkciju , njegov derivat i ne sadrži proizvod željene funkcije i njen izvod.

Opšti oblik linearne diferencijalne jednadžbe predstavljen je sljedećom relacijom:

(8.8)

Ako je u odnosu (8.8) desna strana
, onda se takva jednačina naziva linearno homogena. U slučaju kada je desna strana
, onda se takva jednačina naziva linearno nehomogenom.

Pokažimo da je jednadžba (8.8) integrabilna u kvadraturama.

U prvoj fazi razmatramo linearnu homogenu jednačinu.

Takva jednačina je jednačina sa odvojivim varijablama. stvarno,

;

Posljednja relacija određuje opće rješenje lineara homogena jednačina.

Za pronalaženje općeg rješenja linearne nehomogene jednačine koristi se metoda varijacije derivacije konstante. Ideja metode je da opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe bude u istom obliku kao i rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe, međutim, proizvoljna konstanta zamijenjen nekom funkcijom
da se utvrdi. Dakle, imamo:

(8.9)

Zamjenjujući u relaciju (8.8) izraze koji odgovaraju
i
, dobijamo

Zamjenom posljednjeg izraza u relaciju (8.9) dobija se opći integral linearne nehomogene jednačine.

Dakle, opće rješenje linearne nehomogene jednačine je određeno s dvije kvadrature: općim rješenjem linearne homogene jednačine i posebnim rješenjem linearne nehomogene jednačine.

Problem 8.5. Integrirajte jednačinu