SCHROEDINGEROVA JEDNAČINA
I NJEGOVI POSEBNI SLUČAJEVI (nastavak): prolazak čestice kroz POTENCIJALNU BARIJERU, Harmonski oscilator

Prolazak čestice kroz potencijalnu barijeru za klasičan slučaj smo već razmatrali u PREDAVANJU 7 1. DEO (videti sliku 7.2). Razmotrimo sada mikročesticu čija je ukupna energija manja od nivoa U potencijalna barijera (slika 19.1). U klasičnoj verziji, u ovom slučaju, prolazak čestice kroz barijeru je nemoguć. Međutim, u kvantna fizika postoji vjerovatnoća da će čestica proći. Štaviše, neće ga "preskočiti", već će, takoreći, "procuriti", koristeći svoje valne kvalitete. Stoga se efekat naziva i "tuneliranje". Za svako područje I, II, III zapiši stacionarna jednačina Schrödinger (18,3).

Za I i III: , (19.1, a)

za II: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, gdje je a = konst. Onda i y" = . Zamjena y" u (19.1a) daje: zajednička odluka za region I napisano kao superpozicija

https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)

U ovom slučaju, početna tačka širenja talasa se pomera za L, a AT 3 = 0 , jer u regionu III postoji samo prolazni talas.

Na području II(barijera) zamjena y" u (19.1b) daje

https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.

Karakterizira se vjerovatnoća prolaska koeficijent prenosa- odnos intenziteta emitovanog talasa i intenziteta incidenta:

(0) = y2"(0) , y2"( L) = y3"( L); (19.5)

od kojih prva dva znače "šivanje" funkcija na lijevoj i desnoj granici barijere, a treća i četvrta - glatkoću takvog prijelaza. Zamjenom funkcija y1, y2 i y3 u (19.5) dobijamo jednadžbe

Hajde da ih podelimo na ALI 1 i označiti a 2=A 2/A 1; b 1=B 1/A 1; a 3=A 3/A 1; b 2=B 2/A 1.

. (19.6)

Prvu jednačinu (19.6) množimo sa ik i dodajte ga drugom. Uzmimo 2 ik = a 2(q +ik)-b 2(q-ik) . (19.7)

Drugi par jednadžbi (19.6) će se smatrati sistemom od dvije jednačine sa nepoznatim a 2 i b 2.

Odrednice ovog sistema su:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" width="319" height="32">,

gdje e- qL(q+ik) 2 » 0, jer qL >> 1.

Stoga https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63">, i pronaći modul kompleksne vrijednosti a 3, pomnožimo brojilac i imenilac dobijenog razlomka sa ( q +ik)2. Nakon jednostavnih transformacija, dobijamo

https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">Obično EU~ 90% i cijeli koeficijent ispred "e" je reda jedan. Stoga je vjerovatnoća prolaska čestice kroz barijeru određena sljedećim odnosom:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">.

To znači da na E< U čestica neće savladati barijeru, tj. u klasičnoj fizici nema efekta tunela.

Ovaj efekat se koristi u inženjerskoj praksi za stvaranje tunelskih dioda koje se široko koriste u radiotehničkim uređajima (vidi 3. DEO, PREDAVANJE 3).

Osim toga, pokazalo se da je moguće pokrenuti reakciju termonuklearne fuzije u zemaljskim uslovima, što Sunce dolazi u normalnim uslovima za Sunce - na temperaturi T ~ 109 K. Ne postoji takva temperatura na Zemlji, međutim, zbog tunelskog efekta, moguće je započeti reakciju na temperaturi T ~ 107 K, koji se dešava tokom eksplozije atomska bomba, koji je bio uređaj za paljenje vodonika. Više o tome u sljedećem dijelu kursa.

Harmonski oscilator.Classical harmonijski oscilator smo takođe već razmatrali (PREDAVANJA 1,2 DEO 3). Oni, na primjer, jesu opružno klatno, čija ukupna energija E = mV 2/2 + kx 2/2. Teoretski, ova energija može poprimiti kontinuirani niz vrijednosti, počevši od nule.

Kvantni harmonijski oscilator je mikročestica koja oscilira prema harmonijskom zakonu, a koja je u vezanom stanju unutar atoma ili jezgra. U ovom slučaju, potencijalna energija ostaje klasična, karakterizirajući sličnu elastičnu povratnu silu kx. S obzirom da je ciklička frekvencija dobijamo za potencijalnu energiju https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)

Matematički, ovaj problem je još teži od prethodnih. Stoga se ograničavamo na navođenje šta će biti rezultat. Kao iu slučaju jednodimenzionalnog bunara, dobijamo diskretno spektra vlastite funkcije i vlastite energije, a jedna vlastita vrijednost energije će odgovarati jednoj valnoj funkciji: EnÛ y n(nema degeneracije stanja, kao u slučaju trodimenzionalnog bunara). Gustoća vjerovatnoće |yn|2 je također oscilirajuća funkcija, ali visina "grbi" je drugačija. Više nije banalno grijeh2 , dok su egzotičniji Hermitovi polinomi hn(x). Talasna funkcija ima oblik

, gdje ODn- zavisno od n konstantan. Spektar vlastitih vrijednosti energije:

, (19.10)

gdje kvantni broj n = 0, 1, 2, 3 ... . Dakle, postoji i "nulta energija" , iznad kojeg energetski spektar formira "sklad", gdje se police nalaze na istoj udaljenosti jedna od druge (slika 19.2). Ista slika prikazuje odgovarajuću gustinu vjerovatnoće |yn|2 za svaki energetski nivo, kao i potencijalnu energiju vanjskog polja (tačkasta parabola).

Postojanje nenulte minimalne moguće energije oscilatora ima duboko značenje. To znači da oscilacije mikročestica ne prestaju nikad, što opet znači nedostižno apsolutna nula temperatura.

1., Bursijska fizika: Kurs predavanja sa kompjuterskom podrškom: Proc. dodatak za studente. viši udžbenik institucije: U 2 toma - M.: Izdavačka kuća VLADOS-PRESS, 2001.

U principu, ništa posebno, mogu se naći u tabelama, pa čak i grafikonima.

Temporalna i stacionarna Schrödingerova jednadžba

Statistička interpretacija de Broglieovih valova i Heisenbergova relacija nesigurnosti dovela je do zaključka da jednačina kretanja u kvantna mehanika opisujući kretanje mikročestica u različitim poljima sila, trebalo bi da postoji jednačina iz koje se eksperimentalno posmatra valna svojstvačestice. Glavna jednačina mora biti jednačina za valna funkcija(x, y, z, t), budući da je upravo ta vrijednost, tačnije, vrijednost 2 ta koja određuje vjerovatnoću da se čestica nađe u zapremini dV u trenutku t, tj. u oblasti sa koordinatama x i x+dx, y i y+dy, z i z+dz. Pošto željena jednačina mora uzeti u obzir valna svojstva čestica, ona mora biti valna jednačina, slična jednadžbi koja opisuje elektromagnetne valove.

Ova jednačina je postulirana, a njena ispravnost je potvrđena slaganjem sa iskustvom rezultata dobijenih uz njenu pomoć.

Osnovna jednadžba nerelativističke kvantne mehanike (1926.)

4.1 Schrödingerova vremenska jednačina:

Jednačina vrijedi za nerelativističke čestice<< ,

gdje je (\displaystyle \hbar =(h \preko 2\pi)) masa čestice; - imaginarna jedinica; je potencijalna funkcija čestice u polju sila u kojem se kreće; je željena valna funkcija; ∆ je Laplaceov operator

Uslovi nametnuti talasnoj funkciji:

Talasna funkcija mora biti konačna, jednoznačna i kontinuirana.

Derivati ​​∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, ∂Ψ/∂z, ∂Ψ/∂t moraju biti kontinuirani.

Funkcija 2 mora biti integrabilna (ovaj uvjet se svodi na uvjet normalizacije za vjerovatnoće).

4.2 Stacionarna Schrödingerova jednačina

U slučaju stacionarnog polja sile (funkcija U=U(x, y, z) ne zavisi eksplicitno od vremena i ima značenje potencijalne energije. AT ovaj slučaj rješenje Schrödingerove jednadžbe može se predstaviti kao proizvod dvije funkcije, od kojih je jedna funkcija samo koordinata, druga je samo funkcija vremena, a ovisnost o vremenu izražena je faktorom ).

Zatim valna funkcija za stacionarna stanja(stanja sa fiksnim vrijednostima energije) mogu se predstaviti kao:

Stacionarna Schrödingerova jednadžba:

dobiveno nakon zamjene valne funkcije u Schrödingerovu vremensku jednadžbu i transformacije (∆ je Laplaceov operator, m- masa čestica; - smanjena Plankova konstanta (= h/2π); E je ukupna energija čestice, U je potencijalna energija čestice. U klasičnoj fizici, količina (EU) bila bi jednaka kinetičkoj energiji čestice. U kvantnoj mehanici, zbog relacije nesigurnosti, koncept kinetičke energije je besmislen. Ovdje je potencijalna energija U je karakteristika spoljašnje polje sile u kojoj se čestica kreće. Ova vrijednost je sasvim određena. To je također funkcija koordinata, u ovom slučaju U =U(x,y,z)).

Schrödingerova jednadžba

Jednačina kretanja u kvantnoj mehanici, koja opisuje kretanje mikročestica u različitim poljima sila, trebala bi biti jednačina iz koje bi slijedila valna svojstva čestica. To mora biti jednadžba za talasnu funkciju Ψ( X,at,z,t), budući da je vrijednost │ Ψ │ 2 određuje vjerovatnoću da se čestica nalazi u zapremini u trenutku vremena.

Osnovnu jednačinu formulisao je E. Schrödinger: jednačina nije izvedena, već postulirana.

Schrödingerova jednadžba izgleda kao:

- ΔΨ + U(x,y,z,t)Ψ = iħ, (33.9)

gdje ħ=h/(2π ), t-masa čestica, Δ-Laplaceov operator , i- imaginarna jedinica, U(x,y,z,t) je potencijalna funkcija čestice u polju sila u kojem se kreće, Ψ( x,y,z,t) je željena valna funkcija čestice.

Jednačina (32.9) je opšta Schrödingerova jednačina. Naziva se i vremenski zavisna Schrödingerova jednačina. Za mnoge fizičke pojave koje se dešavaju u mikrosvijetu, jednačina (33.9) se može pojednostaviti eliminacijom ovisnosti Ψ o vremenu, drugim riječima, pronaći Schrödingerovu jednačinu za stacionarna stanja - stanja sa fiksnim vrijednostima energije. Ovo je moguće ako je polje sile u kojem se čestica kreće stacionarno, odnosno funkcija U(x,y,z,t) ne zavisi eksplicitno od vremena i ima značenje potencijalne energije.

∆ Ψ + ( E-U)Ψ = 0. (33.10)

Jednačina (33.10) se zove Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja.

Ova jednadžba uključuje ukupnu energiju kao parametar Ečestice. Rješenje jednadžbe se ne odvija ni za jednu vrijednost parametra E, ali samo za određeni skup karakterističan za dati problem. Ove energetske vrijednosti se nazivaju vlastitim vrijednostima. Svojstvene vrijednosti E mogu formirati kontinuirane i diskretne serije.

33.5. Čestica u jednodimenzionalnoj pravougaonoj "potencijalnoj bušotini sa beskonačno visokim "zidovima"

Slobodna čestica - čestica koja se kreće u odsustvu vanjskih polja. Budući da je slobodna čestica (neka se kreće duž ose X) sile ne djeluju, tada potencijalna energija čestice U(X) = const i može se uzeti jednako nuli. Tada se ukupna energija čestice poklapa sa njenom kinetičkom energijom. Energija slobodne čestice može imati bilo koju vrijednost, odnosno njen energetski spektar je kontinuiran. Slobodna kvantna čestica je opisana ravnim monohromatskim de Broljevim talasom, a svi položaji slobodne čestice u prostoru su podjednako verovatni.

Izvršimo kvalitativnu analizu rješenja Schrödingerove jednadžbe primijenjene na slobodnu česticu u jednodimenzionalnoj pravokutnoj "potencijalnoj bušotini" sa beskonačno visokim "zidovima" (slika 33.1). Takvu „jamu“ opisuje potencijalna energija oblika (radi jednostavnosti, pretpostavljamo da se čestica kreće duž ose X)

∞, x< 0

U(x) = {0, 0≤ x ≤ l}(33.11)

∞, x > 1

gdje l- širina "jame", a energija se meri od njenog dna (sl. 33.1).

Schrödingerova jednačina za stacionarna stanja u slučaju jednodimenzionalnog problema može se napisati kao

+ (EU)Ψ = 0. (33.12)

Prema uslovu problema (beskonačno visoki „zidovi“), čestica ne prodire dalje od „jame“, pa je verovatnoća njene detekcije (a samim tim i talasne funkcije) van „jame“ jednaka nuli. Na granicama "jame" (at X=0 i x=l) kontinuirana valna funkcija također mora nestati. Prema tome, granični uslovi u ovom slučaju imaju oblik

Ψ(0)=Ψ( l)=0. (33.13)

Unutar "bunara" Schrödingerova jednačina se svodi na jednačinu

+ EΨ = 0. (33.14)

Stacionarna Schrödingerova jednadžba koja opisuje kretanje čestice u "potencijalnoj bušotini" sa beskonačno visokim "zidovima" je zadovoljena samo za sopstvene vrijednosti E str zavisan od celog broja P.

E p =,(n= 1, 2, 3, …).(33.15)

Schrödingerova glavna ideja je da matematička analogija između geometrijska optika i klasična mehanika za prenošenje na valna svojstva svjetlosti i čestica.

Iz izraza za talasnu funkciju dobijamo Schrödingerovu jednačinu slobodni elektron. Hajde da to prepišemo složen oblik.

Koristeći odnos frekvencije sa energijom, i talasnog broja sa impulsom, dobijamo: .

AT opšti slučaj je ukupna energija čestice, , – kinetička energija i je energija interakcije.

Nađimo prvi izvod u odnosu na, a drugi u odnosu na koordinatu funkcije Y: (1), (2).

Pomnožimo jednačinu (1) sa , a jednačinu (2) sa (dakle, faktori na desnoj strani će imati dimenziju energije):

, .

Dodamo rezultirajuće jednačine:

.

Budući da se posljednja jednakost može prepisati u obliku .

Ovo je Schrödingerova jednadžba. Dobijeno je za jednu koordinatu. Ako se prepiše za 3 koordinate, onda ćemo uvođenjem Laplaceovog operatora konačno imati

.

Schrödingerova jednačina se ne može direktno izvesti iz osnovnih zakona klasična fizika. Schrodingerova jednadžba vam omogućava da pronađete valnu funkciju u proizvoljnom trenutku. Da biste to učinili, morate znati valnu funkciju u fiksnom trenutku u vremenu, masu čestice i energiju interakcije čestice sa polje sile. Pronađena valna funkcija omogućava izračunavanje vjerovatnoće pronalaska čestice u proizvoljna tačka prostor za bilo koji trenutak u vremenu.

Osnovna svojstva, koje moraju zadovoljiti valne funkcije - rješenja Schrödingerove jednadžbe:

1. Talasna funkcija je linearna, tj. ako su ... rješenja jednadžbe, onda je njihova linearna kombinacija rješenje.

2. Prve parcijalne derivacije u odnosu na koordinate su linearne

3. Talasna funkcija i njeni prostorni derivati ​​moraju biti jednovrijedni, konačni i kontinuirani.

4. Kako težimo ∞, vrijednost valne funkcije treba težiti nuli.

Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja.

Ako je polje sila u kojem se opisana čestica kreće stacionarno, tada njen potencijal ne zavisi eksplicitno o vremenu, a funkcija ima značenje potencijalne energije i zavisi samo od koordinata. U ovom slučaju, valna funkcija se može predstaviti kao proizvod dva. Jedna funkcija zavisi samo od , druga zavisi samo od vremena:

Posljednji izraz zamjenjujemo u Schrödingerovu jednačinu

Nakon smanjenja vremenskim faktorom i nekim elementarne transformacije dobijamo: (*).

Ovo je Schrödingerova jednadžba za stacionarna stanja. Uključuje samo koordinatni dio valne funkcije - . Ako se ovo drugo nađe, onda se ukupna valna funkcija nalazi množenjem koordinatnog dijela s faktorom vremena.

Budući da je vjerovatnoća određena kvadratom valne funkcije, a kvadrat kompleksne vrijednosti se nalazi množenjem sa kompleksnim konjugatom, onda za stacionarne valne funkcije vrijedi sljedeća relacija:

Dakle, da bi se pronašla valna funkcija za stacionarna stanja, potrebno je riješiti jednačinu (*) i znati puna energija.

Slobodno kretanje čestica.

Tokom slobodno kretanje na kvantnu česticu ne djeluju sile, a to može biti potencijalna energija jednaka nuli. Neka se čestica kreće u smjeru , tada (*) poprima oblik: .

Posebno rješenje ove jednadžbe je funkcija oblika , gdje su i konstante. Ako željeno rješenje zamijenimo u samu jednačinu, dobićemo vezu između energije čestice i količine:

Puna valna funkcija, uzimajući u obzir vremensku ovisnost za slobodnu česticu, ima oblik . To je ravan monokromatski talas sa frekvencijom i talasnim brojem. Od , i , onda .

Čestica sa spinom takođe ima određeni "unutarnji" magnetni moment. Kvantno mehanički operator koji mu odgovara proporcionalan je spin operatoru s, tj. može se napisati u obliku

gdje je s vrijednost spina čestice, konstantna karakteristika čestice. Projekcione vlastite vrijednosti magnetni moment Iz ovoga se može vidjeti da je koeficijent (koji se obično naziva jednostavno veličinom magnetskog momenta) najveća moguća vrijednost postignuta projekcijom spina

Omjer daje omjer vlastitog magnetskog momenta čestice i njegovog vlastitog mehanički moment(kada su oba usmjerena duž ose). Kao što je poznato, za obični (orbitalni) impuls ovaj odnos je jednak (vidi II, § 44). Pokazalo se da je koeficijent proporcionalnosti između unutrašnjeg magnetskog momenta i spina čestice drugačiji. Za elektron, ona je jednaka - odnosno dvostruko većoj od uobičajene vrednosti (takva vrednost se teoretski dobija iz relativističke Diracove talasne jednačine - videti IV, § 33). Intrinzični magnetni moment elektrona (spin 1/2) je, dakle, gdje

Ova veličina se naziva Borov magneton.

Magnetski moment teških čestica obično se mjeri u nuklearnim magnetonima, definiran kao gdje je masa protona. Eksperiment daje intrinzični magnetni moment protona kao 2,79 nuklearnih magnetona, s momentom usmjerenim duž spina. Magnetski moment neutrona usmjeren je suprotno od spina i jednak je 1,91 nuklearnog magnetona.

Obratimo pažnju na činjenicu da su veličine i s, koji stoje na obje strane jednakosti (111,1), kako i treba, iste po svom vektorskom karakteru: obje su aksijalni vektori.

Slična jednakost za električni moment dva polja bila bi u suprotnosti sa simetrijom u odnosu na inverziju koordinata: inverzija bi promijenila relativni predznak obje strane jednakosti.

U nerelativističkoj kvantnoj mehanici, magnetsko polje se može smatrati samo vanjskim poljem. Magnetska interakcija čestica jedna s drugom je relativistički efekat, a njegovo uključivanje zahtijeva dosljednu relativističku teoriju.

AT klasična teorija Hamiltonova funkcija nabijene čestice u elektromagnetskom polju ima oblik

gde je skalar, A je vektorski potencijal polja, je generalizovani impuls čestice (videti II, § 16). Ako čestica nema jedinstvo, tada se vrši prijelaz na kvantnu mehaniku na uobičajen način: generalizirani impuls mora biti zamijenjen operatorom i dobijamo Hamiltonijan

Ako čestica ima spin, onda je takva operacija nedovoljna. Činjenica je da unutrašnji magnetni moment čestice direktno interaguje sa magnetnim poljem. AT klasična funkcija Hamiltona, ova interakcija je potpuno odsutna, jer sam spin, kao čisto kvantni efekat, nestaje kada se prijeđe na klasičnu granicu. Tačan izraz za Hamiltonijan se dobija uvođenjem (u 111.3) dodatnog člana - koji odgovara energiji magnetnog momenta , u polju H. Dakle, Hamiltonijan čestice sa spinom ima oblik

Prilikom otvaranja kvadrata treba imati na umu da operator , općenito govoreći, nije komutativan s vektorom A, koji je funkcija koordinata. Stoga je potrebno pisati

Prema pravilu komutacije (16.4) operatora momenta sa bilo kojom koordinatnom funkcijom, imamo

Dakle, i A su komutativni ako, posebno, vrijedi za homogeno polje, ako odaberemo njegov vektorski potencijal u obliku

(111,7)

Jednačina sa Hamiltonijanom (111.4) je generalizacija Schrödingerove jednadžbe za slučaj prisutnosti magnetsko polje. Valne funkcije na koje utječe Hamiltonijan u ovoj jednačini su simetrični spinori ranga

Talasne funkcije čestice u elektromagnetnom polju imaju nejasnoću povezanu sa dvosmislenošću potencijala polja. Kao što je poznato (vidi II, § 18), potonji su definirani samo do kalibarske transformacije

gdje - proizvoljna funkcija koordinate i vrijeme. Takva transformacija ne utječe na vrijednosti jačine polja. Jasno je, dakle, da ne bi trebalo značajno da menja ni rešenja talasne jednačine; Konkretno, kvadrat mora ostati nepromijenjen.Zaista, lako je provjeriti da ćemo se vratiti na prvobitnu jednačinu ako, istovremeno sa promjenom (111.8) u Hamiltonijanu, promijenimo i talasnu funkciju prema

(111,9)

Ova dvosmislenost valne funkcije ne utječe ni na jednu od njih fizičko značenje količina (čija definicija ne uključuje eksplicitno potencijale).

U klasičnoj mehanici, generalizovani impuls čestice povezan je sa njenom brzinom relacijom Da bismo pronašli operator v u kvantnoj mehanici, potrebno je komutirati vektor sa Hamiltonijanom.

Jednostavna kalkulacija dovodi do rezultata

(111,10)

potpuno ista kao i klasična. Za operatore komponenti brzine primjenjuju se pravila komutacije

koje je lako provjeriti direktnim proračunom. Vidimo da se u magnetnom polju ispostavlja da su operatori tri komponente brzine (nabijene) čestice nekomutativni. To znači da čestica ne može imati oboje određene vrijednosti brzina u sva tri smjera.

Prilikom kretanja u magnetskom polju, simetrija u odnosu na preokret vremena se dešava samo ako se promijeni predznak polja H (i vektorski potencijal A). To znači (vidi §§ 18 i 60) da Schrödingerova jednačina mora zadržati svoj oblik kada prelazi na kompleksne konjugirane veličine i mijenja znak H. Za sve članove u Hamiltonijanu (111.4), s izuzetkom člana, ovo je odmah očigledan. član