Konveksna parcela i njena svojstva. Definirajte konveksni skup

U kojoj sve tačke segmenta formirane od bilo koje dvije tačke datog skupa također pripadaju datom skupu.

Definicije

Primjeri

• Konveksni podskupovi skupa $\backslash R$(gomila realni brojevi) su intervali od $\backslash R$.
• Primjeri konveksnih podskupova u dvodimenzionalnom euklidskom prostoru ( $\backslash R^2$) su pravilni poligoni.
• Primjeri konveksnih podskupova u trodimenzionalnom euklidskom prostoru ( $\backslash R^3$) su Arhimedova tijela i pravilni poliedri.
• Keppler-Poinsot čvrsta tijela (pravilni zvjezdani poliedri) su primjeri ne konveksni skupovi.

Svojstva

• Konveksni skup u topološkom linearnom prostoru je povezan i povezan putem putanje, homotopski ekvivalentan tački.
• U smislu povezanosti, konveksni skup se može definisati na sledeći način: skup je konveksan ako je njegov presek sa bilo kojom (realnom) linijom povezan.
• Neka bude $K$ je konveksan skup u linearnom prostoru. Zatim za bilo koje elemente $u\_1,\backslash ;u\_2,\backslash ;\backslash ldots,\backslash ;u\_r$ u vlasništvu $K$ i za sve ne-negativne $\backslash lambda\_1,\backslash ;\backslash lambda\_2,\backslash ;\backslash ldots,\backslash ;\backslash lambda\_r$, takav da $\backslash lambda\_1+\backslash lambda\_2+\backslash ldots+\backslash lambda\_r=1$, vektor $w=\backslash sum\_(k=1)^r\backslash lambda\_k\; u\_k$

pripada $K$.

• Vector $w$ naziva se konveksna kombinacija elemenata $u\_1,\backslash ;u\_2,\backslash ;\backslash ldots,\backslash ;u\_r$.

Varijacije i generalizacije

• Bez ikakvih promjena, definicija funkcionira za afine prostore na proizvoljnom proširenju polja realnih brojeva.

vidi takođe

Napišite recenziju na članak "Konveksni set"

Književnost

• Polovinkin E. S., Balashov M. V. Elementi konveksne i jako konveksne analize. - M.: FIZMATLIT, 2004. - 416 str. - ISBN 5-9221-0499-3..
• Timorin V. A.. - M.: MTSNMO, 2002. - 16 str. - ISBN 5-94057-024-0..

Linkovi

Izvod koji karakterizira konveksni skup

A Nataša je ustala na prstima i izašla iz sobe onako kako to rade plesači, ali osmehujući se onako kako se smeju srećne 15-godišnjakinje. Upoznavši Sonju u dnevnoj sobi, Rostov je pocrveneo. Nije znao kako da se nosi s njom. Jučer su se poljubili u prvom trenutku radosti susreta, a danas su osetili da je to nemoguće; osjećao je da ga svi, i majka i sestre, upitno gledaju i očekuju od njega kako će se ponašati prema njoj. Poljubio joj je ruku i nazvao je ti - Sonja. Ali njihovi pogledi, nakon što su se sreli, rekli su jedno drugome "ti" i nežno se poljubili. Očima ga je zamolila za oproštaj što se u Natašinoj ambasadi usudila da ga podseti na obećanje i zahvalila mu na ljubavi. Očima joj je zahvalio na ponudi slobode i rekao da je, na ovaj ili onaj način, nikada neće prestati voljeti, jer je nemoguće ne voljeti je.
„Međutim, kako je čudno“, rekla je Vera, birajući opšti trenutak tišine, „da su se Sonja i Nikolenka sada srele kao stranci. - Verina primedba je bila pravedna, kao i sve njene primedbe; ali, kao i većina njenih opaski, svi su se osramotili, a ne samo Sonja, Nikolaj i Nataša, već je pocrvenela i stara grofica, koja se plašila ove ljubavi svog sina prema Sonji, koja bi ga mogla lišiti briljantne zabave. kao devojka. Denisov se, na Rostovovo iznenađenje, u novoj uniformi, pomadiran i namirisan, pojavio u dnevnoj sobi kao što je bio u bitkama, i tako ljubazan sa damama i gospodom, da Rostov nije očekivao da će ga vidjeti.

Vrativši se u Moskvu iz vojske, Nikolaja Rostova je njegova porodica primila kao najbolji sin, heroj i voljena Nikoluška; rođaci - kao drag, prijatan i poštovan mladić; poznanici - kao zgodni husarski poručnik, pametan plesač i jedan od najboljih mladoženja u Moskvi.
Rostovovi su poznavali celu Moskvu; stari grof je ove godine imao dovoljno novca, jer su sva imanja preuzeta pod hipoteku, pa je Nikoluška, pošto je dobio svoju kasaču i najmodernije pantalone, posebne koje niko u Moskvi nije imao, i čizme, najmodernije, sa najšiljate čarape i male srebrne mamuze, jako su se zabavili. Rostov je, vraćajući se kući, doživio ugodan osjećaj nakon određenog vremenskog perioda isprobavajući se za stare uslove života. Činilo mu se da je veoma sazreo i odrastao. Očaj za ispitom koji nije bio u skladu sa zakonom Božijim, pozajmljivanje novca od Gavrile za taksi, tajni poljupci sa Sonjom, sećao se svega toga kao detinjstva, od koje je sada bio neizmerno daleko. Sada je husarski poručnik u srebrnom ogrtaču, sa vojnikom Đorđem, koji priprema svog kasača za trku, zajedno sa poznatim lovcima, starijim, uglednim. Ima poznatu gospođu na bulevaru, kod koje ide uveče. Dirigovao je mazurkom na balu kod Arkharovih, pričao o ratu sa feldmaršalom Kamenskim, posjetio engleski klub i bio na tebi sa jednim četrdesetogodišnjim pukovnikom, s kojim ga je Denisov upoznao.
Njegova strast prema suverenu donekle je oslabila u Moskvi, jer ga za to vrijeme nije vidio. Ali često je pričao o suverenu, o svojoj ljubavi prema njemu, dajući dojam da još uvijek nije sve rekao, da u njegovom osjećaju prema suverenu ima još nečeg što ne može svako razumjeti; i svim srcem dijelio osjećaj obožavanja uobičajenog u to vrijeme u Moskvi za cara Aleksandra Pavloviča, koji je u to vrijeme u Moskvi dobio ime anđela u tijelu.
Tokom ovog kratkog boravka Rostova u Moskvi, prije odlaska u vojsku, nije se zbližio, već se, naprotiv, razišao sa Sonjom. Bila je veoma lepa, slatka i očigledno strastveno zaljubljena u njega; ali on je bio u to doba svoje mladosti, kada se čini da ima toliko toga da se radi da nema vremena za to, a mladić se boji da se uključi - cijeni svoju slobodu, koja treba mu za mnoge druge stvari. Kada je pomislio na Sonju tokom ovog novog boravka u Moskvi, rekao je sebi: Eh! ima ih još mnogo, mnogo njih će biti i tu su, negdje, meni još uvijek nepoznato. Još imam vremena, kada želim, da vodim ljubav, ali sada nema vremena. Osim toga, činilo mu se da je to nešto ponižavajuće za njegovu hrabrost u ženskom društvu. Išao je na balove i sestrinstva, pretvarajući se da to čini protiv svoje volje. Trčanje, engleski klub, veselje sa Denisovim, putovanje tamo - to je bila druga stvar: bilo je pristojno za mladog husara.
Početkom marta stari grof Ilja Andrejevič Rostov bio je zaokupljen priređivanjem večere u engleskom klubu za doček princa Bagrationa.
Grof u kućnom ogrtaču šetao je dvoranom, naređujući klupsku domaćicu i čuvenom Feoktistu, glavnom kuvaru. engleski klub, o šparogama, svježim krastavcima, jagodama, teletu i ribi za večeru princa Bagrationa. Grof je od dana osnivanja kluba bio njegov član i predradnik. Njemu je od kluba povereno da organizuje proslavu za Bagrationa, jer retko ko je znao da organizuje gozbu na tako veliki način, gostoljubivo, pogotovo zato što je retko ko znao kako i želeo da uloži svoj novac ako je bio potreban za uređenje gozbe. . Kuvar i domaćica kluba, veselih lica, slušali su grofove naredbe, jer su znali da ni pod kim, kao pod njim, nije bolje zaraditi na večeri koja košta nekoliko hiljada.

Skup X naziva se konveksan ako za bilo koje dvije njegove točke A,B ∈ X sve točke segmenta također pripadaju skupu X, odnosno ako za bilo koje dvije njegove točke A,B ∈ X i za bilo koju vrijednost od α u tački M = αA + (1 − α)B takođe pripada skupu X: M ∈ X.

Neka su X1, ...Xn konveksni skupovi. Označimo Y =Xi - presjek konveksnih skupova. Pokažimo da je Y konveksan skup. Da bismo to uradili, pokazujemo da za bilo koje tačke A,B ∈ Y i za bilo koju vrednost α u tački M = αA + (1 − α)B takođe pripada skupu Y: M ∈ Y . Budući da je Y presjek konveksnih skupova X1, ...Xn, onda proizvoljno izabran tačke A,B pripadaju svakom od ovih skupova Xi, i = 1..n. Pošto je svaki od skupova Xi konveksan, po definiciji slijedi da za proizvoljno odabranu vrijednost α ∈, tačka M = αA+(1−α)B pripada svakom od skupova (svi su konveksni i sadrže A,B) . Pošto svi skupovi Xi sadrže tačku M, onda

presek ovih skupova takođe sadrži tačku M: M ∈ Y . Od posljednjeg stupanja na snagu proizvoljnost A,B∈ Y, a proizvoljnost parametra α ∈ implicira konveksnost skupa Y , što je trebalo pokazati.

95. Da li je skup tačaka koje zadovoljavaju uslov konveksan? Obrazložite odgovor.

Da, očito je da ova jednakost definira linearnu poluravninu u R4.

Hajde da to opravdamo definicijom:

A = (a1, a2, a3, a4), B= (b1, b2, b3, b4) ∈ X,

zadovoljavajući gornju nejednakost.

Razmislite proizvoljna tačka M = αA + (1 − α)B, gdje je α ∈ proizvoljna vrijednost parametra. Tada je M(m1,m2,m3,m4) = αA + (1 − α)B

m1 = αa1 + (1 − αb1)

m2 = αa2 + (1 − αb2)

m3 = αa3 + (1 − αb3)

m4 = αa4 + (1 − αb4)

zadovoljivost date nejednakosti:

5 + 2m1 + 3m2 − m3 + 5m4 ≥ 0

5 + 2(αa1 + (1 − αb1)) + 3(αa2 + (1 − αb2)) − (αa3 + (1 − αb3)) + 5(αa4 + (1 − αb4)) ≥ 0

Predstavimo 5 = α5+(1−α)5, proširimo i grupišemo članove za ai i bi. Dobijamo:

α(5 + 2a1 + 3a2 − a3 + 5a4) + (1 − α)(5 + 2b1 + 3b2 − b3 + 5b4) ≥ 0

Kako tačke A, B leže u skupu X, njihove koordinate zadovoljavaju nejednakost

specificiranje skupa. Dakle, oba člana su nenegativna zbog nenegativnosti

α i 1 − α. Prema tome, zadnja nejednakost vrijedi za bilo koje A, B i bilo koju vrijednost

parametar α ∈ . Po definiciji, pokazali smo da je dati skup X

konveksan.

96. Da li je skup tačaka koje zadovoljavaju uvjet , konveksan? Obrazložite odgovor.

Da, očito je da ova jednakost definira linearnu hiperravninu u R4.

Hajde da to opravdamo definicijom:

Razmotrite bilo koje dvije tačke u ovom prostoru

A = (a1, a2, a3, a4), B= (b1, b2, b3, b4) ∈ X

zadovoljavajući gornju jednakost.

Razmotrimo proizvoljnu tačku M = αA + (1 − α)B, gdje je α ∈ proizvoljna vrijednost parametra. Tada je M(m1,m2,m3,m4) = αA + (1 − α)B

m1 = αa1 + (1 − αb1)

m2 = αa2 + (1 − αb2)

m3 = αa3 + (1 − αb3)

m4 = αa4 + (1 − αb4)

Provjerimo da tačku M(m1,m2,m3,m4) pripada skupu X koristeći

izvodljivost data jednakost:

m1 + 2m2 − 3m3 + 4m4 = 55

(αa1 + (1 − αb1)) + 2(αa2 + (1 − αb2)) − 3(αa3 + (1 − αb3)) + 4(αa4 + (1 − αb4)) = 55

Proširimo zagrade i grupišemo pojmove za ai i bi. Dobijamo:

α(a1 + 2a2 − 3a3 + 4a4) + (1 − α)(b1 + 2b2 − 3b3 + 4b4) = 55

Kako tačke A, B leže u skupu X, njihove koordinate zadovoljavaju jednakost,

definišući skup, odnosno (a1 + 2a2 − 3a3 + 4a4) = 55 i (b1 + 2b2 − 3b3 + 4b4) = 55.

Zamjenom ovih jednakosti u posljednji izraz dobijamo:

α55 + (1 − α)55 = 55

Posljednja jednakost vrijedi za bilo koje A,B i bilo koju vrijednost parametra α ∈ . Po definiciji, pokazali smo da je dati skup X konveksan.

97. Navedite primjere konveksnog skupa: a) koji ima ugaonu tačku; b) bez ugla. Može li neograničeni konveksni skup imati kutnu tačku? Navedite primjer.

a) kvadrat ima 4 ugaone tačke

b) krug nema uglovnih tačaka

c) neograničen skup može imati ugaone tačke: ima jednu ugaonu tačku (0;0)

98. Definirajte konveksni omotač sistema tačaka. Dopustiti biti konveksni trup točaka , , , . Da li tačke pripadaju skupu: , ? Obrazložite odgovor.

odnosno ispunjen je uslov da se radi o konveksnoj linearnoj kombinaciji, što znači da je X dio konveksne ljuske. Pretpostavimo da je Y također uključen u konveksnu kombinaciju, tada sve točke segmenta moraju biti uključene u linearnu kombinaciju, ali se to može vidjeti iz početnih tačaka (sve su desno od prave linije x = -1) da se cijela konveksna kombinacija nalazi desno od prave linije x = -1, a Y tačka lijevo, što potvrđuje da ni cijeli segment ni tačka Y ne pripadaju konveksnoj oplati.

konveksan skup- podskup euklidskog prostora koji sadrži segment koji povezuje bilo koje dvije tačke ovog skupa.

Definicija

Drugim riječima, skup se naziva konveksan ako:

Odnosno, ako je set X zajedno sa bilo koje dvije tačke koje pripadaju ovom skupu, sadrži segment koji ih povezuje:

U prostoru, konveksni skupovi će biti prava, poluprava, segment, interval, skup u jednoj tački.

U prostoru će sam prostor, bilo koji njegov linearni podprostor, lopta, segment, skup u jednoj tački biti konveksan. Također, sljedeći skupovi će biti konveksni:

• hiperplane H p? sa normalnim str :

• poluprostori na koje hiperravnine dijele prostor:

Svi navedeni skupovi (osim metka) su poseban slučaj konveksnog skupa poliedra.

Svojstva konveksnih skupova

• Presjek konveksnih skupova je konveksan.
• Linearna kombinacija tačaka konveksnog skupa je konveksna.
• Konveksni skup sadrži bilo koju konveksnu kombinaciju svojih tačaka.
• bilo koje tačke n-dimenzionalni euklidski prostor sa konveksnim omotačem skupa može se predstaviti kao konveksna kombinacija najviše n+1 bod ovog seta

Razmislite n je dimenzionalni euklidski prostor i neka je tačka u ovom prostoru.

Uzmite u obzir dvije tačke i , koji pripadaju . Skup točaka , koji se može predstaviti kao

(u koordinatama piše ovako:

segment povezivanje tačaka i . Pozivaju se same tačke krajevi segmenta. U slučajevima n=2 i n\u003d 3 je segment u uobičajenom smislu riječi na ravni ili u prostoru (vidi sliku 12). Imajte na umu da za  =0, a za  =1, tj. sa  =0 i  =1, dobijaju se krajevi segmenta.

Pusti unutra

dato k bodova

. Dot

gde se sve zove konveksna kombinacija bodova .

Neka postoji neko područje u prostoru (drugim riječima,

G postoje neke tačke

).

Definicija. Skup (regija) se poziva konveksan, ako iz ovoga slijedi da je za   . Drugim riječima, G - konveksan skup ako, zajedno sa bilo koje dvije svoje tačke, sadrži segment koji povezuje ove tačke.

Na ovim slikama, "a" i "b" su konveksni skupovi, a "c" nije konveksan skup, jer ima takav par tačaka da segment koji ih povezuje ne pripada u potpunosti ovom skupu.

Teorema 1. Neka je G konveksan skup. Tada svaka konveksna kombinacija tačaka koje pripadaju ovom skupu takođe pripada ovom skupu.

Dokaz

Dokažimo teoremu metodom matematička indukcija. At k=2 teorema je tačna, jer jednostavno prelazi na definiciju konveksnog skupa.

Neka je teorema tačna za neke k. Uzmite tačku i razmotrite konveksnu kombinaciju

gde su svi

i .

Zamislite

as

Teorema je dokazana.

Teorema 2. Dopušteno područje problema linearno programiranje je konveksan skup.

Dokaz.

1. U standardnom obliku u matričnom zapisu dozvoljena površina G je određen uslovom

One. x pripada G i stoga je konveksan.

2. U kanonskom obliku domen G je definisan uslovima

Neka i pripadaju G, tj.

.

one. i stoga je G konveksan. Teorema je dokazana.

Dakle, dopuštena površina u problemu linearnog programiranja je konveksan skup. Po analogiji sa dvodimenzionalnim ili 3D kućišta, za bilo koje n ovo područje se zove konveksan

poliedar n- dimenzionalni prostor

Teorema 3. Skup optimalnih planova za problem linearnog programiranja je konveksan (ako nije prazan).

Dokaz

Ako je rješenje problema linearnog programiranja jedinstveno, onda je po definiciji konveksno - tačka se smatra konveksnim skupom. Neka sada i dva optimalna plana problema linearnog programiranja.

one. postoji i optimalni plan i zbog toga je skup optimalnih planova konveksan. Teorema je dokazana.

Teorema 4. Da bi problem linearnog programiranja imao rješenje, potrebno je i dovoljno da ciljna funkcija na dopustivom skupu bilo ograničeno odozgo (kod rješavanja problema za maksimum) ili odozdo (pri rješavanju problema za minimum).

Ovu teoremu dajemo bez dokaza.

Neka bude X, at, z- elementi n-dimenzionalni realni euklidski prostor Nazvaćemo ih i vektorima ili tačkama prostora

Definicija . Linija koja povezuje tačke x i y, je skup tačaka oblika

Definicija . Skup tačaka se zove konveksan skup, ako je segment koji povezuje bilo koje dvije točke uključen u skup M, to je

Na primjer, konveksni skupovi su tačka, segment, prostor, otvoreni i zatvoreni paralelepiped, otvorena i zatvorena lopta. Prazan set nije konveksan.

Teorema . Neprazan presjek bilo kojeg broja konveksnih skupova je konveksan skup.

Dokaz . Neka biti konveksni skupovi i točke x, y pripadaju svim tim skupovima istovremeno, stoga tačka, po definiciji konveksnog skupa, pripada svim skupovima istovremeno. Dakle, za bilo koje dvije tačke, tačke pripadaju skupu M. Dakle, po definiciji M je konveksan skup.

Definicija . Hiperplan in se naziva skup tačaka

gdje a-n-dimenzionalno vodeći vektor, zagrade označavaju skalarni proizvod pravi broj sa naziva slobodnim članom.

Napomene . 1) Hiperravan je konveksan skup. Zaista, neka Tada za bilo koju tačku pripada G, jer

2) Vektor smjera a ortogonalno na hiperravninu, odnosno za bilo koji vektor z = x – y povezivanje dve proizvoljne nepodudarne tačke hiperravnine ( a, z) = 0. Zaista,

(a, z) = (a, x) – (a, y) = c – c = 0.

Definicija . Skup gledišta

pozvao poluprostor in

Smjer nejednakosti u definiciji može se uzeti i u suprotnom smjeru.

Komentar . Poluprostor je konveksan skup. Zaista, neka Tada za bilo koju tačku pripada S, jer

Definicija . Neprazna raskrsnica konačan broj poluprostori se nazivaju konveksni poliedar.

Upotreba termina konveksni poliedar objašnjava se činjenicom da je poluprostor konveksan skup, a neprazan presek konačnog broja konveksnih skupova konveksan skup.

Definicija . Mnogo ljubaznih

pozvao pozitivan orthant.

Pozitivan ortant je konveksni poliedar. Zaista, nejednakost se može tumačiti kao sistem nejednakosti

Definicija . Neka je konveksan poliedar G dato sistemom nejednakosti

gdje su vektori smjera, k > n. Ako se tačka barem pretvori u jednakosti n nejednakosti, a rang odgovarajućeg sistema vektora je jednak n, zatim poenta at pozvao ugaona(ili ekstremna) tačka poliedra.

Imajte na umu da je broj kutnih tačaka konveksni poliedar možda (u zavisnosti od n i k) je veoma velika. Da, u n = 10, k= 20 ovaj broj se može uporediti sa 10 11 .

Komentar . Pošto je jednakost oblika

može se zamijeniti sistemom od dvije nejednakosti

onda ako se neke od nejednakosti (ili sve nejednakosti) u definiciji zamijene odgovarajućim jednakostima, onda rezultirajući sistem uslova također definira konveksni poliedar.

Prisjetite se definicije često korištenog konveksnog skupa.

Definicija . ε – okolina tačke je otvorena lopta

Očigledno, ε, susjedstvo tačke, je konveksan skup.

Definicija . Dot x pozvao granična tačka skup ako ε -okolina sadrži tačke koje pripadaju skupu X i tačke koje ne pripadaju skupu X.

Definicija . Dot x pozvao unutrašnja tačka skup ako se nađe da ε -susjedstvo leži u potpunosti unutar skupa X.

Komentar . Granična tačka možda ne pripada skupu X. Na primjer, za set Definicija. Gomila X pozvao ograničeno ako je njegov prečnik konačan broj.

Definicija . kornet je skup tako da slijedi da .

Komentar . Iz definicije slijedi da konus sadrži nultu tačku X= 0. Konus je neograničen skup (osim u degeneriranom slučaju kada konus sadrži samo jednu tačku X= 0). Konus može biti zatvoren i nezatvoren.

Definicija . Compact naziva se zatvorenim ograničenim skupom.

Komentar . Zatvoreni ograničeni skupovi su od posebnog interesa u vezi s Weierstrassovom teoremom, koja kaže da kontinuirana funkcija na zatvorenom ograničen set(kompaktan) dostiže svoje maksimalne i minimalne vrijednosti.

Prilikom istraživanja ekonomske pojave matematičke metode pokazalo se da je takvo svojstvo mnogih skupova i funkcija konveksnost vrlo značajno. Priroda ponašanja mnogih privrednih subjekata je zbog činjenice da određene zavisnosti, koji opisuju ove objekte, su konveksni.

Postojanje ili jedinstvenost rješenja ekonomskih problema često se povezuje sa konveksnošću funkcija i skupova: mnogi računski algoritmi su zasnovani na ovoj osobini.

Valjanost mnogih izjava o konveksnim skupovima i funkcijama je sasvim jasna, gotovo su očigledne. Istovremeno, njihov dokaz je često veoma težak. Stoga će ovdje biti navedene neke osnovne činjenice vezane za konveksnost, bez dokaza, računajući na njihovu intuitivnu uvjerljivost.

Konveksni skupovi u ravni.

Bilo koji geometrijska figura na ravni se može smatrati skupom tačaka koje pripadaju ovoj figuri. Neki skupovi (na primjer, krug, pravougaonik, traka između paralelnih linija) sadrže i unutrašnje i granične točke; drugi (na primjer, segment linije, krug) se sastoje samo od graničnih tačaka.

Skup tačaka u ravni naziva se konveksan ako ima slijedeća nekretnina: segment koji povezuje bilo koje dvije tačke ovog skupa je u potpunosti sadržan u ovom skupu.

Primeri konveksnih skupova su: trougao, segment, poluravan (deo ravni koji leži na jednoj strani prave), cela ravan.

Skup koji se sastoji od jedne tačke i prazan skup koji ne sadrži tačke, po konvenciji se takođe smatraju konveksnim. U svakom slučaju, u ovim skupovima je nemoguće nacrtati segment koji povezuje neke tačke ovih skupova, a ne pripada u potpunosti tim skupovima – općenito je nemoguće izabrati dvije tačke u njima. Stoga njihovo uključivanje u broj konveksnih skupova neće dovesti do kontradikcije sa definicijom, a to je dovoljno za matematičko rezonovanje.

Raskrsnica, tj. zajednički dio dva konveksna skupa su uvijek konveksna: uzimajući bilo koje dvije točke presjeka (a one su zajedničke, odnosno pripadaju svakom od skupova koji se sijeku) i povezujući ih sa segmentom, lako možemo vidjeti da su sve točke segmenta zajedničke na oba skupa, pa kako je svaki od njih konveksan. Presjek bilo kojeg broja konveksnih skupova također će biti konveksan.

Važno svojstvo konveksnih skupova je njihova odvojivost: ako dva konveksna skupa nemaju zajedničkog unutrašnje tačke, tada se ravan može preseći duž prave linije na način da će jedan od skupova u potpunosti ležati u jednoj poluravni, a drugi u drugoj (tačke oba skupa mogu se nalaziti na liniji preseka). Prava linija koja ih razdvaja u nekim slučajevima ispada jedino moguća, u drugim nije.

Sama granična tačka bilo kog konveksnog skupa može se smatrati konveksnim skupom koji nema zajedničke unutrašnje tačke sa originalnim skupom, pa se od njega može odvojiti nekom ravnom linijom. Prava koja odvaja njegovu graničnu tačku od konveksnog skupa naziva se linija oslonca ovog skupa u datoj tački. Referentne linije u nekim tačkama konture mogu biti jedinstvene, u drugim - ne jedinstvene.

Hajde da u avionu predstavimo sistem Kartezijanske koordinate x, y. Sada imamo priliku da različite figure posmatramo kao skupove takvih tačaka čije koordinate zadovoljavaju određene jednačine ili nejednakosti (ako koordinate tačke zadovoljavaju bilo koji uslov, kratko ćemo reći da sama tačka zadovoljava ovaj uslov).