Šta znači postaviti koordinatnu ravan. Kartezijanske koordinate ravnih tačaka

Kvadratne jednadžbe se često pojavljuju prilikom rješavanja različitih problema iz fizike i matematike. U ovom članku ćemo pogledati kako riješiti ove jednakosti. univerzalni način"kroz diskriminant". U članku su dati i primjeri korištenja stečenog znanja.

O kojim jednačinama govorimo?

Na slici ispod prikazana je formula u kojoj je x nepoznata varijabla, a latinični znakovi a, b, c predstavljaju neke poznate brojeve.

Svaki od ovih simbola naziva se koeficijent. Kao što vidite, broj "a" je ispred kvadratne varijable x. Ovo je maksimalna snaga predstavljenog izraza, zbog čega se naziva kvadratna jednačina. Često se koristi drugi naziv: jednačina drugog reda. Vrijednost samog a je kvadratni faktor(stoji s promjenljivom na kvadrat), b je linearni koeficijent(nalazi se pored varijable podignute na prvi stepen), konačno, broj c je slobodan član.

Imajte na umu da je oblik jednačine prikazan na gornjoj slici opći klasični kvadratni izraz. Pored nje, postoje i druge jednačine drugog reda u kojima koeficijenti b, c mogu biti nula.

Kada se postavi zadatak za rješavanje razmatrane jednakosti, to znači da se moraju pronaći takve vrijednosti varijable x koje bi je zadovoljile. Ovdje, prva stvar koju treba zapamtiti je sljedeća stvar: pošto je maksimalna snaga x 2, onda dati tip izrazi ne mogu imati više od 2 rješenja. To znači da ako se prilikom rješavanja jednadžbe nađe 2 x vrijednosti koje je zadovoljavaju, onda možete biti sigurni da ne postoji 3. broj, zamjenom kojeg umjesto x, jednakost bi također bila tačna. Rješenja jednadžbe u matematici nazivaju se njezinim korijenima.

Metode rješavanja jednačina drugog reda

Rješavanje jednadžbi ovog tipa zahtijeva poznavanje neke teorije o njima. AT školski kurs algebre smatraju 4 različite metode rješenja. Nabrojimo ih:

korištenje faktorizacije;
korištenje formule za savršeni kvadrat;
primjenom rasporeda dotičnih kvadratna funkcija;
koristeći diskriminantnu jednačinu.

Prednost prve metode je njena jednostavnost, međutim, ne može se primijeniti na sve jednačine. Druga metoda je univerzalna, ali pomalo glomazna. Treća metoda se odlikuje jasnoćom, ali nije uvijek prikladna i primjenjiva. I konačno, korištenje diskriminantne jednadžbe je univerzalan i prilično jednostavan način za pronalaženje korijena apsolutno bilo koje jednačine drugog reda. Stoga ćemo u članku razmotriti samo to.

Formula za dobivanje korijena jednadžbe

Hajde da se okrenemo opšti pogled kvadratna jednačina. Zapišimo to: a*x²+ b*x + c =0. Prije upotrebe metode rješavanja „preko diskriminanta“, jednakost uvijek treba svesti na pisani oblik. To jest, mora se sastojati od tri člana (ili manje ako je b ili c 0).

Na primjer, ako postoji izraz: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², onda prvo treba prenijeti sve njegove članove na jednu stranu jednakosti i dodati pojmove koji sadrže varijablu x u istu ovlasti.

AT ovaj slučaj ova operacija će rezultirati sledeći izraz: -6*x²-4*x+8=0, što je ekvivalentno jednačini 6*x²+4*x-8=0 (ovdje smo pomnožili lijevu i desnu stranu jednačine sa -1).

U gornjem primjeru, a = 6, b=4, c=-8. Imajte na umu da se svi članovi razmatrane jednakosti uvijek međusobno zbrajaju, stoga, ako se pojavi znak "-", to znači da je odgovarajući koeficijent negativan, kao u ovom slučaju broj c.

Nakon što smo analizirali ovu tačku, sada se okrećemo samoj formuli, koja omogućava dobivanje korijena kvadratne jednadžbe. Izgleda kao na slici ispod.

Kao što se može vidjeti iz ovog izraza, on vam omogućava da dobijete dva korijena (treba obratiti pažnju na znak "±"). Da biste to učinili, dovoljno je u njega zamijeniti koeficijente b, c i a.

Koncept diskriminanta

U prethodnom pasusu data je formula koja vam omogućava brzo rješavanje bilo koje jednačine drugog reda. U njemu se radikalni izraz naziva diskriminant, odnosno D = b²-4 * a * c.

Zašto je ovaj dio formule izolovan, pa čak i jeste sopstveno ime? Činjenica je da diskriminanta povezuje sva tri koeficijenta jednačine u jedan izraz. Poslednja činjenica znači da u potpunosti nosi informacije o korijenima, što se može izraziti sljedećom listom:

D>0: jednakost ima 2 razna rješenja, a oboje jesu realni brojevi.
D=0: Jednačina ima samo jedan korijen, i to je realan broj.

Zadatak određivanja diskriminanta

Evo jednostavnog primjera kako pronaći diskriminanta. Neka je data sljedeća jednakost: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Hajde da ga dovedemo standardni pogled, dobijamo: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, odakle dolazimo do jednakosti: -2*x²+2 *x- 11 = 0. Ovdje je a=-2, b=2, c=-11.

Sada možete koristiti imenovanu formulu za diskriminanta: D \u003d 2² - 4 * (-2) * (-11) \u003d -84. Dobiveni broj je odgovor na zadatak. Pošto je diskriminant u primjeru manji od nule, možemo reći da ova kvadratna jednadžba nema realne korijene. Njegovo rješenje će biti samo brojevi složenog tipa.

Primjer nejednakosti kroz diskriminant

Riješimo probleme malo drugačijeg tipa: data je jednakost -3*x²-6*x+c = 0. Potrebno je pronaći takve vrijednosti c za koje je D>0.

U ovom slučaju su poznata samo 2 od 3 koeficijenta, tako da neće biti moguće izračunati tačnu vrijednost diskriminanta, ali se zna da je ona pozitivna. Zadnju činjenicu koristimo prilikom sastavljanja nejednakosti: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Rješenje dobijene nejednačine dovodi do rezultata: c>-3.

Provjerimo rezultirajući broj. Da bismo to učinili, izračunavamo D za 2 slučaja: c=-2 i c=-4. Broj -2 zadovoljava rezultat (-2>-3), odgovarajući diskriminant će imati vrijednost: D = 12>0. Zauzvrat, broj -4 ne zadovoljava nejednakost (-4 Dakle, svi brojevi c koji su veći od -3 će zadovoljiti uslov.

Primjer rješavanja jednadžbe

Ovdje je problem koji se sastoji ne samo u pronalaženju diskriminanta, već i u rješavanju jednačine. Potrebno je pronaći korijene za jednakost -2*x²+7-9*x = 0.

U ovom primjeru diskriminant je sljedeća vrijednost: D = 81-4*(-2)*7= 137. Tada se korijeni jednačine definiraju na sljedeći način: x = (9±√137)/(-4). Ovo su tačne vrijednosti korijena, ako približno izračunate korijen, onda ćete dobiti brojeve: x = -5,176 i x = 0,676.

geometrijski problem

Riješit ćemo problem koji će zahtijevati ne samo sposobnost izračunavanja diskriminanta, već i korištenje vještina apstraktno razmišljanje i znanje o tome kako napisati kvadratne jednačine.

Bob je imao jorgan 5 x 4 metra. Dječak je htio da mu prišije oko perimetra kontinuirana traka od prelepe tkanine. Koliko će ova traka biti debela ako se zna da Bob ima 10 m² tkanine.

Neka traka ima debljinu od x m, tada će površina tkanine duž dugačke strane pokrivača biti (5 + 2 * x) * x, a pošto postoje 2 dugačke strane, imamo: 2 * x * (5 + 2 * x). By kratka strana površina ušivene tkanine će biti 4*x, pošto postoje 2 ove strane, dobijamo vrijednost 8*x. Imajte na umu da je 2*x dodato na dužu stranu jer se dužina jorgana povećala za taj broj. Ukupna površina tkanine ušivene na ćebe je 10 m². Dakle, dobijamo jednakost: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Za ovaj primjer, diskriminanta je: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Njegov korijen je 22. Koristeći formulu, nalazimo željene korijene: x = (-18±22)/(2* 4) = (- 5; 0,5). Očigledno je da je od dva korijena samo broj 0,5 pogodan za stanje problema.

Tako će traka tkanine koju Bob prišije na svoje ćebe biti široka 50 cm.

Kopyevskaya ruralna srednja škola

10 načina za rješavanje kvadratnih jednačina

Rukovodilac: Patrikeeva Galina Anatoljevna,

nastavnik matematike

s.Kopyevo, 2007

1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

1.1 Kvadratne jednadžbe u Drevni Babilon

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khwarizmi

1.5 Kvadratne jednadžbe u Evropa XIII- XVII vijeka

1.6 O Vietinoj teoremi

2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Zaključak

Književnost

1. Istorija razvoja kvadratnih jednačina

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje područja zemljišne parcele i sa zemljanim radovima vojne prirode, kao i sa razvojem same astronomije i matematike. Kvadratne jednadžbe su uspjele riješiti oko 2000 godina prije Krista. e. Babilonci.

Primjenjujući modernu algebarsku notaciju, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima, osim nepotpunih, postoje i, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Uprkos visoki nivo razvoj algebre u Babilonu, u klinastim tekstovima ne postoji koncept negativnog broja i uobičajene metode rješenja kvadratnih jednadžbi.

1.2 Kako je Diofant sastavio i riješio kvadratne jednačine.

Diofantova aritmetika ne sadrži sistematsko izlaganje algebre, ali sadrži sistematski niz problema, praćenih objašnjenjima i rešavanih formulisanjem jednačina različitih stepeni.

Prilikom sastavljanja jednačina, Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Zadatak 11."Pronađi dva broja znajući da je njihov zbir 20, a proizvod 96"

Diofant tvrdi kako slijedi: iz uvjeta zadatka slijedi da željeni brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, onda bi njihov proizvod bio jednak ne 96, već 100. Dakle, jedan od njih će biti veći od pola njihove sume, tj. 10+x, drugi je manji, tj. 10's. Razlika između njih 2x .

Otuda jednačina:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Odavde x = 2. Jedan od željenih brojeva je 12 , ostalo 8 . Odluka x = -2 jer Diofant ne postoji, pošto je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako ovaj problem riješimo odabirom jednog od željenih brojeva kao nepoznatog, doći ćemo do rješenja jednačine

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Jasno je da Diofant pojednostavljuje rješenje birajući polurazliku željenih brojeva kao nepoznatu; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednačine (1).

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi za kvadratne jednačine se već nalaze u astronomskom traktu "Aryabhattam", koji je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski naučnik, Brahmagupta (7. vek), izložio je opšte pravilo za rešavanje kvadratnih jednačina svedenih na jednu kanonski oblik:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

U jednačini (1), koeficijenti, osim za a, može biti i negativan. Brahmaguptino pravilo se u suštini poklapa s našim.

AT drevna Indija javni konkursi u rješavanju teških problema bili su uobičajeni. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim takmičenjima kaže se sljedeće: „Kao što sunce obasjava zvijezde svojim sjajem, tako naučnik čovek pomračiti slavu drugog na javnim sastancima, predlažući i rješavajući algebarske probleme. Zadaci su često bili obučeni u poetsku formu.

Evo jednog od problema poznatog indijskog matematičara iz XII veka. Bhaskara.

Zadatak 13.

“Razigrano jato majmuna I dvanaest u vinovoj lozi...

Pojevši snagu, zabavio se. Počeli su skakati, vješati se...

Osmi dio njih na kvadratu Koliko je majmuna bilo,

Zabavljati se na livadi. Reci mi, u ovom jatu?

Bhaskarino rješenje ukazuje da je znao za dvovrijednost korijena kvadratnih jednačina (slika 3).

Jednačina koja odgovara problemu 13 je:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara piše pod maskom:

x 2 - 64x = -768

i, da bi dopunio lijevu stranu ove jednadžbe u kvadrat, on sabira obje strane 32 2 , uzimajući tada:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khorezmiju

Al-Khorezmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1) "Kvadrati su jednaki korijenima", tj. ax 2 + c = b X.

2) "Kvadrati su jednaki broju", tj. sjekira 2 = s.

3) "Korijeni su jednaki broju", tj. ah = s.

4) "Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima", tj. ax 2 + c = b X.

5) "Kvadrati i korijeni su jednaki broju", tj. ah 2+ bx = s.

6) "Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima", tj. bx + c \u003d sjekira 2.

Za al-Khorezmija, koji je izbjegavao upotrebu negativni brojevi, članovi svake od ovih jednačina su sabirci, a ne oduzeti. U ovom slučaju se očito ne uzimaju u obzir jednačine koje nemaju pozitivna rješenja. Autor navodi načine rješavanja naznačene jednačine, koristeći tehnike al-jabr i al-muqabela. Njegove odluke se, naravno, ne poklapaju u potpunosti sa našim. Da ne spominjemo činjenicu da je riječ o čisto retorici, treba napomenuti, na primjer, da pri rješavanju nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa

al-Horezmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerovatno zato što ono nije bitno u konkretnim praktičnim problemima. Prilikom rješavanja kompletnih kvadratnih jednadžbi al - Khorezmija na parcijalnom numeričke primjere postavlja pravila odlučivanja, a zatim i geometrijske dokaze.

Zadatak 14.“Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen" (pod pretpostavkom da je korijen jednadžbe x 2 + 21 = 10x).

Autorovo rješenje glasi otprilike ovako: podijelite broj korijena na pola, dobijete 5, pomnožite 5 sa sobom, oduzmete 21 od proizvoda, ostaje 4. Uzmite korijen od 4, dobijete 2. Oduzmite 2 od 5, dobit ćete dobiti 3, ovo će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 do 5, što će dati 7, ovo je također korijen.

Traktat al-Khorezmi je prva knjiga koja je došla do nas, u kojoj je sistematski navedena klasifikacija kvadratnih jednačina i date formule za njihovo rješavanje.

1.5 Kvadratne jednadžbe u Evropi XIII - XVII stoljeća

Formule za rješavanje kvadratnih jednačina po uzoru na Al-Khorezmi u Evropi su prvi put izložene u "Knjizi Abakusa", koju je 1202. godine napisao italijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike, kako u zemljama islama tako i Ancient Greece, razlikuje se i po potpunosti i po jasnoći prezentacije. Autor je samostalno razvio neke nove algebarski primjeri rješavanje problema i bio je prvi u Evropi koji je pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi zadaci iz "Knjige Abakusa" ušli su u gotovo sve evropske udžbenike 16. - 17. vijeka. i dijelom XVIII.

Opšte pravilo rješenja kvadratnih jednadžbi svedena na jedan kanonski oblik:

x 2+ bx = sa,

za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenata b , sa je u Evropi formulisao M. Stiefel tek 1544. godine.

Vieta ima opšti izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta je prepoznao samo pozitivni koreni. Italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli bili su među prvima u 16. veku. Uzmite u obzir, pored pozitivnih, i negativni koreni. Tek u XVII veku. Zahvaljujući djelima Girarda, Descartesa, Newtona i drugih naučnim putem rješavanje kvadratnih jednačina poprima moderan oblik.

1.6 O Vietinoj teoremi

Teoremu koja izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednadžbe i njenih korijena, koja nosi ime Vieta, on je prvi put formulirao 1591. godine na sljedeći način: „Ako B + D pomnoženo sa A - A 2 , jednako BD, onda A jednaki AT i jednaki D ».

Da biste razumeli Vietu, morate to zapamtiti ALI, kao i svaki samoglasnik, za njega je značio nepoznato (naš X), samoglasnici AT, D- koeficijenti za nepoznato. U jeziku moderne algebre, Vietina formulacija iznad znači: ako

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Izražavanje odnosa između korijena i koeficijenata jednadžbi opšte formule, napisan simbolima, Viet je uspostavio uniformnost u metodama rješavanja jednačina. Međutim, simbolika Viete još je daleko od toga moderan izgled. Nije prepoznavao negativne brojeve, pa je pri rješavanju jednačina razmatrao samo slučajeve u kojima su svi korijeni pozitivni.

2. Metode rješavanja kvadratnih jednačina

Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstveno zdanje algebre. Kvadratne jednadžbe se široko koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednačina. Svi znamo rješavati kvadratne jednačine od škole (8. razred) do mature.

Kvadratna jednadžba - lako riješiti! *Dalje u tekstu "KU". Prijatelji, čini se da u matematici to može biti lakše od rješavanja takve jednačine. Ali nešto mi je govorilo da mnogi ljudi imaju problema s njim. Odlučio sam da vidim koliko utisaka Yandex daje po zahtjevu mjesečno. Evo šta se desilo, pogledajte:

Šta to znači? To znači da mjesečno traži oko 70.000 ljudi ove informacije, kakve veze ovo ljeto ima, i šta će biti među školske godine- zahtjevi će biti duplo veći. To nije iznenađujuće, jer oni momci i djevojke koji su odavno završili školu i spremaju se za ispit traže ove informacije, a i školarci pokušavaju osvježiti pamćenje.

Uprkos činjenici da postoji mnogo sajtova koji govore kako da se reši ova jednačina, odlučio sam da dam svoj doprinos i objavim materijal. Prvo, želim da posjetioci dođu na moju stranicu na ovaj zahtjev; drugo, u drugim člancima, kada dođe do govora „KU“, daću link do ovog članka; treće, reći ću vam nešto više o njegovom rješenju nego što se obično navodi na drugim stranicama. Hajde da počnemo! Sadržaj članka:

Kvadratna jednačina je jednačina oblika:

gdje su koeficijenti a,bi sa proizvoljnim brojevima, sa a≠0.

Na školskom kursu materijal se daje sljedeći obrazac– uslovno, jednačine se dijele u tri klase:

1. Imati dva korijena.

2. * Imajte samo jedan korijen.

3. Nemate korijene. Ovdje je vrijedno napomenuti da oni nemaju prave korijene

Kako se izračunavaju korijeni? Samo!

Računamo diskriminanta. Ispod ove "strašne" riječi krije se vrlo jednostavna formula:

Formule korijena su sljedeće:

*Ove formule se moraju znati napamet.

Možete odmah zapisati i odlučiti:

primjer:

1. Ako je D > 0, onda jednačina ima dva korijena.

2. Ako je D = 0, onda jednačina ima jedan korijen.

3. Ako D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pogledajmo jednačinu:

Ovom prilikom, kada je diskriminanta nula, školski kurs kaže da se dobija jedan koren, ovde je jednak devet. Tako je, ali...

Ovaj prikaz je donekle netačan. U stvari, postoje dva korijena. Da, da, nemojte se iznenaditi, ispada dva jednak korijen, a da budemo matematički precizni, u odgovoru treba napisati dva korijena:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ali ovo je tako - mala digresija. U školi možete zapisati i reći da postoji samo jedan korijen.

Sada slijedeći primjer:

Kao što znamo, korijen negativnog broja se ne izdvaja, tako da u ovom slučaju nema rješenja.

To je cijeli proces odlučivanja.

Kvadratna funkcija.

Evo kako rješenje izgleda geometrijski. Ovo je izuzetno važno razumjeti (u budućnosti ćemo, u jednom od članaka, detaljno analizirati rješenje kvadratne nejednakosti).

Ovo je funkcija oblika:

gdje su x i y varijable

a, b, c su dati brojevi, gdje je a ≠ 0

Grafikon je parabola:

Odnosno, ispada da rješavanjem kvadratne jednadžbe sa "y" jednakom nuli, nalazimo točke presjeka parabole sa x-osom. Ove tačke mogu biti dvije (diskriminanta je pozitivna), jedna (diskriminanta je nula) ili nijedna (diskriminanta je negativna). Više o kvadratnoj funkciji Možete pogledatičlanak Inna Feldman.

Razmotrimo primjere:

Primjer 1: Odlučite se 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odgovor: x 1 = 8 x 2 = -12

* Mogli ste odmah otići i desna strana podijeliti jednačinu sa 2, odnosno pojednostaviti je. Proračuni će biti lakši.

Primjer 2: Odluči se x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Dobili smo da je x 1 = 11 i x 2 = 11

U odgovoru je dozvoljeno napisati x = 11.

Odgovor: x = 11

Primjer 3: Odluči se x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant je negativan, nema rješenja u realnim brojevima.

Odgovor: nema rješenja

Diskriminant je negativan. Postoji rješenje!

Ovdje ćemo govoriti o rješavanju jednadžbe u slučaju kada se dobije negativan diskriminant. Da li znate nešto o tome kompleksni brojevi? Neću ovdje ulaziti u detalje zašto i gdje su nastali i koja je njihova specifična uloga i neophodnost u matematici, to je tema za veliki poseban članak.

Koncept kompleksnog broja.

Malo teorije.

Kompleksni broj z je broj oblika

z = a + bi

gdje su a i b realni brojevi, i je takozvana imaginarna jedinica.

a+bi je JEDAN BROJ, a ne sabir.

Imaginarna jedinica je jednaka korijenu minus jedan:

Sada razmotrite jednačinu:

Dobiti dva konjugirana korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba.

Razmotrimo posebne slučajeve, to je kada je koeficijent "b" ili "c" jednak nuli (ili su oba jednaka nuli). Lako se rješavaju bez ikakvih diskriminacija.

Slučaj 1. Koeficijent b = 0.

Jednačina ima oblik:

transformirajmo:

primjer:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Slučaj 2. Koeficijent c = 0.

Jednačina ima oblik:

Transformiraj, faktoriziraj:

*Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli.

primjer:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ili x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Slučaj 3. Koeficijenti b = 0 i c = 0.

Ovdje je jasno da će rješenje jednadžbe uvijek biti x = 0.

Korisna svojstva i obrasci koeficijenata.

Postoje svojstva koja omogućavaju rješavanje jednačina sa velikim koeficijentima.

ax 2 + bx+ c=0 jednakost

a + b+ c = 0, onda

— ako za koeficijente jednačine ax 2 + bx+ c=0 jednakost

a+ sa =b, onda

Ova svojstva pomažu u određene vrste jednačine.

Primjer 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Zbir koeficijenata je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, dakle

Primjer 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Jednakost a+ sa =b, znači

Pravilnosti koeficijenata.

1. Ako je u jednačini ax 2 + bx + c = 0 koeficijent "b" jednak (a 2 +1), a koeficijent "c" je numerički jednak koeficijentu"a", tada su njegovi korijeni jednaki

sjekira 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 = -6 x 2 = -1/6.

2. Ako je u jednadžbi ax 2 - bx + c \u003d 0 koeficijent "b" (a 2 +1), a koeficijent "c" je numerički jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni

sjekira 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ako je u jednadžbi ax 2 + bx - c = 0 koeficijent "b" jednako (a 2 – 1), a koeficijent “c” numerički jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni jednaki

sjekira 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. Ako je u jednadžbi ax 2 - bx - c \u003d 0 koeficijent "b" jednak (a 2 - 1), a koeficijent c je numerički jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni jednaki

sjekira 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednačinu 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

Vietin teorem.

Vietina teorema je dobila ime po poznatom francuski matematičar François Vieta. Koristeći Vietinu teoremu, može se izraziti zbir i proizvod korijena proizvoljnog KU u smislu njegovih koeficijenata.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Sve u svemu, broj 14 daje samo 5 i 9. Ovo su korijeni. Uz određenu vještinu, koristeći prikazanu teoremu, možete odmah usmeno riješiti mnoge kvadratne jednadžbe.

Štaviše, Vietin teorem. zgodno jer nakon rješavanja kvadratne jednadžbe na uobičajeni način (kroz diskriminantu), rezultujući korijeni se mogu provjeriti. Preporučujem da ovo radite stalno.

NAČIN PRENOSA

Ovom metodom koeficijent "a" se množi slobodnim članom, kao da se "prenosi" na njega, zbog čega se naziva metod prenosa. Ova metoda se koristi kada je lako pronaći korijene jednadžbe koristeći Vietin teorem i, što je najvažnije, kada je diskriminanta tačan kvadrat.

Ako a a± b+c≠ 0, tada se koristi tehnika prijenosa, na primjer:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Prema Vietinoj teoremi u jednadžbi (2), lako je odrediti da je x 1 = 10 x 2 = 1

Dobijeni korijeni jednadžbe se moraju podijeliti sa 2 (pošto su dva "izbačena" iz x 2), dobijamo

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Šta je obrazloženje? Vidi šta se dešava.

Diskriminante jednačina (1) i (2) su:

Ako pogledamo korijene jednadžbi, dobićemo samo različiti imenioci, a rezultat ovisi o koeficijentu na x 2:

Drugi (modificirani) korijeni su 2 puta veći.

Stoga, rezultat dijelimo sa 2.

*Ako bacamo trojku, onda rezultat dijelimo sa 3, i tako dalje.

Odgovor: x 1 = 5 x 2 = 0,5

sq. ur-ie i ispit.

Reći ću ukratko o njenoj važnosti - TREBA DA MOŽETE DA ODLUČITE brzo i bez razmišljanja, morate znati formule korijena i diskriminanta napamet. Mnogi zadaci koji su dio zadataka USE svode se na rješavanje kvadratne jednadžbe (uključujući i geometrijske).

Šta je vredno pažnje!

1. Oblik jednačine može biti "implicitan". Na primjer, moguć je sljedeći unos:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ili 15x+42+9x 2 - 45x=0 ili 15 -5x+10x 2 = 0.

Morate ga dovesti u standardni oblik (da se ne zbunite prilikom rješavanja).

2. Zapamtite da je x nepoznata vrijednost i može se označiti bilo kojim drugim slovom - t, q, p, h i drugim.

Bibliografski opis: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Metode za rješavanje kvadratnih jednačina // Mladi naučnik. - 2016. - Br. 6.1. - S. 17-20..02.2019.).

Naš projekat je posvećen načinima rješavanja kvadratnih jednačina. Svrha projekta: naučiti rješavati kvadratne jednačine na načine koji nisu uključeni u školski program. Zadatak: pronaći sve mogući načini riješite kvadratne jednadžbe i naučite kako ih sami koristiti i upoznajte kolege iz razreda sa ovim metodama.

Šta su "kvadratne jednačine"?

Kvadratna jednadžba- jednačina oblika sjekira2 + bx + c = 0, gdje a, b, c- neki brojevi ( a ≠ 0), x- nepoznato.

Brojevi a, b, c nazivaju se koeficijenti kvadratne jednačine.

a se naziva prvi koeficijent;
b se naziva drugi koeficijent;
c - slobodan član.

A ko je prvi "izmislio" kvadratne jednačine?

Neke algebarske tehnike za rješavanje linearnih i kvadratnih jednačina bile su poznate još prije 4000 godina u starom Babilonu. Pronađene drevne babilonske glinene ploče, datirane negdje između 1800. i 1600. godine prije Krista, najraniji su dokaz proučavanja kvadratnih jednačina. Iste tablete sadrže metode za rješavanje određenih vrsta kvadratnih jednadžbi.

Potreba za rješavanjem jednačina ne samo prvog, već i drugog stepena u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih za pronalaženje površina kopna i zemljanih radova vojnog karaktera, kao i razvojem astronomije i sama matematika.

Pravilo za rješavanje ovih jednačina, navedeno u babilonskim tekstovima, u suštini se poklapa sa savremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinasti tekstovi daju samo probleme sa rješenjima navedenim u obliku recepata, bez naznaka kako su pronađeni. Uprkos visokom nivou razvoja algebre u Babilonu, klinastim tekstovima nedostaje koncept negativnog broja i opšte metode za rešavanje kvadratnih jednačina.

Babilonski matematičari iz otprilike 4. veka p.n.e. koristio je metodu kvadratnog komplementa za rješavanje jednadžbi s pozitivnim korijenima. Oko 300. godine p.n.e. Euklid je došao do općenitije metode geometrijskog rješenja. Prvi matematičar koji je pronašao rješenja jednadžbe s negativnim korijenima u obliku algebarska formula, bio je indijski naučnik Brahmagupta(Indija, 7. vek nove ere).

Brahmagupta je iznio opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik:

ax2 + bx = c, a>0

U ovoj jednadžbi koeficijenti mogu biti negativni. Brahmaguptino pravilo se u suštini poklapa s našim.

U Indiji su javna takmičenja u rješavanju teških problema bila uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim takmičenjima kaže se sljedeće: „Kao što sunce obasjava zvijezde svojim sjajem, tako će učena osoba zasjeniti slavu na javnim skupovima, predlažući i rješavajući algebarske probleme. Zadaci su često bili obučeni u poetsku formu.

U algebarskoj raspravi Al-Khwarizmi data je klasifikacija linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednačina, izražavajući ih na sljedeći način:

1) „Kvadrati su jednaki korijenima“, tj. ax2 = bx.

2) „Kvadrati su jednaki broju“, tj. ax2 = c.

3) "Korijeni su jednaki broju", tj. ax2 = c.

4) „Kvadrati i brojevi su jednaki korijenima“, odnosno ax2 + c = bx.

5) „Kvadrati i korijeni su jednaki broju“, tj. ax2 + bx = c.

6) “Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima”, tj. bx + c == ax2.

Za Al-Khwarizmija, koji je izbjegavao korištenje negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednačina su sabirci, a ne oduzimanje. U ovom slučaju se očito ne uzimaju u obzir jednačine koje nemaju pozitivna rješenja. Autor iznosi metode za rješavanje ovih jednačina, koristeći metode al-jabr i al-muqabala. Njegova odluka se, naravno, ne poklapa u potpunosti s našom. Da ne spominjemo činjenicu da je riječ o čisto retorici, treba napomenuti, na primjer, da prilikom rješavanja nepotpune kvadratne jednačine prvog tipa, Al-Khwarizmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulu rješenje, vjerovatno zato što u konkretnim praktičnim zadacima nije bitno. Kada rješava potpune kvadratne jednadžbe, Al-Khwarizmi postavlja pravila za njihovo rješavanje koristeći određene numeričke primjere, a zatim i njihove geometrijske dokaze.

Oblici za rješavanje kvadratnih jednačina po modelu Al-Khwarizmija u Evropi prvi put su opisani u "Knjizi Abacusa", napisanoj 1202. godine. italijanski matematičar Leonard Fibonacci. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva.

Ova knjiga je doprinijela širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim evropskim zemljama. Mnogi zadaci iz ove knjige preneseni su u gotovo sve evropske udžbenike 14.-17. Opšte pravilo za rješavanje kvadratnih jednačina svedenih na jedan kanonski oblik x2 + bx = c sa svim mogućim kombinacijama predznaka i koeficijenata b, c, formulirano je u Evropi 1544. godine. M. Stiefel.

Vieta ima opći izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta je prepoznao samo pozitivne korijene. italijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli među prvima u 16. veku. uzeti u obzir, pored pozitivnih, i negativne korijene. Tek u XVII veku. zahvaljujući radu Girard, Descartes, Newton i drugih naučnika, način rešavanja kvadratnih jednačina poprima moderan oblik.

Razmotrite nekoliko načina rješavanja kvadratnih jednadžbi.

Standardni načini rješavanja kvadratnih jednadžbi iz školski program:

Faktorizacija lijeve strane jednačine.
Metoda odabira punog kvadrata.
Rješenje kvadratnih jednadžbi po formuli.
Grafičko rješenje kvadratna jednačina.
Rješenje jednadžbi korištenjem Vietine teoreme.

Zaustavimo se detaljnije na rješenju reduciranih i nereduciranih kvadratnih jednadžbi pomoću Vietine teoreme.

Podsjetimo da je za rješavanje date kvadratne jednadžbe dovoljno pronaći dva broja takva da je proizvod jednak slobodnom članu, a zbir je jednak drugom koeficijentu suprotnog predznaka.

Primjer.x 2 -5x+6=0

Morate pronaći brojeve čiji je proizvod 6, a zbir 5. Ovi brojevi će biti 3 i 2.

Odgovor: x 1 =2, x 2 =3.

Ali ovu metodu možete koristiti za jednadžbe s prvim koeficijentom koji nije jednak jedan.

Primjer.3x 2 +2x-5=0

Uzimamo prvi koeficijent i množimo ga slobodnim članom: x 2 +2x-15=0

Korijeni ove jednačine će biti brojevi čiji je proizvod - 15, a zbir - 2. Ovi brojevi su 5 i 3. Da bismo pronašli korijene izvorne jednačine, dobijene korijene podijelimo prvim koeficijentom.

Odgovor: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Rješenje jednačina metodom "transfera".

Razmotrimo kvadratnu jednačinu ax 2 + bx + c = 0, gdje je a≠0.

Pomnoživši oba njegova dijela sa a, dobijamo jednačinu a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Neka je ax = y, odakle je x = y/a; tada dolazimo do jednačine y 2 + by + ac = 0, koja je ekvivalentna datoj. Njegove korijene na 1 i na 2 nalazimo pomoću Vietine teoreme.

Konačno dobijamo x 1 = y 1 /a i x 2 = y 2 /a.

Kod ove metode koeficijent a se množi sa slobodnim terminom, kao da se na njega "prenosi", pa se naziva "transfer" metoda. Ova metoda se koristi kada je lako pronaći korijene jednadžbe koristeći Vietin teorem i, što je najvažnije, kada je diskriminanta tačan kvadrat.

Primjer.2x 2 - 11x + 15 = 0.

“Prebacimo” koeficijent 2 na slobodni član i zamjenom dobijemo jednačinu y 2 - 11y + 30 = 0.

Prema obrnuta teorema Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Odgovor: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Svojstva koeficijenata kvadratne jednačine.

Neka je data kvadratna jednadžba ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Ako je a + b + c \u003d 0 (tj. zbroj koeficijenata jednadžbe je nula), tada je x 1 = 1.

2. Ako je a - b + c = 0, ili b = a + c, tada je x 1 = 1.

Primjer.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Budući da je a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), onda je x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Odgovor: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Primjer.132x 2 + 247x + 115 = 0

Jer a-b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), zatim x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Odgovor: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Postoje i druga svojstva koeficijenata kvadratne jednačine. ali je njihova upotreba komplikovanija.

8. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću nomograma.

Slika 1. Nomogram

Staro je i sada zaboravljeni način rješenje kvadratnih jednačina, stavljeno na 83. str. zbirke: Bradis V.M. Četvorocifrene matematičke tabele. - M., Prosveta, 1990.

Tabela XXII. Nomogram za rješavanje jednačina z2 + pz + q = 0. Ovaj nomogram omogućava, bez rješavanja kvadratne jednadžbe, određivanje korijena jednadžbe prema njenim koeficijentima.

Krivolinijska skala nomograma se gradi prema formulama (slika 1):

Pretpostavljam OS = p, ED = q, OE = a(sve u cm), sa Sl. 1 sličnost trouglova SAN i CDF dobijamo proporciju

odakle, nakon zamjena i pojednostavljenja, slijedi jednadžba z 2 + pz + q = 0, i pismo z označava oznaku bilo koje tačke na zakrivljenoj skali.

Rice. 2 Rješavanje kvadratne jednadžbe pomoću nomograma

Primjeri.

1) Za jednačinu z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram daje korijene z 1 = 8,0 i z 2 = 1,0

Odgovor: 8,0; 1.0.

2) Riješite jednačinu koristeći nomogram

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Podelite koeficijente ove jednačine sa 2, dobijamo jednačinu z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogram daje korijene z 1 = 4 i z 2 = 0,5.

Odgovor: 4; 0.5.

9. Geometrijska metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Primjer.X 2 + 10x = 39.

U originalu je ovaj problem formuliran na sljedeći način: "Kvadrat i deset korijena jednaki su 39."

Razmislite o kvadratu sa stranicom x, na njegovim stranicama su izgrađeni pravokutnici tako da je druga strana svake od njih 2,5, dakle, površina svake je 2,5x. Dobivena figura se zatim dopunjava novom kvadratu ABCD, popunjavajući četiri jednaka kvadrata u uglovima, stranica svakog od njih je 2,5, a površina 6,25

Rice. 3 Grafički način rješenje jednačine x 2 + 10x = 39

Površina S kvadrata ABCD može se predstaviti kao zbir površina: originalnog kvadrata x 2, četiri pravougaonika (4∙2,5x = 10x) i četiri spojena kvadrata (6,25∙4 = 25), tj. S = x 2 + 10x = 25. Zamijenivši x 2 + 10x brojem 39, dobijamo da je S = 39 + 25 = 64, što implicira da je stranica kvadrata ABCD, tj. segment AB \u003d 8. Za željenu stranu x originalnog kvadrata, dobijamo

10. Rješenje jednadžbi pomoću Bezoutove teoreme.

Bezoutova teorema. Ostatak nakon dijeljenja polinoma P(x) sa binomom x - α jednak je P(α) (to jest, vrijednost P(x) na x = α).

Ako je broj α korijen polinoma P(x), onda je ovaj polinom bez ostatka djeljiv sa x -α.

Primjer.x²-4x+3=0

R(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Podijelite P(x) sa (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ili x-3=0, x=3; Odgovor: x1 =2, x2 =3.

zaključak: Sposobnost brzog i racionalnog rješavanja kvadratnih jednadžbi jednostavno je neophodna za rješavanje više složene jednačine, Na primjer, frakcione racionalne jednadžbe, jednačine višim stepenima, bikvadratne jednačine, i u srednja škola trigonometrijski, eksponencijalni i logaritamske jednačine. Nakon što smo proučili sve pronađene načine rješavanja kvadratnih jednačina, možemo savjetovati kolege iz razreda, osim standardnim načinima, rješenje metodom prijenosa (6) i rješenje jednačina po svojstvu koeficijenata (7), budući da su pristupačniji za razumijevanje.

književnost:

Bradis V.M. Četvorocifrene matematičke tabele. - M., Prosveta, 1990.
Algebra 8. razred: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ur. S. A. Telyakovsky 15. izd., revidirano. - M.: Prosvjeta, 2015
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Glazer G.I. Istorija matematike u školi. Vodič za nastavnike. / Ed. V.N. Mlađi. - M.: Prosvjeta, 1964.

“, odnosno jednačine prvog stepena. U ovoj lekciji ćemo istražiti šta je kvadratna jednačina i kako to riješiti.

Šta je kvadratna jednačina

Bitan!

Stepen jednačine je određen najvišim stepenom do kojeg stoji nepoznata.

Ako je maksimalni stepen do kojeg stoji nepoznata "2", onda imate kvadratnu jednačinu.

Primjeri kvadratnih jednadžbi

5x2 - 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x2 + 0,25x = 0
x 2 − 8 = 0

Bitan! Opšti oblik kvadratne jednadžbe izgleda ovako:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" i "c" - dati brojevi.

"a" - prvi ili viši koeficijent;
"b" - drugi koeficijent;
"c" je slobodan član.

Da biste pronašli "a", "b" i "c" Morate uporediti svoju jednadžbu s općim oblikom kvadratne jednadžbe "ax 2 + bx + c \u003d 0".

Vježbajmo određivanje koeficijenata "a", "b" i "c" u kvadratne jednačine.

5x2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Jednačina	Odds
a=5 b = −14 c = 17
a = −7 b = −13 c = 8

= 0

a = −1
b = 1
c =
1
3

x2 + 0,25x = 0

a = 1
b = 0,25
c = 0

x 2 − 8 = 0

a = 1
b = 0
c = −8

Kako riješiti kvadratne jednadžbe

Za razliku od linearne jednačine za rješavanje kvadratnih jednadžbi, poseban formula za pronalaženje korijena.

Zapamtite!

Za rješavanje kvadratne jednadžbe potrebno je:

dovesti kvadratnu jednadžbu u opći oblik "ax 2 + bx + c \u003d 0". To jest, samo "0" treba da ostane na desnoj strani;
koristite formulu za korijene:

Upotrijebimo primjer da shvatimo kako primijeniti formulu da pronađemo korijene kvadratne jednadžbe. Rešimo kvadratnu jednačinu.

X 2 - 3x - 4 = 0

Jednačina "x 2 - 3x - 4 = 0" je već svedena na opći oblik "ax 2 + bx + c = 0" i ne zahtijeva dodatna pojednostavljenja. Da bismo to riješili, potrebno je samo primijeniti formula za pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe.

Definirajmo koeficijente "a", "b" i "c" za ovu jednačinu.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Uz nju se rješava svaka kvadratna jednadžba.

U formuli "x 1; 2 \u003d" korijenski izraz se često zamjenjuje
"b 2 − 4ac" na slovo "D" i naziva se diskriminantnim. Koncept diskriminanta detaljnije je obrađen u lekciji "Šta je diskriminant".

Razmotrimo još jedan primjer kvadratne jednadžbe.

x 2 + 9 + x = 7x

U ovom obliku, prilično je teško odrediti koeficijente "a", "b" i "c". Hajdemo prvo dovesti jednadžbu u opći oblik "ax 2 + bx + c \u003d 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Sada možete koristiti formulu za korijene.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

x=3
Odgovor: x = 3

Postoje slučajevi kada u kvadratnim jednačinama nema korijena. Ova situacija se događa kada se u formuli ispod korijena pojavi negativan broj.