Rješenje jednostavnih logaritamskih jednadžbi. Rješavanje logaritamskih jednadžbi

Uvod

Povećanje mentalnog opterećenja na časovima matematike tjera nas da razmišljamo o tome kako održati interes učenika za gradivo koje se proučava, njihovu aktivnost tokom čitave lekcije. S tim u vezi, traga se za novim efikasnim nastavnim metodama i takvim metodičkim tehnikama koje bi aktivirale misao učenika, stimulisale ih na samostalno sticanje znanja.

Pojava interesovanja za matematiku kod značajnog broja učenika u većoj meri zavisi od metodologije njene nastave, od toga koliko će se vešto graditi obrazovni rad. Pravovremeno skretanje pažnje učenika na ono što se izučava matematika opšta svojstva predmetima i pojavama okolnog svijeta, ne bavi se predmetima, već apstraktnim pojmovima, moguće je postići razumijevanje da matematika ne prekida vezu sa stvarnošću, već, naprotiv, omogućava njeno dublje proučavanje, izvući generalizovane teorijske zaključke koji se široko koriste u praksi.

Učešće na festivalu pedagoških ideja "Otvoreni čas" 2004-2005. školske godine, održao sam lekciju-predavanje na temu "Logaritamska funkcija" (diploma br. 204044). Mislim da je ova metoda najuspješnija u ovom konkretnom slučaju. Kao rezultat studija, studenti imaju detaljan sažetak i kratak prikaz teme, što će im olakšati pripremu za naredne lekcije. Konkretno, na temu „Odluka logaritamske jednačine koja se u potpunosti oslanja na studiju logaritamska funkcija i njegove osobine.

Prilikom formiranja osnovnih matematičkih pojmova važno je kod učenika stvoriti ideju o svrsishodnosti uvođenja svakog od njih i mogućnosti njihove primjene. Za to je neophodno da se pri formulisanju definicije pojma, radeći na njegovoj logičkoj strukturi, postavljaju pitanja o istoriji nastanka ovaj koncept. Ovaj pristup će pomoći studentima da shvate da novi koncept služi kao generalizacija činjenica stvarnosti.

Istorijat nastanka logaritama je detaljno prikazan u radu od prošle godine.

Uzimajući u obzir važnost kontinuiteta u nastavi matematike u srednjoj stručnoj obrazovnoj ustanovi i na fakultetu i potrebu da se poštuju jedinstveni zahtjevi za studente, smatram primjerenim korištenjem sljedeće metode za upoznavanje učenika sa rješavanjem logaritamskih jednačina.

Jednačine koje sadrže varijablu pod znakom logaritma (posebno u osnovi logaritma) nazivaju se logaritamski. Razmotrite logaritamske jednadžbe oblika:

Rješenje ovih jednačina zasniva se na sljedećoj teoremi.

Teorema 1. Jednačina je ekvivalentna sistemu

(2)

Za rješavanje jednačine (1) dovoljno je riješiti jednačinu

a njegova rješenja se zamjenjuju u sistem nejednačina

definiranje domene definicije jednačine (1).

Koreni jednačine (1) biće samo ona rešenja jednačine (3) koja zadovoljavaju sistem (4), tj. pripadaju domenu definicije jednačine (1).

Prilikom rješavanja logaritamskih jednadžbi može doći do proširenja domene definicije (sticanje strani koreni) ili sužavanje (gubitak korijena). Dakle, zamjena korijena jednačine (3) u sistem (4), tj. potrebna je provjera rješenja.

Primjer 1: riješiti jednačinu

Odluka:

Oba značenja X zadovoljavaju uslove sistema.

odgovor:

Razmotrite jednadžbe oblika:

Njihovo rješenje se zasniva na sljedećoj teoremi

Teorema 2: Jednačina (5) je ekvivalentna sistemu

(6)

Korijeni jednačine (5) bit će samo oni korijeni jednačine koji

pripadaju domenu definicije datoj uslovima .

Logaritamska jednadžba oblika (5) može se riješiti na različite načine. Razmotrimo glavne.

1. POTENTIFIKACIJA (primjenjujući svojstva logaritma).

Primjer 2: riješiti jednačinu

Odluka: Na osnovu teoreme 2 zadata jednačina je ekvivalentan sistemu:

Rešimo jednačinu:

Samo jedan korijen zadovoljava sve uslove sistema. odgovor:

2. KORIŠĆENJE DEFINICIJE LOGARITMA .

Primjer 3: Naći X, ako

Odluka:

Značenje X= 3 pripada domenu jednačine. Odgovori X = 3

3. REDUKCIJA NA KVADRATNU JEDNAČINU.

Primjer 4: riješiti jednačinu

Oba značenja X su korijeni jednadžbe.

odgovor:

4. LOGARIT.

Primjer 5: riješiti jednačinu

Odluka: Uzimamo logaritam obje strane jednačine u bazi 10 i primjenjujemo svojstvo "logaritma stepena".

Oba korijena pripadaju rasponu dopuštenih vrijednosti logaritamske funkcije.

odgovor: X = 0,1; X = 100

5. REDUKCIJA NA JEDNU OSNOVU.

Primjer 6: riješiti jednačinu

Koristimo formulu i prijeđi u svim terminima na logaritam u bazi 2:

Tada će ova jednačina poprimiti oblik:

Budući da je , onda je ovo korijen jednadžbe.

odgovor: X = 16

Svi smo upoznati sa jednačinama. osnovna škola. Čak smo i tamo naučili rješavati najjednostavnije primjere, a mora se priznati da i u njima nalaze svoju primjenu višu matematiku. Sve je jednostavno sa jednadžbama, uključujući i kvadratne. Ako imate problema s ovom temom, toplo preporučujemo da je pokušate ponovo.

I logaritmi koje ste vjerovatno već položili. Ipak, smatramo važnim reći šta je to za one koji još ne znaju. Logaritam je jednak stepenu na koji se baza mora podići da bi se dobio broj desno od predznaka logaritma. Dajemo primjer na osnovu kojeg će vam sve postati jasno.

Ako povisite 3 na četvrti stepen, dobićete 81. Sada zamijenite brojeve po analogiji i konačno ćete shvatiti kako se logaritmi rješavaju. Sada ostaje samo kombinirati dva razmatrana koncepta. U početku se situacija čini izuzetno teškom, ali nakon detaljnijeg razmatranja, težina dolazi na svoje mjesto. Sigurni smo da nakon ovog kratkog članka nećete imati problema u ovom dijelu ispita.

Danas postoji mnogo načina za rješavanje takvih struktura. Govorit ćemo o najjednostavnijim, najefikasnijim i najprimjenjivijim u slučaju USE zadataka. Rješavanje logaritamskih jednadžbi mora početi od samog početka. jednostavan primjer. Najjednostavnije logaritamske jednadžbe se sastoje od funkcije i jedne varijable u njoj.

Važno je napomenuti da je x unutar argumenta. A i b moraju biti brojevi. U ovom slučaju, možete jednostavno izraziti funkciju u smislu broja u stepenu. To izgleda ovako.

Naravno, rješavanje logaritamske jednadžbe na ovaj način će vas dovesti do tačnog odgovora. Ali problem velike većine učenika u ovom slučaju je što ne razumiju šta i odakle dolazi. Kao rezultat toga, morate podnijeti greške i ne dobiti željene bodove. Najuvredljivija greška bit će ako pomiješate slova na mjestima. Da biste na ovaj način riješili jednačinu, morate zapamtiti ovu standardnu ​​školsku formulu, jer ju je teško razumjeti.

Da biste to olakšali, možete pribjeći drugoj metodi - kanonskom obliku. Ideja je krajnje jednostavna. Ponovo obratite pažnju na zadatak. Zapamtite da je slovo a broj, a ne funkcija ili varijabla. A nije jednako jedan i Iznad nule. Nema ograničenja za b. Sada od svih formula, prisjećamo se jedne. B se može izraziti na sljedeći način.

Iz ovoga slijedi da se sve originalne jednadžbe sa logaritmima mogu predstaviti kao:

Sada možemo odbaciti logaritme. Rezultat je jednostavna konstrukcija, koju smo već ranije vidjeli.

Pogodnost ove formule leži u činjenici da se može najviše koristiti različitim prilikama i to ne samo za najjednostavniji dizajn.

Ne brinite za OOF!

Mnogi iskusni matematičari će primijetiti da nismo obratili pažnju na domen definicije. Pravilo se svodi na činjenicu da je F(x) nužno veći od 0. Ne, nismo propustili ovu tačku. Sada govorimo o još jednoj ozbiljnoj prednosti kanonskog oblika.

Ovdje neće biti dodatnih korijena. Ako će se varijabla pojaviti samo na jednom mjestu, tada opseg nije neophodan. Pokreće se automatski. Da biste potvrdili ovu prosudbu, razmotrite rješavanje nekoliko jednostavnih primjera.

Kako riješiti logaritamske jednadžbe sa različitim bazama

To su već složene logaritamske jednadžbe, a pristup njihovom rješavanju trebao bi biti poseban. Ovdje je rijetko moguće ograničiti se na ozloglašeni kanonski oblik. Počnimo naše detaljna priča. Imamo sledeću konstrukciju.

Obratite pažnju na razlomak. Sadrži logaritam. Ako to vidite u zadatku, vrijedi zapamtiti jedan zanimljiv trik.

Šta to znači? Svaki logaritam se može izraziti kao količnik dva logaritma sa pogodnom bazom. I ova formula ima poseban slučaj, što je primjenjivo u ovom primjeru (što znači ako je c=b).

Upravo to vidimo u našem primjeru. Dakle.

Zapravo, okrenuli su razlomak i dobili zgodniji izraz. Zapamtite ovaj algoritam!

Sada nam je potrebno da logaritamska jednadžba ne sadrži različite baze. Predstavimo bazu kao razlomak.

U matematici postoji pravilo na osnovu kojeg možete izvući stepen iz baze. Ispada sljedeća konstrukcija.

Čini se da sada ono što nas sprečava da svoj izraz pretvorimo u kanonski oblik i elementarno da se to riješi? Nije tako jednostavno. Prije logaritma ne bi trebalo biti razlomaka. Hajde da popravimo ovu situaciju! Razlomak je dozvoljeno uzeti kao stepen.

Odnosno.

Ako su baze iste, možemo ukloniti logaritme i izjednačiti same izraze. Tako da će situacija postati višestruko lakša nego što je bila. ostaće elementarna jednačina, koje je svako od nas znao riješiti još u 8. ili čak 7. razredu. Možete sami da izvršite proračune.

Dobili smo jedini pravi korijen ove logaritamske jednadžbe. Primjeri rješavanja logaritamske jednadžbe su prilično jednostavni, zar ne? Sada ćete moći samostalno da se nosite i sa većinom izazovni zadaci za pripremu i polaganje ispita.

Šta je rezultat?

U slučaju bilo koje logaritamske jednadžbe, polazimo od jedne vrlo važno pravilo. Potrebno je djelovati na način da se ekspresija dovede do maksimuma običan prizor. U ovom slučaju ćete imati više šansi ne samo da ispravno riješite problem, već i da to učinite na najjednostavniji i najlogičniji način. Tako matematičari uvijek rade.

Toplo preporučujemo da ne pretražujete komplikovane načine, posebno u ovom slučaju. Zapamtite nekoliko jednostavna pravila, što će vam omogućiti da transformišete bilo koji izraz. Na primjer, dovedite dva ili tri logaritma na istu bazu, ili uzmite potenciju iz baze i pobijedite na njoj.

Također je vrijedno zapamtiti da u rješavanju logaritamskih jednadžbi morate stalno trenirati. Postepeno ćete prelaziti na sve složenije strukture, a to će vas dovesti do samouvjerenog rješavanja svih opcija za probleme na ispitu. Pripremite se za ispite unaprijed i sretno!

Logaritamska jednadžba naziva se jednačina u kojoj su nepoznata (x) i izrazi sa njom pod znakom logaritamske funkcije. Rješavanje logaritamskih jednadžbi pretpostavlja da ste već upoznati sa i .
Kako riješiti logaritamske jednadžbe?

Najjednostavnija jednačina je log a x = b, gdje su a i b neki brojevi, x je nepoznanica.
Rješavanje logaritamske jednadžbe je x = a b pod uslovom: a > 0, a 1.

Treba napomenuti da ako je x negdje izvan logaritma, na primjer log 2 x \u003d x-2, tada se takva jednadžba već naziva mješovitom i potreban je poseban pristup za njezino rješavanje.

Idealan slučaj je kada naiđete na jednadžbu u kojoj su samo brojevi pod znakom logaritma, na primjer x + 2 = log 2 2. Ovdje je dovoljno poznavati svojstva logaritma da biste je riješili. Ali takva sreća se ne dešava često, pa se pripremite za teže stvari.

Ali prvo, počnimo sa jednostavne jednačine. Za njihovo rješavanje poželjno je imati najviše opšta ideja o logaritmu.

Rješavanje jednostavnih logaritamskih jednadžbi

To uključuje jednadžbe poput log 2 x \u003d log 2 16. Može se vidjeti golim okom da izostavljanjem znaka logaritma dobivamo x \u003d 16.

Da bi se riješila složenija logaritamska jednadžba, obično se navodi na rješavanje uobičajene algebarska jednačina ili na rješenje najjednostavnije logaritamske jednadžbe log a x = b. U najjednostavnijim jednačinama to se događa u jednom kretanju, zbog čega se nazivaju najjednostavnijim.

Navedena metoda ispuštanja logaritama jedan je od glavnih načina rješavanja logaritamskih jednačina i nejednačina. U matematici se ova operacija naziva potenciranje. Postoje određena pravila ili ograničenja za ovu vrstu operacija:

• logaritmi imaju iste numeričke baze
• logaritmi u oba dijela jednačine su slobodni, tj. bez ikakvih koeficijenata i dr različite vrste izrazi.

Recimo u jednadžbi log 2 x = 2log 2 (1- x), potenciranje nije primjenjivo - koeficijent 2 desno ne dopušta. U sljedećem primjeru, log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) jedno od ograničenja također nije zadovoljeno - postoje dva logaritma na lijevoj strani. To bi bila jedna - sasvim druga stvar!

Općenito, logaritme možete ukloniti samo ako jednadžba ima oblik:

log a(...) = log a(...)

Apsolutno bilo koji izrazi mogu biti u zagradama, to apsolutno ne utječe na operaciju potenciranja. A nakon eliminacije logaritama ostat će jednostavnija jednačina - linearna, kvadratna, eksponencijalna itd., koju već, nadam se, znate riješiti.

Uzmimo još jedan primjer:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Primjenom potenciranja dobijamo:

log 3 (2x-1) = 2

Na osnovu definicije logaritma, naime, da je logaritam broj na koji se baza mora podići da bi se dobio izraz koji je pod znakom logaritma, tj. (4x-1), dobijamo:

Opet, dobili smo lep odgovor. Ovdje smo prošli bez eliminacije logaritama, ali potenciranje je primjenjivo i ovdje, jer se logaritam može napraviti od bilo kojeg broja, i to upravo onog koji nam je potreban. Ova metoda je od velike pomoći u rješavanju logaritamskih jednadžbi, a posebno nejednačina.

Rešimo našu logaritamsku jednačinu log 3 (2x-1) = 2 koristeći potenciranje:

Predstavimo broj 2 kao logaritam, na primjer, takav log 3 9, jer je 3 2 =9.

Zatim log 3 (2x-1) = log 3 9 i opet dobijamo istu jednačinu 2x-1 = 9. Nadam se da je sve jasno.

Pa smo pogledali kako riješiti najjednostavnije logaritamske jednadžbe, koje su zapravo vrlo važne, jer rješenje logaritamskih jednačina, čak i one najstrašnije i najizvrnutije, na kraju se uvijek svode na rješavanje najjednostavnijih jednačina.

U svemu što smo gore uradili, jednu smo veoma zanemarili važna tačka, koji će naknadno imati odlučujuću ulogu. Činjenica je da se rješenje bilo koje logaritamske jednačine, čak i one najelementarnije, sastoji od dva ekvivalentna dijela. Prvo je rješenje same jednadžbe, drugo je rad s površinom dozvoljene vrijednosti(ODZ). To je samo prvi dio koji smo savladali. U gornjim primjerima, ODD ni na koji način ne utiče na odgovor, tako da ga nismo razmatrali.

Uzmimo još jedan primjer:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Spolja, ova jednačina se ne razlikuje od elementarne, koja je vrlo uspješno riješena. Ali nije tako. Ne, naravno da ćemo to riješiti, ali će najvjerovatnije biti pogrešno, jer je u tome mala zasjeda u koju odmah upadaju i studenti C i odlični. Pogledajmo to izbliza.

Pretpostavimo da trebate pronaći korijen jednadžbe ili zbroj korijena, ako ih ima nekoliko:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Primjenjujemo potenciranje, ovdje je to dozvoljeno. Kao rezultat, dobijamo uobičajenu kvadratnu jednačinu.

Pronalazimo korijene jednadžbe:

Postoje dva korijena.

Odgovor: 3 i -1

Na prvi pogled, sve je tačno. Ali hajde da proverimo rezultat i da ga zamenimo u originalnu jednačinu.

Počnimo sa x 1 = 3:

log 3 6 = log 3 6

Provjera je bila uspješna, sada je red x 2 = -1:

log 3 (-2) = log 3 (-2)

Da, stani! Spolja je sve savršeno. Trenutak - nema logaritma od negativnih brojeva! A to znači da korijen x \u003d -1 nije prikladan za rješavanje naše jednadžbe. I stoga će tačan odgovor biti 3, a ne 2, kako smo napisali.

Tu je ODZ odigrao svoju kobnu ulogu, na koju smo zaboravili.

Da vas podsjetim da se pod područjem ​​​dopustivih vrijednosti prihvaćaju one vrijednosti x koje su dozvoljene ili imaju smisla za originalni primjer.

Bez ODZ-a, svako rješenje, čak i apsolutno ispravno, bilo koje jednadžbe pretvara se u lutriju - 50/50.

Kako bismo se mogli uhvatiti u odluci, čini se, elementarni primjer? I evo ga u trenutku potenciranja. Nestali su logaritmi, a s njima i sva ograničenja.

Šta učiniti u takvom slučaju? Odbiti eliminirati logaritme? I potpuno napustiti rješenje ove jednadžbe?

Ne, samo ćemo, kao pravi junaci iz jedne poznate pesme, obići!

Prije nego što nastavimo s rješavanjem bilo koje logaritamske jednadžbe, zapisaćemo ODZ. Ali nakon toga, možete raditi šta god vam srce poželi sa našom jednačinom. Dobivši odgovor, jednostavno izbacimo one korijene koji nisu uključeni u naš ODZ i zapišemo konačnu verziju.

Sada odlučimo kako napisati ODZ. Da bismo to učinili, pažljivo ispitujemo originalnu jednadžbu i tražimo sumnjiva mjesta u njoj, kao što je dijeljenje sa x, korijen čak stepen itd. Dok ne riješimo jednačinu, ne znamo čemu je x jednako, ali sigurno znamo da je takav x, koji će pri zamjeni dati podjelu sa 0 ili vađenje kvadratnog korijena od negativan broj, očito u odgovoru nisu prikladni. Stoga su takvi x-ovi neprihvatljivi, dok će ostatak činiti ODZ.

Koristimo ponovo istu jednačinu:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Kao što vidite, nema dijeljenja sa 0, kvadratni korijeni također ne, ali postoje izrazi sa x u tijelu logaritma. Odmah se prisjećamo da izraz unutar logaritma uvijek mora biti > 0. Ovaj uslov je napisan u obliku ODZ:

One. još ništa nismo riješili, ali smo već zapisali obavezni uvjet za cijeli podlogaritamski izraz. Vitičasta zagrada znači da ovi uslovi moraju biti ispunjeni u isto vrijeme.

ODZ je zapisan, ali je potrebno i riješiti nastali sistem nejednakosti, što ćemo i uraditi. Dobijamo odgovor x > v3. Sada sa sigurnošću znamo koji nam x neće odgovarati. I tada počinjemo rješavati samu logaritamsku jednačinu, što smo i uradili gore.

Nakon što smo dobili odgovore x 1 = 3 i x 2 = -1, lako je vidjeti da nam odgovara samo x1 = 3 i to zapisujemo kao konačni odgovor.

Za budućnost je vrlo važno zapamtiti sljedeće: bilo koju logaritamsku jednačinu rješavamo u 2 faze. Prvi - rješavamo samu jednačinu, drugi - rješavamo uvjet ODZ-a. Obje etape se izvode nezavisno jedna od druge i upoređuju se samo pri pisanju odgovora, tj. odbacujemo sve nepotrebno i zapisujemo tačan odgovor.

Za konsolidaciju materijala, toplo preporučujemo gledanje videa:

U videu, drugi primjeri rješavanja log. jednadžbe i izrada metode intervala u praksi.

Na ovo na tu temu, kako riješiti logaritamske jednadžbe do svega. Ako nešto po odluci log. jednadžbe su ostale nejasne ili nerazumljive, napišite svoja pitanja u komentarima.

Napomena: Akademija socijalnog obrazovanja (KSUE) je spremna da primi nove studente.

Logaritamske jednadžbe. Od jednostavnog do složenog.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijali u Posebni odjeljak 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Šta je logaritamska jednačina?

Ovo je jednadžba sa logaritmima. Bio sam iznenađen, zar ne?) Onda ću pojasniti. Ovo je jednadžba u kojoj su nepoznanice (x) i izrazi s njima unutar logaritma. I samo tamo! Važno je.

Evo nekoliko primjera logaritamske jednačine:

log 3 x = log 3 9

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log x + 1 (x 2 + 3x-7) = 2

lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)

Pa, shvatili ste... )

Bilješka! Locirani su najraznovrsniji izrazi sa x-ovima isključivo unutar logaritma. Ako se, iznenada, negdje u jednačini nađe x vani, Na primjer:

log 2 x = 3+x,

ovo će biti jednačina mješoviti tip. Takve jednačine nemaju jasna pravila za rješavanje. Za sada ih nećemo razmatrati. Usput, postoje jednadžbe gdje su unutar logaritma samo brojevi. Na primjer:

Šta da kažem? Imaš sreće ako naiđeš na ovo! Logaritam sa brojevima je neki broj. I to je to. dovoljno da znam svojstva logaritama, da se reši ovakva jednačina. Znanje posebna pravila, tehnike prilagođene posebno za rješavanje logaritamske jednadžbe, ovdje nije potrebno.

dakle, šta je logaritamska jednačina- shvatio sam.

Kako riješiti logaritamske jednadžbe?

Odluka logaritamske jednačine- stvar, generalno, nije baš jednostavna. Dakle, imamo odjeljak - za četiri... Potrebna je pristojna zaliha znanja o svim vrstama srodnih tema. Osim toga, u ovim jednačinama postoji posebna karakteristika. A ova karakteristika je toliko važna da se može sa sigurnošću nazvati glavni problem u rješavanju logaritamskih jednačina. Ovaj problem ćemo se detaljno pozabaviti u sljedećoj lekciji.

Ne brini. Ići ćemo pravim putem od jednostavnog do složenog. Na konkretnim primjerima. Glavno je da se udubite u jednostavne stvari i ne budite lijeni pratiti linkove, stavio sam ih s razlogom... I uspjet ćete. Neophodno.

Počnimo s najelementarnijim, najjednostavnijim jednadžbama. Za njihovo rješavanje poželjno je imati ideju o logaritmu, ali ništa više. Samo nemam pojma logaritam doneti odluku logaritamski jednadžbe - nekako čak i neugodno... Vrlo hrabro, rekao bih).

Najjednostavnije logaritamske jednadžbe.

Ovo su jednadžbe oblika:

1. log 3 x = log 3 9

2. log 7 (2x-3) = log 7 x

3. log 7 (50x-1) = 2

Proces rješenja bilo koja logaritamska jednadžba sastoji se u prijelazu iz jednadžbe s logaritmima na jednačinu bez njih. U najjednostavnijim jednačinama, ovaj prijelaz se izvodi u jednom koraku. Zato je jednostavno.)

A takve logaritamske jednačine se rješavaju iznenađujuće jednostavno. Uvjerite se sami.

Da riješimo prvi primjer:

log 3 x = log 3 9

Da biste riješili ovaj primjer, ne morate znati gotovo ništa, da ... Čista intuicija!) Šta mi posebno ne sviđa vam se ovaj primjer? Nešto... Ne volim logaritme! Ispravno. Evo da ih se riješimo. Pažljivo pogledamo primjer i imamo prirodna želja... Potpuno neodoljiv! Uzmite i izbacite logaritme općenito. A ono što raduje je mogu uradi! Matematika dozvoljava. Logaritmi nestaju odgovor je:

Odlično je, zar ne? To se uvijek može (i treba) učiniti. Otklanjanje logaritama na ovaj način jedan je od glavnih načina rješavanja logaritamskih jednačina i nejednačina. U matematici se ova operacija naziva potenciranje. Postoje, naravno, svoja pravila za takvu likvidaciju, ali ih je malo. Zapamtite:

Možete bez straha eliminisati logaritme ako imaju:

a) iste numeričke baze

c) levi-desni logaritmi su čisti (bez koeficijenata) i u sjajnoj su izolaciji.

Dozvolite mi da objasnim zadnju tačku. U jednačini, recimo

log 3 x = 2log 3 (3x-1)

logaritmi se ne mogu ukloniti. Dvojka na desnoj strani ne dozvoljava. Koeficijent, znate... U primjeru

log 3 x + log 3 (x + 1) = log 3 (3 + x)

ni jednačina se ne može potencirati. Na lijevoj strani nema usamljenog logaritma. Ima ih dvoje.

Ukratko, možete ukloniti logaritme ako jednadžba izgleda ovako i samo ovako:

log a (.....) = log a (.....)

U zagradama, gdje može biti elipsa bilo koju vrstu izraza. Jednostavno, super složeno, kako god. Kako god. Bitno je da nam nakon eliminisanja logaritama ostaje jednostavnija jednačina. Pretpostavlja se, naravno, da linearni, kvadrat, razlomak, demonstracija i druge jednadžbe bez logaritama koje već znate.)

Sada možete lako riješiti drugi primjer:

log 7 (2x-3) = log 7 x

Zapravo, to je u umu. Potenciramo, dobijamo:

Pa, je li jako teško?) Kao što vidite, logaritamski dio rješenja jednačine je samo u eliminaciji logaritama... A onda dolazi rješenje preostale jednačine već bez njih. Posao sa otpadom.

Rešavamo treći primer:

log 7 (50x-1) = 2

Vidimo da je logaritam na lijevoj strani:

Podsjećamo da je ovaj logaritam neki broj na koji se mora podići baza (tj. sedam) da bi se dobio podlogaritamski izraz, tj. (50x-1).

Ali taj broj je dva! Prema jednačini. To je:

To je, u suštini, sve. Logaritam nestao ostaje bezopasna jednačina:

Ovu logaritamsku jednačinu smo riješili samo na osnovu značenja logaritma. Da li je lakše eliminisati logaritme?) Slažem se. Inače, ako od dva napravite logaritam, ovaj primjer možete riješiti likvidacijom. Možete uzeti logaritam od bilo kojeg broja. I baš onako kako nam treba. Visoko korisna tehnika u rješavanju logaritamskih jednačina i (posebno!) nejednačina.

Znate li od broja napraviti logaritam!? Uredu je. AT član 555 ova tehnika je detaljno opisana. Možete ga savladati i primijeniti u potpunosti! To uvelike smanjuje broj grešaka.

Četvrta jednačina se rješava na potpuno isti način (po definiciji):

To je sve.

Hajde da rezimiramo ovu lekciju. Na primjerima smo razmatrali rješenje najjednostavnijih logaritamskih jednadžbi. To je veoma važno. I ne samo zato što su takve jednačine na kontrolnim ispitima. Činjenica je da se čak i najzlobnije i najkonfuznije jednadžbe nužno svode na one najjednostavnije!

Zapravo, najjednostavnije jednačine su završni dio rješenja bilo koji jednačine. I ovaj završni dio mora se shvatiti ironično! I dalje. Obavezno pročitajte ovu stranicu do kraja. Postoji iznenađenje...

Hajde da odlučimo sami. Punimo ruku, da tako kažem...)

Pronađite korijen (ili zbir korijena, ako ih ima nekoliko) jednadžbi:

ln(7x+2) = ln(5x+20)

log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)

log 16 (0,5x-1,5) = 0,25

log 0,2 (3x-1) = -3

ln (e 2 + 2x-3) \u003d 2

log 2 (14x) = log 2 7 + 2

Odgovori (naravno u neredu): 42; 12; devet; 25; 7; 1.5; 2; šesnaest.

Šta ne ide? Dešava se. Ne tuguj! AT član 555 rješenje svih ovih primjera je oslikano jasno i detaljno. Tamo ćete sigurno saznati. I takođe korisno praktične tehnike majstor.

Sve je uspjelo!? Svi primjeri "jedan lijevo"?) Čestitamo!

Vrijeme je da vam otkrijem gorku istinu. Uspješno rješenje Ovi primjeri uopće ne garantuju uspjeh u rješavanju svih ostalih logaritamskih jednačina. Čak i ovako jednostavne. Avaj.

Stvar je u tome da se rješenje bilo koje logaritamske jednačine (čak i one najelementarnije!) sastoji od dva jednaka dela. Rješenje jednadžbe i rad sa ODZ-om. Jedan dio - rješenje same jednačine - savladali smo. Nije tako teško zar ne?

Za ovu lekciju posebno sam odabrao takve primjere u kojima ODZ ni na koji način ne utječe na odgovor. Ali nisu svi ljubazni kao ja, zar ne?...)

Stoga je potrebno savladati i drugi dio. ODZ. To je ono što je glavni problem u rješavanju logaritamskih jednačina. I ne zato što je težak - ovaj dio je čak lakši od prvog. Ali zato što jednostavno zaborave na ODZ. Ili ne znaju. Ili oboje). I padaju ravno...

U sledećoj lekciji bavićemo se ovim problemom. Tada će se moći samouvjereno odlučiti bilo koji jednostavne logaritamske jednadžbe i približiti se prilično solidnim zadacima.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.