Zadaci za dijeljenje običnih razlomaka. Podjela običnih razlomaka

AT zadnji put naučili smo kako sabirati i oduzimati razlomke (pogledajte lekciju "Sabiranje i oduzimanje razlomaka"). Najteži trenutak u tim akcijama bilo je dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sada je vrijeme da se pozabavimo množenjem i dijeljenjem. Dobra vijest je da su ove operacije čak lakše od sabiranja i oduzimanja. Za početak, razmislite najjednostavniji slučaj kada su dva pozitivni razlomci bez namenskog celobrojnog dela.

Da biste pomnožili dva razlomka, morate odvojeno pomnožiti njihove brojnike i nazivnike. Prvi broj će biti brojilac novog razlomka, a drugi imenilac.

Da biste podijelili dva razlomka, trebate prvi razlomak pomnožiti s "obrnutom" drugom.

Oznaka:

Iz definicije proizilazi da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje. Da biste okrenuli razlomak, samo zamijenite brojilac i imenilac. Stoga ćemo cijelu lekciju uglavnom razmatrati množenje.

Kao rezultat množenja, smanjeni razlomak može nastati (i često se javlja) - naravno, mora se smanjiti. Ako se nakon svih redukcija razlomak pokaže netočnim, u njemu treba razlikovati cijeli dio. Ali ono što se tačno neće dogoditi s množenjem je svođenje na zajednički nazivnik: nema unakrsnih metoda, maksimalnih faktora i najmanjih zajedničkih višekratnika.

Po definiciji imamo:

Množenje razlomaka s cijelim dijelom i negativnih razlomaka

Ako je prisutan u razlomcima cijeli dio, moraju se pretvoriti u netačne - i tek onda pomnožiti prema gore navedenim shemama.

Ako u brojniku razlomka, u nazivniku ili ispred njega postoji minus, on se može izvući iz granica množenja ili potpuno ukloniti prema sljedećim pravilima:

Plus puta minus daje minus;
Dva negativa čine potvrdno.

Do sada su se ova pravila susrela samo pri sabiranju i oduzimanju negativnih razlomaka, kada je bilo potrebno da se riješi cijeli dio. Za proizvod se mogu generalizirati kako bi se "spalilo" nekoliko minusa odjednom:

Precrtavamo minuse u parovima dok potpuno ne nestanu. U ekstremnom slučaju, jedan minus može preživjeti - onaj koji nije našao par;
Ako nema nikakvih minusa, operacija je završena - možete početi množiti. Ako zadnji minus nije precrtan, jer nije pronašao par, izvlačimo ga iz granica množenja. Dobijate negativan razlomak.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Prevodimo sve razlomke u nepravilne, a onda minuse izvlačimo izvan granica množenja. Ono što ostane množi se po uobičajenim pravilima. Dobijamo:

Da vas još jednom podsjetim da se minus koji dolazi ispred razlomka s istaknutim cijelim dijelom odnosi konkretno na cijeli razlomak, a ne samo na njegov cijeli broj (ovo se odnosi na posljednja dva primjera).

Takođe obratite pažnju na negativni brojevi: Kada se pomnože, nalaze se u zagradama. To je učinjeno kako bi se minusi odvojili od znakova množenja i cijeli zapis bio precizniji.

Smanjenje frakcija u hodu

Množenje je veoma naporna operacija. Brojevi su ovdje prilično veliki, a da biste pojednostavili zadatak, možete pokušati još više smanjiti razlomak prije množenja. Zaista, u suštini, brojnici i imenioci razlomaka su obični faktori, pa se stoga mogu smanjiti koristeći osnovno svojstvo razlomka. Pogledajte primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Po definiciji imamo:

U svim primjerima, brojevi koji su smanjeni i ono što je od njih ostalo označeni su crvenom bojom.

Imajte na umu: u prvom slučaju množitelji su potpuno smanjeni. Jedinice su ostale na svojim mjestima, što se generalno može izostaviti. U drugom primjeru nije bilo moguće postići potpunu redukciju, ali se ukupan iznos proračuna ipak smanjio.

Međutim, ni u kom slučaju nemojte koristiti ovu tehniku prilikom sabiranja i oduzimanja razlomaka! Da, ponekad postoje slični brojevi koje jednostavno želite smanjiti. Evo, pogledaj:

Ne možete to učiniti!

Greška nastaje zbog činjenice da se prilikom sabiranja razlomka u brojniku razlomka pojavljuje zbroj, a ne proizvod brojeva. Stoga je nemoguće primijeniti glavno svojstvo razlomka, jer je u ovom svojstvu mi pričamo Radi se o množenju brojeva.

Jednostavno ne postoji drugi razlog za smanjenje razlomaka, pa ispravno rješenje prethodnog problema izgleda ovako:

Prava odluka:

Kao što vidite, ispostavilo se da tačan odgovor nije tako lijep. Općenito, budite oprezni.

Tema: Divizija obične frakcije.

Cilj: naučiti kako dijeliti obične razlomke, ponoviti i konsolidirati pravila za množenje običnih razlomaka i koncept međusobno recipročnih brojeva.

Vrsta lekcije: sticanje novih znanja.

Oprema: kreda, tabla, interaktivna oprema, kartice sa pravilima i test zadacima.

Plan lekcije:

Ažuriranje znanja.

1). Organiziranje vremena

2). Frontalna anketa

Formiranje novih znanja.

jedan). Izjava o problemu.

2). Potražite rješenje problema.

3) Izrada algoritma za dijeljenje razlomaka.

četiri). Fizkultminutka.

jedan). Rješenje primjera dijeljenja br. 596

2). Uradi sam rešenje testovi.

3). Refleksija.

četiri). Zadaća.

Tokom nastave:

Ažuriranje znanja.

Zdravo momci! Počeću našu današnju lekciju sledećim rečima:

Potrebne su različite frakcije

Važne su različite frakcije

Moramo naučiti razlomke!

Već znamo kakvi su obični razlomci po izgledu: tačni i netačni, sa i bez cijelog broja. Znamo kako izvršiti neke radnje s ovim razlomcima. Molimo navedite ove aktivnosti.

Šta drugo možemo učiniti?

Odgovor učenika: Nađi međusobno inverzne razlomke.

Šta još niste naučili da radite?

Učenici odgovaraju: Podijelite obične razlomke.

Dakle, ostaje nam da proučavamo samo dijeljenje da bismo mogli izvoditi sve aritmetičke operacije s običnim razlomcima.

Predlažem da krenete na "Putovanje u planine". Da bismo osvojili vrh, moramo preći dug put i riješiti nekoliko problema. Idemo na put. Dakle, počnimo.

Koji je od dva razlomka veći?

Imenujte razlomak veći od 2 i manji od 3.

Imenujte jednake razlomke.

Imenujte broj koji nema inverz. (0).

Imenujte broj recipročan samom sebi. (jedan).

Imenujte razlomak jednak 4.

Od predloženih brojeva odaberite par međusobno inverznih. (.

Čemu je jednak rad? (jedan)

Površina pravougaonika je m2. Dužina jedne strane Pronađite dužinu druge strane? (Ne znamo).

Ovdje ćemo našu današnju lekciju posvetiti proučavanju dijeljenja razlomaka. Hajde da formulišemo i zapišemo temu lekcije:

Učenik odgovara: "Podjela običnih razlomaka."

Formiranje novih znanja.

Da bismo prevladali ovu poteškoću koja se pojavila na našem putu, potrebno je pronaći način dijeljenja običnih razlomaka. Šta će biti prijedlozi? (Slušajte odgovore učenika ispravna odluka nije pronađeno, onda pogledajte tutorijal).

Pokušajmo pronaći odgovor na ovo pitanje u udžbeniku. Otvorite udžbenike na str.97 str.17 i tamo pronađite pravilo za dijeljenje razlomaka, pročitajte ga. (Djeca otvaraju udžbenike i čitaju pravilo za dijeljenje običnih razlomaka).

Hajde da to zapišemo u svesku.

PRAVILO: Da biste podijelili jedan razlomak drugim, trebate pomnožiti dividendu sa recipročnom vrijednosti djelitelja!

primjer: .

Uradite podjelu.

(Teškoće i traženje rješenja od strane učenika, nastavnik sluša predložena rješenja ovog zadatka).

Podijelite .

Odlučite kako ćete podijeliti mešoviti brojevi. Popunite praznine na karticama riječima koje nedostaju. Karte su na vašim stolovima.

KARTICA:

Fizkultminutka.

Predlažem da napravite pauzu. Ostavite sve svoje stvari na stranu, ustanite i protegnite se, udišite čisti planinski vazduh. Onda ćemo se malo igrati. Pročitaću izjave, a ako su tačne, onda pljesnite rukama, a ako ne, onda gazite nogama. Zato ćemo se zagrijati i potom nastaviti put do vrha planine.

A) je pravi razlomak.

B) je nesvodljiv razlomak.

C) nije pravi razlomak.

D) je nesvodljiv razlomak.

D) je pravi razlomak.

E) je redukovani razlomak.

Pa, sada uzmi svoje stvari i nastavi penjanje.

Formiranje vještina i sposobnosti.

Odlučićemo na odboru br. 596 a); e); i); l); m).

Last Završna faza za savladavanje vrha predlažem da to uradite sami.

TEST (Nakon dijeljenja odaberite i zaokružite tačan odgovor).

Vrsta lekcije: lekcija u otkrivanju novog znanja

Ciljevi nastavnika: uvesti dijeljenje razlomka razlomkom; stvoriti uslove za razvoj vještina korištenja pravila množenja razlomka razlomkom i smanjenja razlomaka u praksi.

Predmet: izvesti pravilo za dijeljenje razlomka s razlomkom; izvršiti dijeljenje običnih razlomaka; rješavati zadatke za pronalaženje S i a po formuli za površinu pravokutnika, volumen.

Lični: pokazuju pozitivan stav prema nastavi matematike, široko interesovanje za novo materijal za učenje, načini rješavanja novih Ciljevi učenja, dobronamjeran odnos prema vršnjacima; adekvatno percipiraju ocjenu nastavnika; razumiju razloge uspjeha u obrazovnim aktivnostima.

metasubjekt:

regulatorno: odrediti cilj vaspitno-obrazovne aktivnosti uz pomoć nastavnika i samostalno tražiti sredstva za njegovo postizanje;
kognitivni: sposoban da prenese sadržaj u komprimovanom ili proširenom obliku;
komunikativni: izražavaju svoje gledište i pokušavaju ga potkrijepiti, dajući argumente.

Oprema: multimedijalni projektor, prezentacija.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat. Motivacija za aktivnosti učenja - 1min

Želim da započnem lekciju pitanjem za vas. Šta mislite da je najvrednije na svetu? (Slušaju se odgovori djece). Ovo pitanje muči čovečanstvo hiljadama godina. Evo odgovora poznatog naučnika Al-Birunija: „Znanje je najizvrsniji posjed. Svi teže tome, ali ne dolazi samo od sebe.” Neka ove riječi budu moto naše lekcije.

2. Provjera spremnosti učenika za čas

3. Pokazatelj ispunjenosti psihološkog zadatka učenika: prijateljski stav, brzo uključivanje časa u poslovni ritam.

II. Praktične aktivnosti studenti - 5 min

Brzo brojanje - 1 min (obavezni dio)

Usmeno brojanje - 4 min

1. Smanjite razlomke: ,, , ,

2. Poduzmite akciju:

III. Faza pripreme učenika za aktivno svjesno usvajanje znanja-7min

Frontalno ispitivanje učenika o obrađenom gradivu, međusobno inverzni brojevi

Šta su recipročni brojevi?

Dva broja čiji je proizvod jednak jedan nazivaju se recipročni.

Kolika je recipročna vrijednost prirodnog broja?

Razlomak je brojilac, koji je = 1, a nazivnik je sam prirodni broj (P = 1 / n)

Kolika je recipročna vrijednost običnog razlomka?

Zamijenite brojnik i nazivnik a/b i b/a

Da li svaki broj ima inverz?

Ne? Nula nema inverz, jer se ne može podijeliti sa nulom!

- Može li proizvod dvije recipročne vrijednosti biti veći od jedan?

Zašto? Možete li mi ljubazno odgovoriti na ovo pitanje?

Da! Dva broja čiji je proizvod jednak jedan nazivaju se recipročni.

Navedite recipročne vrijednosti sljedećih brojeva:

Odgovor: ;;; jedan;

2) Otvorite sveske. Zapišite datum i ostavite mjesta za temu. A sada predlažem da riješite sljedeće jednačine. Idi Raditi u parovima. Radom u paru, odgovor se prihvata, tek nakon što se par dogovori i par dođe do konsenzusa. Tek kada par bude spreman da odgovori, prihvatiću vaš odgovor: (Znak spremnosti para - podignute ruke sklopljene zajedno)

1) 3 * x \u003d 12,6 Odgovor: x \u003d 4,2

2) X * 0,5 \u003d 2 Odgovor: x \u003d 4

3) * x = 2 odgovor: x \u003d 4

Poteškoće su se pojavile u rješavanju treće jednačine? Kako ste se nosili s njima?

Pretvorio običan razlomak u decimalu i dobio jednačinu pod brojem 2

Ostaje da se reši jednačina pod brojem 4. Naći koren ove jednačine.

Odgovor korijena jednadžbe je x=5

Koje znanje vam je pomoglo da se odlučite?

Proizvod recipročnih brojeva=1. Zapamtili smo da je ovo pravilo recipročnih brojeva.

Razmotrite sljedeću jednačinu i riješite je: *x=

a) Novo znanje (koncept) (koriste dobro poznatu metodu za pronalaženje nepoznatog faktora, ali za radnje s običnim razlomcima)

b) suđenje (pokušava odlučiti)

Šta je nepoznato u ovoj jednačini?

nepoznati množitelj. Da biste pronašli nepoznati faktor, morate proizvod podijeliti sa poznatim faktorom

Radim dalje dobro poznato pravilo X=2/7:1/3

c) otklanjanje poteškoća

Možete li riješiti ovu jednačinu?

Ne mogu završiti ovaj zadatak jer nemamo pravilo za rješavanje ove jednačine.

Koja je tvoja poteškoća? Uspješno ste riješili sve prethodne jednačine! I to....

Zar ne možemo pronaći korijen jednačine?

d) uzrok poteškoća

Šta je zaustavilo naš rad?

Ne znamo kako dijeliti obične razlomke

e) formulisanje svrhe aktivnosti

Postojao je problem: ne znamo pravilo za dijeljenje običnih razlomaka

Problemska situacija koja nas dovodi do cilja naše lekcije

Cilj lekcije: Pravilo za dijeljenje običnih razlomaka

IV. Faza asimilacije novog znanja - 10 minuta (fiksacija novog znanja)

Zapišite temu lekcije: Dijeljenje običnih razlomaka

Možete li predložiti način da riješimo naš problem? (postavljanje ciljeva)

Učenici nude razne opcije odgovori.

Otvorite udžbenik na strani 97, pročitajte pravilo za dijeljenje razlomaka u udžbeniku. Pročitajte i tekst na strani 98 pod naslovom „Govorite na pravi način“.

Učenici prve opcije govore ovo pravilo učenicima druge opcije.

Sada da riješimo posljednju jednačinu. Ko je to odlučio?

1) Kako ste riješili jednačinu? Primijenite pravilo za dijeljenje razlomaka.

2) Kojom akcijom je zamijenjena podjela?

3) Šta se promijenilo? Šta se nije promijenilo?

4) 1/3 i 3. Kako se zovu ovi brojevi?

Formulirajte pravilo za dijeljenje običnih razlomaka.

Da biste običan razlomak podijelili običnim razlomkom, trebate pomnožiti dividendu s recipročnom vrijednosti djelitelja

Fizminutka

V. Faza konsolidacije novih znanja - 9 minuta

P.98 Riješi br. 596(a-e)

c) 7/5=1 2/5,

e) 15/9=1 2/3

Rješenje se prezentira na tabli izgovaranjem pravila sa punim komentarima u rješenju.Nastavnik ih nakon obavljenog posla zaustavlja u rješavanju i nudi odgovor na pitanje.

Može li podjela biti opasna? ili zamke?

Ne možete podijeliti sa nulom!

Rad na zadatku. P.98 br. 600

Odgovor: kg - težina 1 dm 3; 2 dm 3 - zapremina 1 kg borove šipke

Radili ste na našem otkriću "Pravilo dijeljenja običnih razlomaka". U svom radu susreli ste se ne samo sa običnim razlomcima, već i sa prirodni brojevi, miješane frakcije. I ti si to uradio. Koji je tvoj uspjeh?

Jer svi brojevi osim nule imaju recipročne vrijednosti.Ovo pravilo je pogodno i za rješavanje prirodnih i mješovitih razlomaka.

VI. Faza provjere novih znanja - 6 minuta

Predlažem da riješite samostalni rad, prema metodi dijeljenja običnih razlomaka koju smo pronašli:

Otvorite svoje dnevnike i zapišite svoj domaći zadatak: str. 17 (str. 99-100) naučite pravilo. br. 633 (a-e), br. 637 (str. 105). Otvorite knjige na ovoj stranici i pogledajte zadatak. Ko ne razumije šta? Ako imate pitanja, pitajte ili se možete obratiti nastavniku na odmoru.

VIII Faza refleksije i rezultat časa - 1 minut

Šta smo novo naučili na lekciji?

Pronašli smo način da podijelimo obične razlomke.

Da li je cilj naše lekcije postignut?

Da. Našli smo način da sami riješimo svoj problem i naše otkriće je potvrđeno.

Zajedno formulirajte otkriće (uglas izgovorite pravilo)

Da biste običan razlomak podijelili običnim razlomkom, trebate pomnožiti dividendu sa recipročnom vrijednosti djelitelja.

U davna vremena u Rusiji su govorili: Množenje je muka, a dijeljenje nevolja.” A danas smo kroz čitavu lekciju dokazivali suprotno. Podigni ruku ako se slažeš sa mnom. Hvala na lekciji!

Korištena edukativna i metodička literatura.

Matematika.6 razred: udžbenik za opšte obrazovanje. institucije / N.Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Česnokov, S. I. Shvartsburd. Moskva: Mnemosyne, 2012.
Razvoj lekcija matematike. 6. razred-Vygovskaya V.V.-M: VAKO, 2014
Web stranica izdavačke kuće "Prvi septembar"

Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Ova operacija je mnogo ljepša od sabiranja-oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećam vas: da biste pomnožili razlomak razlomkom, morate pomnožiti brojioce (ovo će biti brojnik rezultata) i nazivnike (ovo će biti imenilac). To je:

Na primjer:

Sve je krajnje jednostavno. I molim te ne gledaj zajednički imenilac! Ne treba ovde...

Da biste podijelili razlomak s razlomkom, trebate preokrenuti sekunda(ovo je važno!) razlomite i pomnožite ih, tj.:

Na primjer:

Ako se množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima uhvati, u redu je. Kao i kod sabiranja, pravimo razlomak od cijelog broja s jedinicom u nazivniku - i idemo! Na primjer:

U srednjoj školi često morate da imate posla sa trospratnim (ili čak četvorospratnim!) razlomcima. Na primjer:

Kako dovesti ovaj razlomak u pristojan oblik? Da, vrlo lako! Koristite podjelu na dvije tačke:

Ali ne zaboravite na red podjele! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali u trospratnom razlomku lako je pogriješiti. Imajte na umu, na primjer:

U prvom slučaju (izraz s lijeve strane):

U drugom (izraz desno):

Osjetite razliku? 4 i 1/9!

Koji je redoslijed podjele? Ili zagrade, ili (kao ovdje) dužina horizontalnih crtica. Razvijte oko. A ako nema zagrada ili crtica, kao:

zatim podijeli-množi redom, s lijeva na desno!

I još jedan vrlo jednostavan i važan trik. U akcijama sa diplomama dobro će vam doći! Podijelimo jedinicu bilo kojim razlomkom, na primjer, sa 13/15:

Šut se preokrenuo! I to se uvijek desi. Kada se 1 dijeli bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo obrnut.

To su sve akcije sa razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno grešaka. Bilješka praktični saveti, i one (greške) će biti manje!

Praktični savjeti:

1. Najvažnija stvar pri radu sa frakcijskim izrazima je tačnost i pažnja! Nije uobičajene riječi, ne dobre želje! Ovo je ozbiljna potreba! Uradite sve proračune na ispitu kao potpuni zadatak, koncentrisano i jasno. Bolje je napisati dva dodatna reda u nacrtu nego da zabrljate pri računanju u svojoj glavi.

2. U primjerima sa različite vrste razlomci - idite na obične razlomke.

3. Smanjujemo sve razlomke do kraja.

4. Višespratnica frakcioni izrazi svodimo na obične koristeći dijeljenje kroz dvije točke (pratimo redoslijed dijeljenja!).

5. Jedinicu dijelimo na razlomak u svom umu, jednostavnim okretanjem razlomka.

Evo zadataka koje trebate obaviti. Odgovori se daju nakon svih zadataka. Koristite materijale ove teme i praktične savjete. Procijenite koliko primjera biste mogli točno riješiti. Prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke...

Zapamtite tačan odgovor dobijeno iz drugog (naročito trećeg) puta - ne računa se! Takav je surov život.

dakle, rješavati u ispitnom načinu ! Ovo je, inače, priprema za ispit. Rješavamo primjer, provjeravamo, rješavamo sljedeće. Odlučili smo sve - ponovo smo provjerili od prvog do posljednjeg. Ali samo poslije pogledajte odgovore.

Izračunati:

Jeste li odlučili?

Tražite odgovore koji odgovaraju vašim. Ja sam ih konkretno zapisao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem... Evo ih, odgovora, zapisanih sa tačkom i zarezom.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

I sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo - sretno za vas! Elementarni proračuni sa razlomcima nisu vaš problem! Može više ozbiljne stvari. Ako ne...

Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali ovo rješiv Problemi.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.