Razlomci, operacije sa razlomcima. Operacija sa običnim razlomcima

Razlomci su obični i decimalni. Kada učenik sazna za postojanje potonjeg, on u svakoj prilici počinje da prevodi sve što je moguće u decimalni oblik, čak i ako to nije potrebno.

Čudno je da se preferencije srednjoškolaca i studenata mijenjaju, jer je lakše izvesti mnoge aritmetičke operacije s običnim razlomcima. A vrijednosti s kojima se diplomci nose ponekad je jednostavno nemoguće pretvoriti u decimalni oblik bez gubitka. Kao rezultat toga, obje vrste frakcija su, na ovaj ili onaj način, prilagođene slučaju i imaju svoje prednosti i nedostatke. Hajde da vidimo kako da radimo sa njima.

Definicija

Razlomci su isti udjeli. Ako u narandzi ima deset kriški, a vama je data jedna, onda imate 1/10 voća u ruci. S takvim zapisom, kao u prethodnoj rečenici, razlomak će se zvati običan razlomak. Ako pišete isto kao 0,1 - decimalni. Obje opcije su jednake, ali imaju svoje prednosti. Prva opcija je prikladnija za množenje i dijeljenje, druga - za sabiranje, oduzimanje i u nizu drugih slučajeva.

Kako pretvoriti razlomak u drugi oblik

Pretpostavimo da imate običan razlomak i želite ga pretvoriti u decimalu. šta treba da uradim?

Usput, morate unaprijed odlučiti da se nijedan broj ne može bez problema napisati u decimalnom obliku. Ponekad morate zaokružiti rezultat, gubeći određeni broj decimalnih mjesta, a u mnogim područjima - na primjer, u egzaktnim naukama - ovo je potpuno nepristupačan luksuz. Istovremeno, radnje s decimalnim i običnim razlomcima u 5. razredu omogućavaju da se takav prijenos iz jedne vrste u drugu izvrši bez smetnji, barem kao trening.

Ako iz nazivnika, množenjem ili dijeljenjem cijelim brojem, možete dobiti vrijednost koja je višestruka od 10, prijenos će proći bez ikakvih poteškoća: ¾ se pretvara u 0,75, 13/20 - u 0,65.

Inverzni postupak je još lakši, jer uvijek možete dobiti običan razlomak iz decimalnog razlomka bez gubitka u tačnosti. Na primjer, 0,2 postaje 1/5, a 0,08 postaje 4/25.

Interne konverzije

Prije izvođenja zajedničkih radnji s običnim razlomcima, morate pripremiti brojeve za moguće matematičke operacije.

Prije svega, trebate sve razlomke u primjeru dovesti u jedan opći oblik. Moraju biti obični ili decimalni. Odmah rezervirajte da je množenje i dijeljenje pogodnije izvesti s prvim.

U pripremi brojeva za dalje radnje pomoći će vam pravilo poznato kao i korišteno kako u prvim godinama studiranja predmeta, tako i u višoj matematici koja se izučava na univerzitetima.

Svojstva frakcija

Pretpostavimo da imate neku vrijednost. Recimo 2/3. Šta se dešava ako brojilac i imenilac pomnožite sa 3? Uzmite 6/9. Šta ako je milion? 2000000/3000000. Ali čekajte, jer se broj uopće ne mijenja kvalitativno - 2/3 ostaje jednako 2000000/3000000. Mijenja se samo forma, ne i sadržaj. Ista stvar se dešava kada su oba dijela podijeljena istom vrijednošću. Ovo je glavno svojstvo razlomka, koje će vam više puta pomoći da izvodite radnje s decimalnim i običnim razlomcima na testovima i ispitima.

Množenje brojnika i nazivnika istim brojem naziva se proširenje razlomka, a dijeljenje smanjenjem. Moram reći da je precrtavanje istih brojeva na vrhu i na dnu prilikom množenja i dijeljenja razlomaka iznenađujuće ugodan postupak (naravno, kao dio lekcije matematike). Čini se da je odgovor već blizu i primjer je praktično riješen.

Nepravilni razlomci

Nepravilan razlomak je onaj kod kojeg je brojilac veći ili jednak nazivniku. Drugim riječima, ako se cijeli dio može razlikovati od njega, on potpada pod ovu definiciju.

Ako se takav broj (veći ili jednak jedan) predstavi kao običan razlomak, on će se zvati nepravilnim. A ako je brojilac manji od nazivnika - ispravno. Obje vrste su podjednako zgodne u provedbi mogućih radnji s običnim razlomcima. Mogu se slobodno množiti i dijeliti, sabirati i oduzimati.

Ako je u isto vrijeme odabran cijeli broj i istovremeno postoji ostatak u obliku razlomka, rezultirajući broj će se zvati mješoviti. U budućnosti ćete se susresti sa različitim načinima kombinovanja ovakvih struktura sa varijablama, kao i sa rešavanjem jednačina gde je to znanje potrebno.

Aritmetičke operacije

Ako je sve jasno s osnovnim svojstvom razlomka, kako se onda ponašati pri množenju razlomaka? Radnje sa običnim razlomcima u 5. razredu uključuju sve vrste računskih operacija koje se izvode na dva različita načina.

Množenje i dijeljenje su vrlo laki. U prvom slučaju, brojnici i imenioci dva razlomka se jednostavno množe. U drugom - isto, samo poprečno. Dakle, brojnik prvog razlomka se množi sa nazivnikom drugog i obrnuto.

Da biste izvršili zbrajanje i oduzimanje, potrebno je izvršiti dodatnu radnju - dovesti sve komponente izraza u zajednički nazivnik. To znači da se donji dijelovi razlomaka moraju promijeniti na istu vrijednost - višekratnu oba dostupna nazivnika. Na primjer, za 2 i 5 to će biti 10. Za 3 i 6 - 6. Ali šta onda učiniti s vrhom? Ne možemo ostaviti kako je bilo da smo promijenili donji. Prema osnovnom svojstvu razlomka, brojilac množimo istim brojem kao i imenilac. Ova operacija se mora izvesti na svakom od brojeva koje ćemo sabirati ili oduzimati. Međutim, takve radnje s običnim razlomcima u 6. razredu već se izvode „na mašini“, a poteškoće nastaju tek u početnoj fazi proučavanja teme.

Poređenje

Ako dva razlomka imaju isti nazivnik, onda će onaj sa većim brojnikom biti veći. Ako su gornji dijelovi isti, onda će onaj sa manjim nazivnikom biti veći. Treba imati na umu da se ovako uspješne situacije za poređenje rijetko dešavaju. Najvjerovatnije se i gornji i donji dio izraza neće podudarati. Zatim se morate sjetiti mogućih radnji s običnim razlomcima i koristiti tehniku koja se koristi za zbrajanje i oduzimanje. Osim toga, zapamtite da ako govorimo o negativnim brojevima, tada će veći razlomak u modulu biti manji.

Prednosti običnih razlomaka

Dešava se da nastavnici deci kažu jednu frazu, čiji sadržaj se može izraziti na sledeći način: što se više informacija daje pri formulisanju zadatka, to će rešenje biti lakše. Da li zvuči čudno? Ali stvarno: s velikim brojem poznatih vrijednosti, možete koristiti gotovo svaku formulu, ali ako je naveden samo nekoliko brojeva, možda će biti potrebna dodatna razmišljanja, morat ćete zapamtiti i dokazati teoreme, dati argumente u prilog svoje ispravnosti ...

Zašto ovo radimo? Štoviše, obični razlomci, uz svu svoju glomaznost, mogu uvelike pojednostaviti život učenika, omogućavajući vam da smanjite čitave linije vrijednosti prilikom množenja i dijeljenja, te prilikom izračunavanja zbroja i razlike, izvlačite uobičajene argumente i , opet ih smanjite.

Kada je potrebno izvršiti zajedničke radnje s običnim i decimalnim razlomcima, transformacije se provode u korist prvog: kako prevesti 3/17 u decimalni oblik? Samo uz gubitak informacija, nikako drugačije. Ali 0,1 se može predstaviti kao 1/10, a zatim kao 17/170. I tada se dva rezultirajuća broja mogu dodati ili oduzeti: 30/170 + 17/170 = 47/170.

Zašto su decimale korisne?

Ako su radnje s običnim razlomcima prikladnije za izvođenje, tada je zapisivanje svega uz njihovu pomoć izuzetno nezgodno, decimale ovdje imaju značajnu prednost. Uporedite: 1748/10000 i 0,1748. To je ista vrijednost predstavljena u dvije različite verzije. Naravno, drugi način je lakši!

Osim toga, decimale je lakše predstaviti jer svi podaci imaju zajedničku bazu koja se razlikuje samo po redovima veličine. Recimo da lako možemo prepoznati popust od 30% i čak ga ocijeniti kao značajan. Hoćete li odmah shvatiti šta je više - 30% ili 137/379? Dakle, decimalni razlomci obezbjeđuju standardizaciju izračunavanja.

U srednjoj školi učenici rješavaju kvadratne jednačine. Ovdje je već krajnje problematično izvoditi radnje s običnim razlomcima, jer formula za izračunavanje vrijednosti varijable sadrži kvadratni korijen sume. U prisustvu razlomka koji se ne svodi na decimalu, rješenje postaje toliko komplikovano da postaje gotovo nemoguće izračunati tačan odgovor bez kalkulatora.

Dakle, svaki način predstavljanja razlomaka ima svoje prednosti u odgovarajućem kontekstu.

Oblici ulaska

Postoje dva načina za pisanje radnji s običnim razlomcima: kroz vodoravnu liniju, u dva "sloja" i kroz kosu crtu (aka "kosa crta") - u liniju. Kada učenik piše u svesku, prva opcija je obično praktičnija, a samim tim i češća. Raspodjela većeg broja brojeva u ćelije doprinosi razvoju pažnje u proračunima i transformacijama. Kada pišete u niz, možete nenamjerno zbuniti redoslijed radnji, izgubiti sve podatke - odnosno napraviti grešku.

Vrlo često u naše vrijeme postoji potreba za štampanjem brojeva na računaru. Možete odvojiti razlomke tradicionalnom horizontalnom trakom koristeći funkciju u programu Microsoft Word 2010 i novijim. Činjenica je da u ovim verzijama softvera postoji opcija koja se zove "formula". Prikazuje pravougaono transformabilno polje unutar kojeg možete kombinovati bilo koje matematičke simbole, činiti razlomke sa dva i četiri sprata. U nazivniku i brojniku možete koristiti zagrade, znakove operacije. Kao rezultat, moći ćete zapisati sve zajedničke radnje običnim i decimalnim razlomcima u tradicionalnom obliku, odnosno na način na koji vas to uče u školi.

Ako koristite standardni uređivač teksta Notepad, tada će svi izrazi razlomaka morati biti napisani kroz kosu crtu. Nažalost, ovdje nema drugog načina.

Zaključak

Dakle, razmotrili smo sve osnovne radnje s običnim razlomcima, kojih, ispostavilo se, nije toliko.

Ako se u početku može činiti da je ovo složen odjeljak matematike, onda je ovo samo privremeni utisak - sjetite se, jednom ste tako razmišljali o tablici množenja, pa čak i ranije - o uobičajenim knjigama i brojanju od jedan do deset.

Važno je shvatiti da se razlomci koriste svuda u svakodnevnom životu. Bavićete se novcem i inženjerskim proračunima, informatičkom tehnologijom i muzičkom pismenošću, i svuda - svuda! - pojavit će se razlomci. Stoga, nemojte biti lijeni i temeljito proučite ovu temu - pogotovo jer nije tako teško.

Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Ova operacija je mnogo ljepša od sabiranja-oduzimanja! Jer je lakše. Podsjećam vas: da biste pomnožili razlomak razlomkom, morate pomnožiti brojioce (ovo će biti brojnik rezultata) i nazivnike (ovo će biti imenilac). tj.:

Na primjer:

Sve je krajnje jednostavno. I molim vas, nemojte tražiti zajednički imenitelj! Ne treba mi ovde...

Da biste podijelili razlomak s razlomkom, trebate preokrenuti sekunda(ovo je važno!) razlomite i pomnožite ih, tj.:

Na primjer:

Ako se množenje ili dijeljenje s cijelim brojevima i razlomcima uhvati, u redu je. Kao i kod sabiranja, pravimo razlomak od cijelog broja s jedinicom u nazivniku - i idemo! Na primjer:

U srednjoj školi često morate da imate posla sa trospratnim (ili čak četvorospratnim!) razlomcima. Na primjer:

Kako ovaj razlomak dovesti u pristojan oblik? Da, vrlo lako! Koristite podjelu na dvije tačke:

Ali ne zaboravite na red podjele! Za razliku od množenja, ovo je ovdje vrlo važno! Naravno, nećemo brkati 4:2 ili 2:4. Ali u trospratnom razlomku lako je pogriješiti. Imajte na umu, na primjer:

U prvom slučaju (izraz s lijeve strane):

U drugom (izraz desno):

Osjetite razliku? 4 i 1/9!

Koji je redoslijed podjele? Ili zagrade, ili (kao ovdje) dužina horizontalnih crtica. Razvijte oko. A ako nema zagrada ili crtica, kao:

zatim podijeli-množi redom, s lijeva na desno!

I još jedan vrlo jednostavan i važan trik. U akcijama sa diplomama dobro će vam doći! Podijelimo jedinicu bilo kojim razlomkom, na primjer, sa 13/15:

Šut se preokrenuo! I to se uvijek desi. Kada se 1 podijeli bilo kojim razlomkom, rezultat je isti razlomak, samo obrnut.

To su sve akcije sa razlomcima. Stvar je prilično jednostavna, ali daje više nego dovoljno grešaka. Imajte na umu praktične savjete, i bit će ih manje (greške)!

Praktični savjeti:

1. Najvažnija stvar pri radu sa frakcijskim izrazima je tačnost i pažnja! Ovo nisu uobičajene riječi, nisu dobre želje! Ovo je ozbiljna potreba! Uradite sve proračune na ispitu kao potpuni zadatak, koncentrisano i jasno. Bolje je napisati dva dodatna reda u nacrtu, nego zabrljati pri računanju u svojoj glavi.

2. U primjerima s različitim vrstama razlomaka - prijeđite na obične razlomke.

3. Smanjujemo sve razlomke do kraja.

4. Razlomačke izraze na više nivoa svodimo na obične dijeljenjem kroz dvije tačke (pratimo redoslijed dijeljenja!).

5. Jedinicu dijelimo na razlomak u svom umu, jednostavnim okretanjem razlomka.

Evo zadataka koje trebate obaviti. Odgovori se daju nakon svih zadataka. Koristite materijale ove teme i praktične savjete. Procijenite koliko primjera biste mogli točno riješiti. Prvi put! Bez kalkulatora! I izvući prave zaključke...

Zapamtite tačan odgovor dobijeno od drugog (naročito trećeg) puta - ne računa se! Takav je surov život.

dakle, rješavati u ispitnom načinu ! Ovo je, inače, priprema za ispit. Rješavamo primjer, provjeravamo, rješavamo sljedeće. Odlučili smo sve - ponovo smo provjerili od prvog do posljednjeg. Samo poslije pogledajte odgovore.

Izračunati:

Jeste li odlučili?

Tražite odgovore koji odgovaraju vašima. Ja sam ih konkretno zapisao u neredu, daleko od iskušenja, da tako kažem... Evo ih, odgovora, zapisanih sa tačkom i zarezom.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

A sada donosimo zaključke. Ako je sve uspjelo - sretno za vas! Elementarni proračuni sa razlomcima nisu vaš problem! Možete raditi ozbiljnije stvari. Ako ne...

Dakle, imate jedan od dva problema. Ili oboje odjednom.) Nedostatak znanja i (ili) nepažnja. Ali ovo rješivo Problemi.

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Složimo se da će se "radnje s razlomcima" u našoj lekciji shvatiti kao radnje s običnim razlomcima. Razlomak je razlomak koji ima atribute kao što su brojnik, razlomak i imenilac. Ovo razlikuje obični razlomak od decimalnog, koji se dobija od običnog tako što se nazivnik smanji na višekratnik od 10. Decimalni razlomak se piše sa zarezom koji odvaja cijeli broj od razlomka. Govorit ćemo o akcijama s običnim razlomcima, jer upravo one uzrokuju najveće poteškoće učenicima koji su zaboravili osnove ove teme, obrađene u prvoj polovini školskog kursa matematike. Istovremeno, pri transformaciji izraza u višoj matematici uglavnom se koriste operacije s običnim razlomcima. Neke skraćenice razlomaka nešto vrijede! Decimalni razlomci ne izazivaju velike poteškoće. Zato samo naprijed!

Dvije frakcije i nazivaju jednake ako .

Na primjer, jer

Razlomci i (pošto ), i (pošto ) su također jednaki.

Očigledno, oba razlomka i su jednaki. To znači da ako se brojnik i imenilac datog razlomka pomnože ili podijele istim prirodnim brojem, onda će se dobiti razlomak jednak datom:.

Ovo svojstvo se naziva osnovnim svojstvom razlomka.

Osnovno svojstvo razlomka može se koristiti za promjenu predznaka brojnika i nazivnika razlomka. Ako se brojnik i imenilac razlomka pomnože sa -1, dobijamo. To znači da se vrijednost razlomka neće promijeniti ako se istovremeno promijene predznaci brojnika i nazivnika. Ako promijenite predznak samo brojioca ili samo nazivnika, tada će razlomak promijeniti svoj predznak:

Smanjenje frakcije

Koristeći osnovnu osobinu razlomka, možete dati razlomak zamijeniti drugim razlomkom jednakim datom, ali sa manjim brojnikom i nazivnikom. Ova zamjena se naziva redukcija frakcije.

Neka je, na primjer, dat razlomak. Brojevi 36 i 48 imaju najveći zajednički djelitelj 12. Tada

U opštem slučaju, redukcija razlomaka je uvek moguća ako brojilac i imenilac nisu međusobno prosti brojevi. Ako su brojnik i imenilac relativno prosti brojevi, tada se razlomak naziva nesvodljivim.

Dakle, smanjenje razlomka znači dijeljenje brojnika i nazivnika razlomka zajedničkim faktorom. Sve gore navedeno se odnosi na frakcione izraze koji sadrže varijable.

Primjer 1 Smanjite frakciju

Odluka. Rastaviti brojilac na faktore, nakon što smo prethodno predstavili monom - 5 xy kao zbir - 2 xy - 3xy, dobijamo

Za faktorizaciju nazivnika koristimo formulu razlike kvadrata:

Kao rezultat

Dovođenje razlomaka na zajednički nazivnik

Neka su dva razlomka i dati su. Imaju različite nazivnike: 5 i 7. Koristeći osnovnu osobinu razlomka, te razlomke možete zamijeniti drugim jednakim njima, i to tako da će rezultirajući razlomci imati iste nazivnike. Pomnožimo brojilac i imenilac razlomka sa 7, dobijamo

Pomnožimo brojilac i imenilac sa 5, dobijamo

Dakle, razlomci se svode na zajednički nazivnik:

Ali ovo nije jedino rješenje problema: na primjer, ovi razlomci se također mogu svesti na zajednički nazivnik od 70:

i općenito na bilo koji nazivnik djeljiv i sa 5 i sa 7.

Razmotrimo još jedan primjer: smanjimo razlomak i na zajednički nazivnik. Argumentom kao u prethodnom primjeru, dobijamo

Ali u ovom slučaju, možete dovesti razlomke na zajednički nazivnik, manji od proizvoda nazivnika ovih razlomaka. Pronađite najmanji zajednički višekratnik 24 i 30: LCM(24, 30) = 120.

Pošto je 120:4=5, da bi se napisao razlomak sa nazivnikom 120, i brojilac i imenilac moraju se pomnožiti sa 5, ovaj broj se naziva dodatni faktor. Sredstva .

Dalje, dobijamo 120:30=4. Pomnožimo brojilac i imenilac razlomka sa dodatnim faktorom 4, dobijamo .

Dakle, ovi razlomci su svedeni na zajednički nazivnik.

Najmanji zajednički višekratnik nazivnika ovih razlomaka je najmanji mogući zajednički imenilac.

Za frakcijske izraze koji uključuju varijable, zajednički nazivnik je polinom koji je djeljiv sa nazivnikom svakog razlomka.

Primjer 2 Pronađite zajednički nazivnik razlomaka i .

Odluka. Zajednički nazivnik ovih razlomaka je polinom, jer je djeljiv sa oba i sa. Međutim, ovaj polinom nije jedini koji može biti zajednički nazivnik ovih razlomaka. Može biti i polinom , i polinom , i polinom itd. Obično uzimaju takav zajednički imenilac da je bilo koji drugi zajednički imenilac djeljiv sa izabranim bez ostatka. Takav imenilac se naziva najmanji zajednički imenilac.

U našem primjeru, najmanji zajednički nazivnik je . dobio:

;

Uspjeli smo dovesti razlomke na najmanji zajednički imenilac. To se dogodilo množenjem brojioca i nazivnika prvog razlomka sa , a brojioca i nazivnika drugog razlomka sa . Polinomi i nazivaju se dodatnim faktorima, respektivno, za prvi i drugi razlomak.

Sabiranje i oduzimanje razlomaka

Sabiranje razlomaka je definirano na sljedeći način:

Na primjer,

Ako a b = d, onda

To znači da je za sabiranje razlomaka sa istim nazivnikom dovoljno sabrati brojioce, a nazivnik ostaviti isti. Na primjer,

Ako se saberu razlomci s različitim nazivnicima, onda se razlomci obično svode na najmanji zajednički nazivnik, a zatim se sabiraju brojnici. Na primjer,

Sada razmotrite primjer sabiranja frakcijskih izraza s varijablama.

Primjer 3 Pretvorite izraz u jedan razlomak

Odluka. Nađimo najmanji zajednički imenilac. Da bismo to učinili, prvo faktoriziramo nazivnike.

Razlomci su obični brojevi, mogu se sabirati i oduzimati. Ali zbog činjenice da imaju nazivnik, ovdje su potrebna složenija pravila nego za cijele brojeve.

Razmotrimo najjednostavniji slučaj, kada postoje dva razlomka sa istim nazivnicima. onda:

Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, dodajte njihove brojioce i ostavite nazivnik nepromijenjen.

Da biste oduzeli razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je brojilac drugog oduzeti od brojnika prvog razlomka, a nazivnik opet ostaviti nepromijenjen.

Unutar svakog izraza imenioci razlomaka su jednaki. Po definiciji sabiranja i oduzimanja razlomaka dobijamo:

Kao što vidite, ništa komplikovano: samo dodajte ili oduzmite brojioce - i to je to.

Ali čak i u takvim jednostavnim radnjama ljudi uspijevaju pogriješiti. Najčešće zaboravljaju da se imenilac ne mijenja. Na primjer, kada ih se zbrajaju, oni također počinju da se zbrajaju, a to je u osnovi pogrešno.

Osloboditi se loše navike sabiranja nazivnika je prilično jednostavno. Pokušajte učiniti isto kada oduzimate. Kao rezultat toga, nazivnik će biti nula, a razlomak (odjednom!) će izgubiti svoje značenje.

Zato zapamtite jednom za svagda: pri sabiranju i oduzimanju imenilac se ne menja!

Također, mnogi ljudi griješe kada zbrajaju nekoliko negativnih razlomaka. Postoji zabuna sa znakovima: gdje staviti minus, a gdje - plus.

I ovaj problem je vrlo lako riješiti. Dovoljno je zapamtiti da se minus ispred znaka razlomka uvijek može prenijeti na brojilac - i obrnuto. I naravno, ne zaboravite dva jednostavna pravila:

Plus puta minus daje minus;
Dva negativa čine afirmativnu.

Analizirajmo sve ovo na konkretnim primjerima:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

U prvom slučaju sve je jednostavno, a u drugom ćemo dodati minuse brojiocima razlomaka:

Šta ako su imenioci različiti

Ne možete direktno sabirati razlomke s različitim nazivnicima. Bar mi je ovaj metod nepoznat. Međutim, originalni razlomci se uvijek mogu prepisati tako da imenioci postanu isti.

Postoji mnogo načina za pretvaranje razlomaka. O tri od njih se govori u lekciji "Dovođenje razlomaka u zajednički imenilac", tako da se ovde nećemo zadržavati na njima. Pogledajmo neke primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

U prvom slučaju razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika metodom "unakrst". U drugom ćemo tražiti LCM. Imajte na umu da je 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Posljednji faktori u ovim proširenjima su jednaki, a prvi su međusobno prosti. Dakle, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Šta ako razlomak ima cijeli broj

Mogu vam ugoditi: različiti imenioci razlomaka nisu najveće zlo. Mnogo više grešaka se javlja kada je cijeli dio istaknut u razlomcima.

Naravno, za takve razlomke postoje vlastiti algoritmi za sabiranje i oduzimanje, ali oni su prilično složeni i zahtijevaju dugo proučavanje. Bolje je koristiti jednostavan dijagram u nastavku:

Pretvorite sve razlomke koji sadrže cijeli broj u nepravilne. Dobijamo normalne članove (čak i sa različitim nazivnicima), koji su izračunati prema gore navedenim pravilima;
Zapravo, izračunajte zbir ili razliku rezultujućih razlomaka. Kao rezultat toga, praktično ćemo pronaći odgovor;
Ako je to sve što je bilo potrebno u zadatku, vršimo inverznu transformaciju, tj. oslobađamo se nepravilnog razlomka, naglašavajući cijeli broj u njemu.

Pravila za prelazak na nepravilne razlomke i isticanje cijelog broja detaljno su opisana u lekciji "Šta je brojčani razlomak". Ako se ne sjećate, svakako ponovite. primjeri:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Ovdje je sve jednostavno. Imenioci unutar svakog izraza su jednaki, tako da ostaje da sve razlomke pretvorimo u nepravilne i prebrojimo. Imamo:

Da bih pojednostavio proračune, preskočio sam neke očigledne korake u posljednjim primjerima.

Mala napomena uz posljednja dva primjera, gdje se oduzimaju razlomci s istaknutim cijelim dijelom. Minus ispred drugog razlomka znači da se oduzima cijeli razlomak, a ne samo njegov dio.

Pročitajte ponovo ovu rečenicu, pogledajte primjere i razmislite o tome. Ovdje početnici prave mnogo grešaka. Oni vole da daju takve zadatke na kontrolnom poslu. Također ćete ih više puta sretati u testovima za ovu lekciju, koji će uskoro biti objavljeni.

Sažetak: Opća šema računarstva

U zaključku, dat ću opći algoritam koji će vam pomoći da pronađete zbir ili razliku dva ili više razlomaka:

Ako je cijeli broj istaknut u jednom ili više razlomaka, pretvorite te razlomke u nepravilne;
Dovedite sve razlomke u zajednički nazivnik na bilo koji način koji vam odgovara (osim ako, naravno, to nisu uradili kompajleri zadataka);
Dobivene brojeve sabirati ili oduzimati prema pravilima za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa istim nazivnicima;
Smanjite rezultat ako je moguće. Ako se pokazalo da je razlomak netačan, odaberite cijeli dio.

Zapamtite da je bolje istaknuti cijeli dio na samom kraju zadatka, neposredno prije pisanja odgovora.