Чему равна градусная мера окружности. Окружность и вписанный угол

Открытый урок по геометрии 8 класс.

Тема: «Градусная мера дуги окружности».

Цель урока:

Образовательная: ввести понятия градусной меры дуги окружности, центрального угла;формировать умение решать задачи на нахождение градусной меры дуги окружности, центрального угла; учить читать чертеж.

Развивающая: развивать навыки исследовательской деятельности (выдвижение гипотез, анализ, сравнение и обобщение полученных результатов); навыки работы в группах, грамотную математическую речь, сообразительность, внимательность, логическое мышление, память, активность на уроке; содействовать развитию умений осуществлять самооценку учебной деятельности.

Воспитательная: создать у учащихся положительную мотивацию к уроку геометрии, путем вовлечения каждого ученика в активную деятельность; воспитывать потребность оценивать свою деятельность и работу товарищей; помочь осознать ценность совместной деятельности.

Цели ученика: освоить понятия: градусная мера дуги окружности, центральный угол; овладеть умением решать задачи на нахождение градусной меры дуги окружности, центрального угла.

Универсальные учебные действия (УУД):

регулятивные: постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено и того, что неизвестно;

коммуникативные: построение речевых высказываний;

познавательные: анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков;

личностные: самооценка.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Дидактической оснащение: учебник, компьютер, проектор, экран, указка, мел, карточки, лист самооценки.

Ход урока.

Организационный момент урока.

Хочется начать урок с народной мудрости (слайд 1) «Ум без догадки – гроша не стоит», так как при решении геометрических задач нужна смекалка, умение рассуждать, анализировать, а это невозможно без знаний и вдохновения. (слайд 2) К. Вейерштрасс (немецкий математик) сказал по этому поводу «Математик, который не является в известной мере поэтом, никогда не будет настоящим математиком».

Вдохновения вам на протяжении всего урока.

II . Актуализация опорных знаний и постановка цели.

Решите ребус, разгадав его, вы узнаете, о какой фигуре мы сейчас поговорим. В этом ребусе зашифровано название фигуры, у которой нет ни начала, ни конца, зато есть длина.

(слайд 3)

(окружность)

Посмотрите на чертеж.

А С (слайд 4) - Назовите радиусы окружности? (ОА, ОС, ОВ)

Сформулируйте определение радиуса окружности?

Сколько радиусов можно провести в окружности?

При построении этих элементов окружности у нас

получились углы. Назовите их. (AOC, AOB, COB).

D - Вспомните, что вы знаете о паре углов AOC и BOA?

(они смежные, их сумма равна 180 0).

Как называется угол BOC? (развернутый, градусная

В мера его равна 180 0).

Что является сторонами этого угла? А вершина где расположена? (стороны этих углов – радиусы окружности, а вершины располагаются в центре окружности).

Какой еще есть угол на чертеже? (угол CBD).

Он какой? (острый).

Чем являются стороны этого угла? (диаметр и хорда).

Где расположена вершина угла? (на окружности).

Сформулируйте определение диаметра окружности? (диаметр – хорда, проходящая через центр окружности).

Сформулируйте определение хорды? (хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности).

Попробуйте разделить все эти углы на две группы по каким-то общим элементам.

Углы в окружности (слайд 5)

По какому признаку вы разделили эти углы на две группы? (у всех углов I группы вершиной угла является центр окружности, у угла II группы вершина угла лежит на окружности).

Как вы думаете, как называются эти углы, вершины которых – центр окружности? (центральные углы).

Как вы думаете, о чем мы будем говорить на уроке? Попробуйте сформулировать тему урока.

Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием центрального угла и градусной мерой дуги окружности.

Тема урока: «Градусная мера дуги окружности». (слайд 6)

Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока (запись на доске).

III . Изучение нового материала.

Напомним определение окружности. Внимание, это определение будет дано ошибочное. Задача – найти ошибку.

Итак, вот это определение: (слайд 7)

Окружностью называют множество точек, равноудаленных от одной точки – от центра.

Где ошибка? (пропущено одно слово множество «всех» точек, равноудаленных от одной точки окружности).

Например, вершины квадрата – это множество точек, равноудаленных от центра квадрата, но это не есть окружность.

(слайд 8) - Окружность – это множество всех точек,

равноудаленных от центра.

Важный элемент окружности.

Узнайте его, решив ребус.

(дуга) (слайд 9)

- Дуга – это часть окружности, расположенная между двумя точками этой окружности.

(слайд 10)

ALB – это дуга окружности.

- центральный угол.

Т. О – центр окружности.

Как вы думаете, какой угол называют центральным углом? (угол с вершиной в центре окружности центральным углом этой окружности).

Имеем дугу и соответствующий центральный угол.

Сколько дуг на рисунке? (на рисунке две дуги).

Чтобы различать эти дуги, на каждой из них отмечают промежуточную точку. Когда ясно о какой из двух дуг идет речь, используется обозначение без промежуточной точки.

Обозначают дуги так:
,
,
. (слайд 11)

В чем измеряются дуги окружности?

Отгадайте шараду. Подсказка: первая часть – природное явление, вторая – есть у кошки.

(слайд 12)

(градусы)

Рассмотрим, что такое градусная мера дуги окружности. (слайд 13)

Дуга ALB – дуга не больше полуокружности.

Дуга AMB – дуга, больше полуокружности.

Какая дуга называется полуокружностью? (дуга называется полуокружностью, если, отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности).

Так вот: Градусной мерой дуги ALB называется градусная мера соответствующего центрального угла AOB. (слайд 14)

Получаем. Вот сколько градусов в этом угле, столько же градусов и в этой дуге.

Если дуга больше полуокружности, то градусная мера этой дуги: . (слайд 15)

-
Давайте рассмотрим одну дугу и второю дугу, которые вместе составляют всю окружность. Получим, градусная мера первой дуги – это угол AOB.

Градусная мера второй дуги – это
.

В результате получим 360 0 . Значит, вся окружность измеряется числом 360 0 .

Градусная мера окружности – это 360 0 .

Как вы думаете, чему равна градусная мера полуокружности? (градусная мера полуокружности равна градусной мере развернутого угла - 180 0).

IV . Физминутка. (слайд 16 – 25)

Отдохнем немного. Сделаем физминутку для глаз.

V . Фронтальная работа. (слайд 26)

Рассмотрим конкретные примеры.

Дано: окружность, диаметр, перпендикулярный радиус, OM – радиус, такой, что угол СОМ = 45 0 . Значит и другой угол AOM = 45 0 .

Что можете сказать о дуге ACB? (дуга ACB – это полуокружность).

Какова градусная мера дуги ACB? (дуга ACB = 180 0).

2) - Следующая дуга BLC. Как ее найти? (дуга BLC соответствует центральному углу COB).

Какой это угол? (прямой).

Чему равна градусная мера дуги BLC? (градусная мера дуги BLC равна градусной мере угла BOC = 90 0).

3) Градусная мера дуги BC чему равна? (дуга MC = 45 0).

4) Как найти градусную меру дуги BCM? Из скольких дуг она состоит? (эта дуга состоит из двух дуг BLC и CM. Значит, дуга BCM = 90 0 + 45 0 = 135 0).

5) Наконец, рассмотрим градусную меру дуги MAB.

Эта дуга больше или меньше полуокружности? (больше полуокружности).

Как найдем градусную меру дуги MAB? ().

Мы рассмотрели некоторые примеры по вычислению градусной меры дуги окружности.

Теперь выполним работу самостоятельно.

VI . Самостоятельная работа. (слайд 27)

У каждого на столе есть карточка с заданием.

Вам предлагается решить карточку с готовыми чертежами. Решение записать в тетрадь.

Найти градусную меру
и
?

Найти градусную меру и? D

Проверка решений задачи (по одному человеку). Оценки.

VII . Работа в парах. (слайд 28)

Выполним задание в парах. Но сначала послушайте внимательно задание. Решив задачи, вы должны сопоставить ответы с буквами, расположив числа по возрастанию. У вас получится слово, и вы узнаете, какой праздник празднует Россия 20 марта.

1
- ? 2 А
- ? 3 А
- ? 4
- ?

А Т С Е

5
- ? 6 - ? 7 - ?

С Ч Ь

1 – 130 0 –А, 2 – 180 0 – Т, 3 – 90 0 – С, 4 – 330 0 – Е, 5 – 135 0 – С, 6 – 108 0 – Ч, 7 – 260 0 – Ь.

Какое слово получилось? (счастье). (слайд 29)

Новый праздник – День счастья – мир отмечает 20 марта. Ведь 20 марта – это день весеннего солнцестояния, уникального в природе явления, когда день точно равен ночи. Таким образом, День весеннего равноденствия послужил неким символом счастья, на которое в равной степени имеет право каждый житель Земли. Кроме того, во многих азиатских странах 20 марта отмечают Новый год.

VIII . Итог урока (рефлексия, самооценка). (слайд 30)

Ответим на вопросы и узнаем, что вам дал сегодняшний урок геометрии.

Сегодня я узнал…

Было интересно…

Было трудно…

Я научился…

У меня получилось …

Урок дал мне для жизни…

А сейчас я предлагаю проанализировать свою работу. У вас на столах есть карта самооценки. Подчеркните фразы, характеризующие вашу работу на уроке.

Рефлексия. (слайд 31)

Я считаю, что занятие было… интересным, скучным.

Я научился… многому, малому.

Я думаю, что слушал других… внимательно, невнимательно.

Я принимал участие в дискуссии… часто, редко.

Результатами своей работы на уроке я… доволен, не доволен.

Объявление оценок за работу на уроке.

Я надеюсь, что сегодняшний урок прошел для вас с пользой. Мы узнали, что такое центральный угол окружности, что такое градусная мера дуги окружности. На следующем уроке узнаем, что такое вписанный угол и теорему о нем.

Мы с вами хорошо потрудились, спасибо вам за работу.

IX . Домашнее задание. (слайд 32).

Запишите домашнее задание.

п. 70, № 650 (а, б), №649, стр. 173.

Рабочая тетрадь № 85, № 86, стр. 40 – 41.

(слайд 33) – Урок закончен. До свидания.

Открытый урок по геометрии 8 класс.

Тема: «Градусная мера дуги окружности».

Цель урока:

Универсальные учебные действия (УУД):

коммуникативные: построение речевых высказываний;

познавательные: анализ объектов с выделением существенных и несущественных признаков;

личностные: самооценка.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Дидактической оснащение: учебник, компьютер, проектор, экран, указка, мел, карточки, лист самооценки.

Ход урока.

Организационный момент урока.

Вдохновения вам на протяжении всего урока.

II . Актуализация опорных знаний и постановка цели.

(слайд 3)

(окружность)

Посмотрите на чертеж.

А С (слайд 4) - Назовите радиусы окружности? (ОА, ОС, ОВ)

Сформулируйте определение радиуса окружности?

Сколько радиусов можно провести в окружности?

При построении этих элементов окружности у нас

получились углы. Назовите их. (AOC, AOB, COB).

D - Вспомните, что вы знаете о паре углов AOC и BOA?

(они смежные, их сумма равна 180 0).

Как называется угол BOC? (развернутый, градусная

В мера его равна 180 0).

Какой еще есть угол на чертеже? (угол CBD).

Он какой? (острый).

Чем являются стороны этого угла? (диаметр и хорда).

Где расположена вершина угла? (на окружности).

Сформулируйте определение диаметра окружности? (диаметр – хорда, проходящая через центр окружности).

Сформулируйте определение хорды? (хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности).

Попробуйте разделить все эти углы на две группы по каким-то общим элементам.

Углы в окружности (слайд 5)

Как вы думаете, как называются эти углы, вершины которых – центр окружности? (центральные углы).

Как вы думаете, о чем мы будем говорить на уроке? Попробуйте сформулировать тему урока.

Сегодня на уроке мы познакомимся с понятием центрального угла и градусной мерой дуги окружности.

Тема урока: «Градусная мера дуги окружности». (слайд 6)

Откройте тетради, запишите число, классная работа и тему урока (запись на доске).

III . Изучение нового материала.

Напомним определение окружности. Внимание, это определение будет дано ошибочное. Задача – найти ошибку.

Итак, вот это определение: (слайд 7)

Окружностью называют множество точек, равноудаленных от одной точки – от центра.

Где ошибка? (пропущено одно слово множество «всех» точек, равноудаленных от одной точки окружности).

(слайд 8) - Окружность – это множество всех точек,

равноудаленных от центра.

Важный элемент окружности.

Узнайте его, решив ребус.

(дуга) (слайд 9)

- Дуга – это часть окружности, расположенная между двумя точками этой окружности.

(слайд 10)

ALB – это дуга окружности.

- центральный угол.

Т. О – центр окружности.

Имеем дугу и соответствующий центральный угол.

Сколько дуг на рисунке? (на рисунке две дуги).

Обозначают дуги так:
,
,
. (слайд 11)

В чем измеряются дуги окружности?

Отгадайте шараду. Подсказка: первая часть – природное явление, вторая – есть у кошки.

(слайд 12)

(градусы)

Рассмотрим, что такое градусная мера дуги окружности. (слайд 13)

Дуга ALB – дуга не больше полуокружности.

Дуга AMB – дуга, больше полуокружности.

Так вот: Градусной мерой дуги ALB называется градусная мера соответствующего центрального угла AOB. (слайд 14)

Получаем. Вот сколько градусов в этом угле, столько же градусов и в этой дуге.

Если дуга больше полуокружности, то градусная мера этой дуги: . (слайд 15)

Градусная мера второй дуги – это
.

В результате получим 360 0 . Значит, вся окружность измеряется числом 360 0 .

Градусная мера окружности – это 360 0 .

IV . Физминутка. (слайд 16 – 25)

Отдохнем немного. Сделаем физминутку для глаз.

V . Фронтальная работа. (слайд 26)

Рассмотрим конкретные примеры.

Что можете сказать о дуге ACB? (дуга ACB – это полуокружность).

Какова градусная мера дуги ACB? (дуга ACB = 180 0).

2) - Следующая дуга BLC. Как ее найти? (дуга BLC соответствует центральному углу COB).

Какой это угол? (прямой).

Чему равна градусная мера дуги BLC? (градусная мера дуги BLC равна градусной мере угла BOC = 90 0).

3) Градусная мера дуги BC чему равна? (дуга MC = 45 0).

5) Наконец, рассмотрим градусную меру дуги MAB.

Эта дуга больше или меньше полуокружности? (больше полуокружности).

Как найдем градусную меру дуги MAB? ().

Мы рассмотрели некоторые примеры по вычислению градусной меры дуги окружности.

Теперь выполним работу самостоятельно.

VI . Самостоятельная работа. (слайд 27)

У каждого на столе есть карточка с заданием.

Вам предлагается решить карточку с готовыми чертежами. Решение записать в тетрадь.

Найти градусную меру
и
?

Найти градусную меру и? D

Проверка решений задачи (по одному человеку). Оценки.

VII . Работа в парах. (слайд 28)

1
- ? 2 А
- ? 3 А
- ? 4
- ?

А Т С Е

5
- ? 6 - ? 7 - ?

С Ч Ь

1 – 130 0 –А, 2 – 180 0 – Т, 3 – 90 0 – С, 4 – 330 0 – Е, 5 – 135 0 – С, 6 – 108 0 – Ч, 7 – 260 0 – Ь.

Какое слово получилось? (счастье). (слайд 29)

VIII . Итог урока (рефлексия, самооценка). (слайд 30)

Ответим на вопросы и узнаем, что вам дал сегодняшний урок геометрии.

Сегодня я узнал…

Было интересно…

Было трудно…

Я научился…

У меня получилось …

Урок дал мне для жизни…

Рефлексия. (слайд 31)

Я считаю, что занятие было… интересным, скучным.

Я научился… многому, малому.

Я думаю, что слушал других… внимательно, невнимательно.

Я принимал участие в дискуссии… часто, редко.

Результатами своей работы на уроке я… доволен, не доволен.

Объявление оценок за работу на уроке.

Мы с вами хорошо потрудились, спасибо вам за работу.

IX . Домашнее задание. (слайд 32).

Запишите домашнее задание.

п. 70, № 650 (а, б), №649, стр. 173.

Рабочая тетрадь № 85, № 86, стр. 40 – 41.

(слайд 33) – Урок закончен. До свидания.

В нашей серии видео уроков мы познакомились с несколькими типичными фигурами в геометрии, а также сопутствующими им свойствами. Используя наглядные примеры, мы проиллюстрировали доказательства важнейших теорем, которые поспособствуют решению множества математических задач. В нынешнем видео мы ознакомимся с окружностью и её дугой.

Окружность - это геометрическая фигура, образуемая множеством равноудаленных точек, которые ориентированы от некоего общего центра, именуемого центром всей окружности. По сути, это правильная замкнутая кривая, охватывающая максимально возможную площадь. Не стоит путать окружность и круг - окружностью именуют только саму внешнюю кривую, набор точек. Помимо этого, окружность может иметь только центр-точку или отрезки, соединяющие точки на окружности (хорда или дуга). Круг же обладает внутренней площадью; на нем строятся плоские фигуры, такие как сегмент и сектор. Важнейшим элементом любой окружности является её радиус - отрезок, соединяющий любую точку на кривой и центр. Собственно, линейный размер радиуса и задает саму окружность.

Участок кривой на окружности, лежащий между двумя произвольными точками, именуется дугой. Стоит отличать её от хорды, которая также соединяет произвольные точки, но напрямую, отдельным отрезком. На представленном видео удобно рассматривать частные случаи дуги, которые зависят от её углового размера. Дуга аннулируется, если точки сливаются в одну. В случае, когда концы дуги совпадают с точками единого диаметра (двойного радиуса) -дуга именуется полуокружностью. Если крайние точки дуги, охватывающей окружность, почти полностью, бесконечно сближаются, то дуга сама перерастает в полноценную окружность.

Важнейшей особенностью любой дуги является то, что она всегда существует в паре со своим антиподом. Для создания дуги нужны две любые разные точки на окружности, и они породят ровно две дуги. Например, на окружности с центром О возьмем две точки - А и В. Они образуют дуги АВ и ВА.
Угол, который лежит напротив дуги, часто именуют центральным. Вообще, любой угол с вершиной в центре окружности называется центральным для этой фигуры. Но подобный угол всегда будет отсекать сторонами (или продолжениями сторон) определенную дугу на окружности. Между величиной угла и линейными размерами дуги существует строгая зависимость - чем больший угол, тем большую дугу он отсекает. Собственно говоря, дугу можно физически задать двумя параметрами - длиной (в единицах длины, соответственно) кривой от А до В, либо же угловой величиной (в единицах плоского угла - в град или рад), соразмерной со значением центрального угла для данной дуги.

Более того, зависимость между углом при центре окружности и дугой, отсекаемой им, используется для определения внесистемной единицы плоского угла - радиана. Значение в один радиан имеет плоский угол, который отсекает на окружности дугу, равную радиусу этой окружности, при условии, что центр окружности и вершина угла совпадают в пространстве. Радиан равен значению в чуть менее 60 градусов. При этом линейные размеры радиуса и самой окружности во внимание не берутся. Чаще всего дугу измеряют именно в угловой мере, ориентируясь на числовое значение радиан. Иногда, для простоты, используются и градусы.
Важнейшее свойство дуг на окружности - сумма угловых значений двух дуг, образованных одной и той же парой точек на окружности, всегда равна 360 градусам или чуть более 6 радианам. В частном же случае, угловой размер полуокружности равен 180 градусам

Инструкция

Дуга - это часть окружности, заключенная между двумя точками, лежащими на этой окружности. Любую дугу можно выразить через числовые значения. Ее главной характеристикой наравне с длинной является значение градусной меры.

Но при выделении на окружности одной дуги образуется другая. Поэтому для того чтобы однозначно понимать, о какой дуге идет речь, отметьте на выбранной дуге еще одну точку, например, С. Тогда приобретет вид АВС.

Отрезок, который образуется двумя точками, ограничивающими дугу, является хордой.

Градусную меру дуги можно найти через значение вписанного угла, который, имея точку вершины на самой окружности, опирается на данную дугу. Такой угол называется вписанным, и его градусная мера равна половине дуги, на которую он опирается.

Также в окружности существует центральный угол. Он также упирается на искомую дугу, а его вершина находится уже не на окружности, а в центре. И его числовое значение равно уже не половине градусной меры дуги, а ее целому значению.

Поняв, как вычисляется дуга через опирающийся на нее угол, можно применить этот закон в обратном направлении и вывести правило, что вписанный угол, который опирается на диаметр, является прямым. Так как диаметр делит окружность на две равные части, значит, любая из дуг имеет значение в 180 градусов. Следовательно, вписанный угол равен 90 градусов.

Также, исходя из способа поиска градусного значения дуги, справедливо правило, что углы, опирающиеся на одну дугу, имеют равное значение.

Значение градусной меры дуги часто применяется для вычисления длины окружности или самой дуги. Для этого используйте формулу L= π*R*α/180.

Слово « » имеет различные толкования. В геометрии угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки – вершины. Когда речь идет о прямых, острых, развернутых углах, то подразумеваются именно геометрические углы.

Как и любые фигуры в геометрии, углы можно сравнивать. Равенство углов определяется с помощью движения. Угол нетрудно разделить на две равные части. Разделить на три части немного сложнее, но все же это можно сделать с помощью линейки и циркуля. Кстати, эта задача казалась довольно трудной. Описать, что один угол больше или меньше другого, геометрически несложно.

В качестве единицы измерения углов принят – 1/180 развернутого угла. Величина угла – это число, показывающее, во раз угол, выбранный за единицу измерения, укладывается в рассматриваемой фигуре.

Каждый угол имеет градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180 градусам. Градусная мера угла считается равной сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом на плоскости, ограниченной его сторонами.

От любого луча в заданную плоскость можно отложить угол с некоторой градусной мерой, не превышающей 180 . Причем такой угол будет только один. Мерой плоского угла, который является частью полуплоскости, считается градусная мера угла с аналогичными сторонами. Мерой плоскости угла, содержащего полуплоскость, является значение 360 – α, где α – градусная мера дополнительного плоского угла.

Градусная мера угла дает возможность перейти от геометрического их описания к числовому. Так, под прямым углом понимается угол, равный 90 градусам, тупой угол – это угол, меньше 180 градусов, но больше 90, острый угол не превышает 90 градусов.

Помимо градусной, существует радианная мера угла. В планиметрии длина как L, радиус – r, а соответствующий центральный угол – α. Причем эти параметры связаны соотношением α = L/r. Эта лежит в основе радианной меры измерения углов. Если L=r, то угол α будет равен одному радиану. Итак, радианная мера угла – это отношение длины дуги, проведенной произвольным радиусом и заключенной между сторонами этого угла, к радиусу дуги. Полный оборот в градусном измерении (360 градусов) соответствует 2π в радианном. Один 57,2958 градусам.

Видео по теме

Источники:

градусная мера углов формула

Измерение величин плоских в градусах придумали в древнем Вавилоне задолго до начала нашей эры. Жители этого государства предпочитали шестидесятеричную систему исчисления, поэтому деление углов на 180 или 360 единиц сегодня выглядит немного странно. Впрочем, предлагаемые в современной системе СИ единицы измерения, кратные числу Пи, не мене странны. Этими двумя вариантами не ограничиваются используемые сегодня обозначения углов, поэтому задача перевода их величин в градусную меру возникает достаточно часто.

Инструкция

Если в градусную меру нужно перевести величину угла в радианах, исходите из того, что одному градусу соответствует число радиан, равное 1/180 доле числа Пи. Эта математическая константа имеет бесконечное число знаков после запятой, поэтому и коэффициент перевода тоже является бесконечной десятичной дробью. Это , что абсолютно точного значения в формате десятичной дроби получить не получится, поэтому коэффициент перевода нужно округлить. Например, при точности в одну миллиардную долю единицы расчетный коэффициент будет равен 0,017453293. После округления до нужного числа знаков, разделите на этот коэффициент исходное число радиан, и вы получите градусную меру угла.