Παραδείγματα Bernoulli. Τοπικό θεώρημα Laplace

Ας διεξαχθούν δοκιμές σχετικά με το συμβάν Α. Ας εισαγάγουμε τα ακόλουθα συμβάντα: Аk -- γεγονός Α πραγματοποιήθηκε κατά τη διάρκεια του k-ου τεστ, $ k=1,2,\dots , n$. Τότε το $\bar(A)_(k) $ είναι το αντίθετο γεγονός (το συμβάν Α δεν συνέβη κατά τη διάρκεια της k-ης δοκιμής, $k=1,2,\dots , n$).

Τι είναι οι ομότιμες και ανεξάρτητες δοκιμές

Ορισμός

Οι δοκιμές καλούνται του ίδιου τύπου σε σχέση με το συμβάν A εάν οι πιθανότητες των γεγονότων $A1, A2, \dots , An$ είναι οι ίδιες: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (δηλαδή, η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α σε μια δοκιμή είναι σταθερή σε όλες τις δοκιμές).

Προφανώς, σε αυτή την περίπτωση οι πιθανότητες αντίθετα γεγονόταταιριάζουν επίσης: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar(A)_(n))$.

Ορισμός

Οι δοκιμές ονομάζονται ανεξάρτητες σε σχέση με το συμβάν Α εάν τα συμβάντα $A1, A2, \dots , An$ είναι ανεξάρτητα.

Σε αυτήν την περίπτωση

Σε αυτήν την περίπτωση, η ισότητα διατηρείται όταν οποιοδήποτε γεγονός Ak αντικαθίσταται από $\bar(A)_(k) $.

Έστω, σε σχέση με το γεγονός Α, μια σειρά από n παρόμοια ανεξάρτητα τεστ. Φέρνουμε τον συμβολισμό: p - η πιθανότητα του γεγονότος Α σε ένα τεστ. q είναι η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος. Έτσι P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ για οποιοδήποτε k και p+q=1.

Η πιθανότητα ότι σε μια σειρά n δοκιμών το γεγονός A θα συμβεί ακριβώς k φορές (0 ≤ k ≤ n) υπολογίζεται από τον τύπο:

$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)

Η ισότητα (1) ονομάζεται τύπος Bernoulli.

Η πιθανότητα ότι σε μια σειρά από n ανεξάρτητες δοκιμές του ίδιου τύπου το γεγονός Α θα συμβεί τουλάχιστον k1 φορές και το πολύ k2 φορές υπολογίζεται από τον τύπο:

$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)

Εφαρμογή του τύπου Bernoulli για μεγάλες αξίεςΤο n οδηγεί σε δυσκίνητους υπολογισμούς, επομένως σε αυτές τις περιπτώσεις είναι καλύτερο να χρησιμοποιείτε άλλους τύπους - ασυμπτωτικούς.

Γενίκευση του σχήματος Bernoulli

Εξετάστε μια γενίκευση του σχήματος Bernoulli. Αν σε μια σειρά από n ανεξάρτητες δοκιμές, καθεμία από τις οποίες έχει m ασυμβίβαστα κατά ζεύγη και πιθανά αποτελέσματα Ak με αντίστοιχες πιθανότητες Рk= рk(Аk). Τότε ισχύει ο τύπος πολυωνυμικής κατανομής:

Παράδειγμα 1

Η πιθανότητα να κολλήσετε γρίπη κατά τη διάρκεια μιας επιδημίας είναι 0,4. Βρείτε την πιθανότητα από τους 6 υπαλλήλους της εταιρείας να αρρωστήσουν

1. ακριβως 4 εργαζομενοι?
2. όχι περισσότερους από 4 εργαζόμενους.

Λύση. 1) Προφανώς, για την επίλυση αυτού του προβλήματος, ισχύει ο τύπος Bernoulli, όπου n=6; k=4; p=0,4; q=1-p=0,6. Εφαρμόζοντας τον τύπο (1), παίρνουμε: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \περίπου 0,138$.

Για την επίλυση αυτού του προβλήματος, ισχύει ο τύπος (2), όπου k1=0 και k2=4. Εχουμε:

\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0,4^(0) \cdot 0,6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0,4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ περίπου 0,959.) \end(array)\]

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι αυτή η εργασία είναι πιο εύκολο να λυθεί χρησιμοποιώντας το αντίθετο γεγονός - περισσότεροι από 4 υπάλληλοι αρρώστησαν. Στη συνέχεια, λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο (7) σχετικά με τις πιθανότητες αντίθετων γεγονότων, παίρνουμε:

Απάντηση: $\ $0,959.

Παράδειγμα 2

Ένα δοχείο περιέχει 20 άσπρες και 10 μαύρες μπάλες. Βγάζονται 4 μπάλες και κάθε μπάλα που βγαίνει επιστρέφεται στη λάρνακα πριν τραβηχτεί η επόμενη και αναμειγνύονται οι μπάλες στη λάρνακα. Βρείτε την πιθανότητα ότι από τις τέσσερις μπάλες που κληρώθηκαν θα υπάρχουν 2 λευκές μπάλες στο σχήμα 1.

Εικόνα 1.

Λύση. Αφήστε το γεγονός Α να συνίσταται στο γεγονός ότι - πήρε λευκή μπάλα. Τότε οι πιθανότητες $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .

Σύμφωνα με τον τύπο Bernoulli, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \δεξιά)^(2) =\frac(8)(27) $.

Απάντηση: $\frac(8)(27) $.

Παράδειγμα 3

Προσδιορίστε την πιθανότητα μια οικογένεια με 5 παιδιά να μην έχει περισσότερα από 3 κορίτσια. Οι πιθανότητες απόκτησης ενός αγοριού και ενός κοριτσιού υποτίθεται ότι είναι ίδιες.

Λύση. Πιθανότητα να έχετε κορίτσι $\μερική =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-πιθανότητα να αποκτήσετε αγόρι. Δεν υπάρχουν περισσότερα από τρία κορίτσια σε μια οικογένεια, που σημαίνει ότι γεννήθηκαν είτε ένα, είτε δύο, είτε τρία κορίτσια, είτε όλα τα αγόρια της οικογένειας.

Βρείτε τις πιθανότητες να μην υπάρχουν κορίτσια στην οικογένεια, γεννήθηκαν ένα, δύο ή τρία κορίτσια: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,

\ \ \

Επομένως, η απαιτούμενη πιθανότητα είναι $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .

Απάντηση: $\frac(13)(16)$.

Παράδειγμα 4

Ο πρώτος σουτέρ με μία βολή μπορεί να χτυπήσει την πρώτη δεκάδα με πιθανότητα 0,6, ο εννιά με πιθανότητα 0,3 και ο οκτώ με πιθανότητα 0,1. Ποια είναι η πιθανότητα, με 10 βολές, να χτυπήσει δέκα έξι φορές, εννέα τρεις φορές και οκτώ οκτώ φορές;

Πριν από την παρουσίαση της τρίτης ερώτησης της διάλεξης, ο δάσκαλος επισημαίνει το πρόβλημα που καθιστά αναγκαία την εξέταση του θεωρήματος για την επανάληψη των πειραμάτων, σημειώνοντας παράλληλα ότι κατά τη μελέτη της θεωρίας πιθανοτήτων, μόνο ένα συγκεκριμένο θεώρημα θα θεωρηθεί ότι σχετίζεται με την επανάληψη. ανεξάρτητων πειραμάτων, σε καθένα από τα οποία το γεγονός Α εμφανίζεται με σταθερή πιθανότητα.

Στη συνέχεια ο δάσκαλος δείχνει την απόδειξη αυτού του θεωρήματος (την παραγωγή του τύπου Bernoulli).

Για να εξηγήσει τη φυσική ουσία του θεωρήματος που εξετάζουμε, ο δάσκαλος χρησιμοποιεί έναν προβολέα και ετοίμασε διαφάνειες.

Στο τέλος της διάλεξης, ο καθηγητής εξηγεί γιατί η κατανομή πιθανοτήτων της εμφάνισης του γεγονότος Α σε μια σειρά από n δοκιμές, σε συνθήκες όπου είναι ασύμβατες και αποτελούν μια πλήρη ομάδα γεγονότων, ονομάζεται διωνυμική και εφιστά την προσοχή στη σημασία της γνώσης αυτής της κατανομής για την επίλυση εφαρμοσμένων προβλημάτων.

Μέχρι στιγμής, έχουμε εξετάσει συνδυασμούς ενός σχετικά μικρού αριθμού γεγονότων, όταν η άμεση εφαρμογή των κανόνων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων δεν προκαλούσε μεγάλες υπολογιστικές δυσκολίες. Ωστόσο, με την αύξηση του αριθμού των γεγονότων ή του αριθμού των δοκιμών στις οποίες μπορεί να εμφανιστεί το συμβάν που μας ενδιαφέρει, η μελετημένη μέθοδος υπολογισμού γίνεται πολύ δυσκίνητη.

Σε αυτή την περίπτωση, το πρόβλημα επιλύθηκε πολύ απλά μόνο εάν τα πειράματα ήταν ανεξάρτητα.

Καλούνται διάφορα πειράματα ανεξάρτητος, εάν η πιθανότητα του ενός ή του άλλου αποτελέσματος καθενός από τα πειράματα δεν εξαρτάται από τα αποτελέσματα που είχαν τα άλλα πειράματα.

Στην πράξη, υπάρχουν περιπτώσεις όπου η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός ΑΛΛΑσε όλα τα ανεξάρτητα πειράματα μπορεί να είναι είτε τα ίδια είτε να αλλάζουν από εμπειρία σε εμπειρία. Για παράδειγμα, όταν ρυθμίζετε τη φωτιά μετά από κάθε βολή, η πιθανότητα να χτυπήσετε τον στόχο με κάθε βολή αλλάζει.

Στην περίπτωση που σε ανεξάρτητα πειράματα η πιθανότητα εμφάνισης ενός γεγονότος από εμπειρία σε εμπειρία αλλάζει, χρησιμοποιείται το γενικό θεώρημα για την επανάληψη των πειραμάτων και όταν σε ανεξάρτητα πειράματα η πιθανότητα εμφάνισης ενός γεγονότος δεν αλλάζει από την εμπειρία για την εμπειρία, χρησιμοποιείται το συγκεκριμένο θεώρημα για την επανάληψη των πειραμάτων.

Κατά τη διάρκεια της θεωρίας πιθανοτήτων που μελετάμε, θα εξετάσουμε μόνο έναν συγκεκριμένο όρο σχετικά με την επανάληψη των πειραμάτων, όταν είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός ΑΛΛΑσε μια σειρά από n ανεξάρτητα πειράματα, σε καθένα από τα οποία το γεγονός Α συμβαίνει με την ίδια πιθανότητα.

Για παράδειγμα, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η πιθανότητα ότι με πέντε βολές από ένα όπλο σε σταθερές ρυθμίσεις, θα ληφθούν ακριβώς δύο χτυπήματα στον στόχο, εάν οι βολές είναι ανεξάρτητες και η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος είναι γνωστή και δεν αλλάζει για κάθε βολή.

Εάν κάνουμε πιθανούς συνδυασμούς της εμφάνισης του γεγονότος που μας ενδιαφέρει A 1, τότε παίρνουμε:

Θα υπάρχουν 10 πιθανοί συνδυασμοί στους οποίους θα συμβεί το γεγονός A = (πάρτε 2 χτυπήματα με πέντε βολές).

Εφαρμόζοντας το θεώρημα για το άθροισμα και το γινόμενο ανεξάρτητων γεγονότων, θα έχουμε:

Η αύξηση του αριθμού των γεγονότων που μας ενδιαφέρουν ή του αριθμού των δοκιμών θα οδηγήσει σε ακόμη μεγαλύτερη αύξηση του όγκου των υπολογιστικών πράξεων, επομένως προκύπτει το πρόβλημα της εύρεσης λιγότερο χρονοβόρων μεθόδων υπολογισμού.

Διατύπωση του προβλήματος:

Ας υποτεθεί ότι υπό τις ίδιες συνθήκες πρέπει να πραγματοποιηθούν n ανεξάρτητες δοκιμές, το αποτέλεσμα καθενός από τις οποίες μπορεί να είναι η έναρξη ή τα συμβάντα ΑΛΛΑ, ή το αντίθετό του .

Σημειώστε με ΑΛΛΑ 1 εμφάνιση ενός γεγονότος ΑΛΛΑστην πρώτη δοκιμή, ΑΛΛΑ 2 - στο δεύτερο τεστ, ΑΛΛΑ n- στην τελευταία δοκιμή.

Λόγω της σταθερότητας των συνθηκών δοκιμής:

Ρ(Α 1 ) = P(A 2 ) = … P(A n ) = σελ

Μας ενδιαφέρει η πιθανότητα ότι το συμβάν Α θα συμβεί ακριβώς μία φορά κατά τη διάρκεια n δοκιμών και δεν θα συμβεί στις υπόλοιπες n-m δοκιμές (δηλαδή, το γεγονός αντίθετο από το γεγονός Α θα συμβεί - ).

Ας υποθέσουμε ότι το γεγονός που μας ενδιαφέρει ΑΛΛΑεμφανίζεται στη σειρά m φορές, ξεκινώντας από την πρώτη, δηλ. λαμβάνει χώρα μια εκδήλωση μι.

Ε= Α 1 ΑΛΛΑ 2 … ΑΛΛΑ Μ -1 ΑΛΛΑ Μ 
(1)

Μ n- Μ

Σύμφωνα με τη συνθήκη επανάληψης της δοκιμής, τα γεγονότα που περιλαμβάνονται σε αυτόν τον συνδυασμό είναι ανεξάρτητα, ενώ οι πιθανότητες εμφάνισης των γεγονότων A 1 , ΑΛΛΑ 2 ,… ΑΛΛΑ Μ -1 , ΑΛΛΑ Μίδιοι και ίσοι p: P(A 1 ) = P(A 2 ) =…= Ρ(Α Μ ) = p,και οι πιθανότητες να μην συμβούν γεγονότα
είναι ίδιοι και ίσοι q=1-p:.

Εφαρμόζοντας τον κανόνα του πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων για ανεξάρτητα γεγονότα στην έκφραση 1, έχουμε:

P(E) = P(A 1 ) Ρ(Α 2 ) … Ρ(Α Μ -1 ) Ρ(Α Μ ) R(
= σελ Μ (1-p) n  - Μ = σελ Μ q n - Μ

Λόγω της σταθερότητας των συνθηκών δοκιμής, υποθέσαμε ότι το γεγονός μας ενδιαφέρει ΑΛΛΑεμφανίζεται διαδοχικά m φορές, ξεκινώντας από την πρώτη. Αλλά το γεγονός ΑΛΛΑσε nοι δοκιμές μπορούν να έρθουν ακριβώς Μφορές σε διάφορες ακολουθίες ή συνδυασμούς. Ταυτόχρονα, δεν μας ενδιαφέρει σε ποια συγκεκριμένη ακολουθία εμφανίζεται ακριβώς το γεγονός Α Μμια φορά.

Ο αριθμός τέτοιων συνδυασμών είναι ίσος με τον αριθμό των συνδυασμών από n στοιχεία από Μ.

Δεδομένου ότι αυτοί οι συνδυασμοί γεγονότων (όπως οι συνδυασμοί Ε) είναι ασυμβίβαστοι και δεν μας ενδιαφέρει η σειρά εμφάνισης του γεγονότος ΑΛΛΑακριβώς στο τεστ Μφορές, δηλώνοντας στη συνέχεια την πιθανότητα να μας ενδιαφέρει μέσω R Μ, παίρνουμε:

R Μ =
R Μ (1-p) n - Μ =
=

όπου
- αριθμός συνδυασμών των nστοιχεία από Μ.

Αυτός ο τύπος πήρε το όνομά του από τον τύπο του Bernoulli.

Ο τύπος Bernoulli σάς επιτρέπει να λάβετε μια απάντηση στην ερώτηση: ποια είναι η πιθανότητα, όταν επαναλαμβάνετε n ανεξάρτητες δοκιμές, κάποιο γεγονός ΑΛΛΑέρχεται ακριβώς Μφορές αν σε καθεμία από αυτές τις δοκιμές η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν είναι ΑΛΛΑσταθερό και ίσο P(A) = p.

Ο παραπάνω τύπος Bernoulli έχει εξαιρετική σημασία στη θεωρία των πιθανοτήτων για το λόγο ότι συνδέεται με την επανάληψη των δοκιμών υπό τις ίδιες συνθήκες, δηλ. με τέτοιες συνθήκες στις οποίες εκδηλώνονται οι νόμοι της θεωρίας πιθανοτήτων.

Συμπέρασμα διάλεξης:

Στη διάλεξη, εξετάσαμε τα θεμελιώδη ζητήματα της θεωρίας πιθανοτήτων σε σχέση με τυχαίες μεταβλητές, εισαγάγαμε την κύρια εννοιολογική συσκευή που απαιτείται για περαιτέρω μελέτη του κλάδου: τον ορισμό τυχαία μεταβλητή, την ταξινόμησή τους· η έννοια του νόμου της κατανομής και η μορφή του για διάφοροι τύποιτυχαία μεταβλητή.

Κατά την προετοιμασία για επόμενες διαλέξεις και πρακτικές ασκήσεις, θα πρέπει να συμπληρώσετε ανεξάρτητα τις σημειώσεις των διαλέξεων σας με μια εις βάθος μελέτη της συνιστώμενης βιβλιογραφίας και την επίλυση των προτεινόμενων προβλημάτων.

Επιπλέον, στα επόμενα μαθήματα, θα μελετήσουμε θεωρήματα και εξαρτήσεις που μας επιτρέπουν να προσδιορίσουμε την πιθανότητα μιας τυχαίας μεταβλητής να εμφανίζεται τον απαιτούμενο αριθμό φορές ή σε ένα συγκεκριμένο διάστημα, για παράδειγμα, την πιθανότητα να χτυπήσει έναν στόχο.

Εξερευνώ:

Wentzel E.S. Θεωρία Πιθανοτήτων. Σχολικό βιβλίο. Όγδοη έκδοση, στερεότυπη. - Μ.: μεταπτυχιακό σχολείο, 2002 - 575 σελ. – σελ. 67-78, 80-84

Venttsel E.S., Ovcharov L.A. Θεωρία πιθανοτήτων και οι μηχανικές εφαρμογές της. Φροντιστήριο. Τρίτη έκδοση, αναθεωρημένη και διευρυμένη. - Μ .: "Ακαδημία", 2003 - 464 σελ. – σελ. 73-93

Gmurman V.E. Θεωρία Πιθανοτήτων και Μαθηματική Στατιστική. Φροντιστήριο. Δέκατη έκδοση, στερεότυπη.-Μ.: Λύκειο, 2004 - 480 σελ. σελ 64-73

n πειράματα εκτελούνται σύμφωνα με το σχήμα Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας p. Έστω Χ ο αριθμός των επιτυχιών. Η τυχαία μεταβλητή X έχει το εύρος (0,1,2,...,n). Οι πιθανότητες αυτών των τιμών μπορούν να βρεθούν από τον τύπο: , όπου C m n είναι ο αριθμός των συνδυασμών από n σε m.
Η σειρά διανομής έχει τη μορφή:

Χ	0	1	...	Μ	n
Π	(1-p)n	np(1-p) n-1	...	C m n p m (1-p) n-m	p n

Αυτός ο νόμος κατανομής ονομάζεται διωνυμικός.

Ανάθεση υπηρεσίας. Μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση διωνυμική σειρά διανομήςκαι υπολογισμός όλων των χαρακτηριστικών της σειράς: μαθηματική προσδοκία, διακύμανση και τυπική απόκλιση. Συντάσσεται έκθεση με απόφαση σε μορφή Word (παράδειγμα).

Αριθμός δοκιμών: n= , Πιθανότητα p =
Με μικρή πιθανότητα p και μεγάλο αριθμό n (np τύπος Poisson.

Οδηγίες βίντεο

Σχέδιο δοκιμών Bernoulli

Αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής που κατανέμεται σύμφωνα με τον διωνυμικό νόμο

Η μαθηματική προσδοκία μιας τυχαίας μεταβλητής Χ, που κατανέμεται σύμφωνα με τον διωνυμικό νόμο.
M[X]=np

Διασπορά μιας τυχαίας μεταβλητής Χ, που κατανέμεται σύμφωνα με τον διωνυμικό νόμο.
D[X]=npq

Παράδειγμα #1. Το προϊόν μπορεί να είναι ελαττωματικό με πιθανότητα p = 0,3 το καθένα. Τρία στοιχεία επιλέγονται από μια παρτίδα. X είναι ο αριθμός των ελαττωματικών εξαρτημάτων μεταξύ των επιλεγμένων. Εύρεση (Εισαγάγετε όλες τις απαντήσεις ως δεκαδικά κλάσματα): α) σειρά διανομής X; β) συνάρτηση κατανομής F(x) .
Λύση. Η τυχαία μεταβλητή Χ έχει εύρος (0,1,2,3).
Ας βρούμε τη σειρά διανομής X.
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0,3) 3 = 0,34
P 3 (1) = np (1-p) n-1 = 3 (1-0,3) 3-1 = 0,44

P 3 (3) = p n = 0,3 3 = 0,027

x i	0	1	2	3
πι	0.34	0.44	0.19	0.027

Η μαθηματική προσδοκία βρίσκεται από τον τύπο M[X]= np = 3*0,3 = 0,9
Εξέταση: m = ∑ x i p i .
Μαθηματική προσδοκία M[X].
M[x] = 0*0,34 + 1*0,44 + 2*0,19 + 3*0,027 = 0,9
Η διασπορά βρίσκεται με τον τύπο D[X]=npq = 3*0,3*(1-0,3) = 0,63
Εξέταση: d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Διασπορά D[X].
D[X] = 0 2 *0,34 + 1 2 *0,44 + 2 2 *0,19 + 3 2 *0,027 - 0,9 2 = 0,63
Μέση τιμή τυπική απόκλισησ(x).

Συνάρτηση κατανομής F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3) = 1

1. Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε μία δοκιμή είναι 0,6. Γίνονται 5 δοκιμές. Να συνθέσετε τον νόμο κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ - τον αριθμό των εμφανίσεων ενός γεγονότος.
2. Να συνθέσετε τον νόμο κατανομής της τυχαίας μεταβλητής Χ του αριθμού των χτυπημάτων με τέσσερις βολές, εάν η πιθανότητα να χτυπήσετε τον στόχο με μία βολή είναι 0,8.
3. Ένα νόμισμα πετιέται 7 φορές. Εύρημα αναμενόμενη αξίακαι η διακύμανση στον αριθμό των εμφανίσεων του εθνόσημου. Σημείωση: εδώ η πιθανότητα εμφάνισης του θυρεού είναι p = 1/2 (γιατί το νόμισμα έχει δύο όψεις).

Παράδειγμα #2. Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε μία μόνο δοκιμή είναι 0,6. Εφαρμόζοντας το θεώρημα Bernoulli, προσδιορίστε τον αριθμό των ανεξάρτητων δοκιμών, ξεκινώντας από τις οποίες η πιθανότητα η συχνότητα ενός γεγονότος να αποκλίνει από την πιθανότητά του ως προς απόλυτη τιμήλιγότερο από 0,1 , περισσότερο από 0,97 . (Απάντηση: 801)

Παράδειγμα #3. Οι μαθητές εκτελούν δοκιμήστο μάθημα της πληροφορικής. Η εργασία αποτελείται από τρεις εργασίες. Για να πάρετε έναν καλό βαθμό, πρέπει να βρείτε τις σωστές απαντήσεις σε τουλάχιστον δύο προβλήματα. Κάθε πρόβλημα έχει 5 απαντήσεις, εκ των οποίων μόνο μία είναι σωστή. Ο μαθητής επιλέγει μια απάντηση τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρει καλό βαθμό;
Λύση. Πιθανότητα να απαντηθεί σωστά η ερώτηση: p=1/5=0,2; n=3.
Αυτά τα δεδομένα πρέπει να εισαχθούν στην αριθμομηχανή. Δείτε P(2)+P(3) για την απάντηση.

Παράδειγμα #4. Η πιθανότητα ο σκοπευτής να χτυπήσει τον στόχο με μία βολή είναι (m+n)/(m+n+2) . n + 4 βολές. Βρείτε την πιθανότητα να χάσει όχι περισσότερες από δύο φορές.

Σημείωση. Η πιθανότητα να χάσει όχι περισσότερες από δύο φορές περιλαμβάνει τα ακόλουθα γεγονότα: ποτέ δεν χάνει P(4), αστοχεί μία φορά P(3), αστοχεί δύο φορές P(2).

Παράδειγμα αριθμός 5. Προσδιορίστε την κατανομή πιθανότητας του αριθμού των αεροσκαφών που απέτυχαν εάν πετάξουν 4 αεροσκάφη. Η πιθανότητα μη αποτυχίας λειτουργίας του αεροσκάφους Р=0,99. Ο αριθμός των αεροσκαφών που απέτυχαν σε κάθε πτήση κατανέμεται σύμφωνα με τον διωνυμικό νόμο.

1

1. Bogolyubov A.N. Μαθηματικά. Μηχανική: Βιογραφικός οδηγός. - Κίεβο: Naukova Dumka, 1983.

2. Gulay T.A., Dolgopolova A.F., Litvin D.B. Ανάλυση και αξιολόγηση της προτεραιότητας τμημάτων μαθηματικών κλάδων που μελετούν φοιτητές οικονομικών ειδικοτήτων γεωργικά πανεπιστήμια// Δελτίο αγροτοβιομηχανικού συγκροτήματος Σταυρούπολης. - 2013. - Νο. 1 (9). - Σ. 6-10.

3. Dolgopolova A.F., Gulay T.A., Litvin D.B. Προοπτικές εφαρμογής μαθηματικές μεθόδουςσε οικονομική έρευνα// Αγροτική επιστήμη, δημιουργικότητα, ανάπτυξη. - 2013. - Σ. 255-257.

Στα μαθηματικά, αρκετά συχνά υπάρχουν προβλήματα στα οποία υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός απόεπαναλήψεις της ίδιας συνθήκης, δοκιμής ή πειράματος. Το αποτέλεσμα κάθε δοκιμής θα θεωρείται τελείως διαφορετικό αποτέλεσμα από το προηγούμενο. Εξάρτηση στα αποτελέσματα επίσης δεν θα παρατηρηθεί. Ως αποτέλεσμα δοκιμής, μπορούν να διακριθούν πολλές πιθανότητες στοιχειωδών συνεπειών: η εμφάνιση ενός συμβάντος (Α) ή η εμφάνιση ενός συμβάντος που συμπληρώνει το Α.

Τότε ας προσπαθήσουμε να υποθέσουμε ότι η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Р(А) είναι κανονική και ισούται με р (0<р<1).

Παραδείγματα μιας τέτοιας πρόκλησης μπορεί να είναι ένας μεγάλος αριθμός εργασιών, όπως το πέταγμα ενός νομίσματος, η εξαγωγή ασπρόμαυρων μπάλες από μια σκούρα τσάντα ή η γέννηση ασπρόμαυρων κουνελιών.

Ένα τέτοιο πείραμα ονομάζεται επαναλαμβανόμενη ανεξάρτητη διαμόρφωση δοκιμής ή σχήμα Bernoulli.

Ο Jacob Bernoulli γεννήθηκε σε οικογένεια φαρμακοποιού. Ο πατέρας προσπάθησε να δώσει οδηγίες στον γιο του για την ιατρική διαδρομή, αλλά ο J. Bernoulli άρχισε να ενδιαφέρεται μόνος του για τα μαθηματικά και αργότερα έγινε το επάγγελμά του. Κατέχει διάφορα τρόπαια σε έργα σχετικά με θέματα θεωρίας πιθανοτήτων και αριθμών, σειρών και διαφορικού λογισμού. Έχοντας μελετήσει τη θεωρία των πιθανοτήτων από ένα από τα έργα του Huygens "On Calculations in Gambling", ο Jacob άρχισε να ενδιαφέρεται για αυτό. Σε αυτό το βιβλίο δεν υπήρχε καν σαφής ορισμός της έννοιας της «πιθανότητας». Ήταν ο J. Bernoulli που εισήγαγε τις περισσότερες από τις σύγχρονες έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων στα μαθηματικά. Ο Μπερνούλι ήταν επίσης ο πρώτος που εξέφρασε την εκδοχή του για τον νόμο των μεγάλων αριθμών. Το όνομα του Τζέικομπ φέρεται από διάφορα έργα, θεωρήματα και σχήματα: «Αριθμοί Μπερνούλι», «Πολυώνυμο Μπερνούλι», «Διαφορική εξίσωση Μπερνούλι», «Κατανομή Μπερνούλι» και «Εξίσωση Μπερνούλι».

Ας επιστρέψουμε στην επανάληψη. Όπως ήδη αναφέρθηκε παραπάνω, ως αποτέλεσμα διαφόρων δοκιμών, είναι δυνατά δύο αποτελέσματα: είτε θα εμφανιστεί το συμβάν Α είτε το αντίθετο αυτού του συμβάντος. Το ίδιο το σχήμα Bernoulli υποδηλώνει την παραγωγή του ν-ου αριθμού τυπικών ελεύθερων πειραμάτων και σε καθένα από αυτά τα πειράματα μπορεί να εμφανιστεί το συμβάν Α που χρειαζόμαστε (η πιθανότητα αυτού του γεγονότος είναι γνωστή: P (A) \u003d p), το η πιθανότητα του αντίθετου γεγονότος από το γεγονός Α υποδεικνύεται με q \u003d P ( A)=1-p. Απαιτείται να προσδιοριστεί η πιθανότητα, κατά τον έλεγχο ενός άγνωστου αριθμού, το γεγονός Α να συμβεί ακριβώς k φορές.

Είναι σημαντικό να θυμάστε ότι η βασική προϋπόθεση κατά την επίλυση προβλημάτων χρησιμοποιώντας το σχήμα Bernoulli είναι η σταθερότητα. Χωρίς αυτό, το σχήμα χάνει κάθε νόημα.

Αυτό το σχήμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση προβλημάτων διαφόρων επιπέδων πολυπλοκότητας: από απλό (το ίδιο νόμισμα) έως σύνθετο (ενδιαφέρον). Ωστόσο, πιο συχνά το σχήμα Bernoulli χρησιμοποιείται για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων που σχετίζονται με τον έλεγχο των ιδιοτήτων διαφόρων προϊόντων και την εμπιστοσύνη σε μια ποικιλία μηχανισμών. Μόνο για την επίλυση του προβλήματος, πριν ξεκινήσετε την εργασία, όλες οι συνθήκες και οι τιμές πρέπει να είναι γνωστές εκ των προτέρων.

Δεν περιορίζονται όλα τα προβλήματα στη θεωρία πιθανοτήτων σε σταθερότητα υπό συνθήκες. Ακόμα κι αν πάρουμε για παράδειγμα ασπρόμαυρες μπάλες σε μια σκοτεινή τσάντα: όταν τραβιέται μια μπάλα, η αναλογία του αριθμού και των χρωμάτων των μπάλων στη τσάντα έχει αλλάξει, πράγμα που σημαίνει ότι η ίδια η πιθανότητα έχει αλλάξει.

Ωστόσο, εάν οι συνθήκες μας είναι σταθερές, τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε με ακρίβεια την απαιτούμενη πιθανότητα από εμάς ότι το γεγονός Α θα συμβεί ακριβώς k φορές από το n δυνατό.

Αυτό το γεγονός συντάχθηκε από τον Jacob Bernoulli σε ένα θεώρημα, το οποίο αργότερα έγινε γνωστό ως το όνομά του. Το «θεώρημα του Μπερνούλι» είναι ένα από τα κύρια θεωρήματα στη θεωρία πιθανοτήτων. Πρωτοδημοσιεύτηκε στο έργο του J. Bernoulli «The Art of Assumptions». Τι είναι αυτό το θεώρημα; «Αν η πιθανότητα p της εμφάνισης του γεγονότος Α σε κάθε δοκιμή είναι σταθερή, τότε η πιθανότητα Pk,n ότι το συμβάν θα συμβεί k φορές σε n δοκιμές που είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους είναι ίση με: , όπου q=1-p .»

Στην απόδειξη της αποτελεσματικότητας του τύπου, μπορούν να δοθούν εργασίες.

Εργασία #1:

Από n γυάλινα βάζα ανά μήνα αποθήκευσης, k είναι σπασμένα. Τυχαία πήραν m κουτιά. Βρείτε την πιθανότητα ανάμεσα σε αυτά τα βάζα l να μην σπάσει. n=250, k=10, m=8, l=4.

Λύση: Έχουμε ένα σχήμα Bernoulli με τιμές:

p=10/250=0,04 (πιθανότητα να σπάσουν οι τράπεζες).

n=8 (αριθμός δοκιμών).

k=8-4=4 (αριθμός σπασμένων βάζων).

Χρησιμοποιούμε τον τύπο Bernoulli

Πήρα:

Απάντηση: 0,0141

Εργασία #2:

Η πιθανότητα κατασκευής ελαττωματικού προϊόντος στην παραγωγή είναι 0,2. Βρείτε την πιθανότητα ότι από τα 10 προϊόντα που κατασκευάζονται σε αυτήν την παραγωγική μονάδα, ακριβώς το k πρέπει να είναι σε καλή κατάσταση. Εκτελέστε το διάλυμα για k = 0, 1, 10.

Μας ενδιαφέρει το γεγονός Α - η παραγωγή εξαρτημάτων που μπορούν να επισκευαστούν, που συμβαίνει μία φορά την ώρα με πιθανότητα p=1-0,2=0,8. Πρέπει να βρούμε την πιθανότητα το δεδομένο γεγονός να συμβεί k φορές. Το συμβάν Α είναι αντίθετο με το συμβάν «όχι Α», δηλ. κατασκευή ελαττωματικού προϊόντος.

Επομένως, έχουμε: n=10; p=0,8; q=0,2.

Ως αποτέλεσμα, βρίσκουμε την πιθανότητα ότι από τα 10 κατασκευασμένα προϊόντα όλα τα προϊόντα είναι ελαττωματικά (k=0), ότι ένα προϊόν είναι σε καλή κατάσταση (k=1), ότι δεν υπάρχουν καθόλου ελαττωματικά (k=10) :

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να σημειώσω ότι στη σύγχρονη εποχή, πολλοί επιστήμονες προσπαθούν να αποδείξουν ότι η «φόρμουλα Μπερνούλι» δεν συμμορφώνεται με τους νόμους της φύσης και ότι τα προβλήματα μπορούν να λυθούν χωρίς να την εφαρμόσουν στη χρήση. Φυσικά, αυτό είναι δυνατό, τα περισσότερα προβλήματα στη θεωρία των πιθανοτήτων μπορούν να εκτελεστούν χωρίς τον τύπο Bernoulli, το κύριο πράγμα είναι να μην μπερδεύεστε σε μεγάλους όγκους αριθμών.

Βιβλιογραφικός σύνδεσμος

Khomutova E.A., Kalinichenko V.A. Η ΦΟΡΜΟΥΛΑ ΤΟΥ BERNULLI ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ // International Student Scientific Bulletin. - 2015. - Αρ. 3-4 .;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (ημερομηνία πρόσβασης: 03/12/2019). Εφιστούμε στην προσοχή σας τα περιοδικά που εκδίδονται από τον εκδοτικό οίκο "Academy of Natural History"

Ως εκ τούτου, το κοντινό σας χόμπι θα είναι εξαιρετικά χρήσιμο. Επιπλέον, θα σας πω τι φταίει συντριπτική πλειοψηφίασυμμετέχοντες σε λαχεία και τυχερά παιχνίδια. ... Όχι, η πίστη ή μια αμυδρή ελπίδα να "χτυπήσει το τζάκποτ" δεν έχει καμία απολύτως σχέση με αυτό ;-) Χωρίς καν να ανοιγοκλείσουμε το μάτι, βουτάμε στο θέμα:

Τι ανεξάρτητα τεστ ? Σχεδόν όλα είναι ξεκάθαρα από το ίδιο το όνομα. Ας κάνουμε μερικές δοκιμές. Αν η πιθανότητα να συμβεί κάποιο γεγονός σε καθένα από αυτά δεν εξαρτάταιαπό τα αποτελέσματα των υπόλοιπων δοκιμών, τότε ... τελειώνουμε τη φράση σε χορωδία =) Μπράβο. Ταυτόχρονα, η φράση «ανεξάρτητες δοκιμές» σημαίνει συχνά αλλεπάλληλοςανεξάρτητα τεστ - όταν πραγματοποιούνται το ένα μετά το άλλο.

Τα πιο απλά παραδείγματα:
- ένα κέρμα πετιέται 10 φορές.
- Ένα ζάρι πετιέται 20 φορές.

Είναι ξεκάθαρο ότι η πιθανότητα να πάρει κεφάλια ή ουρές σε οποιαδήποτε δοκιμή δεν εξαρτάται από τα αποτελέσματα άλλων κυλίνδρων. Μια παρόμοια δήλωση, φυσικά, ισχύει και για τον κύβο.

Αλλά η διαδοχική αφαίρεση των φύλλων από την τράπουλα δεν είναι μια σειρά από ανεξάρτητες δοκιμές - όπως θυμάστε, αυτή είναι μια αλυσίδα εξαρτημένα γεγονότα. Ωστόσο, εάν η κάρτα επιστρέφεται κάθε φορά, τότε η κατάσταση θα γίνει "όπως θα έπρεπε".

Σπεύδω να παρακαλώ - έχουμε έναν άλλον Εξολοθρευτή ως καλεσμένο μας, ο οποίος είναι απολύτως αδιάφορος για τις επιτυχίες / αποτυχίες του, και επομένως η βολή του είναι πρότυπο σταθερότητας =):

Εργασία 1

Ο σκοπευτής εκτοξεύει 4 βολές στο στόχο. Η πιθανότητα να χτυπήσετε με κάθε βολή είναι σταθερή και ίση με . Βρείτε την πιθανότητα ότι:

α) ο σκοπευτής θα χτυπήσει μόνο μία φορά.
β) ο σκοπευτής θα χτυπήσει 2 φορές.

Λύση: διατυπώθηκε η συνθήκη γενικάκαι την πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με κάθε βολή θεωρείται διάσημος. Είναι ίση (αν είναι πολύ δύσκολο, αντιστοιχίστε μια συγκεκριμένη τιμή στην παράμετρο, για παράδειγμα,) .

Μόλις ξέρουμε , είναι εύκολο να βρούμε την πιθανότητα αστοχίας σε κάθε σουτ:
, δηλαδή και το «ku». γνωστή ποσότητα.

α) Σκεφτείτε ένα γεγονός "Ο σκοπευτής χτυπά μόνο μία φορά"και να δηλώσετε την πιθανότητα του με (οι δείκτες νοούνται ως "ένα χτύπημα στα τέσσερα"). Αυτό το γεγονός αποτελείται από 4 ασύμβατα αποτελέσματα: ο σκοπευτής θα χτυπήσει το 1ο ήστο 2ο ήστο 3ο ήστην 4η προσπάθεια.

Βρείτε την πιθανότητα ότι όταν πετάγονται 10 νομίσματα, τα κεφάλια θα βγουν σε 3 νομίσματα.

Εδώ, οι δοκιμές δεν επαναλαμβάνονται, αλλά εκτελούνται ταυτόχρονα, αλλά, ωστόσο, η ίδια φόρμουλα λειτουργεί:.

Η λύση θα διαφέρει ως προς το νόημα και ορισμένα σχόλια, ιδίως:
τρόπους που μπορείτε να επιλέξετε 3 νομίσματα, τα οποία θα πέσουν κεφάλια.
είναι η πιθανότητα να πάρει κεφάλια σε καθένα από τα 10 νομίσματα
και τα λοιπά.

Ωστόσο, στην πράξη, τέτοια προβλήματα δεν είναι τόσο συνηθισμένα και, προφανώς, για αυτόν τον λόγο, ο τύπος Bernoulli συνδέεται σχεδόν στερεοτυπικά μόνο με επαναλαμβανόμενες δοκιμές. Αν και, όπως μόλις αποδείχθηκε, η επαναληψιμότητα δεν είναι καθόλου απαραίτητη.

Η ακόλουθη εργασία για μια ανεξάρτητη λύση:

Εργασία 3

Ένα ζάρι ρίχνεται 6 φορές. Βρείτε την πιθανότητα ότι 5 βαθμοί:

α) δεν θα πέσει έξω (θα πέσει 0 φορές);
β) θα πέσει έξω 2 φορές?
γ) εγκαταλείπουν 5 φορές.

Στρογγυλοποιήστε τα αποτελέσματα σε 4 δεκαδικά ψηφία.

Σύντομη λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Προφανώς, στα παραδείγματα που εξετάζουμε, ορισμένα γεγονότα είναι πιο πιθανά και άλλα λιγότερο πιθανά. Έτσι, για παράδειγμα, με 6 ρολά της μήτρας, ακόμη και χωρίς υπολογισμούς, είναι διαισθητικά σαφές ότι οι πιθανότητες των γεγονότων των σημείων "α" και "βε" είναι πολύ μεγαλύτερες από την πιθανότητα να πέσει έξω το "πέντε" 5 φορές. Τώρα ας ορίσουμε την εργασία για εύρεση

Ο ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ αριθμός περιστατικών ενός συμβάντος σε ανεξάρτητες δοκιμές

Και πάλι, στο επίπεδο της διαίσθησης στο Πρόβλημα Νο. 3, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο πιο πιθανός αριθμός εμφανίσεων του "πέντε" είναι ίσος με ένα - στο κάτω-κάτω, υπάρχουν συνολικά έξι όψεις και με 6 ρολά της μήτρας , καθένα από αυτά πρέπει να πέσει κατά μέσο όρο μία φορά. Όσοι επιθυμούν μπορούν να υπολογίσουν την πιθανότητα και να δουν αν είναι μεγαλύτερη από τις «ανταγωνιστικές» τιμές και .

Ας διατυπώσουμε ένα αυστηρό κριτήριο: για να βρείτε τον πιο πιθανό αριθμό εμφανίσεων ενός τυχαίου συμβάντος σε ανεξάρτητες δοκιμές (με πιθανότητα σε κάθε δοκιμή)καθοδηγούνται από την ακόλουθη διπλή ανισότητα:

, και:

1) εάν η τιμή είναι κλασματική, τότε υπάρχει ένας μόνο πιο πιθανός αριθμός.
Συγκεκριμένα, αν είναι ακέραιος, τότε είναι ο πιο πιθανός αριθμός: ;

2) αν είναι ακέραιος, τότε υπάρχουν δύοοι πιο πιθανοί αριθμοί: και .

Ο πιο πιθανός αριθμός εμφανίσεων "πέντε" σε 6 ζάρια εμπίπτει στην ειδική περίπτωση της πρώτης παραγράφου:

Για να ενοποιήσουμε το υλικό, θα λύσουμε μερικά προβλήματα:

Εργασία 4

Η πιθανότητα ένας μπασκετμπολίστας να χτυπήσει το καλάθι όταν πετάει την μπάλα είναι 0,3. Βρείτε τον πιο πιθανό αριθμό χτυπημάτων σε 8 βολές και την αντίστοιχη πιθανότητα.

Και αυτός είναι, αν όχι ένας Εξολοθρευτής, τότε τουλάχιστον ένας ψυχρόαιμος αθλητής =)

Λύση: για να υπολογίσουμε τον πιο πιθανό αριθμό επισκέψεων, χρησιμοποιούμε τη διπλή ανισότητα . Σε αυτήν την περίπτωση:

- συνολικές βολές
- την πιθανότητα να χτυπήσετε το καλάθι με κάθε ρίψη.
είναι η πιθανότητα αστοχίας σε κάθε ρίψη.

Έτσι, ο πιο πιθανός αριθμός επιτυχιών σε 8 ρολά είναι εντός των παρακάτω ορίων:

Αφού το αριστερό περίγραμμα είναι κλασματικός αριθμός (στοιχείο #1), τότε υπάρχει μια ενιαία πιο πιθανή τιμή και, προφανώς, είναι ίση με .

Χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli , υπολογίστε την πιθανότητα σε 8 βολές να γίνουν ακριβώς 2 χτυπήματα:

Απάντηση: - ο πιο πιθανός αριθμός χτυπημάτων με 8 βολές,
είναι η αντίστοιχη πιθανότητα.

Μια παρόμοια εργασία για μια ανεξάρτητη λύση:

Εργασία 5

Το κέρμα πετιέται 9 φορές. Βρείτε την πιθανότητα του πιο πιθανού αριθμού εμφανίσεων ενός αετού

Δείγμα λύσης και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Μετά από μια συναρπαστική παρέκβαση, ας δούμε μερικά ακόμη προβλήματα και στη συνέχεια θα μοιραστώ το μυστικό του σωστού τζόγου και της λοταρίας.

Εργασία 6

Μεταξύ των προϊόντων που παράγονται σε αυτόματο μηχάνημα, κατά μέσο όρο, υπάρχει το 60% των προϊόντων πρώτης τάξης. Ποια είναι η πιθανότητα μεταξύ 6 τυχαία επιλεγμένων στοιχείων να υπάρχουν:

α) από 2 έως 4 προϊόντα της πρώτης τάξης.
β) τουλάχιστον 5 προϊόντα πρώτης τάξης.
γ) τουλάχιστον ένα προϊόν κατώτερης ποιότητας.

Η πιθανότητα παραγωγής ενός προϊόντος πρώτης κατηγορίας δεν εξαρτάται από την ποιότητα άλλων προϊόντων που παράγονται, επομένως εδώ μιλάμε για ανεξάρτητες δοκιμές. Προσπαθήστε να μην αμελήσετε την ανάλυση της κατάστασης, διαφορετικά μπορεί να αποδειχθεί ότι τα γεγονότα εξαρτώμενοςΉ το πρόβλημα είναι κάτι εντελώς άλλο.

Λύση: η πιθανότητα είναι κρυπτογραφημένη ως ποσοστό, το οποίο, υπενθυμίζω, πρέπει να διαιρεθεί με το εκατό: - την πιθανότητα το επιλεγμένο προϊόν να είναι της 1ης τάξης.
Τότε: - η πιθανότητα να μην είναι πρώτης τάξεως.

α) Εκδήλωση «Μεταξύ 6 τυχαία επιλεγμένων προϊόντων θα υπάρχουν από 2 έως 4 προϊόντα της πρώτης τάξης»αποτελείται από τρία ασύμβατα αποτελέσματα:

μεταξύ των προϊόντων θα υπάρχουν 2 πρώτης κατηγορίας ή 3 πρώτη τιμή ή 4 πρώτης τάξης.

Είναι πιο βολικό να αντιμετωπίζουμε τα αποτελέσματα χωριστά. Χρησιμοποιούμε τη φόρμουλα Bernoulli τρεις φορές :

- την πιθανότητα ότι κατά τη διάρκεια της ημέρας τουλάχιστον 5 στους έξι υπολογιστές θα λειτουργούν χωρίς αποτυχία.

Ούτε αυτή η τιμή θα μας ταιριάζει, καθώς είναι μικρότερη από την απαιτούμενη αξιοπιστία του κέντρου υπολογιστών:

Έτσι, ούτε έξι υπολογιστές είναι αρκετοί. Ας προσθέσουμε ένα ακόμα:

3) Αφήστε να υπάρχουν υπολογιστές στο κέντρο υπολογιστών. Τότε 5, 6 ή 7 υπολογιστές θα πρέπει να λειτουργούν χωρίς αποτυχία. Χρησιμοποιώντας τον τύπο Bernoulli και Θεώρημα πρόσθεσης για τις πιθανότητες ασυμβίβαστων γεγονότων, βρίσκουμε την πιθανότητα ότι κατά τη διάρκεια της ημέρας τουλάχιστον 5 υπολογιστές στους επτά θα λειτουργούν χωρίς αποτυχία.