Δύο είναι ισοδύναμα. Ισοδύναμοι τύποι λογικής άλγεβρας

Ενότητα 2. Λογική ισοδυναμία τύπων. Κανονικές μορφές για τύπους προτασιακής άλγεβρας

Σχέση ισοδυναμίας

Χρησιμοποιώντας πίνακες αλήθειας, μπορείτε να καθορίσετε για ποια σύνολα τιμών αλήθειας των μεταβλητών εισόδου ένας τύπος θα λάβει αληθή ή ψευδή τιμή (καθώς και μια δήλωση που έχει την αντίστοιχη λογική δομή), ποιοι τύποι θα είναι ταυτολογίες ή αντιφάσεις και προσδιορίστε επίσης εάν δύο δεδομένοι τύποι ισοδύναμος.

Στη λογική, δύο προτάσεις λέγονται ισοδύναμες αν είναι και οι δύο σωστές ή ψευδείς. Η λέξη "ταυτόχρονα" σε αυτή τη φράση είναι διφορούμενη. Έτσι, για τις προτάσεις "Αύριο θα είναι Τρίτη" και "Χθες ήταν Κυριακή", αυτή η λέξη έχει κυριολεκτική σημασία: τη Δευτέρα είναι και οι δύο αληθείς και τις υπόλοιπες ημέρες της εβδομάδας είναι και οι δύο ψευδείς. Για τις εξισώσεις" x = 2" Και " 2x = 4""ταυτόχρονα" σημαίνει "στις ίδιες τιμές της μεταβλητής." Οι προβλέψεις «Θα βρέξει αύριο» και «Δεν είναι αλήθεια ότι δεν θα βρέξει αύριο» θα επιβεβαιωθούν ταυτόχρονα (αποδεικνύεται αλήθεια) ή δεν θα επιβεβαιωθούν (αποδείχθηκαν ψευδείς). Στην ουσία, πρόκειται για την ίδια πρόβλεψη που εκφράζεται με δύο διαφορετικές μορφές, οι οποίες μπορούν να αναπαρασταθούν από τους τύπους ΧΚαι . Αυτοί οι τύποι είναι και αληθείς και ψευδείς. Για να ελέγξετε, αρκεί να δημιουργήσετε έναν πίνακα αλήθειας:

Χ
1	0	1
0	1	0

Βλέπουμε ότι οι τιμές αλήθειας στην πρώτη και την τελευταία στήλη συμπίπτουν. Είναι φυσικό να θεωρούνται ισοδύναμοι τέτοιοι τύποι, καθώς και οι αντίστοιχες προτάσεις.

Οι τύποι F 1 και F 2 λέγονται ισοδύναμοι εάν το ισοδύναμά τους είναι ταυτολογία.

Η ισοδυναμία δύο τύπων γράφεται ως εξής: (διαβάστε: τύπος ΣΤ 1ισοδυναμεί με τον τύπο F 2).

Υπάρχουν τρεις τρόποι για να ελέγξετε εάν οι τύποι είναι ισοδύναμοι: 1) να δημιουργήσετε το ισοδύναμό τους και να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα αλήθειας για να ελέγξετε αν πρόκειται για ταυτολογία. 2) για κάθε τύπο, δημιουργήστε έναν πίνακα αλήθειας και συγκρίνετε τα τελικά αποτελέσματα. εάν στις στήλες που προκύπτουν με τα ίδια σύνολα μεταβλητών τιμών οι τιμές αλήθειας και των δύο τύπων είναι ίσες, τότε οι τύποι είναι ισοδύναμοι. 3) χρησιμοποιώντας ισοδύναμους μετασχηματισμούς.

Παράδειγμα 2.1:Μάθετε εάν οι τύποι είναι ισοδύναμοι: 1) , ; 2), .

1) Ας χρησιμοποιήσουμε την πρώτη μέθοδο για τον προσδιορισμό της ισοδυναμίας, δηλαδή θα μάθουμε αν η ισοδυναμία των τύπων είναι επίσης ταυτολογία.

Ας δημιουργήσουμε έναν ισοδύναμο τύπο: . Ο τύπος που προκύπτει περιέχει δύο διαφορετικές μεταβλητές ( ΕΝΑΚαι ΣΕ) και 6 πράξεις: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . Αυτό σημαίνει ότι ο αντίστοιχος πίνακας αλήθειας θα έχει 5 σειρές και 8 στήλες:

ΕΝΑ	ΣΕ
1	1	0	0	0	1	0	1
1	0	0	1	1	0	1	1
0	1	1	0	1	0	1	1
0	0	1	1	1	0	1	1

Από την τελευταία στήλη του πίνακα αληθείας είναι σαφές ότι η κατασκευασμένη ισοδυναμία είναι ταυτολογία και, επομένως, .

2) Για να διαπιστώσουμε αν οι τύποι είναι ισοδύναμοι, χρησιμοποιούμε τη δεύτερη μέθοδο, δηλαδή συνθέτουμε έναν πίνακα αλήθειας για κάθε έναν από τους τύπους και συγκρίνουμε τις στήλες που προκύπτουν. ( Σχόλιο. Για να χρησιμοποιηθεί αποτελεσματικά η δεύτερη μέθοδος, είναι απαραίτητο όλοι οι μεταγλωττισμένοι πίνακες αλήθειας να ξεκινούν το ίδιο, δηλαδή τα σύνολα των μεταβλητών τιμών ήταν τα ίδια στις αντίστοιχες σειρές .)

Ο τύπος περιέχει δύο διαφορετικές μεταβλητές και 2 πράξεις, που σημαίνει ότι ο αντίστοιχος πίνακας αλήθειας έχει 5 σειρές και 4 στήλες:

ΕΝΑ	ΣΕ
1	1	1	0
1	0	0	1
0	1	1	0
0	0	1	0

Ο τύπος περιέχει δύο διαφορετικές μεταβλητές και 3 πράξεις, που σημαίνει ότι ο αντίστοιχος πίνακας αλήθειας έχει 5 σειρές και 5 στήλες:

ΕΝΑ	ΣΕ
1	1	0	0	1
1	0	0	1	1
0	1	1	0	0
0	0	1	1	1

Συγκρίνοντας τις προκύπτουσες στήλες των μεταγλωττισμένων πινάκων αλήθειας (καθώς οι πίνακες αρχίζουν το ίδιο, δεν μπορούμε να δώσουμε προσοχή στα σύνολα τιμών μεταβλητών), βλέπουμε ότι δεν ταιριάζουν και, επομένως, οι τύποι δεν είναι ισοδύναμοι ().

Η έκφραση δεν είναι τύπος (καθώς το σύμβολο " " δεν αναφέρεται σε καμία λογική πράξη). Εκφράζει στάσημεταξύ τύπων (καθώς και ισότητα μεταξύ αριθμών, παραλληλισμός μεταξύ ευθειών κ.λπ.).

Ισχύει το θεώρημα για τις ιδιότητες της σχέσης ισοδυναμίας:

Θεώρημα 2.1.Σχέση ισοδυναμίας μεταξύ προτασιακών τύπων άλγεβρας:

1) αντανακλαστικά: ;

2) συμμετρικά: αν , τότε ;

3) μεταβατικό: αν και , τότε .

Νόμοι της λογικής

Οι ισοδυναμίες των προτασιακών λογικών τύπων ονομάζονται συχνά νόμους της λογικής. Παραθέτουμε τα πιο σημαντικά από αυτά:

1. – νόμος της ταυτότητας.

2. – νόμος εξαιρούμενης μέσης

3. – νόμος της αντίφασης

4. – διάζευξη με μηδέν

5. – σύνδεσμος με μηδέν

6. – διάσπαση με την ενότητα

7. – συνδυασμός με ένα

8. – νόμος διπλής άρνησης

9. – ανταλλαγή του συνδέσμου

10. – ανταλλαξιμότητα του διαχωρισμού

11. – συνειρμότητα συνδέσμου

12. – συνειρμότητα διάσπασης

13. – κατανομή του συνδέσμου

14. – κατανομή της διάσπασης

15. – νόμοι αδυναμίας

16. ; – νόμοι απορρόφησης

17. ; - Οι νόμοι του de Morgan

18. – ένας νόμος που εκφράζει υπονοούμενα μέσω διαχωρισμού

19. – νόμος της αντίθεσης

20. – νόμοι που εκφράζουν την ισοδυναμία μέσω άλλων λογικών πράξεων

Οι νόμοι της λογικής χρησιμοποιούνται για την απλοποίηση πολύπλοκων τύπων και για την απόδειξη της ίδιας αλήθειας ή αναλήθειας των τύπων.

Ισοδύναμοι μετασχηματισμοί. Απλοποίηση τύπων

Εάν ο ίδιος τύπος αντικατασταθεί παντού αντί για κάποια μεταβλητή σε ισοδύναμους τύπους, τότε οι τύποι που λήφθηκαν πρόσφατα θα αποδειχθούν ισοδύναμοι σύμφωνα με τον κανόνα αντικατάστασης. Με αυτόν τον τρόπο, από κάθε ισοδυναμία μπορεί κανείς να αποκτήσει όσες νέες ισοδυναμίες επιθυμεί.

Παράδειγμα 1:Αν στο νόμο του De Morgan αντί Χυποκατάστατο, και αντ' αυτού Υυποκατάστατο , παίρνουμε μια νέα ισοδυναμία. Η εγκυρότητα της προκύπτουσας ισοδυναμίας μπορεί εύκολα να επαληθευτεί χρησιμοποιώντας έναν πίνακα αλήθειας.

Εάν υπάρχει τύπος που είναι μέρος του τύπου φά, αντικαταστήστε με έναν τύπο ισοδύναμο με τον τύπο, τότε ο τύπος που προκύπτει θα είναι ισοδύναμος με τον τύπο φά.

Στη συνέχεια, για τον τύπο από το Παράδειγμα 2 μπορούν να γίνουν οι ακόλουθες αντικαταστάσεις:

– ο νόμος της διπλής άρνησης.

- Ο νόμος του De Morgan.

– ο νόμος της διπλής άρνησης.

– νόμος της συνειρμικότητας·

– ο νόμος της ανικανότητας.

Με την ιδιότητα μεταβατικότητας της σχέσης ισοδυναμίας, μπορούμε να το δηλώσουμε .

Η αντικατάσταση ενός τύπου με έναν άλλο που είναι ισοδύναμος με αυτόν ονομάζεται ισοδύναμο μετασχηματισμό ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι.

Κάτω από απλοποίηση τύποι που δεν περιέχουν υπονοούμενα και σύμβολα ισοδυναμίας νοούνται ως ένας ισοδύναμος μετασχηματισμός που οδηγεί σε έναν τύπο που δεν περιέχει αρνήσεις μη στοιχειωδών τύπων (ιδίως διπλά αρνητικά) ή περιέχει συνολικά μικρότερο αριθμό σημείων σύνδεσης και διασύνδεσης από το πρωτότυπο.

Παράδειγμα 2.2:Ας απλοποιήσουμε τον τύπο .

Στο πρώτο βήμα, εφαρμόσαμε τον νόμο που μετατρέπει το υπονοούμενο σε διαχωρισμό. Στο δεύτερο βήμα εφαρμόσαμε τον μεταθετικό νόμο. Στο τρίτο βήμα, εφαρμόσαμε το νόμο της ανικανότητας. Ο τέταρτος είναι ο νόμος του De Morgan. Και πέμπτος είναι ο νόμος της διπλής άρνησης.

Σημείωση 1. Εάν ένας συγκεκριμένος τύπος είναι ταυτολογία, τότε οποιοσδήποτε τύπος ισοδύναμος με αυτόν είναι επίσης ταυτολογία.

Έτσι, ισοδύναμοι μετασχηματισμοί μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για να αποδειχθεί η πανομοιότυπη αλήθεια ορισμένων τύπων. Για να γίνει αυτό, αυτός ο τύπος πρέπει να μειωθεί με ισοδύναμους μετασχηματισμούς σε έναν από τους τύπους που είναι ταυτολογίες.

Σημείωση 2. Μερικές ταυτολογίες και ισοδυναμίες συνδυάζονται σε ζεύγη (ο νόμος της αντίφασης και ο νόμος των εναλλακτικών, ανταλλάξιμων, συνειρμικών νόμων κ.λπ.). Οι αντιστοιχίες αυτές αποκαλύπτουν τα λεγόμενα αρχή της δυαδικότητας .

Καλούνται δύο τύποι που δεν περιέχουν υπονοούμενα και σύμβολα ισοδυναμίας διπλός , εάν το καθένα από αυτά μπορεί να ληφθεί από το άλλο αντικαθιστώντας τα σημάδια αντίστοιχα με .

Η αρχή της δυαδικότητας αναφέρει τα εξής:

Θεώρημα 2.2:Εάν δύο τύποι που δεν περιέχουν υπονοούμενα και σύμβολα ισοδυναμίας είναι ισοδύναμοι, τότε οι διπλοί τύποι τους είναι επίσης ισοδύναμοι.

Κανονικές μορφές

Κανονική μορφήείναι ένας συντακτικά μονοσήμαντος τρόπος γραφής ενός τύπου που υλοποιεί μια δεδομένη συνάρτηση.

Χρησιμοποιώντας τους γνωστούς νόμους της λογικής, οποιοσδήποτε τύπος μπορεί να μετατραπεί σε ισοδύναμο τύπο της μορφής , όπου και το καθένα είναι είτε μια μεταβλητή, είτε η άρνηση μιας μεταβλητής, είτε ένας σύνδεσμος μεταβλητών ή οι αρνήσεις τους. Με άλλα λόγια, οποιοσδήποτε τύπος μπορεί να αναχθεί σε έναν ισοδύναμο τύπο απλής τυπικής μορφής, ο οποίος θα είναι ένας διαχωρισμός στοιχείων, καθένα από τα οποία είναι ένας συνδυασμός μεμονωμένων διαφορετικών λογικών μεταβλητών είτε με είτε χωρίς πρόσημο άρνησης.

Παράδειγμα 2.3:Σε μεγάλους τύπους ή κατά τη διάρκεια πολλαπλών μετασχηματισμών, συνηθίζεται να παραλείπεται το σύμβολο του συνδέσμου (κατ' αναλογία με το πρόσημο πολλαπλασιασμού): . Βλέπουμε ότι μετά τους μετασχηματισμούς που πραγματοποιήθηκαν, ο τύπος είναι ένας διαχωρισμός τριών συνδέσμων.

Αυτή η μορφή ονομάζεται διαζευκτική κανονική μορφή (DNF). Καλείται ένα μεμονωμένο στοιχείο DNF στοιχειώδης σύνδεσμος ή συστατικό μιας μονάδας.

Ομοίως, οποιοσδήποτε τύπος μπορεί να αναχθεί σε έναν ισοδύναμο τύπο, ο οποίος θα είναι ένας συνδυασμός στοιχείων, καθένα από τα οποία θα είναι ένας διαχωρισμός λογικών μεταβλητών με ή χωρίς πρόσημο άρνησης. Δηλαδή, κάθε τύπος μπορεί να αναχθεί σε έναν ισοδύναμο τύπο της φόρμας , όπου και το καθένα είναι είτε μια μεταβλητή, είτε η άρνηση μιας μεταβλητής, είτε ένας διαχωρισμός μεταβλητών ή οι αρνήσεις τους. Αυτή η μορφή ονομάζεται συνδετική κανονική μορφή (KNF).

Παράδειγμα 2.4:

Ένα ξεχωριστό στοιχείο του CNF ονομάζεται στοιχειώδης διάσπαση ή συστατικό του μηδέν.

Προφανώς, κάθε τύπος έχει άπειρα πολλά DNF και CNF.

Παράδειγμα 2.5:Ας βρούμε πολλά DNF για τον τύπο .

Τέλειες κανονικές φόρμες

Το SDNF (τέλειο DNF) είναι ένα DNF στο οποίο κάθε στοιχειώδης σύνδεσμος περιέχει όλες τις στοιχειώδεις προτάσεις ή οι αρνήσεις τους δεν επαναλαμβάνονται μία φορά.

Το SKNF (τέλειο CNF) είναι ένα CNF στο οποίο κάθε στοιχειώδης διαχωρισμός περιέχει όλες τις στοιχειώδεις προτάσεις ή οι αρνήσεις τους δεν επαναλαμβάνονται μία φορά.

Παράδειγμα 2.6: 1) – SDNF

2) 1 - SKNF

Ας διατυπώσουμε τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα του SDNF (SCNF).

1) Όλα τα μέλη του διαχωρισμού (σύνδεσμος) είναι διαφορετικά.

2) Όλα τα μέλη κάθε συνδέσμου (διάσπαση) είναι διαφορετικά.

3) Κανένας σύνδεσμος (διάζευξη) δεν περιέχει και μια μεταβλητή και την άρνησή της.

4) Κάθε σύνδεσμος (διάσπαση) περιέχει όλες τις μεταβλητές που περιλαμβάνονται στον αρχικό τύπο.

Όπως βλέπουμε, χαρακτηριστικά γνωρίσματα (αλλά όχι μορφές!) ικανοποιούν τον ορισμό της δυαδικότητας, επομένως αρκεί να κατανοήσουμε μια μορφή για να μάθουμε πώς να αποκτήσουμε και τα δύο.

Από το DNF (CNF) χρησιμοποιώντας ισοδύναμους μετασχηματισμούς μπορεί κανείς εύκολα να αποκτήσει SDNF (SKNF). Δεδομένου ότι οι κανόνες για τη λήψη τέλειων κανονικών μορφών είναι επίσης διπλοί, θα αναλύσουμε λεπτομερώς τον κανόνα για τη λήψη SDNF και θα διαμορφώσουμε τον κανόνα για την απόκτηση SCNF μόνοι σας, χρησιμοποιώντας τον ορισμό της δυαδικότητας.

Ο γενικός κανόνας για την αναγωγή ενός τύπου σε SDNF χρησιμοποιώντας ισοδύναμους μετασχηματισμούς είναι:

Για να δώσουμε τον τύπο φά, που δεν είναι το ίδιο ψευδές, με το SDNF, αρκεί:

1) να την οδηγήσει σε κάποιο είδος DNF.

2) αφαιρέστε τους όρους του διαχωρισμού που περιέχει τη μεταβλητή μαζί με την άρνησή της (εάν υπάρχει).

3) καταργήστε όλους εκτός από έναν από τους ίδιους όρους του διαχωρισμού (εάν υπάρχουν).

4) από τα ίδια μέλη κάθε συνδέσμου (αν υπάρχουν), αφαιρέστε όλα εκτός από ένα.

5) εάν κάποιος σύνδεσμος δεν περιέχει μεταβλητή από τις μεταβλητές που περιλαμβάνονται στον αρχικό τύπο, προσθέστε έναν όρο σε αυτόν τον σύνδεσμο και εφαρμόστε τον αντίστοιχο διανεμητικό νόμο.

6) εάν ο διαχωρισμός που προκύπτει περιέχει πανομοιότυπους όρους, χρησιμοποιήστε τη συνταγή 3.

Ο τύπος που προκύπτει είναι το SDNF αυτού του τύπου.

Παράδειγμα 2.7:Ας βρούμε SDNF και SCNF για τον τύπο .

Εφόσον το DNF για αυτόν τον τύπο έχει ήδη βρεθεί (βλ. Παράδειγμα 2.5), θα ξεκινήσουμε αποκτώντας το SDNF:

2) στον προκύπτοντα διαχωρισμό δεν υπάρχουν μεταβλητές μαζί με τις αρνήσεις τους.

3) δεν υπάρχουν πανομοιότυπα μέλη στη διάζευξη.

4) κανένας σύνδεσμος δεν περιέχει πανομοιότυπες μεταβλητές.

5) ο πρώτος στοιχειώδης σύνδεσμος περιέχει όλες τις μεταβλητές που περιλαμβάνονται στον αρχικό τύπο και στον δεύτερο στοιχειώδη σύνδεσμο λείπει μια μεταβλητή z, οπότε ας προσθέσουμε ένα μέλος σε αυτό και ας εφαρμόσουμε τον διανεμητικό νόμο: ;

6) είναι εύκολο να παρατηρήσετε ότι στη διάζευξη εμφανίστηκαν πανομοιότυποι όροι, οπότε αφαιρούμε έναν (συνταγή 3).

3) αφαιρέστε έναν από τους ίδιους διαχωρισμούς: ;

4) οι υπόλοιποι διαχωρισμοί δεν έχουν πανομοιότυπους όρους.

5) κανένας από τους στοιχειώδεις διαχωρισμούς δεν περιέχει όλες τις μεταβλητές που περιλαμβάνονται στον αρχικό τύπο, οπότε ας συμπληρώσουμε καθεμία από αυτές με τον σύνδεσμο: ;

6) στον σύνδεσμο που προκύπτει δεν υπάρχουν πανομοιότυποι διαχωρισμοί, επομένως η ευρεθείσα συνδετική μορφή είναι τέλεια.

Αφού στο σύνολο οι τύποι SKNF και SDNF φά 8 μέλη, τότε πιθανότατα βρέθηκαν σωστά.

Κάθε εφικτός (παραποιήσιμος) τύπος έχει ένα μοναδικό SDNF και ένα μοναδικό SCNF. Μια ταυτολογία δεν έχει SKNF, αλλά μια αντίφαση δεν έχει SKNF.

Ορισμός. Δύο εξισώσεις f 1 (x) = g 1 (x) και f 2 (x) = g 2 (x) ονομάζονται ισοδύναμες αν τα σύνολα των ριζών τους συμπίπτουν.

Για παράδειγμα, οι εξισώσεις x 2 - 9 = 0 και (2 Χ + 6)(Χ- 3) = 0 είναι ισοδύναμα, αφού και τα δύο έχουν ως ρίζες τους αριθμούς 3 και -3. Εξισώσεις (3 Χ + 1)-2 = x 2- + 1 και x 2+ 1 = 0, αφού και τα δύο δεν έχουν ρίζες, δηλ. τα σύνολα των ριζών τους συμπίπτουν.

Ορισμός. Η αντικατάσταση μιας εξίσωσης με μια ισοδύναμη εξίσωση ονομάζεται ισοδύναμος μετασχηματισμός.

Ας μάθουμε τώρα ποιοι μετασχηματισμοί μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε ισοδύναμες εξισώσεις.

Θεώρημα 1.Αφήστε την εξίσωση f(x) και g(x)ορίζεται στο σετ και η(Χ) είναι μια έκφραση που ορίζεται στο ίδιο σύνολο. Μετά οι εξισώσεις f(x) = g(x)(1) και f(x) + h(Χ) =g(x) + h(Χ) (2) είναι ισοδύναμα.

Απόδειξη. Ας υποδηλώσουμε με T 1 -σύνολο λύσεων της εξίσωσης (1), και μέσω T 2 -σύνολο λύσεων της εξίσωσης (2). Τότε οι εξισώσεις (1) και (2) θα είναι ισοδύναμες αν T 1 = T 2.Για να το επαληθεύσετε αυτό, είναι απαραίτητο να δείξετε ότι οποιαδήποτε ρίζα του Τ 1είναι η ρίζα της εξίσωσης (2) και, αντιστρόφως, οποιαδήποτε ρίζα του Τ 2είναι η ρίζα της εξίσωσης (1).

Αφήστε τον αριθμό ΕΝΑ- ρίζα της εξίσωσης (1). Επειτα ένα? Τ 1,και όταν αντικαθίσταται στην εξίσωση (1) τη μετατρέπει σε αληθινή αριθμητική ισότητα f(a) = g(a), και η έκφραση h(x)μετατρέπεται σε αριθμητική παράσταση η(ένα), κάτι που βγάζει νόημα στο πλατό Χ.Ας προσθέσουμε και στις δύο πλευρές της πραγματικής ισότητας f(a) = g(a)αριθμητική παράσταση η(ένα). Λαμβάνουμε, σύμφωνα με τις ιδιότητες των αληθινών αριθμητικών ισοτήτων, μια αληθινή αριθμητική ισότητα f(a) + h(ένα) =g(a) + h(ένα), που δείχνει ότι ο αριθμός ΕΝΑείναι η ρίζα της εξίσωσης (2).

Άρα, έχει αποδειχθεί ότι κάθε ρίζα της εξίσωσης (1) είναι και ρίζα της εξίσωσης (2), δηλ. Τ 1Με Τ 2.

Αφήστε το τώρα ΕΝΑ -ρίζα της εξίσωσης (2). Επειτα ΕΝΑ? Τ 2και όταν αντικαθίσταται στην εξίσωση (2) τη μετατρέπει σε αληθινή αριθμητική ισότητα f(a) + h(ένα) =g(a) + h(ένα). Ας προσθέσουμε και στις δύο πλευρές αυτής της ισότητας την αριθμητική έκφραση - η(ένα), Λαμβάνουμε μια αληθινή αριθμητική ισότητα f(x) = g(x),που δείχνει ότι ο αριθμός ΕΝΑ -ρίζα της εξίσωσης (1).

Άρα, έχει αποδειχθεί ότι κάθε ρίζα της εξίσωσης (2) είναι και ρίζα της εξίσωσης (1), δηλ. Τ 2Με Τ 1.

Επειδή Τ 1Με Τ 2Και Τ 2Με Τ 1,τότε εξ ορισμού ίσων συνόλων Τ 1= Τ 2, που σημαίνει ότι οι εξισώσεις (1) και (2) είναι ισοδύναμες.

Αυτό το θεώρημα μπορεί να διατυπωθεί διαφορετικά: εάν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης έχουν το πεδίο ορισμού Χπροσθέστε την ίδια έκφραση με μια μεταβλητή που ορίζεται στο ίδιο σύνολο, και στη συνέχεια λαμβάνουμε μια νέα εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.

Από αυτό το θεώρημα ακολουθούν τα συμπεράσματα που χρησιμοποιούνται κατά την επίλυση εξισώσεων:

1. Αν προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό και στις δύο πλευρές της εξίσωσης, παίρνουμε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.

2. Εάν οποιοσδήποτε όρος (αριθμητική έκφραση ή έκφραση με μεταβλητή) μεταφερθεί από το ένα μέρος της εξίσωσης σε ένα άλλο, αλλάζοντας το πρόσημο του όρου στο αντίθετο, τότε λαμβάνουμε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.

Θεώρημα 2.Αφήστε την εξίσωση f(x) = g(x)ορίζεται στο σετ ΧΚαι h(x) -μια έκφραση που ορίζεται στο ίδιο σύνολο και δεν εξαφανίζεται για καμία τιμή Χαπό πολλούς Χ.Μετά οι εξισώσεις f(x) = g(x)Και f(x) h(Χ) =g(x) h(Χ) είναι ισοδύναμα.

Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος είναι παρόμοια με την απόδειξη του Θεωρήματος 1.

Το θεώρημα 2 μπορεί να διατυπωθεί διαφορετικά: αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης έχουν πεδίο ορισμού Χπολλαπλασιαζόμενη με την ίδια παράσταση, η οποία ορίζεται στο ίδιο σύνολο και δεν εξαφανίζεται σε αυτό, τότε παίρνουμε μια νέα εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.

Από αυτό το θεώρημα προκύπτει ένα συμπέρασμα: Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης πολλαπλασιαστούν (ή διαιρεθούν) με τον ίδιο αριθμό εκτός από το μηδέν, παίρνουμε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.

Επίλυση εξισώσεων σε μία μεταβλητή

Ας λύσουμε την εξίσωση 1- Χ/3 = Χ/6, Χ ? Rκαι θα δικαιολογήσουμε όλους τους μετασχηματισμούς που θα πραγματοποιήσουμε στη διαδικασία λύσης.

Μεταμορφώσεις	Το σκεπτικό για τη μεταμόρφωση
1. Ας φέρουμε τις εκφράσεις στην αριστερή και δεξιά πλευρά της εξίσωσης σε έναν κοινό παρονομαστή: (6-2 Χ)/ 6 = Χ/6	Πραγματοποιήσαμε έναν πανομοιότυπο μετασχηματισμό της έκφρασης στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης.
2. Ας απορρίψουμε τον κοινό παρονομαστή: 6-2 Χ = Χ	Πολλαπλασιάσαμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης επί 6 (θεώρημα 2) και λάβαμε μια εξίσωση ισοδύναμη με αυτήν.
3. Μεταφέρουμε την παράσταση -2x στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης με το αντίθετο πρόσημο: 6 = Χ+2Χ.	Χρησιμοποιήσαμε το συμπέρασμα του Θεωρήματος 1 και πήραμε μια εξίσωση ισοδύναμη με την προηγούμενη και, επομένως, με τη δεδομένη.
4. Παρουσιάζουμε παρόμοιους όρους στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης: 6 = 3 Χ.	Πραγματοποίησε μετασχηματισμό ταυτότητας της έκφρασης.
5. Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 3: Χ = 2.	Χρησιμοποιήσαμε το συμπέρασμα του Θεωρήματος 2 και πήραμε μια εξίσωση ισοδύναμη με την προηγούμενη, και επομένως με αυτήν

Εφόσον όλοι οι μετασχηματισμοί που πραγματοποιήσαμε κατά την επίλυση αυτής της εξίσωσης ήταν ισοδύναμοι, μπορούμε να πούμε ότι το 2 είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης.

Εάν, κατά τη διαδικασία επίλυσης της εξίσωσης, δεν πληρούνται οι προϋποθέσεις των Θεωρημάτων 1 και 2, τότε μπορεί να συμβεί απώλεια ριζών ή να εμφανιστούν ξένες ρίζες. Επομένως, είναι σημαντικό, όταν μετασχηματίζετε μια εξίσωση για να λάβετε μια απλούστερη, να διασφαλίζετε ότι οδηγούν σε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, την εξίσωση x(x - 1) = 2x, x? R. Ας χωρίσουμε και τα δύο μέρη κατά Χ, παίρνουμε την εξίσωση Χ - 1 = 2, εξ ου και Χ= 3, δηλαδή αυτή η εξίσωση έχει μία μόνο ρίζα - τον αριθμό 3. Είναι όμως αλήθεια αυτό; Είναι εύκολο να δούμε ότι αν σε αυτή την εξίσωση αντί για μεταβλητή Χαντικαθιστώντας το 0, μετατρέπεται στην αληθινή αριθμητική ισότητα 0·(0 - 1) = 2·0. Αυτό σημαίνει ότι το 0 είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης, την οποία χάσαμε κατά την εκτέλεση μετασχηματισμών. Ας τα αναλύσουμε. Το πρώτο πράγμα που κάναμε ήταν να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με Χ,εκείνοι. πολλαπλασιάζεται με την έκφραση1/ Χ, αλλά στο Χ= Α, δεν έχει νόημα. Κατά συνέπεια, δεν εκπληρώσαμε την προϋπόθεση του Θεωρήματος 2, η οποία οδήγησε στην απώλεια της ρίζας.

Για να βεβαιωθούμε ότι το σύνολο των ριζών αυτής της εξίσωσης αποτελείται από δύο αριθμούς 0 και 3, παρουσιάζουμε μια άλλη λύση. Ας μετακινήσουμε την έκφραση 2 Χαπό δεξιά προς τα αριστερά: x(x- 1) - 2x = 0. Ας το βγάλουμε από αγκύλες στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης Χκαι δώστε παρόμοιους όρους: x(x - 3) = 0. Το γινόμενο δύο παραγόντων είναι ίσο με μηδέν αν και μόνο αν τουλάχιστον ένας από αυτούς είναι ίσος με μηδέν, επομένως Χ= 0 ή Χ- 3 = 0. Από εδώ βλέπουμε ότι οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι 0 και 3.

Στο αρχικό μάθημα των μαθηματικών, η θεωρητική βάση για την επίλυση εξισώσεων είναι η σχέση μεταξύ των συνιστωσών και των αποτελεσμάτων των ενεργειών. Για παράδειγμα, η επίλυση της εξίσωσης ( Χ·9):24 = 3 δικαιολογείται ως εξής. Δεδομένου ότι ο άγνωστος είναι στο μέρισμα, για να βρείτε το μέρισμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον διαιρέτη με το πηλίκο: Χ·9 = 24·3, ή Χ·9 = 72.

Για να βρείτε τον άγνωστο παράγοντα, πρέπει να διαιρέσετε το προϊόν με τον γνωστό παράγοντα: x = 72:9 ή x = 8, επομένως, η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι ο αριθμός 8.

Γυμνάσια

1 . Προσδιορίστε ποιες από τις ακόλουθες εγγραφές είναι εξισώσεις σε μία μεταβλητή:

ΕΝΑ) ( Χ-3) 5 = 12 Χ; δ) 3 + (12-7) 5 = 16;

β) ( Χ-3)·5 = 12; δ) ( Χ-3)· y =12Χ;

V) ( Χ-3) 17 + 12; μι) x 2 - 2x + 5 = 0.

2. Εξίσωση 2 Χ 4 + 4Χ 2 -6 = 0 ορίζεται στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Εξηγήστε γιατί ο αριθμός 1 είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης, αλλά το 2 και το -1 δεν είναι οι ρίζες της.

3. Στην εξίσωση ( Χ+ ...)(2Χ + 5) - (Χ - 3)(2Χ+ 1) = 20 ένας αριθμός διαγράφεται και αντικαθίσταται με τελείες. Βρείτε τον διαγραμμένο αριθμό αν γνωρίζετε ότι η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι ο αριθμός 2.

4. Διατυπώστε τις προϋποθέσεις υπό τις οποίες:

α) ο αριθμός 5 είναι η ρίζα της εξίσωσης f(x) = g(x);

β) ο αριθμός 7 δεν είναι η ρίζα της εξίσωσης f(x) = g(x).

5. Να προσδιορίσετε ποια από τα παρακάτω ζεύγη εξισώσεων είναι ισοδύναμα στο σύνολο των πραγματικών αριθμών:

α) 3 + 7 Χ= -4 και 2(3 + 7l Χ) = -8;

6)3 + 7Χ= -4 και 6 + 7 Χ = -1;

γ) 3 + 7 Χ= -4 και l Χ + 2 = 0.

6. Να διατυπώσετε τις ιδιότητες της σχέσης ισοδυναμίας της εξίσωσης. Ποια από αυτά χρησιμοποιούνται στη διαδικασία επίλυσης της εξίσωσης;

7. Λύστε τις εξισώσεις (όλες δίνονται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών) και αιτιολογήστε όλους τους μετασχηματισμούς που πραγματοποιήθηκαν κατά τη διαδικασία της απλοποίησής τους:

α) (7 Χ+4)/2 – Χ = (3Χ-5)/2;

σι) Χ –(3Χ-2)/5 = 3 – (2Χ-5)/3;

στις 2- Χ)2-Χ (Χ + 1,5) = 4.

8. Ο μαθητής έλυσε την εξίσωση 5 Χ + 15 = 3 Χ+ 9 ως εξής: Έβγαλα τον αριθμό 5 από αγκύλες στην αριστερή πλευρά και τον αριθμό 3 στα δεξιά, και πήρα την εξίσωση 5(x+ 3) = 3(Χ+ 3) και στη συνέχεια διαίρεσε και τις δύο πλευρές στην έκφραση Χ+ 3. Έλαβα την ισότητα 5 = 3 και κατέληξα ότι αυτή η εξίσωση δεν έχει ρίζες. Έχει δίκιο ο μαθητής;

9. Λύστε την εξίσωση 2/(2- Χ) – ½ = 4/((2- Χ)Χ); Χ? R. Είναι ο αριθμός 2 η ρίζα αυτής της εξίσωσης;

10. Λύστε τις εξισώσεις χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ των συστατικών και των αποτελεσμάτων των ενεργειών:

ΕΝΑ) ( Χ+ 70) 4 = 328; γ) (85 Χ + 765): 170 = 98;

β) 560: ( Χ+ 9) - 56; Ζ) ( Χ - 13581):709 = 306.

11. Λύστε προβλήματα χρησιμοποιώντας αριθμητικές και αλγεβρικές μεθόδους:

α) Υπάρχουν 16 περισσότερα βιβλία στο πρώτο ράφι από ότι στο δεύτερο. Εάν αφαιρέσετε 3 βιβλία από κάθε ράφι, τότε θα υπάρχουν μιάμιση φορά περισσότερα βιβλία στο πρώτο ράφι από ότι στο δεύτερο. Πόσα βιβλία υπάρχουν σε κάθε ράφι;

β) Ο ποδηλάτης διένυσε όλη την απόσταση από το χώρο της κατασκήνωσης μέχρι τον σταθμό, ίση με 26 χλμ., σε 1 ώρα και 10 λεπτά. Τα πρώτα 40 λεπτά αυτού του χρόνου οδήγησε με μία ταχύτητα και τον υπόλοιπο χρόνο με ταχύτητα 3 km/h μικρότερη. Βρείτε την ταχύτητα του ποδηλάτη στο πρώτο τμήμα του ταξιδιού.

1. Δύο ίσοι παίκτες παίζουν ένα παιχνίδι στο οποίο δεν υπάρχουν ισοπαλίες. Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει ο πρώτος παίκτης: α) ένα παιχνίδι στα δύο; β) δύο στα τέσσερα; γ) τρία στα έξι;

Απάντηση:ΕΝΑ) ; β) ; V)

3. Τμήμα ΑΒχωρίζεται με μια τελεία ΜΕσε αναλογία 2:1. Τέσσερις πόντοι ρίχνονται τυχαία σε αυτό το τμήμα. Βρείτε την πιθανότητα δύο από αυτά να βρίσκονται στα αριστερά του σημείου C και δύο - στα δεξιά.

Απάντηση:

4. Βρείτε την πιθανότητα ότι το συμβάν Α θα συμβεί ακριβώς 70 φορές σε 243 δοκιμές εάν η πιθανότητα να συμβεί αυτό το συμβάν σε κάθε δοκιμή είναι 0,25.

Απάντηση: .

5. Η πιθανότητα να αποκτήσετε αγόρι είναι 0,515. Βρείτε την πιθανότητα μεταξύ 100 νεογέννητων να υπάρχει ίσος αριθμός αγοριών και κοριτσιών.

Απάντηση: 0,0782

6. Το κατάστημα παρέλαβε 500 μπουκάλια σε γυάλινα δοχεία. Η πιθανότητα να σπάσει οποιοδήποτε μπουκάλι κατά τη μεταφορά είναι 0,003. Βρείτε την πιθανότητα ότι το κατάστημα θα λάβει σπασμένα μπουκάλια: α) ακριβώς δύο; β) λιγότερο από δύο. γ) τουλάχιστον δύο· δ) τουλάχιστον ένα.

Απάντηση:α) 0,22; β) 0,20; γ) 0,80; δ) 0,95

7. Ένα εργοστάσιο αυτοκινήτων παράγει το 80% των αυτοκινήτων χωρίς σημαντικά ελαττώματα. Ποια είναι η πιθανότητα μεταξύ των 600 αυτοκινήτων που παραδόθηκαν από το εργοστάσιο στο ανταλλακτήριο αυτοκινήτων, να υπάρχουν τουλάχιστον 500 αυτοκίνητα χωρίς σημαντικά ελαττώματα;

Απάντηση: 0,02.

8. Πόσες φορές πρέπει να πεταχτεί ένα νόμισμα ώστε με πιθανότητα 0,95 να περιμένει κανείς ότι η σχετική συχνότητα εμφάνισης του εθνόσημου θα αποκλίνει από την πιθανότητα R=0,5 εμφάνιση του εθνόσημου με μία ρίψη νομίσματος όχι περισσότερο από 0,02;

Απάντηση: ν ≥ 2401.

9. Η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός σε καθένα από τα 100 ανεξάρτητα γεγονότα είναι σταθερή και ίση με Π=0,8. Βρείτε την πιθανότητα να εμφανιστεί το συμβάν: α) τουλάχιστον 75 φορές και όχι περισσότερες από 90 φορές. β) τουλάχιστον 75 φορές. γ) όχι περισσότερες από 74 φορές.

Απάντηση:α Β Γ) .

10. Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε καθεμία από τις ανεξάρτητες δοκιμές είναι 0,2. Βρείτε ποια απόκλιση της σχετικής συχνότητας εμφάνισης ενός γεγονότος από την πιθανότητά του μπορεί να αναμένεται με πιθανότητα 0,9128 με 5000 δοκιμές.

Απάντηση:

11. Πόσες φορές πρέπει να πεταχτεί ένα νόμισμα ώστε με πιθανότητα 0,6 να περιμένει κανείς ότι η απόκλιση της σχετικής συχνότητας εμφάνισης του θυρεού από την πιθανότητα ΠΤο =0,5 δεν θα είναι περισσότερο από 0,01 σε απόλυτη τιμή.

Απάντηση: ν = 1764.

12. Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε καθεμία από τις 10.000 ανεξάρτητες δοκιμές είναι 0,75. Βρείτε την πιθανότητα η σχετική συχνότητα εμφάνισης ενός γεγονότος να αποκλίνει από την πιθανότητα σε απόλυτη τιμή όχι περισσότερο από 0,01.

Απάντηση: .

13. Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν σε καθεμία από τις ανεξάρτητες δοκιμές είναι 0,5. Βρείτε τον αριθμό των δοκιμών n, στο οποίο με πιθανότητα 0,7698 μπορούμε να περιμένουμε ότι η σχετική συχνότητα εμφάνισης ενός γεγονότος θα αποκλίνει από την πιθανότητα του σε απόλυτη τιμή κατά όχι περισσότερο από 0,02.

Ανοιχτό μάθημα στα μαθηματικά "Σχήμα Bernoulli. Επίλυση προβλημάτων χρησιμοποιώντας το σχήμα Bernoulli και Laplace"

Διδακτική: απόκτηση δεξιοτήτων και ικανοτήτων για εργασία με το σχήμα Bernoulli για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων.

Αναπτυξιακή: ανάπτυξη δεξιοτήτων για εφαρμογή της γνώσης στην πράξη, διαμόρφωση και ανάπτυξη της λειτουργικής σκέψης των μαθητών, ανάπτυξη δεξιοτήτων σύγκρισης, ανάλυσης και σύνθεσης, δεξιότητες εργασίας σε ζευγάρια, διεύρυνση του επαγγελματικού λεξιλογίου.

Πώς να παίξετε αυτό το παιχνίδι:

Εκπαιδευτικό: καλλιέργεια ενδιαφέροντος για το αντικείμενο μέσω της πρακτικής εφαρμογής της θεωρίας, επίτευξη συνειδητής αφομοίωσης του εκπαιδευτικού υλικού των μαθητών, ανάπτυξη ικανότητας ομαδικής εργασίας, σωστή χρήση όρων υπολογιστή, ενδιαφέρον για την επιστήμη και σεβασμός για το μελλοντικό επάγγελμα.

Επιστημονικές γνώσεις: Β

Τύπος μαθήματος: συνδυασμένο μάθημα:

• ενοποίηση υλικού που καλύπτεται σε προηγούμενες κατηγορίες·
• θεματική, πληροφορική και προβληματική τεχνολογία·
• γενίκευση και εμπέδωση της ύλης που μελετήθηκε σε αυτό το μάθημα.

Μέθοδος διδασκαλίας: επεξηγηματική – παραστατική, βασισμένη σε προβλήματα.

Έλεγχος γνώσης: μετωπική έρευνα, επίλυση προβλημάτων, παρουσίαση.

Ο υλικοτεχνικός εξοπλισμός του μαθήματος. υπολογιστής, προβολέας πολυμέσων.

Μεθοδολογική υποστήριξη: υλικό αναφοράς, παρουσίαση για το θέμα του μαθήματος, σταυρόλεξο.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1. Οργανωτική στιγμή: 5 λεπτά.

(χαιρετισμός, ομαδική ετοιμότητα για το μάθημα).

2. Τεστ γνώσεων:

Ελέγξτε τις ερωτήσεις από τις διαφάνειες μετωπικά: 10 λεπτά.

• ορισμοί της ενότητας «Θεωρία Πιθανοτήτων»
• βασική έννοια της ενότητας «Θεωρία Πιθανοτήτων»
• ποια γεγονότα μελετά η «Θεωρία Πιθανοτήτων»;
• χαρακτηριστικό ενός τυχαίου γεγονότος
• κλασικός ορισμός των πιθανοτήτων

Συνοψίζοντας. 5 λεπτά.

3. Επίλυση προβλημάτων σε σειρές: 5 λεπτά.

Εργασία 1. Ένα ζάρι ρίχνεται. Ποια είναι η πιθανότητα ο αριθμός που κύλησε να είναι άρτιος και μικρότερος από 5;

Πρόβλημα 2. Υπάρχουν εννέα πανομοιότυποι ραδιοσωλήνες στο κουτί, τρεις από τους οποίους χρησιμοποιήθηκαν. Κατά τη διάρκεια της εργάσιμης ημέρας, ο τεχνικός έπρεπε να πάρει δύο ραδιοσωλήνες για να επισκευάσει τον εξοπλισμό. Ποια είναι η πιθανότητα να χρησιμοποιήθηκαν και οι δύο λυχνίες;

Πρόβλημα 3. Τρεις διαφορετικές ταινίες προβάλλονται σε τρεις κινηματογραφικές αίθουσες. Η πιθανότητα ότι μια συγκεκριμένη ώρα υπάρχουν εισιτήρια στο ταμείο της 1ης αίθουσας είναι 0,3, στο ταμείο της 2ης αίθουσας - 0,2 και στο ταμείο της 3ης αίθουσας - 0,4. Ποια είναι η πιθανότητα μια δεδομένη ώρα να είναι δυνατή η αγορά εισιτηρίου για τουλάχιστον μία ταινία;

4. Ελέγξτε τον πίνακα για τρόπους επίλυσης προβλημάτων. Παράρτημα 1. 5 min.

5ο Συμπέρασμα για την επίλυση προβλημάτων:

Η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν είναι η ίδια για κάθε εργασία: m και n – const

6. Ορισμός στόχου μέσω μιας εργασίας: 5 λεπτά.

Εργο. Δύο ίσοι σκακιστές παίζουν σκάκι. Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσετε δύο παιχνίδια στα τέσσερα;

Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσετε τρία παιχνίδια στα έξι (δεν λαμβάνονται υπόψη οι ισοπαλίες);

Ερώτηση. Σκεφτείτε και ονομάστε πώς διαφέρουν οι ερωτήσεις σε αυτήν την εργασία από τις ερωτήσεις των προηγούμενων εργασιών;

Με συλλογισμό και σύγκριση, λάβετε την απάντηση: στις ερωτήσεις, το m και το n είναι διαφορετικά.

7. Θέμα μαθήματος:

Υπολογισμός της πιθανότητας να συμβεί ένα γεγονός μία φορά από n πειράματα σε p-const.

Εάν πραγματοποιηθούν δοκιμές στις οποίες η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Α σε κάθε δοκιμή δεν εξαρτάται από τα αποτελέσματα άλλων δοκιμών, τότε αυτές οι δοκιμές ονομάζονται ανεξάρτητες σε σχέση με το γεγονός Α. Δοκιμές σε καθένα από τα οποία η πιθανότητα εμφάνισης της εκδήλωσης είναι το ίδιο.

Ο τύπος του Bernoulli. Η πιθανότητα ότι σε n ανεξάρτητες δοκιμές, σε καθεμία από τις οποίες η πιθανότητα να συμβεί ένα συμβάν είναι p(0

ή Παράρτημα 2 τύπος Bernoulli, όπου k,n είναι μικροί αριθμοί όπου q = 1-p

Λύση: Παίζουν ισοδύναμοι σκακιστές, οπότε η πιθανότητα νίκης είναι p=1/2. Επομένως, η πιθανότητα να χαθεί το q είναι επίσης 1/2. Δεδομένου ότι σε όλα τα παιχνίδια η πιθανότητα νίκης είναι σταθερή και δεν έχει σημασία σε ποια σειρά κερδίζονται τα παιχνίδια, ισχύει ο τύπος του Bernoulli. 5 λεπτά

Ας βρούμε την πιθανότητα να κερδηθούν δύο παιχνίδια στα τέσσερα:

Ας βρούμε την πιθανότητα να κερδηθούν τρία παιχνίδια στα έξι:

Από P4 (2) > P6 (3), είναι πιο πιθανό να κερδίσει δύο παιχνίδια στα τέσσερα παρά τρία στα έξι.

8. Εργασία.

Βρείτε την πιθανότητα ότι το συμβάν Α θα συμβεί ακριβώς 70 φορές σε 243 δοκιμές εάν η πιθανότητα να συμβεί αυτό το συμβάν σε κάθε δοκιμή είναι 0,25.

k=70, n=243 Από αυτό προκύπτει ότι το k και το n είναι μεγάλοι αριθμοί. Αυτό σημαίνει ότι είναι δύσκολο να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Bernoulli. Για τέτοιες περιπτώσεις, χρησιμοποιείται ο τοπικός τύπος Laplace:

Το προσάρτημα 3 για θετικές τιμές του x δίνεται στο Παράρτημα 4. για αρνητικές τιμές του x, χρησιμοποιήστε τον ίδιο πίνακα και =.

9. Να συνθέσετε έναν αλγόριθμο για την επίλυση του προβλήματος: 5 λεπτά.

• Βρείτε την τιμή του x και στρογγυλοποιήστε στο πλησιέστερο εκατοστό (0,01).
• Θα βρούμε τη συνάρτηση Laplace από τον πίνακα.
• αντικαταστήστε την τιμή της συνάρτησης Laplace με τον τύπο Laplace

10. Επίλυση του προβλήματος με ανάλυση στον πίνακα. Παράρτημα 5. 10 min.

11. Σύνοψη πληροφοριών μαθήματος μέσω παρουσιάσεων

• σύντομες πληροφορίες για την ενότητα «Θεωρία Πιθανοτήτων»· 5 λεπτά.
• ιστορικά υλικά για τους επιστήμονες Bernoulli και Laplace. 5 λεπτά.