Τύποι εύρεσης αντιπαραγώγων. Αντιπαράγωγο συνάρτησης και γενική μορφή

Η εκμάθηση της ενσωμάτωσης δεν είναι δύσκολη. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει απλώς να μάθετε ένα συγκεκριμένο, μάλλον μικρό, σύνολο κανόνων και να αναπτύξετε ένα είδος ταλέντο. Φυσικά, είναι εύκολο να μάθουμε τους κανόνες και τους τύπους, αλλά είναι μάλλον δύσκολο να κατανοήσουμε πού και πότε να εφαρμόσουμε αυτόν ή αυτόν τον κανόνα ολοκλήρωσης ή διαφοροποίησης. Αυτή, στην πραγματικότητα, είναι η ικανότητα ενσωμάτωσης.

1. Αντιπαράγωγο. Αόριστο ολοκλήρωμα.

Υποτίθεται ότι από τη στιγμή της ανάγνωσης αυτού του άρθρου, ο αναγνώστης έχει ήδη κάποιες δεξιότητες διαφοροποίησης (δηλαδή την εύρεση παραγώγων).

Ορισμός 1.1:Μια συνάρτηση ονομάζεται αντιπαράγωγος αν ισχύει η ισότητα:

Σχόλια:> Ο τονισμός στη λέξη «αρχέγονος» μπορεί να τοποθετηθεί με δύο τρόπους: σχετικά μεφτιαγμένο ή πρωτότυπο έναγνωρίζων.

Ιδιοκτησία 1:Αν μια συνάρτηση είναι αντιπαράγωγο μιας συνάρτησης, τότε η συνάρτηση είναι επίσης αντιπαράγωγο μιας συνάρτησης.

Απόδειξη:Ας το αποδείξουμε αυτό από τον ορισμό του αντιπαραγώγου. Ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης:

Η πρώτη θητεία στο ορισμός 1.1ισούται με , και ο δεύτερος όρος είναι η παράγωγος της σταθεράς, η οποία είναι ίση με 0.

.

Συνοψίζω. Ας γράψουμε την αρχή και το τέλος της αλυσίδας των ισοτήτων:

Έτσι, η παράγωγος της συνάρτησης είναι ίση, και επομένως, εξ ορισμού, είναι η αντιπαράγωγός της. Η ιδιοκτησία έχει αποδειχθεί.

Ορισμός 1.2:Το αόριστο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης είναι το σύνολο των αντιπαραγώγων αυτής της συνάρτησης. Υποδηλώνεται ως εξής:

.

Εξετάστε τα ονόματα κάθε μέρους της εγγραφής λεπτομερώς:

είναι ο γενικός συμβολισμός για το ολοκλήρωμα,

είναι μια έκφραση integrand (integrand), μια ολοκληρωμένη συνάρτηση.

είναι το διαφορικό και η έκφραση μετά το γράμμα , σε αυτήν την περίπτωση , θα ονομάζεται μεταβλητή ολοκλήρωσης.

Σχόλια:Οι λέξεις-κλειδιά σε αυτόν τον ορισμό είναι «όλο το σύνολο». Εκείνοι. εάν στο μέλλον αυτό το "συν C" δεν γραφτεί στην απάντηση, τότε ο επιθεωρητής έχει κάθε δικαίωμα να μην πιστώσει αυτό το καθήκον, επειδή είναι απαραίτητο να βρεθεί ολόκληρο το σύνολο των αντιπαραγώγων, και αν το C απουσιάζει, τότε μόνο ένα βρίσκεται.

Συμπέρασμα:Για να ελέγξουμε αν το ολοκλήρωμα υπολογίζεται σωστά, είναι απαραίτητο να βρεθεί η παράγωγος του αποτελέσματος. Πρέπει να ταιριάζει με το integrand.
Παράδειγμα:
Ασκηση:Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα και ελέγξτε.

Απόφαση:

Ο τρόπος με τον οποίο υπολογίζεται αυτό το ολοκλήρωμα δεν έχει σημασία σε αυτή την περίπτωση. Ας υποθέσουμε ότι είναι μια αποκάλυψη από πάνω. Το καθήκον μας είναι να δείξουμε ότι η αποκάλυψη δεν μας εξαπάτησε, και αυτό μπορεί να γίνει με τη βοήθεια της επαλήθευσης.

Εξέταση:

Κατά τη διαφοροποίηση του αποτελέσματος, προέκυψε ένα ολοκλήρωμα, που σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα υπολογίστηκε σωστά.

2. Έναρξη. Πίνακας ολοκληρωμάτων.

Για την ολοκλήρωση, δεν είναι απαραίτητο να θυμόμαστε κάθε φορά τη συνάρτηση της οποίας η παράγωγος είναι ίση με το δεδομένο ολοκλήρωμα (δηλαδή, χρησιμοποιήστε τον ορισμό του ολοκληρώματος απευθείας). Κάθε συλλογή προβλημάτων ή ένα εγχειρίδιο για τη μαθηματική ανάλυση περιέχει μια λίστα με τις ιδιότητες των ολοκληρωμάτων και έναν πίνακα με τα απλούστερα ολοκληρώματα.

Ας παραθέσουμε τις ιδιότητες.

Ιδιότητες:
1.
Το ολοκλήρωμα του διαφορικού είναι ίσο με τη μεταβλητή ολοκλήρωσης.
2. , όπου είναι μια σταθερά.
Ο σταθερός πολλαπλασιαστής μπορεί να αφαιρεθεί από το ολοκλήρωμα.

3.
Το ολοκλήρωμα του αθροίσματος είναι ίσο με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων (αν ο αριθμός των όρων είναι πεπερασμένος).
Ενσωματωμένος πίνακας:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Τις περισσότερες φορές, το καθήκον είναι να μειωθεί το ολοκλήρωμα που διερευνήθηκε σε ένα πίνακα χρησιμοποιώντας ιδιότητες και τύπους.

Παράδειγμα:

[ Ας χρησιμοποιήσουμε την τρίτη ιδιότητα των ολοκληρωμάτων και ας τη γράψουμε ως άθροισμα τριών ολοκληρωμάτων.]

[ Ας χρησιμοποιήσουμε τη δεύτερη ιδιότητα και ας αφαιρέσουμε τις σταθερές από το πρόσημο ολοκλήρωσης.]

[ Στο πρώτο ολοκλήρωμα, χρησιμοποιούμε το ολοκλήρωμα πίνακα Νο. 1 (n=2), στο δεύτερο - τον ίδιο τύπο, αλλά n=1, και για το τρίτο ολοκλήρωμα, μπορείτε είτε να χρησιμοποιήσετε το ίδιο ολοκλήρωμα πίνακα, αλλά με n=0 ή η πρώτη ιδιότητα. ]
.
Ας ελέγξουμε με διαφοροποίηση:

Το αρχικό ολοκλήρωμα λήφθηκε, επομένως, η ολοκλήρωση πραγματοποιήθηκε χωρίς σφάλματα (και ακόμη και η προσθήκη μιας αυθαίρετης σταθεράς C δεν ξεχάστηκε).

Τα ολοκληρώματα του πίνακα πρέπει να μαθαίνονται από την καρδιά για έναν απλό λόγο - για να ξέρουμε τι πρέπει να επιδιώξουμε, δηλ. γνωρίζουν το σκοπό του μετασχηματισμού της δεδομένης έκφρασης.

Ακολουθούν μερικά ακόμη παραδείγματα:
1)
2)
3)

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

Ασκηση 1.Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωμα:

+ Εμφάνιση/απόκρυψη υπόδειξης #1.

1) Χρησιμοποιήστε την τρίτη ιδιότητα και παρουσιάστε αυτό το ολοκλήρωμα ως άθροισμα τριών ολοκληρωμάτων.

+ Εμφάνιση/απόκρυψη υπόδειξης #2.

+ Εμφάνιση/απόκρυψη υπόδειξης #3.

3) Για τους δύο πρώτους όρους, χρησιμοποιήστε το πρώτο ολοκλήρωμα πίνακα και για τον τρίτο - το δεύτερο ολοκλήρωμα πίνακα.

+ Εμφάνιση/απόκρυψη λύσης και απάντηση.

4) Λύση:

Απάντηση:

αντιπαράγωγο

Ορισμός αντιπαράγωγης συνάρτησης

Λειτουργία y=F(x)ονομάζεται αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση y=f(x)σε δεδομένο διάστημα Χ,αν για όλους Χ ∈Χισχύει η ισότητα: F′(x) = f(x)

Μπορεί να διαβαστεί με δύο τρόπους:

φά παράγωγο συνάρτησης φά
φά αντιπαράγωγο για λειτουργία φά

ιδιότητα των αντιπαραγώγων

Αν F(x)- αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση f(x)σε ένα δεδομένο διάστημα, τότε η συνάρτηση f(x) έχει άπειρα πολλά αντιπαράγωγα και όλα αυτά τα αντιπαράγωγα μπορούν να γραφτούν ως F(x) + C, όπου C είναι μια αυθαίρετη σταθερά.

Γεωμετρική ερμηνεία

Γραφήματα όλων των αντιπαραγώγων μιας δεδομένης συνάρτησης f(x)λαμβάνονται από τη γραφική παράσταση οποιουδήποτε αντιπαραγώγου με παράλληλες μεταφορές κατά μήκος του άξονα Ο στο.

Κανόνες υπολογισμού αντιπαραγώγων

Το αντιπαράγωγο του αθροίσματος ισούται με το άθροισμα των αντιπαραγώγων. Αν F(x)- πρωτόγονος για f(x), και το G(x) είναι το αντιπαράγωγο για g(x), τότε F(x) + G(x)- πρωτόγονος για f(x) + g(x).
Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της παραγώγου. Αν F(x)- πρωτόγονος για f(x), και κείναι σταθερό λοιπόν kF(x)- πρωτόγονος για kf(x).
Αν F(x)- πρωτόγονος για f(x), και κ,β- μόνιμη, και k ≠ 0, τότε 1/k F(kx + b)- πρωτόγονος για f(kx + b).

Θυμάμαι!

Οποιαδήποτε λειτουργία F (x) \u003d x 2 + C , όπου το C είναι μια αυθαίρετη σταθερά, και μόνο μια τέτοια συνάρτηση είναι αντιπαράγωγο για τη συνάρτηση f(x) = 2x.

Για παράδειγμα:
F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

f(x) = 2x,επειδή F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

f(x) = 2x,επειδή F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);

Σχέση μεταξύ γραφημάτων μιας συνάρτησης και αντιπαραγώγου της:

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)>0 F(x)αυξάνεται σε αυτό το διάστημα.
Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)<0 στο διάστημα, τότε η γραφική παράσταση του αντιπαραγώγου του F(x)μειώνεται σε αυτό το διάστημα.
Αν f(x)=0, τότε η γραφική παράσταση του αντιπαραγώγου του F(x)σε αυτό το σημείο αλλάζει από αύξουσα σε φθίνουσα (ή αντίστροφα).

Για να δηλώσουμε το αντιπαράγωγο χρησιμοποιείται το πρόσημο του αορίστου ολοκληρώματος, δηλαδή το ολοκλήρωμα χωρίς να δηλώνονται τα όρια ολοκλήρωσης.

Αόριστο ολοκλήρωμα

Ορισμός:

Το αόριστο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x) είναι η έκφραση F(x) + C, δηλαδή το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων της δεδομένης συνάρτησης f(x). Το αόριστο ολοκλήρωμα συμβολίζεται ως εξής: \int f(x) dx = F(x) + C

f(x)ονομάζεται ολοκλήρωμα.
f(x) dx- ονομάζεται ολοκλήρωμα.
Χ- ονομάζεται μεταβλητή ολοκλήρωσης.
F(x)- ένα από τα αντιπαράγωγα της συνάρτησης f(x);
ΑΠΟείναι μια αυθαίρετη σταθερά.

Ιδιότητες του αορίστου ολοκληρώματος

Η παράγωγος του αόριστου ολοκληρώματος ισούται με το ολοκλήρωμα: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
Ο σταθερός παράγοντας του ολοκληρώματος μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του ολοκληρώματος: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
Το ολοκλήρωμα του αθροίσματος (διαφορά) των συναρτήσεων είναι ίσο με το άθροισμα (διαφορά) των ολοκληρωμάτων αυτών των συναρτήσεων: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
Αν κ,βείναι σταθερές, και k ≠ 0, τότε \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Πίνακας αντιπαραγώγων και αόριστων ολοκληρωμάτων

Λειτουργία f(x)	αντιπαράγωγο F(x) + C	Αόριστα ολοκληρώματα \int f(x) dx = F(x) + C
0	ντο	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x)dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x)dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x)=\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)(1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =-l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sinx)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Τύπος Newton–Leibniz

Αφήνω f(x)αυτή η λειτουργία, φάτο αυθαίρετο πρωτόγονό του.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

όπου F(x)- πρωτόγονος για f(x)

Δηλαδή το ολοκλήρωμα της συνάρτησης f(x)στο διάστημα ισούται με τη διαφορά των αντιπαραγώγων στα σημεία σικαι ένα.

Περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς

Καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές λέγεται ένα σχήμα που οριοθετείται από μια γραφική παράσταση μιας μη αρνητικής και συνεχούς συνάρτησης σε ένα τμήμα φά, άξονας Ox και ευθείες x = ακαι x = β.

Η περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς βρίσκεται χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Οι τέσσερις κύριες μέθοδοι ολοκλήρωσης παρατίθενται παρακάτω.

1) Κανόνας ολοκλήρωσης αθροίσματος ή διαφοράς.
.
Εδώ και παρακάτω, u, v, w είναι συναρτήσεις της μεταβλητής ολοκλήρωσης x .

2) Βγάζοντας τη σταθερά από το ολοκληρωτικό πρόσημο.
Έστω c σταθερά ανεξάρτητη του x. Στη συνέχεια, μπορεί να αφαιρεθεί από το ολοκλήρωμα.

3) Μεταβλητή μέθοδος αντικατάστασης.
Θεωρήστε το αόριστο ολοκλήρωμα.
Εάν είναι δυνατόν να επιλέξετε μια τέτοια συνάρτηση φ (Χ)από x, έτσι
,
τότε, αφού αλλάξουμε τη μεταβλητή t = φ(x) , έχουμε
.

4) Ο τύπος για την ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα.
,
όπου u και v είναι συναρτήσεις της μεταβλητής ολοκλήρωσης.

Ο απώτερος στόχος του υπολογισμού των αόριστων ολοκληρωμάτων είναι, μέσω μετασχηματισμών, να φέρει το δεδομένο ολοκλήρωμα στα απλούστερα ολοκληρώματα, τα οποία ονομάζονται ολοκληρώματα πίνακα. Τα ολοκληρώματα του πίνακα εκφράζονται με όρους στοιχειωδών συναρτήσεων χρησιμοποιώντας γνωστούς τύπους.
Βλ. Πίνακας ολοκληρωμάτων >>>

Παράδειγμα

Υπολογίστε αόριστο ολοκλήρωμα

Απόφαση

Σημειώστε ότι το ολοκλήρωμα είναι το άθροισμα και η διαφορά τριών όρων:
, και .
Εφαρμόζουμε τη μέθοδο 1 .

Περαιτέρω, σημειώνουμε ότι τα ολοκληρώματα των νέων ολοκληρωμάτων πολλαπλασιάζονται με τις σταθερές 5, 4, και 2 , αντίστοιχα. Εφαρμόζουμε τη μέθοδο 2 .

Στον πίνακα των ολοκληρωμάτων βρίσκουμε τον τύπο
.
Ρύθμιση n = 2 , βρίσκουμε το πρώτο ολοκλήρωμα.

Ας ξαναγράψουμε το δεύτερο ολοκλήρωμα στη μορφή
.
Παρατηρούμε ότι . Τότε

Ας χρησιμοποιήσουμε την τρίτη μέθοδο. Κάνουμε την αλλαγή της μεταβλητής t = φ (x) = log x.
.
Στον πίνακα των ολοκληρωμάτων βρίσκουμε τον τύπο

Εφόσον η μεταβλητή της ολοκλήρωσης μπορεί να υποδηλωθεί με οποιοδήποτε γράμμα, τότε

Ας ξαναγράψουμε το τρίτο ολοκλήρωμα στη μορφή
.
Εφαρμόζουμε τον τύπο για ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα.
Αφήστε .
Τότε
;
;

;
;
.

Επιτέλους έχουμε
.
Συλλέξτε όρους με x 3 .
.

Απάντηση

Βιβλιογραφικές αναφορές:
Ν.Μ. Gunther, R.O. Kuzmin, Συλλογή προβλημάτων στα ανώτερα μαθηματικά, Lan, 2003.