Πώς να αποσυνθέσετε μια τετραγωνική εξίσωση σε 2 αγκύλες. Πώς να παραγοντοποιήσετε ένα τετράγωνο τριώνυμο

§ 4. Στρογγυλοποίηση αποτελεσμάτων

Η επεξεργασία των αποτελεσμάτων των μετρήσεων στα εργαστήρια πραγματοποιείται σε αριθμομηχανές και Η/Υ και είναι απλά εκπληκτικό πώς μια μεγάλη σειρά αριθμών μετά την υποδιαστολή επηρεάζει μαγικά πολλούς μαθητές. «Αυτό είναι πιο ακριβές», λένε. Ωστόσο, είναι εύκολο να δούμε, για παράδειγμα, ότι ο συμβολισμός a = 2,8674523 ± 0,076 δεν έχει νόημα. Με σφάλμα 0,076, τα τελευταία πέντε ψηφία του αριθμού δεν σημαίνουν απολύτως τίποτα.

Αν κάνουμε λάθος στα εκατοστά, τότε δεν υπάρχει πίστη στα χιλιοστά, ειδικά στα δέκα χιλιοστά. Μια σωστή καταγραφή του αποτελέσματος θα ήταν 2,87 ± 0,08. Είναι πάντα απαραίτητο να κάνετε τις απαραίτητες στρογγυλοποιήσεις, ώστε να μην υπάρχει λανθασμένη εντύπωση ότι τα αποτελέσματα είναι πιο ακριβή από ό,τι είναι στην πραγματικότητα.

Κανόνες στρογγυλοποίησης

1. Το σφάλμα μέτρησης στρογγυλοποιείται στον πρώτο σημαντικό αριθμό, αυξάνοντάς το πάντα κατά ένα.
   Παραδείγματα:

   8.27 ≈ 9	0.237 ≈ 0.3
   0.0862 ≈ 0.09	0.00035 ≈ 0.0004
   857.3 ≈ 900	43.5 ≈ 50

2. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων στρογγυλοποιούνται με ακρίβεια "στο σφάλμα", δηλ. το τελευταίο σημαντικό ψηφίο στο αποτέλεσμα πρέπει να είναι στο ίδιο ψηφίο με το σφάλμα.
   Παραδείγματα:

   243,871 ± 0,026 ≈ 243,87 ± 0,03;
   243.871 ± 2.6 ≈ 244 ± 3;
   1053 ± 47 ≈ 1050 ± 50.

3. Η στρογγυλοποίηση του αποτελέσματος της μέτρησης επιτυγχάνεται με την απλή απόρριψη των ψηφίων εάν το πρώτο από τα ψηφία που απορρίφθηκαν είναι μικρότερο από 5.
   Παραδείγματα:

   8,337 (στρογγυλοποίηση στα δέκατα) ≈ 8,3;
   833.438 (στρογγυλοποίηση) ≈ 833;
   0,27375 (στρογγυλοποίηση στα εκατοστά) ≈ 0,27.

4. Εάν το πρώτο από τα ψηφία που απορρίπτονται είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 5 (ακολουθούμενο από ένα ή περισσότερα ψηφία εκτός από το μηδέν), τότε το τελευταίο από τα υπόλοιπα ψηφία αυξάνεται κατά ένα.
   Παραδείγματα:

   8,3351 (στρογγυλοποίηση στα εκατοστά) ≈ 8,34;
   0,2510 (στρογγυλοποίηση στα δέκατα) ≈ 0,3;
   271.515 (στρογγυλοποίηση) ≈ 272.

5. Εάν το ψηφίο που απορρίπτεται είναι 5 και δεν υπάρχουν σημαντικά ψηφία πίσω από αυτό (ή υπάρχουν μόνο μηδενικά), τότε το τελευταίο ψηφίο που απομένει αυξάνεται κατά ένα όταν είναι μονό και παραμένει αμετάβλητο όταν είναι ζυγό.
   Παραδείγματα:

   0,875 (στρογγυλοποίηση στα εκατοστά) ≈ 0,88;
   0,5450 (στρογγυλοποίηση στα εκατοστά) ≈ 0,54;
   275.500 (στρογγυλοποίηση) ≈ 276;
   276.500 (στρογγυλοποίηση προς τα πάνω) ≈ 276.

Σημείωση.

1. Οι σημαντικοί αριθμοί είναι τα σωστά ψηφία ενός αριθμού, εκτός από τα μηδενικά μπροστά από τον αριθμό. Για παράδειγμα, 0,00807 αυτός ο αριθμός έχει τρία σημαντικά ψηφία: 8, μηδέν μεταξύ 8 και 7 και 7. τα τρία πρώτα μηδενικά είναι ασήμαντα.
   8.12 · 10 3 αυτός ο αριθμός έχει 3 σημαντικά ψηφία.
2. Οι καταχωρήσεις 15.2 και 15.200 είναι διαφορετικές. Η καταχώριση 15.200 σημαίνει ότι τα εκατοστά και τα χιλιοστά είναι σωστά. Στο λήμμα 15.2, οι ακέραιοι και τα δέκατα είναι σωστά.
3. Αποτελέσματα φυσικά πειράματαγράφονται μόνο με σημαντικά νούμερα. Ένα κόμμα τοποθετείται αμέσως μετά το μη μηδενικό ψηφίο και ο αριθμός πολλαπλασιάζεται επί δέκα στην κατάλληλη ισχύ. Τα μηδενικά στην αρχή ή στο τέλος ενός αριθμού συνήθως δεν γράφονται. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 0,00435 και 234000 γράφονται ως εξής: 4,35·10 -3 και 2,34·10 5 . Μια τέτοια σημείωση απλοποιεί τους υπολογισμούς, ειδικά στην περίπτωση τύπων που είναι βολικοί για τη λήψη λογαρίθμων.

Οι αριθμοί που πρέπει να αντιμετωπίσουμε πραγματική ζωή, είναι δύο τύπων. Ορισμένα μεταφέρουν με ακρίβεια την πραγματική αξία, άλλα μόνο κατά προσέγγιση. Τα πρώτα λέγονται ακριβής, το δεύτερο - κατά προσέγγιση.

Στην πραγματική ζωή, οι κατά προσέγγιση αριθμοί χρησιμοποιούνται συχνότερα αντί για τους ακριβείς αριθμούς, καθώς οι τελευταίοι συνήθως δεν απαιτούνται. Για παράδειγμα, χρησιμοποιούνται κατά προσέγγιση τιμές κατά τον καθορισμό ποσοτήτων όπως το μήκος ή το βάρος. Σε πολλές περιπτώσεις, ο ακριβής αριθμός είναι αδύνατο να βρεθεί.

Κανόνες στρογγυλοποίησης

Για να ληφθεί μια κατά προσέγγιση τιμή, ο αριθμός που λαμβάνεται ως αποτέλεσμα οποιωνδήποτε ενεργειών πρέπει να στρογγυλοποιηθεί, δηλαδή να αντικατασταθεί από τον πλησιέστερο στρογγυλό αριθμό.

Οι αριθμοί στρογγυλοποιούνται πάντα στο πλησιέστερο δεκαδικό ψηφίο. Οι φυσικοί αριθμοί στρογγυλοποιούνται σε δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες κ.λπ. Όταν στρογγυλοποιούνται οι αριθμοί σε δεκάδες, αντικαθίστανται από στρογγυλούς αριθμούς που αποτελούνται μόνο από ολόκληρες δεκάδες, αυτοί οι αριθμοί έχουν μηδενικά στο μοναδιαίο ψηφίο. Κατά τη στρογγυλοποίηση σε εκατοντάδες, οι αριθμοί αντικαθίστανται από στρογγυλότερους, που αποτελούνται μόνο από ολόκληρες εκατοντάδες, δηλαδή, τα μηδενικά βρίσκονται ήδη τόσο στη θέση ενός όσο και στη θέση των δεκάδων. Και ούτω καθεξής.

Δεκαδικάμπορεί να στρογγυλεθεί όπως ακέραιοι αριθμοί, δηλαδή σε δεκάδες, εκατοντάδες κλπ. Μπορούν όμως να στρογγυλοποιηθούν και σε δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά κ.λπ. Κατά τη στρογγυλοποίηση δεκαδικών ψηφίων, τα ψηφία δεν γεμίζονται με μηδενικά, αλλά απλώς απορρίπτονται. Και στις δύο περιπτώσεις, η στρογγυλοποίηση γίνεται σύμφωνα με έναν συγκεκριμένο κανόνα:

Εάν το απορριφθέν ψηφίο είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 5, τότε το προηγούμενο πρέπει να αυξηθεί κατά ένα και εάν είναι μικρότερο από 5, τότε το προηγούμενο ψηφίο δεν αλλάζει.

Εξετάστε μερικά παραδείγματα στρογγυλοποίησης αριθμών:

• Στρογγυλοποιήστε το 43152 στην πλησιέστερη χιλιάδα. Εδώ είναι απαραίτητο να απορρίψουμε 152 μονάδες, αφού ο αριθμός 1 βρίσκεται στα δεξιά του χιλιάδων θέσεων, τότε αφήνουμε το προηγούμενο σχήμα αμετάβλητο. Η κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού 43152, στρογγυλοποιημένος στην πλησιέστερη χιλιάδα, θα είναι ίση με 43000.
• Στρογγυλοποιήστε το 43152 στην πλησιέστερη εκατό. Ο πρώτος από τους αριθμούς που απορρίφθηκαν είναι 5, που σημαίνει ότι αυξάνουμε τον προηγούμενο αριθμό κατά ένα: 43152 ≈ 43200.
• Γύρος 43152 σε δεκάδες: 43152 ≈ 43150.
• Γύρος 17,7438 σε μονάδες: 17,7438 ≈ 18.
• Γύρος 17,7438 στα δέκατα: 17,7438 ≈ 17,7.
• Στρογγυλοποίηση 17,7438 στα εκατοστά: 17,7438 ≈ 17,74.
• Στρογγυλοποίηση 17,7438 στα χιλιοστά: 17,7438 ≈ 17,744.

Το σύμβολο ≈ ονομάζεται πρόσημο της κατά προσέγγιση ισότητας, διαβάζεται - "περίπου ίσο με".

Εάν, όταν στρογγυλοποιείτε έναν αριθμό, το αποτέλεσμα είναι μεγαλύτερο αρχική τιμή, τότε καλείται η τιμή που προκύπτει κατά προσέγγιση τιμή με υπέρβασηαν λιγότερο - κατά προσέγγιση τιμή με ένα μειονέκτημα:

7928 ≈ 8000, ο αριθμός 8000 είναι μια κατά προσέγγιση τιμή με υπέρβαση
5102 ≈ 5000, ο αριθμός 5000 είναι μια κατά προσέγγιση τιμή με ένα μειονέκτημα

Μέθοδοι

Μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε διαφορετικούς χώρους διάφορες μεθόδουςστρογγύλεμα. Σε όλες αυτές τις μεθόδους, τα "επιπλέον" πρόσημα μηδενίζονται (απορρίπτονται) και το πρόσημο που προηγείται διορθώνεται σύμφωνα με κάποιον κανόνα.

• Στρογγυλοποίηση στον πλησιέστερο ακέραιο (Αγγλικά στρογγύλεμα) - η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη στρογγυλοποίηση, στην οποία ο αριθμός στρογγυλοποιείται προς τα πάνω σε έναν ακέραιο, ο συντελεστής της διαφοράς με τον οποίο αυτός ο αριθμός έχει ένα ελάχιστο. ΣΕ γενική περίπτωση, όταν ένας δεκαδικός αριθμός στρογγυλοποιείται στο Νοτο δεκαδικό ψηφίο, ο κανόνας μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:
  • Αν N+1 χαρακτήρας< 5 , τότε το Νο πρόσημο διατηρείται και το Ν+1 και όλα τα επόμενα μηδενίζονται.
  • Αν N+1 χαρακτήρες ≥ 5, τότε το Ν-ο πρόσημο αυξάνεται κατά ένα και το N + 1 και όλα τα επόμενα μηδενίζονται.
  Για παράδειγμα: 11,9 → 12; -0,9 → -1; −1,1 → −1; 2,5 → 3.
• Modulo στρογγυλοποίησης προς τα κάτω(στρογγυλοποίηση προς το μηδέν, ακέραιος Αγγλικά διόρθωση, περικοπή, ακέραιος) είναι η πιο «απλή» στρογγυλοποίηση, αφού μετά τον μηδενισμό των «έξτρα» πρόσημων διατηρείται το προηγούμενο πρόσημο. Για παράδειγμα, 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1).
• Στρογγυλοποίηση(στρογγυλοποίηση προς +∞, στρογγυλοποίηση προς τα πάνω, Αγγλικά οροφή) - εάν τα μηδενιζόμενα πρόσημα δεν είναι ίσα με μηδέν, το προηγούμενο πρόσημο αυξάνεται κατά ένα εάν ο αριθμός είναι θετικός ή διατηρείται εάν ο αριθμός είναι αρνητικός. στην οικονομική ορολογία - στρογγυλοποίηση υπέρ πωλητής , πιστωτής (του ατόμου που λαμβάνει τα χρήματα). Ειδικότερα, 2,6 → 3, −2,6 → −2.
• Στρογγυλοποίηση προς τα κάτω(στρογγυλοποίηση προς −∞, στρογγυλοποίηση προς τα κάτω, Αγγλικά πάτωμα) - εάν τα μηδενικά πρόσημα δεν είναι ίσα με μηδέν, το προηγούμενο πρόσημο διατηρείται εάν ο αριθμός είναι θετικός ή αυξάνεται κατά ένα εάν ο αριθμός είναι αρνητικός. στην οικονομική ορολογία - στρογγυλοποίηση υπέρ αγοραστής , οφειλέτης (το άτομο που δίνει τα χρήματα). Εδώ 2,6 → 2, −2,6 → −3.
• Στρογγυλοποίηση modulo(στρογγυλή προς το άπειρο, στρογγυλοποίηση μακριά από το μηδέν) είναι μια σχετικά σπάνια χρησιμοποιούμενη μορφή στρογγυλοποίησης. Εάν οι μηδενιζόμενοι χαρακτήρες δεν είναι ίσοι με μηδέν, ο προηγούμενος χαρακτήρας αυξάνεται κατά ένα.

Στρογγυλοποίηση επιλογών 0,5 στον πλησιέστερο ακέραιο

Απαιτείται ξεχωριστή περιγραφή από τους κανόνες στρογγυλοποίησης για την ειδική περίπτωση όταν (Ν+1)ο ψηφίο = 5 και τα επόμενα ψηφία είναι μηδέν. Εάν σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, η στρογγυλοποίηση στον πλησιέστερο ακέραιο παρέχει μικρότερο σφάλμα στρογγυλοποίησης, τότε αυτό ειδική περίπτωσηΕίναι χαρακτηριστικό ότι για μία μόνο στρογγυλοποίηση είναι τυπικά αδιάφορο εάν θα το παραχθεί "πάνω" ή "κάτω" - και στις δύο περιπτώσεις εισάγεται σφάλμα ακριβώς στο 1/2 του λιγότερο σημαντικού ψηφίου. Υπάρχουν οι ακόλουθες παραλλαγές του κανόνα στρογγυλοποίησης στον πλησιέστερο ακέραιο για αυτήν την περίπτωση:

• Μαθηματική στρογγυλοποίηση- η στρογγυλοποίηση είναι πάντα προς τα πάνω (το προηγούμενο ψηφίο αυξάνεται πάντα κατά ένα).
• Στρογγυλοποίηση τράπεζας (Αγγλικά στρογγυλοποίηση τραπεζίτη) - η στρογγυλοποίηση για αυτήν την περίπτωση γίνεται στο πλησιέστερο ακόμη και, δηλαδή 2,5 → 2, 3,5 → 4.
• Τυχαία στρογγυλοποίηση- στρογγυλοποίηση προς τα πάνω ή προς τα κάτω τυχαία, αλλά με ίση πιθανότητα (μπορεί να χρησιμοποιηθεί στα στατιστικά).
• Εναλλακτική στρογγυλοποίηση- Η στρογγυλοποίηση γίνεται εναλλάξ προς τα πάνω ή προς τα κάτω.

Σε όλες τις περιπτώσεις, όταν το πρόσημο (N + 1) δεν είναι ίσο με 5 ή τα επόμενα σύμβολα δεν είναι ίσα με μηδέν, η στρογγυλοποίηση γίνεται σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Απλώς τυπικά αντιστοιχεί η μαθηματική στρογγυλοποίηση γενικός κανόναςστρογγυλοποίηση (βλ. παραπάνω). Το μειονέκτημά του είναι ότι κατά τη στρογγυλοποίηση μεγάλου αριθμού τιμών, μπορεί να συμβεί συσσώρευση. λάθη στρογγυλοποίησης. Χαρακτηριστικό παράδειγμα: στρογγυλοποίηση σε ολόκληρα ρούβλια των νομισματικών ποσών. Έτσι, εάν στο μητρώο των 10.000 γραμμών υπάρχουν 100 γραμμές με ποσά που περιέχουν την τιμή 50 σε καπίκια (και αυτό είναι αρκετά πραγματικό σκορ), τότε όταν όλες αυτές οι γραμμές στρογγυλοποιηθούν "επάνω", το άθροισμα του "συνόλου" σύμφωνα με το στρογγυλεμένο μητρώο θα είναι 50 ρούβλια περισσότερο από το ακριβές.

Οι άλλες τρεις επιλογές επινοήθηκαν απλώς για να μειωθεί το συνολικό σφάλμα του αθροίσματος κατά τη στρογγυλοποίηση. ένας μεγάλος αριθμόςαξίες. Η στρογγυλοποίηση "στον πλησιέστερο ζυγό αριθμό" βασίζεται στην υπόθεση ότι όταν μεγάλοι αριθμοίστρογγυλεμένες τιμές που έχουν 0,5 στο στρογγυλεμένο υπόλοιπο, κατά μέσο όρο, το μισό θα είναι προς τα αριστερά και το μισό προς τα δεξιά του πλησιέστερου ζυγού αριθμού, επομένως τα σφάλματα στρογγυλοποίησης αλληλοεξουδετερώνονται. Αυστηρά μιλώντας, αυτή η υπόθεση ισχύει μόνο όταν το σύνολο των αριθμών που στρογγυλοποιείται έχει τις ιδιότητες μιας τυχαίας σειράς, κάτι που ισχύει συνήθως σε λογιστικές εφαρμογές όπου μιλάμε για τιμές, ποσά σε λογαριασμούς και ούτω καθεξής. Εάν παραβιαστεί η υπόθεση, τότε η στρογγυλοποίηση «στο άρτιο» μπορεί να οδηγήσει σε συστηματικά σφάλματα. Για τέτοιες περιπτώσεις, οι ακόλουθες δύο μέθοδοι λειτουργούν καλύτερα.

Δύο τελευταία έκδοσηΗ στρογγυλοποίηση εγγυάται ότι οι μισές περίπου από τις ειδικές τιμές θα στρογγυλοποιηθούν προς τη μία κατεύθυνση και οι μισές από την άλλη. Αλλά η εφαρμογή τέτοιων μεθόδων στην πράξη απαιτεί επιπλέον προσπάθειασχετικά με την οργάνωση της υπολογιστικής διαδικασίας.

Εφαρμογές

Η στρογγυλοποίηση χρησιμοποιείται για την εργασία με αριθμούς εντός του αριθμού των ψηφίων που αντιστοιχεί στην πραγματική ακρίβεια των παραμέτρων υπολογισμού (εάν αυτές οι τιμές είναι πραγματικές τιμές που μετρώνται με τον ένα ή τον άλλο τρόπο), η ρεαλιστικά επιτεύξιμη ακρίβεια υπολογισμού ή την επιθυμητή ακρίβεια του αποτελέσματος. Στο παρελθόν είχε στρογγυλοποιήσει τις ενδιάμεσες τιμές και το αποτέλεσμα εφαρμοσμένη τιμή(αφού κατά τον υπολογισμό σε χαρτί ή τη χρήση πρωτόγονων συσκευών όπως π.χ άβακαςη καταγραφή επιπλέον δεκαδικών ψηφίων μπορεί να αυξήσει σοβαρά τον όγκο της εργασίας). Τώρα παραμένει στοιχείο επιστημονικής και μηχανικής κουλτούρας. Σε λογιστικές εφαρμογές, επιπλέον, μπορεί να απαιτείται η χρήση στρογγυλοποίησης, συμπεριλαμβανομένων των ενδιάμεσων, για την προστασία από υπολογιστικά σφάλματα που σχετίζονται με την χωρητικότητα πεπερασμένων bit των υπολογιστικών συσκευών.

Χρήση στρογγυλοποίησης όταν εργάζεστε με αριθμούς περιορισμένης ακρίβειας

Πραγματικός φυσικές ποσότητεςμετρώνται πάντα με κάποια πεπερασμένη ακρίβεια, η οποία εξαρτάται από τα όργανα και τις μεθόδους μέτρησης και υπολογίζεται από τη μέγιστη σχετική ή απόλυτη απόκλιση της άγνωστης πραγματικής τιμής από τη μετρούμενη, η οποία σε δεκαδική αναπαράσταση της τιμής αντιστοιχεί είτε σε ορισμένο αριθμό σημαντικά ψηφία ή σε μια ορισμένη θέση στη σημειογραφία του αριθμού, όλα τα ψηφία μετά ( στα δεξιά) που είναι ασήμαντα (βρίσκονται εντός του σφάλματος μέτρησης). Οι ίδιες οι μετρούμενες παράμετροι καταγράφονται με τέτοιο αριθμό χαρακτήρων που όλα τα στοιχεία είναι αξιόπιστα, ίσως η τελευταία είναι αμφίβολη. Σφάλμα στο μαθηματικές πράξειςμε αριθμούς περιορισμένης ακρίβειας αποθηκεύεται και αλλάζει σύμφωνα με γνωστούς μαθηματικούς νόμους, οπότε όταν εμφανίζονται ενδιάμεσες τιμές και αποτελέσματα με μεγάλο αριθμό ψηφίων σε περαιτέρω υπολογισμούς, μόνο ένα μέρος αυτών των ψηφίων είναι σημαντικό. Τα υπόλοιπα στοιχεία, καθώς υπάρχουν στις τιμές, δεν αντικατοπτρίζουν στην πραγματικότητα καμία φυσική πραγματικότητα και χρειάζονται μόνο χρόνο για υπολογισμούς. Ως αποτέλεσμα, οι ενδιάμεσες τιμές και τα αποτελέσματα σε υπολογισμούς με περιορισμένη ακρίβεια στρογγυλοποιούνται στον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων που αντικατοπτρίζει την πραγματική ακρίβεια των τιμών που λαμβάνονται. Στην πράξη, συνήθως συνιστάται η αποθήκευση ενός ακόμη ψηφίου σε ενδιάμεσες τιμές για μακροχρόνιους "αλυσωτούς" μη αυτόματους υπολογισμούς. Όταν χρησιμοποιείτε υπολογιστή, οι ενδιάμεσες στρογγυλοποιήσεις σε επιστημονικές και τεχνικές εφαρμογές συνήθως χάνουν το νόημά τους και μόνο το αποτέλεσμα στρογγυλοποιείται.

Έτσι, για παράδειγμα, εάν δίνεται δύναμη 5815 gf με ακρίβεια γραμμαρίου δύναμης και μήκος ώμου 1,4 m με ακρίβεια εκατοστού, τότε η ροπή δύναμης σε kgf σύμφωνα με τον τύπο, στην περίπτωση ενός τυπικού υπολογισμού με όλα τα πρόσημα, θα ισούται με: 5,815 kgf 1,4 m = 8,141 kgf m. Ωστόσο, αν λάβουμε υπόψη το σφάλμα μέτρησης, τότε παίρνουμε ότι το περιοριστικό σχετικό σφάλμα της πρώτης τιμής είναι 1/5815 ≈ 1,7 10 −4 , δεύτερο - 1/140 ≈ 7,1 10 −3 , το σχετικό σφάλμα του αποτελέσματος σύμφωνα με τον κανόνα του σφάλματος της πράξης πολλαπλασιασμού (κατά τον πολλαπλασιασμό κατά προσέγγιση τιμών σχετικά λάθηαθροίζω) θα είναι 7,3 10 −3 , που αντιστοιχεί στο μέγιστο απόλυτο λάθοςαποτέλεσμα ±0,059 kgf m! Δηλαδή, στην πραγματικότητα, λαμβάνοντας υπόψη το σφάλμα, το αποτέλεσμα μπορεί να είναι από 8.082 έως 8.200 kgf m, επομένως, στην υπολογισμένη τιμή των 8.141 kgf m, μόνο το πρώτο ψηφίο είναι απολύτως αξιόπιστο, ακόμη και το δεύτερο είναι ήδη αμφίβολο! Θα είναι σωστό να στρογγυλοποιήσετε το αποτέλεσμα του υπολογισμού στο πρώτο αμφίβολο ψηφίο, δηλαδή στα δέκατα: 8,1 kgf m, ή, εάν είναι απαραίτητο, μια ακριβέστερη ένδειξη του περιθωρίου σφάλματος, να το παρουσιάσετε σε μορφή στρογγυλοποιημένη στο ένα ή δύο δεκαδικά ψηφία με ένδειξη του σφάλματος: 8,14 ± 0,06 kgf m.

Εμπειρικοί κανόνες αριθμητικής με στρογγυλοποίηση

Σε περιπτώσεις όπου δεν χρειάζεται να ληφθούν υπόψη με ακρίβεια υπολογιστικά σφάλματα, αλλά μόνο μια κατά προσέγγιση εκτίμηση του αριθμού των ακριβείς αριθμούςως αποτέλεσμα του υπολογισμού με τον τύπο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το σύνολο απλούς κανόνεςστρογγυλεμένοι υπολογισμοί:

1. Όλες οι πρωτογενείς τιμές στρογγυλοποιούνται στην πραγματική ακρίβεια μέτρησης και καταγράφονται με τον κατάλληλο αριθμό σημαντικών ψηφίων, έτσι ώστε σε δεκαδικός συμβολισμόςόλα τα στοιχεία ήταν αξιόπιστα (επιτρέπεται ότι το τελευταίο στοιχείο είναι αμφίβολο). Εάν είναι απαραίτητο, οι τιμές καταγράφονται με σημαντικά μηδενικά δεξιά, έτσι ώστε ο πραγματικός αριθμός αξιόπιστων χαρακτήρων να εμφανίζεται στην εγγραφή (για παράδειγμα, εάν ένα μήκος 1 m πραγματικά μετρηθεί με ακρίβεια εκατοστού, το "1,00 m" είναι γραμμένο έτσι ώστε να μπορεί να φανεί ότι δύο χαρακτήρες είναι αξιόπιστοι στην εγγραφή μετά την υποδιαστολή) ή η ακρίβεια υποδεικνύεται ρητά (για παράδειγμα, 2500 ± 5 m - εδώ μόνο οι δεκάδες είναι αξιόπιστες και θα πρέπει να στρογγυλοποιηθούν προς τα πάνω) .
2. Οι ενδιάμεσες τιμές στρογγυλοποιούνται με ένα "εφεδρικό" ψηφίο.
3. Κατά την πρόσθεση και την αφαίρεση, το αποτέλεσμα στρογγυλοποιείται στο τελευταίο δεκαδικό ψηφίο της λιγότερο ακριβούς των παραμέτρων (για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό μιας τιμής 1,00 m + 1,5 m + 0,075 m, το αποτέλεσμα στρογγυλοποιείται στα δέκατα του μέτρου, ότι είναι, στα 2,6 m). Ταυτόχρονα, συνιστάται να εκτελούνται υπολογισμοί με τέτοια σειρά ώστε να αποφεύγεται η αφαίρεση αριθμών που είναι κοντά σε μέγεθος και να γίνονται πράξεις σε αριθμούς, αν είναι δυνατόν, με αύξουσα σειρά των μονάδων τους.
4. Κατά τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση, το αποτέλεσμα στρογγυλοποιείται προς τα πάνω ο μικρότερος αριθμόςσημαντικά ψηφία που έχουν οι παράμετροι (για παράδειγμα, κατά τον υπολογισμό της ταχύτητας ομοιόμορφη κίνησησώμα σε απόσταση 2,5 10 2 m, για 600 s το αποτέλεσμα θα πρέπει να στρογγυλοποιηθεί στα 4,2 m / s, καθώς είναι δύο ψηφία που έχουν απόσταση και ο χρόνος έχει τρία, υποθέτοντας ότι όλα τα ψηφία στην καταχώρηση είναι σημαντικά ).
5. Κατά τον υπολογισμό της τιμής της συνάρτησης f(x)απαιτείται για την αξιολόγηση της αξίας της ενότητας παράγωγοαυτή η λειτουργία κοντά στο σημείο υπολογισμού. Αν (|f"(x)| ≤ 1), τότε το αποτέλεσμα της συνάρτησης είναι ακριβώς στο ίδιο δεκαδικό ψηφίο με το όρισμα. Διαφορετικά, το αποτέλεσμα περιέχει λιγότερα ακριβή δεκαδικά ψηφίακατά το ποσό ημερολόγιο 10 (|f"(x)|), στρογγυλεμένο στον πλησιέστερο ακέραιο.

Παρά τη μη αυστηρότητα, οι παραπάνω κανόνες λειτουργούν αρκετά καλά στην πράξη, ιδίως λόγω της μάλλον μεγάλης πιθανότητας αμοιβαίας ακύρωσης των σφαλμάτων, η οποία συνήθως δεν λαμβάνεται υπόψη όταν λαμβάνονται με ακρίβεια υπόψη τα σφάλματα.

Λάθη

Αρκετά συχνά υπάρχουν καταχρήσεις μη στρογγυλών αριθμών. Για παράδειγμα:

• Καταγράψτε τους αριθμούς που έχουν χαμηλή ακρίβεια, σε μη στρογγυλεμένη μορφή. Στα στατιστικά: αν 4 άτομα από τα 17 απάντησαν «ναι», τότε γράφουν «23,5%» (ενώ το «24%» είναι σωστό).
• Οι χρήστες του δείκτη μερικές φορές σκέφτονται ως εξής: "ο δείκτης σταμάτησε μεταξύ 5,5 και 6 πιο κοντά στο 6, ας είναι 5,8" - αυτό απαγορεύεται επίσης ( βαθμονόμηση οργάνουσυνήθως αντιστοιχεί στην πραγματική του ακρίβεια). Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να πείτε "5,5" ή "6".

δείτε επίσης

• Επεξεργασία Παρατήρησης
• Σφάλματα στρογγυλοποίησης

Σημειώσεις

Βιβλιογραφία

• Henry S. Warren, Jr. κεφάλαιο 3// Αλγοριθμικά κόλπα για προγραμματιστές = Hacker's Delight. - M .: Williams, 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4