Μιγαδικοί αριθμοί. Αύξηση μιγαδικών αριθμών σε δυνάμεις

Να σας το θυμίσουμε απαραίτητες πληροφορίεςγια μιγαδικούς αριθμούς.

Μιγαδικός αριθμόςείναι έκφραση της μορφής ένα + δις, Οπου ένα, σι - πραγματικούς αριθμούς, ΕΝΑ Εγώ- τα λεγόμενα φανταστική μονάδα, ένα σύμβολο του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με –1, δηλαδή Εγώ 2 = –1. Αριθμός έναπου ονομάζεται πραγματικό μέροςκαι τον αριθμό σι - φανταστικό μέροςμιγαδικός αριθμός z = ένα + δις. Αν σι= 0, τότε αντ' αυτού ένα + 0Εγώγράφουν απλά ένα. Μπορεί να φανεί ότι οι πραγματικοί αριθμοί είναι ειδική περίπτωση μιγαδικοί αριθμοί.

Οι αριθμητικές πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς είναι ίδιες με τους πραγματικούς αριθμούς: μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν, να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν μεταξύ τους. Η πρόσθεση και η αφαίρεση γίνονται σύμφωνα με τον κανόνα ( ένα + δις) ± ( ντο + di) = (ένα ± ντο) + (σι ± ρε)Εγώκαι ο πολλαπλασιασμός ακολουθεί τον κανόνα ( ένα + δις) · ( ντο + di) = (μετα Χριστον – βδ) + (Ενα δ + προ ΧΡΙΣΤΟΥ)Εγώ(εδώ χρησιμοποιείται αυτό Εγώ 2 = –1). Αριθμός = ένα – διςπου ονομάζεται σύνθετο συζυγέςΠρος την z = ένα + δις. Ισότητα z · = ένα 2 + σιΤο 2 σάς επιτρέπει να κατανοήσετε πώς να διαιρέσετε έναν μιγαδικό αριθμό με έναν άλλο (μη μηδενικό) μιγαδικό αριθμό:

(Για παράδειγμα, .)

Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν ένα βολικό και οπτικό γεωμετρική παράσταση: αριθμός z = ένα + διςμπορεί να αναπαρασταθεί από ένα διάνυσμα με συντεταγμένες ( ένα; σι) επί Καρτεσιανό αεροπλάνο(ή, που είναι σχεδόν το ίδιο πράγμα, ένα σημείο - το τέλος ενός διανύσματος με αυτές τις συντεταγμένες). Σε αυτή την περίπτωση, το άθροισμα δύο μιγαδικών αριθμών απεικονίζεται ως το άθροισμα των αντίστοιχων διανυσμάτων (τα οποία μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τον κανόνα του παραλληλογράμμου). Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, το μήκος του διανύσματος με συντεταγμένες ( ένα; σι) είναι ίσο με . Αυτή η ποσότητα ονομάζεται μονάδα μέτρησηςμιγαδικός αριθμός z = ένα + διςκαι συμβολίζεται με | z|. Η γωνία που κάνει αυτό το διάνυσμα με τη θετική φορά του άξονα x (μετράται αριστερόστροφα) ονομάζεται διαφωνίαμιγαδικός αριθμός zκαι συμβολίζεται με Arg z. Το όρισμα δεν ορίζεται μοναδικά, αλλά μόνο μέχρι την προσθήκη μιας τιμής που είναι πολλαπλάσιο του 2 π ακτίνια (ή 360°, αν μετρηθούν σε μοίρες) - τελικά, είναι σαφές ότι η περιστροφή με μια τέτοια γωνία γύρω από την αρχή δεν θα αλλάξει το διάνυσμα. Αν όμως το διάνυσμα του μήκους rσχηματίζει γωνία φ με τη θετική φορά του άξονα x, τότε οι συντεταγμένες του είναι ίσες με ( rσυν φ ; rαμαρτία φ ). Από εδώ αποδεικνύεται τριγωνομετρική σημειογραφίαμιγαδικός αριθμός: z = |z| · (συν(Αργ z) + Εγώαμαρτία (Αργ z)). Είναι συχνά βολικό να γράφουμε μιγαδικούς αριθμούς σε αυτή τη μορφή, γιατί απλοποιεί πολύ τους υπολογισμούς. Ο πολλαπλασιασμός μιγαδικών αριθμών σε τριγωνομετρική μορφή είναι πολύ απλός: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (συν(Αργ z 1 + Αργ z 2) + Εγώαμαρτία (Αργ z 1 + Αργ z 2)) (κατά τον πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικών αριθμών, οι ενότητες τους πολλαπλασιάζονται και προστίθενται τα ορίσματά τους). Από εδώ ακολουθήστε Οι τύποι του Moivre: z n = |z|n· (κο n· (Αργ z)) + Εγώαμαρτία( n· (Αργ z))). Χρησιμοποιώντας αυτούς τους τύπους, είναι εύκολο να μάθετε πώς να εξάγετε ρίζες οποιουδήποτε βαθμού από μιγαδικούς αριθμούς. Ρίζα ου βαθμούαπό τον αριθμό z- αυτός είναι ένας σύνθετος αριθμός w, Τι w n = z. Είναι ξεκάθαρο ότι , Και που κμπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από το σύνολο (0, 1, ..., n- 1). Αυτό σημαίνει ότι πάντα υπάρχει ακριβώς nρίζες nου βαθμού ενός μιγαδικού αριθμού (στο επίπεδο βρίσκονται στις κορυφές του τακτικού n-gon).

§1. Μιγαδικοί αριθμοί

1°. Ορισμός. Αλγεβρική σημειογραφία.

Ορισμός 1. Μιγαδικοί αριθμοίκαλούνται διατεταγμένα ζεύγη πραγματικών αριθμών Και , εάν για αυτούς οριστεί η έννοια των πράξεων ισότητας, πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού, ικανοποιώντας τα ακόλουθα αξιώματα:

1) Δύο αριθμοί
Και
ίσο αν και μόνο αν
,
, δηλ.

2) Το άθροισμα των μιγαδικών αριθμών
Και

και ίσοι
, δηλ.

3) Γινόμενο μιγαδικών αριθμών
Και
είναι ο αριθμός που συμβολίζεται με
και ίσα, δηλ.

Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών συμβολίζεται ντο.

Τύποι (2), (3) για αριθμούς της φόρμας
πάρτε τη μορφή

απ' όπου προκύπτει ότι οι πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού για αριθμούς της μορφής
συμπίπτουν με πρόσθεση και πολλαπλασιασμό για πραγματικούς αριθμούς μιγαδικός αριθμός της φόρμας
ταυτίζεται με πραγματικό αριθμό .

Μιγαδικός αριθμός
που ονομάζεται φανταστική μονάδακαι ορίζεται , δηλ.
Στη συνέχεια από (3)

Από (2), (3)  που σημαίνει

Η έκφραση (4) ονομάζεται αλγεβρική σημειογραφίαμιγαδικός αριθμός.

Στην αλγεβρική σημειογραφία, οι πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού έχουν τη μορφή:

Ένας μιγαδικός αριθμός συμβολίζεται με
,- πραγματικό μέρος, - φανταστικό μέρος, είναι ένας καθαρά φανταστικός αριθμός. Ονομασία:
,
.

Ορισμός 2. Μιγαδικός αριθμός
που ονομάζεται κλίνωμε μιγαδικό αριθμό
.

Ιδιότητες μιγαδικής σύζευξης.

1)

2)
.

3) Αν
, Οτι
.

4)
.

5)
- πραγματικός αριθμός.

Η απόδειξη πραγματοποιείται με άμεσο υπολογισμό.

Ορισμός 3. Αριθμός
που ονομάζεται μονάδα μέτρησηςμιγαδικός αριθμός
και ορίζεται
.

Είναι προφανές ότι
, και


. Οι τύποι είναι επίσης προφανείς:
Και
.

2°. Ιδιότητες πράξεων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού.

1) Ανταλλαγή:
,
.

2) Συνεταιρισμός:,
.

3) Διανομή: .

Η απόδειξη 1) – 3) πραγματοποιείται με άμεσους υπολογισμούς που βασίζονται σε παρόμοιες ιδιότητες για πραγματικούς αριθμούς.

4)
,
.

5) , ντο ! , ικανοποιώντας την εξίσωση
. Αυτό

6) ,ντο, 0, ! :
. Αυτό Βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση επί



.

Παράδειγμα. Ας φανταστούμε έναν μιγαδικό αριθμό
V αλγεβρική μορφή. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με τον συζευγμένο αριθμό του παρονομαστή. Εχουμε:

3°. Γεωμετρική ερμηνεία μιγαδικών αριθμών. Τριγωνομετρική και εκθετική μορφή γραφής μιγαδικού αριθμού.

Αφήστε να δοθεί στο αεροπλάνο ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες Επειτα
ντομπορείτε να αντιστοιχίσετε ένα σημείο στο επίπεδο με τις συντεταγμένες
.(βλ. Εικ. 1). Προφανώς, μια τέτοια αντιστοιχία είναι ένα προς ένα. Στην περίπτωση αυτή, οι πραγματικοί αριθμοί βρίσκονται στον άξονα της τετμημένης και οι καθαρά φανταστικοί αριθμοί βρίσκονται στον άξονα των τεταγμένων. Επομένως, ο άξονας της τετμημένης ονομάζεται πραγματικός άξονας, και ο άξονας τεταγμένων − φανταστικός άξονας. Το επίπεδο στο οποίο βρίσκονται οι μιγαδικοί αριθμοί ονομάζεται σύνθετο επίπεδο.

Σημειώστε ότι Και
είναι συμμετρικά ως προς την προέλευση, και Και συμμετρικό ως προς το Ox.

Κάθε μιγαδικός αριθμός (δηλαδή, κάθε σημείο του επιπέδου) μπορεί να συσχετιστεί με ένα διάνυσμα με την αρχή στο σημείο Ο και το τέλος στο σημείο
. Η αντιστοιχία μεταξύ διανυσμάτων και μιγαδικών αριθμών είναι ένα προς ένα. Επομένως, το διάνυσμα που αντιστοιχεί σε μιγαδικό αριθμό , που συμβολίζεται με το ίδιο γράμμα

ρε διανυσματική γραμμή
που αντιστοιχεί σε μιγαδικό αριθμό
, είναι ίσο
, και
,
.

Χρησιμοποιώντας την ερμηνεία του διανύσματος, μπορούμε να δούμε ότι το διάνυσμα
− άθροισμα διανυσμάτων Και , ΕΝΑ
− άθροισμα διανυσμάτων Και
.(βλ. Εικ. 2). Επομένως, ισχύουν οι ακόλουθες ανισότητες:

Μαζί με το μήκος διάνυσμα ας εισαγάγουμε τη γωνία μεταξύ του φορέα και ο άξονας Ox, μετρημένος από τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ox: αν η μέτρηση είναι αριστερόστροφα, τότε το πρόσημο της γωνίας θεωρείται θετικό, εάν είναι δεξιόστροφα, τότε είναι αρνητικό. Αυτή η γωνία ονομάζεται όρισμα μιγαδικού αριθμούκαι ορίζεται
. Γωνία δεν καθορίζεται μονοσήμαντα, αλλά με ακρίβεια
…. Για
το επιχείρημα δεν ορίζεται.

Οι τύποι (6) ορίζουν τα λεγόμενα τριγωνομετρική σημειογραφίαμιγαδικός αριθμός.

Από το (5) προκύπτει ότι αν
Και
Οτι

Από (5)
τι θα έλεγες Και ένας μιγαδικός αριθμός προσδιορίζεται μοναδικά. Το αντίστροφο δεν ισχύει: δηλαδή, πάνω από έναν μιγαδικό αριθμό την ενότητα του είναι μοναδικό, και το επιχείρημα , δυνάμει του (7), − με ακρίβεια
. Από το (7) προκύπτει επίσης ότι το επιχείρημα μπορεί να βρεθεί ως λύση της εξίσωσης

Ωστόσο, δεν είναι όλες οι λύσεις αυτής της εξίσωσης λύσεις της (7).

Μεταξύ όλων των τιμών του ορίσματος ενός μιγαδικού αριθμού, επιλέγεται μία, η οποία ονομάζεται κύρια τιμή του ορίσματος και συμβολίζεται
. Συνήθως η κύρια τιμή του ορίσματος επιλέγεται είτε στο διάστημα
, ή στο διάστημα

Είναι βολικό να εκτελούνται πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης σε τριγωνομετρική μορφή.

Θεώρημα 1.Συντελεστής παραγωγής μιγαδικών αριθμών Και είναι ίσο με το γινόμενο των λειτουργικών μονάδων και το όρισμα είναι το άθροισμα των ορισμάτων, δηλ.

, ΕΝΑ .

Επίσης

,

Απόδειξη.Αφήστε ,. Τότε με άμεσο πολλαπλασιασμό παίρνουμε:

Επίσης

.■

Συνέπεια(Ο τύπος του Moivre). Για
Ισχύει ο τύπος του Moivre

Π παράδειγμα. Ας βρούμε τη γεωμετρική θέση του σημείου
. Από το Θεώρημα 1 προκύπτει ότι .

Επομένως, για να το κατασκευάσετε, πρέπει πρώτα να κατασκευάσετε ένα σημείο , που είναι η αντιστροφή σε σχέση με τον μοναδιαίο κύκλο και, στη συνέχεια, βρείτε ένα σημείο συμμετρικό με αυτόν σε σχέση με τον άξονα Ox.

Αφήνω
,εκείνοι.
Μιγαδικός αριθμός
συμβολίζεται με
, δηλ. RΙσχύει ο τύπος του Euler

Επειδή
, Οτι
,
. Από το Θεώρημα 1
τι συμβαίνει με τη λειτουργία
μπορείτε να εργαστείτε όπως με μια κανονική εκθετική συνάρτηση, π.χ. ισχύουν οι ισότητες

,
,
.

Από (8)
επιδεικτική σημειογραφίαμιγαδικός αριθμός

, Οπου
,

Παράδειγμα. .

4°. Ρίζες -η δύναμη μιγαδικού αριθμού.

Θεωρήστε την εξίσωση

Αφήνω
, και η λύση της εξίσωσης (9) αναζητείται στη μορφή
. Στη συνέχεια το (9) παίρνει τη μορφή
, από όπου το βρίσκουμε
,
, δηλ.

,
,
.

Έτσι, η εξίσωση (9) έχει ρίζες

Ας δείξουμε ότι μεταξύ (10) υπάρχει ακριβώς διαφορετικές ρίζες. Πραγματικά,

είναι διαφορετικά, γιατί τα επιχειρήματά τους είναι διαφορετικά και διαφέρουν λιγότερο από
. Περαιτέρω,
, επειδή
. Επίσης
.

Έτσι, η εξίσωση (9) στο
έχει ακριβώς ρίζες
, που βρίσκεται στις κορυφές της κανονικής - τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας με κέντρο την τ.Ο.

Έτσι αποδεικνύεται

Θεώρημα 2.Εξαγωγή ριζών -η δύναμη μιγαδικού αριθμού
Είναι πάντα δυνατό. Όλες οι έννοιες της ρίζας ο βαθμός του που βρίσκεται στις κορυφές του σωστού -gon εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο στο μηδέν και ακτίνα
. Εν,

Συνέπεια.Ρίζες -η δύναμη του 1 εκφράζονται με τον τύπο

.

Το γινόμενο δύο ριζών του 1 είναι μια ρίζα, το 1 είναι μια ρίζα -η δύναμη της ενότητας, ρίζα
:
.

Ας ξεκινήσουμε με το αγαπημένο μας τετράγωνο.

Παράδειγμα 9

Τετράγωνο μιγαδικού αριθμού

Εδώ μπορείτε να πάτε με δύο τρόπους, ο πρώτος τρόπος είναι να ξαναγράψετε τον βαθμό ως γινόμενο παραγόντων και να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς σύμφωνα με τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων.

Η δεύτερη μέθοδος είναι να χρησιμοποιήσετε τον γνωστό σχολικό τύπο για συντομευμένο πολλαπλασιασμό:

Για έναν μιγαδικό αριθμό είναι εύκολο να εξαγάγετε τον δικό σας συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού:

Ένας παρόμοιος τύπος μπορεί να προκύψει για το τετράγωνο της διαφοράς, καθώς και για τον κύβο του αθροίσματος και τον κύβο της διαφοράς. Αλλά αυτοί οι τύποι είναι πιο σχετικοί για σύνθετα προβλήματα ανάλυσης. Τι γίνεται αν χρειαστεί να αυξήσετε έναν μιγαδικό αριθμό, ας πούμε, στην 5η, 10η ή 100η δύναμη; Είναι σαφές ότι είναι σχεδόν αδύνατο να εκτελέσετε ένα τέτοιο τέχνασμα σε αλγεβρική μορφή, πράγματι, σκεφτείτε πώς θα λύσετε ένα παράδειγμα όπως;

Και εδώ η τριγωνομετρική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού έρχεται στη διάσωση και το λεγόμενο Η φόρμουλα του Moivre: Εάν ένας μιγαδικός αριθμός αναπαρίσταται σε τριγωνομετρική μορφή, τότε όταν αυξάνεται σε φυσική δύναμη, ισχύει ο ακόλουθος τύπος:

Είναι απλώς εξωφρενικό.

Παράδειγμα 10

Δεδομένου ενός μιγαδικού αριθμού, βρείτε.

Τι πρέπει να γίνει; Πρώτα πρέπει να αναπαραστήσετε αυτόν τον αριθμό σε τριγωνομετρική μορφή. Οι προσεκτικοί αναγνώστες θα έχουν παρατηρήσει ότι στο Παράδειγμα 8 έχουμε ήδη κάνει αυτό:

Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον τύπο του Moivre:

Ο Θεός φυλάξοι, δεν χρειάζεται να υπολογίζετε σε μια αριθμομηχανή, αλλά στις περισσότερες περιπτώσεις η γωνία πρέπει να απλοποιηθεί. Πώς να απλοποιήσετε; Μεταφορικά μιλώντας, πρέπει να απαλλαγείτε από περιττές στροφές. Μια περιστροφή είναι ακτίνιο ή 360 μοίρες. Ας μάθουμε πόσες στροφές έχουμε στο επιχείρημα. Για ευκολία, κάνουμε το κλάσμα σωστό:, μετά από το οποίο γίνεται καθαρά ορατό ότι μπορείτε να μειώσετε μια περιστροφή:. Ελπίζω όλοι να καταλάβουν ότι αυτή είναι η ίδια οπτική γωνία.

Έτσι, η τελική απάντηση θα γραφτεί ως εξής:

Μια ξεχωριστή παραλλαγή του προβλήματος της εκθέσεως είναι η εκτίμηση των καθαρά φανταστικών αριθμών.

Παράδειγμα 12

Αύξηση μιγαδικών αριθμών σε δυνάμεις

Και εδώ, όλα είναι απλά, το κύριο πράγμα είναι να θυμόμαστε την περίφημη ισότητα.

Εάν η φανταστική μονάδα ανυψωθεί σε άρτια ισχύ, τότε η τεχνική λύσης είναι η εξής:

Εάν η φανταστική μονάδα ανυψωθεί σε μια περιττή ισχύ, τότε "τσιμπάμε" ένα "και", παίρνοντας μια άρτια ισχύ:

Εάν υπάρχει μείον (ή οποιοσδήποτε πραγματικός συντελεστής), τότε πρέπει πρώτα να διαχωριστεί:

Εξαγωγή ριζών από μιγαδικούς αριθμούς. Τετραγωνική εξίσωση με μιγαδικές ρίζες

Ας δούμε ένα παράδειγμα:

Δεν μπορείτε να εξαγάγετε τη ρίζα; Αν μιλάμε γιαγια πραγματικούς αριθμούς, τότε είναι πραγματικά αδύνατο. Είναι δυνατή η εξαγωγή της ρίζας των μιγαδικών αριθμών! Ακριβέστερα, δύορίζα:

Είναι οι ρίζες που βρέθηκαν πραγματικά μια λύση στην εξίσωση; Ας ελέγξουμε:

Αυτό που έπρεπε να ελεγχθεί.

Χρησιμοποιείται συχνά μια συντομογραφία και οι δύο ρίζες είναι γραμμένες σε μία γραμμή κάτω από την "ίδια χτένα": .

Αυτές οι ρίζες λέγονται επίσης συζευγμένες σύνθετες ρίζες.

Πώς να εξαγάγετε τετραγωνικές ρίζεςΑπό αρνητικούς αριθμούς, νομίζω ότι όλοι καταλαβαίνουν: ,,, κ.λπ. Σε όλες τις περιπτώσεις αποδεικνύεται δύοσυζευγμένες σύνθετες ρίζες.