Εργασία μαθήματος: Συναρτήσεις Bessel. Συναρτήσεις Bessel Μειώστε τη συνάρτηση Bessel σε στοιχειώδεις συναρτήσεις

Συνάρτηση Bessel πρώτου είδους

Περιγράφει την ακτινική εξάρτηση σε προβλήματα ταλαντώσεων, κυμάτων, θερμικής αγωγιμότητας, διάχυσης και θεωρίας δυναμικού.

Στο Καλείται η συνάρτηση Bessel κυλινδρική λειτουργία . Σε κυλινδρικές συντεταγμένες είναι ο μετασχηματισμός Fourier n-η τάξη στη γωνιακή μεταβλητή για ένα αρμονικό κύμα.

Ένα σύνολο με το ίδιο μ σχηματίζει μια ορθοκανονική βάση με συνεχές φάσμα στην παράμετρο .

εξερευνήθηκε από τον Daniel Bernoulli το 1732

εισήχθη από τον Leonhard Euler το 1764

Ο Friedrich Wilhelm Bessel συνέταξε τους πίνακες J 0 , J 1 , J 2 για να περιγράψει τις κινήσεις των πλανητών το 1824.

Το όνομα των λειτουργιών δόθηκε από τον Oskar Schlömilch το 1857.

Daniel Bernoulli (1700–1782) Leonhard Euler (1707–1783)

Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846)

Ο Bessel είναι καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Königsberg, σπούδασε ανεξάρτητα μαθηματικά και αστρονομία, αλλά δεν σπούδασε στο γυμνάσιο ή στο πανεπιστήμιο. Εξερεύνησε τον κομήτη του Halley, ίδρυσε ένα παρατηρητήριο στο Königsberg, μέτρησε τις αποστάσεις από τα αστέρια με τις παράλλαξές τους και πραγματοποίησε γεωδαιτικές έρευνες στην επικράτεια της Ανατολικής Πρωσίας. Ένας κρατήρας στη Σελήνη πήρε το όνομά του.

Εξισώσεις Bessel και Lommel

Η συνάρτηση Bessel είναι μια συγκεκριμένη λύση Εξισώσεις Bessel

. (8.1)

Για να επεκτείνουμε το εύρος εφαρμογής της εξίσωσης Bessel, το περιπλέκουμε αντικαθιστώντας το όρισμα και τη συνάρτηση και εισάγουμε νέες παραμέτρους. Αυτό δίνει Εξίσωση Lommel

. (8.2)

Αλλαγή στο (8.2)

μετατρέπει το (8.2) σε (8.1) με όρισμα z. Για , η εξίσωση (8.2) γίνεται (8.1).

Στις εξισώσεις (8.1) και (8.2), η ποσότητα μ έχει τον δεύτερο βαθμό, επομένως η γενική λύση (8.2) περιέχει ανεξάρτητους όρους που διαφέρουν ως προς το πρόσημο του μ:

Η εξίσωση λήφθηκε από τον Eugene Lommel (1837-1899) το 1868.

Ολοκληρωμένη αναπαράσταση Poisson

Η επίλυση της εξίσωσης (8.1) με τη μέθοδο της παραγοντοποίησης δίνει την ολοκληρωτική αναπαράσταση Poisson

, (8.5)

όπου χρησιμοποιείται ο τύπος του Euler

,

και λαμβάνεται υπόψη η ισοτιμία των συνημιτονικών και ημιτονοειδών συναρτήσεων.

Αντικαθιστούμε

, ,

. (8.6)

Από το (8.6) στο λαμβάνουμε

, (8.7)

.

Εξομάλυνση σε εξέλιξη

Simeon Denis Poisson (1781-1840)

Ο Πουασόν είναι μαθηματικός, μηχανικός, φυσικός, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Παρισιού, απόφοιτος της Πολυτεχνικής Σχολής του Παρισιού. Εισήγαγε την έννοια του δυναμικού στην ηλεκτροστατική και έλαβε « Διαφορική εξίσωση Poisson», συνδέοντας το δυναμικό ενός συστήματος φορτίων με την κατανομή τους στο χώρο. Για μια τυχαία μεταβλητή αποδείχθηκε " Κατανομή Poisson" Καθιέρωσε μια σύνδεση μεταξύ των διαμήκων και εγκάρσιων παραμορφώσεων του σώματος - " αναλογία Poisson" Υπολογίστηκε " Ολοκλήρωμα Poisson", αποδείχθηκαν " Ο τύπος άθροισης Poisson" Στη μηχανική εισήγαγε « Στηρίγματα Poisson» – σχέσεις μετατροπής για ποσότητες. Ο Ναπολέων τον ανύψωσε σε βαρονία, ο Λουδοβίκος Φιλίπ τον έκανε συνομήλικο της Γαλλίας. Απόσπασμα – «Η ζωή εμπλουτίζεται από δύο πράγματα: να κάνεις μαθηματικά και να τα διδάσκεις»..

Συγκεκριμένα

Οριο Χ ® 0

Η κύρια συνεισφορά στο (8,9) στο προέρχεται από

,

, (8.11)

Οριο Χ ® ¥

Χρησιμοποιούμε την εξίσωση Lommel (8.2) και τη λύση της (8.3)

,

με παραμέτρους, :

,

.

Εκφράζοντας τη συνάρτηση Bessel

.

Όταν έχουμε την εξίσωση

Βρίσκοντας μια γενική λύση

.

Σαν άποτέλεσμα

. (8.12)

Όταν η συνάρτηση περνά περιοδικά από το μηδέν, το πλάτος των ταλαντώσεων μειώνεται .

Η λεπτομερής ανάλυση δίνει τιμές έναΚαι ΕΝΑ

,

. (8.12a)

Μηδενικά της συνάρτησης Bessel

,

Οπου Μ– αύξων αριθμός μηδέν. Για J 0 και J 1 αριθμητικός υπολογισμός δίνει

Χ 0,1 = 2,405; Χ 0,2 = 5,520;Χ 0,3 = 8,654; …

Χ 1,1 = 3,832; Χ 1,2 = 7,016; Χ 1,3 = 10,174 …

Ομαλοποίηση

Εκτελέστηκε

, (8.14)

. (8.14a)

Απόδειξη:

Η σχέση επανάληψης, η οποία θα ληφθεί παρακάτω:

ενσωμάτωση στο διάστημα

, ,

όπου χρησιμοποιείται

, (8.11)

. (8.12a)

Ως εκ τούτου,

Δεν εξαρτάται από το m. Υποθέτουμε ότι λαμβάνουμε υπόψη τη σχέση που θα ληφθεί αργότερα:

και παίρνουμε

.

Η περιοχή κάτω από την καμπύλη μιας συνάρτησης Bessel αυθαίρετης τάξης είναι ίση με τη μονάδα.

Λειτουργία δημιουργίας

Προς την ολοκληρωμένη αναπαράσταση Sommerfeld (8.16)

,

,

εφαρμόστε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier (1.48)

.

Παίρνουμε Διαστολή Fourier σε γωνιακή μεταβλητή για ένα επίπεδο κύμα που κινείται υπό γωνίαφ προς τον άξονα x :

(8.26)

Στο (8.26) αντικαθιστούμε

,

βρείτε τη συνάρτηση δημιουργίας

. (8.27)

Σειρά συναρτήσεων Bessel

(8.26)

να διακρίνει το πραγματικό και το φανταστικό μέρος

,

.

Λαμβάνουμε υπόψη το (8.22)

,

παίρνουμε

, (8.28)

. (8.29)

Για από το (8.28) λαμβάνουμε

. (8.30)

(8.26)

αντικαθιστώ

, (8.31)

όπου λαμβάνεται υπόψη

,

.

Στο (8.31) επιλέγουμε το πραγματικό και το φανταστικό μέρος

, (8.32)

, (8.33)

όπου λαμβάνεται υπόψη

.

Πότε από (8.32) και (8.33)

, (8.34)

. (8.35)

Σχέσεις υποτροπής

1. Συνάρτηση δημιουργίας (8.27)

διαφοροποιώ κατά Χ

,

.

Συγκρίνουμε τους συντελεστές για

.

Ας γενικεύσουμε στην περίπτωση της αυθαίρετης εντολής

Αντικατάσταση Χεπί bxδίνει

. (8.36a)

2. Συνάρτηση δημιουργίας (8.27)

διαφοροποιώ κατά t

,

.

Συγκρίνουμε τους συντελεστές για

.

Για οποιαδήποτε παραγγελία

. (8.37)

3. Προσθέστε και αφαιρέστε (8.37) και

, (8.38)

. (8.39)

4. Πολλαπλασιάστε το (8,38) και διπλώστε τη δεξιά πλευρά

. (8.40)

5. Συμμετρία (8,40)

.

Με επαγωγή

. (8.41)

6. Πολλαπλασιάζοντας (8.39) και διπλώνοντας τη δεξιά πλευρά

παίρνουμε

. (8.42)

7. Συμμετρία (8.42)

.

Με επαγωγή

. (8.43)

Μερικές σχέσεις

(8.39)

. (8.44)

Από (8.36)–(8.44):

,

,

,

,

,

,

,

,

,

. (8.46)

Συνθήκη ορθοκανονικότητας

αποτελεί συνεχή βάση με την συνθήκη ορθοκανονικότητας

, . (8.48)

Απόδειξη:

Γράφουμε την εξίσωση Lommel

, (8.2)

, (8.3)

στο , , και για συναρτήσεις και

,

.

Πολλαπλασιάστε την πρώτη ισότητα επί xv, το δεύτερο - επάνω xuκαι αφαιρέστε τα αποτελέσματα

Μεταμορφώστε την αριστερή πλευρά

Ενσωματώνουμε από Χαπό 0 έως ∞

. (8.47)

Η αριστερή πλευρά στο κάτω όριο δίνει μηδέν. Στο ανώτατο όριο χρησιμοποιούμε (8.12a)

,

,

.

Σαν άποτέλεσμα

.

Λαμβάνουμε υπόψη

,

Για να βρούμε, ενσωματώνουμε την ισότητα Rαπό 0 σε ∞, αλλάξτε τη σειρά ολοκλήρωσης και χρησιμοποιήστε τη συνθήκη κανονικοποίησης

. (8.14)

Παίρνουμε

, ,

και απέδειξε (6,48).

Όταν υπάρχει μη μηδενική συνεισφορά σε

, . (8.48)

δίνει μόνο και , τότε

, . (8.49)

Απόδειξη:

Πολλαπλασιάζουμε το (8.49) με , όπου , και ενσωματώνουμε πάνω καπό 0 έως ∞

.

Αλλάζουμε τη σειρά ένταξης και λαμβάνουμε υπόψη

,

.

Το εσωτερικό ολοκλήρωμα δίνει (8.48)

,

και παίρνουμε την ταυτότητα.

Διαγράμματα

,

Σφαιρική συνάρτηση Bessel

, (8.57)

Η συνάρτηση περιγράφει σε σφαιρικές συντεταγμένες την ακτινική εξάρτηση του κύματος με την τροχιακή ορμή μεγάλοκαι με αριθμό κυμάτων κ.

Το σύνολο στο σχηματίζει μια ορθοκανονική βάση με συνεχές φάσμα.

Διαφορική εξίσωση

Οι εξισώσεις για και συμπίπτουν, λοιπόν

Ρητή μορφή συνάρτησης

Ας χρησιμοποιήσουμε (8.57)

μετά την αντικατάσταση.

Ως αποτέλεσμα, η σφαιρική λειτουργία Bessel

. (8.59)

Ισοτιμία ιδιοκτησία

Από το (8.59) λαμβάνουμε

. (8.61)

Λειτουργίες χαμηλότερης τάξης

Από το (8.59) λαμβάνουμε

,

,

. (8.62)

Οριο Χ ® ¥

Χρησιμοποιούμε

(8.12a)

. (8.63)

, (8.57)

παίρνουμε

,

. (8.64)

Οριο Χ ® 0

, (8.11)

Αναπληρωματικός στο (8,57)

στο . Από (8,57)

εξπρές

,

,

λαμβάνουμε την συνθήκη ορθοκανονικότητας

, . (8.66)

2. Όταν η μη μηδενική συνεισφορά στο (8.66) δίνει μόνο , χρησιμοποιώντας , βρίσκουμε

, . (8.67)

Απόδειξη:

Πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές του (8.67) με , όπου , και ολοκληρώνουμε στο διάστημα . Στην αριστερή πλευρά αλλάζουμε τη σειρά ενσωμάτωσης και χρήσης (8.66)

Η δεξιά πλευρά δίνει το ίδιο αποτέλεσμα

,

όπου λαμβάνεται υπόψη

.

, , (8.67)

(8.62)

. (8.68)

Σχέσεις υποτροπής

1. Αναπληρωματικός (8.57)

στο . Παίρνουμε

Από το (8,70) εκφράζουμε

,

υποκαθιστούμε στην τελευταία ισότητα και παίρνουμε

. (8.71)

3. Οι σχέσεις εκπληρώνονται

, (8.72)

, (8.74)

. (8.75)

Αέρινη λειτουργία πρώτου είδους

Περιγράφει:

– περίθλαση κύματος,

– κατάσταση ενός κβαντικού σωματιδίου σε ομοιόμορφο πεδίο,

– κατάσταση ενός σωματιδίου σε τριγωνικό πηγάδι δυναμικού,

– κατάσταση ενός σωματιδίου κοντά στο σημείο καμπής της κλασικής κίνησης.

Η συνάρτηση εισήχθη από τον Άγγλο αστρονόμο Airy το 1838 κατά τη μελέτη της περίθλασης του φωτός.

Sir George Biddel Airy (1801–1892)

Διευθυντής του Αστεροσκοπείου Γκρίνουιτς, Πρόεδρος της Βασιλικής Εταιρείας του Λονδίνου. Ανέπτυξε τη θεωρία της περίθλασης φωτός σε φακό τηλεσκοπίου. Το κεντρικό φωτεινό σημείο στο κέντρο του σχεδίου περίθλασης σε μια κυκλική τρύπα ονομάζεται " Αέρινος δίσκος».

Αέρινη εξίσωση

Η λειτουργία Airy είναι μια συγκεκριμένη λύση (8.76).

Σχέση με τη συνάρτηση Bessel

Συγκρίνετε το (8,76) με την εξίσωση του Lommel

,

Κοινή απόφαση

,

Το φανταστικό επιχείρημα περιπλέκει την ανάλυση, ψάχνουμε άλλη λύση.

Στην περιοχή ενός αρνητικού ορίσματος, η εξίσωση (8.76) παίρνει τη μορφή

Συμπίπτει με την εξίσωση Lommel με τις παραμέτρους

Παίρνουμε μια γενική λύση

Αέρινη λειτουργία πρώτου είδους

Είναι μια συγκεκριμένη λύση (8,79) με συντελεστές

Συνθήκες κανονικοποίησης

Για ένα μικρό επιχείρημα, λαμβάνουμε υπόψη το (8.11)

,

από (8.80) βρίσκουμε

ο πρώτος όρος δίνει μηδέν. Ομαλοποίηση

. (8.81)

Ολοκληρωμένη κανονικοποίηση

(8.82)

προκύπτει από το (8.84). Εκτελέστηκε

,

. (8.82a)

Απόδειξη(8.82a):

Όταν χρησιμοποιούμε (8.80) και αντικαθιστούμε

,

. (8.14).

Ολοκληρωμένη αναπαράσταση

Ας πάρουμε τη συνάρτηση Airy ενός θετικού ορίσματος λύνοντας την εξίσωση Airy χρησιμοποιώντας τη μέθοδο μετασχηματισμού Fourier.

Χρησιμοποιούμε

, (1.35)

. (1.37) . καταστάσεις με την προβολή τροχιακής ορμής 2. Περνάμε σε πολικές συντεταγμένες και προσδιορίζουμε

Γραμμική συνηθισμένη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης της μορφής \[(x^2)y"" + xy" = \left(((x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] ονομάζεται Εξίσωση Bessel . Ο αριθμός \(v\) καλείται τάξη της εξίσωσης Bessel .

Αυτή η διαφορική εξίσωση πήρε το όνομά της από τον Γερμανό μαθηματικό και αστρονόμο Φρίντριχ Βίλχελμ Μπέσελ , ο οποίος το μελέτησε λεπτομερώς και έδειξε (στο \(1824\)) ότι οι λύσεις της εξίσωσης εκφράζονται μέσω μιας ειδικής κατηγορίας συναρτήσεων που ονομάζεται κυλινδρικές λειτουργίες ή Λειτουργίες Bessel .

Η συγκεκριμένη αναπαράσταση της γενικής λύσης εξαρτάται από τον αριθμό \(v.\) Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε ξεχωριστά δύο περιπτώσεις:

Η σειρά \(v\) είναι μη ακέραιος αριθμός.

Η σειρά του \(v\) είναι ακέραιος.

Περίπτωση 1. Η σειρά \(v\) είναι μη ακέραιος

Υποθέτοντας ότι ο αριθμός \(v\) είναι μη ακέραιος και θετικός, η γενική λύση της εξίσωσης Bessel μπορεί να γραφτεί με τη μορφή \((C_1),\) \((C_2)\) είναι αυθαίρετες σταθερές, και \((J_v)\ αριστερά (x \δεξιά),\) \((J_( - v))\αριστερά(x \δεξιά)\) − Συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους .

Η συνάρτηση Bessel του πρώτου είδους μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια σειρά, οι όροι της οποίας εκφράζονται μέσω του λεγόμενου λειτουργία γάμμα : \[(J_v)\left(x \right) = \sum\limits_(p = 0)^\infty (\frac((((\left(( - 1) \right))^p)))( (\Gamma \left((p + 1) \right)\Gamma \left((p + v + 1) \right)))((\left((\frac(x)(2)) \right)) ^(2p + v))) .\] Η συνάρτηση Gamma είναι μια επέκταση παραγοντική συνάρτηση από το σύνολο των ακεραίων στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Συγκεκριμένα, έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: \[ (\Gamma \left((p + 1) \right) = p!,)\;\; (\Gamma \left((p + v + 1) \right) = \left((v + 1) \right)\left((v + 2) \right) \cdots \left((v + p) \ δεξιά)\Gamma \left((v + 1) \right).) \] Οι συναρτήσεις Bessel του πρώτου είδους αρνητικής τάξης (με δείκτη \(-v\)) γράφονται με παρόμοιο τρόπο. Εδώ υποθέτουμε ότι \(v > 0.\) \[(J_( - v))\left(x \right) = \sum\limits_(p = 0)^\infty (\frac((((\ αριστερά (( - 1) \δεξιά))^p)))((\Gamma \left((p + 1) \right)\Gamma \left((p - v + 1) \right)))((\ αριστερά ((\frac(x)(2)) \right))^(2p - v))) .\] Οι συναρτήσεις Bessel υπολογίζονται στα περισσότερα μαθηματικά πακέτα. Για παράδειγμα, η μορφή των συναρτήσεων Bessel του πρώτου είδους σειράς από \(v = 0\) έως \(v = 4\) φαίνεται στο σχήμα \(1.\) Αυτές οι συναρτήσεις μπορούν επίσης να υπολογιστούν στο MS Excel.

Περίπτωση 2. Η σειρά \(v\) είναι ακέραιος

Εάν η σειρά \(v\) της διαφορικής εξίσωσης Bessel είναι ακέραιος, τότε οι συναρτήσεις Bessel του πρώτου είδους \((J_v)\left(x \right)\) και \((J_( - v))\left (x \right)\ ) εξαρτώνται ο ένας από τον άλλο. Σε αυτή την περίπτωση, η γενική λύση της εξίσωσης θα περιγραφεί με έναν άλλο τύπο: \ όπου \((Y_v)\left(x \right)\) − Συνάρτηση Bessel δεύτερου είδους . Μερικές φορές αυτή η οικογένεια συναρτήσεων ονομάζεται επίσης Συναρτήσεις Neumann ή Λειτουργίες Weber .

Συνάρτηση Bessel δεύτερου είδους Το \((Y_v)\left(x \right)\) μπορεί να εκφραστεί μέσω των συναρτήσεων Bessel του πρώτου είδους \((J_v)\left(x \right)\) και \((J_( - v))\left (x \ δεξιά):\) \[(Y_v)\left(x \right) = \frac(((J_v)\left(x \right)\cos \pi v - (J_( - v))\αριστερά (x \ δεξιά)))((\sin \pi v)).\] Γραφήματα των συναρτήσεων \((Y_v)\left(x \right)\) για τις πρώτες λίγες εντολές \(v\) παρουσιάζονται παραπάνω στο Σχήμα 2.\ )

Σημείωση: Στην πραγματικότητα, η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης Bessel μπορεί να εκφραστεί με όρους συναρτήσεων Bessel πρώτου και δεύτερου είδους και για την περίπτωση μη ακέραιης τάξης \(v.\)

Μερικές διαφορικές εξισώσεις αναγώγιμες στην εξίσωση Bessel

1. Μια άλλη γνωστή εξίσωση αυτής της κατηγορίας είναι τροποποιημένη εξίσωση Bessel , η οποία προκύπτει από την κανονική εξίσωση Bessel αντικαθιστώντας το \(x\) με \(-ix.\) Αυτή η εξίσωση έχει τη μορφή: \[(x^2)y"" + xy" - \left(((x ^2) + (v^2)) \right)y = 0.\] Η λύση αυτής της εξίσωσης εκφράζεται μέσω του λεγόμενου τροποποιημένες συναρτήσεις Bessel πρώτου και δεύτερου είδους : \[ (y\left(x \right) = (C_1)(J_v)\left(( - ix) \right) + (C_2)(Y_v)\left(( - ix) \right) ) = (( C_1)(I_v)\left(x \right) + (C_2)(K_v)\left(x \right),) \] όπου \((I_v)\left(x \right)\) και \((K_v )\left(x \right)\) δηλώνουν τροποποιημένες συναρτήσεις Bessel του πρώτου και δεύτερου είδους, αντίστοιχα.

2. Αέρινη διαφορική εξίσωση , γνωστό στην αστρονομία και τη φυσική, γράφεται με τη μορφή: \ Μπορεί επίσης να αναχθεί στην εξίσωση Bessel. Η λύση της εξίσωσης Airy εκφράζεται μέσω συναρτήσεων Bessel κλασματικής τάξης \(\pm \large\frac(1)(3)\normalsize:\) \[ (y\left(x \right) ) = ((C_1) \sqrt x (J_ (\large\frac(1)(3)\normalsize))\left((\frac(2)(3)i(x^(\large\frac(3)(2)\normalsize) )) \δεξιά) + (C_2)\sqrt x (J_( - \large\frac(1)(3)\normalsize)\left((\frac(2)(3)i(x^(\large\ frac(3)( 2)\κανονικό μέγεθος)))\δεξιά).)\]
3. Μια διαφορική εξίσωση της μορφής \[(x^2)y"" + xy" + \left(((a^2)(x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] διαφέρει από την εξίσωση Bessel μόνο ένας παράγοντας \((a^2)\) πριν από το \((x^2)\) και έχει μια γενική λύση στην ακόλουθη μορφή: \
4. Μια παρόμοια διαφορική εξίσωση \[(x^2)y"" + axy" + \left(((x^2) - (v^2)) \right)y = 0\] ανάγεται επίσης στην εξίσωση Bessel \[ (x ^2)z"" + xz" + \left(((x^2) - (n^2)) \right)z = 0\] χρησιμοποιώντας αντικατάσταση \ Εδώ η παράμετρος \((n^2)\ ) δηλώνει \[(n^2) = (v^2) + \frac(1)(4)(\left((a - 1) \right)^2).\] Ως αποτέλεσμα, η γενική λύση στο αυτή η διαφορική εξίσωση καθορίζεται από τον τύπο \.\]
Οι ειδικές συναρτήσεις Bessel χρησιμοποιούνται ευρέως στην επίλυση προβλημάτων της μαθηματικής φυσικής, για παράδειγμα, στη μελέτη

διάδοση κυμάτων?

θερμική αγωγιμότητα;

δονήσεις μεμβράνης

σε περιπτώσεις που τα αντικείμενα έχουν κυλινδρική ή σφαιρική συμμετρία.

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑΚΟΣ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΣΤΕΡΛΙΤΑΜΑΚ

ΚΡΑΤΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ

ΑΝΩΤΕΡΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

"ΚΡΑΤΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΠΑΣΚΙΡ"

Σχολή Οικονομικών Επιστημών

Τμήμα Μαθηματικών και Πληροφορικής

Εργασία μαθήματος

με θέμα:

Λειτουργίες Bessel

Συμπληρώνεται από φοιτητή 2ου έτους

ομάδα PMII-08

Alexandrova A.Yu._______

"___"___________2010

Επιστημονικός Διευθυντής

Ph.D., Art. και τα λοιπά.

Sidorenko O.G._______

"___"___________2010

Sterlitamak 2010

Εισαγωγή

1 Συναρτήσεις Bessel με θετικό ακέραιο πρόσημο

2 Λειτουργίες Bessel με αυθαίρετο εικονίδιο

3 Γενική παρουσίαση κυλινδρικών λειτουργιών. Συναρτήσεις Bessel του δεύτερου είδους

4 Επέκταση σειράς της συνάρτησης Bessel του δεύτερου είδους με ακέραιο πρόσημο

5 Συναρτήσεις Bessel τρίτου είδους

6 Συναρτήσεις Bessel ενός φανταστικού ορίσματος

7 Κυλινδρικές συναρτήσεις με δείκτη ίσο με το μισό περιττού ακέραιου αριθμού

8 Ασυμπτωτικές αναπαραστάσεις κυλινδρικών συναρτήσεων για μεγάλες τιμές του ορίσματος

9 Μηδενικά κυλινδρικών συναρτήσεων

συμπέρασμα

Βιβλιογραφία

Εισαγωγή

Οι κυλινδρικές συναρτήσεις είναι λύσεις σε μια γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

όπου είναι μια σύνθετη μεταβλητή,

Ο όρος «κυλινδρικές συναρτήσεις» οφείλει την προέλευσή του στο γεγονός ότι η εξίσωση (1) εμφανίζεται όταν εξετάζονται προβλήματα συνοριακών τιμών της θεωρίας δυναμικού για ένα κυλινδρικό πεδίο.

Ειδικές κατηγορίες κυλινδρικών συναρτήσεων είναι γνωστές στη βιβλιογραφία ως συναρτήσεις Bessel και μερικές φορές αυτό το όνομα αποδίδεται σε ολόκληρη την κατηγορία κυλινδρικών συναρτήσεων.

Η καλά ανεπτυγμένη θεωρία των υπό εξέταση συναρτήσεων, η διαθεσιμότητα λεπτομερών πινάκων και ένα ευρύ φάσμα εφαρμογών παρέχουν επαρκή λόγο για την ταξινόμηση των κυλινδρικών συναρτήσεων ως μία από τις πιο σημαντικές ειδικές λειτουργίες.

Η εξίσωση Bessel προκύπτει όταν βρίσκουμε λύσεις στην εξίσωση Laplace και στην εξίσωση Helmholtz σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες. Επομένως, οι συναρτήσεις Bessel χρησιμοποιούνται για την επίλυση πολλών προβλημάτων σχετικά με τη διάδοση κυμάτων, τα στατικά δυναμικά κ.λπ., για παράδειγμα:

1) ηλεκτρομαγνητικά κύματα σε κυλινδρικό κυματοδηγό.

2) θερμική αγωγιμότητα σε κυλινδρικά αντικείμενα.

3) τρόποι δόνησης μιας λεπτής στρογγυλής μεμβράνης.

4) η ταχύτητα των σωματιδίων σε έναν κύλινδρο γεμάτο με υγρό και περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του.

Οι συναρτήσεις Bessel χρησιμοποιούνται επίσης για την επίλυση άλλων προβλημάτων, για παράδειγμα, στην επεξεργασία σήματος.

Οι κυλινδρικές συναρτήσεις Bessel είναι οι πιο κοινές από όλες τις ειδικές λειτουργίες. Έχουν πολυάριθμες εφαρμογές σε όλες τις φυσικές και τεχνικές επιστήμες (ιδιαίτερα την αστρονομία, τη μηχανική και τη φυσική). Σε μια σειρά προβλημάτων στη μαθηματική φυσική, υπάρχουν κυλινδρικές συναρτήσεις στις οποίες το όρισμα ή ο δείκτης (μερικές φορές και τα δύο) λαμβάνουν μιγαδικές τιμές. Για την αριθμητική επίλυση τέτοιων προβλημάτων, είναι απαραίτητο να αναπτυχθούν αλγόριθμοι που επιτρέπουν σε κάποιον να υπολογίζει τις συναρτήσεις Bessel με υψηλή ακρίβεια.

Σκοπός της εργασίας του μαθήματος:μελέτη συναρτήσεων Bessel και εφαρμογή των ιδιοτήτων τους στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων.

Καθήκοντα:

1) Μελετήστε την εξίσωση Bessel και την τροποποιημένη εξίσωση Bessel.

2) Εξετάστε τις βασικές ιδιότητες των συναρτήσεων Bessel, ασυμπτωτικές παραστάσεις.

3) Λύστε τη διαφορική εξίσωση χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση Bessel.

1 Συναρτήσεις Bessel με θετικό ακέραιο πρόσημο

Για να εξετάσουμε πολλά προβλήματα που σχετίζονται με τη χρήση κυλινδρικών συναρτήσεων, αρκεί να περιοριστούμε στη μελέτη μιας ειδικής κατηγορίας αυτών των συναρτήσεων, η οποία αντιστοιχεί στην περίπτωση που η παράμετρος στην εξίσωση (1) είναι ίση με μηδέν ή θετικό ακέραιο.

Η μελέτη αυτής της τάξης είναι πιο στοιχειώδης από τη θεωρία που σχετίζεται με αυθαίρετες τιμές και μπορεί να χρησιμεύσει ως μια καλή εισαγωγή σε αυτή τη γενική θεωρία.

Ας δείξουμε ότι μια από τις λύσεις της εξίσωσης

0, 1, 2, …, (1.1)

είναι η συνάρτηση Bessel του πρώτου είδους σειράς, η οποία για οποιεσδήποτε τιμές ορίζεται ως το άθροισμα της σειράς

(1.2)

Χρησιμοποιώντας τη δοκιμή d'Alembert, είναι εύκολο να επαληθευτεί ότι η υπό εξέταση σειρά συγκλίνει σε ολόκληρο το επίπεδο της μιγαδικής μεταβλητής και, επομένως, αντιπροσωπεύει μια ολόκληρη συνάρτηση του .

Αν συμβολίσουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης (1.1) με και εισάγουμε μια συνοπτική σημείωση για τους συντελεστές της σειράς (1.2), βάζοντας

τότε ως αποτέλεσμα αντικατάστασης παίρνουμε

από το οποίο προκύπτει ότι η έκφραση σε σγουρές αγκύλες είναι ίση με μηδέν. Έτσι, η συνάρτηση ικανοποιεί την εξίσωση (1.1), δηλ. είναι μια κυλινδρική συνάρτηση.

Οι απλούστερες συναρτήσεις της υπό εξέταση κλάσης είναι οι συναρτήσεις Bessel τάξης μηδέν και ένα:

(1.3)

Ας δείξουμε ότι οι συναρτήσεις Bessel άλλων τάξεων μπορούν να εκφραστούν με όρους αυτών των δύο συναρτήσεων. Για να το αποδείξετε αυτό, υποθέστε ότι το a είναι θετικός ακέραιος, πολλαπλασιάστε τη σειρά (1.2) με και διαφοροποιήστε σε σχέση με . Θα το πάρουμε τότε

(1.4)

Ομοίως, πολλαπλασιάζοντας τη σειρά με βρίσκουμε

(1.5)

Έχοντας διαφοροποιήσει τις ισότητες (1,4 – 1,1) και διαιρώντας με τον παράγοντα , καταλήγουμε στους τύπους:

(1.6)

που ακολουθεί άμεσα:

(1.7)

Οι τύποι που προκύπτουν είναι γνωστοί ως σχέσεις επανάληψης για τις συναρτήσεις Bessel.

Η πρώτη από τις σχέσεις καθιστά δυνατή την έκφραση μιας συνάρτησης μιας αυθαίρετης τάξης μέσω συναρτήσεων τάξεων μηδέν και ένα, γεγονός που μειώνει σημαντικά το έργο της σύνταξης πινάκων συναρτήσεων Bessel.

Η δεύτερη σχέση επιτρέπει την αναπαράσταση παραγώγων των συναρτήσεων Bessel μέσω των συναρτήσεων Bessel. Για να αντικατασταθεί αυτή η σχέση από τον τύπο

(1.9)

από τον ορισμό αυτών των συναρτήσεων.

Οι συναρτήσεις Bessel του πρώτου είδους σχετίζονται απλώς με τους συντελεστές της επέκτασης της συνάρτησης στη σειρά Laurent):

(1.10)

Οι συντελεστές αυτής της επέκτασης μπορούν να υπολογιστούν πολλαπλασιάζοντας τις σειρές ισχύος:

και ενώσεις μελών που περιέχουν τα ίδια πτυχία. Έχοντας κάνει αυτό, παίρνουμε:

(1.11)

από όπου προκύπτει ότι η υπό εξέταση επέκταση μπορεί να γραφτεί στη μορφή

Η συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση παραγωγής για συναρτήσεις Bessel με ακέραιο πρόσημο. η σχέση που βρέθηκε (1.12) παίζει σημαντικό ρόλο στη θεωρία αυτών των συναρτήσεων.

Για να λάβετε το γενικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης (1.1), το οποίο δίνει μια έκφραση για μια αυθαίρετη κυλινδρική συνάρτηση με ακέραιο πρόσημο , είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί μια δεύτερη λύση της εξίσωσης, γραμμικά ανεξάρτητη με . Ως τέτοια λύση, μπορεί να ληφθεί η συνάρτηση Bessel του δεύτερου είδους, με βάση τον ορισμό της οποίας είναι εύκολο να ληφθεί μια αναλυτική έκφραση για αυτήν με τη μορφή μιας σειράς

Οπου

(είναι η σταθερά του Euler) και, στην περίπτωση του , το πρώτο από τα αθροίσματα θα πρέπει να ισούται με μηδέν.

Η λειτουργία είναι κανονική στο επίπεδο με τομή. Ένα ουσιαστικό χαρακτηριστικό της υπό εξέταση λύσης είναι ότι πηγαίνει στο άπειρο όταν . Η γενική έκφραση της κυλινδρικής συνάρτησης για αντιπροσωπεύει έναν γραμμικό συνδυασμό των κατασκευασμένων λύσεων

όπου και είναι αυθαίρετες σταθερές,

2 Λειτουργίες Bessel με αυθαίρετο εικονίδιο

Κυλινδρική λειτουργία Bessel

Οι συναρτήσεις Bessel που αναφέρονται στην παράγραφο 1 αποτελούν ειδική περίπτωση κυλινδρικών συναρτήσεων γενικότερης μορφής, γνωστές ως συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους με αυθαίρετο πρόσημο. Για να προσδιορίσετε αυτές τις συναρτήσεις, εξετάστε τη σειρά

όπου είναι μια σύνθετη μεταβλητή που ανήκει στο επίπεδο με τομή

– μια παράμετρος που μπορεί να λάβει οποιεσδήποτε πραγματικές ή μιγαδικές τιμές.

Είναι εύκολο να δούμε ότι αυτή η σειρά συγκλίνει για οποιαδήποτε και , και στην περιοχή , (είναι αυθαίρετα μεγάλοι σταθεροί αριθμοί) η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη σε σχέση με καθεμία από τις μεταβλητές.

Πράγματι, ξεκινώντας από ένα αρκετά μεγάλο , ο λόγος των μονάδων του επόμενου μέλους της σειράς προς το προηγούμενο είναι ίσος με την τιμή

δεν θα υπερβαίνει κάποιο σωστό θετικό κλάσμα ανεξάρτητο από και . Από εδώ, σύμφωνα με το γνωστό κριτήριο σύγκλισης, προκύπτει ότι η υπό εξέταση σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα στην υποδεικνυόμενη περιοχή.

Δεδομένου ότι οι όροι της σειράς είναι κανονικές συναρτήσεις σε ένα επίπεδο με αποκοπή, το άθροισμα της σειράς καθορίζει κάποια συνάρτηση μιας μιγαδικής μεταβλητής που είναι κανονική στο επίπεδο κοπής που εξετάζουμε. Αυτή η συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση Bessel του πρώτου είδους με δείκτη και συμβολίζεται με το σύμβολο. Ετσι,

(2.1)

Δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι η συνάρτηση που ορίζεται με αυτόν τον τρόπο είναι μια συγκεκριμένη λύση της εξίσωσης

(2.2)

Πράγματι, δηλώνοντας την αριστερή πλευρά αυτής της εξίσωσης και ρυθμίζοντας , βρίσκουμε, όπως ακριβώς στο σημείο 1,

πού είναι οι συντελεστές της σειράς (2.1),

απ' όπου προκύπτει ότι

Εφόσον για ένα σταθερό , που ανήκει σε ένα επίπεδο με τομή, οι όροι της σειράς (2.1) αντιπροσωπεύουν ολόκληρες συναρτήσεις της μεταβλητής, τότε από την ομοιόμορφη σύγκλιση ως προς αυτή τη μεταβλητή προκύπτει ότι η συνάρτηση Bessel του πρώτου είδους, θεωρούμενη ως μια συνάρτηση του σημείου του, είναι μια ολόκληρη συνάρτηση. Για έναν ακέραιο και η σειρά (2.1) μπαίνει στη σειρά (1.2), επομένως οι συναρτήσεις που ορίζονται σε αυτήν την ενότητα είναι μια γενίκευση των συναρτήσεων Bessel με θετικό ακέραιο, που μελετήθηκε στην παράγραφο 2. Για έναν ίσο αρνητικό ακέραιο, οι πρώτοι όροι της σειράς (2.1) μετατρέπονται σε μηδέν και ο εν λόγω τύπος μπορεί να γραφτεί ως

από όπου και ακολουθεί

(2.3)

Έτσι, οι συναρτήσεις Bessel με αρνητικό ακέραιο πρόσημο διαφέρουν από τις αντίστοιχες με θετικό πρόσημο μόνο κατά έναν σταθερό παράγοντα.

Η σχέση που προκύπτει μαζί με τους τύπους (1.10 – 1.11) δείχνει ότι η επέκταση (1.12) μπορεί να γραφτεί με τη μορφή

(2.4)

Πολλές ισότητες που καθορίστηκαν προηγουμένως για συναρτήσεις Bessel με θετικό ακέραιο πρόσημο μεταφέρονται σε συναρτήσεις με αυθαίρετο δείκτη χωρίς αλλαγές. Έτσι, για παράδειγμα, ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

(2.5)

(2.6)

(2.7)

που αντιπροσωπεύει γενίκευση των αντίστοιχων τύπων της παραγράφου 2. Η απόδειξη των τύπων (2.5 – 2.6) επαναλαμβάνει τη συλλογιστική αυτής της ενότητας και επομένως δεν δίνεται. Οι τύποι (2.7) λαμβάνονται με επαναλαμβανόμενη εφαρμογή των ισοτήτων (2.6).

3 Γενική παρουσίαση κυλινδρικών λειτουργιών. Συναρτήσεις Bessel του δεύτερου είδους

Εξ ορισμού, μια κυλινδρική συνάρτηση είναι μια αυθαίρετη λύση σε μια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης

(3.1)

επομένως η γενική του έκφραση περιέχεται στη μορφή

όπου και είναι τυχόν γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της εξίσωσης που εξετάζουμε, και είναι σταθερές, οι οποίες, σε γενικές γραμμές, είναι αυθαίρετες συναρτήσεις της παραμέτρου . Είναι εύκολο να ληφθεί μια γενική έκφραση για την κυλινδρική συνάρτηση για την περίπτωση που είναι διαφορετική από έναν ακέραιο. Πράγματι, επιλέγοντας , πού ορίζεται η συνάρτηση Bessel στην παράγραφο 2, μπορούμε να πάρουμε ως συνάρτηση , η οποία είναι επίσης λύση στην εξίσωση (3.1), αφού η τελευταία δεν αλλάζει όταν αντικαθίσταται από .

Εάν δεν ισούται με έναν ακέραιο, η ασυμπτωτική συμπεριφορά των λύσεων που εξετάζουμε θα είναι

(3.3)

Επομένως, αυτές οι λύσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες η μία από την άλλη και η επιθυμητή έκφραση για την κυλινδρική συνάρτηση μπορεί να δοθεί με τη μορφή

(3.4)

Αν είναι ακέραιος, τότε, δυνάμει της σχέσης (2.3), οι κατασκευασμένες μερικές λύσεις εξαρτώνται γραμμικά η μία από την άλλη και η ευρεθείσα έκφραση (3.4) δεν είναι γενικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης Bessel (3.1). Για να λάβουμε μια αναπαράσταση μιας αυθαίρετης κυλινδρικής συνάρτησης, κατάλληλης για οποιεσδήποτε τιμές της παραμέτρου, εισάγουμε υπόψη τη συνάρτηση Bessel του δεύτερου είδους, την οποία για αυθαίρετες που ανήκουν σε ένα επίπεδο με τομή, ορίζουμε χρησιμοποιώντας την ισότητα

(3.5)

Όταν ο αριθμός είναι ίσος με έναν ακέραιο, η δεξιά πλευρά της υπό εξέταση έκφρασης παίρνει την αόριστη μορφή (2.3) και συμφωνούμε να κατανοήσουμε την τιμή της συνάρτησης σε αυτήν την περίπτωση ως το όριο

(3.6)

Εφόσον, σύμφωνα με όσα έχουν αποδειχθεί, ο αριθμητής και ο παρονομαστής στο (3.5) είναι ολόκληρες συναρτήσεις, το εν λόγω όριο υπάρχει και μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα του L'Hopital, η εφαρμογή του οποίου δίνει

(3.7)

Από τον ορισμό της συνάρτησης προκύπτει ότι αυτή η συνάρτηση είναι κανονική στο επίπεδο με μια αποκοπή και όταν είναι σταθερή, είναι μια ολόκληρη συνάρτηση της παραμέτρου. Ας αποδείξουμε τώρα ότι ικανοποιεί την εξίσωση (3.1) και επομένως είναι κυλινδρική συνάρτηση. Για , διαφορετικό από έναν ακέραιο, το απαιτούμενο αποτέλεσμα προκύπτει απευθείας από τον τύπο (3.4), επομένως αρκεί να πραγματοποιηθεί η απόδειξη μόνο για την περίπτωση

Ο ευκολότερος τρόπος για να γίνει αυτό είναι να χρησιμοποιήσετε την αρχή της αναλυτικής συνέχειας. Δεδομένου ότι είναι μια ολόκληρη συνάρτηση, προκύπτει από την ισότητα

Οι λύσεις και είναι γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ τους. Για αυτό το αποτέλεσμα είναι συνέπεια της γραμμικής ανεξαρτησίας των λύσεων και . Η γραμμική ανεξαρτησία για προκύπτει από μια σύγκριση της συμπεριφοράς των υπό εξέταση συναρτήσεων για τους [τύπους (3.3) και (3.4)]. Έτσι, η γενική έκφραση της κυλινδρικής συνάρτησης, κατάλληλη για οποιεσδήποτε τιμές του , θα είναι

Οι συναρτήσεις Bessel του δεύτερου είδους ικανοποιούν τις ίδιες σχέσεις επανάληψης με τις συναρτήσεις του πρώτου είδους, δηλαδή:

(3.9)

Για , διαφορετικό από έναν ακέραιο, η εγκυρότητα αυτών των τύπων προκύπτει από τον ορισμό της συνάρτησης Bessel του δεύτερου είδους και των αντίστοιχων τύπων για συναρτήσεις του πρώτου είδους. Για έναν ακέραιο, το απαιτούμενο αποτέλεσμα προκύπτει από τη συνέχεια των υπό εξέταση συναρτήσεων ως προς το πρόσημο, το οποίο μας επιτρέπει να πραγματοποιήσουμε τη μετάβαση στο όριο στις σχέσεις (3.9)

Ας σημειώσουμε επίσης τον τύπο

(3.10)

που είναι συνέπεια της (3.7) και μας επιτρέπει να ανάγουμε τον υπολογισμό των συναρτήσεων με αρνητικό ακέραιο πρόσημο στον υπολογισμό των συναρτήσεων των οποίων ο δείκτης είναι θετικός.

Με την αλλαγή των μεταβλητών στην εξίσωση (3.1), είναι εύκολο να ληφθεί ένας αριθμός άλλων διαφορικών εξισώσεων, το γενικό ολοκλήρωμα των οποίων μπορεί να εκφραστεί με όρους κυλινδρικών συναρτήσεων. Οι πιο ενδιαφέρουσες εξισώσεις αυτού του τύπου για εφαρμογές είναι διάφορες ειδικές περιπτώσεις διαφορικών εξισώσεων

(3.11)

τα γενικά ολοκληρώματα των οποίων θα είναι αναλόγως:

(3.12)

όπου δηλώνει μια αυθαίρετη κυλινδρική συνάρτηση.

4 Επέκταση σειράς της συνάρτησης Bessel του δεύτερου είδους με ακέραιο πρόσημο

Για να λάβουμε μια σειριακή επέκταση της συνάρτησης , αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (3.7) και να υπολογίσουμε τις παράγωγες ως προς το πρόσημο με βάση την επέκταση (2.1) και, ενόψει της σχέσης (3.10), μπορούμε να περιοριστούμε να εξετάσουμε την περίπτωση των θετικών ακεραίων

Δεδομένου ότι η σειρά (2.1), όπως αποδεικνύεται, συγκλίνει ομοιόμορφα σε σχέση με το , μπορούμε να τη διαφοροποιήσουμε ανά όρο και στη συνέχεια να λάβουμε

όπου είναι η λογαριθμική παράγωγος της συνάρτησης γάμμα.

Παρόμοια έχουμε

Στο Και Ως εκ τούτου, οι πρώτοι όροι της σειράς παίρνουν αόριστη μορφή. Χρησιμοποιώντας τους γνωστούς τύπους της θεωρίας της συνάρτησης γάμμα

;

παίρνουμε για τέτοια

όπου παρουσιάζεται το νέο εικονίδιο άθροισης

Από τον τύπο (3.7) προκύπτει ότι η επιθυμητή επέκταση της συνάρτησης Bessel του δεύτερου είδους με θετικό ακέραιο πρόσημο έχει τη μορφή

όπου στην περίπτωση το πρώτο άθροισμα πρέπει να ισούται με μηδέν.

Οι τιμές της λογαριθμικής παραγώγου της συνάρτησης γάμμα μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τους τύπους:

(4.2)

πού είναι η σταθερά του Euler,

Λαμβάνοντας υπόψη την ισότητα (1.2), μπορούμε να παρουσιάσουμε την επέκταση (4.1) σε μια ελαφρώς διαφορετική μορφή, δηλαδή:

(4.3)

Από την (4.1) προκύπτει ότι για τους ασυμπτωτικούς τύπους ισχύουν

(4.4)

δείχνοντας ότι όταν

5 Συναρτήσεις Bessel τρίτου είδους

Οι κυλινδρικές συναρτήσεις περιλαμβάνουν επίσης συναρτήσεις Bessel τρίτου είδους ή συναρτήσεις Hankel και , οι οποίες για ένα αυθαίρετο και που ανήκει σε ένα επίπεδο με τομή κατά μήκος του ημιάξονα προσδιορίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους

όπου είναι οι συναρτήσεις Bessel πρώτου και δεύτερου είδους.

Η σκοπιμότητα εισαγωγής αυτών των συναρτήσεων οφείλεται στο γεγονός ότι οι θεωρούμενοι γραμμικοί συνδυασμοί και έχουν τις απλούστερες ασυμπτωτικές επεκτάσεις για μεγάλες τιμές (σημείο 8) και συναντώνται συχνά σε εφαρμογές.

Από τον ορισμό των συναρτήσεων Hankel προκύπτει ότι αυτές οι συναρτήσεις είναι κανονικές συναρτήσεις στο επίπεδο με τομή και ολόκληρες συναρτήσεις. Είναι προφανές ότι οι υπό εξέταση συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ τους και σε σχέση με το , έτσι ώστε το γενικό ολοκλήρωμα της εξίσωσης Bessel (3.1) να μπορεί, μαζί με το (3.8), να παρουσιαστεί σε μία από τις ακόλουθες μορφές:

όπου είναι αυθαίρετες σταθερές.

Όντας γραμμικοί συνδυασμοί των συναρτήσεων και , οι συναρτήσεις Hankel ικανοποιούν τις ίδιες σχέσεις επανάληψης με αυτές τις συναρτήσεις, για παράδειγμα,

(5.3)

Εάν εξαιρέσουμε τη συνάρτηση Bessel του δεύτερου είδους από το (5.1) χρησιμοποιώντας το (3.5), λαμβάνουμε

(5.4)

από τις οποίες προκύπτουν σημαντικές σχέσεις:

6 Συναρτήσεις Bessel ενός φανταστικού ορίσματος

Στενά συνδεδεμένες με τις συναρτήσεις Bessel είναι δύο συναρτήσεις που συναντώνται συχνά σε εφαρμογές και , οι οποίες για , που ανήκουν σε ένα επίπεδο με τομή κατά τον αρνητικό ημιάξονα και αυθαίρετα , μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας τους τύπους:

(6.1)

(6.2)

και γενικά

(6.3)

Επαναλαμβάνοντας το σκεπτικό του σημείου 2, διαπιστώνουμε ότι και είναι κανονικές συναρτήσεις στο επίπεδο με τομή και ολόκληρες συναρτήσεις.

Οι εν λόγω συναρτήσεις σχετίζονται απλώς με τις συναρτήσεις Bessel του επιχειρήματος.

Πράγματι, ας υποθέσουμε ότι . Επειτα και από την (2.1) προκύπτει

(6.4)

για όλα

Ομοίως, από τον τύπο (5.4) λαμβάνουμε για το ίδιο

(6.5)

Για αξίες συναρτήσεις και μπορεί να εκφραστεί με όρους Bessel συναρτήσεων του επιχειρήματος. Εχουμε

(6.6)

για όλα .

Με βάση τις σχέσεις που προέκυψαν, οι συναρτήσεις και ονομάζονται συναρτήσεις Bessel του φανταστικού ορίσματος. Η συνάρτηση είναι επίσης γνωστή στη βιβλιογραφία ως συνάρτηση Macdonald.

Από τους παραγόμενους τύπους προκύπτει αμέσως ότι οι υπό εξέταση συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της διαφορικής εξίσωσης

(6.7)

που διαφέρει από την εξίσωση Bessel μόνο στο πρόσημο ενός όρου και μετατρέπεται σε αυτόν κατά την αντικατάσταση.

Η εξίσωση (6.7) βρίσκεται συχνά στη μαθηματική φυσική. Το γενικό ολοκλήρωμα αυτής της εξίσωσης για αυθαίρετα μπορεί να γραφτεί με τη μορφή

Οι συναρτήσεις και ικανοποιούν απλές σχέσεις επανάληψης:

(6.9)

Οι τύποι επανάληψης που περιέχουν συναρτήσεις αποδεικνύονται αντικαθιστώντας τη σειρά (6.1) σε αυτές. Οι αντίστοιχοι τύποι για συναρτήσεις για άλλες από έναν ακέραιο ελέγχονται αντικαθιστώντας την έκφραση (6.2) σε αυτές και χρησιμοποιώντας τύπους της πρώτης ομάδας. Η εγκυρότητα των τελευταίων σχέσεων για το σύνολο προκύπτει από τη συνέχεια των υπό εξέταση λειτουργιών ως προς το πρόσημο.

Ας αναφέρουμε δύο ακόμη χρήσιμους τύπους:

(6.10)

η πρώτη από τις οποίες προκύπτει από την (6.1), αν λάβουμε υπόψη ότι στους πρώτους όρους της επέκτασης εξαφανίζονται, ενώ η δεύτερη είναι άμεση συνέπεια του ορισμού της συνάρτησης Macdonald (6.2).

Η επέκταση της συνάρτησης στο μπορεί να ληφθεί από το (6.3) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο στο σημείο 5. Παρουσιάζουμε το τελικό αποτέλεσμα του υπολογισμού:

Εδώ είναι η λογαριθμική παράγωγος της συνάρτησης γάμμα, οι τιμές της οποίας μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας τους τύπους (4.2). Για την περίπτωση, το πρώτο από τα αθροίσματα θα πρέπει να θεωρείται ίσο με μηδέν.

Από την (6.11) προκύπτει ότι η ασυμπτωτική συμπεριφορά της συνάρτησης στο καθορίζεται από τους τύπους

(6.12)

7 Κυλινδρικές συναρτήσεις με δείκτη ίσο με το μισό περιττού ακέραιου αριθμού

Μια ειδική κατηγορία κυλινδρικών συναρτήσεων σχηματίζεται από κυλινδρικές συναρτήσεις με δείκτη ίσο με το μισό περιττού ακέραιου αριθμού. Στην περίπτωση που εξετάζουμε, οι κυλινδρικές συναρτήσεις μπορούν να εκφραστούν ως στοιχειώδεις συναρτήσεις. Για να το δείξουμε αυτό, ας βρούμε πρώτα τις τιμές των συναρτήσεων , για τις οποίες βάζουμε (2.1) και χρησιμοποιούμε τον τύπο διπλασιασμού της συνάρτησης γάμμα για να μετατρέψουμε τη σειρά

Θα το πάρουμε τότε

(7.1)

και ομοίως

(7.2)

Η ικανότητα έκφρασης της συνάρτησης Bessel του πρώτου είδους με οποιοδήποτε μισό ακέραιο σύμβολο ως προς τις στοιχειώδεις συναρτήσεις προκύπτει τώρα από τον επαναλαμβανόμενο τύπο (2.5)

χρησιμοποιώντας το οποίο μπορείτε να αποκτήσετε διαδοχικά:

Η γενική έκφραση για ως προς τις στοιχειώδεις συναρτήσεις λαμβάνεται από τους τύπους (2.7). Για παράδειγμα, αν βάλουμε το δεύτερο από αυτά και χρησιμοποιήσουμε το αποτέλεσμα (7.1), βρίσκουμε:

(7.3)

Οι αντίστοιχοι τύποι για τις συναρτήσεις Bessel του δεύτερου και του τρίτου είδους μπορούν να προκύψουν από τις σχέσεις που βρέθηκαν αν χρησιμοποιήσουμε τις εκφράσεις αυτών των συναρτήσεων μέσω των συναρτήσεων Bessel του πρώτου είδους (3.5 και 5.4). Για παράδειγμα, έχουμε:

(7.4)

Εν κατακλείδι, ας επισημάνουμε τους τύπους:

(7.5)

που προκύπτουν από τους ορισμούς των υπό εξέταση λειτουργιών (6.1 – 6.2).

Οι τύποι για άλλες τιμές δεικτών μισού ακέραιου αριθμού λαμβάνονται από αυτούς τους τύπους χρησιμοποιώντας σχέσεις επανάληψης (6.9). Ο Λιουβίλ απέδειξε ότι η περίπτωση ενός δείκτη μισού ακέραιου αριθμού είναι η μόνη όταν οι κυλινδρικές συναρτήσεις ανάγονται σε στοιχειώδεις.

8 Ασυμπτωτικές αναπαραστάσεις κυλινδρικών συναρτήσεων για μεγάλες τιμές του ορίσματος

Οι κυλινδρικές συναρτήσεις έχουν απλές ασυμπτωτικές αναπαραστάσεις που είναι βολικές για την προσέγγιση αυτών των συναρτήσεων για μεγάλες απόλυτες τιμές και μια σταθερή τιμή δείκτη. Οι κύριοι όροι αυτών των τύπων μπορούν να ληφθούν με βάση τις διαφορικές εξισώσεις που ικανοποιούνται από τις υπό εξέταση συναρτήσεις.

Από τις κυλινδρικές συναρτήσεις, οι συναρτήσεις του τρίτου είδους έχουν τις απλούστερες ασυμπτωτικές παραστάσεις.

Για να λάβουμε μια ασυμπτωτική αναπαράσταση της συνάρτησης, χρησιμοποιούμε την ισότητα

(8.1)

και να το μετατρέψετε χρησιμοποιώντας αντικατάσταση. Μετά παίρνουμε

(8.2)

Αντικατάσταση του πολλαπλασιαστή με διωνυμική επέκταση με υπολειπόμενο όρο

και ενσωματώνοντας όρο προς όρο, βρίσκουμε

(8.3)

Οπου

Ας το προσποιηθούμε (είναι ένας αυθαίρετος μικρός θετικός αριθμός) και θα υποθέσουμε προσωρινά ότι έχει επιλεγεί έτσι Η εκτίμηση του όρου modulo του υπολοίπου δίνει στη συνέχεια

σε σταθερό

Έτσι, για μεγάλα

(8.4)

Ας δείξουμε ότι ο όρος που επιβάλλεται μπορεί να απορριφθεί. Πράγματι, αν , τότε μπορούμε να επιλέξουμε τέτοια ώστε . Αναπαριστάνοντάς το χρησιμοποιώντας τον τύπο (8.4), όπου αντικαθίσταται από , και παρατηρώντας ότι

φτάνουμε πάλι στο ίδιο αποτέλεσμα.

Επίσης εύκολο στη χρήση της αναλογίας απελευθερωθείτε από τον περιορισμό που επιβάλλεται στην παράμετρο.

Τέλος, αν χρησιμοποιήσουμε αντί για το (8.1) μια ολοκληρωμένη αναπαράσταση μιας ελαφρώς γενικότερης μορφής, μπορούμε να δείξουμε ότι ο ασυμπτωτικός τύπος που βρέθηκε παραμένει έγκυρος σε έναν ευρύτερο τομέα .

Έτσι, επιτέλους για τους μεγάλους

(8.5)

Η ασυμπτωτική αναπαράσταση για τη συνάρτηση λαμβάνεται με παρόμοιο τρόπο από τον τύπο

(8.6)

και έχει την εξής μορφή:

(8.7)

Οι ασυμπτωτικές αναπαραστάσεις για κυλινδρικές συναρτήσεις πρώτου και δεύτερου είδους προκύπτουν από τους παραγόμενους τύπους (8.5) και (8.7) και τις σχέσεις (5.1). Βρίσκουμε

(8.8)

(8.9)

Ασυμπτωτικοί τύποι για τροποποιημένες κυλινδρικές συναρτήσεις μπορούν να ληφθούν χρησιμοποιώντας τις σχέσεις της παραγράφου 6.

Οι τελικοί τύποι είναι οι εξής:

(8.10)

το σημάδι αντιστοιχεί

Υπό την προϋπόθεση ότι , ο δεύτερος όρος στο (8.10) θα είναι μικρός και αυτός ο τύπος μπορεί να γραφτεί με τη μορφή

Από τις (8.5) και (8.7 – 8.12) προκύπτει ότι οι αποκλίνουσες σειρές που προκύπτουν εάν ορίσουμε τυπικά , είναι ασυμπτωτικές για τις συναρτήσεις στα αριστερά των υπό εξέταση ισοτήτων.

Η μέθοδος με την οποία προκύπτουν οι εν λόγω τύποι δίνει μόνο την τάξη μεγέθους του υπολοίπου όρου, αλλά δεν επιτρέπει την εξαγωγή ακριβέστερων συμπερασμάτων. Κάτω από ειδικές παραδοχές σχετικά με και είναι δυνατόν, τροποποιώντας ελαφρά τη συλλογιστική, να ληφθούν σημαντικά πιο ακριβή αποτελέσματα. Έτσι, για παράδειγμα, μπορεί να φανεί ότι εάν και είναι πραγματικοί θετικοί αριθμοί και ο αριθμός λαμβάνεται τόσο μεγάλος που τότε τα υπόλοιπα των ασυμπτωτικών επεκτάσεων για και θα είναι αριθμητικά μικρότερα από τους πρώτους όρους που απορρίπτονται. Στην ασυμπτωτική παράσταση για , το ίδιο αποτέλεσμα εμφανίζεται για .

9 Μηδενικά κυλινδρικών συναρτήσεων

Κατά την επίλυση πολλών εφαρμοζόμενων προβλημάτων, είναι απαραίτητο να έχουμε μια ιδέα της κατανομής των μηδενικών κυλινδρικών συναρτήσεων στο επίπεδο μιας μιγαδικής μεταβλητής και να μπορούμε να υπολογίζουμε κατά προσέγγιση τις τιμές τους.

Κατανομή μηδενικών συναρτήσεων Bessel με θετικό ακέραιο πρόσημο, δηλ. λύσεις της εξίσωσης

καθορίζεται από το παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα 4.Η συνάρτηση δεν έχει μιγαδικά μηδενικά και έχει άπειρο αριθμό πραγματικών μηδενικών που βρίσκονται συμμετρικά ως προς το σημείο, το οποίο, στην περίπτωση, ανήκει στον αριθμό τους. Όλα τα μηδενικά της συνάρτησης είναι απλά, με εξαίρεση το σημείο , το οποίο στο είναι αντίστοιχα μηδέν πολλαπλότητας .

Κατανομή μηδενικών συναρτήσεων Bessel με αυθαίρετο πραγματικό δείκτη, δηλ. λύσεις της εξίσωσης

– πραγματικό, (9.2)

δίνεται από το γενικότερο Θεώρημα 5.

Θεώρημα 5.Μια συνάρτηση είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός) έχει έναν άπειρο αριθμό πραγματικών θετικών μηδενικών και έναν πεπερασμένο αριθμό μιγαδικών συζυγών μηδενικών, όπου, ανάλογα με την τιμή της παραμέτρου,

(1) εάν ή

(2) στο

Αν ανάμεσα στα μιγαδικά μηδενικά υπάρχει ένα ζεύγος καθαρά φανταστικών.

Όλα τα μηδενικά της συνάρτησης είναι απλά, εκτός ίσως από το σημείο.

Στη μαθηματική φυσική, η εξίσωση συναντάται συχνά

(όπου και δίνονται πραγματικοί αριθμοί, ), που μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευση της εξίσωσης (9.2). Με τον καθορισμένο περιορισμό παραμέτρων, η εξίσωση που εξετάζουμε έχει άπειρο αριθμό θετικών ριζών και δεν έχει σύνθετες ρίζες, εκτός από την περίπτωση που αυτή η εξίσωση έχει δύο καθαρά φανταστικές ρίζες.

Η κατανομή των μηδενικών μιας συνάρτησης μπορεί να εξαχθεί από το Θεώρημα 5 χρησιμοποιώντας τις σχέσεις της παραγράφου 6. Ειδικότερα, σημειώνουμε το σημαντικό αποτέλεσμα ότι για όλα τα μηδενικά της συνάρτησης είναι καθαρά φανταστικά. Η συνάρτηση Macdonald για ένα πραγματικό δεν έχει μηδενικά στην περιοχή. Τα μηδενικά της συνάρτησης που βρίσκονται στο υπόλοιπο επίπεδο κοπής είναι μιγαδικά συζυγή και ο αριθμός τους είναι πεπερασμένος.

Για τον κατά προσέγγιση υπολογισμό των ριζών των εξισώσεων που περιέχουν κυλινδρικές συναρτήσεις, χρησιμοποιείται η μέθοδος των διαδοχικών προσεγγίσεων και σε πολλές περιπτώσεις οι ρίζες των εξισώσεων που λαμβάνονται από τις αρχικές κατά την αντικατάσταση των κυλινδρικών συναρτήσεων με τις ασυμπτωτικές τους παραστάσεις μπορούν να ληφθούν ως καλή αρχική προσέγγιση .

10 Παράδειγμα

Λύστε τη διαφορική εξίσωση:

Σε αυτή την εξίσωση θα κάνουμε την αντικατάσταση

Οπου

Ως εκ τούτου,

Αντικαθιστώντας τις παραγώγους που βρέθηκαν στην αρχική εξίσωση, παίρνουμε:

Πολλαπλασιασμός με:

Αφήνω , τότε παίρνουμε:

Διαιρέστε με:

Με βάση τη γενική μορφή της εξίσωσης Bessel (1), προκύπτει ότι .

Η γενική έκφραση της κυλινδρικής συνάρτησης για με βάση τον τύπο (1.14) αντιπροσωπεύει έναν γραμμικό συνδυασμό των κατασκευασμένων λύσεων:

όπου και είναι αυθαίρετες σταθερές.

Έτσι, η λύση της αρχικής εξίσωσης έχει τη μορφή:

συμπέρασμα

Σε αυτό το μάθημα, οι συναρτήσεις Bessel (εξίσωση Bessel και τροποποιημένη εξίσωση Bessel), μελετήθηκαν οι βασικές ιδιότητες των παραπάνω συναρτήσεων και λύθηκε μια διαφορική εξίσωση χρησιμοποιώντας συναρτήσεις Bessel.

Βιβλιογραφία

1. Λεμπέντεφ Ν.Ν. Ειδικές λειτουργίες και οι εφαρμογές τους (2η έκδοση). – M.-L.: GIFML, 1963. – 359s.

2. Romanovsky P.I. Σειρά Fourier. Θεωρία πεδίου. Αναλυτικές και ειδικές λειτουργίες. Μετασχηματισμός Laplace, εγχειρίδιο για πανεπιστήμια. – Μ.: Nauka, 1983. – 336s.

3. Bateman G., Erdelyi A. Ανώτερες υπερβατικές λειτουργίες. Τ. 2. Συναρτήσεις Bessel, συναρτήσεις παραβολικού κυλίνδρου, ορθογώνια πολυώνυμα. – Μ.: Nauka, 1966. – Δεκαετία 296.

4. Piskunov N.S. Διαφορικός και ολοκληρωτικός λογισμός, εγχειρίδιο για τα πανεπιστήμια. – Μ.: Nauka, 1985. – Δεκαετία 560.

5. Γ.Ν. Watson Μια πραγματεία για τη θεωρία των συναρτήσεων Bessel. 1945. (Διαθέσιμη μετάφραση: Watson G.N. Theory of Bessel functions: Translation from the 2nd English edition / Πρόλογος του συγγραφέα. V.S. Berman. - M.: IL, 1949 - 798 σελ.)

6. Sabitov K.V. Λειτουργικές, διαφορικές και ολοκληρωτικές εξισώσεις. – Μ.: Ανώτατο Σχολείο, 2005. – 671s.

7. Kuznetsov D.S. Ειδικές λειτουργίες. – Μ.: Ανώτατο Σχολείο, 1962. – 249 δευτ.

8. Morse F.M., Feshbach G. Methods of theoretical physics. Τ.2. – Μ.: IL, 1960. – 897s.

9. Korenev B.G. Εισαγωγή στη θεωρία των συναρτήσεων Bessel. – Μ.: Nauka, 1971. – 287s.

10. Kuzmin R.O. Λειτουργίες Bessel. – L.-M.: GTTI, 1933. – 152 δευτ.

Παραγγελίες.

Αν και $\backslash ά\lambda \phi \alpha$Και $(-\backslash ά\lambda \phi \alpha )$δημιουργούν πανομοιότυπες εξισώσεις, συνήθως συμφωνούν ότι αντιστοιχούν διαφορετικές συναρτήσεις (αυτό γίνεται, για παράδειγμα, έτσι ώστε η συνάρτηση Bessel να είναι ομαλή σε $\backslash ά\lambda \phi \alpha$).

Οι συναρτήσεις Bessel ορίστηκαν για πρώτη φορά από τον Ελβετό μαθηματικό Daniel Bernoulli και ονομάστηκαν από τον Friedrich Bessel.

Εφαρμογές

Η εξίσωση Bessel προκύπτει όταν βρίσκουμε λύσεις στην εξίσωση Laplace και στην εξίσωση Helmholtz σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες. Επομένως, οι συναρτήσεις Bessel χρησιμοποιούνται για την επίλυση πολλών προβλημάτων σχετικά με τη διάδοση κυμάτων, τα στατικά δυναμικά κ.λπ., για παράδειγμα:

• ηλεκτρομαγνητικά κύματα σε κυλινδρικό κυματοδηγό.
• Θερμική αγωγιμότητα σε κυλινδρικά αντικείμενα.
• τρόποι δόνησης μιας λεπτής στρογγυλής μεμβράνης.
• κατανομή έντασης του φωτός που διαθλάται από μια κυκλική τρύπα.
• την ταχύτητα των σωματιδίων σε έναν κύλινδρο γεμάτο με υγρό και περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του·
• κυματοσυναρτήσεις σε ένα σφαιρικά συμμετρικό πλαίσιο δυναμικού.

Οι συναρτήσεις Bessel χρησιμοποιούνται επίσης για την επίλυση άλλων προβλημάτων, για παράδειγμα, στην επεξεργασία σήματος.

Ορισμοί

Εφόσον η παραπάνω εξίσωση είναι γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης, πρέπει να έχει δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις. Ωστόσο, ανάλογα με τις περιστάσεις, επιλέγονται διαφορετικοί ορισμοί αυτών των αποφάσεων. Παρακάτω είναι μερικά από αυτά.

Συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους

Συναρτήσεις Bessel του πρώτου είδους, σημειώνονται $J\_\backslash alpha(x)$, είναι λύσεις πεπερασμένες στο σημείο $x=0$για ακέραιο ή μη αρνητικό $\backslash ά\lambda \phi \alpha$. Η επιλογή μιας συγκεκριμένης συνάρτησης και η κανονικοποίησή της καθορίζονται από τις ιδιότητές της. Μπορούμε να ορίσουμε αυτές τις συναρτήσεις χρησιμοποιώντας μια επέκταση της σειράς Taylor γύρω από το μηδέν (ή μια πιο γενική σειρά ισχύος για μη ακέραιους αριθμούς $\backslash ά\lambda \phi \alpha$):

$J\_\backslash alpha(x)\; =\; \backslash sum\_(m=0)^\backslash infty\; \backslash frac((-1)^m)(m!\backslash ,\; \backslash Gamma(m+\backslash alpha+1))\; (\backslash left((\backslash frac(\; x)(2))\backslash \delta \epsilon \xi \iota ά))^(2m+\backslash alpha)$

Οι συναρτήσεις Neumann ονομάζονται επίσης συναρτήσεις Bessel του δεύτερου είδους. Ένας γραμμικός συνδυασμός συναρτήσεων Bessel πρώτου και δεύτερου είδους είναι μια πλήρης λύση της εξίσωσης Bessel:

$y(x)\; =\; C\_1\; J\_\backslash alpha(x)\; +\; C\_2\; Y\_\backslash alpha(x).$

Παρακάτω είναι το γράφημα $Y\_\backslash alpha\; (x)$Για $\backslash ά\lambda \phi \alpha \; =\; 0$, 1 και 2:

Ιδιότητες

Ορθογωνικότητα

Αφήνω $\backslash mu\_1$Και $\backslash mu\_2$- μηδενικά της συνάρτησης Bessel $J\_(\backslash ά\lambda \phi \alpha )(x)$. Επειτα :

$\backslash int\_(0)^(1)(x\; J\_(\backslash ά\lambda \phi \alpha )(\backslash mu\_1\; x)\; J\_(\backslash ά\lambda \phi \alpha )(\backslash mu\_2\; x)\; dx)\; =\; \backslash \alpha \rho \iota \sigma \tau \epsilon \rho ά\backslash (\; \backslash \alpha \rho \chi ή(\mu ή\tau \rho \alpha )$

0 & \mbox(;)\quad\mu_1\ne\mu_2 \\ \\ \frac(1)(2)(J"_(\alpha)(\mu_1))^2 & \mbox(;)\quad \mu_1=\mu_2

\end(μήτρα) \δεξιά. .

Ασυμπτωτικά

Οι ασυμπτωτικοί τύποι είναι γνωστοί για τις συναρτήσεις Bessel του πρώτου και του δεύτερου είδους. Για μικρά επιχειρήματα και μη αρνητικό $\backslash ά\lambda \phi \alpha$μοιάζουν με αυτό:

$J\_\backslash alpha(x)\; \backslash rightarrow\; \backslash frac(1)(\backslash Gamma(\backslash alpha+1))\; \backslash left(\backslash frac(x)(2)\; \backslash right)\; ^\backslash alpha\; ,$

\end(μήτρα) \δεξιά. ,

$J\_\backslash alpha(z)=\backslash frac((z/2)^\backslash alpha)(\backslash Gamma(\backslash alpha+1))\; ()\_0F\_1\; (\backslash alpha+1;\; -z^2/4).$

Έτσι, για ακέραιους αριθμούς $\backslash ά\lambda \phi \alpha$Λειτουργία Bessel μονοσήμαντη αναλυτική, και για μη ακέραια - πολυτιμή αναλυτική.

Λειτουργία δημιουργίας

Υπάρχει μια αναπαράσταση για συναρτήσεις Bessel πρώτου είδους και ακέραιας τάξης μέσω των συντελεστών της σειράς Laurent μιας συνάρτησης ενός συγκεκριμένου τύπου, δηλαδή:

$e^(\backslash frac(z)(2)\backslash left(w-\backslash frac(1)(w)\backslash right))=\backslash sum\_(n=-\backslash infty)^(+\backslash infty)J\_n(z)w^\; n.$

Αναλογίες

Ο τύπος Jacobi-Anger και συναφείς

Λαμβάνουμε εκφράσεις για τον παράγοντα δημιουργίας στο $a=1$, $t=e^(i\backslash phi)$:

$e^(iz\backslash sin\backslash phi)=J\_0(z)+2\backslash sum\_(n=1)^\backslash infty\; J\_(2n)(z)\backslash cos(2n\backslash phi)+2i\backslash sum\_(n=1)^\; \backslash infty\; J\_(2n-1)(z)\backslash sin(2n-1)\backslash phi.$

Στο $a=1$, $t=ie^(i\backslash phi)$:

$e^(iz\backslash cos\backslash phi)=J\_0(z)+2\backslash sum\_(n=1)^\backslash infty\; i^nJ\_n(z)\backslash cos(n\backslash phi).$

Θεώρημα πρόσθεσης

Για οποιοδήποτε σύνολο $n$και πολύπλοκο $z\_1$Και $z\_2$εκτελούνται

$J\_n(z\_1+z\_2)\; =\; \backslash sum\_(k=-\backslash infty)^\backslash infty\; J\_k(z\_1)\; J\_(n-k)(z\_2).$

Ολοκληρωμένες εκφράσεις

Για κάθε $έ\nu \alpha$Και $\sigma \iota$(συμπεριλαμβανομένου του συγκροτήματος) πραγματοποιείται

$\backslash int\_0^\backslash infty\; e^(-at)J\_n(bt)\backslash mathrm\; dt\; =\; \backslash frac(b^n)(\backslash sqrt(a^2+b^2)(\backslash sqrt(a^2+b^2)\; +a)^n).$

Μια ειδική περίπτωση του τελευταίου τύπου είναι η έκφραση

$\backslash int\_0^\backslash infty\; e^(-at)J\_0(bt)\backslash mathrm\; dt\; =\; \backslash frac(1)(\backslash sqrt(a^2+b^2)).$

δείτε επίσης

Γράψτε μια αξιολόγηση για το άρθρο "Λειτουργίες Bessel"

Σημειώσεις

Βιβλιογραφία

• Watson G.Θεωρία των συναρτήσεων Bessel. - Μ.: IL, 1949.
• Bateman G., Erdelyi A.Συναρτήσεις Bessel, συναρτήσεις παραβολικών κυλίνδρων, ορθογώνια πολυώνυμα // Ανώτερες υπερβατικές συναρτήσεις. Τ. 2. 2η έκδ. / Μετάφρ. από τα Αγγλικά N. Ya. Vilenkina. - Μ.: Nauka, 1974. - 296 σελ.
• Lavrentiev M. A., Shabat B. V.Μέθοδοι θεωρίας συναρτήσεων μιγαδικής μεταβλητής. - Μ.: Nauka, 1973. - 736 σελ.

Ένα απόσπασμα που χαρακτηρίζει τις Λειτουργίες Bessel

«Βέρα», είπε η κόμισσα, απευθυνόμενη στη μεγαλύτερη κόρη της, φανερά αναγάπητη. - Πώς και δεν έχεις ιδέα για τίποτα; Δεν νιώθεις ότι δεν είσαι παράταιρος εδώ; Πήγαινε στις αδερφές σου ή...
Η όμορφη Βέρα χαμογέλασε περιφρονητικά, προφανώς μη νιώθοντας την παραμικρή προσβολή.
«Αν μου το είχες πει εδώ και πολύ καιρό, μαμά, θα έφευγα αμέσως», είπε και πήγε στο δωμάτιό της.
Όμως, περνώντας από τον καναπέ, παρατήρησε ότι δύο ζευγάρια κάθονταν συμμετρικά σε δύο παράθυρα. Σταμάτησε και χαμογέλασε περιφρονητικά. Η Σόνια κάθισε κοντά στον Νικολάι, ο οποίος της αντέγραφε ποιήματα που είχε γράψει για πρώτη φορά. Ο Μπόρις και η Νατάσα κάθονταν σε ένα άλλο παράθυρο και σώπασαν όταν μπήκε η Βέρα. Η Σόνια και η Νατάσα κοίταξαν τη Βέρα με ένοχα και χαρούμενα πρόσωπα.
Ήταν διασκεδαστικό και συγκινητικό να κοιτάζω αυτά τα ερωτευμένα κορίτσια, αλλά η θέα τους, προφανώς, δεν προκάλεσε ένα ευχάριστο συναίσθημα στη Βέρα.
«Πόσες φορές σου έχω ζητήσει», είπε, «να μην πάρεις τα πράγματά μου, έχεις το δικό σου δωμάτιο».
Πήρε το μελανοδοχείο από τον Νικολάι.
«Τώρα, τώρα», είπε βρέχοντας το στυλό του.
«Ξέρεις πώς να κάνεις τα πάντα τη λάθος στιγμή», είπε η Βέρα. «Μετά έτρεξαν στο σαλόνι, κι έτσι όλοι ένιωσαν ντροπή για σένα».
Παρά το γεγονός ότι, ή ακριβώς επειδή, αυτά που είπε ήταν απολύτως δίκαια, κανείς δεν της απάντησε, και οι τέσσερις κοιτάζονταν μόνο. Έμεινε στο δωμάτιο με το μελανοδοχείο στο χέρι.
- Και τι μυστικά θα μπορούσαν να υπάρχουν στην ηλικία σας μεταξύ της Νατάσα και του Μπόρις και μεταξύ σας - όλα είναι απλά ανοησίες!
- Λοιπόν, τι σε νοιάζει, Βέρα; – είπε η Νατάσα μεσολαβώντας με ήσυχη φωνή.
Εκείνη, προφανώς, ήταν ακόμη πιο ευγενική και στοργική με όλους από πάντα εκείνη την ημέρα.
«Πολύ ηλίθια», είπε η Βέρα, «Ντρέπομαι για σένα». Ποια είναι τα μυστικά;...
- Ο καθένας έχει τα μυστικά του. Δεν θα αγγίξουμε εσάς και τον Μπεργκ», είπε η Νατάσα ενθουσιασμένη.
«Νομίζω ότι δεν θα με αγγίξεις», είπε η Βέρα, «γιατί δεν μπορεί ποτέ να υπάρχει κάτι κακό στις πράξεις μου». Αλλά θα πω στη μαμά πώς συμπεριφέρεσαι στον Μπόρις.
«Η Natalya Ilyinishna μου φέρεται πολύ καλά», είπε ο Boris. «Δεν μπορώ να παραπονεθώ», είπε.
- Άσε το, Μπόρις, είσαι τόσο διπλωμάτης (η λέξη διπλωμάτης χρησιμοποιήθηκε πολύ στα παιδιά με την ιδιαίτερη σημασία που έδιναν σε αυτή τη λέξη). Είναι ακόμη και βαρετό», είπε η Νατάσα με προσβεβλημένη, τρεμάμενη φωνή. - Γιατί με ενοχλεί; Δεν θα το καταλάβεις ποτέ αυτό», είπε, γυρίζοντας προς τη Βέρα, «επειδή δεν αγάπησες ποτέ κανέναν. δεν έχεις καρδιά, είσαι μόνο η μαντάμ ντε Τζενλίς [Μαντάμ Τζενλίς] (αυτό το παρατσούκλι, που θεωρείται πολύ προσβλητικό, δόθηκε στη Βέρα από τον Νικολάι), και η πρώτη σου ευχαρίστηση είναι να προκαλείς προβλήματα στους άλλους. «Φλερτάρεις με τον Μπεργκ όσο θέλεις», είπε γρήγορα.
- Ναι, σίγουρα δεν θα αρχίσω να κυνηγάω έναν νεαρό μπροστά σε καλεσμένους...
«Λοιπόν, πέτυχε τον στόχο της», παρενέβη ο Νικολάι, «είπε δυσάρεστα πράγματα σε όλους, αναστάτωσε τους πάντες». Πάμε στο νηπιαγωγείο.
Και οι τέσσερις, σαν ένα φοβισμένο κοπάδι πουλιών, σηκώθηκαν και βγήκαν από το δωμάτιο.
«Μου είπαν κάποια προβλήματα, αλλά δεν εννοούσα τίποτα σε κανέναν», είπε η Βέρα.
- Μαντάμ ντε Ζενλίς! Μαντάμ ντε Ζενλίς! - έλεγαν φωνές γέλια πίσω από την πόρτα.
Η πανέμορφη Βέρα, που είχε τόσο εκνευριστικό, δυσάρεστο αποτέλεσμα σε όλους, χαμογέλασε και, προφανώς ανεπηρέαστη από όσα της είπαν, πήγε στον καθρέφτη και ίσιωσε το κασκόλ και το χτένισμά της. Κοιτάζοντας το όμορφο πρόσωπό της, προφανώς έγινε ακόμα πιο ψυχρή και ήρεμη.

Η συζήτηση συνεχίστηκε στο σαλόνι.
- Αχ! chere", είπε η κόμισσα, "και στη ζωή μου tout n"est pas rose. Δεν βλέπω ότι du train, que nous allons, [δεν είναι όλα τριαντάφυλλα. - δεδομένου του τρόπου ζωής μας, η κατάστασή μας δεν θα κρατάνε πολύ για εμάς! Και "Είναι όλο ένα κλαμπ, και η καλοσύνη του. Μένουμε στο χωριό, χαλαρώνουμε πραγματικά; Θέατρα, κυνήγι και ένας Θεός ξέρει τι. Αλλά τι να πω για μένα! Λοιπόν, πώς τα κανονίσατε όλα Συχνά εκπλήσσομαι μαζί σου, Αννέτα, πώς είναι δυνατόν εσύ, στην ηλικία σου, να οδηγείς μόνος σε μια άμαξα, στη Μόσχα, στην Αγία Πετρούπολη, σε όλους τους υπουργούς, σε όλους τους ευγενείς, ξέρεις πώς να φτάσεις μαζί με όλους, είμαι έκπληκτος!Λοιπόν, πώς έγινε αυτό; Δεν ξέρω πώς να κάνω τίποτα από αυτά.
- Ω, ψυχή μου! - απάντησε η πριγκίπισσα Άννα Μιχαήλοβνα. «Ο Θεός να μην ξέρεις πόσο δύσκολο είναι να μείνεις χήρα χωρίς υποστήριξη και με έναν γιο που αγαπάς σε σημείο λατρείας». «Θα μάθεις τα πάντα», συνέχισε με κάποια περηφάνια. – Η διαδικασία μου με δίδαξε. Αν χρειαστεί να δω έναν από αυτούς τους άσσους, γράφω μια σημείωση: "Η πριγκίπισσα une telle [πριγκίπισσα τάδε] θέλει να δει τον άλλον" και οδηγώ τον εαυτό μου σε μια καμπίνα τουλάχιστον δύο, τουλάχιστον τρεις φορές, τουλάχιστον τέσσερις φορές, μέχρι να πετύχω αυτό που χρειάζομαι. Δεν με νοιάζει τι πιστεύει κανείς για μένα.
- Λοιπόν, καλά, ποιον ρώτησες για τη Μπορένκα; – ρώτησε η κόμισσα. - Εξάλλου, ο δικός σου είναι ήδη αξιωματικός φρουράς και ο Νικολούσκα είναι δόκιμος. Δεν υπάρχει κανένας να ενοχλήσει. Ποιον ρώτησες;
- Πρίγκιπας Βασίλι. Ήταν πολύ ωραίος. Τώρα συμφώνησα σε όλα, αναφέρθηκα στον κυρίαρχο», είπε με χαρά η πριγκίπισσα Άννα Μιχαήλοβνα, ξεχνώντας εντελώς όλη την ταπείνωση που πέρασε για να πετύχει τον στόχο της.
- Ότι έχει γεράσει, πρίγκιπα Βασίλι; – ρώτησε η κόμισσα. – Δεν τον έχω δει από τα θέατρα μας στους Ρουμιάντσεφ. Και νομίζω ότι με ξέχασε. «Il me faisait la cour, [Με ακολουθούσε», θυμήθηκε η κόμισσα χαμογελώντας.
«Ακόμα το ίδιο», απάντησε η Άννα Μιχαήλοβνα, «ευγενική, θρυμματισμένη». Les grandeurs ne lui ont pas touriene la tete du tout. [Η υψηλή θέση δεν του γύρισε καθόλου το κεφάλι.] «Λυπάμαι που μπορώ να κάνω πολύ λίγα για σένα, αγαπητή πριγκίπισσα», μου λέει, «παραγγελία». Όχι, είναι καλός άνθρωπος και υπέροχο μέλος της οικογένειας. Αλλά ξέρεις, Nathalieie, την αγάπη μου για τον γιο μου. Δεν ξέρω τι δεν θα έκανα για να τον κάνω ευτυχισμένο. «Και οι συνθήκες μου είναι τόσο άσχημες», συνέχισε η Άννα Μιχαήλοβνα με θλίψη και χαμηλώνοντας τη φωνή της, «τόσο άσχημες που τώρα βρίσκομαι στην πιο τρομερή κατάσταση. Η άθλια διαδικασία μου τρώει ό,τι έχω και δεν κινείται. Δεν έχω, μπορείτε να φανταστείτε, a la lettre [κυριολεκτικά], δεν έχω ούτε μια δεκάρα λεφτά και δεν ξέρω με τι να ντύσω τον Boris. «Έβγαλε ένα μαντήλι και άρχισε να κλαίει. «Χρειάζομαι πεντακόσια ρούβλια, αλλά έχω ένα χαρτονόμισμα των είκοσι πέντε ρούβλια». Είμαι σε αυτή τη θέση... Η μόνη μου ελπίδα τώρα είναι ο κόμης Κιρίλ Βλαντιμίροβιτς Μπεζούχοφ. Αν δεν θέλει να υποστηρίξει τον βαφτιστήρι του - άλλωστε, βάφτισε τον Μπόρια - και να του αναθέσει κάτι για τη συντήρησή του, τότε όλα μου τα προβλήματα θα χαθούν: δεν θα έχω με τίποτα να τον στολίσω.
Η Κοντέσα έχυσε δάκρυα και σιωπηλά σκέφτηκε κάτι.
«Συχνά σκέφτομαι, ίσως αυτό είναι αμαρτία», είπε η πριγκίπισσα, «και συχνά σκέφτομαι: ο κόμης Κιρίλ Βλαντιμίροβιτς Μπεζούχοϊ ζει μόνος... αυτή είναι μια τεράστια περιουσία... και για τι ζει; Η ζωή είναι ένα βάρος γι 'αυτόν, αλλά ο Borya μόλις αρχίζει να ζει.
«Μάλλον θα αφήσει κάτι για τον Μπόρις», είπε η κόμισσα.
- Ο Θεός ξέρει, τσέρ άμι! [αγαπητέ φίλε!] Αυτοί οι πλούσιοι και οι ευγενείς είναι τόσο εγωιστές. Αλλά θα πάω σε αυτόν τώρα με τον Μπόρις και θα του πω ευθέως τι συμβαίνει. Αφήστε τους να σκεφτούν ό,τι θέλουν για μένα, πραγματικά δεν με νοιάζει όταν η μοίρα του γιου μου εξαρτάται από αυτό. - Η πριγκίπισσα σηκώθηκε. - Τώρα είναι δύο η ώρα, και στις τέσσερις γευματίζετε. Θα έχω χρόνο να πάω.
Και με τις τεχνικές μιας επιχειρηματίας της Αγίας Πετρούπολης που ξέρει πώς να χρησιμοποιεί το χρόνο, η Άννα Μιχαήλοβνα έστειλε να βρουν τον γιο της και βγήκε στην αίθουσα μαζί του.
«Αντίο, ψυχή μου», είπε στην κόμισσα, που τη συνόδευε μέχρι την πόρτα, «ευχήσου μου επιτυχία», πρόσθεσε ψιθυριστά από τον γιο της.
– Επισκέπτεσαι τον Κόμη Κιρίλ Βλαντιμίροβιτς, μαμά; - είπε ο κόμης από την τραπεζαρία, βγαίνοντας κι αυτός στο διάδρομο. - Αν νιώθει καλύτερα, κάλεσε τον Πιέρ σε δείπνο μαζί μου. Άλλωστε με επισκέφτηκε και χόρεψε με τα παιδιά. Τηλεφώνησέ με οπωσδήποτε, μαμά. Λοιπόν, ας δούμε πώς ξεχωρίζει ο Τάρας σήμερα. Λέει ότι ο Κόμης Ορλόφ δεν είχε ποτέ τέτοιο δείπνο όπως θα έχουμε εμείς.