Εύρεση του εμβαδού ενός περιορισμένου αριθμού. Πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος χρησιμοποιώντας ένα διπλό ολοκλήρωμα; Η ολοκλήρωση της λύσης μπορεί να μοιάζει με αυτό

Ένα σχήμα που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς μη αρνητικής συνάρτησης $f(x)$ στο τμήμα $$ και τις γραμμές $y=0, \ x=a$ και $x=b$ ονομάζεται καμπυλόγραμμο τραπέζιο.

Περιοχή αντίστοιχη καμπύλο τραπεζοειδέςυπολογίζεται με τον τύπο:

$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)

Θα χωρίσουμε υπό όρους τα προβλήματα για να βρούμε την περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς σε τύπους $4$. Ας δούμε κάθε τύπο με περισσότερες λεπτομέρειες.

Τύπος I: ένα καμπύλο τραπεζοειδές προσδιορίζεται ρητά.Στη συνέχεια εφαρμόστε αμέσως τον τύπο (*).

Για παράδειγμα, βρείτε το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $y=4-(x-2)^(2)$ και τις γραμμές $y=0, \ x=1$ και $x =3$.

Ας σχεδιάσουμε αυτό το καμπύλο τραπεζοειδές.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (*), βρίσκουμε την περιοχή αυτού του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς.

$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \αριστερά.\frac((x-2)^(3) )(3)\δεξιά|_(1)^(3)=$

$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$

$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (μονάδες$^(2)$).

Τύπος II: το καμπύλο τραπεζοειδές προσδιορίζεται σιωπηρά.Σε αυτήν την περίπτωση, οι ευθείες $x=a, \ x=b$ συνήθως δεν καθορίζονται ή καθορίζονται μερικώς. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να βρείτε τα σημεία τομής των συναρτήσεων $y=f(x)$ και $y=0$. Αυτά τα σημεία θα είναι τα σημεία $a$ και $b$.

Για παράδειγμα, βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από τα γραφήματα των συναρτήσεων $y=1-x^(2)$ και $y=0$.

Ας βρούμε τα σημεία τομής. Για να γίνει αυτό, εξισώνουμε τις δεξιές πλευρές των συναρτήσεων.

Έτσι, $a=-1$ και $b=1$. Ας σχεδιάσουμε αυτό το καμπύλο τραπεζοειδές.

Ας βρούμε την περιοχή αυτού του κυρτού τραπεζοειδούς.

$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \αριστερά.\frac(x^(3))(3)\δεξιά|_ (-1)^(1)=$

$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \αριστερά(1+1\δεξιά) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (μονάδες$^(2)$).

Τύπος III: το εμβαδόν ενός σχήματος που περιορίζεται από την τομή δύο συνεχών μη αρνητικών συναρτήσεων.Αυτό το σχήμα δεν θα είναι ένα καμπύλο τραπεζοειδές, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν του χρησιμοποιώντας τον τύπο (*). Πώς να είσαι;Αποδεικνύεται ότι το εμβαδόν αυτού του σχήματος μπορεί να βρεθεί ως η διαφορά μεταξύ των περιοχών των καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών που οριοθετούνται από την άνω συνάρτηση και $y=0$ ($S_(uf)$), και της κάτω συνάρτησης και $y =0$ ($S_(lf)$), όπου ο ρόλος των $x=a, \ x=b$ παίζεται από τις συντεταγμένες $x$ των σημείων τομής αυτών των συναρτήσεων, π.χ.

$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)

Το πιο σημαντικό πράγμα κατά τον υπολογισμό τέτοιων περιοχών είναι να μην "χάσετε" με την επιλογή των άνω και κάτω συναρτήσεων.

Για παράδειγμα, βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από τις συναρτήσεις $y=x^(2)$ και $y=x+6$.

Ας βρούμε τα σημεία τομής αυτών των γραφημάτων:

Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta,

$x_(1)=-2,\x_(2)=3.$

Δηλαδή, $a=-2,\b=3$. Ας σχεδιάσουμε ένα σχήμα:

Έτσι, η επάνω συνάρτηση είναι $y=x+6$ και η κάτω συνάρτηση είναι $y=x^(2)$. Στη συνέχεια, βρίσκουμε τα $S_(uf)$ και τα $S_(lf)$ χρησιμοποιώντας τον τύπο (*).

$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\αριστερά.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (μονάδες$^(2)$).

$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\αριστερά.\frac(x^(3))(3)\δεξιά|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (μονάδες$^(2)$).

Ας αντικαταστήσουμε αυτό που βρήκαμε σε (**) και πάρουμε:

$S=32,5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (μονάδες$^(2)$).

Τύπος IV: εμβαδόν σχήματος, περιορισμένη λειτουργία(σ) που δεν ικανοποιούν τη συνθήκη μη αρνητικότητας.Για να βρείτε το εμβαδόν ενός τέτοιου σχήματος, πρέπει να είστε συμμετρικοί ως προς τον άξονα $Ox$ ( με άλλα λόγια,βάλτε «πλην» μπροστά από τις συναρτήσεις) εμφανίστε την περιοχή και, χρησιμοποιώντας τις μεθόδους που περιγράφονται στους τύπους I – III, βρείτε την περιοχή της εμφανιζόμενης περιοχής. Αυτή η περιοχή θα είναι η απαιτούμενη περιοχή. Αρχικά, ίσως χρειαστεί να βρείτε τα σημεία τομής των γραφημάτων συναρτήσεων.

Για παράδειγμα, βρείτε την περιοχή ενός σχήματος που οριοθετείται από τα γραφήματα των συναρτήσεων $y=x^(2)-1$ και $y=0$.

Ας βρούμε τα σημεία τομής των γραφημάτων συναρτήσεων:

εκείνοι. $a=-1$ και $b=1$. Ας σχεδιάσουμε την περιοχή.

Ας εμφανίσουμε την περιοχή συμμετρικά:

$y=0 \ \Δεξί βέλος \ y=-0=0$

$y=x^(2)-1 \ \Δεξί βέλος \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.

Το αποτέλεσμα είναι ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο που οριοθετείται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $y=1-x^(2)$ και $y=0$. Αυτό είναι ένα πρόβλημα για να βρείτε ένα καμπύλο τραπεζοειδές του δεύτερου τύπου. Το έχουμε ήδη λύσει. Η απάντηση ήταν: $S= 1\frac(1)(3)$ (μονάδες $^(2)$). Αυτό σημαίνει ότι η περιοχή του απαιτούμενου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι ίση με:

$S=1\frac(1)(3)$ (μονάδες$^(2)$).

Αρχίζουμε να εξετάζουμε την πραγματική διαδικασία υπολογισμού του διπλού ολοκληρώματος και να εξοικειωνόμαστε με τη γεωμετρική του σημασία.

Διπλό ολοκλήρωμα αριθμητικά ίσο με εμβαδόν επίπεδη φιγούρα(περιοχές ένταξης). Αυτό απλούστερη μορφήδιπλό ολοκλήρωμα, όταν η συνάρτηση δύο μεταβλητών είναι ίση με μία: .

Ας εξετάσουμε πρώτα το πρόβλημα γενική εικόνα. Τώρα θα εκπλαγείτε πολύ με το πόσο απλά είναι όλα πραγματικά! Ας υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος, περιορίζεται από γραμμές. Για βεβαιότητα, υποθέτουμε ότι στο τμήμα . Το εμβαδόν αυτού του σχήματος είναι αριθμητικά ίσο με:

Ας απεικονίσουμε την περιοχή στο σχέδιο:

Ας επιλέξουμε τον πρώτο τρόπο να διασχίσουμε την περιοχή:

Ετσι:

Και αμέσως μια σημαντική τεχνική τεχνική: τα επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα μπορούν να υπολογιστούν χωριστά. Πρώτα το εσωτερικό ολοκλήρωμα, μετά το εξωτερικό ολοκλήρωμα. Αυτή η μέθοδοςΤο προτείνω ανεπιφύλακτα σε αρχάριους στο αντικείμενο.

1) Ας υπολογίσουμε το εσωτερικό ολοκλήρωμα και η ολοκλήρωση πραγματοποιείται πάνω από τη μεταβλητή "y":

Το αόριστο ολοκλήρωμα εδώ είναι το απλούστερο και στη συνέχεια χρησιμοποιείται ο συνηθισμένος τύπος Newton-Leibniz, με τη μόνη διαφορά ότι τα όρια της ολοκλήρωσης δεν είναι αριθμοί, αλλά συναρτήσεις. Πρώτα το έβαλαν στο "Y" ( αντιπαράγωγη λειτουργία) ανώτατο όριο, τότε – το κατώτερο όριο

2) Το αποτέλεσμα που προκύπτει στην πρώτη παράγραφο πρέπει να αντικατασταθεί στο εξωτερικό ολοκλήρωμα:

Μια πιο συμπαγής αναπαράσταση ολόκληρης της λύσης μοιάζει με αυτό:

Ο τύπος που προκύπτει είναι ακριβώς ο τύπος εργασίας για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός επίπεδου σχήματος χρησιμοποιώντας το «συνηθισμένο» οριστικό ολοκλήρωμα! Παρακολουθήστε το μάθημα Υπολογισμός περιοχής με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος, εκεί είναι σε κάθε βήμα!

Αυτό είναι, πρόβλημα υπολογισμού εμβαδού με χρήση διπλού ολοκληρώματος όχι πολύ διαφορετικόαπό το πρόβλημα εύρεσης της περιοχής με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος!Στην πραγματικότητα, είναι το ίδιο πράγμα!

Κατά συνέπεια, δεν πρέπει να προκύψουν δυσκολίες! Δεν θα εξετάσω πολλά παραδείγματα, αφού στην πραγματικότητα, έχετε αντιμετωπίσει επανειλημμένα αυτό το έργο.

Παράδειγμα 9

Λύση:Ας απεικονίσουμε την περιοχή στο σχέδιο:

Ας επιλέξουμε την ακόλουθη σειρά διέλευσης της περιοχής:

Εδώ και παραπέρα δεν θα σταθώ στο πώς θα διασχίσω την περιοχή, αφού στην πρώτη παράγραφο δόθηκαν πολύ αναλυτικές εξηγήσεις.

Ετσι:

Όπως έχω ήδη σημειώσει, είναι καλύτερο για τους αρχάριους να υπολογίζουν τα επαναλαμβανόμενα ολοκληρώματα ξεχωριστά και θα παραμείνω στην ίδια μέθοδο:

1) Αρχικά, χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz, ασχολούμαστε με το εσωτερικό ολοκλήρωμα:

2) Το αποτέλεσμα που προκύπτει στο πρώτο βήμα αντικαθίσταται στο εξωτερικό ολοκλήρωμα:

Το σημείο 2 είναι στην πραγματικότητα εύρεση του εμβαδού ενός επίπεδου σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα.

Απάντηση:

Αυτό είναι ένα τόσο ανόητο και αφελές έργο.

Ένα ενδιαφέρον παράδειγμα για ανεξάρτητη απόφαση:

Παράδειγμα 10

Χρησιμοποιώντας ένα διπλό ολοκλήρωμα, υπολογίστε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες, ,

Ένα κατά προσέγγιση παράδειγμα τελικής λύσης στο τέλος του μαθήματος.

Στα Παραδείγματα 9-10, είναι πολύ πιο κερδοφόρο να χρησιμοποιήσετε την πρώτη μέθοδο διέλευσης της περιοχής, παρεμπιπτόντως, οι περίεργοι αναγνώστες μπορούν να αλλάξουν τη σειρά διέλευσης και να υπολογίσουν τις περιοχές χρησιμοποιώντας τη δεύτερη μέθοδο. Εάν δεν κάνετε λάθος, τότε, φυσικά, θα λάβετε τις ίδιες τιμές περιοχής.

Αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις, η δεύτερη μέθοδος διέλευσης της περιοχής είναι πιο αποτελεσματική, και στο τέλος της πορείας του νεαρού σπασίκλα, ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα για αυτό το θέμα:

Παράδειγμα 11

Χρησιμοποιώντας ένα διπλό ολοκλήρωμα, υπολογίστε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές,

Λύση:Ανυπομονούμε για δύο παραβολές με μια ιδιορρυθμία που βρίσκονται στα πλάγια. Δεν χρειάζεται να χαμογελάτε παρόμοια πράγματα συμβαίνουν αρκετά συχνά σε πολλαπλά ολοκληρώματα.

Ποιος είναι ο ευκολότερος τρόπος για να κάνετε ένα σχέδιο;

Ας φανταστούμε μια παραβολή με τη μορφή δύο συναρτήσεων:
– ο άνω κλάδος και – ο κάτω κλάδος.

Ομοίως, φανταστείτε μια παραβολή με τη μορφή άνω και κάτω κλαδια δεντρου.

Στη συνέχεια, η κατά σημείο σχεδίαση κανόνων γραφημάτων, με αποτέλεσμα ένα τόσο παράξενο σχήμα:

Υπολογίζουμε το εμβαδόν του σχήματος χρησιμοποιώντας το διπλό ολοκλήρωμα σύμφωνα με τον τύπο:

Τι θα συμβεί αν επιλέξουμε την πρώτη μέθοδο διέλευσης της περιοχής; Πρώτον, αυτή η περιοχή θα πρέπει να χωριστεί σε δύο μέρη. Και δεύτερον, θα παρατηρήσουμε αυτή τη θλιβερή εικόνα: . Τα ολοκληρώματα, βέβαια, δεν είναι υπερ-σύνθετου επιπέδου, αλλά... υπάρχει ένα παλιό μαθηματικό ρητό: όσοι είναι κοντά στις ρίζες τους δεν χρειάζονται τεστ.

Επομένως, από την παρανόηση που δίνεται στη συνθήκη, εκφράζουμε τις αντίστροφες συναρτήσεις:

Αντίστροφες συναρτήσεις V σε αυτό το παράδειγμαέχουν το πλεονέκτημα ότι καθορίζουν ολόκληρη την παραβολή ταυτόχρονα χωρίς φύλλα, βελανίδια, κλαδιά και ρίζες.

Σύμφωνα με τη δεύτερη μέθοδο, η διάβαση της περιοχής θα είναι η εξής:

Ετσι:

Όπως λένε, νιώστε τη διαφορά.

1) Ασχολούμαστε με το εσωτερικό ολοκλήρωμα:

Αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα στο εξωτερικό ολοκλήρωμα:

Η ολοκλήρωση πάνω από τη μεταβλητή "y" δεν πρέπει να προκαλεί σύγχυση εάν υπήρχε ένα γράμμα "zy", θα ήταν υπέροχο να ενσωματωθεί πάνω από αυτό. Αν και ποιος διάβασε τη δεύτερη παράγραφο του μαθήματος Πώς να υπολογίσετε τον όγκο ενός σώματος περιστροφής, δεν βιώνει πλέον την παραμικρή αμηχανία με την ενσωμάτωση σύμφωνα με τη μέθοδο «Υ».

Προσέξτε επίσης το πρώτο βήμα: το ολοκλήρωμα είναι άρτιο και το διάστημα ολοκλήρωσης είναι συμμετρικό περίπου μηδέν. Επομένως, το τμήμα μπορεί να μειωθεί στο μισό και το αποτέλεσμα μπορεί να διπλασιαστεί. Αυτή η τεχνική σχολιάζεται αναλυτικά στο μάθημα. Αποτελεσματικές μέθοδοιυπολογίζοντας το οριστικό ολοκλήρωμα.

Τι να προσθέσω…. Ολα!

Απάντηση:

Για να δοκιμάσετε την τεχνική ολοκλήρωσης, μπορείτε να προσπαθήσετε να υπολογίσετε . Η απάντηση θα πρέπει να είναι ακριβώς η ίδια.

Παράδειγμα 12

Χρησιμοποιώντας ένα διπλό ολοκλήρωμα, υπολογίστε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αν προσπαθήσετε να χρησιμοποιήσετε την πρώτη μέθοδο διάβασης της περιοχής, η φιγούρα δεν θα χρειάζεται πλέον να χωρίζεται σε δύο, αλλά σε τρία μέρη! Και, κατά συνέπεια, παίρνουμε τρία ζεύγη επαναλαμβανόμενων ολοκληρωμάτων. Συμβαίνει μερικές φορές.

Το master class έφτασε στο τέλος του και ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε στο επίπεδο grandmaster - Πώς να υπολογίσετε το διπλό ολοκλήρωμα; Παραδείγματα λύσεων. Θα προσπαθήσω να μην είμαι τόσο μανιακός στο δεύτερο άρθρο =)

Σου εύχομαι επιτυχία!

Λύσεις και απαντήσεις:

Παράδειγμα 2:Λύση: Ας απεικονίσουμε την περιοχή στο σχέδιο:

Ας επιλέξουμε την ακόλουθη σειρά διέλευσης της περιοχής:

Ετσι:
Ας προχωρήσουμε στις αντίστροφες συναρτήσεις:

Ετσι:
Απάντηση:

Παράδειγμα 4:Λύση: Ας προχωρήσουμε στις άμεσες συναρτήσεις:

Ας κάνουμε το σχέδιο:

Ας αλλάξουμε τη σειρά διέλευσης της περιοχής:

Απάντηση:

Στην πραγματικότητα, για να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος, δεν χρειάζεστε τόση γνώση του αόριστου και ορισμένου ολοκληρώματος. Η εργασία "υπολογισμός του εμβαδού χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα" περιλαμβάνει πάντα την κατασκευή ενός σχεδίου, έτσι οι γνώσεις και οι δεξιότητές σας στο σχέδιο θα είναι ένα πολύ πιο πιεστικό ζήτημα. Από αυτή την άποψη, είναι χρήσιμο να ανανεώσετε τη μνήμη σας από τα γραφήματα του κύριου στοιχειώδεις λειτουργίες, και, τουλάχιστον, να είναι σε θέση να κατασκευάσει μια ευθεία γραμμή και μια υπερβολή.

Ένα καμπύλο τραπεζοειδές είναι ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από έναν άξονα, ευθείες γραμμές και τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης συνεχούς σε ένα τμήμα που δεν αλλάζει πρόσημο σε αυτό το διάστημα. Αφήστε αυτό το σχήμα να εντοπιστεί όχι λιγότεροάξονας x:

Επειτα το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα. Οποιοδήποτε οριστικό ολοκλήρωμα (που υπάρχει) έχει πολύ καλή γεωμετρική σημασία.

Από την άποψη της γεωμετρίας, το οριστικό ολοκλήρωμα είναι ΠΕΡΙΟΧΗ.

Αυτό είναι,ένα ορισμένο ολοκλήρωμα (αν υπάρχει) αντιστοιχεί γεωμετρικά στο εμβαδόν ενός συγκεκριμένου σχήματος. Για παράδειγμα, θεωρήστε το οριστικό ολοκλήρωμα. Το ολοκλήρωμα ορίζει μια καμπύλη στο επίπεδο που βρίσκεται πάνω από τον άξονα (όσοι επιθυμούν μπορούν να κάνουν ένα σχέδιο) και το ίδιο το καθορισμένο ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του αντίστοιχου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς.

Παράδειγμα 1

Αυτή είναι μια τυπική δήλωση ανάθεσης. Το πρώτο και πιο σημαντικό σημείο της απόφασης είναι η κατασκευή του σχεδίου. Επιπλέον, το σχέδιο πρέπει να κατασκευαστεί ΣΩΣΤΑ.

Κατά την κατασκευή ενός σχεδίου, προτείνω την ακόλουθη σειρά: αρχικάείναι προτιμότερο να κατασκευάζονται όλες οι ευθείες (αν υπάρχουν) και μόνο Επειτα- παραβολές, υπερβολές, γραφικές παραστάσεις άλλων συναρτήσεων. Είναι πιο κερδοφόρο να δημιουργείτε γραφήματα συναρτήσεων σημείο προς σημείο.

Σε αυτό το πρόβλημα, η λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό.
Ας σχεδιάσουμε το σχέδιο (σημειώστε ότι η εξίσωση ορίζει τον άξονα):

Στο τμήμα, βρίσκεται το γράφημα της συνάρτησης πάνω από τον άξονα, Να γιατί:

Απάντηση:

Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, είναι πάντα χρήσιμο να κοιτάξετε το σχέδιο και να καταλάβετε εάν η απάντηση είναι πραγματική. ΣΕ σε αυτήν την περίπτωση"Με το μάτι" μετράμε τον αριθμό των κελιών στο σχέδιο - καλά, θα είναι περίπου 9, φαίνεται να είναι αλήθεια. Είναι απολύτως σαφές ότι αν λάβαμε, ας πούμε, την απάντηση: 20 τετραγωνικές μονάδες, τότε είναι προφανές ότι κάπου έγινε ένα λάθος - 20 κελιά σαφώς δεν χωρούν στην εν λόγω φιγούρα, το πολύ μια ντουζίνα. Εάν η απάντηση είναι αρνητική, τότε η εργασία λύθηκε επίσης εσφαλμένα.

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από γραμμές και άξονες συντεταγμένων.

Λύση: Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Αν εντοπίζεται καμπύλο τραπεζοειδές κάτω από τον άξονα(ή τουλάχιστον όχι υψηλότεραδεδομένου άξονα), τότε η περιοχή του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Σε αυτήν την περίπτωση:

Προσοχή! Οι δύο τύποι εργασιών δεν πρέπει να συγχέονται:

1) Αν σας ζητηθεί να λύσετε απλώς ένα ορισμένο ολοκλήρωμα χωρίς κανένα γεωμετρική σημασία, τότε μπορεί να είναι αρνητικό.

2) Εάν σας ζητηθεί να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, τότε το εμβαδόν είναι πάντα θετικό! Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το μείον εμφανίζεται στον τύπο που μόλις συζητήθηκε.

Στην πράξη, τις περισσότερες φορές το σχήμα βρίσκεται τόσο στο άνω όσο και στο κάτω ημιεπίπεδο, και ως εκ τούτου, από τα απλούστερα σχολικά προβλήματα προχωράμε σε πιο ουσιαστικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές, .

Λύση: Πρώτα πρέπει να ολοκληρώσετε το σχέδιο. Γενικά, όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής και της ευθείας. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Η πρώτη μέθοδος είναι αναλυτική. Λύνουμε την εξίσωση:

Αυτό σημαίνει ότι το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης είναι, το ανώτερο όριο ολοκλήρωσης είναι.

Εάν είναι δυνατόν, είναι καλύτερα να μην χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο..

Είναι πολύ πιο επικερδές και πιο γρήγορο να κατασκευάζονται γραμμές σημείο προς σημείο και τα όρια της ολοκλήρωσης γίνονται ξεκάθαρα «από μόνα τους». Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης ορίων πρέπει να χρησιμοποιείται μερικές φορές εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η λεπτομερής κατασκευή δεν αποκάλυψε τα όρια της ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα). Και θα εξετάσουμε επίσης ένα τέτοιο παράδειγμα.

Ας επιστρέψουμε στο καθήκον μας: είναι πιο λογικό να κατασκευάσουμε πρώτα μια ευθεία γραμμή και μόνο μετά μια παραβολή. Ας κάνουμε το σχέδιο:

Και τώρα η φόρμουλα εργασίας: Εάν υπάρχει κάποια συνεχής συνάρτηση στο τμήμα μεγαλύτερο ή ίσο μεμερικοί συνεχής λειτουργία, τότε η περιοχή του σχήματος που περιορίζεται από τα γραφήματα αυτών των συναρτήσεων και τις γραμμές , , μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Εδώ δεν χρειάζεται πλέον να σκέφτεστε πού βρίσκεται η φιγούρα - πάνω από τον άξονα ή κάτω από τον άξονα και, χοντρικά, σημασία έχει ποιο γράφημα είναι ΥΨΗΛΟΤΕΡΟ(σε σχέση με άλλο γράφημα), και ποιο είναι ΠΑΡΑΚΑΤΩ.

Στο υπό εξέταση παράδειγμα, είναι προφανές ότι στο τμήμα η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή, και επομένως είναι απαραίτητο να αφαιρεθεί από

Η ολοκληρωμένη λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό:

Το επιθυμητό σχήμα περιορίζεται από μια παραβολή πάνω και μια ευθεία γραμμή κάτω.
Στο τμήμα, σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Παράδειγμα 4

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές , , , .

Λύση: Αρχικά, ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Η φιγούρα της οποίας η περιοχή πρέπει να βρούμε είναι σκιασμένη με μπλε(κοιτάξτε προσεκτικά την κατάσταση - πώς είναι περιορισμένος ο αριθμός!). Αλλά στην πράξη, λόγω απροσεξίας, συχνά προκύπτει ένα «πρόβλημα» που πρέπει να βρείτε την περιοχή μιας φιγούρας που είναι σκιασμένη πράσινος!

Αυτό το παράδειγμα είναι επίσης χρήσιμο στο ότι υπολογίζει το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας δύο οριστικά ολοκληρώματα.

Πραγματικά:

1) Στο τμήμα πάνω από τον άξονα υπάρχει ένα γράφημα μιας ευθείας γραμμής.

2) Στο τμήμα πάνω από τον άξονα υπάρχει μια γραφική παράσταση μιας υπερβολής.

Είναι προφανές ότι οι περιοχές μπορούν (και πρέπει) να προστεθούν, επομένως:

Παράδειγμα 1 . Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 και x = 2

Ας κατασκευάσουμε ένα σχήμα (βλέπε σχήμα) Κατασκευάζουμε μια ευθεία x + 2y – 4 = 0 χρησιμοποιώντας δύο σημεία A(4;0) και B(0;2). Εκφράζοντας το y έως το x, παίρνουμε y = -0,5x + 2. Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1), όπου f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, βρίσκουμε

S = = [-0,25=11,25 τετρ. μονάδες

Παράδειγμα 2. Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 και y = 0.

Λύση. Ας κατασκευάσουμε το σχήμα.

Ας κατασκευάσουμε μια ευθεία x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, Β(0; 2).

Ας κατασκευάσουμε μια ευθεία x + y – 5 = 0: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Ας βρούμε το σημείο τομής των ευθειών λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων:

x = 2, y = 3; Μ(2; 3).

Για να υπολογίσουμε την απαιτούμενη περιοχή, διαιρούμε το τρίγωνο AMC σε δύο τρίγωνα AMN και NMC, καθώς όταν το x αλλάζει από Α σε Ν, η περιοχή περιορίζεται από μια ευθεία γραμμή και όταν το x αλλάζει από N σε C - από μια ευθεία γραμμή.

Για τρίγωνο AMN έχουμε: ; y = 0,5x + 2, δηλ. f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.

Για τρίγωνο NMC έχουμε: y = - x + 5, δηλαδή f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Υπολογίζοντας το εμβαδόν κάθε τριγώνου και προσθέτοντας τα αποτελέσματα, βρίσκουμε:

πλ. μονάδες

9 + 4, 5 = 13,5 τετρ. μονάδες Έλεγχος: = 0,5 AC = 0,5 τ. μονάδες

Παράδειγμα 3. Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

Σε αυτή την περίπτωση, πρέπει να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός κυρτού τραπεζίου που οριοθετείται από την παραβολή y = x 2 , ευθείες x = 2 και x = 3 και ο άξονας Ox (βλ. σχήμα) Χρησιμοποιώντας τον τύπο (1) βρίσκουμε το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς

= = 6 τετρ. μονάδες

Παράδειγμα 4. Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές: y = - x 2 + 4 και y = 0

Ας κατασκευάσουμε το σχήμα. Η απαιτούμενη περιοχή περικλείεται μεταξύ της παραβολής y = - x 2 + 4 και ο άξονας Ox.

Ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής με τον άξονα Ox. Υποθέτοντας y = 0, βρίσκουμε x = Εφόσον αυτό το σχήμα είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα Oy, υπολογίζουμε το εμβαδόν του σχήματος που βρίσκεται στα δεξιά του άξονα Oy και διπλασιάζουμε το αποτέλεσμα που προκύπτει: = +4x]sq. μονάδες 2 = 2 τετρ. μονάδες

Παράδειγμα 5. Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Εδώ πρέπει να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από τον άνω κλάδο της παραβολής 2 = x, άξονας Ox και ευθείες x = 1 και x = 4 (βλ. σχήμα)

Σύμφωνα με τον τύπο (1), όπου f(x) = a = 1 και b = 4, έχουμε = (= τετραγωνικές μονάδες.

Παράδειγμα 6 . Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Η απαιτούμενη περιοχή περιορίζεται από το μισό κύμα του ημιτονοειδούς και του άξονα Ox (βλ. σχήμα).

Έχουμε - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 τετρ. μονάδες

Παράδειγμα 7. Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές: y = - 6x, y = 0 και x = 4.

Το σχήμα βρίσκεται κάτω από τον άξονα Ox (βλ. εικόνα).

Επομένως, βρίσκουμε το εμβαδόν του χρησιμοποιώντας τον τύπο (3)

= =

Παράδειγμα 8. Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες: y = και x = 2. Κατασκευάστε την καμπύλη y = ανά σημεία (βλ. σχήμα). Έτσι, βρίσκουμε το εμβαδόν του σχήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο (4)

Παράδειγμα 9 .

Χ 2 + y 2 = r 2 .

Εδώ πρέπει να υπολογίσετε την περιοχή που περικλείεται από τον κύκλο x 2 + y 2 = r 2 , δηλαδή το εμβαδόν ενός κύκλου ακτίνας r με το κέντρο στην αρχή. Ας βρούμε το τέταρτο μέρος αυτής της περιοχής παίρνοντας τα όρια ολοκλήρωσης από το 0

πριν; έχουμε: 1 = = [

Ως εκ τούτου, 1 =

Παράδειγμα 10. Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από ευθείες: y= x 2 και y = 2x

Αυτός ο αριθμός περιορίζεται από την παραβολή y = x 2 και ευθεία y = 2x (βλ. σχήμα) Για τον προσδιορισμό των σημείων τομής δεδομένες γραμμέςνα λύσετε το σύστημα των εξισώσεων: x 2 – 2x = 0 x = 0 και x = 2

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (5) για να βρούμε την περιοχή, παίρνουμε

= γράφημα συνάρτησης y = Χ 2 + 2 βρίσκονται πάνω από τον άξοναΒΟΔΙ, Να γιατί:

Απάντηση: .

Ποιος έχει δυσκολίες με τον υπολογισμό του οριστικού ολοκληρώματος και την εφαρμογή του τύπου Newton-Leibniz

ανατρέξτε στη διάλεξη Ορισμένο ολοκλήρωμα. Παραδείγματα λύσεων. Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, είναι πάντα χρήσιμο να κοιτάξετε το σχέδιο και να καταλάβετε εάν η απάντηση είναι πραγματική. Σε αυτή την περίπτωση, μετράμε τον αριθμό των κελιών στο σχέδιο "με το μάτι" - καλά, θα είναι περίπου 9, φαίνεται να είναι αλήθεια. Είναι απολύτως σαφές ότι αν λάβαμε, ας πούμε, την απάντηση: 20 τετραγωνικές μονάδες, τότε είναι προφανές ότι κάπου έγινε ένα λάθος - 20 κελιά προφανώς δεν χωρούν στο εν λόγω σχήμα, το πολύ μια ντουζίνα. Εάν η απάντηση είναι αρνητική, τότε η εργασία λύθηκε επίσης εσφαλμένα.

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές xy = 4, Χ = 2, Χ= 4 και άξονας ΒΟΔΙ.

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Ολοκληρωμένη λύσηκαι η απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Τι να κάνετε εάν βρίσκεται το καμπύλο τραπεζοειδές κάτω από τον άξοναΒΟΔΙ?

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y = πρώην, Χ= 1 και άξονες συντεταγμένων.

Λύση: Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Αν ένα καμπύλο τραπεζοειδές βρίσκεται πλήρως κάτω από τον άξονα ΒΟΔΙ , τότε η περιοχή του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Σε αυτήν την περίπτωση:

Προσοχή! Οι δύο τύποι εργασιών δεν πρέπει να συγχέονται:

1) Αν σας ζητηθεί να λύσετε απλώς ένα οριστικό ολοκλήρωμα χωρίς γεωμετρική σημασία, τότε μπορεί να είναι αρνητικό.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y = 2Χ – Χ 2 , y = -Χ.

Λύση: Πρώτα πρέπει να κάνετε ένα σχέδιο. Όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής y = 2Χ – Χ 2 και ευθεία y = -Χ. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Η πρώτη μέθοδος είναι αναλυτική. Λύνουμε την εξίσωση:

Αυτό σημαίνει ότι το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης ένα= 0, ανώτερο όριο ολοκλήρωσης σι= 3. Συχνά είναι πιο κερδοφόρο και πιο γρήγορο να κατασκευάζονται γραμμές σημείο προς σημείο και τα όρια της ολοκλήρωσης γίνονται ξεκάθαρα «από μόνα τους». Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης ορίων πρέπει να χρησιμοποιείται μερικές φορές εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η λεπτομερής κατασκευή δεν αποκάλυψε τα όρια της ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα). Ας επιστρέψουμε στο καθήκον μας: είναι πιο λογικό να κατασκευάσουμε πρώτα μια ευθεία γραμμή και μόνο μετά μια παραβολή. Ας κάνουμε το σχέδιο:

Ας επαναλάβουμε ότι κατά την κατασκευή κατά σημείο, τα όρια ολοκλήρωσης καθορίζονται τις περισσότερες φορές «αυτόματα».

Και τώρα ο τύπος εργασίας:

Εάν στο τμήμα [ ένα; σι] κάποια συνεχής λειτουργία φά(Χ) μεγαλύτερο ή ίσο μεκάποια συνεχής λειτουργία σολ(Χ), τότε η περιοχή του αντίστοιχου σχήματος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Εδώ δεν χρειάζεται πλέον να σκεφτείτε πού βρίσκεται το σχήμα - πάνω από τον άξονα ή κάτω από τον άξονα, αλλά σημασία έχει ποιο γράφημα είναι ΥΨΗΛΟΤΕΡΟ(σε σχέση με άλλο γράφημα), και ποιο είναι ΠΑΡΑΚΑΤΩ.

Στο υπό εξέταση παράδειγμα, είναι προφανές ότι στο τμήμα η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή, και επομένως από το 2 Χ – ΧΤο 2 πρέπει να αφαιρεθεί - Χ.

Η ολοκληρωμένη λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό:

Το επιθυμητό σχήμα περιορίζεται από μια παραβολή y = 2Χ – Χ 2 πάνω και ευθεία y = -Χπαρακάτω.

Στο τμήμα 2 Χ – Χ 2 ≥ -Χ. Σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση: .

Στην πραγματικότητα, ο σχολικός τύπος για το εμβαδόν ενός καμπύλου τραπεζοειδούς στο κάτω μισό επίπεδο (βλ. παράδειγμα Νο. 3) είναι ειδική περίπτωσηΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι

Γιατί ο άξονας ΒΟΔΙδίνεται από την εξίσωση y= 0, και το γράφημα της συνάρτησης σολ(Χ) που βρίσκεται κάτω από τον άξονα ΒΟΔΙ, Οτι

Και τώρα μερικά παραδείγματα για τη δική σας λύση

Παράδειγμα 5

Παράδειγμα 6

Βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές

Κατά την επίλυση προβλημάτων που αφορούν τον υπολογισμό της περιοχής χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, μερικές φορές συμβαίνει ένα αστείο περιστατικό. Το σχέδιο έγινε σωστά, οι υπολογισμοί ήταν σωστοί, αλλά από απροσεξία... Βρέθηκε η περιοχή της λανθασμένης φιγούρας.

Παράδειγμα 7

Πρώτα ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Η φιγούρα της οποίας η περιοχή πρέπει να βρούμε είναι σκιασμένη με μπλε(κοιτάξτε προσεκτικά την κατάσταση - πώς είναι περιορισμένος ο αριθμός!). Αλλά στην πράξη, λόγω απροσεξίας, οι άνθρωποι συχνά αποφασίζουν ότι πρέπει να βρουν την περιοχή της φιγούρας που είναι σκιασμένη με πράσινο!

Αυτό το παράδειγμα είναι επίσης χρήσιμο επειδή υπολογίζει το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας δύο καθορισμένα ολοκληρώματα. Πραγματικά:

1) Στο τμήμα [-1; 1] πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙτο γράφημα είναι ευθύ y = Χ+1;

2) Σε τμήμα πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙβρίσκεται η γραφική παράσταση μιας υπερβολής y = (2/Χ).

Είναι προφανές ότι οι περιοχές μπορούν (και πρέπει) να προστεθούν, επομένως:

Απάντηση:

Παράδειγμα 8

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές

Ας παρουσιάσουμε τις εξισώσεις σε «σχολική» μορφή

και κάντε ένα σχέδιο σημείο προς σημείο:

Είναι σαφές από το σχέδιο ότι το ανώτερο όριο μας είναι "καλό": σι = 1.

Ποιο είναι όμως το κατώτερο όριο;! Είναι σαφές ότι αυτό δεν είναι ακέραιος, αλλά τι είναι;

Μπορεί, ένα=(-1/3); Αλλά πού είναι η εγγύηση ότι το σχέδιο γίνεται με τέλεια ακρίβεια, μπορεί κάλλιστα να αποδειχθεί ότι ένα=(-1/4). Τι γίνεται αν κατασκευάσαμε λάθος το γράφημα;

Σε τέτοιες περιπτώσεις, πρέπει να αφιερώσετε επιπλέον χρόνο και να ξεκαθαρίσετε αναλυτικά τα όρια της ολοκλήρωσης.

Ας βρούμε τα σημεία τομής των γραφημάτων

Για να γίνει αυτό, λύνουμε την εξίσωση:

Ως εκ τούτου, ένα=(-1/3).

Η περαιτέρω λύση είναι ασήμαντη. Το κύριο πράγμα είναι να μην μπερδεύεστε σε αντικαταστάσεις και ζώδια. Οι υπολογισμοί εδώ δεν είναι οι απλούστεροι. Στο τμήμα

, ,

σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Για να ολοκληρώσουμε το μάθημα, ας δούμε δύο πιο δύσκολες εργασίες.

Παράδειγμα 9

Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές

Λύση: Ας απεικονίσουμε αυτό το σχήμα στο σχέδιο.

Για να σχεδιάσετε ένα σχέδιο σημείο προς σημείο πρέπει να γνωρίζετε εμφάνισηημιτονοειδή. Σε γενικές γραμμές, είναι χρήσιμο να γνωρίζουμε τα γραφήματα όλων των στοιχειωδών συναρτήσεων, καθώς και ορισμένες τιμές ημιτόνου. Μπορούν να βρεθούν στον πίνακα τιμών τριγωνομετρικές συναρτήσεις . Σε ορισμένες περιπτώσεις (για παράδειγμα, σε αυτήν την περίπτωση), είναι δυνατή η κατασκευή ενός σχηματικού σχεδίου, στο οποίο τα γραφήματα και τα όρια ολοκλήρωσης θα πρέπει να εμφανίζονται βασικά σωστά.

Δεν υπάρχουν προβλήματα με τα όρια ολοκλήρωσης εδώ, αυτά προκύπτουν άμεσα από την προϋπόθεση:

– Το “x” αλλάζει από μηδέν σε “pi”. Ας πάρουμε μια περαιτέρω απόφαση:

Σε ένα τμήμα, η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης y= αμαρτία 3 Χπου βρίσκεται πάνω από τον άξονα ΒΟΔΙ, Να γιατί:

(1) Μπορείτε να δείτε πώς τα ημίτονο και τα συνημίτονα ενσωματώνονται σε περιττές δυνάμεις στο μάθημα Ολοκληρώματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Τσιμπάμε τον ένα κόλπο.

(2) Χρησιμοποιούμε την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα στη φόρμα

(3) Ας αλλάξουμε τη μεταβλητή t=κοσ Χ, τότε: βρίσκεται πάνω από τον άξονα, επομένως:

Σημείωση:Σημειώστε πώς χρησιμοποιείται το ολοκλήρωμα της εφαπτομένης σε κύβο τριγωνομετρική ταυτότητα