Ο τύπος της μέσης τιμής για ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα. Ορισμένο ολοκλήρωμα και μέθοδοι υπολογισμού του

\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx= -\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx\,.

Αυτός ο ορισμός είναι φυσικός, αφού όταν αλλάζει η κατεύθυνση του διαστήματος ολοκλήρωσης, όλες οι διαφορές \Δέλτα x_k=x_(k+1)-x_kαλλάζουν το πρόσημο τους, και μετά αλλάζουν τα σημάδια και τα αθροίσματα Darboux και, επομένως, τον αριθμό που τα χωρίζει, δηλ. αναπόσπαστο.

Αφού για a=b όλα τα \Delta x_k εξαφανίζονται, βάζουμε

\int\limits_(b)^(a)f(x)\,dx=0.

Λάβαμε δύο ορισμούς της έννοιας ενός ορισμένου ολοκληρώματος: ως διαφορά μεταξύ των τιμών του αντιπαραγώγου και ως διαχωριστικό αριθμό για αθροίσματα Darboux. Αυτοί οι ορισμοί οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα στις πιο σημαντικές περιπτώσεις:

Θεώρημα 2. Εάν η συνάρτηση y=f(x) είναι δεσμευμένη σε ένα τμήμα και έχει μια αντιπαράγωγο y=F(x) σε αυτό, και υπάρχει ένας μοναδικός αριθμός που χωρίζει το κάτω και το ανώτερο άθροισμα Darboux, τότε αυτός ο αριθμός είναι ίσος με F(b )-F(a) .

Απόδειξη. Αποδείξαμε παραπάνω ότι ο αριθμός F(a)-F(b) διαχωρίζει τα σύνολα \(s_P\) και \(S_P\) . Εφόσον ο διαχωριστικός αριθμός καθορίζεται μοναδικά από τη συνθήκη, συμπίπτει με το F(b)-F(a) .

Από εδώ και στο εξής, θα χρησιμοποιούμε τη σημειογραφία \textstyle(\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx)μόνο για έναν αριθμό που χωρίζει τα σύνολα \(s_P\) και \(S_P\) . Από το αποδεδειγμένο θεώρημα προκύπτει ότι σε αυτή την περίπτωση δεν υπάρχει αντίφαση με την κατανόηση αυτής της σημειογραφίας που χρησιμοποιήσαμε παραπάνω.

Ιδιότητες κάτω και άνω ποσών Darboux

Για να έχει νόημα ο ορισμός του ολοκληρώματος που δόθηκε προηγουμένως, πρέπει να αποδείξουμε ότι το σύνολο των άνω αθροισμάτων Darboux βρίσκεται πράγματι στα δεξιά του συνόλου των χαμηλότερων αθροισμάτων Darboux.

Λήμμα 1. Για κάθε διαμέρισμα P, το αντίστοιχο χαμηλότερο άθροισμα Darboux είναι το πολύ το ανώτερο άθροισμα Darboux, s_P\leqslant S_P .

Απόδειξη. Εξετάστε κάποιο διαμέρισμα P του τμήματος:

a=x_0 "

Προφανώς, για οποιοδήποτε k και για κάθε επιλεγμένο διαμέρισμα P, ισχύει η ανισότητα s_P\leqslant S_P. Ως εκ τούτου, m_k\cdot\Delta x_k\leqslant M_k\cdot\Delta x_k, και για αυτο

s_P= \sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k)\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)(M_k\cdot\Delta x_k)=S_P.

Η ανισότητα (4) ισχύει μόνο για ένα σταθερό διαμέρισμα P . Επομένως, δεν είναι ακόμη δυνατό να ισχυριστεί κανείς ότι το χαμηλότερο άθροισμα Darboux ενός διαμερίσματος δεν μπορεί να υπερβαίνει το ανώτερο άθροισμα Darboux ενός άλλου διαμερίσματος. Για να αποδείξουμε αυτόν τον ισχυρισμό, χρειαζόμαστε το ακόλουθο λήμμα:

Λήμμα 2. Με την προσθήκη ενός νέου σημείου διαίρεσης, το χαμηλότερο άθροισμα Darboux δεν μπορεί να μειωθεί και το ανώτερο άθροισμα δεν μπορεί να αυξηθεί.

Απόδειξη. Ας επιλέξουμε κάποιο διαμέρισμα P του τμήματος και ας προσθέσουμε ένα νέο σημείο διαίρεσης σε αυτό (x^(\ast)) . Δηλώστε το νέο διαμέρισμα P^(\ast) . Το διαμέρισμα P^(\ast) είναι μια βελτίωση του διαμερίσματος P, δηλ. κάθε σημείο διαίρεσης του P είναι, ταυτόχρονα, ένα σημείο διαίρεσης του P^(\ast) .

Αφήστε το σημείο (x^(\ast)) να πέσει στο τμήμα \ άνω τελεία\, x_k . Εξετάστε τα δύο σχηματισμένα τμήματα και και υποδηλώνουν τα αντίστοιχα ακριβή κάτω όρια των τιμών της συνάρτησης με m_(k)^(\ast) και m_(k)^(\ast\ast) και τα ακριβή άνω όρια με M_(k)^(\ast ) και M_(k )^(\ast\ast) .

όρος m_k(x_(k+1)-m_(k))Το αρχικό χαμηλότερο άθροισμα Darboux στο νέο χαμηλότερο άθροισμα Darboux αντιστοιχεί σε δύο όρους:

m_(k)^(\ast)(x^(\ast)-x_k)+ m_(k)^(\ast\ast)(x_(k+1)-x^(\ast)).

Εν m_k\leqslant m_(k)^(\ast)και m_k\leqslant m_(k)^(\ast\ast), αφού m_k είναι το ακριβές κάτω όριο των τιμών της συνάρτησης f(x) σε ολόκληρο το διάστημα και m_(k)^(\ast) και m_(k)^(\ast\ast) μόνο στο μέρη και αντίστοιχα.

Ας υπολογίσουμε το άθροισμα των όρων που προέκυψαν από τα παρακάτω:

\begin(ευθυγραμμισμένο) m_(k)^(\ast)\bigl(x^(\ast)-x_(k)\bigr)+ m_(k)^(\ast\ast)\bigl(x_(k+ 1 )-x^(\ast)\bigr) \geqslant & \,\,m_k \bigl(x^(\ast)-x_k)+m_k(x_(k+1)-x^(\ast)\bigr ) =\\ &=m_k\bigl(x^(\ast)-x_k+x_(k+1)-x^(\ast)\bigr)=\\ &=m_k\bigl(x_(k+1) - x_k\bigr).\end(ευθυγραμμισμένο)

Εφόσον οι υπόλοιποι όροι τόσο στο παλιό όσο και στο νέο χαμηλότερο άθροισμα Darboux παρέμειναν αμετάβλητοι, το χαμηλότερο άθροισμα Darboux δεν μειώθηκε μετά την προσθήκη ενός νέου σημείου διαίρεσης, s_P\leqslant S_P .

Ο αποδεδειγμένος ισχυρισμός παραμένει έγκυρος ακόμη και όταν προσθέτουμε οποιονδήποτε πεπερασμένο αριθμό σημείων στο διαμέρισμα P .

Ο ισχυρισμός για το ανώτερο άθροισμα Darboux αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο: S_(P^(\ast))\leqslant S_(P).

Ας προχωρήσουμε στη σύγκριση των αθροισμάτων Darboux για οποιεσδήποτε δύο κατατμήσεις.

Λήμμα 3. Κανένα χαμηλότερο άθροισμα Darboux δεν υπερβαίνει οποιοδήποτε ανώτερο άθροισμα Darboux (τουλάχιστον που αντιστοιχεί σε άλλο διαμέρισμα του τμήματος ).

Απόδειξη. Θεωρήστε δύο αυθαίρετα διαμερίσματα P_1 και P_2 του τμήματος και σχηματίστε το τρίτο διαμέρισμα P_3 , που αποτελείται από όλα τα σημεία των διαμερισμάτων P_1 και P_2 . Έτσι, το διαμέρισμα P_3 είναι μια βελτίωση τόσο του διαμερίσματος P_1 όσο και του διαμερίσματος P_2 (Εικ. 7).

Ας υποδηλώσουμε το κάτω και το ανώτερο άθροισμα Darboux για αυτές τις κατατμήσεις, αντίστοιχα s_1,~S_1.~s_2,~S_2και να αποδείξετε ότι s_1\leqslant S_2 .

Εφόσον το P_3 είναι μια βελτίωση του διαμερίσματος του P_1 , τότε s_1\leqslant s_3 . Στη συνέχεια, s_3\leqslant S_3 , αφού τα αθροίσματα των s_3 και S_3 αντιστοιχούν στην ίδια κατάτμηση. Τέλος, το S_3\leqslant S_2 , αφού το P_3 είναι μια βελτίωση του διαμερίσματος του P_2 .

Ετσι, s_1\leqslant s_3\leqslant S_3\leqslant S_2, δηλ. s_1\leqslant S_2 , το οποίο επρόκειτο να αποδειχτεί.

Το Λήμμα 3 υπονοεί ότι το αριθμητικό σύνολο X=\(s_P\) των χαμηλότερων αθροισμάτων Darboux βρίσκεται στα αριστερά του αριθμητικού συνόλου Y=\(S_P\) των άνω ποσών Darboux.

Δυνάμει του θεωρήματος για την ύπαρξη διαχωριστικού αριθμού για δύο αριθμητικά σύνολα1, υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός / που χωρίζει τα σύνολα X και Y, δηλ. έτσι ώστε για οποιοδήποτε διαμέρισμα του τμήματος, ισχύει η διπλή ανισότητα:

s_P= \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr) \leqslant I\leqslant \sum_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\ cdot\Delta x_k\bigr)=S_P.

Εάν αυτός ο αριθμός είναι μοναδικός, τότε \textstyle(I= \int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx).

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα που δείχνει ότι ένας τέτοιος αριθμός I , γενικά μιλώντας, δεν καθορίζεται μοναδικά. Θυμηθείτε ότι η συνάρτηση Dirichlet είναι η συνάρτηση y=D(x) στο διάστημα που ορίζεται από τις ισότητες:

D(x)= \begin(cases)0,& \text(if)~~ x~~\text(είναι παράλογος αριθμός);\\1,& \text(if)~~ x~~ \text(is ορθολογικός αριθμός).\end(περιπτώσεις)

Όποιο τμήμα και να πάρουμε, υπάρχουν και λογικά και παράλογα σημεία σε αυτό, δηλ. και σημεία όπου D(x)=0 , και σημεία όπου D(x)=1 . Επομένως, για οποιοδήποτε διαμέρισμα του τμήματος, όλες οι τιμές του m_k είναι ίσες με μηδέν και όλες οι τιμές του M_k είναι ίσες με ένα. Αλλά τότε όλα τα χαμηλότερα ποσά Darboux \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(m_k\cdot\Delta x_k\bigr))είναι ίσα με μηδέν και όλα τα άνω αθροίσματα Darboux \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)\bigl(M_k\cdot\Delta x_k\bigr))είναι ίσα με ένα,

Θεώρημα. Εάν η συνάρτηση f(x)ενσωματώσιμο στο διάστημα [ α, β], που ένα< b , και για όλους x ∈την ανισότητα

Χρησιμοποιώντας τις ανισώσεις από το θεώρημα, μπορεί κανείς να εκτιμήσει το οριστικό ολοκλήρωμα, δηλ. υποδεικνύουν τα όρια μεταξύ των οποίων περικλείεται η σημασία του. Αυτές οι ανισότητες εκφράζουν μια εκτίμηση για ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα.

Θεώρημα [Θεώρημα μέσης τιμής]. Εάν η συνάρτηση f(x)ενσωματώσιμο στο διάστημα [ α, β] και για όλους x ∈τις ανισότητες m ≤ f(x) ≤ M, τότε

που m ≤ μ ≤ M.

Σχόλιο. Στην περίπτωση που η συνάρτηση f(x)συνεχής στο διάστημα [ α, β], η ισότητα από το θεώρημα παίρνει τη μορφή

που γ ∈. Αριθμός μ=f(c)που ορίζεται από αυτόν τον τύπο ονομάζεται μέση τιμήλειτουργίες f(x)στο τμήμα [ α, β]. Αυτή η ισότητα έχει τα εξής γεωμετρική αίσθηση: περιοχή καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από συνεχή γραμμή y=f(x) (f(x) ≤ 0) ισούται με το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με την ίδια βάση και ύψος ίσο με την τεταγμένη κάποιου σημείου αυτής της ευθείας.

Ύπαρξη αντιπαραγώγου για συνεχή συνάρτηση

Αρχικά, εισάγουμε την έννοια του ολοκληρώματος με μεταβλητό ανώτερο όριο.

Αφήστε τη λειτουργία f(x)ενσωματώσιμο στο διάστημα [ α, β]. Τότε όποιος κι αν είναι ο αριθμός Χαπό [ α, β], λειτουργία f(x)ενσωματώσιμο στο διάστημα [ α, β]. Επομένως, στο τμήμα [ α, β] ορίστηκε η λειτουργία

που ονομάζεται ολοκλήρωμα με μεταβλητό άνω όριο.

Θεώρημα. Αν το ολοκλήρωμα είναι συνεχές στο διάστημα [ α, β], τότε η παράγωγος ορισμένου ολοκληρώματος με μεταβλητό άνω όριο υπάρχει και είναι ίση με την τιμή του ολοκληρωτή για αυτό το όριο, δηλ.

Συνέπεια. Το οριστικό ολοκλήρωμα με μεταβλητό ανώτερο όριο είναι ένα από τα αντιπαράγωγα για ένα συνεχές ολοκλήρωμα. Με άλλα λόγια, για οποιαδήποτε συνάρτηση συνεχή σε ένα διάστημα, υπάρχει ένα αντιπαράγωγο.

Παρατήρηση 1. Σημειώστε ότι εάν η συνάρτηση f(x)ενσωματώσιμο στο διάστημα [ α, β], τότε το ολοκλήρωμα με μεταβλητό ανώτερο όριο είναι μια συνεχής συνάρτηση του ανώτερου ορίου σε αυτό το τμήμα. Πράγματι, από το St. 2 και το θεώρημα της μέσης τιμής έχουμε

Παρατήρηση 2. Το ολοκλήρωμα με μεταβλητό ανώτερο όριο ολοκλήρωσης χρησιμοποιείται στον ορισμό πολλών νέων συναρτήσεων, για παράδειγμα, . Αυτές οι λειτουργίες δεν είναι στοιχειώδεις. Όπως έχει ήδη σημειωθεί, τα αντιπαράγωγα των υποδεικνυόμενων ολοκληρωμάτων δεν μπορούν να εκφραστούν με όρους στοιχειωδών συναρτήσεων.

Βασικοί κανόνες ένταξης

Τύπος Newton-Leibniz

Δεδομένου ότι δύο οποιεσδήποτε αντιπαράγωγες συναρτήσεις f(x)διαφέρουν κατά μια σταθερά, τότε, σύμφωνα με το προηγούμενο θεώρημα, μπορεί να υποστηριχθεί ότι οποιοδήποτε αντιπαράγωγο Φ(x)συνεχής στο τμήμα [ α, β] λειτουργίες f(x)έχει τη μορφή

που ντοείναι κάποια σταθερή.

Βάζοντας σε αυτόν τον τύπο x=aκαι x=b, χρησιμοποιώντας οριστικά ολοκληρώματα St.1, βρίσκουμε

Από αυτές τις ισότητες προκύπτει η σχέση

η οποία ονομάζεται Τύπος Newton-Leibniz.

Έτσι αποδείξαμε το εξής θεώρημα:

Θεώρημα. Το καθορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης είναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ των τιμών οποιουδήποτε από τα αντιπαράγωγά της για τα ανώτερα και τα κατώτερα όρια ολοκλήρωσης.

Ο τύπος Newton-Leibniz μπορεί να ξαναγραφτεί ως

Αλλαγή μεταβλητής σε ορισμένο ολοκλήρωμα

Θεώρημα. Αν ένα

• λειτουργία f(x)συνεχής στο διάστημα [ α, β];
• ευθύγραμμο τμήμα [ α, β] είναι το σύνολο των τιμών συνάρτησης φ(t)ορίζεται στο διάστημα α ≤ t ≤ βκαι έχοντας μια συνεχή παράγωγο σε αυτό?
• φ(α)=α, φ(β)=β

τότε ο τύπος είναι έγκυρος

Ενσωμάτωση με τύπο εξαρτημάτων

Θεώρημα. Εάν λειτουργεί u=u(x), v=v(x)έχουν συνεχείς παραγώγους στο διάστημα [ α, β] και μετά ο τύπος

Εφαρμοσμένη τιμή θεωρήματα μέσης τιμής συνίσταται στη δυνατότητα απόκτησης μιας ποιοτικής εκτίμησης της τιμής ενός ορισμένου ολοκληρώματος χωρίς τον υπολογισμό του. Διατυπώνουμε : αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα , τότε μέσα σε αυτό το διάστημα υπάρχει ένα τέτοιο σημείο που .

Αυτός ο τύπος είναι αρκετά κατάλληλος για μια χονδρική εκτίμηση του ολοκληρώματος μιας σύνθετης ή δυσκίνητης συνάρτησης. Η μόνη στιγμή που κάνει τη φόρμουλα κατά προσέγγιση , είναι ανάγκη αυτοεπιλογή σημεία . Εάν ακολουθήσουμε την απλούστερη διαδρομή - το μέσο του διαστήματος ολοκλήρωσης (όπως προτείνεται σε ορισμένα σχολικά βιβλία), τότε το σφάλμα μπορεί να είναι αρκετά σημαντικό. Για πιο ακριβή αποτελέσματα συνιστώ εκτελέστε τον υπολογισμό με την ακόλουθη σειρά:

Κατασκευάστε ένα γράφημα συνάρτησης στο διάστημα .

Σχεδιάστε το άνω περίγραμμα του παραλληλογράμμου με τέτοιο τρόπο ώστε τα αποκομμένα μέρη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης να είναι περίπου ίσο σε εμβαδόν (έτσι ακριβώς φαίνεται στο παραπάνω σχήμα - δύο καμπυλόγραμμα τρίγωνα είναι σχεδόν τα ίδια).

Προσδιορίστε από το σχήμα ;

Χρησιμοποιήστε το θεώρημα της μέσης τιμής.

Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε ένα απλό ολοκλήρωμα:

Ακριβής αξία ;

Για το μέσο του διαστήματος θα λάβουμε επίσης μια κατά προσέγγιση τιμή, δηλ. σαφώς ανακριβές αποτέλεσμα.

Έχοντας δημιουργήσει ένα γράφημα με το σχέδιο της επάνω πλευράς του ορθογωνίου σύμφωνα με τις συστάσεις, παίρνουμε , από πού και την κατά προσέγγιση τιμή του . Αρκετά ικανοποιητικό αποτέλεσμα, το σφάλμα είναι 0,75%.

Τραπεζοειδής τύπος

Η ακρίβεια των υπολογισμών που χρησιμοποιούν το θεώρημα της μέσης τιμής εξαρτάται ουσιαστικά, όπως φάνηκε, από οπτικός σκοπός σημειογράφημα. Πράγματι, επιλέγοντας, στο ίδιο παράδειγμα, σημεία ή , μπορείτε να λάβετε άλλες τιμές του ολοκληρώματος και το σφάλμα μπορεί να αυξηθεί. Οι υποκειμενικοί παράγοντες, η κλίμακα του γραφήματος και η ποιότητα του σχεδίου επηρεάζουν πολύ το αποτέλεσμα. Αυτό είναι απαραδέκτως σε κρίσιμους υπολογισμούς, επομένως το θεώρημα της μέσης τιμής ισχύει μόνο για fast ποιότητα ολοκληρωμένες εκτιμήσεις.

Σε αυτή την ενότητα, θα εξετάσουμε μία από τις πιο δημοφιλείς μεθόδους προσεγγιστικής ολοκλήρωσης - τραπεζοειδής τύπος . Η βασική ιδέα της κατασκευής αυτού του τύπου προέρχεται από το γεγονός ότι η καμπύλη μπορεί να αντικατασταθεί κατά προσέγγιση από μια διακεκομμένη γραμμή, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Ας υποθέσουμε, για βεβαιότητα (και σύμφωνα με το σχήμα), ότι το διάστημα ολοκλήρωσης χωρίζεται σε ίσος (αυτό είναι προαιρετικό, αλλά πολύ βολικό) εξαρτήματα. Το μήκος καθενός από αυτά τα μέρη υπολογίζεται από τον τύπο και καλείται βήμα . Οι τετμημένες των σημείων διαχωρισμού, εάν καθορίζονται, καθορίζονται από τον τύπο , όπου . Είναι εύκολο να υπολογιστούν τεταγμένες από γνωστά τετμημένα. Ετσι,

Αυτή είναι η τραπεζοειδής φόρμουλα για την περίπτωση. Σημειώστε ότι ο πρώτος όρος σε αγκύλες είναι το μισό άθροισμα της αρχικής και της τελικής τεταγμένης, στην οποία προστίθενται όλες οι ενδιάμεσες τεταγμένες. Για έναν αυθαίρετο αριθμό κατατμήσεων του διαστήματος ολοκλήρωσης γενικός τύπος τραπεζοειδών μοιάζει με: τύποι τετραγωνισμού: ορθογώνια, Simpson, Gauss κ.λπ. Βασίζονται στην ίδια ιδέα της αναπαράστασης ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς από στοιχειώδεις περιοχές διαφόρων σχημάτων, επομένως, μετά την κυριαρχία του τραπεζοειδούς τύπου, δεν θα είναι δύσκολο να κατανοήσουμε παρόμοιους τύπους. Πολλοί τύποι δεν είναι τόσο απλοί όσο ο τραπεζοειδής τύπος, αλλά σας επιτρέπουν να έχετε αποτέλεσμα υψηλής ακρίβειας με μικρό αριθμό κατατμήσεων.

Με τη βοήθεια του τραπεζοειδούς τύπου (ή παρόμοιων), είναι δυνατός ο υπολογισμός, με την ακρίβεια που απαιτείται στην πράξη, τόσο «μη λήψης» ολοκληρωμάτων και ολοκληρωμάτων πολύπλοκων ή δυσκίνητων συναρτήσεων.

Τραπεζοειδής μέθοδος

Κύριο άρθρο:Τραπεζοειδής μέθοδος

Εάν η συνάρτηση σε καθένα από τα επιμέρους τμήματα προσεγγίζεται από μια ευθεία που διέρχεται από τις τελικές τιμές, τότε λαμβάνουμε τη μέθοδο τραπεζοειδούς.

Η περιοχή του τραπεζοειδούς σε κάθε τμήμα:

Σφάλμα προσέγγισης σε κάθε τμήμα:

που

Ο πλήρης τύπος για τραπεζοειδή στην περίπτωση διαίρεσης ολόκληρου του διαστήματος ολοκλήρωσης σε τμήματα του ίδιου μήκους:

που

Σφάλμα τραπεζοειδούς τύπου:

που

Μέθοδος Simpson.

Ολοκληρωτέου f(x)αντικαθίσταται από ένα πολυώνυμο παρεμβολής δεύτερου βαθμού P(x)– μια παραβολή που διέρχεται από τρεις κόμβους, για παράδειγμα, όπως φαίνεται στο σχήμα ((1) είναι συνάρτηση, (2) είναι πολυώνυμο).

Εξετάστε δύο βήματα ολοκλήρωσης ( η= const = x i+1 – x i), δηλαδή τρεις κόμβοι x0, x1, x2, μέσω της οποίας σχεδιάζουμε μια παραβολή, χρησιμοποιώντας την εξίσωση του Νεύτωνα:

Ας είναι z = x - x0,
τότε

Τώρα, χρησιμοποιώντας τη σχέση που προκύπτει, υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα σε αυτό το διάστημα:

.
Για ομοιόμορφο πλέγμακαι ζυγός αριθμός βημάτων nΟ τύπος του Simpson γίνεται:

Εδώ , ένα με την υπόθεση ότι η τέταρτη παράγωγος του ολοκληρώματος είναι συνεχής.

[επεξεργασία] Αύξηση Ακρίβειας

Η προσέγγιση μιας συνάρτησης κατά ένα πολυώνυμο σε όλο το διάστημα της ολοκλήρωσης, κατά κανόνα, οδηγεί σε μεγάλο σφάλμα στην εκτίμηση της τιμής του ολοκληρώματος.

Για να μειωθεί το σφάλμα, το τμήμα ολοκλήρωσης χωρίζεται σε μέρη και χρησιμοποιείται μια αριθμητική μέθοδος για την αξιολόγηση του ολοκληρώματος σε καθένα από αυτά.

Καθώς ο αριθμός των διαμερισμάτων τείνει στο άπειρο, η εκτίμηση του ολοκληρώματος τείνει στην πραγματική του τιμή για αναλυτικές συναρτήσεις για οποιαδήποτε αριθμητική μέθοδο.

Οι παραπάνω μέθοδοι επιτρέπουν μια απλή διαδικασία μείωσης του βήματος κατά το ήμισυ, ενώ σε κάθε βήμα απαιτείται ο υπολογισμός των τιμών συναρτήσεων μόνο στους κόμβους που προστέθηκαν πρόσφατα. Ο κανόνας Runge χρησιμοποιείται για την εκτίμηση του σφάλματος υπολογισμού.

Εφαρμογή του κανόνα του Runge

επεξεργασία] Εκτίμηση της ακρίβειας του υπολογισμού ενός ορισμένου ολοκληρώματος

Το ολοκλήρωμα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον επιλεγμένο τύπο (ορθογώνια, τραπεζοειδή, παραβολές του Simpson) με τον αριθμό των βημάτων ίσο με n και στη συνέχεια με τον αριθμό των βημάτων ίσο με 2n. Το σφάλμα στον υπολογισμό της τιμής του ολοκληρώματος με τον αριθμό των βημάτων ίσο με 2n καθορίζεται από τον τύπο Runge:
, για τους τύπους ορθογωνίων και τραπεζοειδών και για τον τύπο Simpson.
Έτσι, το ολοκλήρωμα υπολογίζεται για διαδοχικές τιμές του αριθμού των βημάτων, όπου n 0 είναι ο αρχικός αριθμός βημάτων. Η διαδικασία υπολογισμού τελειώνει όταν η επόμενη τιμή N θα ικανοποιήσει τη συνθήκη , όπου ε είναι η καθορισμένη ακρίβεια.

Χαρακτηριστικά της συμπεριφοράς του σφάλματος.

Φαίνεται ότι γιατί να αναλύσουμε διαφορετικές μεθόδους ολοκλήρωσης εάν μπορούμε να επιτύχουμε υψηλή ακρίβεια μειώνοντας απλώς την αξία του βήματος ολοκλήρωσης. Ωστόσο, εξετάστε το γράφημα της συμπεριφοράς του εκ των υστέρων σφάλματος Rαποτελέσματα αριθμητικού υπολογισμού ανάλογα με και από τον αριθμό nχωρίσματα διαστήματος (δηλαδή στο βήμα . Στην ενότητα (1), το σφάλμα μειώνεται λόγω μείωσης του βήματος h. Αλλά στο τμήμα (2), το υπολογιστικό σφάλμα αρχίζει να κυριαρχεί, συσσωρευόμενο ως αποτέλεσμα πολλών αριθμητικών πράξεων. Έτσι , για κάθε μέθοδο υπάρχει η δική της Rmin, το οποίο εξαρτάται από πολλούς παράγοντες, αλλά κυρίως από την a priori τιμή του σφάλματος της μεθόδου R.

Φόρμουλα βελτίωσης του Romberg.

Η μέθοδος Romberg συνίσταται σε διαδοχική βελτίωση της τιμής του ολοκληρώματος με πολλαπλή αύξηση του αριθμού των κατατμήσεων. Ως βάση μπορεί να ληφθεί ο τύπος τραπεζοειδών με ομοιόμορφο βήμα η.
Να συμβολίσετε το ολοκλήρωμα με τον αριθμό των διαμερισμάτων n= 1 ως .
Μειώνοντας το βήμα στο μισό, παίρνουμε .
Εάν μειώσουμε διαδοχικά το βήμα κατά 2 n φορές, παίρνουμε μια αναδρομική σχέση για τον υπολογισμό .

Θεώρημα μέσου όρου. Αν η f(x) είναι συνεχής στο τμήμα , τότε υπάρχει ένα σημείο τέτοιο που . Έγγρ. Μια συνάρτηση που είναι συνεχής σε ένα τμήμα παίρνει τις μικρότερες τιμές m και τις μεγαλύτερες M σε αυτό το τμήμα. Τότε . Αριθμός είναι μεταξύ της ελάχιστης και της μέγιστης τιμής της συνάρτησης στο τμήμα. Μία από τις ιδιότητες μιας συνάρτησης που είναι συνεχής σε ένα διάστημα είναι ότι αυτή η συνάρτηση παίρνει οποιαδήποτε τιμή μεταξύ m και M. Έτσι, υπάρχει ένα σημείο τέτοιο που . Αυτή η ιδιότητα έχει μια απλή γεωμετρική ερμηνεία: εάν είναι συνεχής στο τμήμα, τότε υπάρχει ένα σημείο τέτοιο ώστε το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς ABCD να είναι ίσο με το εμβαδόν του ορθογωνίου με βάση και ύψος f(c) ( επισημαίνεται στο σχήμα).

7. Ολοκληρωμένο με μεταβλητό άνω όριο. Η συνέχεια και η διαφορικότητά του.

Θεωρήστε μια συνάρτηση f (x) που μπορεί να ολοκληρωθεί με Riemann στο διάστημα . Εφόσον είναι ενσωματώσιμο στο , τότε είναι επίσης ενσωματώσιμο στο ∀x ∈ . Τότε για κάθε x ∈ η παράσταση έχει νόημα, και για κάθε x είναι ίση με κάποιον αριθμό.

Έτσι, κάθε x ∈ συνδέεται με κάποιο αριθμό,

εκείνοι. δίνεται η λειτουργία:

(3.1)

Ορισμός:

Η συνάρτηση F (x) που δίνεται στο (3.1), καθώς και η ίδια η έκφραση, καλούνται

αναπόσπαστο με μεταβλητό ανώτερο όριο. Καθορίζεται σε ολόκληρο το τμήμα

ολοκληρωσιμότητα της συνάρτησης f (x).

Συνθήκη: η f (t) είναι συνεχής στο , και η συνάρτηση F (x) δίνεται από τον τύπο (3.1).

Δήλωση: Η συνάρτηση F(x) είναι διαφορίσιμη στο , και F (x) = f (x).

(Στο a είναι δεξιά διαφοροποιήσιμο και στο b είναι αριστερά διαφοροποιήσιμο.)

Απόδειξη:

Εφόσον για μια συνάρτηση μιας μεταβλητής F (x) η διαφοροποίηση είναι ισοδύναμη με την ύπαρξη μιας παραγώγου σε όλα τα σημεία (στο σημείο a στα δεξιά και στο σημείο b στα αριστερά), τότε θα βρούμε την παράγωγο F (x) . Σκεφτείτε τη διαφορά

Ετσι,

Επιπλέον, το σημείο ξ βρίσκεται στο τμήμα (ή αν Δx< 0).

Τώρα θυμηθείτε ότι η παράγωγος της συνάρτησης F(x) σε ένα δεδομένο σημείο x ∈ ισούται με το όριο της σχέσης διαφοράς: . Από την ισότητα έχουμε:

,

Αφήνοντας τώρα Δx → 0, στην αριστερή πλευρά αυτής της ισότητας παίρνουμε F’(x) και στα δεξιά

Θυμηθείτε τον ορισμό της συνέχειας της συνάρτησης f (t) στο σημείο x:

Έστω x1 ίσο με ξ σε αυτόν τον ορισμό. Αφού ξ ∈ (ξ ∈ ) και

∆x → 0, τότε |x − ξ| → 0, και με τον ορισμό της συνέχειας, f (ξ) → f (x). Άρα έχουμε:

F'(x) = f(x).

Συνέπεια:

Συνθήκη: η f (x) είναι συνεχής στο .

Δήλωση: Οποιαδήποτε αντιπαράγωγος της συνάρτησης f (x) έχει τη μορφή

όπου C ∈ R είναι κάποια σταθερά.

Απόδειξη. Με το Θεώρημα 3.1, η συνάρτηση είναι ένα πρωτότυπο για f(x). Ας υποθέσουμε ότι το G(x) είναι ένα άλλο αντιπαράγωγο f (x). Τότε G'(x) = f(x) και για τη συνάρτηση F(x) − G(x) έχουμε: (F (x) + G(x))' = F'(x)−G'(x) = f (x)−f(x) ≡ 0. Άρα, η παράγωγος της συνάρτησης F (x)−G (Χ)

ισούται με μηδέν, επομένως, αυτή η συνάρτηση είναι σταθερά: F(x) − G(x) = const.

8. Τύπος Newton-Leibniz για οριστικό ολοκλήρωμα.

Θεώρημα:

Κατάσταση:Η f(t) είναι συνεχής στο , και η F(x) είναι το οποιοδήποτε αντιπαράγωγό του.

Δήλωση:

Απόδειξη:Θεωρήστε κάποια αντιπαράγωγο F (x) της συνάρτησης f (x). Σύμφωνα με το Συμπέρασμα του Θεωρήματος «Σχετικά με τη Διαφορικότητα Ολοκληρώματος με Μεταβλητό Ανώτερο Όριο» (βλ. την προηγούμενη ερώτηση), έχει τη μορφή . Από εδώ

=> ντο= φά(ένα) , και

Ας μετακινήσουμε το F(a) στην τελευταία ισότητα προς την αριστερή πλευρά, επαναπροσδιορίσουμε τη μεταβλητή ολοκλήρωσης ξανά ως x και πάρουμε τον τύπο Newton-Leibniz: