Βρείτε την αποσύνθεση ενός διανύσματος με βάση την ηλεκτρονική αριθμομηχανή. Γραμμική εξάρτηση και γραμμική ανεξαρτησία διανυσμάτων. Βάση διανυσμάτων

Βάση(αρχαία ελληνική βασις, βάση) - ένα σύνολο διανυσμάτων σε ένα διανυσματικό χώρο έτσι ώστε οποιοδήποτε διάνυσμα σε αυτό το διάστημα μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων από αυτό το σύνολο - διανύσματα βάσης

Μια βάση στο χώρο Rn είναι οποιοδήποτε σύστημα από n-γραμμικός ανεξάρτητα διανύσματα. Κάθε διάνυσμα από το Rn που δεν περιλαμβάνεται στη βάση μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων βάσης, δηλ. κατανεμημένη στη βάση.
Έστω η βάση του χώρου R n και . Τότε υπάρχουν αριθμοί λ 1, λ 2, …, λ n τέτοιοι ώστε .
Οι συντελεστές διαστολής λ 1, λ 2, ..., λ n ονομάζονται διανυσματικές συντεταγμένες στη βάση Β. Αν δοθεί η βάση, τότε οι διανυσματικοί συντελεστές προσδιορίζονται μοναδικά.

Σχόλιο. Σε καθε n-διαστατικό διανυσματικό χώρο που μπορείτε να επιλέξετε αμέτρητοςδιαφορετικές βάσεις. Σε διαφορετικές βάσεις, το ίδιο διάνυσμα έχει διαφορετικές συντεταγμένες, αλλά οι μόνοι στην επιλεγμένη βάση. Παράδειγμα.Αναπτύξτε το διάνυσμα στη βάση του.
Λύση. . Ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες όλων των διανυσμάτων και ας εκτελέσουμε ενέργειες σε αυτά:

Εξισώνοντας τις συντεταγμένες, παίρνουμε ένα σύστημα εξισώσεων:

Ας το λύσουμε: .
Έτσι, παίρνουμε την αποσύνθεση: .
Στη βάση, το διάνυσμα έχει συντεταγμένες .

Τέλος εργασίας -

Αυτό το θέμα ανήκει στην ενότητα:

Διάνυσμα έννοια. Γραμμικές πράξεις σε διανύσματα

Ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα που έχει ορισμένο μήκος, δηλαδή ένα τμήμα ορισμένο μήκοςπου έχει ένα από τα οριακά του σημεία.. το μήκος του διανύσματος ονομάζεται συντελεστής του και συμβολίζεται με το σύμβολο συντελεστή του διανύσματος.. ένα διάνυσμα ονομάζεται μηδέν, που συμβολίζεται αν η αρχή και το τέλος του συμπίπτουν· το μηδενικό διάνυσμα δεν έχει συγκεκριμένο αξία..

Αν χρειάζεσαι πρόσθετο υλικόγια αυτό το θέμα, ή δεν βρήκατε αυτό που ψάχνατε, συνιστούμε να χρησιμοποιήσετε την αναζήτηση στη βάση δεδομένων των έργων μας:

Τι θα κάνουμε με το υλικό που λάβαμε:

Εάν αυτό το υλικό σας ήταν χρήσιμο, μπορείτε να το αποθηκεύσετε στη σελίδα σας στα κοινωνικά δίκτυα:

Η βάση του χώρουονομάζουν ένα τέτοιο σύστημα διανυσμάτων στο οποίο όλα τα άλλα διανύσματα στο χώρο μπορούν να αναπαρασταθούν ως ένας γραμμικός συνδυασμός διανυσμάτων που περιλαμβάνονται στη βάση.
Στην πράξη, όλα αυτά υλοποιούνται πολύ απλά. Η βάση, κατά κανόνα, ελέγχεται σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα και για αυτό πρέπει να βρείτε την ορίζουσα ενός πίνακα δεύτερης, τρίτης τάξης που αποτελείται από διανυσματικές συντεταγμένες. Παρακάτω είναι γραμμένα σχηματικά συνθήκες υπό τις οποίες τα διανύσματα αποτελούν τη βάση

Προς την επεκτείνετε το διάνυσμα b σε διανύσματα βάσης
e,e...,e[n] είναι απαραίτητο να βρεθούν οι συντελεστές x, ..., x[n] για τους οποίους ο γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων e,e...,e[n] είναι ίσος με το διάνυσμα σι:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = β.
Για να γίνει αυτό, η διανυσματική εξίσωση θα πρέπει να μετατραπεί στο σύστημα γραμμικές εξισώσειςκαι να βρουν λύσεις. Αυτό είναι επίσης αρκετά απλό στην εφαρμογή.
Καλούνται οι συντελεστές x, ..., x[n] που βρέθηκαν συντεταγμένες του διανύσματος b στη βάση e,e...,e[n].
Ας περάσουμε στην πρακτική πλευρά του θέματος.

Αποσύνθεση ενός διανύσματος σε διανύσματα βάσης

Εργασία 1. Ελέγξτε εάν τα διανύσματα a1, a2 αποτελούν βάση στο επίπεδο

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Λύση: Συνθέτουμε μια ορίζουσα από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και την υπολογίζουμε

Η ορίζουσα δεν είναι μηδέν, ως εκ τούτου τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, που σημαίνει ότι αποτελούν βάση.

2) a1 (2;-3), a2 (5;-1)
Λύση: Υπολογίζουμε την ορίζουσα που αποτελείται από διανύσματα

Η ορίζουσα είναι ίση με 13 (όχι ίση με μηδέν) - από αυτό προκύπτει ότι τα διανύσματα a1, a2 είναι μια βάση στο επίπεδο.

---=================---

Ας σκεφτούμε τυπικά παραδείγματααπό το πρόγραμμα MAUP στον κλάδο «Ανώτατα Μαθηματικά».

Εργασία 2. Δείξτε ότι τα διανύσματα a1, a2, a3 αποτελούν τη βάση του τρισδιάστατου διανυσματικός χώρος, και επεκτείνετε το διάνυσμα b σε αυτή τη βάση (όταν λύνετε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικές εξισώσειςχρησιμοποιήστε τη μέθοδο του Cramer).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Λύση: Αρχικά, εξετάστε το σύστημα των διανυσμάτων a1, a2, a3 και ελέγξτε την ορίζουσα του πίνακα A

χτισμένο σε μη μηδενικά διανύσματα. Ο πίνακας περιέχει ένα μηδενικό στοιχείο, επομένως είναι πιο κατάλληλο να υπολογιστεί η ορίζουσα ως χρονοδιάγραμμα στην πρώτη στήλη ή στην τρίτη σειρά.

Ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, βρήκαμε ότι η ορίζουσα είναι διαφορετική από το μηδέν, επομένως Τα διανύσματα a1, a2, a3 είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Εξ ορισμού, τα διανύσματα αποτελούν τη βάση στο R3. Ας γράψουμε το χρονοδιάγραμμα του διανύσματος b με βάση

Τα διανύσματα είναι ίσα όταν οι αντίστοιχες συντεταγμένες τους είναι ίσες.
Επομένως, από τη διανυσματική εξίσωση παίρνουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Ας λύσουμε το SLAE Η μέθοδος του Cramer. Για να γίνει αυτό, γράφουμε το σύστημα των εξισώσεων στη μορφή

Η κύρια ορίζουσα ενός SLAE είναι πάντα ίση με την ορίζουσα που αποτελείται από διανύσματα βάσης

Επομένως, στην πράξη δεν υπολογίζεται δύο φορές. Για να βρούμε βοηθητικούς ορίζοντες, βάζουμε μια στήλη με ελεύθερους όρους στη θέση κάθε στήλης της κύριας ορίζουσας. Οι ορίζουσες υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον κανόνα του τριγώνου



Ας αντικαταστήσουμε τις ευρεθείσες ορίζουσες στον τύπο του Cramer



Άρα, η επέκταση του διανύσματος b ως προς τη βάση έχει τη μορφή b=-4a1+3a2-a3. Οι συντεταγμένες του διανύσματος b στη βάση a1, a2, a3 θα είναι (-4,3, 1).

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Λύση: Ελέγχουμε τα διανύσματα για βάση - συνθέτουμε μια ορίζουσα από τις συντεταγμένες των διανυσμάτων και την υπολογίζουμε

Επομένως, η ορίζουσα δεν ισούται με μηδέν τα διανύσματα αποτελούν τη βάση στο χώρο. Απομένει να βρεθεί το χρονοδιάγραμμα του διανύσματος b μέσω αυτής της βάσης. Για να γίνει αυτό, γράφουμε τη διανυσματική εξίσωση

και να μετατραπεί σε σύστημα γραμμικών εξισώσεων

Εγγραφή εξίσωση μήτρας

Στη συνέχεια, για τους τύπους του Cramer βρίσκουμε βοηθητικούς ορίζοντες



Εφαρμόζουμε τους τύπους του Cramer



Άρα ένα δεδομένο διάνυσμα b έχει ένα χρονοδιάγραμμα μέσω δύο διανυσμάτων βάσης b=-2a1+5a3, και οι συντεταγμένες του στη βάση είναι ίσες με b(-2,0, 5).

Λ. 2-1 Βασικές έννοιες διανυσματικής άλγεβρας. Γραμμικές πράξεις σε διανύσματα.

Αποσύνθεση ενός διανύσματος κατά βάση.

Βασικές έννοιες της διανυσματικής άλγεβρας

Ένα διάνυσμα είναι το σύνολο όλων των κατευθυνόμενων τμημάτων που έχουν ίδιο μήκοςκαι κατεύθυνση
.

Ιδιότητες:

Γραμμικές πράξειςπάνω από διανύσματα

1.

Κανόνας παραλληλογράμμου:

ΜΕ ummahδύο διανύσματα Και ονομάζεται διάνυσμα , που προέρχονται από την κοινή τους προέλευση και αποτελούν διαγώνιο παραλληλογράμμου που βασίζεται σε διανύσματα Και και τα δύο στα πλάγια.

Κανόνας πολυγώνου:

Για να κατασκευάσετε το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού διανυσμάτων, πρέπει να τοποθετήσετε την αρχή του 2ου στο τέλος του 1ου όρου, την αρχή του 3ου στο τέλος του 2ου κ.λπ. Το διάνυσμα που κλείνει το προκύπτον σπασμένη γραμμή, είναι το άθροισμα. Η αρχή του συμπίπτει με την αρχή του 1ου και το τέλος του με το τέλος του τελευταίου.

Ιδιότητες:

2.

Προϊόν ενός φορέα ανά αριθμό , είναι ένα διάνυσμα που ικανοποιεί τις προϋποθέσεις:
.

Ιδιότητες:

3.

Με διαφοράφορείς Και ονομάζεται διάνυσμα , ίσο με το άθροισμα του διανύσματος και το διάνυσμα απέναντι από το διάνυσμα , δηλ.
.

- ο νόμος του αντίθετου στοιχείου (διάνυσμα).

Αποσύνθεση ενός διανύσματος σε βάση

Το άθροισμα των διανυσμάτων προσδιορίζεται με μοναδικό τρόπο
(αλλά μόνο ). Η αντίστροφη πράξη, η αποσύνθεση ενός διανύσματος σε πολλά συστατικά, είναι διφορούμενη: Για να καταστεί σαφές, είναι απαραίτητο να υποδεικνύονται οι κατευθύνσεις κατά τις οποίες αποσυντίθεται το εν λόγω διάνυσμα ή, όπως λένε, είναι απαραίτητο να υποδεικνύονται βάση.

Κατά τον προσδιορισμό της βάσης, η απαίτηση της μη ομοεπίπεδης και μη συγγραμμικότητας των διανυσμάτων είναι απαραίτητη. Για να κατανοήσουμε την έννοια αυτής της απαίτησης, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε την έννοια της γραμμικής εξάρτησης και της γραμμικής ανεξαρτησίας των διανυσμάτων.

Μια αυθαίρετη έκφραση της μορφής: , ονομάζεται γραμμικός συνδυασμόςφορείς
.

Ένας γραμμικός συνδυασμός πολλών διανυσμάτων ονομάζεται ασήμαντος, αν όλοι οι συντελεστές του είναι ίσοι με μηδέν.

Διανύσματα
λέγονται γραμμικά εξαρτώμενη, εάν υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός αυτών των διανυσμάτων ίσος με μηδέν:
(1), παρέχεται
. Αν η ισότητα (1) ισχύει μόνο για όλους
ταυτόχρονα ίσο με μηδέν και μετά μη μηδενικά διανύσματα
θα γραμμικά ανεξάρτητη.

Εύκολο να αποδειχθεί: οποιαδήποτε δύο συγγραμμικά διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά και οποιαδήποτε δύο μη συγγραμμικά διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Ας ξεκινήσουμε την απόδειξη με την πρώτη δήλωση.

Αφήστε τα διανύσματα Και συγγραμμική. Ας δείξουμε ότι εξαρτώνται γραμμικά. Πράγματι, αν είναι συγγραμμικά, τότε διαφέρουν μεταξύ τους μόνο κατά έναν αριθμητικό παράγοντα, δηλ.
, ως εκ τούτου
. Εφόσον ο προκύπτων γραμμικός συνδυασμός είναι σαφώς μη τετριμμένος και ίσος με "0", τότε τα διανύσματα Και γραμμικά εξαρτώμενη.

Ας εξετάσουμε τώρα δύο μη γραμμικά διανύσματα Και . Ας αποδείξουμε ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Κατασκευάζουμε την απόδειξη με αντίφαση.

Ας υποθέσουμε ότι εξαρτώνται γραμμικά. Τότε πρέπει να υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός
. Ας το προσποιηθούμε
, Επειτα
. Η προκύπτουσα ισότητα σημαίνει ότι τα διανύσματα Και είναι συγγραμμικές, σε αντίθεση με την αρχική μας υπόθεση.

Ομοίως μπορούμε να αποδείξουμε: Οποιαδήποτε τρία συνεπίπεδα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα και οποιαδήποτε δύο μη ομοεπίπεδα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

Επιστρέφοντας στην έννοια της βάσης και στο πρόβλημα της αποσύνθεσης ενός διανύσματος σε μια συγκεκριμένη βάση, μπορούμε να πούμε ότι η βάση στο επίπεδο και στο χώρο σχηματίζεται από ένα σύνολο γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων.Αυτή η έννοια της βάσης είναι γενική, γιατί ισχύει για χώρο οποιουδήποτε αριθμού διαστάσεων.

Έκφραση όπως:
, ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσης κατά διανύσματα ,…,.

Αν θεωρήσουμε μια βάση στον τρισδιάστατο χώρο, τότε η αποσύνθεση του διανύσματος κατά βάση
θα
, Οπου
-διανυσματικές συντεταγμένες.

Στο πρόβλημα της αποσύνθεσης ενός αυθαίρετου διανύσματος σε μια συγκεκριμένη βάση, η ακόλουθη δήλωση είναι πολύ σημαντική: οποιοδήποτε διάνυσμαμπορεί να επεκταθεί μοναδικά σε μια δεδομένη βάση
. Με άλλα λόγια, οι συντεταγμένες
για οποιοδήποτε διάνυσμα σε σχέση με τη βάση
καθορίζεται αναμφίβολα.

Η εισαγωγή μιας βάσης στο χώρο και στο επίπεδο μας επιτρέπει να εκχωρήσουμε κάθε διάνυσμα ένα διατεταγμένο τριπλό (ζεύγος) αριθμών – οι συντεταγμένες του. Αυτό το πολύ σημαντικό αποτέλεσμα, που μας επιτρέπει να δημιουργήσουμε μια σύνδεση μεταξύ γεωμετρικών αντικειμένων και αριθμών, καθιστά δυνατή την αναλυτική περιγραφή και μελέτη της θέσης και της κίνησης των φυσικών αντικειμένων.

Το σύνολο ενός σημείου και μιας βάσης ονομάζεται σύστημα συντεταγμένων.

Εάν τα διανύσματα που αποτελούν τη βάση είναι μοναδιαία και κατά ζεύγη κάθετα, τότε το σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ορθογώνιος,και η βάση ορθοκανονική.

L. 2-2 Προϊόν διανυσμάτων

Αποσύνθεση ενός διανύσματος σε βάση

Σκεφτείτε ένα διάνυσμα
, δίνεται από τις συντεταγμένες του:
.

- διανυσματικά στοιχεία κατά τις κατευθύνσεις των διανυσμάτων βάσης
.

Έκφραση της φόρμας
που ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσης κατά βάση
.

Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να αποσυντεθεί κατά βάση
διάνυσμα
:

.

Συνημίτονα γωνιών που σχηματίζονται από το υπό εξέταση διάνυσμα με διανύσματα βάσης
λέγονται συνημίτονα κατεύθυνσης

;
;
.

Σημείο γινόμενο διανυσμάτων.

Σημείο γινόμενο δύο διανυσμάτων Και είναι ένας αριθμός ίσος με το γινόμενο των συντελεστών αυτών των διανυσμάτων και του συνημιτόνου της μεταξύ τους γωνίας

Το βαθμωτό γινόμενο δύο διανυσμάτων μπορεί να θεωρηθεί ως το γινόμενο του συντελεστή ενός από αυτά τα διανύσματα και η ορθογώνια προβολή του άλλου διανύσματος στην κατεύθυνση του πρώτου
.

Ιδιότητες:

Αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των διανυσμάτων
Και
, στη συνέχεια, έχοντας αποσυνθέσει τα διανύσματα στη βάση
:
Και
, ας βρούμε

, επειδή
,
, Οτι

.

.

Προϋπόθεση για τα διανύσματα να είναι κάθετα:
.

Προϋπόθεση συγγραμμικότητας πρυτάνεων:
.

Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων

ή

Διάνυσμα προϊόν ανά διάνυσμα σε διάνυσμα ένα τέτοιο διάνυσμα ονομάζεται
, το οποίο πληροί τις προϋποθέσεις:

Ιδιότητες:

Οι θεωρούμενες αλγεβρικές ιδιότητες μας επιτρέπουν να βρούμε μια αναλυτική έκφραση για το διανυσματικό γινόμενο μέσω των συντεταγμένων των διανυσμάτων συστατικών σε ορθοκανονική βάση.

Δεδομένος:
Και
.

επειδή ,
,
,
,
,
,
, Οτι

. Αυτός ο τύπος μπορεί να γραφτεί πιο συνοπτικά, με τη μορφή μιας ορίζουσας τρίτης τάξης:

.

Μικτό γινόμενο διανυσμάτων

Μικτό γινόμενο τριών διανυσμάτων ,Και είναι ο αριθμός ίσος με το διανυσματικό γινόμενο
, πολλαπλασιασμένο βαθμωτό με το διάνυσμα .

Η ακόλουθη ισότητα ισχύει:
, άρα γράφεται το μικτό προϊόν
.

Όπως προκύπτει από τον ορισμό, το αποτέλεσμα των μικτών προϊόντα των τριώνδιανύσματα είναι ο αριθμός. Αυτός ο αριθμός έχει μια σαφή γεωμετρική σημασία:

Μονάδα μικτού προϊόντος
ίσος με τον όγκο ενός παραλληλεπίπεδου χτισμένου στο ανηγμένο σε γενική αρχήφορείς ,Και .

Ιδιότητες ενός μικτού προϊόντος:

Αν οι φορείς ,,καθορίζονται σε ορθοκανονική βάση
με τις συντεταγμένες του, το μικτό προϊόν υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο

.

Πράγματι, αν
, Οτι

;
;
, Επειτα
.

Αν οι φορείς ,,είναι ομοεπίπεδα, τότε το διανυσματικό γινόμενο
κάθετο στο διάνυσμα . Και το αντίστροφο, αν
, τότε ο όγκος του παραλληλεπίπεδου είναι μηδέν, και αυτό είναι δυνατό μόνο εάν τα διανύσματα είναι συνεπίπεδα (γραμμικά εξαρτημένα).

Έτσι, τρία διανύσματα είναι συνεπίπεδα αν και μόνο αν το μικτό γινόμενο τους είναι μηδέν.

Στο διανυσματικό λογισμό και τις εφαρμογές του μεγάλης σημασίαςέχει μια εργασία αποσύνθεσης που συνίσταται στην αναπαράσταση ενός δεδομένου διανύσματος ως άθροισμα πολλών διανυσμάτων που ονομάζονται συστατικά ενός δεδομένου

διάνυσμα. Αυτό το καθήκον, που έχει γενική περίπτωσηένας άπειρος αριθμός λύσεων, γίνεται αρκετά οριστικός εάν καθορίσετε κάποια στοιχεία των διανυσμάτων συστατικών.

2. Παραδείγματα αποσύνθεσης.

Ας εξετάσουμε αρκετές πολύ συνηθισμένες περιπτώσεις αποσύνθεσης.

1. Αποσυνθέστε ένα δεδομένο διάνυσμα c σε δύο συνιστώσες διανύσματα από τα οποία το ένα, για παράδειγμα a, δίνεται σε μέγεθος και κατεύθυνση.

Το πρόβλημα έγκειται στον προσδιορισμό της διαφοράς μεταξύ δύο διανυσμάτων. Πράγματι, εάν τα διανύσματα είναι συστατικά του διανύσματος c, τότε η ισότητα πρέπει να ικανοποιηθεί

Από εδώ προσδιορίζεται το δεύτερο συστατικό διάνυσμα

2. Αποσυνθέστε το δεδομένο διάνυσμα c σε δύο συνιστώσες, το ένα από τα οποία πρέπει να βρίσκεται μέσα δεδομένο αεροπλάνοκαι το δεύτερο πρέπει να βρίσκεται σε μια δεδομένη ευθεία α.

Για να προσδιορίσουμε τα συστατικά διανύσματα, μετακινούμε το διάνυσμα c έτσι ώστε η αρχή του να συμπίπτει με το σημείο τομής της δεδομένης ευθείας με το επίπεδο (σημείο Ο - βλ. Εικ. 18). Από το τέλος του διανύσματος γ (σημείο Γ) σχεδιάζουμε μια ευθεία γραμμή προς

τομή με το επίπεδο (Β είναι το σημείο τομής), και στη συνέχεια από το σημείο Γ σχεδιάζουμε μια ευθεία παράλληλη

Τα διανύσματα και θα είναι τα επιθυμητά, δηλ. Φυσικά, η υποδεικνυόμενη επέκταση είναι δυνατή εάν η ευθεία α και το επίπεδο δεν είναι παράλληλες.

3. Δίνονται τρία συνεπίπεδα διανύσματα a, b και c, και τα διανύσματα δεν είναι συγγραμμικά. Απαιτείται η αποσύνθεση του διανύσματος c σε διανύσματα

Ας απαριθμήσουμε και τα τρία δεδομένων διανυσμάτωνσε ένα σημείο Ο. Στη συνέχεια, λόγω της ομοεπίπεδής τους, θα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Επί δεδομένο διάνυσμαμε το πώς στη διαγώνιο θα κατασκευάσουμε ένα παραλληλόγραμμο, οι πλευρές του οποίου είναι παράλληλες με τις γραμμές δράσης των διανυσμάτων (Εικ. 19). Αυτή η κατασκευή είναι πάντα δυνατή (εκτός αν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά) και μοναδική. Από το Σχ. 19 είναι σαφές ότι