Βρείτε τον μετασχηματισμό z ενός διακριτού σήματος. Αντίστροφος μετασχηματισμός z

Στην ανάλυση και σύνθεση διακριτών και ψηφιακές συσκευέςχρησιμοποιούνται ευρέως οι λεγόμενοι μετασχηματισμοί z, οι οποίοι παίζουν τον ίδιο ρόλο σε σχέση με τα διακριτά σήματα όπως ολοκληρωτικός μετασχηματισμός Fourier και Laplace σε σχέση με συνεχή σήματα.

Ορισμός του μετασχηματισμού z

ας - σειρά αριθμών, πεπερασμένο ή άπειρο, που περιέχει τιμές δείγματος κάποιου σήματος. Ας το βάλουμε σε μια μοναδική αντιστοιχία με το άθροισμα της σειράς αρνητικές δυνάμειςσύνθετη μεταβλητή z:

Ας ονομάσουμε αυτό το άθροισμα, αν υπάρχει, μετασχηματισμό z της ακολουθίας. Η σκοπιμότητα εισαγωγής ενός τέτοιου μαθηματικού αντικειμένου οφείλεται στο γεγονός ότι οι ιδιότητες διακριτές ακολουθίεςΟι αριθμοί μπορούν να μελετηθούν εξετάζοντας τους z-μετασχηματισμούς τους χρησιμοποιώντας συμβατικές μεθόδους μαθηματική ανάλυση. Στα μαθηματικά, ο μετασχηματισμός z ονομάζεται επίσης συνάρτηση παραγωγής της αρχικής ακολουθίας.

Με βάση τον τύπο (1.46), μπορεί κανείς να βρει απευθείας τους z-μετασχηματισμούς διακριτών σημάτων με πεπερασμένος αριθμόςμετράει. Έτσι, το απλούστερο διακριτό σήμα με ένα μόνο δείγμα αντιστοιχεί σε . Αν, για παράδειγμα, τότε

Σύγκλιση σειρών

Εάν ο αριθμός των όρων της σειράς (1,46) είναι απείρως μεγάλος, τότε είναι απαραίτητο να διερευνηθεί η σύγκλισή του. Τα ακόλουθα είναι γνωστά από τη θεωρία των συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής. Οι συντελεστές της υπό εξέταση σειράς ας ικανοποιούν την προϋπόθεση

σε οποιαδήποτε. Εδώ και είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί.

Τότε η σειρά (1.46) συγκλίνει για όλες τις τιμές του z έτσι ώστε . Σε αυτήν την περιοχή σύγκλισης, το άθροισμα της σειράς είναι αναλυτική λειτουργίαμεταβλητή z, η οποία δεν έχει ούτε πόλους ούτε σημαντικά μοναδικά σημεία.

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, ένα διακριτό σήμα που σχηματίζεται από πανομοιότυπα δείγματα μονάδων και χρησιμεύει ως μοντέλο της συνήθους λειτουργίας μεταγωγής. Ατελείωτη σειρά

είναι το άθροισμα γεωμετρική πρόοδοςκαι συγκλίνει για οποιοδήποτε z στον δακτύλιο. Συνοψίζοντας την εξέλιξη, παίρνουμε:

Στο όριο της περιοχής αναλυτικότητας στο z = 1αυτή η συνάρτηση έχει έναν απλό πόλο. Ομοίως, λαμβάνουμε τον μετασχηματισμό z του άπειρου διακριτό σήμα, Οπου ΕΝΑ- μερικοί πραγματικός αριθμός. Εδώ:

Αυτή η έκφραση έχει νόημα σε μια συγκεκριμένη περιοχή δακτυλίου.

Ζ-μετασχηματισμός συνεχών συναρτήσεων

Υποθέτοντας ότι τα δείγματα είναι τιμές συνεχής λειτουργίαστα σημεία , οποιοδήποτε σήμα μπορεί να συσχετιστεί με τον μετασχηματισμό z στο επιλεγμένο βήμα δειγματοληψίας:

Για παράδειγμα, εάν , τότε ο αντίστοιχος μετασχηματισμός z

είναι μια αναλυτική συνάρτηση για .

Αντίστροφος μετασχηματισμός z

Έστω η p-content/image_post/osncifr/pic45_8.gif> συνάρτηση της σύνθετης μεταβλητής z, αναλυτική στον τομέα δακτυλίου. Η αξιοσημείωτη ιδιότητα του μετασχηματισμού z είναι ότι η συνάρτηση ορίζει ολόκληρο το άπειρο σύνολο δειγμάτων. Πράγματι, ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της σειράς (1,46) με τον παράγοντα:

Στη συνέχεια υπολογίζουμε τα ολοκληρώματα και των δύο πλευρών της ισότητας που προκύπτει, λαμβάνοντας ως περίγραμμα ολοκλήρωσης μια αυθαίρετη κλειστή καμπύλη που βρίσκεται εξ ολοκλήρου στον τομέα της αναλυτικότητας και καλύπτει όλους τους πόλους:

Ο βρόχος ολοκλήρωσης διασχίζεται προς τη θετική κατεύθυνση, αριστερόστροφα.

Για να λύσουμε την εξίσωση (1.50), χρησιμοποιούμε τη θεμελιώδη θέση που προκύπτει από το θεώρημα του Cauchy:

Προφανώς, τα ολοκληρώματα όλων των όρων στη δεξιά πλευρά της έκφρασης (1,50) θα εξαφανιστούν, με εξαίρεση τον όρο με αριθμό Μ, Να γιατί

Ο τύπος (1.51) ονομάζεται αντίστροφος z-μετασχηματισμός.

Παράδειγμα

Καθορίζεται ένας μετασχηματισμός z της φόρμας. Βρείτε τους συντελεστές του διακριτού σήματος που αντιστοιχεί σε αυτή τη συνάρτηση.

Πρώτα απ 'όλα, προσδιορίζουμε ότι η συνάρτηση είναι αναλυτική σε ολόκληρο το επίπεδο, με εξαίρεση το σημείο, επομένως μπορεί πραγματικά να είναι ένας μετασχηματισμός z κάποιου διακριτού σήματος.

Πριν αποφασίσεις αυτή η εργασία, θυμηθείτε από το μάθημα ανώτερα μαθηματικάμέθοδος λύσης καμπυλόγραμμα ολοκληρώματαχρησιμοποιώντας τη θεωρία υπολειμμάτων και το θεώρημα του καταλοίπου του Cauchy. Έστω το σημείο ένα μεμονωμένο ενικό σημείο της συνάρτησης. Το υπόλειμμα μιας συνάρτησης σε ένα σημείο είναι ένας αριθμός που συμβολίζεται με ένα σύμβολο και ορίζεται από την ισότητα:

Ως περίγραμμα g μπορούμε να πάρουμε έναν κύκλο με κέντρο σε ένα σημείο αρκετά μικρής ακτίνας έτσι ώστε ο κύκλος να μην υπερβαίνει το πεδίο της αναλυτικότητας της συνάρτησης

Και δεν περιείχε λειτουργίες μέσα σε άλλα ειδικά σημεία. Αφαίρεση συνάρτησης ίσο με τον συντελεστήστο μείον την πρώτη μοίρα στην επέκταση Laurent στην περιοχή του σημείου: . Το υπόλειμμα σε ένα αφαιρούμενο μοναδικό σημείο είναι ίσο με μηδέν.

Αν ένα σημείο είναι πόλος nη σειρά της συνάρτησης, λοιπόν

Σε περίπτωση απλού πόλου()

Αν μια συνάρτηση σε μια γειτονιά ενός σημείου μπορεί να αναπαρασταθεί ως το πηλίκο δύο αναλυτικών συναρτήσεων

επιπλέον, δηλ. υπάρχει ένας απλός πόλος της συνάρτησης, λοιπόν

Περνώντας στον τύπο (1.48), διαπιστώνουμε ότι

για οποιοδήποτε idth=41 ύψος=19 src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic46_12.gif> . Έτσι, το αρχικό διακριτό σήμα έχει τη μορφή:

Σύνδεση με μετασχηματισμό Laplace και Fourier

Ας ορίσουμε σε ένα σήμα τη μορφή ενός ιδανικού MIP:

Έχοντας το μετασχηματίσει σύμφωνα με τον Laplace, λαμβάνουμε μια εικόνα για οποιεσδήποτε σταθερές a και b. Αποδεικνύω αυτό το ακίνητομπορεί να γίνει αντικαθιστώντας το άθροισμα στον τύπο (1.46). – μια ακολουθία αριθμών των οποίων ο κοινός όρος ισούται με:

Μια τέτοια διακριτή συνέλιξη, σε αντίθεση με την κυκλική συνέλιξη, μερικές φορές ονομάζεται γραμμική συνέλιξη.

Ας υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό z της διακριτής συνέλιξης:

Η συνέλιξη δύο διακριτών σημάτων αντιστοιχεί στο γινόμενο των z-μετασχηματισμών τους.

Ζ-μετασχηματισμός(μετασχηματισμός Laurent) είναι η συνέλιξη του αρχικού σήματος, δίνεται κατά σειράπραγματικοί αριθμοί στο πεδίο του χρόνου, σε μια αναλυτική συνάρτηση μιγαδικής συχνότητας. Εάν το σήμα αντιπροσωπεύει την κρουστική απόκριση ενός γραμμικού συστήματος, τότε οι συντελεστές μετασχηματισμού Z δείχνουν την απόκριση του συστήματος σε σύνθετες εκθετικές τιμές, δηλαδή σε αρμονικές ταλαντώσεις με διαφορετικές συχνότητες και ρυθμούς ανόδου/πτώσης.

Ένας συνηθισμένος τρόπος ανάλυσης διακριτών ψηφιακών ακολουθιών είναι ο μετασχηματισμός z.

Το κύριο πλεονέκτημα των μετασχηματισμών z είναι η απλότητά τους. μαθηματικές πράξειςμε πολυώνυμα ισχύος, κάτι που δεν έχει μικρή σημασία κατά τον υπολογισμό των ψηφιακών φίλτρων και τη φασματική ανάλυση.

Μια αυθαίρετη συνεχής συνάρτηση s(t), δειγματοληψία ομοιόμορφα και εμφανιζόμενη από δείγματα s k = s(kDt), καθώς και απευθείας διακριτή λειτουργία, μπορούμε να συσχετίσουμε ένα πολυώνυμο ισχύος στο z, οι διαδοχικοί συντελεστές του οποίου είναι οι τιμές του s k:

s k = s(kDt) Û TZ = s k z k = S(z). (8.3.1)

όπου z = s+jw = r×exp(-jj) είναι μια αυθαίρετη μιγαδική μεταβλητή. Το πολυώνυμο S(z) ονομάζεται z-εικόνα ή z-εικόνα της συνάρτησης s(kDt). Ο μετασχηματισμός έχει νόημα για την περιοχή εκείνων των τιμών του z στην οποία συγκλίνει η σειρά S(z), δηλ. το άθροισμα της σειράς είναι μια αναλυτική συνάρτηση της μεταβλητής z, η οποία δεν έχει πόλους ή μοναδικά σημεία.

Η σημασία της τιμής z στο πολυώνυμο z είναι ότι είναι ένας τελεστής καθυστέρησης μονάδας πάνω από τις συντεταγμένες της συνάρτησης. Πολλαπλασιάζοντας την εικόνα z του σήματος s(k) με την τιμή z n σημαίνει ότι το σήμα καθυστερεί κατά n διαστήματα: z n S(z) Û s(k-n).

Ιδιότητες του μετασχηματισμού z.

Χωρίς να εμβαθύνουμε στη θεωρία, μπορούμε να δηλώσουμε ότι όλες οι ιδιότητες του DFT ισχύουν για τον μετασχηματισμό z. Ας σημειώσουμε μερικά από αυτά.

Γραμμικότητα: Αν S(k) = a x(k)+b y(k), τότε S(z) = aX(z)+bY(z). Κατά συνέπεια, ο μετασχηματισμός z είναι έγκυρος μόνο για ανάλυση γραμμικά συστήματακαι σήματα που ικανοποιούν την αρχή της υπέρθεσης.

Καθυστέρησηγια n κύκλους ρολογιού: y(k) = x(k-n).

Y(z) = y(k)×z k = x(k-n)×z k =z n x(k-n)×z k - n = z n x(m)×z m = z n X(z).

Κατά συνέπεια, πολλαπλασιάζοντας την εικόνα z του σήματος με τον παράγοντα z n προκαλείται μετατόπιση του σήματος κατά n κύκλους δειγματοληψίας.

Για τον μετασχηματισμό z ισχύουν όλα διάσημα θεωρήματασχετικά με τα φάσματα. Συγκεκριμένα, η συνέλιξη δύο σημάτων εμφανίζεται στον τομέα z από το γινόμενο των z-εικόνων τους και αντίστροφα:

s(k) * h(k) Û S(z)H(z), s(k) h(k) Û S(z) * H(z).

Για z = exp(-jwDt) ο μετασχηματισμός z είναι ειδική φόρμααναπαράσταση διακριτών σημάτων, στα οποία το πολυώνυμο S(z) μπορεί να αναφέρεται τόσο ως συνάρτηση χρόνου (με βάση τις τιμές των συντελεστών kDt) όσο και ως συνάρτηση του φάσματος συχνοτήτων του σήματος (με βάση τις τιμές ​του επιχειρήματος w).

Εμφάνιση του μετασχηματισμού z εκτελείται στο μιγαδικό z-επίπεδο με Re z και Im z κατά μήκος των αξόνων συντεταγμένων (Εικ. 8.3.1). Ο άξονας φασματικής συχνότητας w στο επίπεδο z αντιστοιχεί σε κύκλο ακτίνας:

|z| = |exp(-jwDt)| = = 1.

Η αντικατάσταση της τιμής οποιασδήποτε συχνότητας w σε z = exp(-jwDt) εμφανίζεται από ένα σημείο στον κύκλο. Η συχνότητα w = 0 αντιστοιχεί στο σημείο Re z = 1 και Im z = 0 στη δεξιά πλευρά του άξονα της τετμημένης. Καθώς η συχνότητα αυξάνεται, το σημείο κινείται αριστερόστροφα γύρω από τον κύκλο και καταλαμβάνει την πιο αριστερή θέση στη συχνότητα Nyquist w N = p/Dt (Re z = -1, Im z = 0).

Ο μετασχηματισμός Ζ επιτρέπει την αποσύνθεση σημάτων και συναρτήσεων, π.χ. λειτουργίες μεταφοράςφιλτράρει σε σύντομες συνιστώσες της πράξης συνέλιξης, για τις οποίες αρκεί να εξισώσουμε το πολυώνυμο z με το μηδέν, να βρούμε τις ρίζες του a i και να ξαναγράψουμε το πολυώνυμο ως γινόμενο διωνύμων:

S(z) = a 0 (z-a 1)(z-a 2)...,

όπου το 0 είναι το τελευταίο δείγμα σήματος (συντελεστής στην υψηλότερη ισχύ του z).

Στην ανάλυση και σύνθεση διακριτών και ψηφιακών συσκευών, χρησιμοποιείται ευρέως ο λεγόμενος μετασχηματισμός z, ο οποίος παίζει τον ίδιο ρόλο σε σχέση με διακριτά σήματα με τους ενσωματωμένους μετασχηματισμούς Fourier και Laplace σε σχέση με συνεχή σήματα. Αυτή η ενότητα περιγράφει τα βασικά στοιχεία της θεωρίας αυτού του συναρτητικού μετασχηματισμού και ορισμένες από τις ιδιότητές του.

Ορισμός z -μεταμορφώσεις. Έστω μια αριθμητική ακολουθία, πεπερασμένη ή άπειρη, που περιέχει τις τιμές αναφοράς κάποιου σήματος. Ας το βάλουμε σε μοναδική αντιστοιχία με το άθροισμα της σειράς σε αρνητικές δυνάμεις μιας σύνθετης μεταβλητής z:

Ας ονομάσουμε αυτό το ποσό, αν υπάρχει, z-μεταμόρφωσηακολουθίες (Χ Προς την }. Η σκοπιμότητα της εισαγωγής ενός τέτοιου μαθηματικού αντικειμένου οφείλεται στο γεγονός ότι οι ιδιότητες των διακριτών ακολουθιών αριθμών μπορούν να μελετηθούν μελετώντας τους z-μετασχηματισμούς τους χρησιμοποιώντας συμβατικές μεθόδους μαθηματικής ανάλυσης.

Με βάση τον τύπο (2.113), μπορεί κανείς να βρει απευθείας τους z-μετασχηματισμούς των διακριτών σήματα με πεπερασμένο αριθμό δειγμάτων. Έτσι, το απλούστερο διακριτό σήμα με ένα μόνοαντιστοιχεί στον επίσημο αριθμό.

Αν, για παράδειγμα,

Σύγκλιση της σειράς.Εάν ο αριθμός των όρων σε σειρά (2.113) είναι απείρως μεγάλος, τότε είναι απαραίτητο να διερευνηθεί η σύγκλισή του. Τα παρακάτω είναι γνωστά από τη θεωρία των συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής. Οι συντελεστές της υπό εξέταση σειράς ας ικανοποιούν την προϋπόθεση

σε οποιαδήποτε. Εδώ Μ > 0 και R 0 > Το 0 είναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. Τότε η σειρά (2.113) συγκλίνει για όλες τις τιμές του z έτσι ώστε |z| > R 0 . Σε αυτή την περιοχή σύγκλισης, το άθροισμα της σειράς είναι μια αναλυτική συνάρτηση της μεταβλητής z, η οποία δεν έχει ούτε πόλους ούτε ουσιαστικά μοναδικά σημεία.

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, ένα διακριτό σήμα που σχηματίζεται από πανομοιότυπα δείγματα μονάδων και χρησιμεύει ως μοντέλο της συνήθους λειτουργίας μεταγωγής. Μια άπειρη σειρά είναι το άθροισμα μιας γεωμετρικής προόδου και συγκλίνει για οποιοδήποτε z στον δακτύλιο.

Συνοψίζοντας την εξέλιξη, παίρνουμε

Στο όριο της περιοχής αναλυτικότητας στο z = 1, αυτή η συνάρτηση έχει έναν απλό πόλο.

Ο μετασχηματισμός z ενός άπειρου διακριτού σήματος λαμβάνεται ομοίως, όπου ΕΝΑ -κάποιο πραγματικό νούμερο. Εδώ

Αυτή η έκφραση έχει νόημα σε μια περιοχή δακτυλίου.

z -μετατροπή συνεχών συναρτήσεων. Υποθέτοντας ότι τα δείγματα είναι οι τιμές μιας συνεχούς συνάρτησης Χ(t) σε σημεία , οποιοδήποτε σήμα Χ(t) μπορείτε να συγκρίνετε τον μετασχηματισμό z στο επιλεγμένο βήμα δειγματοληψίας:

Για παράδειγμα, εάν , τότε ο αντίστοιχος μετασχηματισμός z

.

είναι μια αναλυτική συνάρτηση στο .

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗz-μεταμόρφωση.Αφήνω ΧΤο (z) είναι συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής z, αναλυτική στον τομέα δακτυλίου |z| > R 0 . Μια αξιοσημείωτη ιδιότητα του μετασχηματισμού z είναι ότι η συνάρτηση Χ(z) ορίζει ολόκληρο το άπειρο σύνολο δειγμάτων.

Πράγματι, ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της σειράς (2.113) με τον παράγοντα:

. (2.115)

και στη συνέχεια υπολογίζουμε τα ολοκληρώματα και των δύο πλευρών της ισότητας που προκύπτει, λαμβάνοντας ως περίγραμμα ολοκλήρωσης μια αυθαίρετη κλειστή καμπύλη που βρίσκεται εξ ολοκλήρου στο πεδίο της αναλυτικότητας και καλύπτει όλους τους πόλους της συνάρτησης Χ(z). Σε αυτή την περίπτωση, θα χρησιμοποιήσουμε τη θεμελιώδη θέση που προκύπτει από το θεώρημα του Cauchy:

.

Προφανώς, τα ολοκληρώματα όλων των όρων στη δεξιά πλευρά θα εξαφανιστούν, με εξαίρεση τον όρο με αριθμό Τ,Να γιατί

Αυτός ο τύπος ονομάζεται ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ z -μεταμόρφωση .

Σύνδεση με μετασχηματισμούς Laplace και Fourier . Ας ορίσουμε για ένα σήμα της μορφής ενός ιδανικού MIP:

.

Μεταμορφώνοντάς το σύμφωνα με τον Laplace, παίρνουμε την εικόνα

που πηγαίνει απευθείας στον μετασχηματισμό z εάν εκτελέσετε την αντικατάσταση . Αν βάλουμε , τότε η έκφραση

Ο μετασχηματισμός Z χρησιμοποιείται κυρίως για τον υπολογισμό διακριτών φίλτρων. Μαθηματική συσκευήΟ μετασχηματισμός z παίζει τον ίδιο ρόλο για τις ψηφιακές συσκευές αναλογικά κυκλώματα. Χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό z, τα φίλτρα συχνότητας, οι διορθωτές φάσης ή οι μετασχηματιστές Hilbert υπολογίζονται εύκολα για ψηφιακή υλοποίηση. Ας διαχωρίσουμε αμέσως τις έννοιες των διακριτών και των ψηφιακών φίλτρων. Στα διακριτά φίλτρα, η παλμική απόκριση είναι διακριτή χρονικά, αλλά τα δείγματα σήματος και οι παράμετροι του φίλτρου μπορούν να λάβουν οποιαδήποτε τιμή. Στα ψηφιακά φίλτρα, αντιπροσωπεύονται τόσο δείγματα σήματος όσο και παράμετροι φίλτρου (όπως συντελεστές). δυαδικούς αριθμούςμια ορισμένη χωρητικότητα. Ένα παράδειγμα διακριτού φίλτρου είναι ένα φίλτρο με μεταγωγή πυκνωτή.

Όταν εξετάζουμε τη δειγματοληψία σήματος, βρήκαμε ότι το φάσμα του αναλογικού σήματος εισόδου, όταν μετατρέπεται σε διακριτή μορφή, επαναλαμβάνεται κατά μήκος του άξονα συχνότητας άπειρες φορές. Το ίδιο συμβαίνει με την απόκριση συχνότητας ενός διακριτού φίλτρου. Ένα παράδειγμα αλλαγής στην απόκριση πλάτους-συχνότητας ενός φίλτρου χαμηλής διέλευσης κατά τη διακριτή εφαρμογή του φαίνεται στο Σχήμα 1.

Εικόνα 1. Παράδειγμα απόκρισης πλάτους-συχνότητας ενός διακριτού φίλτρου

Στο παράδειγμα που παρουσιάζεται, η συχνότητα δειγματοληψίας είναι 50 kHz. Επομένως, δύο ακόμη ζώνες διέλευσης του διακριτού φίλτρου σχηματίζονται κοντά σε αυτή τη συχνότητα. Για σωστή λειτουργίαΤο διακριτό φίλτρο, όπως ένα φίλτρο πυκνωτή μεταγωγής ή ένα ψηφιακό φίλτρο, θα απαιτήσει ένα αναλογικό φίλτρο κατά της παραμόρφωσης για την καταστολή των στοιχείων υψηλής συχνότητας του σήματος εισόδου. Η εξιδανικευμένη απόκριση πλάτους-συχνότητας φαίνεται στο Σχήμα 1 με κόκκινο χρώμα.

Εάν υπάρχει ένα χαρακτηριστικό μεταφοράς ενός αναλογικού φίλτρου H(μικρό) με τη μορφή μηδενικών και πόλων του φίλτρου, στη συνέχεια σε ένα διακριτό φίλτρο τα μηδενικά και οι πόλοι επαναλαμβάνονται περιοδικά με περίοδο 1/ Τ, όπου T είναι η περίοδος δειγματοληψίας. Με άλλα λόγια, το φίλτρο επαναλαμβάνεται με αυτόν τον τρόπο όπως φαίνεται στο Σχήμα 1. Η θέση των μηδενικών και των πόλων στον άξονα συχνότητας του επιπέδου s για κανονικά και διακριτά φίλτρα φαίνεται στο Σχήμα 2.

Εικόνα 2. Περιοδική επανάληψη μηδενικών και πόλων στο επίπεδο s

Για ένα διακριτό φίλτρο, βλέπουμε έναν άπειρο αριθμό μηδενικών και πόλων, κάτι που δεν είναι απολύτως βολικό για την εφαρμογή του. Αντί για μια ατελείωτη επανάληψη μηδενικών και πόλων σε έναν άξονα άπειρης συχνότητας, μπορείτε να μετατρέψετε αυτόν τον άξονα σε δακτυλιοειδή (χρησιμοποιήστε τον αντί για καρτεσιανό) πολικό σύστημασυντεταγμένες). Παρόμοιος μετασχηματισμός φαίνεται στο σχήμα 3.

Εικόνα 3. Μετατροπή μιγαδικού επιπέδου s σε μιγαδικό επίπεδο z

Με αυτόν τον μετασχηματισμό, η μηδενική συχνότητα καταλαμβάνει τη θέση του σημείου +1 στον πραγματικό άξονα του επιπέδου z, η συχνότητα ίση με ∞ μετατρέπεται στο σημείο −1 στον πραγματικό άξονα του επιπέδου z και η συχνότητα ο ίδιος ο άξονας μετατρέπεται σε κύκλο μοναδιαίας ακτίνας. Καθώς η συχνότητα αυξάνεται, θα κινούμαστε σε κύκλο αριστερόστροφα, πραγματοποιώντας έτσι μια ατελείωτη επανάληψη των χαρακτηριστικών πλάτους-συχνότητας του διακριτού φίλτρου.

Μαθηματικά, η αντιστοίχιση από το μιγαδικό s-επίπεδο στο μιγαδικό z-επίπεδο είναι η εξής:

Z = e s T (1)

όπου s = σ + jω

Τότε ο μετασχηματισμός Laplace ενός διακριτού σήματος μετατρέπεται σε μετασχηματισμό z:

(2)

Όταν μετακινούμαστε από το μιγαδικό επίπεδο s στο μιγαδικό z-επίπεδο, όλα τα άπειρα επαναλαμβανόμενα μηδενικά και οι πόλοι ενός διακριτού φίλτρου στο επίπεδο s αντιστοιχίζονται σε έναν πεπερασμένο αριθμό μηδενικών και πόλων στο επίπεδο z. Στη συνέχεια, η έκφραση για το χαρακτηριστικό μεταφοράς ενός διακριτού φίλτρου μπορεί να αναπαρασταθεί στο την παρακάτω φόρμα:

(3)

Ας επιστρέψουμε στον διακριτό τύπο μετασχηματισμού Fourier:

Θεωρητικά διακριτά συστήματαΕίναι σύνηθες να χρησιμοποιείται μια ελαφρώς διαφορετική μορφή σημειογραφίας που σχετίζεται με την εισαγωγή του μετασχηματισμού Z. Ας κάνουμε την εξής αντικατάσταση:

.

Τότε ο παραπάνω τύπος θα απλοποιηθεί σημαντικά:

.

Η νέα συνάρτηση X(z) της μεταβλητής z ονομάζεται Z – εικόνα ή Ζ – εικόνα του διακριτού σήματος x(k).

Z – οι μετασχηματισμοί για διακριτά σήματα και συστήματα παίζουν τον ίδιο ρόλο με τον μετασχηματισμό Laplace για αναλογικά συστήματα. Επομένως, ας εξετάσουμε ορισμένα παραδείγματα προσδιορισμού των εικόνων Z ορισμένων τυπικών διακριτών σημάτων.

1.Ενιαία παρόρμηση(Εικ. 9.14) είναι ένα διακριτό ανάλογο του παλμού δ και αντιπροσωπεύει μια ενιαία αναφορά με μία μόνο τιμή:

Z – ο μετασχηματισμός παλμών μονάδας βρίσκεται ως

όσο για δ - ορμή Ντιράκ.

2. Διακριτή μονάδα άλματος(Εικ. 9.15) είναι ένα πλήρες ανάλογο της συνάρτησης συμπερίληψης Heaviside:

Z – η εικόνα ενός μόνο άλματος μπορεί να βρεθεί ως

Το άθροισμα που προκύπτει είναι το άθροισμα των όρων μιας άπειρης γεωμετρικής προόδου με αρχικό όρο ίσο με 1 και παρονομαστή
. Το άθροισμα των όρων της σειράς είναι:

.

3. Διακριτή εκθετική(Εικ. 9.16) είναι ένα σήμα που ορίζεται από την έκφραση:

Στο
η διακριτή εκθετική μειώνεται (Εικ. 9.16), με
- αυξανόμενη, με
- εναλλασσόμενο.Z – εικόνα μιας τέτοιας εκθετικής

Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, λάβαμε μια γεωμετρική πρόοδο με μηδενικό όρο, ίσο με ένα, αλλά με τον παρονομαστή
. Το άπειρο άθροισμα των όρων της προόδου καθορίζει το Z – την εικόνα της εκθετικής:

4. Διακριτή αποσβεσμένη αρμονική. Σε αντίθεση με τα προηγούμενα παραδείγματα, ας το γράψουμε σε γενική μορφή:

σολ όπου α είναι ο συντελεστής αρμονικής εξασθένησης,

ω – αρμονική συχνότητα,

φ – αρχική φάση ταλαντώσεων,

- περίοδος δειγματοληψίας.

Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό:

Το σχήμα 9.17 δείχνει ένα γράφημα μιας διακριτής απόσβεσης αρμονικής με τα ακόλουθα δεδομένα: a=0.9,
, φ=π/9. Λαμβάνοντας υπόψη τον αποδεκτό συμβολισμό, η έκφραση για μια διακριτή αποσβεσμένη αρμονική μπορεί να αναπαρασταθεί ως:

.

Όταν λαμβάνεται η εικόνα Z της αρμονικής, η συνημίτονος πρέπει να εκφράζεται μέσω του αθροίσματος δύο μιγαδικών εκθετικών. Στη συνέχεια, αφού εκτελέσετε μια ολόκληρη σειρά αλγεβρικών και τριγωνομετρικών μετασχηματισμών, στο τέλος θα είναι δυνατό να ληφθεί η ακόλουθη έκφραση:

.

Από τα παραδείγματα που δίνονται είναι σαφές ότι οι εικόνες Z των περισσότερων διακριτών σημάτων είναι κλασματικές-ορθολογικές συναρτήσεις της μεταβλητής
. Η προέλευση του μετασχηματισμού Ζ από τους μετασχηματισμούς Laplace και Fourier οδηγεί στο γεγονός ότι ο μετασχηματισμός Ζ έχει παρόμοιες ιδιότητες.

1. Γραμμικότητα.

Z – ο μετασχηματισμός είναι γραμμικός, οπότε αν υπάρχουν δύο σήματα, τότε το άθροισμα αυτών των σημάτων
έχει εικόνα Z
.

2. Χρονική καθυστέρηση ενός διακριτού σήματος.

Εάν ένα διακριτό σήμα x(k), που έχει Z - εικόνα του X(z), καθυστερεί κατά m βήματα δειγματοληψίας
, τότε το καθυστερημένο σήμα(k)=x(k-m) έχει Z – εικόνα
. Έκφραση
μπορεί να θεωρηθεί ως ένας χειριστής που καθυστερεί το σήμα κατά ένα βήμα δειγματοληψίας.

3. Συνέλιξη διακριτών σημάτων.

Παρόμοια με τη συνέλιξη αναλογικών σημάτων

,

Fourier - η εικόνα του οποίου είναι ίση με το γινόμενο του Fourier - εικόνες των συνεκλινόμενων σημάτων, η συνέλιξη δύο διακριτών σημάτων ορίζεται ως

.

Z - η εικόνα της συνέλιξης δύο σημάτων είναι ίση με το γινόμενο του Z - οι εικόνες των αρχικών διακριτών σημάτων

4. Πολλαπλασιασμός με μια διακριτή εκθετική.

Εάν ένα διακριτό σήμα
, έχοντας μια εικόνα Z
, πολλαπλασιαζόμενο με εκθέτη
, τότε η εικόνα Z του προϊόντος θα πάρει τη μορφή
.

Οι εξεταζόμενες ιδιότητες του μετασχηματισμού Z καθιστούν δυνατή σε πολλές περιπτώσεις την εύκολη εύρεση της εικόνας Z ενός δεδομένου σήματος ή την επίλυση του αντίστροφου προβλήματος - χρησιμοποιώντας μια γνωστή εικόνα Z του σήματος, να βρείτε την αναπαράστασή του στο χρόνο.